2010학년도 9월 고1 전국연합학력평가

정답 및 해설

고 1	정답 및 해설	2010학년도 9월 전국연합학력평가

2010학년도 9월 전국연합학력평가	정답 및 해설	고 1

3

수리 영역

정답

1	①	2	③	3	②	4	③	5	②
6	④	7	④	8	①	9	③	10	④
11	②	12	⑤	13	③	14	③	15	⑤
16	④	17	⑤	18	⑤	19	①	20	②
21	②	22	[eqn: 19]	23	[eqn: 21]	24	[eqn: 16]	25	[eqn: 24]
26	[eqn: 12]	27	[eqn: 15]	28	[eqn: 11]	29	[eqn: 405]	30	[eqn: 50]

해설

1. [출제의도] 집합의 연산의 성질을 이용하여 계산하기

[eqn: A SMALLINTER B ^{C} = phi]이면 [eqn: A-B= phi] 이므로 [eqn: A SUBSET B] 이다.

2. [출제의도] 복소수 계산하기

[eqn: bar{alpha } `=`2+7i``,``````` bar{beta } `=`-1-4i] 이므로

[eqn: alpha bar{alpha } + bar{alpha } beta + alpha bar{beta } + beta bar{beta } `=`( alpha + beta )( bar{alpha } + bar{beta } )]

[eqn: =(1-3i)(1+3i)]

[eqn: =10]

3. [출제의도] 두 점 사이의 거리 계산하기

[eqn: bar{rm PA it} = bar{rm PB it}]이므로 [eqn: {bar{rm PA it rm }}^{2} ={ bar{rm PB it rm }} ^{2}]이다.

[eqn: (a-1) ^{2} +4= LEFT ( a-6 RIGHT ) ^{2} +9]

[eqn: -2a+5=-12a+45]

[eqn: THEREFORE `a=4]

4. [출제의도] 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 계산하기

주어진 이차방정식의 계수가 유리수이므로 한 근이 [eqn: sqrt {7-2 sqrt {12}} =2- sqrt {3}] 이면 다른 한 근은 [eqn: 2+ sqrt {3}] 이다. 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 [eqn: LEFT ( 2- sqrt {3} RIGHT ) + LEFT ( 2+ sqrt {3} RIGHT ) =-a]

[eqn: LEFT ( 2- sqrt {3} RIGHT ) LEFT ( 2+ sqrt {3} RIGHT ) =b] 이므로 [eqn: a=-4,`b=1]

[eqn: THEREFORE `a ^{2} +b ^{2} =17]

5. [출제의도] 인수분해를 이용하여 수학 내적문제 해결하기

원기둥의 반지름의 길이를 [eqn: r], 높이를 [eqn: h]라 하면

(부피) [eqn: = pi r ^{2} h]

[eqn: = LEFT ( x ^{3} +x ^{2} -5x+3 RIGHT ) pi]

[eqn: = LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} LEFT ( x+3 RIGHT ) pi] 이므로

[eqn: r=x-1], [eqn: h=x+3]

(겉넓이) [eqn: =2 pi r ^{2} +2 pi rh]

[eqn: =2r(r+h) pi]

[eqn: =2(x-1)(2x+2) pi]

[eqn: =4(x ^{2} -1) pi]

6. [출제의도] 집합의 성질을 이용하여 추론하기

ㄱ.[eqn: A= LEFT { 1 RIGHT }]일 때, [eqn: S(A)=1]

[eqn: A=U] 일 때, [eqn: S(A)=15]이므로 [eqn: 1 LEQ S` LEFT ( A RIGHT ) LEQ 15]이다.  (참)

ㄴ.[eqn: A CUP B=B] 이면

[eqn: A SUBSET B] 이므로 [eqn: S` LEFT ( A RIGHT ) LEQ S` LEFT ( B RIGHT )]이다.  (거짓)

ㄷ.[eqn: S(A SMALLINTER B)= {S(U)} over {5} =3], [eqn: S(A CUP B)=15] 이므

로 [eqn: S(A)+S(B)=S LEFT ( A CUP B RIGHT ) +S LEFT ( A SMALLINTER B RIGHT ) =18]이

다.  (참)

7. [출제의도] 산술기하평균의 성질을 이용하여 최댓값 계산하기

[eqn: a ^{2} +b ^{2} GEQ 2 sqrt {a ^{2} b ^{2}}], 즉 [eqn: a ^{2} +b ^{2} GEQ 2 LEFT | ab RIGHT |]

