2010학년도 9월 고2 전국연합학력평가

정답 및 해설

고 2	정답 및 해설	2010학년도 9월 전국연합학력평가

2010학년도 9월 전국연합학력평가	정답 및 해설	고 2

4

수리 영역

“가”형 정답

1	①	2	⑤	3	④	4	①	5	③
6	①	7	②	8	④	9	④	10	③
11	⑤	12	③	13	⑤	14	②	15	⑤
16	②	17	①	18	①	19	④	20	③
21	⑤	22	[eqn: 21]	23	[eqn: 2]	24	[eqn: 299]	25	[eqn: 18]
26	[eqn: 375]	27	[eqn: 7]	28	[eqn: 15]	29	[eqn: 12]	30	[eqn: 19]

해설

1. [출제의도] 지수 계산하기

[eqn: 2 ^{{6} over {2}} TIMES LEFT ( 2 ^{-2} RIGHT ) ^{- {1} over {2}} =2 ^{3} TIMES 2=16]

2. [출제의도] 등비수열의 항 계산하기

[eqn: a _{1} =3,~r=2]이므로 [eqn: a _{n} =3 TIMES 2^n-1]

[eqn: THEREFORE `][eqn: a _{7} =192]

3. [출제의도] 역행렬 계산하기

[eqn: A-A ^{-1} = {pmatrix{`1&`2`#`1&`3`}} - {pmatrix{```````3&``-2#-1&~~`1}} = {pmatrix{`-2&``4`#````````2&``2`}}]

4. [출제의도] 지수법칙 이해하기

[eqn: 2 ^{xy} = LEFT ( 2 ^{x} RIGHT ) ^{y} =3 ^{y} =5]

5. [출제의도] 행렬의 연산 이해하기

[eqn: A ^{2} {pmatrix{2#1}} =(2A-E) {pmatrix{2#1}} =2A {pmatrix{2#1}} - {pmatrix{2#1}} = {pmatrix{2#4}} - {pmatrix{2#1}} = {pmatrix{0#3}}]

6. [출제의도] 극한의 성질 이해하기

[eqn: lim _{n -> INF } {a _{n} =15}]

[eqn: lim _{n` -> INF } {{3 ^{n+1} +5 ^{n}} over {3 ^{n} +5 ^{n+1}} a _{n} `}][eqn: = lim _{n` -> INF } {{3 ^{n+1} +5 ^{n}} over {3 ^{n} +5 ^{n+1}} TIMES lim _{n -> INF } {a _{n}}}]

[eqn: = {`1} over {5} TIMES 15=3`]

7. [출제의도] 제곱근의 성질 이해하기

[eqn: rm `A= root {3} of {{1} over {4}} = LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{{1} over {3}} = LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{{4} over {12}} = LEFT ( {1} over {256} RIGHT ) ^{{1} over {12}}]

[eqn: rm B= root {4} of {{1} over {6}} = LEFT ( {1} over {6} RIGHT ) ^{{1} over {4}} = LEFT ( {1} over {6} RIGHT ) ^{{3} over {12}} = LEFT ( {1} over {216} RIGHT ) ^{{1} over {12}}]

[eqn: rm C= root {3} of {sqrt {{1} over {15}}} = LEFT ( {1} over {15} RIGHT ) ^{{2} over {12}} = LEFT ( {1} over {225} RIGHT ) ^{{1} over {12}}]

[eqn: therefore] [eqn: rm A<C<B]

8. [출제의도] 수열의 합 이해하기

[eqn: a _{n} =log` {n+1} over {n}]이므로

[eqn: sum _{k=50} ^{m} a _{k} =log {51} over {50} +log {52} over {51} + CDOTS +log {m+1} over {m}]

[eqn: =log {m+1} over {50} =log {49} over {25}] [eqn: THEREFORE `m=97]

9. [출제의도] 행렬과 그래프의 관계 이해하기

주어진 행렬의 그래프는 꼭짓점에서 연결된 변의 개수가 [eqn: 3,~3,~2,~4,~3,~3] 이다.

꼭짓점에 연결된 변의 개수를 표현하면

① [eqn: 3,~2,~2,~2,~3,~4]

② [eqn: 5,~4,~5,~5,~4,~5]

③ [eqn: 3,~3,~3,~2,~3,~2]

④ [eqn: 3,~3,~2,~4,~3,~3]

⑤ [eqn: 3,~3,~3,~3,~3,~3]

10. [출제의도] 주어진 행렬의 성질 추론하기

[eqn: A= {pmatrix{`x&``0`#`0&``y`}} `,] [eqn: B= {pmatrix{`z&``0`#`0&``w`}}]라 하면

ㄱ. [eqn: AB= {pmatrix{`xz&``0`#`0&``yw`}} = {pmatrix{`zx&``0`#`0&``wy`}} =BA] (참)

ㄴ. [eqn: xy != 0] 이므로 [eqn: A^-1]이 존재한다.

