2010학년도 7월 고3 전국연합학력평가

정답 및 해설

고 3	정답 및 해설	2010학년도 7월 전국연합학력평가

2010학년도 7월 전국연합학력평가	정답 및 해설	고 3

5

수리 영역

“가”형 정답

1	③	2	②	3	②	4	①	5	③
6	④	7	⑤	8	④	9	③	10	②
11	③	12	①	13	③	14	④	15	⑤
16	①	17	②	18	[eqn: 20]	19	[eqn: 13]	20	[eqn: 420]
21	[eqn: 15]	22	[eqn: 200]	23	[eqn: 36]	24	[eqn: 53]	25	[eqn: 370]

해설

1. [출제의도] 로그 계산하기

[eqn: LEFT . log`` _{3} `` LEFT ( sqrt {3 ^{3}} ․` root {3} of {3} RIGHT . RIGHT ) ^{2}][eqn: LEFT . =log`` _{3} `` LEFT ( 3 ^{{3} over {2}} ` TIMES ``3 ^{{1} over {3}} RIGHT . RIGHT ) ^{2}]

[eqn: =log _{3} ``3 ^{{11} over {3}}] [eqn: = {11} over {3}]

2. [출제의도] 확률의 덧셈정리를 이용하여 확률 계산하기

[eqn: {` rm P}(A CUP B)=` {rm P}(A)+`{ rm P}(B)-`{rmP} (A SMALLINTER B)``]에서

[eqn: {7} over {12} = {1} over {2} +{ rm P}(B)- {1} over {4} ``]이므로

[eqn: THEREFORE ````` {rm P}(B)= {1} over {3}]

3. [출제의도] 함수의 극한값 계산하기

[eqn: -x=t``]로 치환하면

[eqn: lim _{x -> - INF } {{x- sqrt {x ^{2} -1}} over {x+1} `} = lim _{t -> INF } {{-t- sqrt {t ^{2} -1}} over {-t+1}}]

[eqn: = lim _{t -> INF } {{t+ sqrt {t ^{2} -1}} over {t-1} `=`} lim _{t -> INF } {{1+ sqrt {1- {1} over {t ^{2}}}} over {1- {1} over {t}}} =2]

4. [출제의도] 분수부등식 이해하기

주어진 식의 양변에 [eqn: (x-1) ^{2} (x-2) ^{2} ``]을 곱하면 [eqn: (x-1)(x-2)(x- sqrt {2} )(x+ sqrt {2} ) <= 0]

[eqn: - sqrt {2} ` <= x<`1`] 또는 [eqn: sqrt {2} <= x<2]

이를 만족하는 정수 [eqn: x``]는 [eqn: -1,``0``]이다.

[eqn: THEREFORE `````2``]개

5. [출제의도] 식을 변형하여 함숫값 이해하기

[eqn: f(1)`=f LEFT ( 2` TIMES ` {1} over {2} RIGHT ) = LEFT { f LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) RIGHT } ^{2} =64``], [eqn: f LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) =8]

[eqn: f`(1)=f LEFT ( 3 TIMES {1} over {3} RIGHT ) = LEFT { f LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) RIGHT } ^{3} =64`], [eqn: f LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) =4]

[eqn: f`(1)=f LEFT ( 6 TIMES {1} over {6} RIGHT ) = LEFT { f LEFT ( {1} over {6} RIGHT ) RIGHT } ^{6} =64`], [eqn: f LEFT ( {1} over {6} RIGHT ) =2]

[eqn: THEREFORE `````f LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) +f LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) +f LEFT ( {1} over {6} RIGHT ) =14]

6. [출제의도] 극한값의 성질을 이용하여 수학내적 문제 해결하기

[eqn: y=x ^{2} ``]과 [eqn: y=-x+n``]의 교점의 [eqn: x``]좌표를 [eqn: alpha _{n} ``,``` beta _{`n} ```][eqn: (단,```` alpha _{n} `<` beta _{n} )``]라 하면 교점의 좌표는

[eqn: ( alpha _{n} `,```- alpha _{n} +n)], [eqn: ( beta _{n} `,```- beta _{n} +n)``]이다. … ①

또한 [eqn: alpha _{n} ``,``` beta _{`n} ```]는 [eqn: x ^{2} +x-n=0``]의 두 근이므로  [eqn: alpha _{n} + beta _{n} =`-1], [eqn: alpha _{n``} beta _{n} =-n``]이다.  … ②

①, ② 에 의하여

[eqn: l` _{n} ^{``2} ```=2( alpha _{n} - beta _{n} ) ^{2} ``][eqn: =2 LEFT { ( alpha _{n} + beta _{n} ) ^{2} -4 alpha _{n} beta _{n} ` RIGHT } =8n+2]

[eqn: THEREFORE ````` lim _{n -> INF } {{l` _{n} ^{````2}} over {n}} = lim _{n -> INF } {{8n+2} over {n}} =8]

7. [출제의도] 역행렬을 이용하여 연립방정식의 해 이해하기

[eqn: A ^{2} -A+E=O``]

[eqn: (A+E`)(A-2E`)+3E=O]

[eqn: (A+E)(A-2E)=-3E`]

[eqn: (A+E) LEFT { - {1} over {3} (A-2E) RIGHT } =E```]이므로

[eqn: (A+E) ^{-1} =- {1} over {3} (A-2E)`]이다.

[eqn: (A+E) {pmatrix{``x``#``y``}} = {pmatrix{``3``#``6``}} `]에서

[eqn: ` {pmatrix{``x``#``y``}} =(A+E) ^{-1} {pmatrix{``3``#``6``}}][eqn: `=``- {1} over {3} (A-2E) {pmatrix{``3``#``6``}}]

[eqn: `=(-A+2E) {pmatrix{`1``#``2``}}] [eqn: `=`-A` {pmatrix{`1``#``2``}} +`2E`` {pmatrix{`1``#``2``}}]

[eqn: `= {pmatrix{-3`#~~1``}} +` {pmatrix{``2``#``4``}} =` {pmatrix{-1``#~~5``}}]

[eqn: alpha =`-1`,````` beta =`5``]

[eqn: THEREFORE ````` alpha + beta =4]

8. [출제의도] 등비수열의 합을 이용하여 미분계수 계산하기

[eqn: f(x)=x+ {x ^{2}} over {2} + {x ^{3}} over {3} + CDOTS + {x ^{10}} over {10} ``]이므로

[eqn: f` prime (x)=1+x+x ^{2} + CDOTS +x ^{9} `]이다.

[eqn: f` prime LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) =1+ {1} over {2} + {1} over {2 ^{2}} + {1} over {2 ^{3}} + CDOTS + {1} over {2 ^{9}} = {1- {1} over {2 ^{10}}} over {1- {1} over {2}}]

[eqn: = {2 ^{10} -1} over {2 ^{9}} = {1023} over {512}]

[eqn: THEREFORE `````q-p=1023-512=511]

9. [출제의도] 두 함수의 그래프를 이용하여 합성함수의 극한값 추론하기

[eqn: f(x)= {cases{```````` {1} over {2} `x ^{2}&`(x >= 0)#`- {1} over {2} x ^{2}&`(x<0)}} ``]이므로

ㄱ. [eqn: lim _{x -> +0} {{f`(x)} over {x}} = lim _{x -> +0} {{{1} over {2} x ^{2}} over {x}} = lim _{x -> +0} {{1} over {2} x`} =0]

[eqn: lim _{x -> -0} {{f`(x)} over {x}} = lim _{x -> -0} {{- {1} over {2} x ^{2}} over {x}} = lim _{x -> -0} {left(- {1} over {2} x right)} =0]

[eqn: THEREFORE `````]참

ㄴ. [eqn: lim _{x -> sqrt {2} +0} {g(f(x))= lim _{t -> 1+0} {g(t)=2}} ``]이고

[eqn: lim _{x -> sqrt {2} -0} {g(f(x))= lim _{t -> 1-0} {g(t)=1}} ``]이므로

[eqn: THEREFORE `````]거짓

ㄷ. [eqn: lim _{x -> 1+0} {g(g(x))= lim _{t -> 2-0} {g(t)=1}}]

[eqn: lim _{x -> 1-0} {g(g(x))=1}]

[eqn: lim _{x -> 1} {`g(g(x))=1``}]이고 [eqn: g`(`g(1))=1``]이므로

[eqn: x=1``]에서 연속이다. [eqn: THEREFORE `````]참

10. [출제의도] 무한급수와 정적분의 관계 이해하기

[eqn: F``` prime `(x)=f`(x)```]이므로

[eqn: int _{} ^{} {f(x)`dx=`F``(x)+C``} `]이다.

