2011학년도 대수능 9월 모의평가 (수리영역-가형)  정답 및 풀이

1.

[eqn: log _{3} ``6+log _{3} ``2-log _{3} ``4]

[eqn: =log _{3} ` {6 TIMES 2} over {4}]

[eqn: =log _{3} `3][eqn: =1]

ꂼ ①

2.

점 [eqn: (a,`b,`c)`]는 직선 [eqn: x-1 over 2 = y+1 over 3 = z-2`] 위의 점이므로

[eqn: a-1 over 2 = b+1 over 3 = c-2`]  [eqn: cdots㉠`]

점 [eqn: (a,`b,`c)`]는 평면 [eqn: z=4`] 위의 점이므로

[eqn: c = 4`]

㉠에서 [eqn: a-1 over 2 = b+1 over 3 = 2`]

∴ [eqn: a = 4+1 = 5`], [eqn: b= 6-1 = 5`]

∴ [eqn: a+b+c = 5+5+4 = 14`]

ꂼ ④

3.

[eqn: AX-BX=(A-B)X]이므로

[eqn: {pmatrix{``3``&``1``#``5``&``2``}} X= {pmatrix{``3``&``1``#``1``&``0``}} - {pmatrix{``2``&``~~1``#``1``&``-1``}}]

[eqn: = {pmatrix{``1``&``0``#``0``&``1``}}][eqn: = E]

∴ [eqn: X= {pmatrix{``3``&``1``#``5``&``2``}} ^{-1}][eqn: = {pmatrix{``~~2``&``-1``#``-5``&``~~3``}}]

ꂼ ①

4.

접선 [eqn: y= mx+n`]이 점 [eqn: (-1,`0)`]을 지나므로

[eqn: 0= -m+n`]에서 [eqn: m=n`]

직선 [eqn: y=mx+m`]과 쌍곡선 [eqn: x^2 - y^2 = 2`]가 한 점에서 만나므로

방정식 [eqn: x^2 - (mx+m)^2 =2`]

즉, [eqn: (1- m^2 ) x^2 - 2m^2 x - m^2 -2=0`]

의 판별식을 [eqn: D`]라 하면

[eqn: D over 4 = m^4 + (1-m^2 )(m^2 +2)` =0`]

[eqn: m^4 + m^2 +2 - m^4 -2m^2 =0`]

[eqn: m^2 = 2`]

∴ [eqn: m^2 + n^2 = m^2 + m^2 = 2+2 = 4`]

ꂼ ④

5.

[eqn: lim_x->inf``f(x) over x^3 = 0`]이므로

[eqn: f(x)`]의 차수를 [eqn: n`]이라 하면 [eqn: n<=2`]이다.

[eqn: lim_x->0`f(x) over x = 5`]이고, [eqn: x->0`]일 때 (분자)[eqn: ->0`]이므로 (분모)[eqn: ->0`]이어야 한다.

따라서, [eqn: lim_x->0`f(x) = f(0) =0`]이므로

[eqn: f(x) = ax^2 + bx`]로 놓을 수 있다.

[eqn: lim_x->0 f(x) over x = lim_x->0`{ax^2 + bx} over x]

[eqn: = lim_x->0` (ax+b)`]

[eqn: =b`]

이므로 [eqn: b= 5`]

방정식 [eqn: ax^2 + 5x = x`]의 한 근이 [eqn: x=-2`]이므로

[eqn: 4a-10 = -2`]에서

[eqn: 4a = 8`]

∴ [eqn: a=2`]

따라서, [eqn: f(x) = 2x^2 +5x`]이므로

[eqn: f(1) = 7`]

ꂼ ②

6.

[eqn: S=NQ ^{{1} over {2}} H ^{- {3} over {4}}]에서

[eqn: Q= 24, ``H= 5`]일 때,

[eqn: S_1 = N times 24^{ 1over2 } times 5^{- 3over 4}]

[eqn: Q= 12, ``H= 10]일 때,

[eqn: S _{2} =N TIMES 12 ^{{1} over {2}} TIMES 10 ^{- {3} over {4}}]

∴ [eqn: S_1 overS_2 ={ N times 24^{ 1over2 } times 5^{- 3over 4} } over {N times 12^{ 1over2 } times 10^{- 3over 4} }]

[eqn: = {N TIMES 2 ^{{1} over {2}} TIMES 12 ^{{1} over {2}} TIMES 10 ^{- {3} over {4}}} over {N TIMES 12 ^{{1} over {2}} TIMES 2 ^{- {3} over {4}} TIMES 5 ^{- {3} over {4}}}]

[eqn: = 2 ^{1over2} over 2^{- 3over 4}][eqn: = 2^{ 1over2 - left( - 3over 4 right) } }]

[eqn: = 2^{ 5over 4 }]

ꂼ ⑤

7. 6개 지역을 다음과 같이 구분하자.

①

②

③

④

⑤

⑥

서로 이웃한 2개 지역은

(①,②)　(①,⑤)　(①,⑥)

(②,③)　(②,⑥)

(③,④)　(③,⑥)

(④,⑤)　(④,⑥)

(⑤,⑥)

의 모두 10개이다.

또한 서로 이웃한 2개 지역을 조사하는 조사원을 정하는 경우의 수는 5개이고 나머지 4개 지역을 나머지 4명의 조사원이 조사하는 경우의 수는 [eqn: 4!] 개 이므로 구하고자 하는 경우의 수는

[eqn: 10 times 5 times 4! = 1200]

ꂼ ⑤

8.

(ⅰ) [eqn: f(x)>=0`]일 때, 주어진 방정식은

[eqn: f(x)-2 = root{ 4- f(x)}`] [eqn: cdots㉠`]

양변을 제곱하면

[eqn: left{ f(x)`right}^2 - 4 f(x)+4 = 4- f(x)`]

[eqn: left{f(x)`right}^2 -3`f(x) =0`]

[eqn: f(x) = 0`] 또는 [eqn: f(x) = 3`]

[eqn: f(x) =0`]이면 ㉠에서

[eqn: -2 = 2`]가 되어 모순

∴ [eqn: f(x) = 3`]

곡선 [eqn: y=f(x)`]와 직선 [eqn: y=3`]은 서로 다른 두 점에서 만나고 교점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: alpha`.``beta`]라 하면 방정식 [eqn: f(x) =3`]의 실근은 [eqn: x= alpha`] 또는 [eqn: x= beta`]이다.