[eqn: A ^{-1`} AC=A ^{-1} O] 이므로 [eqn: C=O] (참)

ㄷ. [eqn: A ^{3} -A ^{2} -2A=`][eqn: A(A ^{2} -A-2E)=O]

[eqn: A^-1]이 존재하므로 [eqn: A ^{2} -A-2E=O]

[eqn: {pmatrix{x ^{2} -x-2&```0#```0&`y ^{2} -y-2}} = {pmatrix{`0&``0`#`0&``0`}}]

[eqn: x=2,~-1] 이고 [eqn: y=2,~-1] 이므로

행렬 [eqn: A]의 개수는 [eqn: 4]개이다. (거짓)

11. [출제의도] 무한등비급수 이해하기

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항을 [eqn: a], 공비를 [eqn: r]이라 할 때,

[eqn: sum _{n=1} ^{inf} a _{2n} = {ar} over {1-r ^{2}} =2]에서 [eqn: ar over{1-r} = 2(1+r)]

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{3n} = {ar ^{2}} over {1-r ^{3}} = {ar TIMES r} over {(1-r)(1+r+r ^{2} )} = {6} over {7}]

[eqn: {2r LEFT ( 1+r RIGHT )} over {1+r+r ^{2}} = {6} over {7}] [eqn: THEREFORE][eqn: r= 1over2] ([eqn: BECAUSE ``-1<r<1])

12. [출제의도] 상용로그를 이용하여 수학외적
문제해결하기

[eqn: v=2 ^{-2} ` TIMES 10 ^{0.5} ` TIMES `8 ^{1.67} ` TIMES `4 ^{-1.17}][eqn: =2 ^{0.67} ` TIMES 10 ^{0.5}]

[eqn: log``v ^{1000} =1000` LEFT ( 0.67`log`2+0.5 RIGHT )]

[eqn: =1000` LEFT ( 0.201+0.5 RIGHT )][eqn: =701]

13. [출제의도] 수학적 귀납법을 이용하여
부등식의 성질 추론하기

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때

(좌변)[eqn: =] [eqn: box{ {1} over {sqrt {2}} }][eqn: <2=](우변)이므로 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=k] 일 때 부등식이 성립한다고 가정하면

[eqn: {1} over {sqrt {2}} + {1} over {sqrt {4}} + {1} over {sqrt {6}} + CDOTS + {1} over {sqrt {2k}} <2 sqrt {k}]

[eqn: n=k+1`]일 때 성립함을 보이자.

[eqn: {1} over {sqrt {2}} + {1} over {sqrt {4}} +` CDOTS + {1} over {sqrt {2k+2}} -][eqn: ` BOX{``2 sqrt {k+1} ``}]

[eqn: <] [eqn: 2 sqrt {k} + {1} over {sqrt {2k+2}} -][eqn: ` BOX{``2 sqrt {k+1} ``}]

[eqn: = {2 sqrt {2} sqrt {k ^{2} +k} `+1-2 sqrt {2} (k+1)} over {sqrt {2k+2}}]

이 때,

[eqn: LEFT ( 2 sqrt {2} sqrt {k ^{2} +k} +1 ^{} RIGHT ) ^{2} - LEFT { 2 sqrt {2} (k+1) RIGHT } ^{2}][eqn: BOX{`<} `] [eqn: 0]이므로

[eqn: {1} over {sqrt {2}} + {1} over {sqrt {4}} + {1} over {sqrt {6}} + CDOTS + {1} over {sqrt {2k+2}} <2 sqrt {k+1}]

그러므로 [eqn: n=k+1]일 때도 부등식은 성립한다.

따라서 주어진 부등식은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 성립한다

14. [출제의도] 도형의 규칙성을 이용하여
수학내적 문제해결하기

[eqn: a _{1} =1], [eqn: a _{2} = {1} over {2} + {1} over {4} = {3} over {4}],

[eqn: a _{3} = {1} over {2} LEFT ( {1} over {2} + {1} over {4} RIGHT ) + {1} over {4} LEFT ( {1} over {2} + {1} over {4} RIGHT ) = LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{2}], [eqn: cdots]

이므로 [eqn: a _{n} = LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{n-1}] [eqn: THEREFORE `a _{10} = LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{9}]

15. [출제의도] 등차수열의 성질을 이용하여 수학외적 문제해결하기

[eqn: rm ` {bar AB}=10] 이므로 [eqn: 4r _{1} +2r _{2} =10]

[eqn: bar{rm DE} =2`r _{2}], [eqn: bar{rm AD it} =2`r _{1}], [eqn: bar{rm CF it} =2`r _{1} +2`r _{2}] 가 차례로

등차수열을 이루므로 [eqn: 4r _{1} =2r _{1} +4r _{2}]

[eqn: THEREFORE `r _{1} =2,````r _{2} =1]

셀리논(Salinon)의 넓이 [eqn: S]는

[eqn: S= {1} over {2} TIMES 5 ^{2} pi -2 TIMES {1} over {2} TIMES 4 pi + {1} over {2} pi =9 pi]

【참고】

셀리논의 넓이는 [eqn: rmbar{CF}]를 지름으로 하는 원의 넓이와 같다.