따라서 [eqn: rm A it (`a,```F``(a))], [eqn: rm B it (`a+c`,``F`(a+c))`]를 지나는 직선의 기울기는

[eqn: {F``(a+c)-F``(a)} over {(a+c)-a} =` {1} over {c} LEFT { `F``(a+c)-F``(a) RIGHT }]

[eqn: = {1} over {c} ` int _{a} ^{a+c} {f(x)dx```} `]

[eqn: =` {1} over {c} `` lim _{n -> INF } {LEFT . sum _{k=1} ^{n} `f` LEFT ( a+` {ck} over {n} ` RIGHT ) ` {c} over {n} RIGHT .}]                    [eqn: =``` lim _{n -> INF } {LEFT . `` sum _{k=1} ^{n} ``f` LEFT ( a+` {ck} over {n} ` RIGHT ) ` {1} over {n} RIGHT .}]

11. [출제의도] 확률변수에 따른 확률분포 추론하기

확률변수 [eqn: X``]가 정규분포 [eqn: rm ```N(60,```5 ^{2} )``]을 따르므로 표본평균 [eqn: bar{X``} `]는 정규분포 [eqn: LEFT . rm ```N` LEFT ( 60,``0.1 ^{2} RIGHT ) RIGHT .]을 따른다. 또한, 불량품으로 판정될 확률은

[eqn: rm P it (X <= 50)= rm P it (Z <= -2)][eqn: =0.02``]

이므로 확률변수 [eqn: Y``]는 이항분포 [eqn: rm B it (2500,```0.02)]를 따르고, 근사적으로 정규분포 [eqn: rm N it (50,``7 ^{2} )]을 따른다.

ㄱ. [eqn: rm P it ( bar{X``} ` >= 60)= {1} over {2}] [eqn: THEREFORE `````]참

ㄴ. [eqn: rm P it (Y` >= 57)= rm P it (Z >= 1)=0.16]

[eqn: rm P it ( bar{X``} ` <= 59.9)= rm P it (Z <= -1)=0.16] [eqn: THEREFORE `````]참

ㄷ.

[eqn: rm P( it 60-k <= X <= 60+k)= rm P it (- {k} over {5} <= Z <= {k} over {5} )]

[eqn: rm P( it 60-k <= bar{X``} <= 60+k)= rm P it (- {k} over {0.1} <= Z <= {k} over {0.1} )]

[eqn: rm P( it 60-k <= X <= 60+k)＜ {rm P}(60-k <= it bar{X``} <= 60+k)]

[eqn: THEREFORE `````]거짓

12. [출제의도] 도함수를 이용하여 함수의 증가와 감소 이해하기

조건 (나)에 의하여 [eqn: f`(x`)=a`x ^{2} +b``]라 하면

[eqn: f(0)=`-2``]이므로 [eqn: b=-2``]

[eqn: f`(x)=ax ^{2} -2] , [eqn: f` prime (x)=2ax``]

[eqn: f(f` prime (x))`=`f` prime `(f(x))``]이므로 [eqn: a= {1} over {2} `]이다.

따라서 [eqn: f(x)= {1} over {2} `x ^{2} -2``]이다.

[eqn: F``(x)``]가 감소하는 구간은 부등식 [eqn: F``` prime (x)＜0]

즉, [eqn: f`(x)<0``]을 만족하는 구간이므로

[eqn: {1} over {2} x ^{2} -2``＜``0``], [eqn: -2`＜`x＜2``]

[eqn: THEREFORE`````]감소하는 구간의 길이는 [eqn: 4]

13. [출제의도] 미분을 이용하여 수학 외적 문제 해결하기

고 3	정답 및 해설	2010학년도 7월 전국연합학력평가

ㄱ. 광원과 물체의 속도는 각각

[eqn: {dx} over {dt} =`- {1} over {2}], [eqn: {dy} over {dt} =2t- {11} over {2} ``]이므로

[eqn: t= 5over2]에서 속도는 [eqn: - {1} over {2} ``]로 같다. [eqn: THEREFORE `````]참

ㄴ. [eqn: rm bar{AB} + bar{BC} =3``]인 순간은

[eqn: t ^{`2} - {11} over {2} t`+10`=`4- {1} over {2} t``]이므로

[eqn: t=2] 또는 [eqn: t=3]  [eqn: THEREFORE `````]참

ㄷ. 그림자 [eqn: rmC``]의 시각 [eqn: t``]에서 벽으로부터의 거리를     [eqn: f`(t)``], 점 [eqn: rmA``]에서 직선 [eqn: m`,```n``]에 내린 수선의     발을 각각 [eqn: rm H`,```H{prime}``]라 하자.

[eqn: 4- {1} over {2} t]

[eqn: 2]

[eqn: t ^{2} - {11} over {2} t+10]

[eqn: 1]

[eqn: RMA]

[eqn: f`(t)]

[eqn: rm B]

[eqn: rm RMH{prime}]

[eqn: rm H]

[eqn: rm C]

[eqn: n]

[eqn: m]

[eqn: l``]

[eqn: rm bar{BH} it =left(4- {1} over {2} t right)-left(t ^{2} - {11} over {2} t+10 right)=-t ^{2} +5t-6]

[eqn: rm bar{CH{prime}} it =4- {1} over {2} t`-f`(t)]

[eqn: rm bar{BH} ``:`` bar{CH prime } `=`2``:``3``]이므로

[eqn: f`(t)=` {3} over {2} t ^{2} -8t+13``]이다.

속도 [eqn: v``]는 [eqn: v= {d`f(t)} over {dt} =3t-8``]이므로

가속도 [eqn: a``]는  [eqn: a`=` {dv} over {dt} =3``]이다. [eqn: THEREFORE `````]거짓

14. [출제의도] 수학적 귀납법을 이용하여 주어진 식 증명하기

(ⅰ) [eqn: n=2`]일 때,

[eqn: a _{1} +2a _{2}]

(좌변)[eqn: =](우변)[eqn: =]

(ⅱ) [eqn: n=i`~(`i>=2)]일 때, 주어진 등식이 성립함을     가정하면,

즉, [eqn: i`S _{i} ````- sum _{k=1} ^{i-1} `S _{k} ``= sum _{k=1} ^{i} `k``a _{k} ``] 임을 가정할 때,

[eqn: & (i+1)`S _{i+1} ````- sum _{k=1} ^{i} `S _{k}]

[eqn: =(i+1)S _{i+1} `- LEFT ( sum _{k=1} ^{i-1} S _{k} ``+S _{i} ` RIGHT )]

[eqn: =(i+1)S _{i+1} `-]

[eqn: LEFT (]

[eqn: RIGHT )]