(ⅱ) [eqn: f(x)<0`]일 때, 주어진 방정식은

[eqn: -f(x) -2 = root{ 4- f(x)`}`] [eqn: cdots㉠`]

양변을 제곱하면

[eqn: left{ f(x)`right}^2 + 4 f(x) + 4 = 4- f(x)`]

[eqn: left{ f(x)`right}^2 + 5f(x) =0`]

[eqn: f(x) <0`]이므로 [eqn: f(x) = -5`]이고, 이는 방정식 ㉠을 만족한다.

곡선 [eqn: y=f(x)`]와 직선 [eqn: y=-5`]는 점 [eqn: (0,`-5)`]에서 접하므로

방정식 [eqn: f(x)=-5`]의 실근은 [eqn: x= 0`]이다.

(ⅰ)(ⅱ)에서 주어진 방정식의 실근은

[eqn: x= alpha ,``beta ,``0`]의 3개이다.

ꂼ ③

9. 원 [eqn: x^2 + y^2 = n^2]에 접하고 기울기가 [eqn: n]이고 [eqn: y]절편이 양수인 직선의 방정식은

[eqn: y=nx+n sqrt {n ^{2} +1}]

따라서

[eqn: P _{n} (- sqrt {n ^{2} +1} ,0)], [eqn: Q _{n} (0,n sqrt {n ^{2} +1} )]

이므로

[eqn: l _{n} = bar{P _{n} Q _{n}}]

[eqn: = sqrt {(n ^{2} +1)+n ^{2} (n ^{2} +1)}]

[eqn: = sqrt {n ^{4} +2n ^{2} +1}]

[eqn: = sqrt {(n ^{2} +1) ^{2}} =n ^{2} +1]

[eqn: therefore] [eqn: lim _{ n->inf} { l_n} over 2n^2][eqn: = lim _{n -> INF } {} {n ^{2} +1} over {2n ^{2}} = {1} over {2}]

ꂼ ④

10. ㄱ. (반례) [eqn: A= {pmatrix{1&0#0&1}}], [eqn: B= {pmatrix{-1&0#0&-1}}]

[eqn: C= {pmatrix{-1&0#0&-1}}]라고 하면

[eqn: A= E], [eqn: ABC=E], [eqn: ACB = E] 이지만 [eqn: B NOT=E] 이다. (거짓)

ㄴ. [eqn: ABC = E] 에서

[eqn: C = (AB)^-1 = B^-1 A^-1]

[eqn: ACB = AB^-1 A^-1 B = E]

[eqn: B^-1 A^-1 = A^-1 B^-1]

[eqn: (B^-1 A^-1 )^-1 = (A^-1 B^-1 )^-1]

[eqn: AB = BA] (참)

ㄷ. (i) [eqn: n=1]일 때 [eqn: ABC = E] 이므로 성립한다.

(ii) [eqn: n = k] 일 때 [eqn: A^n B^n C^n = E]가 성립한다고 가정하면

[eqn: n = k+1] 일 때

[eqn: A^n+1 B^n+1 C^n+1]

[eqn: = A^n A B^n B C^n C]

[eqn: = A^n B^n AB C^n C] ([eqn: BECAUSE]ㄴ)

[eqn: = A^n B^n C^n ABC]([eqn: BECAUSE][eqn: (AB)C = C(AB) = E])

[eqn: = E]

따라서 [eqn: n = k+1]일 때도 성립하므로 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: A^n B^n C^n = E] 이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ 이다.

ꂼ ⑤

11.

ㄱ. (반례)

[eqn: x`]

[eqn: y`]

[eqn: rmO]

[eqn: 1]

[eqn: x_2]

[eqn: x_4]

[eqn: x_2m-2]

[eqn: cdots]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: cdots]

[그림1]

[eqn: x`]

[eqn: y`]

[eqn: rmO]

[eqn: 1]

[eqn: x_2]

[eqn: x_4]

[eqn: x_n-1]

[eqn: cdots]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: cdots]

[그림2]

[eqn: x_1]

[eqn: x_3]

[eqn: x_2k+2 - x_2k = 2 over 2m = 1over m`]이므로

[eqn: sum_k=0^m-1 `{f(x_2k )} over m`]은 [그림1]의 직사각형들의 넓이의 합을 나타낸다.

[eqn: x_k+1 - x_k = 1over n`]이므로

[eqn: sum_k=0^n-1`{f(x_k )} over n`]은 [그림2]의 직사각형들의 넓이의 합을 나타낸다.

따라서, [eqn: sum_k=0^m-1 { f(x_2k )} over m `> `sum_k=0^n-1 {f(x_k )} over n`]이다. (거짓)

ㄴ. [eqn: x_k = k over n`]이므로

[eqn: lim_n->inf` sum_k=1^n 1over n left{ { f(x_k-1 )+f(x_k )} over 2 right}`]

[eqn: = 1over2 `left{ lim_n->inf`` sum_k=1^n f(x_k-1 ) 1over n + lim_n->inf`sum_k=1^n`f(x_k ) 1over n``right}`]

[eqn: = 1over2 `left{ lim_n->inf`` sum_k=1^n f left( k-1 over n right) 1over n + lim_n->inf`sum_k=1^n`f left( k over n right) 1over n``right}`]

[eqn: = 1over2 `left{ lim_n->inf`` sum_k=0^n-1 f left( k over n right) 1over n + lim_n->inf`sum_k=1^n`f left( k over n right) 1over n``right}`]

[eqn: = 1over 2 left{ `int_0^1`f(x)`dx + int_0^1 `f(x)`dx` right}`]

[eqn: = int_0^1`f(x)`dx`] (참)

ㄷ. (반례)

ㄱ의 [그림2]에서

[eqn: int_0^1`f(x)`dx`]는 곡선 [eqn: y=f(x)`]와 [eqn: x`]축 및 두 직선 [eqn: x=0 ,``x=1`]로 둘러싸인 부분의 넓이이고, [eqn: sum_k=0^n-1`{f(x_k )} over n`]은 직사각형들의 넓이의 합을 나타내므로

[eqn: sum_k=0^n-1`{f(x_k )} over n`>` int_0^1`f(x)`dx`] (거짓)

따라서, 보기 중 옳은 것은 ㄴ이다.

