2011학년도 대수능 9월 모의평가 (수리영역-나형)  정답 및 풀이

1.

[eqn: log _{3} ``6+log _{3} ``2-log _{3} ``4]

[eqn: =log _{3} ` {6 TIMES 2} over {4}]

[eqn: =log _{3} `3][eqn: =1]

ꂼ ①

2.

[eqn: lim _{n -> INF } {} ( sqrt {n ^{2} +4n+11} -n)][eqn: = lim _{n -> INF } {} {( sqrt {n ^{2} +4n+11} -n)( sqrt {n ^{2} +4n+11} +n)} over {sqrt {n ^{2} +4n+11} +n}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} {4n+11} over {sqrt {n ^{2} +4n+11} +n}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} {4+ {11} over {n}} over {sqrt {1+ {4} over {n} + {11} over {n ^{2}}} +1}]

[eqn: = 2]

ꂼ ②

3.

[eqn: AX-BX=(A-B)X]이므로

[eqn: {pmatrix{``3``&``1``#``5``&``2``}} X= {pmatrix{``3``&``1``#``1``&``0``}} - {pmatrix{``2``&``~~1``#``1``&``-1``}}]

[eqn: = {pmatrix{``1``&``0``#``0``&``1``}}][eqn: = E]

∴ [eqn: X= {pmatrix{``3``&``1``#``5``&``2``}} ^{-1}][eqn: = {pmatrix{``~~2``&``-1``#``-5``&``~~3``}}]

ꂼ ①

4.

[eqn: P(A)=P(B)]이므로

[eqn: P(A)+P(B)=2P(A)]

[eqn: = {2} over {3}]

∴ [eqn: P(A)= {1} over {3}]

두 사건 [eqn: A`]와 [eqn: B`]가 서로 독립이므로

[eqn: P(A SMALLINTER B)=P(A)P(B)]

[eqn: = {1} over {3} TIMES {1} over {3} = {1} over {9}]

ꂼ ③

5.

[eqn: {1} over {3} <x<9]에서

[eqn: log _{3} `` {1} over {3} <log _{3} ``x<log _{3} ``9]

[eqn: -1<log _{3} ``x<2][eqn: cdots㉠]

[eqn: (1+log _{3} ``x)(a-log _{3} ``x)>0]에서

[eqn: (log _{3} ``x+1)(log _{3} ``x-a)<0]

이 부등식의 해가 ㉠이므로

[eqn: a=2`]

ꂼ ②

6.

[eqn: S=NQ ^{{1} over {2}} H ^{- {3} over {4}}]에서

[eqn: Q= 24, ``H= 5`]일 때,

[eqn: S_1 = N times 24^{ 1over2 } times 5^{- 3over 4}]

[eqn: Q= 12, ``H= 10]일 때,

[eqn: S _{2} =N TIMES 12 ^{{1} over {2}} TIMES 10 ^{- {3} over {4}}]

∴ [eqn: S_1 overS_2 ={ N times 24^{ 1over2 } times 5^{- 3over 4} } over {N times 12^{ 1over2 } times 10^{- 3over 4} }]

[eqn: = {N TIMES 2 ^{{1} over {2}} TIMES 12 ^{{1} over {2}} TIMES 10 ^{- {3} over {4}}} over {N TIMES 12 ^{{1} over {2}} TIMES 2 ^{- {3} over {4}} TIMES 5 ^{- {3} over {4}}}]

[eqn: = 2 ^{1over2} over 2^{- 3over 4}][eqn: = 2^{ 1over2 - left( - 3over 4 right) } }]

[eqn: = 2^{ 5over 4 }]

ꂼ ⑤

7. 6개 지역을 다음과 같이 구분하자.

①

②

③

④

⑤

⑥

서로 이웃한 2개 지역은

(①,②)　(①,⑤)　(①,⑥)

(②,③)　(②,⑥)

(③,④)　(③,⑥)

(④,⑤)　(④,⑥)

(⑤,⑥)

의 모두 10개이다.