[eqn: (i+1)S _{i} - sum _{k=1} ^{i} `k`a _{k}]

[eqn: LEFT ( i+1 RIGHT ) LEFT ( S _{i+1} -S _{i} RIGHT )]

[eqn: = sum _{k=1} ^{i} `k``a _{k} ``+]

[eqn: = sum _{k=1} ^{i+1} `k`a _{k}]

15. [출제의도] 조합을 이용하여 경우의 수 추론하기

[eqn: f`(x)=` {cases{2` TIMES `` _{6} ` rm C it rm _{k} ` TIMES ` _{6`} rm C it rm _{k-1} `````&(x=2k)#2` TIMES `` _{6`} rm C it rm _{k-1} ` TIMES ` _{6`} rm C it rm _{k-1} ```&(x=2k-1)}} it]

ㄱ. [eqn: f`(1)=2`] [eqn: THEREFORE] 참

ㄴ. [eqn: f`(2)=12```,] [eqn: f`(12)=12``] [eqn: THEREFORE] 참

ㄷ. [eqn: f`(x)``]의 최댓값은 [eqn: f`(7)] [eqn: therefore] 참

16. [출제의도] 미분과 적분의 관계를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: {g(x+h)-g(x)} over {h} = {1} over {h} int _{x} ^{x+h} {f(t)dt}]

위 식의 양변에 극한을 취하면

[eqn: lim _{h -> 0} {} {g(x+h)-g(x)} over {h} `=` lim _{h -> 0} {} {1} over {h} int _{x} ^{x+h} {f(t)dt}]

[eqn: g`{prime}(x)=f(x)``]이므로

[eqn: g(x)= int _{} ^{} {f(x)dx} = int _{} ^{} {(x ^{2} -4x)} dx`]

[eqn: `= {1} over {3} x ^{3} -2x ^{2} +C]

[eqn: g`(x)=0`]이므로  [eqn: {1} over {3} x ^{3} -2x ^{2} +C``=0``]이다.

[eqn: therefore] 모든 근의 합 [eqn: 6]

17. [출제의도] 역행렬의 성질을 이용하여 수학내적 문제 해결하기

영역 [eqn: x ^{2} +y ^{2} <1``]위의 임의의 두 점 [eqn: {rmA}(x _{1} ,``y _{1} )`], [eqn: rm B it (x _{2} ,``y _{2} )`]에 대하여

[eqn: M+k`E````=` {pmatrix{x _{1} +k~&y _{1} `#x _{2}&y _{2} +k`}} ``]이고,

[eqn: M+k`E``]의 역행렬이 항상 존재해야 하므로

[eqn: {y _{1}} over {x _{1} +k} != {y _{2} +k} over {x _{2}} ``]이다.

따라서, 점 [eqn: {RMC}(x _{1} +k,``y _{1} )], [eqn: {RMD}(x _{2} `,```y _{2} +k`)``]라 하면

점 [eqn: RMC`]는 [eqn: (x-k) ^{2} +y ^{2} <1``]의 임의의 점이고 …①

점 [eqn: RMD`]는 [eqn: x ^{2} +(y-k) ^{2} <1``]의 임의의 점이다. …②

원점을 지나는 직선이 두 영역을 동시에 지나지 않아야 한다.

따라서 [eqn: k``]의 최솟값은 [eqn: sqrt {2} ``]이다.

18. [출제의도] 무리방정식 이해하기

[eqn: sqrt {x ^{2} -1} `=x- {1} over {2}] , [eqn: x ^{2} -1=x ^{2} -x+ {1} over {4} ``]

[eqn: x= {5} over {4}]는 무연근이 아니므로 [eqn: alpha = {5} over {4}]

[eqn: THEREFORE `````16` alpha ``=`20]

19. [출제의도] 확률밀도함수 이해하기

[eqn: f`(x)=1-ax]

[eqn: 1-a]

[eqn: 1-3a]

[eqn: f``(x)`=`1-ax``]가 확률밀도함수이므로

[eqn: {1} over {2} TIMES `(2-4a)` TIMES `2``=1`], [eqn: a= {1} over {4}]이다.

[eqn: rm P it `(`1` <= X` <= 2)``]은 어두운 부분의 넓이와 같으므로

[eqn: rm P it `(`1 <= X` <= 2)``= {1} over {2} TIMES ` {5} over {4} ` TIMES `1`= {5} over {8}]

[eqn: therefore`````p+q=13]

20. [출제의도] 분수부등식을 이용하여 수학 외적 문제 해결하기

[eqn: A``]구간의 평균 속력을 [eqn: x``][eqn: (x>20)``]라 하자.

전체 구간에서의 평균 속력이 [eqn: 100``]이상이므로 전체 구간을 주행하는데 걸리는 시간은 [eqn: {6} over {100} ``]시간 이하여야 한다. 따라서

[eqn: {2} over {x} + {1} over {100} + {3} over {x-20} ` <= {6} over {100}]

[eqn: x>20`]이므로 [eqn: x ^{2} -120x+800 >= 0]

[eqn: THEREFORE `````x>=60+20 sqrt {7}]

[eqn: A``]구간의 평균 속력의 최솟값은 [eqn: 60+20 sqrt {7}]

[eqn: therefore] [eqn: ab=420]

21. [출제의도] 여러 가지 수열을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: p=q=1``], [eqn: r=n``]이면 [eqn: 2a _{1} +a _{n} =a _{n+2} ``]이므로

[eqn: a _{n+2} =a _{n} +20]

[eqn: a _{1} =10``]이므로 [eqn: a _{3} =30], [eqn: a _{5} =50`]

[eqn: a _{5} =a _{3} +2a _{1} ``]이므로 [eqn: a _{2} =20]

따라서 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ``]은 공차가 [eqn: 10``]인 등차수열이다.

[eqn: a _{n} =10`n``] …①

수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]에서 [eqn: p=1```]을 대입하여 정리하면

[eqn: b _{n} = {3} over {5} LEFT ( {3} over {5} RIGHT ) ^{n-1`} = LEFT ( {3} over {5} RIGHT ) ^{n}]…②

①, ②에 의하여

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } {a _{n} `b _{n}} over {n} ``=` sum _{n=1} ^{INF } {10`n` TIMES `( {3} over {5} ) ^{n}} over {n} `]

[eqn: `=`10 sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( {3} over {5} RIGHT ) ^{n} =`15]

22. [출제의도] 무한등비급수의 합을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: ANGLE rm BAC``=`45 DEG]이므로

[eqn: l _{1} =50 sqrt {2}] , [eqn: l _{2} =50] , [eqn: l _{3} =25 sqrt {2}], …

따라서, [eqn: l` _{n} `=`50 sqrt {2} ` TIMES `left( {1} over {sqrt {2}} right ) ^{n-1} ``]이다.