ꂼ ②

12. [eqn: ANGLEA_n A_n-1 B_n = pi over 4] 이므로

[eqn: bar{A _{n} A _{n+1}} = {sqrt {2}} over {2} bar{A _{n-1} A _{n}}]

따라서 부채꼴 [eqn: A_n-1 A_n B_n]의 중심각의 크기를 [eqn: theta_n], 반지름의 길이를 [eqn: r_n]이라고 하면

[eqn: theta_n = pi over 4], [eqn: r_n = 4 ( root2 over 2 )^n-1]

[eqn: therefore] [eqn: l _{n} =r _{n} theta _{n} = {pi } over {4} TIMES 4( {sqrt {2}} over {2} ) ^{n-1}]

[eqn: = pi ( {sqrt {2}} over {2} ) ^{n-1}]

[eqn: therefore][eqn: sum _{n=1} ^{INF } l _{n} = {pi } over {1- {sqrt {2}} over {2}} = {2 pi } over {2- sqrt {2}}]

[eqn: = pi(2+root2 )]

ꂼ ②

13. 두 주사위의 눈의 수의 차가 3보다 크거나 같은 경우는 모두 12가지이므로 1번의 시행에서  A가 점수를 얻을 확률은 [eqn: { 24} over { 36} = { 2} over { 3}] 이고 B가 점수를 얻을 확률은 [eqn: { 1} over { 3}] 이다.

따라서  15회 시행에서 A가 얻는 점수의 합을 확률변수 [eqn: X]라고 하면 [eqn: X]는 이항분포 [eqn: B ``LEFT ( ` 15, ` { 2} over {3 } RIGHT )]를 따른다.

[eqn: THEREFORE```E(X)=15 TIMES { 2} over {3 } =10]

한편 15회 시행에서 B가 얻는 점수의 합을

확률변수 [eqn: Y]라고 하면 [eqn: Y]는 이항분포 [eqn: B ``LEFT ( ` 15, ` {1} over {3 } RIGHT )]를 따르므로

[eqn: `E(Y)=15 TIMES { 1} over {3 } =5]

따라서 두 기댓값의 차는 5이다.

ꂼ ③

14.

ㄱ. [eqn: rm |` vec CB - vec CP`|` = |`vec PB`|` = bar PB`]이므로

선분 [eqn: rm PB`]의 길이는 점 [eqn: rmP]가 점 [eqn: rmA]와 일치할 때 최소이다.

따라서, 최솟값은 [eqn: rm bar AB = 1`]이다. (참)

ㄴ.

[eqn: root3]

[eqn: 1]

[eqn: 30°]

[eqn: rmP]

[eqn: rmE]

[eqn: rmD]

[eqn: rmC]

[eqn: rmB]

[eqn: rmA]

•

[eqn: rm △ACD]에서 [eqn: rm bar AD = root3`], [eqn: rm bar DC = 1`]이므로

[eqn: rm ∠ CAD = 30°`]

[eqn: rm △ EAD`]가 정삼각형이므로

[eqn: rm ∠ EAD = 60°`]

∴ [eqn: rm ∠ EAC = ∠ PAC = 90 °`]

∴ [eqn: rm vec CA ⊥ vec AP`]

∴ [eqn: rm vec CA `•`vec CP = vec CA `•` ( vec CA + vec AP `)`]

[eqn: rm = vec CA `•` vec CA + vec CA `•` vec AP]

[eqn: = rm | vec CA`|`^2 + 0`]

[eqn: = 2^2 = 4`] (참)

ㄷ. 점 [eqn: rm A]를 원점, 직선 [eqn: rm AD]를 [eqn: x`]축으로 하는 좌표평면에 주어진 도형을 나타내면 그림과 같다.

[eqn: rmP]

[eqn: rmE]

[eqn: rmD]

[eqn: rmC]

[eqn: rmB]

[eqn: rmA]

•

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rmF]

[eqn: rmG]

[eqn: rm bar AD = bar DF`]인 [eqn: x`]축 위의 점을 [eqn: rm F`]라 하고

직사각형 [eqn: rm DCGF`]를 그리면

[eqn: rm vec DA + vec CP = vec CB + vec CP = vec GC + vec CP`= vec GP`]

이므로 [eqn: rm |`vec GP`|`]의 최솟값은

점 [eqn: rm G( 2root 3 , `-1)`]에서 직선 [eqn: rm AE`]에 이르는 거리와 같다.

직선 [eqn: rm AE`]의 방정식은

[eqn: y= root3 x`] 즉, [eqn: root3 x - y=0`]이므로

구하는 최솟값은

[eqn: { |` root3 cdot 2 root3 - (-1) `|`} over root{ ( root3 )^2 + (-1)^2 } = 7 over 2`] (참)

따라서, 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

ꂼ ⑤

15. 선분 [eqn: rm AC]가 [eqn: y]축에 평행하므로

두 점 [eqn: rmA], [eqn: rm C]의 좌표를 각각

[eqn: rm A it (t,```log _{2} 4t),```` rm C it (t,```log _{2} t)] ([eqn: t>1`])라고 하면

[eqn: bar{rm AC it} =log _{2} 4t-log _{2} t=log _{2} {4t} over {t} =2]

선분 [eqn: rmAC]의 중점을 [eqn: rm M]이라 하면 삼각형 [eqn: rmABC]

가 정삼각형이므로

[eqn: rm bar{BM} it = {sqrt {3}} over {2} TIMES 2= sqrt {3}]

따라서 점 [eqn: rmB]의 좌표는

[eqn: rm B it (`t- sqrt {3} ,``log _{2} 4(t- sqrt {3} `)] 이고

[eqn: rm bar{AB} it = sqrt {(t- sqrt {3} -t) ^{2} + LEFT { log _{2} 4(t- sqrt {3} )-log _{2} 4t RIGHT } ^{2}}]

[eqn: = sqrt {3+ LEFT { log _{2} {(t- sqrt {3} )} over {t} RIGHT } ^{2}} =2]

이므로  [eqn: log _{2} {(t- sqrt {3} )} over {t} =±1]이다.