[eqn: c ^{2} +d ^{2} GEQ 2 sqrt {c ^{2} d ^{2}}], 즉 [eqn: c ^{2} +d ^{2} GEQ 2 LEFT | cd RIGHT |]

[eqn: a ^{2} +b ^{2} =31], [eqn: c ^{2} +d ^{2} =27] 이므로

[eqn: LEFT | ab RIGHT | LEQ {31} over {2}], [eqn: LEFT | cd RIGHT | LEQ {27} over {2}]

[eqn: THEREFORE - {31} over {2} LEQ ab LEQ {31} over {2}], [eqn: - {27} over {2} LEQ cd LEQ {27} over {2}]

[eqn: ab]의 최댓값은 [eqn: {31} over {2}], [eqn: cd]의 최댓값은 [eqn: {27} over {2}]이므로

[eqn: ab+cd] 의 최댓값은 [eqn: 29]이다.

8. [출제의도] 복소수의 상등 이해하기

[eqn: 1- sqrt {3} i]가 주어진 삼차방정식의 근이므로

[eqn: LEFT ( 1- sqrt {3} i RIGHT ) ^{3} +a LEFT ( 1- sqrt {3} i RIGHT ) ^{2} +b LEFT ( 1- sqrt {3} i RIGHT ) -8=0]

[eqn: (-2a+b-16)-(2a+b) sqrt {3} i=0] 이고 [eqn: a,b] 가

실수이므로

[eqn: -2a+b-16=0] …①

[eqn: 2a+b=0] …②

①,②를 연립하여 풀면 [eqn: a=-4], [eqn: b=8]

[eqn: THEREFORE a+b=4]

(별해)

주어진 삼차방정식의 계수가 실수이므로 한 근이 [eqn: 1- sqrt {3} i] 이면 [eqn: 1+ sqrt {3} i] 도 근이다. 나머지 한 근을 [eqn: alpha]라 하면 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의해

[eqn: (1- sqrt {3} i)+(1+ sqrt {3} i)+ alpha =-a]  …①

[eqn: (1- sqrt {3} i)(1+ sqrt {3} i)+ alpha (1- sqrt {3} i)]

[eqn: + alpha (1+ sqrt {3} i)=b]  …②

[eqn: (1- sqrt {3} i)(1+ sqrt {3} i) alpha =8]  …③

①,②,③을 연립하여 풀면[eqn: alpha =2], [eqn: a=-4], [eqn: b=8]

[eqn: THEREFORE a+b=4]

9. [출제의도] 필요충분조건을 이해하여 추론하기

ㄱ.(⇒) [eqn: x,y] 가 [eqn: 0] 이 아니므로 양변을 [eqn: xy] 로 나누면 [eqn: {1} over {x} + {1} over {y} =1]이다.

(⇐)양변에 [eqn: xy] 를 곱하면 [eqn: x+y=xy] 이다.

따라서 [eqn: p] 는 [eqn: q] 이기 위한 필요충분조건이다.  (참)

ㄴ.(⇒) [eqn: 0<x<y] 이면 [eqn: 0< {1} over {y} < {1} over {x}]이다.

(⇐) [eqn: 0< {1} over {y} < {1} over {x}] 이면 [eqn: 0<x<y]이다.

따라서 [eqn: p] 는 [eqn: q] 이기 위한 필요충분조건이다.  (참)

ㄷ.(⇒) (반례) [eqn: x=2,``y=2,``z=1]

(⇐) [eqn: x=y=z]이면 [eqn: (x-y)(y-z) LEFT ( z-x RIGHT ) =0]

따라서 [eqn: p] 는 [eqn: q] 이기 위한 필요조건이지만 충분조건은 아니다.  (거짓)

10. [출제의도] 산술기하평균을 이용하여 수학 외적문제 해결하기

[eqn: rm bar{BC} it =x], [eqn: rm bar{CD} it =y]라 하면 [eqn: xy=1200] …①

철수가 설치비용을 지불해야 하는 총금액은 [eqn: LEFT ( {3} over {2} x+2y RIGHT ) k] 이다.

[eqn: LEFT ( {3} over {2} x+2y RIGHT ) k GEQ LEFT ( 2 sqrt {3xy} RIGHT ) k=120k] 이고

[eqn: {3} over {2} x=2y] …②

일 때 철수가 지불해야 하는 총비용이 최소가 된다.