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } `l _{n} = {50 sqrt {2}} over {1- {1} over {sqrt {2}}} =100+100 sqrt {2}]

[eqn: therefore] [eqn: a+b=200]

23. [출제의도] 함수의 연속성과 미분가능성의 개념 이해하기

[eqn: f`(x)`]가 [eqn: x=3``]에서 연속이므로,

[eqn: - {1} over {2} (3-a) ^{2} +b=9`] … ①

또한 [eqn: f` prime (x)= {cases{`2x&(x <= 3)#-x+a``````&(x``>3)}} ``]

[eqn: f`(x)`]는 [eqn: x=3`]에서 미분가능하므로 [eqn: a=9``]… ②

①, ②  에 의하여

[eqn: a=9`,```b=27]

[eqn: therefore] [eqn: a+b`=36]

24. [출제의도] 정적분의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: 0 <= x<1``]일 때, [eqn: g(x)= int _{0} ^{x} {2t`dt``=x ^{2}}]

[eqn: x>=1``]일 때, [eqn: g(x)= int _{0} ^{1} {2t`dt+ int _{1} ^{x} {2`dt=2x-1}}]

[eqn: g(x)=` {cases{`x ^{2} ```````&(0 <= x<1)#`2x-1&`(x>=1)}} ``]

[eqn: V= pi int _{0} ^{1} {(x ^{2} `) ^{2} `dx``+`} ` pi int _{1} ^{2} {(2x-1) ^{2} dx``}][eqn: `= {68} over {15} pi]

[eqn: therefore] [eqn: q-p=53]

25. [출제의도] 로그함수의 그래프를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

직선 [eqn: rm OP``]가 [eqn: rm ANGLE AOB``]의 이등분선이므로

[eqn: rm ANGLE AOP= ANGLE POB```]이고

[eqn: rm ANGLE POB= ANGLE APO`](엇각)이므로

[eqn: rm ANGLE AOP= ANGLE APO``], [eqn: rm bar{OA} = bar{AP} ``]이다.

[eqn: rm bar{AP`} ` it =`f`(k)``]이므로 [eqn: rm bar{OA} ` it `=`f(k)``].

[eqn: rm A``]의 좌표가 [eqn: (2 ^{k} ,````k)``]이므로

[eqn: f`(k)= sqrt {4 ^{k} +k ^{2}} ``]

[eqn: therefore`````][eqn: sum _{k=1} ^{4} ` LEFT { f`(k) RIGHT } ^{2} = sum _{k=1} ^{4} `(4 ^{k} +k ^{2} )`=370]

미분과 적분 정답

26	③	27	②	28	④	29	⑤	30	[eqn: 251]

26. [출제의도] 함수의 극한값 계산하기

[eqn: lim _{x` -> `0} {` {e ^{`x`sin`x} `+`e ^{x`sin`2x} `-2} over {x``ln`(1+x)}}]

[eqn: =` lim _{x` -> `0} {` {e` ^{`x``sinx} -1} over {x`sinx} TIMES {sin`x} over {x} `times {x} over {ln`(1+x)}}]

[eqn: +`` lim _{x` -> `0} {` {e` ^{`x``sin2x} -1} over {x`sin2x} TIMES {sin`2x} over {2x} ` TIMES 2times` {x} over {ln`(1+x)}}]

[eqn: =1+2=3]

27. [출제의도] 삼각함수의 덧셈정리 이해하기

두 접선이 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta ``], 점 [eqn: (6,``2)``]와 원점을 지나는 직선이 [eqn: x`]축과 이루는 예각의 크기를 [eqn: gamma ```]라 하자.

[eqn: alpha < beta ``]일 때, [eqn: {theta } over {2} + alpha = gamma ``,``` {theta } over {2} + gamma = beta ``]이므로

[eqn: alpha + beta =2 gamma `] 이고 [eqn: tan` gamma `= {1} over {3} ``]이다.

[eqn: tan( alpha + beta )=tan`2 gamma = {2tan` gamma } over {1-tan ^{2} gamma } = {3} over {4}]

28. [출제의도] 미분을 이용하여 역함수의 성질 이해하기

역함수는 [eqn: y=x``]대하여 대칭이므로

함수 [eqn: f(x)`=ln {x} over {k} ``]의 접선 중 기울기가 [eqn: 1``]인 접선에서 [eqn: y=x``]까지 거리의 두 배가 [eqn: l _{k} ``]이다.

[eqn: f` prime (x)`=1``]인 접점의 좌표는 [eqn: (1,~ln {1} over {k} )``]이다.

[eqn: d= {LEFT | 1-ln {1} over {k} RIGHT |} over {sqrt {2}} = {1+lnk} over {sqrt {2}} = {(1+lnk) sqrt {2}} over {2}]

[eqn: l _{k} =2d=(1+lnk) sqrt {2} >= 3 sqrt {2}] 에서 [eqn: k >= e ^{2}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: k```]의 최솟값은 [eqn: 8`]

29. [출제의도] 미분을 이용하여 함수의 그래프추론하기

ㄱ. [eqn: f`{prime}(x)= {-x(3x-4)} over {(x ^{2} -2x+2) ^{3}} ``], [eqn: f`{prime}(1)=1``]

접선의 방정식은 [eqn: y=x- {1} over {2} ``]이므로

[eqn: THEREFORE] 접선과 원점 사이의 거리는 [eqn: {sqrt {2}} over {4}] [eqn: THEREFORE `````]참

ㄴ. [eqn: x=0``]에서 최솟값 [eqn: - {1} over {8} ``]을 갖는다.  [eqn: THEREFORE `````]참

ㄷ. 함수 [eqn: f`(x)``]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: y=f`(x)]

[eqn: f`(x)-f`(10)=0``]의 근은 [eqn: 2``]개다.  [eqn: THEREFORE `````]참

30. [출제의도] 미분을 이용하여 수학 외적 문제 해결하기

분침의 속력 : [eqn: {2 pi } over {60} = {pi } over {30}]

시침의 속력 : [eqn: {{pi } over {6}} over {60} = {pi } over {360}]

[eqn: 3`]시 정각에서 [eqn: t``](분) 후 분침과 시침이 이루는 각의 크기를 [eqn: theta ``]라 할 때, [eqn: 4`]시 정각 근처에서

[eqn: theta = {pi } over {30} t- LEFT ( {pi } over {2} + {pi } over {360} t RIGHT ) = {pi } over {30} t- {pi } over {2} - {pi } over {360} t`]

[eqn: rm ANGLE POQ it =2 pi - theta ``]이므로

[eqn: S= {1} over {2} ` TIMES `2` TIMES ``3sin(2 pi - theta )][eqn: rm =3cos {11 pi } over {360} t]

[eqn: {dS} over {dt} =`-3` TIMES ` {11 pi } over {360} ` TIMES `sin {11 pi } over {360} t`]

[eqn: t=60`]일 때, [eqn: {dS} over {dt} =` {11} over {240} pi]

[eqn: THEREFORE] [eqn: p+q=251]

확률과 통계 정답

26	①	27	③	28	⑤	29	③	30	[eqn: 404]

26. [출제의도] 줄기와 잎 그림에서 평균과 중앙값 계산하기

[eqn: a= {68+72} over {2} `=`70``], [eqn: b= {84+88+92+96} over {4} `=`90``]

[eqn: therefore`````][eqn: b-a=20`]

27. [출제의도] 확률의 곱의 법칙 이해하기

[eqn: {2} over {5} ```+``` {3} over {5} TIMES {2} over {5} TIMES {1} over {2} ```+``` {3} over {5} TIMES {2} over {5} TIMES {1} over {2} TIMES {1} over {4} TIMES {2} over {3} ``]

[eqn: =`` {2} over {5} + {3} over {25} + {1} over {50} ``=`` {27} over {50}]

28. [출제의도] 기댓값과 표준편차의 성질 이해하기

확률변수 [eqn: X``]는 정규분포 [eqn: rm N it ``(m`,``` sigma ^{2} `)``]을 따르고

[eqn: rm P it (`X<a-3)= rm P it (`X>b+2)``]이므로

[eqn: {(a-3)+(b+2)} over {2} =m]

[eqn: m= {a+b-1} over {2}] … ①

[eqn: Y= {1} over {3} X+1```], [eqn: {rmE`}(Y)=51``]이므로

[eqn: {rmE`}(Y)={rmE`}( {1} over {3} X+1)= {1} over {3} m+1``]

[eqn: m=150] … ②

①, ② 에 의하여 [eqn: a+b=301]

[eqn: {rmV`}(Y)=`{rmV`}( {1} over {3} X+1)= {1} over {9} {rmV`}(X)]

[eqn: {1} over {9} {rmV`}(X)= {4} over {9} `]이므로 [eqn: {rmV`}(X)=4`], [eqn: sigma =2]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a+b+ sigma `=303]

29. [출제의도] 분산의 성질 추론하기

ㄱ. [eqn: S`(a)=0``]이면 [eqn: {RMV}(X)=0``]이다. [eqn: THEREFORE `````]참

ㄴ. (반례) [eqn: sum _{i=1} ^{n} x _{i`} ``p _{`i} ``=m``]라 할 때,

[eqn: S``(m-1)=S``(m+1)``] [eqn: THEREFORE `````]거짓

ㄷ. [eqn: S``(a)``]는 [eqn: a``]가 [eqn: X``]의 평균일 때, 최솟값을 갖는다.