16. [출제의도] 로그함수의 그래프를 이용하여
수학내적 문제해결하기

[eqn: S _{1} :S _{2} =4:3], [eqn: S _{1} = {4} over {3} S _{2}]

[eqn: S _{1} +S _{2} = {7} over {3} S _{2} = {1} over {2} LEFT ( b-a RIGHT ) LEFT ( a+b RIGHT )]

[eqn: S _{2} = {1} over {2} LEFT ( b-a RIGHT ) LEFT ( log _{2} `a+log _{2} `b RIGHT )]

[eqn: {7} over {3} TIMES {1} over {2} LEFT ( b-a RIGHT ) log _{2} `ab= {1} over {2} LEFT ( b-a RIGHT ) LEFT ( a+b RIGHT )]

[eqn: a+b=7]이므로 [eqn: log _{`2} `ab=3] [eqn: THEREFORE `ab=8]

[eqn: a ^{2} +b ^{2} = LEFT ( a+b RIGHT ) ^{2} -2ab=33]

17. [출제의도] 순서도를 이용하여 수열의 합
추론하기

[eqn: a _{1} =1], [eqn: a _{2} =3], [eqn: a _{3} =7], [eqn: cdots]

[eqn: S _{1} =1], [eqn: S _{2} =1+3], [eqn: S _{3} =1+3+7], [eqn: cdots]

[eqn: a _{n} =1+ sum _{k=1} ^{n-1} 2 ^{k}][eqn: =2 ^{n} -1] [eqn: (n=2`,`3`,`4`,`cdots)]

[eqn: S= sum _{n=1} ^{10} a _{n} ={2 LEFT ( 2 ^{10} -1 RIGHT )} over {2-1} -`10 =2036]

18. [출제의도] 지수방정식의 해 계산하기

[eqn: f(x+2)=A] 라 하면

[eqn: f(A)=4], [eqn: A=2] ([eqn: BECAUSE `][eqn: A`>0`])

[eqn: f(x+2)=2] 이므로  [eqn: x+2=`±1]

[eqn: x=`-1,~-3]

[eqn: therefore] 근의 합은 [eqn: -4]

19. [출제의도] 상용로그 가수의 성질 추론하기

ㄱ. 【반례】[eqn: a=10] 일 때,

[eqn: f(10)=0`,```f` LEFT ( {1} over {10} RIGHT ) =0] 이므로

[eqn: f(10)+f LEFT ( {1} over {10} RIGHT ) != 1] (거짓)

ㄴ. [eqn: f(a) = alpha `], [eqn: f(b) = beta `]라 하면

[eqn: left(a`,```1 over b right) IN S`]이므로

[eqn: f LEFT ( a RIGHT ) +f LEFT ( {1} over {b} RIGHT ) =alpha + LEFT ( 1- beta RIGHT ) =1]  [eqn: THEREFORE ``alpha = beta]

[eqn: f LEFT ( b RIGHT ) +f LEFT ( {1} over {a} RIGHT ) = beta + LEFT ( 1- alpha RIGHT ) =1]이므로

[eqn: left(b`,```1 over a right) IN S`] (참)

ㄷ. [eqn: f(a) = alpha `], [eqn: f(b) = beta `], [eqn: f(c) = gamma `]라 하면

[eqn: left(a`,```1 over b right) IN S`]이므로 [eqn: alpha = beta]

[eqn: left(b`,```1 over c right) IN S`]이므로 [eqn: beta = gamma]

따라서 [eqn: alpha = gamma]이고, [eqn: alpha +(1- gamma )=1]이므로

[eqn: left(a`,```1 over c right) IN S`] (참)

20. [출제의도] 규칙성을 이용하여 수학외적
문제해결하기

(ⅰ) [eqn: n]이 홀수인 경우 [eqn: a _{n} = LEFT ( n+2 RIGHT ) ^{2} -2 LEFT ( n+2 RIGHT ) +1]

[eqn: n=2k-1] 이면 [eqn: a _{2k-1} =4k ^{2}]

(ⅱ) [eqn: n]이 짝수인 경우 [eqn: a _{n} = LEFT ( n+2 RIGHT ) ^{2} -2 LEFT ( n+2 RIGHT )]

[eqn: n=2k] 이면 [eqn: a _{2k} =4k ^{2} +4k]

[eqn: sum _{n=1} ^{10} a _{n} = sum _{k=1} ^{5} (a _{2k-1} +a _{2k} )][eqn: = sum _{k=1} ^{5} LEFT ( 8k ^{2} +4k RIGHT ) =500]

21. [출제의도] 역행렬의 성질을 이용하여
수학내적 문제해결하기

역행렬이 존재하지 않으므로

[eqn: LEFT | x RIGHT | ^{2} -2 LEFT | x RIGHT | +y ^{2} -3=0]

[eqn: ( LEFT | x RIGHT | -1) ^{2} +y ^{2} =4]

[eqn: x ^{2} +y ^{2} `=k]라 하면 중심이 원점이고 반지름의

길이가 [eqn: sqrt {k}]인 원을 나타내므로

[eqn: x=0,```y=+- sqrt {3}]일 때, [eqn: k=3]

[eqn: x=+-3,```y=0]일 때, [eqn: k=9]

[eqn: 3`leq`k`leq`9]이므로 최댓값은 [eqn: 9], 최솟값은 [eqn: 3]

[eqn: THEREFORE `M+m=12]

22. [출제의도] 행렬 계산하기

[eqn: ( A-B)C`` it =][eqn: rm LEFT { LEFT ( {matrix{1&4#it 5 rm&1}} RIGHT ) - LEFT ( {matrix{0&it 2 rm#it 2 rm&0}} RIGHT ) RIGHT } {pmatrix{3#3}} it = {pmatrix{`9`#12}}]

따라서 모든 성분의 합은 [eqn: 21`]이다.