그런데 [eqn: t>1`]이므로 [eqn: {t- sqrt {3}} over {t} <1]

따라서 [eqn: log _{2} {(t- sqrt {3} )} over {t} =-1] 이고

[eqn: {(t- sqrt {3} )} over {t} = {1} over {2} ,````2(t- sqrt {3} )=t]

[eqn: THEREFORE ```t=2 sqrt {3}]

이 때 점 [eqn: rmB]의 좌표는

[eqn: rm B it (` sqrt {3} ,``log _{2} 4 sqrt {3} `)]이므로

[eqn: p= sqrt {3} ,````q=log _{2} 4 sqrt {3}]

[eqn: THEREFORE ```p ^{2} TIMES 2 ^{q} =( sqrt {3} ) ^{2} TIMES 2 ^{log _{2} 4 sqrt {3}}]

[eqn: =3 TIMES 4 sqrt {3} =12 sqrt {3}]

ꂼ ③

16.

[eqn: f`'(x) = -12x^3 + 12(a-1)x^2 + 12ax`]

[eqn: = -12x left{ x^2 - (a-1)x - a`right}`]

[eqn: = -12x (x+1)(x-a)`]

[eqn: f`'(x) =0`]에서 [eqn: x= -1,``0,``a`]

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: -1]	[eqn: cdots]	[eqn: 0]	[eqn: cdots]	[eqn: a]	[eqn: cdots]
[eqn: f`'(x)]	+	0	-	0	+	0	-
[eqn: f(x)]	↗		↘		↗		↘

함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: x`]

[eqn: y`]

[eqn: rmO]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: -1]

[eqn: a]

[eqn: f(-1) = 2a+1`], [eqn: f(a) = a^4 +2a^3`]이고,

[eqn: f(a)- f(-1) =][eqn: a^4 + 2a^3 -2a-1`]

[eqn: = (a+1)^3 (a-1)`]

이므로

[eqn: 0<a<1`]이면 [eqn: f(a)`<`f(-1)`]

[eqn: a>=1`]이면 [eqn: f(a)`>= f(-1)`]이다.

(ⅰ) [eqn: 0<a<1`]인 경우

[eqn: t< -1`]이면

[eqn: g(t) = f(t) = -3t^4 + 4(a-1)t^3 + 6at^2`]

[eqn: t>= -1`]이면

[eqn: g(t) = f(-1) = 2a+1`]

따라서,

[eqn: g`'(t) = cases{ -12t^3 + 12(a-1)t^2 +12at &(t < -1)#~~~0&(t> -1)}`]

이고, [eqn: lim_t->-1-0 g`'(t) = lim_t->-1+0 g`'(t)`=0`]

이므로 [eqn: g(t)`]는 [eqn: t= -1`]에서 미분가능하다.

그러므로 [eqn: 0<a<1`]일 때 함수 [eqn: g(t)`]는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.

(ⅱ) [eqn: a>=1`]인 경우

[eqn: f(-1) = f( alpha )] ([eqn: 0< alpha <= a`])이라 하자.

[eqn: t< -1`]이면

[eqn: g(t) = f(t) = -3t^4 + 4(a-1)t^3 + 6at^2`]

[eqn: -1<= t< alpha`]이면

[eqn: g(t) = f(-1) = 2a+1`]

[eqn: alpha` <= t< a`]이면

[eqn: g(t) = f(t) = -3t^4 + 4(a-1)t^3 + 6at^2`]

[eqn: t>=a`]이면

[eqn: g(t) = f(a) = a^4 + 2a^3`]

따라서,

[eqn: g`'(t) = cases{ -12t^3 + 12(a-1)t^2 +12at&(t< -1)#~~~~0&(-1<t<alpha)#-12t^3 + 12(a-1)t^2 +12at&(alpha<t<a)#~~~~0&(t>a)}]

[eqn: lim_t->-1-0 g`'(t) = lim_t->-1+0 g`'(t)`=0`]이므로

[eqn: g(t)`]는 [eqn: t= -1`]에서 미분가능하다.

[eqn: lim_t->a-0 g`'(t) = lim_t->a+0 g`'(t)`]이어야 하므로

[eqn: -12a^3 + 12(a-1)a^2 +12a^3 =0`]에서

[eqn: 12(a-1)a^2 =0`]  ∴ [eqn: a=1`]

[eqn: a=1`]이면 [eqn: f(x) = -3x^4 + 6x^2`]이므로

[eqn: f(-1) = f(1)`]  ∴ [eqn: alpha = a = 1`]

∴ [eqn: g`'(t) = cases{ -12t^3 + 12t &(t< -1)#~~~0&(-1<t<1)#-12t^3 +12t &(t>1)}`]

[eqn: g`'(-1) =0`], [eqn: g`'(1) = 0]이므로

[eqn: a=1`]일 때, [eqn: g(t)`]는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.

(ⅰ),(ⅱ)에서 함수 [eqn: g(t)`]가 수 전체의 집합에서 미분가능하기 위한 [eqn: a]의 값의 범위는 [eqn: 0<a<=1`]이므로

구하는 [eqn: a`]의 최댓값은 [eqn: 1`]이다.

ꂼ ①

17. [eqn: a _{n} =n ^{2} + sum _{k=1} ^{n-1} (2k+1)a _{k}] 에서

[eqn: a _{n-1} =(n-1) ^{2} + sum _{k=1} ^{n-2} (2k+1)a _{k}] 이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{n-2} (2k+1)a _{k} =a _{n-1} -(n-1) ^{2}]

따라서

[eqn: a _{n} =n ^{2} + sum _{k=1} ^{n-2} (2k+1)a _{k} +(2n-1)a _{n-1}]

[eqn: =n ^{2} +a _{n-1} -(n-1) ^{2} +(2n-1)a _{n-1}]

[eqn: THEREFORE ```f(n)=(n-1) ^{2}]

또 [eqn: a _{n} +1=2n(a _{n-1} +1)]

[eqn: =2n BULLET 2(n-1)(a _{n-2} +1)]

[eqn: VDOTS]

[eqn: =n(n-1) CDOTS 2 BULLET1 BULLET2^n-2 (a_2 +1)]

이므로  [eqn: g(n)=2^n-2] 이다.

[eqn: THEREFORE ```f(9) TIMES g(9)=2 ^{6} TIMES 2 ^{7} =2 ^{13}]

ꂼ ①

18.

[eqn: rm P(-3,``4,`5)`], [eqn: rm Q(3,``4,``5)`]이므로

선분 [eqn: rm PQ`]를 [eqn: 2``:``1`]로 내분하는 점의 좌표를 [eqn: (a,`b,`c)`]라 하면

[eqn: a = 6-3 over 2+1 = 1`]

[eqn: b= 8+4 over 2+1 = 4`]

[eqn: c = 10+5 over 2+1 = 5`]

∴ [eqn: a+b+c = 1+4+5 = 10`]

ꂼ [eqn: 10]

19.