확률변수 [eqn: X``]의 평균 [eqn: sum _{i=1} ^{n} x _{i`} ``p _{`i} ``=m``]이라 하면

[eqn: S``(a)= sum _{i=`1} ^{n} (x _{i} -a) ^{2} `p _{i} `]

[eqn: =` sum _{i`=1} ^{n} ` LEFT { (x _{i} -m)+(m-a) RIGHT } ^{2} `p _{i}]

[eqn: = sum _{i=1} ^{n} ` LEFT { (x _{i} -m) ^{2} +2(x _{i} -m)(m-a) RIGHT .]

[eqn: +(m-a) ^{2} `right}`p _{i}]

[eqn: = sum _{i=1} ^{n} LEFT { (x _{i} -m) ^{2} +(m-a) ^{2} RIGHT } ``p _{i}]

(∵[eqn: (m-a) sum _{i=1} ^{n} (x _{i} -m)`p _{i} =0``]이므로)

[eqn: S`(a)``]는 [eqn: a=m``]일 때,

최솟값 [eqn: sum _{i=1} ^{n} (x _{i} -m) ^{2} `p _{`i} ``]를 갖는다.  [eqn: THEREFORE `````]참

30. [출제의도] 확률질량함수를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

이항분포를 따르는 확률변수[eqn: X```]의 확률질량함수는 [eqn: rm P it (X``=x)=` _{n} ` rm C` it ` _{x} ```p ^{`x} ``(1-p) ^{n-x} ``]

[eqn: rm P it (X=2) it `=48`TIMES rm `P it (X=1)]

[eqn: {} _{25} rm C it rm _{2} ``p ^{2} `(1-p) ^{23} ```=`48` TIMES _{25} rm C it rm _{1} ``p``(1-p) ^{24} `]

[eqn: p``=`` {4} over {5} ``]

[eqn: rm E` it (X)={np}=20``], [eqn: rm V it (X`)={np(1-p)}=4``]이므로

[eqn: rm V` it (X`)= rm E it (X` ^{2} )- LEFT { rm E` it (X) RIGHT } ^{2}]

[eqn: therefore`````][eqn: rm E` it (X ^{`2} `)=404]

이산수학 정답

26	②	27	③	28	④	29	⑤	30	[eqn: 85]

26. [출제의도] 경우의 수 계산하기

[eqn: {} _{3} RMH _{5} `TIMES`` _{3} RMH _{2} `=` _{7} RMC _{5} TIMES` _{4} RMC _{2} =126]

27. [출제의도] 그래프와 해밀턴 회로의 관계  이해하기

꼭짓점을 적절하게 색칠하는 데 필요한 최소 색의 수가 [eqn: 3``]인 그래프는 ②, ③, ④번이다. 그런데 ③번의 그래프는 해밀턴 회로가 존재하지 않는다.

28. [출제의도] 생성수형도의 개념 이해하기

회로 [eqn: rmABCD``]에서 수형도를 만들기 위해 변 [eqn: 2`]개를 제거하는 방법의 가짓수 : [eqn: 8`]가지

회로 [eqn: rm EFG``]에서 수형도를 만들기 위해 변 [eqn: 1`]개를 제거하는 방법의 가짓수 : [eqn: 3``]가지

[eqn: therefore`````]생성수형도의 개수는 [eqn: 8` TIMES 3=24``](가지)

29. [출제의도] 비둘기집의 원리를 이용하여 주어진 명제 증명하기

[eqn: n`(X`)=10``]이므로 [eqn: X``]의 부분집합의 개수는

[eqn: 2 ^{10} =1024``]

이다.

[eqn: X``]의 부분집합 중 원소의 합이 최소인 경우는 [eqn: phi```], 최대인 경우는 [eqn: LEFT { 91,```92,```93,``` CDOTS `,```100` RIGHT } ``]이므로

[eqn: 955]

[eqn: 0 <= s _{`i} ` <= `]

이다.

이면 주어진 식은 성립한다.

[eqn: X _{`j} `-(X _{`i} ` SMALLINTER X _{`j} )]

[eqn: B=]

[eqn: X _{`i} `-(X _{`i} ` SMALLINTER X _{`j} `)``,``]

[eqn: A=]

30. [출제의도] 수의 규칙성을 이용하여 수학 외적 문제 해결하기

[eqn: a _{1} =1`,```a _{2} =3``]이고 사탕 [eqn: n``]개를 뽑는 경우의 수는

사탕 [eqn: n-1``]개를 뽑고 [eqn: A``]자판기 버튼을 누르는 방법과 사탕 [eqn: n-2``]개를 뽑고 [eqn: B``] 또는 [eqn: C``]자판기를 누르는 방법이 있다.

[eqn: a _{n} =a _{n-1} `+`2`a _{n-2}] ([eqn: n>=3])

[eqn: THEREFORE] [eqn: a _{7} `=`85]

“나”형 정답

1	③	2	②	3	①	4	④	5	③
6	④	7	⑤	8	②	9	③	10	③
11	③	12	②	13	①	14	④	15	⑤
16	②	17	⑤	18	[eqn: 12]	19	[eqn: 22]	20	[eqn: 32]
21	[eqn: 15]	22	[eqn: 200]	23	[eqn: 103]	24	[eqn: 36]	25	[eqn: 370]
26	①	27	①	28	④	29	②	30	[eqn: 25]

해설

1. [출제의도] 로그 계산하기

[eqn: LEFT . log`` _{3} `` LEFT ( sqrt {3 ^{3}} ․` root {3} of {3} RIGHT . RIGHT ) ^{2}][eqn: LEFT . =log`` _{3} `` LEFT ( 3 ^{{3} over {2}} ` TIMES ``3 ^{{1} over {3}} RIGHT . RIGHT ) ^{2}]

[eqn: =log _{3} ``3 ^{{11} over {3}}] [eqn: = {11} over {3}]

2. [출제의도] 확률의 덧셈정리를 이용하여 확률 계산하기

[eqn: {` rm P}(A CUP B)=` {rm P}(A)+`{ rm P}(B)-`{rmP} (A SMALLINTER B)``]에서

[eqn: {7} over {12} = {1} over {2} +{ rm P}(B)- {1} over {4} ``]이므로

[eqn: THEREFORE ````` {rm P}(B)= {1} over {3}]

3. [출제의도] 극한값 계산하기

[eqn: lim _{n -> ` INF } {{1} over {sqrt {n ^{2} +n+1} - sqrt {n ^{2} -n+1}}}]

[eqn: = lim _{n -> ` INF } {{LEFT ( sqrt {n ^{2} +n+1} + sqrt {n ^{2} -n+1} RIGHT )} over {2n}} =1]

4. [출제의도] 경우의 수 계산하기

[eqn: {} _{3} rm P _{`2} ` TIMES `5`!`=720]