23. [출제의도] 극한값 계산하기

[eqn: lim _{n -> INF } {{3+ sqrt {4n ^{2} +1}} over {n-2}} = lim _{n-> INF } {{{3} over {n} + sqrt {4+ {1} over {n ^{2}}}} over {1- {2} over {n}}} =2]

24. [출제의도] 수열의 정의 이해하기

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =2], [eqn: f(n+1)=g(f(n))=f LEFT ( n RIGHT ) +3]

[eqn: f(n+1)-f(n)=3] 이므로

[eqn: f(n)=2+3(n-1)=3n-1]

[eqn: THEREFORE ~f(100)=299]

25. [출제의도] 로그방정식 이해하기

[eqn: log _{2} sin`theta`cos`theta``=`-4], [eqn: sin` theta `cos` theta = {1} over {16}]

[eqn: (sin` theta +cos`theta) ^{2} =1+2sin`theta`cos`theta= {9} over {8}]

[eqn: `log _{2} (sin` theta +cos` theta ) ^{2} =log _{2} `x-4]이므로

[eqn: log _{2`} {9} over {8} =log ``_{2} `x over 16]

[eqn: THEREFORE ~x=18]

26. [출제의도] 등비수열의 성질 이해하기

등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 공비를 [eqn: r]이라 하면,

[eqn: a _{3} = alpha `r ^{2} = alpha +12]

[eqn: a _{5} = alpha `r ^{4} `= alpha +72]

[eqn: alpha `r ^{4} `- alpha = alpha `(r ^{2} +1)(r ^{2} -1)=12(r ^{2} +1)=72]

따라서 [eqn: r ^{2} =5], [eqn: alpha=3]이다.

[eqn: a _{7} =alpha`r ^{6} =375]

27. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수의 성질을 이용하여 수학내적 문제해결하기

[eqn: k`,``n,``alpha`]가 방정식의 세 근이므로

[eqn: (x-k)(x-n)(x-alpha)=0]

[eqn: x ^{3} -(k+n+alpha)x ^{2} +(kn+n`alpha+k`alpha)x-kn`alpha=0]

이때, 지표가 [eqn: n]이므로 [eqn: k=n+1]

[eqn: k+n+ alpha=2n+1+ alpha= 7+{ 1} over { 4}]

[eqn: n=3], [eqn: k=4], [eqn: alpha = {1} over {4}] ([eqn: BECAUSE] [eqn: n]은 정수)

[eqn: p=kn alpha =3] [eqn: THEREFORE `p+k=7]

28. [출제의도] 도형을 이용하여 수학내적
문제해결하기

원점에서 점 [eqn: LEFT ( n`,~2n RIGHT )]까지의 거리는 [eqn: sqrt {5} n]이므로

사각형이 지나간 부분은 그림과 같다.

[eqn: a _{n} =5n ^{2} pi - {1} over {2} n ^{2} pi = {9} over {2} n ^{2} pi `]

[eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{k} = {9} over {2} pi TIMES {n LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( 2n+1 RIGHT )} over {6} `]

[eqn: lim _{n -> INF } {{10} over {pi `n ^{3}} sum _{k=1} ^{n} a _{k} = lim _{n -> INF } {{10} over {pi `n ^{3}} {9 pi `n LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( 2n+1 RIGHT )} over {12}}}]

[eqn: =15]

29. [출제의도] 무한급수를 이용하여 수학내적
문제해결하기

[eqn: S it _{n} =left{1+2+3+` CDOTS `+(2 ^{n} -1)+2 ^{n} `right}]

[eqn: -left{`2+4+6+` CDOTS +(2 ^{n} -2)`+2 ^{n} `right}]

[eqn: = {2 ^{n} LEFT ( 1+2 ^{n} RIGHT )} over {2} ```-`` {2 ^{n-1} LEFT ( 2+2 ^{n} RIGHT )} over {2}]

[eqn: =2 ^{n-1} LEFT ( 2 ^{n} -2 ^{n-1} RIGHT ) =4 ^{n-1}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {9} over {S it rm _{n} it} = {9} over {1- {1} over {4}} =12`]

30.[출제의도] 도형의 규칙성을 이용하여 수학내적 문제해결하기

[eqn: rm ` bar{AB``} //` bar{A _{itn} B _{itn}}]이므로

[eqn: rm TRIANGLE A _{it n-1 rm} B _{it n-1 rm} A _{it n rm}]□[eqn: rm TRIANGLE A _{it n rm} B _{it n rm} A _{it n+1 rm}]이다. ……①

이때, [eqn: rm△BB _{1} A _{1}]은 이등변삼각형이므로

[eqn: rm bar{BB _{1}} = bar{A _{1} B _{1} `} =it`x]라 하면 [eqn: 4:6=x:(6-x)]이므로 [eqn: x= {12} over {5}]이다. ……②

①, ②에 의하여

[eqn: rm TRIANGLE A _{it n-1 rm} B _{it n-1 rm} A _{it n rm} ,`` TRIANGLE A _{it n rm} B _{it n rm} A _{it n+1 rm}]의 닮음비는

[eqn: 4: {12} over {5} =1: {3} over {5}]이므로 [eqn: S _{n} `:`S _{n+1} =1: LEFT ( {3} over {5} RIGHT ) ^{2}]이다.