[eqn: x-4 <= 20 over x-3`]

⇔ [eqn: x-4 - 20 over x-3 `<=0`]

⇔ [eqn: { (x-4)(x-3)-20} over x-3`<=0`]

⇔ [eqn: { x^2 -7x-8} over x-3`<=0`]

⇔ [eqn: {(x+1)(x-8)} over x-3 `<=0`]

⇔ [eqn: (x+1)(x-3)(x-8)<=0`], [eqn: x ne 3`]

따라서, 주어진 부등식의 해는

[eqn: x<= -1`] 또는 [eqn: 3<x<=8`]이므로

자연수 [eqn: x`]는 [eqn: 4,`5,`6,`7,`8`]의 [eqn: 5]개다.

ꂼ [eqn: 5`]

20.

[eqn: x`]

[eqn: y`]

[eqn: rmO]

[eqn: rmH]

[eqn: rmF`']

[eqn: rmF]

[eqn: rmR]

[eqn: rmQ]

[eqn: rmP]

[eqn: rmB]

[eqn: rmA]

[eqn: 5]

[eqn: -5]

[eqn: {rm bar PF' }= m`], [eqn: { rm bar PF } = n`]이라 하면

타원의 정의에 의해

[eqn: m+n = 10`] [eqn: cdots ㉠ `]

선분 [eqn: rm PQ]와 [eqn: x`]축의 교점을 [eqn: rm R`]라 하면

[eqn: rm bar PR = 1over2 bar PQ = root10`]

직각삼각형 [eqn: rm PF`' R`]에서

[eqn: {rm bar {F`'R}} = root{ m^2 -10}`]

점 [eqn: rm F`'`]을 지나고 [eqn: x]축에 수직인 직선을 [eqn: l`]이라 하면 [eqn: l`]은 포물선의 준선이고,

점 [eqn: rm P`]에서 [eqn: l`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H`]라 하면 포물선의 정의에 의해

[eqn: rm bar PH = bar PF`]

이다.

[eqn: { rm bar PF = bar PH = bar F'R } = root{ m^2 -10}`]이므로

[eqn: n = root{ m^2 -10}`]에서

[eqn: n^2 = m^2 -10`] [eqn: cdots㉡`]

㉠에서 [eqn: n= 10-m`]이므로 ㉡에 대입하면

[eqn: (10-m)^2 = m^2 -10`]

[eqn: m^2 -20m +100 = m^2 -10`]

[eqn: 20m = 110`], [eqn: m= 11 over 2`]

[eqn: n = 10-m = 9 over 2`]

∴ [eqn: mn = 11over 2 times 9 over 2 = 99 over 4`]

∴ [eqn: p+q = 4+99 = 103`]

ꂼ [eqn: 103`]

21.

[eqn: f'(x) = 3x^2 -2(a+2)x +a`]이므로

점 [eqn: (t,``f(t))`]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y- left{ t^3 - (a+2)t^2 + at right} `]

[eqn: = left{ 3t^2 -2(a+2)t+a right} (x-t)`]

[eqn: x=0`]일 때 [eqn: y= g(t)`]이므로

[eqn: g(t)- left{ t^3 - (a+2)t^2 + at right} `]

[eqn: = left{ 3t^2 -2(a+2)t+a right} (-t)`]

∴ [eqn: g(t) = -2t^3 + (a+2)t^2`]

[eqn: g`'(t) = -6t^2 + 2(a+2) t`]이므로

이차함수 [eqn: g`'(t)`]가

[eqn: 0<t<5`]에서 [eqn: g`'(t)`>0`]이려면

[eqn: g`'(0)`>=0`], [eqn: g`'(5)>=0`]이어야 한다.

[eqn: g`'(0) = 0`]이고,

[eqn: g`'(5) = -150 + 10(a+2) >=0`]이므로

[eqn: a>= 13`]

따라서, 구하는 [eqn: a`]의 최솟값은 [eqn: 13`]이다.

ꂼ [eqn: 13`]

22.

[eqn: g`'(x) = f`'(x) = ax^2 -a`]이고,

[eqn: g(0) = a+1`]이므로

[eqn: g(x) = a over 3 x^3 -ax+a+1`]이다.

따라서, [eqn: y=g(x)`]의 그래프는 [eqn: y=f(x)`]의 그래프를 [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: 1`]만큼 평행이동한 것이므로 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여

[eqn: g(x)- f(x) = 1`]이다.

[eqn: f`'(x) = a(x+1)(x-1)=0`]에서

[eqn: x=-1,``1`]

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: -1]	[eqn: cdots]	[eqn: 1]	[eqn: cdots]
[eqn: f'(x)]	+	[eqn: 0]	-	[eqn: 0]	+
[eqn: f(x)]	↗	[eqn: 5over3 a]	↘	[eqn: a over 3]	↗

따라서, [eqn: -1<=x<=1`]에서 [eqn: f(x)>= a over 3 >0`]이다.

두 곡선 [eqn: y=f(x),``y=g(x)`]와 두 직선 [eqn: x=-1,``x=1`]로 둘러싸인 부분을 [eqn: x`]축 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 부피 [eqn: V`]는

[eqn: V= pi int_-1^1`[ left{ f(x)`right}^2 - left{g(x)`right}^2 `]``dx`]

[eqn: = pi int_-1^1 left{ f(x)-g(x) right} left{ f(x)+g(x) right}`dx`]

[eqn: = pi int_-1^1`left( 2over3 a x^3 -2ax+2a+1`right)`dx`]

[eqn: = 2pi `int_0^1` (2a+1)`dx`]

[eqn: = 2pi` left[ matrix{#} (2a+1)x`right]_0^1`]

[eqn: = 2(2a+1) pi`]

따라서, [eqn: 2(2a+1)pi = 50pi`]에서

[eqn: 2a+1 = 25`]

∴ [eqn: a = 12`]

ꂼ [eqn: 12`]

23. [eqn: a_n+1 - a_n]

[eqn: = (-1)^n 2n+1 over {n(n+1)}]

[eqn: = (-1)^n ( 2n+1 over n - 2n+1 over n+1 )]

[eqn: = (-1)^n ( 2+ 1 over n - 2 + 1 over n+1 )]

[eqn: = (-1)^n ( 1 over n + 1 over n+1 )]

즉, [eqn: a_n+1 - a_n = (-1)^n ( 1 over n + 1 over n+1 )]이므로

[eqn: a_20 = 2 + sum from k=1 to 19 (-1)^k ( 1 over k + 1 over k+1 )]

[eqn: = 2 + left{ -( 1 + 1 over 2 ) + ( 1 over 2 + 1 over 3 ) - CDOTS]

[eqn: - ( 1 over 19 + 1 over 20 ) right}]

[eqn: = 2 +( -1 - 1 over 20 ) = 1 - 1 over 20 = 19 over 20]

[eqn: therefore] [eqn: p+q = 39]

ꂼ 39

24. 카드에 붙어 있는 스티커의 수를 3으로 나눈 나머지를 [eqn: (a, b, c)]로 나타내기로 하자.