또한 서로 이웃한 2개 지역을 조사하는 조사원을 정하는 경우의 수는 5개이고 나머지 4개 지역을 나머지 4명의 조사원이 조사하는 경우의 수는 [eqn: 4!] 개 이므로 구하고자 하는 경우의 수는

[eqn: 10 times 5 times 4! = 1200]

ꂼ ⑤

8. 반등 시간을 확률변수 [eqn: X]라고 하면 [eqn: X]는 정규분포 [eqn: N(m,1 ^{2} )]을 따른다.

따라서 [eqn: P(X<2.93)=0.1003] 이므로

[eqn: P(X<2.93)]

[eqn: =P(Z< {2.93-m} over {1} )]

[eqn: = P( Z > m- 2.93 )]

[eqn: =0.5-P(0 <= Z <= m-2.93)=0.1003]

[eqn: P(0<= Z<= m-2.93) = 0.3997]

즉, [eqn: m-2.93 = 1.28] 이므로

[eqn: m= 4.21]

ꂼ ③

9. 원 [eqn: x^2 + y^2 = n^2]에 접하고 기울기가 [eqn: n]이고 [eqn: y]절편이 양수인 직선의 방정식은

[eqn: y=nx+n sqrt {n ^{2} +1}]

따라서

[eqn: P _{n} (- sqrt {n ^{2} +1} ,0)], [eqn: Q _{n} (0,n sqrt {n ^{2} +1} )]

이므로

[eqn: l _{n} = bar{P _{n} Q _{n}}]

[eqn: = sqrt {(n ^{2} +1)+n ^{2} (n ^{2} +1)}]

[eqn: = sqrt {n ^{4} +2n ^{2} +1}]

[eqn: = sqrt {(n ^{2} +1) ^{2}} =n ^{2} +1]

[eqn: therefore] [eqn: lim _{ n->inf} { l_n} over 2n^2][eqn: = lim _{n -> INF } {} {n ^{2} +1} over {2n ^{2}} = {1} over {2}]

ꂼ ④

10. ㄱ. (반례) [eqn: A= {pmatrix{1&0#0&1}}], [eqn: B= {pmatrix{-1&0#0&-1}}]

[eqn: C= {pmatrix{-1&0#0&-1}}]라고 하면

[eqn: A= E], [eqn: ABC=E], [eqn: ACB = E] 이지만 [eqn: B NOT=E] 이다. (거짓)

ㄴ. [eqn: ABC = E] 에서

[eqn: C = (AB)^-1 = B^-1 A^-1]

[eqn: ACB = AB^-1 A^-1 B = E]

[eqn: B^-1 A^-1 = A^-1 B^-1]

[eqn: (B^-1 A^-1 )^-1 = (A^-1 B^-1 )^-1]

[eqn: AB = BA] (참)

ㄷ. (i) [eqn: n=1]일 때 [eqn: ABC = E] 이므로 성립한다.

(ii) [eqn: n = k] 일 때 [eqn: A^n B^n C^n = E]가 성립한다고 가정하면

[eqn: n = k+1] 일 때

[eqn: A^n+1 B^n+1 C^n+1]

[eqn: = A^n A B^n B C^n C]

[eqn: = A^n B^n AB C^n C] ([eqn: BECAUSE]ㄴ)

[eqn: = A^n B^n C^n ABC]([eqn: BECAUSE][eqn: (AB)C = C(AB) = E])

[eqn: = E]

따라서 [eqn: n = k+1]일 때도 성립하므로 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: A^n B^n C^n = E] 이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ 이다.