①,②를 연립하여 풀면 [eqn: x=40]

[eqn: THEREFORE ` rm bar{BC} `=40]

11. [출제의도] 유리식을 활용한 수학 외적문제 해결하기

천체 [eqn: A,B`]사이의 거리를 [eqn: r], 천체 [eqn: C,D`]사이의 거리를 [eqn: r prime], 천체 [eqn: A,B`] 의 질량을 각각 [eqn: m], [eqn: M]  라 하고 [eqn: A,B] 사이의 만유인력을 [eqn: F] 라 하면

[eqn: {2} over {3} F=G {2mM} over {r prime ^{2}}]이고 [eqn: F=G {mM} over {r ^{2}}]이므로

[eqn: {2} over {3} G {mM} over {r ^{2}} =G {2mM} over {r prime ^{2}}]

[eqn: {1} over {3r ^{2}} = {1} over {r' ^{2}}]이므로 [eqn: r' ^{2} =3r ^{2}] [eqn: THEREFORE r'= sqrt {3} r]

12. [출제의도] 다항식의 최대공약수와 최소공배수의 성질 이해하기

두 다항식의 최대공약수를 [eqn: G`] 라 하면 서로소인

두 다항식 [eqn: a,b] 가 존재하여 [eqn: f(x)=aG], [eqn: g(x)=bG`]

이다. [eqn: LEFT ( a+b RIGHT ) G`=LEFT ( 2x-2 RIGHT ) LEFT ( x+5 RIGHT )]

[eqn: abG^2 = x LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x+5 RIGHT )^2] 이고 [eqn: f(1)=6]이므로

[eqn: f(x)=x(x+5)], [eqn: g(x)=(x-2)(x+5)]

[eqn: THEREFORE `g(3)=8]

13. [출제의도] 이항연산의 정의를 이용하여 추론하기

ㄱ.[eqn: (3,``2) OTIMES (2,`-1)=(1,``-2)]  (참)

ㄴ.집합 [eqn: A]에서 연산[eqn: OTIMES]에 대한 항등원이 [eqn: (0,1)]이므로 [eqn: (-4,2) OTIMES (x,y)= LEFT ( 0,1 RIGHT )]

[eqn: 2x-4y=0,`2y=1]이므로 [eqn: (x,`y)=(1,`` {1} over {2} )]  (참)

ㄷ.[eqn: LEFT ( ab ^{2} +a ^{2} b,``b ^{3} RIGHT ) = LEFT ( -a,`-`b RIGHT )]

[eqn: b ^{2} =-1] 인 실수 [eqn: b] 는 존재하지 않는다.  (거짓)

14. [출제의도] 연립방정식을 이용하여 수학외적문제 해결하기

[eqn: 10] 경기 결과 [eqn: x] 승, [eqn: y] 무, [eqn: z] 패라 하면

[eqn: x+y+z=10]  …①

규정[eqn: A] 에 의한 점수 [eqn: x-z=3]  …②

규정[eqn: B] 에 의한 점수 [eqn: 3x+y=18]  …③

①,②,③을 연립하여 풀면 [eqn: x=5,`y=3,`z=2]

이므로 규정[eqn: C`]에 의한 갑의 점수는

[eqn: 10+3-2=11]

15. [출제의도] 복소수의 연산에 관한 성질이해하기

주어진 복소수 [eqn: z] 에 대하여

[eqn: LEFT ( 2z+1 RIGHT ) ^{2} = LEFT ( sqrt {3} i RIGHT ) ^{2}]

[eqn: 4z ^{2} +4z+1=-3]

[eqn: z ^{2} +z+1=0] 이므로 [eqn: z ^{3} =1] 이다.

따라서 [eqn: z ^{2010} + {1} over {z ^{2010}} = LEFT ( z ^{3} RIGHT ) ^{670} + {1} over {LEFT ( z ^{3} RIGHT ) ^{670}} =2]

16. [출제의도] 부등식의 성질 추론하기

ㄱ.[eqn: a=2,`b=-1] 이면 [eqn: a+b>0] 이다.  (거짓)

ㄴ.[eqn: LEFT ( a-b RIGHT ) ^{2} - LEFT ( a+b RIGHT ) ^{2} =-4ab>0] 이면

[eqn: LEFT ( a-b RIGHT ) ^{2} > LEFT ( a+b RIGHT ) ^{2}] 이므로 [eqn: LEFT | a-b RIGHT | > LEFT | a+b RIGHT |] (참)