[eqn: rm bar{A _{1} B `} =][eqn: 2 TIMES 4 TIMES {3} over {5} ` TIMES `cos {pi } over {6} = {12 sqrt {3}} over {5}]

[eqn: S _{1} = {1} over {2} TIMES 4 TIMES {12 sqrt {3}} over {5} TIMES `sin {pi } over {6} = {12 sqrt {3}} over {5}]

[eqn: ` sum _{n=1} ^{INF } S _{n} = {S _{1}} over {1- LEFT ( {3} over {5} RIGHT ) ^{2}} = {15 sqrt {3}} over {4}]

[eqn: THEREFORE `p+q=19]

“나”형 정답

1	①	2	⑤	3	④	4	①	5	③
6	⑤	7	②	8	①	9	④	10	③
11	③	12	③	13	①	14	②	15	①
16	②	17	②	18	①	19	④	20	④
21	⑤	22	[eqn: 21]	23	[eqn: 16]	24	[eqn: 3]	25	[eqn: 18]
26	[eqn: 14]	27	[eqn: 7]	28	[eqn: 128]	29	[eqn: 4]	30	[eqn: 40]

해설

1. [출제의도] 지수 계산하기

[eqn: 2 ^{{6} over {2}} TIMES LEFT ( 2 ^{-2} RIGHT ) ^{- {1} over {2}} =2 ^{3} TIMES 2=16]

2. [출제의도] 로그 계산하기

[eqn: 5 ^{2`log _{`5`} `3} =5 ^{log _{`5`} `9} =9]

3. [출제의도] 역행렬 계산하기

[eqn: A-A ^{-1} = {pmatrix{`1&`2`#`1&`3`}} - {pmatrix{```````3&``-2#-1&~~`1}} = {pmatrix{`-2&``4`#````````2&``2`}}]

4. [출제의도] 지수법칙 이해하기

[eqn: 2 ^{xy} = LEFT ( 2 ^{x} RIGHT ) ^{y} =3 ^{y} =5]

5. [출제의도] 행렬의 연산 이해하기

[eqn: A ^{2} {pmatrix{2#1}} =(2A-E) {pmatrix{2#1}} =2A {pmatrix{2#1}} - {pmatrix{2#1}} = {pmatrix{2#4}} - {pmatrix{2#1}} = {pmatrix{0#3}}]

6. [출제의도] 행렬의 연산을 이용하여 수학내적 문제해결하기

[eqn: alpha+beta=5,~alpha`beta=-4]

[eqn: AB= {pmatrix{`1- alpha &~~-1+ alpha ` beta `#3&~-2- beta }}]

모든 성분의 합은 [eqn: 1- LEFT ( alpha + beta RIGHT ) + alpha ` beta =`-8]

7. [출제의도] 제곱근의 성질 이해하기

[eqn: rm `A= root {3} of {{1} over {4}} = LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{{1} over {3}} = LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{{4} over {12}} = LEFT ( {1} over {256} RIGHT ) ^{{1} over {12}}]

[eqn: rm B= root {4} of {{1} over {6}} = LEFT ( {1} over {6} RIGHT ) ^{{1} over {4}} = LEFT ( {1} over {6} RIGHT ) ^{{3} over {12}} = LEFT ( {1} over {216} RIGHT ) ^{{1} over {12}}]

[eqn: rm C= root {3} of {sqrt {{1} over {15}}} = LEFT ( {1} over {15} RIGHT ) ^{{2} over {12}} = LEFT ( {1} over {225} RIGHT ) ^{{1} over {12}}]

[eqn: therefore] [eqn: rm A<C<B]

8. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 계산하기

[eqn: (x ^{2} +2xy+y ^{2} )`(x ^{2} -2xy+y ^{2} )= LEFT ( x ^{2} -y ^{2} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: = LEFT { LEFT ( sqrt {log _{`2} `3} RIGHT ) ^{2} - LEFT ( sqrt {log _{`2} `6} RIGHT ) ^{2} RIGHT } ^{2} = LEFT ( log _{`2} `3-log _{`2} `6 RIGHT ) ^{2}]

[eqn: =1]

9. [출제의도] 행렬과 그래프의 관계 이해하기

주어진 행렬의 그래프는 꼭짓점에서 연결된 변의 개수가 [eqn: 3,~3,~2,~4,~3,~3] 이다.