ꂼ ⑤

11. 무한급수

[eqn: SUM from n=1 to inf ( a_n - 3n over n+1 )], [eqn: sum from n=1 to inf (a_n + b_n )]

이 수렴하므로

[eqn: lim _{ n->inf} ( a_n - 3n over n+1 ) = lim _{ n->inf} (a_n - 3 )=0]

[eqn: therefore] [eqn: lim _{ n->inf} { } a_n = 3]

[eqn: lim _{ n->inf} (a_n + b_n ) = 3+ lim _{ n->inf} b_n = 0]

[eqn: therefore] [eqn: lim _{ n->inf} b_n = -3]

[eqn: therefore] [eqn: lim _{ n->inf} {}3-b_n over {a_n} = 3-(-3) over 3 = 2]

ꂼ ②

12. [eqn: ANGLEA_n A_n-1 B_n = pi over 4] 이므로

[eqn: bar{A _{n} A _{n+1}} = {sqrt {2}} over {2} bar{A _{n-1} A _{n}}]

따라서 부채꼴 [eqn: A_n-1 A_n B_n]의 중심각의 크기를 [eqn: theta_n], 반지름의 길이를 [eqn: r_n]이라고 하면

[eqn: theta_n = pi over 4], [eqn: r_n = 4 ( root2 over 2 )^n-1]

[eqn: therefore] [eqn: l _{n} =r _{n} theta _{n} = {pi } over {4} TIMES 4( {sqrt {2}} over {2} ) ^{n-1}]

[eqn: = pi ( {sqrt {2}} over {2} ) ^{n-1}]

[eqn: therefore][eqn: sum _{n=1} ^{INF } l _{n} = {pi } over {1- {sqrt {2}} over {2}} = {2 pi } over {2- sqrt {2}}]

[eqn: = pi(2+root2 )]

ꂼ ②

13. 두 주사위의 눈의 수의 차가 3보다 크거나 같은 경우는 모두 12가지이므로 1번의 시행에서  A가 점수를 얻을 확률은 [eqn: { 24} over { 36} = { 2} over { 3}] 이고 B가 점수를 얻을 확률은 [eqn: { 1} over { 3}] 이다.

따라서  15회 시행에서 A가 얻는 점수의 합을 확률변수 [eqn: X]라고 하면 [eqn: X]는 이항분포 [eqn: B ``LEFT ( ` 15, ` { 2} over {3 } RIGHT )]를 따른다. [eqn: THEREFORE```E(X)=15 TIMES { 2} over {3 } =10]

한편 15회 시행에서 B가 얻는 점수의 합을

확률변수 [eqn: Y]라고 하면 [eqn: Y]는 이항분포 [eqn: B ``LEFT ( ` 15, ` {1} over {3 } RIGHT )]를 따르므로  [eqn: `E(Y)=15 TIMES { 1} over {3 } =5]

따라서 두 기댓값의 차는 5이다.

ꂼ ③

14. 확률 [eqn: rm P it ` LEFT ( a <= `X <= a+ {1} over {2} RIGHT )]의 값이 최대가 되려면  구간 [eqn: a <= `x <= a+ { 1} over { 2}] 안에 1이 포함되어있어야 하므로 [eqn: { 1} over { 2} <a<1]인 경우를 생각한다.

[eqn: { 1} over { 2} <a<1]일 때  [eqn: 1<a+ {1} over {2} < {3} over {2}] 이므로

[eqn: rm P it ` LEFT ( a <= `X <= a+ {1} over {2} RIGHT ) = LEFT ( {1} over {2} - {a ^{2}} over {2} RIGHT ) + {1} over {2} - LEFT ( {3-2a} over {2} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: =-a ^{2} + {3} over {2} a- {1} over {8}]

[eqn: =- LEFT ( a- {3} over {4} RIGHT ) ^{2} + {7} over {16}]

따라서 [eqn: a= {3} over {4}]일 때 확률 [eqn: rm P it ` LEFT ( a <= `X <= a+ {1} over {2} RIGHT )]의 값이 최대이다

ꂼ ④

15. 선분 [eqn: rm AC]가 [eqn: y]축에 평행하므로

두 점 [eqn: rmA], [eqn: rm C]의 좌표를 각각

[eqn: rm A it (t,```log _{2} 4t),```` rm C it (t,```log _{2} t)] ([eqn: t>1`])라고 하면

[eqn: bar{rm AC it} =log _{2} 4t-log _{2} t=log _{2} {4t} over {t} =2]