5. [출제의도] 식을 변형하여 함숫값 이해하기

[eqn: f(1)`=f LEFT ( 2` TIMES ` {1} over {2} RIGHT ) = LEFT { f LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) RIGHT } ^{2} =64``], [eqn: f LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) =8]

[eqn: f`(1)=f LEFT ( 3 TIMES {1} over {3} RIGHT ) = LEFT { f LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) RIGHT } ^{3} =64`], [eqn: f LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) =4]

[eqn: f`(1)=f LEFT ( 6 TIMES {1} over {6} RIGHT ) = LEFT { f LEFT ( {1} over {6} RIGHT ) RIGHT } ^{6} =64`], [eqn: f LEFT ( {1} over {6} RIGHT ) =2]

[eqn: THEREFORE `````f LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) +f LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) +f LEFT ( {1} over {6} RIGHT ) =14]

6. [출제의도] 등차수열의 합과 일반항의 관계 이해하기

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의 첫째항과 공차를 [eqn: a _{1} ``(a _{1} != 0)`]라 하면 [eqn: S _{n} =k`a _{n``} `]에서

[eqn: {n LEFT { 2a _{1} +(n-1)a _{1} RIGHT }} over {2} =k LEFT { a _{1} +(n-1)a _{1} RIGHT }]

[eqn: {na _{1} (n+1)} over {2} =k`n`a _{1}]

양변을 [eqn: na _{1} ``]으로 나누면 [eqn: k= {n+1} over {2}]

두 자리 자연수 [eqn: k``]가 최댓값 [eqn: 99`]일 때, [eqn: n`]은 최댓값 [eqn: 197``]을 갖는다.

[eqn: THEREFORE `````197]

7. [출제의도] 역행렬을 이용하여 연립방정식의 해 이해하기

[eqn: A ^{2} -A+E=O``]

[eqn: (A+E`)(A-2E`)+3E=O]

[eqn: (A+E)(A-2E)=-3E`]

[eqn: (A+E) LEFT { - {1} over {3} (A-2E) RIGHT } =E```]이므로

[eqn: (A+E) ^{-1} =- {1} over {3} (A-2E)`]이다.

[eqn: (A+E) {pmatrix{``x``#``y``}} = {pmatrix{``3``#``6``}} `]에서

[eqn: ` {pmatrix{``x``#``y``}} =(A+E) ^{-1} {pmatrix{``3``#``6``}}][eqn: `=``- {1} over {3} (A-2E) {pmatrix{``3``#``6``}}]

[eqn: `=(-A+2E) {pmatrix{`1``#``2``}}] [eqn: `=`-A` {pmatrix{`1``#``2``}} +`2E`` {pmatrix{`1``#``2``}}]

[eqn: `= {pmatrix{-3`#~~1``}} +` {pmatrix{``2``#``4``}} =` {pmatrix{-1``#~~5``}}]

[eqn: alpha =`-1`,````` beta =`5``]

[eqn: THEREFORE ````` alpha + beta =4]

8. [출제의도] 로그함수의 성질 이해하기

[eqn: log` _{2} (y+1)-log` _{2} `|`x`|`=][eqn: log` _{2} {y+1} over {LEFT | x RIGHT |} `]에서

[eqn: {y+1} over {LEFT | x RIGHT |} =k~(k>0)``] 즉, [eqn: y=k` LEFT | `x` RIGHT | -1``]로 놓으면

[eqn: k``]가 최솟값을 가질 때, [eqn: log` _{2} {y+1} over {LEFT | x RIGHT |} `] 즉, [eqn: log` _{2} `k```]도 최솟값을 갖는다.

[eqn: y=x ^{2} ``]과 [eqn: y=k`` LEFT | `x` RIGHT | -1``]이 접할 때,

즉, 방정식 [eqn: x ^{2} `-k`` LEFT | `x` RIGHT | `+1=0``]이 중근을 가질 때, [eqn: k``]가 최솟값을 가지므로 [eqn: k=2``]이다.

[eqn: therefore] [eqn: log` _{2} {y+1} over {LEFT | x RIGHT |} `][eqn: =log` _{2} ``k``=`log` _{2} ``2``=1]

9. [출제의도] 행렬의 성질 추론하기

ㄱ. [eqn: AB=O``]이면

[eqn: A ^{2} B ^{2} =A(AB)B=AOB=O``]  [eqn: therefore`````]참

ㄴ. [eqn: A+B=E``]에서 [eqn: A(A+B)=AE`]이므로

[eqn: A ^{2} +AB=A`] … ①

또 [eqn: A+B=E``]에서 [eqn: (A+B)A=EA```]이므로

[eqn: A ^{2} +BA=A`] … ②

①, ② 에 의하여 [eqn: AB=BA=A-A ^{2}]  [eqn: therefore`````]참

ㄷ. [eqn: A ^{2} =O``]이면 [eqn: A ^{2} -E`=-E``]이므로

[eqn: (A-E)(A+E)=-E``]

따라서 [eqn: A+E```]의 역행렬이 존재한다. [eqn: therefore`````]거짓

10. [출제의도] 조건부 확률 이해하기

투표 결과 투표 전	갑에게 투표	을에게 투표
갑 지지	[eqn: 0.28]	[eqn: 0.42]
을 지지	[eqn: 0.15]	[eqn: 0.15]
계	[eqn: 0.43]	[eqn: 0.57]

을에게 투표한 학생이 선택된 사건을 [eqn: C``], 투표 전과  후에 지지했던 후보를 바꾸지 않은 학생이 선택된 사건을 [eqn: D``]라 하면, 구하고자 하는 확률은

[eqn: rm P it (D``□C``)= {rm P it (C` SMALLINTER D`)} over {rm P it `(C`)} = {0.15} over {0.42+0.15} = {5} over {19}]

11. [출제의도] 등비수열을 이용하여 수학 내적  문제 해결하기

[eqn: rm bar{CE} ` it =a``], [eqn: {rm bar{EB} `}=ar``], [eqn: rm ` bar{BD} it =ar ^{2} ``]이라 하자.

(삼각형[eqn: rm EBC]의 넓이)[eqn: =`][eqn: {1} over {5} `](사각형[eqn: rm `ABCD]의 넓이)

[eqn: therefore`````][eqn: a=4`] … ①

[eqn: rm ANGLE ABD`=` ANGLE A prime BD], [eqn: rm ANGLE ABD`=` ANGLE BDC`]

[eqn: rm TRIANGLE DEB``]는 이등변 삼각형이므로 [eqn: rm bar{DE} it = rm bar{EB} ``]

[eqn: therefore`````][eqn: r= {3} over {2}] … ②

①, ② 에 의하여

[eqn: rm bar{CE} `,` rm ``` bar{EB} `,``` rm bar{``BD} ``]의 길이는 각각 [eqn: 4`,```6`,```9`].

[eqn: {rm ANGLE EDB`}= theta ``]이라 할 때, [eqn: rm TRIANGLE DEB``]에서

제이코사인법칙에 의하여

[eqn: cos` theta `=` {36+81-36} over {2` TIMES 6 TIMES 9} = {3} over {4}] .