꼭짓점에 연결된 변의 개수를 표현하면

① [eqn: 3,~2,~2,~2,~3,~4]

② [eqn: 5,~4,~5,~5,~4,~5]

③ [eqn: 3,~3,~3,~2,~3,~2]

④ [eqn: 3,~3,~2,~4,~3,~3]

⑤ [eqn: 3,~3,~3,~3,~3,~3]

10. [출제의도] 주어진 행렬의 성질 추론하기

[eqn: A= {pmatrix{`x&``0`#`0&``y`}} `,] [eqn: B= {pmatrix{`z&``0`#`0&``w`}}]라 하면

ㄱ. [eqn: AB= {pmatrix{`xz&``0`#`0&``yw`}} = {pmatrix{`zx&``0`#`0&``wy`}} =BA] (참)

ㄴ. [eqn: xy != 0] 이므로 [eqn: A^-1]이 존재한다.

[eqn: A ^{-1`} AC=A ^{-1} O] 이므로 [eqn: C=O] (참)

ㄷ. [eqn: A ^{3} -A ^{2} -2A=`][eqn: A(A ^{2} -A-2E)=O]

[eqn: A^-1]이 존재하므로 [eqn: A ^{2} -A-2E=O]

[eqn: {pmatrix{x ^{2} -x-2&```0#```0&`y ^{2} -y-2}} = {pmatrix{`0&``0`#`0&``0`}}]

[eqn: x=2,~-1] 이고 [eqn: y=2,~-1] 이므로

행렬 [eqn: A]의 개수는 [eqn: 4]개이다. (거짓)

11. [출제의도] 행렬의 거듭제곱 계산하기

[eqn: A ^{3} =-E], [eqn: A^4 = - A]

[eqn: E+A ^{2} +A ^{4} +A ^{6} +cdots+A ^{100}]

[eqn: = LEFT ( E+A ^{2} -A RIGHT ) + ``` CDOTS```+][eqn: LEFT ( E+A ^{2} -A RIGHT )]

[eqn: =17(E+A^2 - A ) = O`]

12. [출제의도] 상용로그를 이용하여 수학외적
문제해결하기

[eqn: v=2 ^{-2} ` TIMES 10 ^{0.5} ` TIMES `8 ^{1.67} ` TIMES `4 ^{-1.17}][eqn: =2 ^{0.67} ` TIMES 10 ^{0.5}]

[eqn: log``v ^{1000} =1000` LEFT ( 0.67`log`2+0.5 RIGHT )]

[eqn: =1000 LEFT ( 0.201+0.5 RIGHT )][eqn: =701]

13. [출제의도] 행렬과 연립일차방정식의 관계
이해하기

[eqn: {pmatrix{`1&~~`2`#`2&`-2`}} {pmatrix{`x`#`y`}} = {pmatrix{`k&```0`#`0&```k`}} {pmatrix{`x`#`y`}}]

[eqn: {pmatrix{`1-k&~~`2#`2&`-2-k`}} {pmatrix{`x`#`y`}} = {pmatrix{`0`#`0`}}]

연립일차방정식의 해가 무수히 많으므로

[eqn: (1-k)(-2-k)-4= LEFT ( k-2 RIGHT ) LEFT ( k+3 RIGHT ) =0`]

(ⅰ) [eqn: k=2``]일 때, [eqn: y={1} over {2} `x]

(ⅱ) [eqn: k=-3]일 때, [eqn: y=`-2x]

[eqn: therefore] [eqn: k=-3]

14. [출제의도] 역행렬을 구하는 과정 추론하기

[eqn: AB+A=E`]에서 [eqn: A(B+E)=E`]이므로

[eqn: (B+E)A=E]

[eqn: THEREFORE ~AB-BA=][eqn: BOX{`O``}] [eqn: CDOTS CDOTS CDOTS ①]

①에 의하여

[eqn: AB+BA=A+B]

[eqn: LRARROW `][eqn: BOX{``2AB-B```}] [eqn: =A]

[eqn: LRARROW `][eqn: BOX{``2AB-B```}] [eqn: +AB=A+AB]

[eqn: LRARROW `][eqn: BOX{``(3A-E)``}] [eqn: timesB=E]

그러므로 [eqn: B ^{-1} =][eqn: BOX{``3A-E``}]

15. [출제의도] 지수함수의 그래프 이해하기

[eqn: ax ^{2} -bx+c=0`]의 두 근을 [eqn: 1 `, ```alpha`]라 하면

대칭축은 [eqn: x = {1 + alpha }over 2]

[eqn: 0 < {1+alpha} over 2 < 1]이고 [eqn: alpha < 0]이므로 [eqn: -1`<`alpha`<0]

근과 계수와의 관계에 의하여

[eqn: 1+alpha`= {b} over {a}], [eqn: 1 TIMES alpha= {c} over {a}] 이므로

[eqn: 0< {b} over {a} <1], [eqn: -1< {c} over {a} <0]

따라서 지수함수 [eqn: y= left( b over a right)^x + left(c over a right)]의 개형은

16. [출제의도] 로그함수의 그래프를 이용하여
수학내적 문제해결하기

[eqn: S _{1} :S _{2} =4:3], [eqn: S _{1} = {4} over {3} S _{2}]

[eqn: S _{1} +S _{2} = {7} over {3} S _{2} = {1} over {2} LEFT ( b-a RIGHT ) LEFT ( a+b RIGHT )]

[eqn: S _{2} = {1} over {2} LEFT ( b-a RIGHT ) LEFT ( log _{2} `a+log _{2} `b RIGHT )]