선분 [eqn: rmAC]의 중점을 [eqn: rm M]이라 하면 삼각형 [eqn: rmABC]

가 정삼각형이므로

[eqn: rm bar{BM} it = {sqrt {3}} over {2} TIMES 2= sqrt {3}]

따라서 점 [eqn: rmB]의 좌표는

[eqn: rm B it (`t- sqrt {3} ,``log _{2} 4(t- sqrt {3} `)] 이고

[eqn: rm bar{AB} it = sqrt {(t- sqrt {3} -t) ^{2} + LEFT { log _{2} 4(t- sqrt {3} )-log _{2} 4t RIGHT } ^{2}}]

[eqn: = sqrt {3+ LEFT { log _{2} {(t- sqrt {3} )} over {t} RIGHT } ^{2}} =2]

이므로  [eqn: log _{2} {(t- sqrt {3} )} over {t} =±1]이다.

그런데 [eqn: t>1`]이므로 [eqn: {t- sqrt {3}} over {t} <1]

따라서 [eqn: log _{2} {(t- sqrt {3} )} over {t} =-1] 이고

[eqn: {(t- sqrt {3} )} over {t} = {1} over {2} ,````2(t- sqrt {3} )=t]

[eqn: THEREFORE ```t=2 sqrt {3}]

이 때 점 [eqn: rmB]의 좌표는 [eqn: rm B it (` sqrt {3} ,``log _{2} 4 sqrt {3} `)]이므로

[eqn: p= sqrt {3} ,````q=log _{2} 4 sqrt {3}]

[eqn: THEREFORE ```p ^{2} TIMES 2 ^{q} =( sqrt {3} ) ^{2} TIMES 2 ^{log _{2} 4 sqrt {3}}]

[eqn: =3 TIMES 4 sqrt {3} =12 sqrt {3}]

ꂼ ③

16.[eqn: logx=- {4} over {5}]이므로

[eqn: logx ^{2} =- {8} over {5} =-2+0.4]

이고 [eqn: log2<0.4<log3] 이므로

따라서 [eqn: x ^{2}]은 소수점 아래 2번째 자리에서

처음으로 0이 아닌 숫자 2가 나타난다.

[eqn: THEREFORE ``a+b=2+2=4]

ꂼ ②

17. [eqn: a _{n} =n ^{2} + sum _{k=1} ^{n-1} (2k+1)a _{k}] 에서

[eqn: a _{n-1} =(n-1) ^{2} + sum _{k=1} ^{n-2} (2k+1)a _{k}] 이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{n-2} (2k+1)a _{k} =a _{n-1} -(n-1) ^{2}]

따라서

[eqn: a _{n} =n ^{2} + sum _{k=1} ^{n-2} (2k+1)a _{k} +(2n-1)a _{n-1}]

[eqn: =n ^{2} +a _{n-1} -(n-1) ^{2} +(2n-1)a _{n-1}]

[eqn: THEREFORE ```f(n)=(n-1) ^{2}]

또 [eqn: a _{n} +1=2n(a _{n-1} +1)]

[eqn: =2n BULLET 2(n-1)(a _{n-2} +1)]

[eqn: VDOTS]

[eqn: =n(n-1) CDOTS 2 BULLET1 BULLET2^n-2 (a_2 +1)]

이므로  [eqn: g(n)=2^n-2] 이다.

[eqn: THEREFORE ```f(9) TIMES g(9)=2 ^{6} TIMES 2 ^{7} =2 ^{13}]

ꂼ ①

18. 등차수열 [eqn: a_n]의 첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d]라     고 하면

[eqn: a _{3} =a+2d=5,``````a _{6} -a _{4} =2d=4]

[eqn: THEREFORE ```a=1,```d=2]

[eqn: THEREFORE ```a _{10} =a+9d=1+18=19]

ꂼ 19

19. [eqn: `_n P_3 =12 TIMES `_n C_2] 에서

[eqn: n(n-1)(n-2) = 12 times n(n-1) over 2]