카드에 붙어 있는 스티커의 수를 3으로 나눈 나머지가 각각 (0, 1, 2) 이면 두 번의 시행으로는 (0, 0, 0) 또는 (1, 1, 1) 또는 (2, 2, 2)를 만들 수가 없다.

또한, 세 번의 시행으로 나올 수 있는 모든 경우의 수는

[eqn: 3 times 3 times 3 = 27]

이고 세 번의 시행에서 (0, 0, 0)이 되는 경우는

(0,1,2)→(0,2,2)→(0,2,3)→(0,3,3)

(0,1,2)→(0,2,2)→(0,3,2)→(0,3,3)

(0,1,2)→(0,1,3)→(0,2,3)→(0,3,3)

의 3가지이고 (1, 1, 1) 또는 (2, 2, 2)가 될 수 있는 경우도 각각 3가지씩이다.

따라서 3번째 시행에서 사건 A가 일어나지 않을 확률은

[eqn: P(A^C ) =1- 3+3+3 OVER 27 = 2 OVER 3]

또한, 3번의 시행 후에는 모든 카드에 붙어 있는 스티커의 수를 3으로 나눈 나머지가 (0, 1, 2) 또는 (0, 0, 0) 또는 (1, 1, 1) 또는 (2, 2, 2) 이므로 4번째 , 5번째 시행에서는 사건 A가 일어나지 않고 6번째 시행에서 사건 A가 일어날 확률은 같은 방법으로 생각하면 [eqn: 1 OVER 3]이다. 따라서 구하고자 하는 확률은

[eqn: 1 TIMES 1 TIMES 2 OVER 3 TIMES 1 TIMES 1 TIMES 1 OVER 3 = 2 OVER 9]

[eqn: THEREFORE][eqn: p+q = 11]

ꂼ 11

25.

두 직선 [eqn: m,`n`]을 포함하는 평면을 [eqn: alpha`]라 하자.

[eqn: l`□`m ,```l`□`n`]이므로 [eqn: l``□ alpha`]이다.

직선 [eqn: l`] 위의 두 점 [eqn: rm A,``B`]에서 평면 [eqn: alpha`]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm E ,``F`]라 하고, 선분 [eqn: rm FD`]와 직선 [eqn: m`]의 교점을 [eqn: rm G`]라 하자.

[eqn: rmG]

[eqn: rmF]

[eqn: rmE]

[eqn: rmD]

[eqn: rmC]

[eqn: rmB]

[eqn: rmA]

[eqn: b]

[eqn: a]

[eqn: 2root2]

[eqn: 4root2]

[eqn: 3]

[eqn: n]

[eqn: m]

[eqn: l]

[eqn: 5]

[eqn: alpha]

[eqn: rm bar AB`□ bar EF `], [eqn: rm bar EF`□` bar CG`]이고,

[eqn: rm bar EF = bar CG = 2root2`]

이므로 직각삼각형 [eqn: rm DGC`]에서

[eqn: rm bar GD = root{ 3^2 - (2root2 )^2 } = 1`]

직각삼각형 [eqn: rm ABD`]에서

[eqn: rm bar AD = root{ ( 4 root2 )^2 + (2 root2 )^2 } = 2root10`]

삼각형 [eqn: rm ACD`]에서

[eqn: rm cos (∠ ACD ) = { 5^2 + 3^2 - (2 root10 )^2 } over { 2 cdot 5 cdot 3}` = - 1 over 5`]

이므로

[eqn: rm sin ( ∠ ACD ) = root{ 1- left( - 1over 5 right)^2 } = { 2root6} over 5`]

따라서 삼각형 [eqn: rm ACD`]의 넓이는

[eqn: 1over 2 times 5 times 3 times {2root6} over 5 = 3root6`]

이다.

[eqn: {rm bar EC} = a`], [eqn: {rm bar AE = bar BF } = b`]라 하면

[eqn: {rm bar FD} = a+1`]이고,

삼각형 [eqn: rm AEC`]에서 [eqn: a^2 + b^2 = 25`] [eqn: cdots ㉠`]

삼각형 [eqn: rm BFD`]에서 [eqn: (a+1)^2 + b^2 = 32`][eqn: cdots㉡`]

㉡-㉠에서 [eqn: 2a+1 = 7`], [eqn: a=3`]

삼각형 [eqn: rm ACD`]의 평면 [eqn: alpha`] 위로의 정사영은 삼각형 [eqn: rm ECD`]이고,

삼각형 [eqn: rm ECD`]의 넓이는

[eqn: 1over 2 times {rm bar EC times bar CG } = 1over 2 times 3 times 2root2 = 3root2`]

따라서, [eqn: 3root6 `times cos theta = 3root2`]에서

[eqn: cos theta = 1over root3`]

∴ [eqn: tan^2 theta = sec^2 theta -1`]

[eqn: = 1over { cos^2 theta } -1`]

[eqn: = 3-1`]

[eqn: = 2`]

∴ [eqn: 15 `tan^2 theta = 30`]

ꂼ [eqn: 30`]

미분과 적분

26.

[eqn: cos theta = root5 over 3]이고 [eqn: 0< theta < pi over 2]이므로

[eqn: sintheta = root{ 1-{cos^2 theta}]

[eqn: = root{ 1- 5over 9][eqn: = 2over 3]

∴ [eqn: sin theta cos 2 theta = sin theta ( 2cos^2 theta -1 )]

[eqn: = 2over 3 left( 2 times 5 over9 -1 right)]

[eqn: = 2over27]

ꂼ ①

27.