[eqn: {7} over {3} TIMES {1} over {2} LEFT ( b-a RIGHT ) log _{2} `ab= {1} over {2} LEFT ( b-a RIGHT ) LEFT ( a+b RIGHT )]

[eqn: a+b=7]이므로 [eqn: log _{`2} `ab=3] [eqn: THEREFORE `ab=8]

[eqn: a ^{2} +b ^{2} = LEFT ( a+b RIGHT ) ^{2} -2ab=33]

17. [출제의도] 로그부등식을 이용하여 수학내적 문제해결하기

(ⅰ) [eqn: 2 ^{{y} over {2}} LEQ `2 ^{2} ~~~ THEREFORE `y LEQ 4] [eqn: cdots] ①

(ⅱ) [eqn: log _{`2`} y`leq`log _{`2} `x], [eqn: y`leq`x]

[eqn: log _{`2} `y` GEQ `log _{`2} `x-1], [eqn: log _{`2} `y`geq`log _{`2} ` {x} over {2}], [eqn: y`geq` {x} over {2}]

[eqn: THEREFORE ` {x} over {2} ` LEQ `y` LEQ `x] [eqn: cdots] ②

①, ②의 공통부분을 좌표평면에 나타내면

[eqn: therefore] [eqn: S= 1over2 TIMES 4 TIMES 4 =8]

18. [출제의도] 지수방정식의 해 계산하기

[eqn: f(x+2)=A] 라 하면

[eqn: f(A)=4], [eqn: A=2] ([eqn: BECAUSE] [eqn: A` > 0])

[eqn: f(x+2)=2] 이므로  [eqn: x+2=`±1]

[eqn: x=`-1,~-3]

[eqn: therefore] 근의 합은 [eqn: -4]

19. [출제의도] 상용로그 가수의 성질 추론하기

ㄱ. 【반례】[eqn: a=10] 일 때,

[eqn: f(10)=0`,```f` LEFT ( {1} over {10} RIGHT ) =0] 이므로

[eqn: f(10)+f LEFT ( {1} over {10} RIGHT ) != 1] (거짓)

ㄴ. [eqn: f(a) = alpha `], [eqn: f(b) = beta `]라 하면

[eqn: left(a`,```1 over b right) IN S`]이므로

[eqn: f LEFT ( a RIGHT ) +f LEFT ( {1} over {b} RIGHT ) =alpha + LEFT ( 1- beta RIGHT ) =1]  [eqn: THEREFORE ``alpha = beta]

[eqn: f LEFT ( b RIGHT ) +f LEFT ( {1} over {a} RIGHT ) = beta + LEFT ( 1- alpha RIGHT ) =1]이므로

[eqn: left(b`,```1 over a right) IN S`] (참)

ㄷ. [eqn: f(a) = alpha `], [eqn: f(b) = beta `], [eqn: f(c) = gamma `]라 하면

[eqn: left(a`,```1 over b right) IN S`]이므로 [eqn: alpha = beta]

[eqn: left(b`,```1 over c right) IN S`]이므로 [eqn: beta = gamma]

따라서 [eqn: alpha = gamma]이고, [eqn: alpha +(1- gamma )=1]이므로

[eqn: left(a`,```1 over c right) IN S`] (참)

20. [출제의도] 상용로그를 이용하여 수학외적
문제해결하기

[eqn: 2010`]년 초 자전거 보유 인구

[eqn: 500` TIMES10^4 TIMES 16 over 100]

[eqn: 5]년 후 자전거 보유 인구

[eqn: 500 TIMES 10 ^{4} TIMES {16} over {100} (1+0.28) ^{5}]

[eqn: (1.28)^5 = x] 라 하면

[eqn: log`x=`5`log``1.28`=5 LEFT ( 0.108 RIGHT ) =0.54]

[eqn: x`=`3.50]

5년 후 자전거 보유 인구는

[eqn: 500 TIMES 10 ^{4} TIMES ` {16} over {100} TIMES ``3.50]

[eqn: THEREFORE `` {500 TIMES 10 ^{4} TIMES {16} over {100} TIMES 3.50 } over {500 TIMES 10 ^{4}} TIMES 100`=`56％]

21. [출제의도] 역행렬의 성질을 이용하여
수학내적 문제해결하기

역행렬이 존재하지 않으므로

[eqn: LEFT | x RIGHT | ^{2} -2 LEFT | x RIGHT | +y ^{2} -3=0]

[eqn: ( LEFT | x RIGHT | -1) ^{2} +y ^{2} =4]

[eqn: x ^{2} +y ^{2} `=k]라 하면 중심이 원점이고 반지름의

길이가 [eqn: sqrt {k}]인 원을 나타내므로

[eqn: x=0,```y=+- sqrt {3}]일 때, [eqn: k=3]

[eqn: x=+-3,```y=0]일 때, [eqn: k=9]

[eqn: 3`leq`k`leq`9]이므로 최댓값은 [eqn: 9], 최솟값은 [eqn: 3]

[eqn: THEREFORE `M+m=12]

22. [출제의도] 행렬 계산하기

[eqn: ( A-B)C`` it =][eqn: rm LEFT { LEFT ( {matrix{1&4#it 5 rm&1}} RIGHT ) - LEFT ( {matrix{0&it 2 rm#it 2 rm&0}} RIGHT ) RIGHT } {pmatrix{3#3}} it = {pmatrix{`9`#12}}]

따라서 모든 성분의 합은 [eqn: 21`]이다.