[eqn: n-2 = 6]

[eqn: therefore] [eqn: n = 8]

ꂼ 8

20. [eqn: 2^x - 8 =0] 에서 [eqn: x=3]

[eqn: 3^2x - 9 = 9^x - 9=0] 에서 [eqn: x=1]

[eqn: therefore] [eqn: alpha^2 + beta^2 = 3^2 + 1^2 = 10]

ꂼ 10

21. [eqn: x=b], [eqn: y= 9]가 연립방정식을 만족하므로

[eqn: pmatrix{1&-2#a&2} pmatrix{b#9} = pmatrix{0#0}], [eqn: pmatrix{b-18 # ab + 18} = pmatrix{0#0}]

즉, [eqn: b-18=0], [eqn: ab+18=0] 에서

[eqn: a=-1], [eqn: b=18]

[eqn: therefore] [eqn: a+b = 17]

ꂼ 17

22. 남아 있는 4개의 좌석에 4명의 승객이 앉는 방법의 수는

[eqn: 4! = 24]

남자 승객 2명이 A구역에 배정되는 방법의 수는

[eqn: 2! = 2]

나머지 여자 승객 2명이 B, C 구역에 배정되는 방법의 수는

[eqn: 2! = 2]

[eqn: THEREFORE] [eqn: p = 2+2 over 24 = 1 over 6]

[eqn: therefore] [eqn: 120p = 20]

ꂼ 20

23. [eqn: a_n+1 - a_n]

[eqn: = (-1)^n 2n+1 over {n(n+1)}]

[eqn: = (-1)^n ( 2n+1 over n - 2n+1 over n+1 )]

[eqn: = (-1)^n ( 2+ 1 over n - 2 + 1 over n+1 )]

[eqn: = (-1)^n ( 1 over n + 1 over n+1 )]

즉, [eqn: a_n+1 - a_n = (-1)^n ( 1 over n + 1 over n+1 )]이므로

[eqn: a_20 = 2 + sum from k=1 to 19 (-1)^k ( 1 over k + 1 over k+1 )]

[eqn: = 2 + left{ -( 1 + 1 over 2 ) + ( 1 over 2 + 1 over 3 ) - CDOTS]

[eqn: - ( 1 over 19 + 1 over 20 ) right}]

[eqn: = 2 +( -1 - 1 over 20 ) = 1 - 1 over 20 = 19 over 20]

[eqn: therefore] [eqn: p+q = 39]

ꂼ 39

24. 카드에 붙어 있는 스티커의 수를 3으로 나눈 나머지를 [eqn: (a, b, c)]로 나타내기로 하자.

카드에 붙어 있는 스티커의 수를 3으로 나눈 나머지가 각각 (0, 1, 2) 이면 두 번의 시행으로는 (0, 0, 0) 또는 (1, 1, 1) 또는 (2, 2, 2)를 만들 수가 없다.

또한, 세 번의 시행으로 나올 수 있는 모든 경우의 수는

[eqn: 3 times 3 times 3 = 27]

이고 세 번의 시행에서 (0, 0, 0)이 되는 경우는

(0,1,2)→(0,2,2)→(0,2,3)→(0,3,3)

(0,1,2)→(0,2,2)→(0,3,2)→(0,3,3)

(0,1,2)→(0,1,3)→(0,2,3)→(0,3,3)

의 3가지이고 (1, 1, 1) 또는 (2, 2, 2)가 될 수 있는 경우도 각각 3가지씩이다.