ㄷ.[eqn: {a-b} over {a} - {a+b} over {b} = {-(a ^{2} +b ^{2} )} over {ab} >0] 이므로

[eqn: {a-b} over {a} > {a+b} over {b}]  (참)

17. [출제의도] 유리식의 성질 이해하기

주어진 정의에 의해

[eqn: LEFT < A,`B RIGHT > `= {A-B} over {AB} = {1} over {B} - {1} over {A}] 이므로

[eqn: LEFT < x+2,``x` RIGHT > + LEFT < x+4,``x+2 RIGHT >]

[eqn: + LEFT < x+6,``x+4 RIGHT > = LEFT < x+ alpha ,``x RIGHT >]

[eqn: LEFT ( {1} over {x} - {1} over {x+2} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {x+2} - {1} over {x+4} RIGHT )# `````````````````````````````````````````````+ LEFT ( {1} over {x+4} - {1} over {x+6} RIGHT ) = {1} over {x} - {1} over {x+ alpha }]

정리하면

[eqn: {1} over {x} - {1} over {x+6} = {1} over {x} - {1} over {x+ alpha }] 이므로 [eqn: alpha =6]

18. [출제의도] 이차방정식의 근의 성질을 이용하여 추론하기

ㄱ.이차방정식 [eqn: ax ^{2} +bx+c=0] 의 두 근을 [eqn: alpha ,` beta]

이차방정식 [eqn: ax ^{2} +2bx+c=0] 의 두 근을 [eqn: alpha ',` beta `']라 하면 [eqn: alpha beta = {c} over {a}], [eqn: alpha prime beta ` prime = {c} over {a}] 이므로 [eqn: alpha beta = alpha '` beta `']이다.  (참)

ㄴ.실수인 공통근 [eqn: alpha]가 존재한다고 하자.

[eqn: a alpha ^{2} `+b alpha `+c=0]  …①, [eqn: a alpha ^{2} `+2b alpha `+c=0] …②

[eqn: ②``-`①] 하면 [eqn: b alpha =0```]이고 [eqn: ac>0] 이므로 [eqn: alpha != 0]

따라서 [eqn: b=0] 이다.

[eqn: alpha ^{2} =- {c} over {a}]이고 [eqn: ac>0] 이므로 [eqn: alpha] 가 실수라는 조건에 모순이 된다.  (참)

ㄷ.[eqn: ax ^{2} +2bx+c=0]이 허근을 가지면 판별식 [eqn: 4b ^{2} `-4ac`<0] 이므로 [eqn: ax ^{2} +bx+c=0]의 판별식 [eqn: b ^{2} -4ac LEQ 4b ^{2} -4ac<0] 이다.  (참)

19. [출제의도] 다항식의 연산의 성질을 이용하여 추론하기

[eqn: x={b-c}over{1+bc}] 에서 [eqn: (1+bc)x=b-c] 이고,

정리하면 [eqn: (bx+1)c=b-x]  … ①

같은 방법으로

[eqn: y={c-a}over{1+ca}] 에서 [eqn: (ay-1)c =-a-y]  … ②

①과 ②에서

[eqn: (a+y)(bx+1)c =][eqn: (x-b)(ay-1)c]  … ③

(ⅰ) ③에서 [eqn: c!=0]이면

[eqn: (a+y)(bx+1)=][eqn: (x-b)(ay-1)] 이고 정리하면

[eqn: (ab+1)(x+y)=][eqn: (a-b)(xy-1)]

[eqn: ab+1!=0] 이므로 [eqn: x+y= {a-b} over {ab+1} (xy-1)]

[eqn: x+y+z=xyz]

(ⅱ) ③에서 [eqn: c=0] 이면

[eqn: x=b], [eqn: y=`-a], [eqn: z={a-b}over{1+ab}] 이므로

[eqn: x+y+z=xyz]

따라서 [eqn: x= {b-c} over {1+bc}], [eqn: y={c-a}over{1+ca}], [eqn: z={a-b}over{1+ab}] 일 때, [eqn: x+y+z=xyz] 이다.

20. [출제의도] 이차방정식을 이용하여 수학외적문제 해결하기

갑과 을은 등속운동을 하고 [eqn: 6]분 동안 갑이 간 거리는 [eqn: 60 rm] 이므로 갑의 속력은 [eqn: 10``]이고 출발선에서 [eqn: A]지점까지의 거리는 [eqn: 360` rm] 이다.

[eqn: 30]분 동안 을이 간 거리는 [eqn: 360 rm] 이므로 을의 속력은 [eqn: 12 rm]이다.