[eqn: f(x)`= left( - ln 1overax right) ^2 = left( ln `ax right)^2]에서

[eqn: f`'(x) = 2 ln ax times a over ax = {2 ln ax } over x]

[eqn: f`''(x)= { 2 over x times x -2 ln ax } over x^2][eqn: = { 2 (1- ln `ax)} over x^2]

[eqn: f`''(x)=0`]에서 [eqn: x= e overa]

[eqn: x < e overa]일 때, [eqn: f`''(x)>0]이고 [eqn: x> e over a `]일 때, [eqn: f`''(x)<0]이다.

따라서 [eqn: x= e overa`]의 좌우에서 [eqn: f`''(x)`]의 부호가 바뀌므로 변곡점의 좌표는

[eqn: left( e over a , ``1 right)]

변곡점이 직선 [eqn: y= 2x`] 위에 있으므로

[eqn: 2e over a = 1]

∴ [eqn: a= 2e]

ꂼ ⑤

28.

[eqn: int_0 ^2 x f(tx) dx = 4t^2]에서

[eqn: tx = y`]로 놓으면

[eqn: t = dy over dx]에서 [eqn: dx = dy over t]

[eqn: x=0]일 때, [eqn: y=0]

[eqn: x= 2]일 때, [eqn: y= 2t]

이므로

[eqn: int_0 ^2 x f(tx) dx = int_0 ^2t y over t f(y) dy over t]

[eqn: = 1over t^2 int_0 ^2t yf(y) dy][eqn: =4t^2]

∴ [eqn: int_0 ^2t y f(y) dy = 4t^4]

양변을 [eqn: t`]에 관하여 미분하면

[eqn: 2t f(2t) times (2t)`' = 16t^3]

∴ [eqn: f(2t) = 4t^2]

∴ [eqn: f(2) = 4`]

ꂼ ④

29.

[eqn: x]	[eqn: x<1]	[eqn: x=1]	[eqn: 1<x<3]	[eqn: x=3]
[eqn: f`'(x)]		[eqn: 0]		[eqn: 1]
[eqn: f`''(x)]	[eqn: +]		[eqn: +]	[eqn: 0]
[eqn: f(x)]		[eqn: pi over 2]		[eqn: pi]

위의 표에서 [eqn: x<1`], [eqn: 1<x<3`]일 때, [eqn: f`''(x)>0`]이므로 [eqn: f`'(x)]는 증가하고 이 구간에서 [eqn: f(x)~]의 그래프는 아래로 볼록하다. 또한, [eqn: x=1`]일 때, [eqn: f`'(x)`=0`]이므로 [eqn: x=1`]의 좌우에서 [eqn: f(x)`]의 부호가 [eqn: -`]에서 [eqn: +`]로 바뀌게 된다. 따라서 [eqn: f(x)`]는 [eqn: x=1`]에서 극솟값을 갖고 그래프는 아래로 볼록하다.

ㄱ. [eqn: g(x)= sin (f(x))]에서

[eqn: g`'(x) = cos (f(x)) times f`'(x)]

∴ [eqn: g`'(3) = cos (f(3)) times f`'(3)]

[eqn: = cos pi times f`'(3)]

[eqn: =(-1) times 1][eqn: =-1] (참)

ㄴ. [eqn: 1<x<3`]에서 [eqn: f(x)~]의 그래프는 아래로 볼록하며 증가하므로

[eqn: pi over 2 < f(x) < pi `]

따라서 [eqn: pi over 2 < f(x) < pi `]에서

[eqn: g(x) = sin( f(x))]의 그래프는 감소하면서 위로 볼록하다.

[eqn: pi over 2]

[eqn: pi]

[eqn: O]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y= sinx`]

[eqn: 1]

[eqn: x=1`]일 때,

[eqn: g`'(1 ) = cos (f(1)) times f`'(1)]

[eqn: = cos pi over2 times 0 = 0]

[eqn: x= 3`]일 때,

[eqn: g`'(3 ) = cos (f(3)) times f`'(3)]

[eqn: = cos pi times 1 = -1]

따라서 [eqn: 1<a<b<3`]에서

[eqn: -1 < { g(b) - g(a)} overb-a <0] (참)

ㄷ. [eqn: g`''(x) = - sin (f(x)) times f`'(x) times f`'(x)]

[eqn: + cos (f(x)) times f`''(x)]

[eqn: x=1`]일 때,

[eqn: g`''(1) = - sin (f(1)) times f`'(1) times f`'(1)]

[eqn: + cos (f(1)) times f`''(1)]

[eqn: =-sin {pi } over {2} TIMES 0 TIMES 0+cos {pi } over {2} times pi over 2 =0]

이지만 [eqn: x<1`]과 [eqn: x>1`]에서 [eqn: g`''(x)`]의 부호가 같으므로 [eqn: x=1`]에서 변곡점을 갖지 않는다. (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

ꂼ ③

30.

[eqn: M]

점 [eqn: T`]의 좌표를 [eqn: T(2 cos theta, ``2 sin theta )`]라 하고,

직사각형 [eqn: OPTQ`]에서 두 대각선 [eqn: OT], [eqn: PQ`]의 교점을 [eqn: M~]이라 하자.

[eqn: f(theta)= (부채꼴 OAT의 ~넓이)]

[eqn: - (삼각형 OPM의~넓이)]

[eqn: - (부채꼴MPT의~ 넓이)]

[eqn: = 1over 2 times 2^2 times theta - 1over 2 times ` 2cos theta times `1 times sin theta]

[eqn: - 1over 2 times 1^2 times 2theta]

[eqn: = theta -`cos theta `sin theta `]

[eqn: g(theta) = 1over 2 times 2cos theta times 2sin theta]

[eqn: = 2cos theta sin theta]

∴ [eqn: a=][eqn: lim_{theta->+0} { theta+ f( theta)}over g(theta)]

[eqn: = lim_{theta->+0} { 2 theta -`cos theta `sin theta `}over {2cos theta sin theta }]

[eqn: = lim_{theta->+0} left( { theta over{ costheta sintheta}-`1 over 2 right)}]

[eqn: = 1- 1over 2][eqn: = 1 over 2]

∴ [eqn: 100a = 50]

ꂼ [eqn: 50]

확률과 통계

26. 평균이 모두 55인 세 자료 A, B, C의 대략적인 분포를 그려보면 다음과 같다.