[eqn: rm TRIANGLE ABD``]에서 제이코사인법칙에 의하여

[eqn: { rm bar{AD} } ^{2} =10 ^{2} +9 ^{2} -2` TIMES 9 TIMES 10 TIMES `cos` theta]

[eqn: THEREFORE `````][eqn: rm bar{AD} = sqrt {46}]

12. [출제의도] 함수의 그래프를 해석하여 수학  내적 문제 해결하기

[eqn: {rmA}( alpha ,``m alpha ),`{rm`B}( beta ,```m beta )`]라 하자. (단, [eqn: alpha != 0``])

[eqn: rmTRIANGLE OBD``:` TRIANGLE OAC`=4:1``]이므로

[eqn: rm bar{OB``} :` bar{OA`} =2:1``]. 즉, [eqn: beta =2 alpha]

[eqn: m alpha =log _{2} alpha ``]이고 [eqn: `2m alpha =log _{2`} 2 alpha ``]이므로

[eqn: 2`log _{`2} ` alpha `=`log _{`2} ``2 alpha], [eqn: alpha ^{2} =2 alpha]

[eqn: alpha != 0``]이므로  [eqn: THEREFORE ` alpha =2,`` beta =4]

사각형 [eqn: rmABDC``]는 등변사다리꼴이므로,

[eqn: y=m`x`]은 [eqn: y=n`x```]의 역함수이다.

따라서 [eqn: {rmC`}(2m,````2)`,`````{rmD}`(4m,```4)``]이므로

[eqn: 2 ^{2m} =2``]에서 [eqn: m= {1} over {2}] , [eqn: n=2]

[eqn: therefore] [eqn: m+n= {5} over {2}]

13. [출제의도] 순서도를 이용하여 약수의 곱 추론하기

인쇄되는 [eqn: S``]는 [eqn: 72``]의 양의 약수의 곱이다.

[eqn: 72=2 ^{3} TIMES 3 ^{2}]

[eqn: 72``]의 양의 약수는 다음과 같다.

[eqn: TIMES]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 2 ^{2}]	[eqn: 2 ^{3}]
[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 2 ^{2}]	[eqn: 2 ^{3}]
[eqn: 3]	[eqn: 3]	[eqn: 2 TIMES 3]	[eqn: 2 ^{2} TIMES 3]	[eqn: 2 ^{3} TIMES 3]
[eqn: 3 ^{2}]	[eqn: 3 ^{2}]	[eqn: 2 TIMES 3 ^{2}]	[eqn: 2 ^{2} TIMES 3 ^{2}]	[eqn: 2 ^{3} TIMES 3 ^{2}]

[eqn: therefore] [eqn: S=2 ^{18} TIMES 3 ^{12}]

14. [출제의도] 수학적 귀납법을 이용하여 주어진 식 증명하기

(ⅰ) [eqn: n=2`]일 때,

[eqn: a _{1} +2a _{2}]

(좌변)[eqn: =](우변)[eqn: =]

(ⅱ) [eqn: n=i`~(`i>=2)]일 때, 주어진 등식이 성립함을     가정하면,

즉, [eqn: i`S _{i} ````- sum _{k=1} ^{i-1} `S _{k} ``= sum _{k=1} ^{i} `k``a _{k} ``] 임을 가정할 때,

[eqn: & (i+1)`S _{i+1} ````- sum _{k=1} ^{i} `S _{k}]

[eqn: =(i+1)S _{i+1} `- LEFT ( sum _{k=1} ^{i-1} S _{k} ``+S _{i} ` RIGHT )]

[eqn: =(i+1)S _{i+1} `-]

[eqn: LEFT (]

[eqn: RIGHT )]

[eqn: (i+1)S _{i} - sum _{k=1} ^{i} `k`a _{k}]

[eqn: LEFT ( i+1 RIGHT ) LEFT ( S _{i+1} -S _{i} RIGHT )]

[eqn: = sum _{k=1} ^{i} `k``a _{k} ``+]

[eqn: = sum _{k=1} ^{i+1} `k`a _{k}]

15. [출제의도] 조합을 이용하여 경우의 수 추론하기

[eqn: f`(x)=` {cases{2` TIMES `` _{6} ` rm C it rm _{k} ` TIMES ` _{6`} rm C it rm _{k-1} `````&(x=2k)#2` TIMES `` _{6`} rm C it rm _{k-1} ` TIMES ` _{6`} rm C it rm _{k-1} ```&(x=2k-1)}} it]

ㄱ. [eqn: f`(1)=2`] [eqn: THEREFORE] 참

ㄴ. [eqn: f`(2)=12```,] [eqn: f`(12)=12``] [eqn: THEREFORE] 참

ㄷ. [eqn: f`(x)``]의 최댓값은 [eqn: f`(7)=800``] [eqn: therefore] 참

16. [출제의도] 수열의 극한을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: S` _{n} =` pi ``r _{n} ^{2} ``], [eqn: S _{n+1} =`2S _{n`} ``]이므로

[eqn: pi ```r _{n+1} ^{```````````````````2} ````=``2` pi ``r _{n} ^{```2}], [eqn: r _{n+1} `= sqrt {2} `r _{n`} `]

[eqn: r _{1} `=`1``]이므로 [eqn: r _{n} `=`( sqrt {2} ) ^{n-1}]

[eqn: therefore`````][eqn: sum _{n=1} ^{INF } ` {1} over {r _{n}} `=` sum _{n=1} ^{INF } left( {1} over {sqrt {2}} right ) ^{n-1} = {1} over {1- {1} over {sqrt {2}}} `]

[eqn: ``=``2+ sqrt {2}]

17. [출제의도] 로그 방정식을 이용하여 수학 외적 문제 해결하기

[eqn: 90=100```log`(h+7.57-1.7 TIMES 50 ^{0.37} )]

[eqn: 0.9=log` LEFT ( h+7.57-7.24 RIGHT )]

[eqn: 3`log`2=log`(h+0.33)]

[eqn: `log``8=log`(h+0.33)]

[eqn: THEREFORE `````h=7.67]

18. [출제의도] 지수방정식의 해 계산하기

[eqn: 3 ^{- {3} over {2} x} =`3 ^{6-2x}]

[eqn: - {3} over {2} x=6-2x]

[eqn: THEREFORE `````x=12]

19. [출제의도] 행렬의 연산 이해하기

[eqn: A ^{-1} LEFT ( 2A+B RIGHT ) =2E+A ^{-1} B]

[eqn: = {pmatrix{`2&~0`#`0&~2`}} + {pmatrix{`-2~&3`#-1~&2}} {pmatrix{-1&~0`#~~1&~2`}} ~]

[eqn: = {pmatrix{`7&~6`#3&~6}}]

[eqn: therefore`````]모든 성분의 합은 [eqn: 7+6+3+6=22]

20. [출제의도] 이항정리를 이용하여 이항계수 이해하기

[eqn: {} _{4} rm C _{1} ` it `x ^{3} TIMES ` {1} over {x ^{3}} +` _{8} rm C it rm _{2} ```x ^{6} TIMES left( {1} over {x ^{3}} right) ^{2} `][eqn: = _{`4} rm C it rm _{1} + _{8} rm C it rm _{2} ```]

[eqn: THEREFORE] [eqn: 32]

21. [출제의도] 여러 가지 수열을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: p=q=1``], [eqn: r=n``]이면 [eqn: 2a _{1} +a _{n} =a _{n+2} ``]이므로

[eqn: a _{n+2} =a _{n} +20]

[eqn: p=q=r=1``]이면 [eqn: a _{3} =30]

[eqn: p=q=2`,``r=1``]이면 [eqn: a _{5} =2a _{2} +a _{1} ``]이고,

[eqn: a _{5} =a _{3} +2a _{1} ``,```a _{5} =50```]이므로 [eqn: a _{2} =20]

따라서 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ``]은 공차가 [eqn: 10``]인 등차수열이다.