[eqn: {x ^{2}} over {10} - {10x} over {12} =10]

[eqn: (x-15)(3x+20)=0] 이므로 [eqn: `x=15]

21. [출제의도] 복소수의 연산에 관한 성질이해하기

[eqn: n=1,2,3,4,5,6] 에 대하여

[eqn: z ^{1} =2i], [eqn: z ^{2} =-4], [eqn: z ^{3} =-8i], [eqn: z ^{4} =16], [eqn: z ^{5} =32i], [eqn: z ^{6} =-64] 이므로

말은 [eqn: n=2]일 때 [eqn: 4]칸, [eqn: n=4]일 때 [eqn: 16]칸, [eqn: n=6]일 때 [eqn: 64]칸만큼 칸을 이동한다.

[eqn: 100=64 TIMES 1+16 TIMES 2+4 TIMES 1] 이므로 출발점에서 시작하여 주사위를 최소 [eqn: 4]번 던지면 말이 [eqn: 100]이 적혀있는 칸에 도착한다.

22. [출제의도] 나머지 정리를 이용하여 계산하기

[eqn: R _{1} =f(1)=1+a+3=4+a]

[eqn: R _{2} =f(-1)=1-a+3=4-a]

[eqn: R _{1} -R _{2} =2a=38] 이므로 [eqn: `a=19]

23. [출제의도] 절대부등식의 성질 이해하기

모든 실수 [eqn: x]에 대해 [eqn: sqrt {(k+1)x ^{2} -(k+1)x+5}]의 값이 실수가 되려면 모든 실수 [eqn: x] 에 대하여

[eqn: (k+1)x ^{2} -(k+1)x+5 GEQ 0]

ⅰ) [eqn: k=-1] 일 때

[eqn: 5 GEQ 0]이므로 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 성립

ⅱ) [eqn: k != -1] 일 때

[eqn: k+1>0]이고 [eqn: D LEQ 0] 이므로

[eqn: D=(k+1) ^{2} -20(k+1) LEQ 0][eqn: k ^{2} -18k-19=(k-19)(k+1) LEQ 0]

[eqn: -1<k LEQ 19]이다.

따라서 [eqn: -1 LEQ k LEQ 19] 이므로 정수 [eqn: k]의 개수는 [eqn: 21]

24. [출제의도] 진리집합 사이의 관계 이해하기

[eqn: P= LEFT { 2,`3,`5,7 RIGHT }] 이고 명제 [eqn: SIM p``` -> ``q] 가 참이기 위해서는 [eqn: P ^{C} SUBSET Q] 이다.

따라서[eqn: LEFT { 1,`4,`6,`8,`9,`10 RIGHT } SUBSET Q SUBSET U]  를 만족하는

집합 [eqn: Q] 의 개수는 [eqn: 2 ^{4} =16]

25. [출제의도] 비례식을 활용한 수학 내적문제 해결하기

[eqn: rm bar{AC} : bar{CD} =2:1],[eqn: rm ANGLE BAC= ANGLE BCD],[eqn: rm ANGLE B] 가 공통

이므로 [eqn: TRIANGLE rm ABC``□ TRIANGLE CBD�]이고 닮음비는 [eqn: 2:1]

이다.

[eqn: rm bar{BC} =16] 이므로 [eqn: rm bar{BD} =8] 이고 [eqn: {rm bar{AD} }=x] 라 하면

[eqn: x+8:16=2:1]  [eqn: THEREFORE ` rm bar{AD} it =24]

26. [출제의도] 부등식을 이용하여 수학 외적문제 해결하기

키가 [eqn: 1.5 rm (m)] 이고 체질량지수가 [eqn: 28] 이므로

[eqn: x({rmkg})] 을 감량하여 정상체중이 되기 위해서는

[eqn: 18.5 LEQ 28- {x} over {(1.5) ^{2}} <23]

[eqn: 5 TIMES 1.5 ^{2} <x LEQ 9.5 TIMES 1.5 ^{2}]

[eqn: 11.25<x LEQ 21.375] 이므로 자연수 [eqn: x] 의 최솟값은 [eqn: 12]

27. [출제의도] 인수분해를 이용하여 수학 내적문제 해결하기

각 꼭짓점에 적힌 숫자를 [eqn: a,b,c,d,e,f] 라고 하자. 이 때 면에 적힌 수는 각각 [eqn: abe], [eqn: ade], [eqn: acd], [eqn: abc], [eqn: bef], [eqn: d`ef], [eqn: cdf], [eqn: bcf]이다.