23. [출제의도] 로그 계산하기

[eqn: 2log _{`2} `3` TIMES `8log _{`3} `2=16]

24. [출제의도] 행렬과 그래프의 관계 이해하기

[eqn: M= {pmatrix{`0&1&1&0`#`1&0&1&0`#`1&1&0&1`#`0&0&1&0`}}]라 하면 꼭짓점 [eqn: A`]에서 출발하여 두 개의 꼭짓점을 거쳐 [eqn: B`]로 가는 방법의 수는 [eqn: M ^{3}]의 [eqn: 1]행 [eqn: 2]열의 값을 의미하므로 [eqn: 3`]가지이다.

25. [출제의도] 로그방정식 이해하기

[eqn: log _{2} sin`theta`cos`theta``=`-4], [eqn: sin` theta `cos` theta = {1} over {16}]

[eqn: (sin` theta +cos`theta) ^{2} =1+2sin`theta`cos`theta= {9} over {8}]

[eqn: `log _{2} (sin` theta +cos` theta ) ^{2} =log _{2} `x-4]이므로

[eqn: log _{2`} {9} over {8} =log ``_{2} `x over 16]

[eqn: THEREFORE ~x=18]

26. [출제의도] 주어진 행렬의 성질 이해하기

[eqn: a _{ij} =a _{ji}] 이므로 [eqn: a _{12} =a _{21} `]

[eqn: b _{ij} =`-b _{ji}] 이므로 [eqn: b _{11} =b _{22} =0], [eqn: `b _{21} =`-b _{12}]

[eqn: A+B= {pmatrix{`a _{11}&``a _{21} `#`a _{21}&``a _{22} `}} + {pmatrix{````0&```b _{12} `#`-b _{12}&`0`}} `]

[eqn: = {pmatrix{a _{11}&```````a _{21} +b _{12}#a _{21} -b _{12}&```````a _{22}}} `= {pmatrix{```````8&````15#-1&`````7}} `]

[eqn: a _{22} =7], [eqn: a _{21} =7] [eqn: THEREFORE `a _{21} +a _{22} =14]

27. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수의 성질을 이용하여 수학내적 문제해결하기

[eqn: k`,``n,``alpha`]가 방정식의 세 근이므로

[eqn: (x-k)(x-n)(x-alpha)=0]

[eqn: x ^{3} -(k+n+alpha)x ^{2} +(kn+n`alpha+k`alpha)x-kn`alpha=0]

이때, 지표가 [eqn: n]이므로 [eqn: k=n+1]

[eqn: k+n+ alpha=2n+1+ alpha= 7+{ 1} over { 4}]

[eqn: n=3], [eqn: k=4], [eqn: alpha = {1} over {4}] ([eqn: BECAUSE] [eqn: n]은 정수)

[eqn: p=kn alpha =3] [eqn: THEREFORE `p+k=7]

28. [출제의도] 지수방정식을 이용하여 수학내적 문제해결하기

[eqn: {1} over {2} a ^{2} =2 ^{b} ,~ {1} over {2} c ^{2} =4 ^{d}] 이므로

[eqn: 1 over 4 (ac)^2 = 2^{b+2d} = 2^12]

[eqn: THEREFORE ```ac=2 ^{7} `=128]

29. [출제의도] 상용로그 지표의 성질을 이용하여 수학내적 문제해결하기

[eqn: LEFT [ log _{`2} `x RIGHT ] =0], [eqn: LEFT [ log _{`2} `y RIGHT ] =1] 일 때

[eqn: 1` LEQ `x<2], [eqn: 2` LEQ `y<4] [eqn: cdots] ①

[eqn: LEFT [ log _{`2} `x RIGHT ] =1], [eqn: LEFT [ log _{`2} `y RIGHT ] =0] 일 때

[eqn: 2` LEQ `x<4], [eqn: 1` LEQ `y<2] [eqn: cdots] ②

①, ②를 좌표평면에 나타내면

두 사각형 넓이의 합은 [eqn: 4]이다.

30. [출제의도] 역행렬의 성질을 이용하여
수학내적 문제해결하기

[eqn: M= {pmatrix{`a&``b`#`c&``d`}}]의 역행렬이 존재하므로 [eqn: {b} over {a} != {d} over {c}]이다. 즉, 점 [eqn: rm A`]와 점 [eqn: rmB`]를 연결한 직선은 원점을 지나지 않는다.

원점을 지나며 함수 [eqn: y=x ^{2} +1]에 접하는 직선은

[eqn: y=2x]이므로 [eqn: r]은 [eqn: y=2x]와 [eqn: LEFT ( -2,~-2 RIGHT )]

사이의 거리보다 작거나 같아야 한다.

[eqn: THEREFORE```` r LEQ 2 over sqrt5]

그러므로 [eqn: 50r ^{2} `]의 최댓값은 [eqn: 40]