따라서 3번째 시행에서 사건 A가 일어나지 않을 확률은

[eqn: P(A^C ) =1- 3+3+3 OVER 27 = 2 OVER 3]

또한, 3번의 시행 후에는 모든 카드에 붙어 있는 스티커의 수를 3으로 나눈 나머지가 (0, 1, 2) 또는 (0, 0, 0) 또는 (1, 1, 1) 또는 (2, 2, 2) 이므로 4번째 , 5번째 시행에서는 사건 A가 일어나지 않고 6번째 시행에서 사건 A가 일어날 확률은 같은 방법으로 생각하면 [eqn: 1 OVER 3]이다. 따라서 구하고자 하는 확률은

[eqn: 1 TIMES 1 TIMES 2 OVER 3 TIMES 1 TIMES 1 TIMES 1 OVER 3 = 2 OVER 9]

[eqn: THEREFORE][eqn: p+q = 11]

ꂼ 11

25. 그림에서 주어진 이후에 숫자 1이 나열된 행은

[eqn: 1+2+4= 7]

[eqn: 1+2+4+8 = 15]

[eqn: 1+2+4+8+16 = 31]

[eqn: 1+2+4+8+16+32 = 63]

⋯

에서 8행, 16행, 32행, 64행⋯이다.

따라서 32행까지 나열된 원 안에 써 넣은 모든 수의 합은

[eqn: 1+2+4+8+16+32 = 63]

ꂼ 63

26. [eqn: `^3 rootn^m = n^{m over 3}]에서 [eqn: n^{m over 3}]이 자연수가 되는 경우는

[eqn: n = 1] 인 경우에 [eqn: m = 1, 2, 3]

[eqn: 2<= n<=7]인 경우에 [eqn: m = 3]

[eqn: n = 8]인 경우에 [eqn: m = 1, 2, 3]

따라서 순서쌍 [eqn: (m, n)]의 개수는

[eqn: 3+6+3 = 12]

ꂼ ④

27. 5일 중 3일을 선택하여 요가를 하는 방법의 수는

[eqn: `_5 C_3 = `_5 C_2 = 5TIMES4 OVER 2 = 10]

나머지 2일 중 하루를 수영, 줄넘기 중 한가지를 하고 남은 하루는 농구, 축구 중 한가지를 하는 방법의 수는

[eqn: 2 TIMES 2 TIMES 2 = 8]

따라서 구하고자 하는 방법의 수는

[eqn: 10TIMES 8 = 80]

ꂼ ④

28. [eqn: p_1 = 22 over 50], [eqn: p_2 = 24 over 250] 이므로

[eqn: p_1 over p_2 = {22 over 50} over {24 over 250} = 55 over 12]

ꂼ ③

29. [eqn: E(X) = -2 TIMES 1OVER 4 + 1 TIMES 1 OVER 2 = 0]

[eqn: V(X)＝E(X^2 ) - LEFT{ E(X) right}^2]

[eqn: = (-2)^2 times 1 over 4 + 1^2 times 1 over 2 = 3 over 2]

[eqn: therefore] [eqn: sigma(X ) = ROOT{3 OVER 2} = ROOT6 OVER 2]

[eqn: therefore] [eqn: sigma ( barX ) = sigma(X) over {root16} = root6 over 8]

ꂼ ①

30. [eqn: {pmatrix{2&1#0&-4}}^2 = pmatrix{2&1#0&-4}pmatrix{2&1#0&-4} = pmatrix{2^2 &2-2^2#0&2^4}]

[eqn: {pmatrix{2&1#0&-4}}^3 = pmatrix{2^2 &2-2^2#0&2^4}pmatrix{2&1#0&-4} = pmatrix{2^3 & 2^2 -2^3 + 2^4#0&-2^6}]

[eqn: {pmatrix{2&1#0&-4}}^4 = pmatrix{2^3 & 2^2 -2^3 + 2^4#0&-2^6}pmatrix{2&1#0&-4}]

[eqn: = pmatrix{2^4 & 2^3 -2^4 + 2^5 - 2^6# 0 &2^8}]

따라서 (1, 2)의 성분이

[eqn: 2^4 - 2^5 + 2^6 - 2^7 + 2^8]

이 되는 행렬은 [eqn: {pmatrix{2&1#0&-4}}^5] 이고 그 때의 (1, 1)의 성분은 [eqn: 2^5 = 32] 이다.

[eqn: therefore] [eqn: a+n = 32+5 = 37]

ꂼ 37