(A)

0

10

30

50

70

90

110

(B)

0

10

30

50

70

90

110

(C)

0

10

30

50

70

90

110

따라서 세 자료 A, B, C의 표준편차가 각각 [eqn: a, b, c] 이므로

[eqn: a< c< b]

ꂼ ②

27. 4회 참여에 16점을 얻기 위해서는 3회는 5점, 1회는 1점이 올라가야 한다.

따라서 구하고자 하는 확률은

[eqn: `_4 C_3 ( 1 OVER 3 )^3 ( 2 OVER 3 ) = 4 TIMES 1 OVER 27 TIMES 2 OVER 3 = 8 OVER 81]

ꂼ ①

28. 모비율은 [eqn: p= 0.2]이고

[eqn: np = 1600 times 0.2 = 320]

[eqn: nq = 1600 times 0.8 = 1280]

은 모두 5보다 크므로

[eqn: Z = {hatp - 0.2} OVER {ROOT{0.2TIMES0.8 OVER 1600}} = 100( hatp - 0.2 )]

에서

[eqn: P( hatp >= a over 100 )]

[eqn: = P (Z>= 100( a over 100 - 0.2 ) )]

[eqn: = P(Z>= a - 20 ) = 0.9772]

따라서 [eqn: P(0<= Z<= 20-a )= 0.4772]이므로

[eqn: 20-a= 2]

[eqn: therefore] [eqn: a= 18]

ꂼ ④

29. [eqn: b-a = 2 times 1.96 times 5 over rootn] 이므로

[eqn: 10n < 10^{2 over b-a}] 에서 [eqn: 10n < 10^{rootn over 9.8}]

양변에 상용로그를 취하면

[eqn: log10n < log 10^{rootn over 9.8}]

[eqn: 1+logn < rootn over 9.8], [eqn: 9.8 < rootn over {1+logn]

따라서 [eqn: n = 1700]일 때 [eqn: rootn over {1+logn} = 9.75]

[eqn: n = 1800]일 때 [eqn: rootn over {1+logn} = 9.97]

이므로 [eqn: n]의 최솟값은 1800이다.

ꂼ ③

30. A공장에서 임의로 추출한 3개 중에서 2개가 불량품일 확률은

[eqn: 1 OVER 3 TIMES `_3 C_2 TIMES ( 2 OVER 100 )^2 TIMES 98 OVER 100 = 392 OVER 10^6]

B, C공장에서 임의로 추출한 3개 중에서 2개가 불량품일 확률은

[eqn: 2 TIMES 1 OVER 3 TIMES `_3 C_2 TIMES ( 1 OVER 100 )^2 TIMES 99 OVER 100 = 198 OVER 10^6]

[eqn: therefore] [eqn: p = 392 over 10^6 + 198 over 10^6 = 590 over 10^6]

[eqn: therefore] [eqn: 10^6 p = 590]

ꂼ 590

이산수학

26. [eqn: a_1 =2, ```a_2 =3]

[eqn: a_n +a_n+1 +a_n+2 =n+1] ([eqn: n=1, ``2, ``3, `` CDOTS])

에서

[eqn: sum _{ k=1} ^{ 14} a_k]

[eqn: = a_1 +a_2 +(a_3 +a_4 +a_5 )+ CDOTS +(a_12 + a_13 +a_14 )]

[eqn: =2+3+4+7+10+13 =39]

ꂼ ③

27. ㄱ. [eqn: k_4]는 꼭짓점의 개수가 4인

완전그래프이고 변이 꼭짓점에서만 만나      게 그릴 수 있으므로 평면그래프이다.

(참)

ㄴ.  [eqn: k_5]는 꼭짓점의 개수가 5인

완전그래프이고 꼭짓점이 모두 서로 연      결되어 있으므로 꼭짓점을 적절하게 색      칠하는데 필요한 최소의 색의 수는 5가      지이다.  (참)

ㄷ. [eqn: k_n]의 각 꼭짓점에서 연결된 변의 수는

[eqn: n-1]개 이므로 모든 꼭짓점의 차수의 합     은 [eqn: n(n-1)]이다.  (참)

따라서 옳은 것은 [eqn: ㄱ,``ㄴ,``ㄷ]이다.

ꂼ ⑤

28. 처음에 선생님에게 연락받은 학생 4명을    모둠 B에 속한 학생이라 하면

4명이 또 다른 4명에게 연락해야하므로

모두 16명의 학생이 연락을 받는다.

이 때 연락을 받은 16명 중 1명이 4명에게

연락을 하면 24명이 모두 연락을 받게 된    다. 따라서 모둠 A에 속한 학생은 연락      을 받기만 한 학생이므로 15명과 마지막 4    명이다. 따라서 모두 19명이 된다.

ꂼ ④

29. 합성함수 [eqn: f CIRC f]의 치역의 원소의 개수가 1 이므로 정의역에 속하는 임의의 원소 [eqn: x]에 대하여  [eqn: f(f(x))=a]라고 할 때 [eqn: a]가 될 수 있는 경우의 수는 [eqn: `_4 C_1 =4](가지)

이 때 [eqn: f(f(x))=a] 인 경우  [eqn: a]를 포함하는

함수 [eqn: f]의 치역은 [eqn: LEFT { a, ``b RIGHT } ,``LEFT { a, ``c RIGHT }, ``LEFT { a, ``d RIGHT }]로 3가지이다.

이제 정의역의 원소를 [eqn: LEFT { a, ``b,```c,``d RIGHT }]라 하고

[eqn: f]의 치역을 [eqn: LEFT { a, ``b RIGHT }]라고 하면

[eqn: f(f(a))=a]이기 위해서 [eqn: f(a)=a] 이어야 한다.

또 [eqn: f(f(b))=a] 이기 위해서 반드시 [eqn: f(b)=a]가 되어야 한다.

이 때 정의역의 나머지 두 원소 [eqn: c, ``d]가 [eqn: a```또는 ```b]에 대응하는 방법의 수는 [eqn: 2^2 -1=3] 이다.

따라서 구하는 함수 [eqn: f]의 개수는

[eqn: 4TIMES 3 TIMES 3 =36] 이다.

ꂼ ①

30. 작업의 순서를 그림으로 나타내면 다음과 같다.

A

B

D

C

F

E

H

4

6

3

3

4

5

5

G

3

따라서 작업을 모두 끝마치는 데 필요한 최소 작업시간은

A → B → E → G → H

4     3    5    3     5

에서

[eqn: 4+3+5+3+5=20](일)

이다.

ꂼ 20