[eqn: abe+ade+acd+abc+bef+itdef+cdf+bcf]

[eqn: =(b+d)(a+f)(c+e)]

[eqn: =105]

[eqn: 105=3 TIMES 5 TIMES 7]이므로

[eqn: a+b+c+d+e+f=3+5+7=15]

28. [출제의도] 내분점의 성질 이해하기

삼각형 [eqn: rm ABC]의 세 꼭짓점의 좌표를

[eqn: rm A it (x _{1} ,``y _{1} )],[eqn: rm B it (x _{2,} ``y _{2} ),` rm C it (x _{3} ,``y _{3} )] 라 하면

[eqn: LEFT ( {x _{2} +2x _{1}} over {3} ,` {y _{2} +2y _{1}} over {3} RIGHT ) = LEFT ( 10,``8 RIGHT )]

[eqn: LEFT ( {x _{3} +3x _{2}} over {4} ,` {y _{3} +3y _{2}} over {4} RIGHT ) = LEFT ( 5,``-3 RIGHT )]

[eqn: LEFT ( {2x _{1} +3x _{3}} over {5} ,` {2y _{1} +3y _{3}} over {5} RIGHT ) = LEFT ( 2,``12 RIGHT )] 이고

[eqn: 2x _{1} +x _{2} =30], [eqn: 3x _{2} +x _{3} =20], [eqn: 3x _{3} +2x _{1} =10]이므로 [eqn: x _{1} +x _{2} +x _{3} =15]

[eqn: 2y _{1} +y _{2} =24], [eqn: 3y _{2} +y _{3} =-12], [eqn: 3y _{3}+2y _{1} =60]이므로 [eqn: y _{1} +y _{2} +y _{3} =18]이다. 따라서

[eqn: {rmG}`(a,`b)={rmG}` LEFT ( {x _{1} +x _{2} +x _{3}} over {3} ,` {y _{1} +y _{2} +y _{3}} over {3} RIGHT )]

[eqn: ={rmG}` LEFT ( 5,`6 RIGHT )]

[eqn: THEREFORE `a+b=11]

29. [출제의도] 연립방정식을 활용하여 수학외적문제 해결하기

[eqn: a>0,`b GEQ 0,`c GEQ 0] 인 정수 [eqn: a,b,c]  에 대하여

[eqn: x=100a+10b+c]  라 하면 [eqn: x`{rmkm}] 주행 후 계기판에 나타난 총 주행거리는

[eqn: 1700+100a+10b+c] 이고, 주유 후 주행거리는 [eqn: 106.1+100a+10b+c] 이다. 이 때, 총 주행거리의 숫자배열을 거꾸로 나열하면 주유 후 주행거리가 되므로 총 주행거리의 천의 자리 숫자는 [eqn: 1] 이다.

[eqn: a=1] 또는 [eqn: a=2] 이고 [eqn: c=a+1] 이므로 [eqn: c=2] 또는 [eqn: c=3] 이다. 따라서 [eqn: b=5]이다.

[eqn: x=152] 또는 [eqn: x=253]

[eqn: THEREFORE `152+253=405]

30. [출제의도] 부등식의 성질을 이용하여 수학내적 문제 해결하기

삼각형 [eqn: rm PA prime C prime]의 넓이가 최대가 될 때, 어두

운 부분의 넓이가 최소가 된다. 삼각형

[eqn: rm PA prime C prime]에서 [eqn: bar{rm PA prime it} =x], [eqn: bar{rm PC prime it} =y] 라 하면

[eqn: TRIANGLE rm PA prime C prime = {1} over {2} it`y TIMES it it`x`sin60 DEG = {sqrt {3}} over {4} it`xy] 이고

산술기하평균 [eqn: {x+y} over {2} GEQ sqrt {xy}]에서 [eqn: x=y] 일

때, 삼각형 [eqn: rm PA prime C prime]의 넓이가 최대가 된다.

따라서 점 [eqn: rm P,Q,R]은 호 [eqn: rm arch{CA} , arch{`AB} ,` arch{BC}]의 중점

이 된다.

(어두운 부분의 넓이)

=(원의 넓이)-12[eqn: rm TRIANGLE PA prime C prime]

=[eqn: 25 pi -12 TIMES {25 sqrt {3}} over {12}]

=[eqn: 25 pi -25 sqrt {3}]

[eqn: a=25,`b=25]이므로 [eqn: a+b=50]