[eqn: a _{n} =10`n``] …①

수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]에서 [eqn: p=1```]을 대입하여 정리하면

[eqn: b _{n} = {3} over {5} LEFT ( {3} over {5} RIGHT ) ^{n-1`} = LEFT ( {3} over {5} RIGHT ) ^{n}]…②

①, ②에 의하여

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } {a _{n} `b _{n}} over {n} ``=` sum _{n=1} ^{INF } {10`n` TIMES `( {3} over {5} ) ^{n}} over {n} `]

[eqn: `=`10 sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( {3} over {5} RIGHT ) ^{n} =`15]

22. [출제의도] 무한등비급수의 합을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: ANGLE rm BAC``=`45 DEG]이므로

[eqn: l _{1} =50 sqrt {2}] , [eqn: l _{2} =50] , [eqn: l _{3} =25 sqrt {2}], …

따라서, [eqn: l` _{n} `=`50 sqrt {2} ` TIMES `left( {1} over {sqrt {2}} right) ^{n-1} ``]이다.

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } `l _{n} = {50 sqrt {2}} over {1- {1} over {sqrt {2}}} =100+100 sqrt {2}]

[eqn: therefore] [eqn: a+b=200]

23. [출제의도] 확률을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

중복을 허락하여 만들 수 있는 네 자리 자연수는

[eqn: {} _{5} SMALLPROD _{4} - _{5} SMALLPROD _{3} =625-125=500``]가지

[eqn: a _{1} <a _{2} <a _{3} ``]이므로 [eqn: a _{3} ``]는 [eqn: 3``]또는 [eqn: 4``]이다.

(ⅰ) [eqn: a _{3} =3``]일 때

[eqn: a _{1} <a _{2} <a _{3} ``]이므로, [eqn: a _{1} =1`], [eqn: a _{2} =2``]이고

[eqn: a _{4} ``]는 [eqn: 0,`1,`2``]중 한 가지이므로 [eqn: 3`]가지

(ⅱ) [eqn: a _{3} =4``]일 때

[eqn: a _{1} ,``a _{2} `]는 [eqn: 1,`2,`3`] 중 [eqn: 2`]개의 수를 선택하여 큰   수가 [eqn: a _{2} `], 작은 수가 [eqn: a _{1} ``]([eqn: a _{1} != 0])이다. 따라서, [eqn: a _{1} ,``a _{2} `]가 될 수 있는 경우는 [eqn: {} _{3} {rmC} _{2} =3`]가지, [eqn: a _{4} `]는 [eqn: 0,`1,`2,`3`] 중 한 가지이므로 [eqn: 4`]가지이다.

조건에 맞는 경우의 수는 [eqn: {} _{3} {rmC} _{2} TIMES 4=12`]가지

구하고자 하는 확률은 [eqn: {3+12} over {500} = {3} over {100}]

[eqn: therefore] [eqn: p+q=103]

24. [출제의도] 수열의 극한의 성질 이해하기

[eqn: lim _{n-> INF } {` {a _{n}} over {2n+3} =2,``` lim _{n-> INF } {` {b _{n}} over {3n+1} =3``}}]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {` {a _{n}} over {2n+3} `times` {b _{n}} over {3n+1} ``}]

[eqn: = lim _{n`-> ` INF } {` {a _{n}} over {2n+3} `times` lim _{n`-> ` INF } {` {b _{n}} over {3n+1} `=2times3=6`}}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: lim _{n`-> ` INF } {` {a _{n``} b _{n} ^{}} over {n ^{2} +4}}]

[eqn: =` lim _{n` -> INF } { {a _{n``} b _{n}} over {(2n+3)(3n+1)}` TIMES lim _{n` -> ` INF } { {(2n+3)(3n+1)} over {n ^{2} +4}}}]

[eqn: =6times6=36]

25. [출제의도] 로그함수의 그래프를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

직선 [eqn: rm OP``]가 [eqn: rm ANGLE AOB``]의 이등분선이므로

[eqn: rm ANGLE AOP= ANGLE POB```]이고

[eqn: rm ANGLE POB= ANGLE APO`](엇각)이므로

[eqn: rm ANGLE AOP= ANGLE APO``], [eqn: rm bar{OA} = bar{AP} ``]이다.

[eqn: rm bar{AP`} ` it =`f`(k)``]이므로 [eqn: rm bar{OA} ` it `=`f(k)``].

[eqn: rm A``]의 좌표가 [eqn: (2 ^{k} ,````k)``]이므로

[eqn: f`(k)= sqrt {4 ^{k} +k ^{2}} ``]

[eqn: therefore`````][eqn: sum _{k=1} ^{4} ` LEFT { f`(k) RIGHT } ^{2} = sum _{k=1} ^{4} `(4 ^{k} +k ^{2} )`=370]

26. [출제의도] 경우의 수를 이용하여 수학 외적 문제 해결하기

[eqn: 3``]개의 화면 중 [eqn: 2``]개의 화면은 [eqn: 2``]개의 정보를, 1개의 화면은 [eqn: 1``]개의 정보를 보여주어야 하므로, [eqn: 5``]가지 정보를 [eqn: 2``]개, [eqn: 2``]개, [eqn: 1``]개로 나누는 방법의 수는 [eqn: rm _{5} rm C _{2} times _{3} C _{2} times _{1} C _{1} times {1} over {2!} =15](가지)이고,

이것을 화면에 보여주는 경우의 수는 [eqn: 6``](가지)이다.

[eqn: therefore`````][eqn: 15 TIMES 6=90``](가지)

27. [출제의도] 확률을 이용하여 수학 외적 문제 해결하기

(ⅰ) [eqn: 3``]개의 예선문제 모두 맞힌 경우

[eqn: {} _{3} rm C it rm _{3``} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{3} = {1} over {27}]

(ⅱ) 예선문제 [eqn: 2``]개 맞추고, 찬스문제 맞힌 경우

[eqn: {} _{3} rm C it rm _{2`} left( {1} over {3}right) ^{2} TIMES ` {2} over {3} TIMES {1} over {4} = {1} over {18}]

[eqn: therefore`````][eqn: {1} over {27} + {1} over {18} = {5} over {54}]

28. [출제의도] 수열의 귀납적 정의를 이용하여 일반항 추론하기

[eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ``] : [eqn: 1`,```2,```4,```6,```9,`` CDOTS ``]이므로

[eqn: a _{2k-1} =`k ^{2} `,``````a _{2k} `=`k(k+1)``]이다.

[eqn: a _{n+1} -a _{n} =b _{n} ``]이라 하면

[eqn: LEFT { b _{n} RIGHT } ``] : [eqn: 1`,```2,```2,```3,```3,```4,` CDOTS ``]이므로

[eqn: b _{n} =15``]인 [eqn: n``]은 [eqn: 28,```29``]이다.

[eqn: therefore] [eqn: 28+29=57]

29. [출제의도] 역행렬의 존재성 이해하기

[eqn: A-kE`= {pmatrix{2-k~&3`#3&4-k`}} ``]의 역행렬이 존재하지

않으려면 [eqn: (2-k)(4-k)-9=0``]

[eqn: k ^{2} -6k-1=0``]의 두 근을 [eqn: k _{1} `,```k _{2} ``]라 하면

[eqn: k _{1} +k _{2} =6``,```k _{1} `k _{2} =-1``]

[eqn: therefore] [eqn: k _{1} ^{````2} `+`k _{2} ^{````2} `=38]

30. [출제의도] 도형의 성질과 극한을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: lim _{n -> INF } {} S _{n`}][eqn: = lim _{n -> INF } {LEFT . LEFT { {n ^{2} M} over {(6n+3) ^{2}} + {(2n+1) ^{2} M`} over {(6n+3) ^{2}} + {(3n+2) ^{2} M} over {(6n+3) ^{2}} ` RIGHT . RIGHT }}]

[eqn: = {7} over {18} `M`]

[eqn: therefore`````][eqn: p+q`=`25]