1.

2011학년도 대수능 6월 모의평가 수리영역-나형 해설지

[eqn: ` ^{3} sqrt {8} =` ^{3} sqrt {2 ^{3}} =2`]

[eqn: log _{3} ``81=log _{3} ``3 ^{4} =4`]

∴ [eqn: {1} over {` ^{3} sqrt {8}} TIMES log _{3} ``81`]

[eqn: = {1} over {2} TIMES 4`]

[eqn: =2`]

ꂼ ②

2. [eqn: A+B=2E]에서 [eqn: B=2E-A]이므로

[eqn: A-B=A-(2E-A)]

[eqn: =2A-2E]

[eqn: =2 LEFT { {pmatrix{```````1&````2#-2&````3}} - {pmatrix{1&0#0&1}} RIGHT }]

[eqn: =2 {pmatrix{```````0&````2#-2&````2}}]

[eqn: = {pmatrix{```````0&````4#-4&```4}}]

따라서 모든 성분의 합은 4이다.

ꂼ ④

3.

[eqn: lim _{n -> INF } {{3 CDOT 4 ^{n} -3 ^{n}} over {4 ^{n} +3 ^{n} +2}}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {{3- LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{n}} over {1+ LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{n} +2 LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{n}}}]

[eqn: =3]

ꂼ ③

4.

[eqn: {16 ^{`x}} over {2} =2 ^{x+3} `]에서

[eqn: (2 ^{4} ) ^{x} =2 CDOT 2 ^{x+3}]

[eqn: 2 ^{4x} =2 ^{x+4}]

[eqn: 4x=x+4]

∴ [eqn: x= {4} over {3}]

ꂼ ④

5. [eqn: (f CIRC g)(2)+(g CIRC h)(2)]

[eqn: =f(g(2))+g(h(2))]

[eqn: =f(4)+g(1)]

[eqn: =2 ^{4} +1=17]

ꂼ ①

6. 첫째항이 1, 끝항이 2, 항의 개수가 [eqn: n+2]이므로

[eqn: {(n+2)(1+2)} over {2} =24]

[eqn: n+2=16]

[eqn: therefore] [eqn: n=14]

ꂼ ④

7.

[eqn: log _{2} (x ^{2} +x-2)<log _{2} (-2x+2)]에서

진수조건에서

[eqn: x ^{2} +x-2>0]

[eqn: (x+2)(x-1)>0]

∴ [eqn: x larrow 2] 또는 [eqn: x>1`] [eqn: cdots㉠]

[eqn: -2x+2>0]

∴ [eqn: x<1`] [eqn: cdots㉡]

㉠, ㉡에서 [eqn: x larrow 2][eqn: cdots ㉢]

주어진 로그부등식의 밑이 [eqn: 2`]이므로

[eqn: x ^{2} +x-2<-2x+2`]

[eqn: x ^{2} +3x-4<0]

[eqn: (x+4)(x-1)<0]

∴ [eqn: -4<x<1][eqn: cdots㉣]

㉢, ㉣에서

[eqn: -4 < x< - 2]

∴ [eqn: alpha =-4,`` beta =-2]

∴ [eqn: alpha beta =8]

ꂼ ④

8.

직선 [eqn: AB`]의 방정식은

[eqn: y-3=-(x-2)`]

즉, [eqn: y=-x+5`]

한편, 두 함수 [eqn: y=2 ^{x} -1`], [eqn: y=log _{2} `(x+1)`]은 서로 역함수이므로 두 함수의 그래프는 직선 [eqn: y=x`]에 대하여 대칭이다.

직선 [eqn: AB`]가 직선 [eqn: y=x`]와 수직으로 만나므로

점 [eqn: B`]의 좌표는 점 [eqn: A`]를 직선 [eqn: y=x`]에 대하여 대칭이동한 것과 같다.

∴ [eqn: B(3,``2)`]

사각형 [eqn: ACDB`]에서

[eqn: bar{AC} =3`], [eqn: bar{BD} =2`], [eqn: bar{CD} =1`]이므로

사각형 [eqn: ACDB`]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES (3+2) TIMES 1= {5} over {2} `]

ꂼ ①

9.

[eqn: t _{1} =10`]일 때, [eqn: T _{1} =200`]

[eqn: t _{2} =20`]일 때, [eqn: T _{2} =202`]이므로

[eqn: kappa =C TIMES {log20-log10} over {202-200} `=C TIMES {log2} over {2} `] [eqn: cdots㉠`]

[eqn: t _{3} =x]일 때, [eqn: T _{3} =206`]이므로

[eqn: kappa =C TIMES {logx-log20} over {206-202}]

[eqn: =C TIMES {logx-log20} over {4} `] [eqn: cdots㉡`]

㉠,㉡에서

[eqn: {logx-log20} over {4} = {log2} over {2} `]

[eqn: logx-log20=2log2`]

[eqn: logx=log20+2log2=log80`]

∴ [eqn: x=80`]

ꂼ ②

10. 도형 [eqn: R _{1}]에서 색칠된 직사각형의 가로의 길이를 [eqn: x]라 하면

[eqn: 2x+ {1} over {4} TIMES 5=5] [eqn: THEREFORE ``x= {15} over {8}]

또, 세로의 길이를 [eqn: y]라 하면

[eqn: 2y+ {1} over {5} TIMES 4=4] [eqn: THEREFORE] [eqn: y= {8} over {5}]

그러므로

[eqn: S _{1} =4 TIMES {15} over {8} TIMES {8} over {5} =12]

한편, 색칠된 하나의 직사각형의 가로의 길이, 세로의 길이는 각각 [eqn: {3} over {8}], [eqn: {2} over {5}]인 등비수열을 이루고 직사각형의 개수는 공비가 4인 등비수열을 이룬다.

따라서, 수열 [eqn: LEFT { S _{n} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: 12], 공비가 [eqn: 4 TIMES {3} over {8} TIMES {2} over {5}] 즉, [eqn: {3} over {5}]인 등비수열을 이루므로

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n} = {12} over {1- {3} over {5}} =30]

ꂼ ②

11. 역행렬을 갖지 않으므로

[eqn: t TIMES (t ^{2} +t)-(t+1) TIMES 2t=0]

[eqn: t ^{3} -t ^{2} -2t=0]

[eqn: t(t ^{2} -t-2)=0]

[eqn: t(t+1)(t-2)=0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: t=0] 또는 [eqn: t=-1] 또는 [eqn: t=2]

따라서 모든 [eqn: t]의 값의 합은

[eqn: 0+(-1)+2=1]

ꂼ  ①

12.

[eqn: 7a _{1} +7 ^{2} a _{2} + CDOTS +7 ^{n-1} a _{n-1} +7 ^{n} a _{n} =3 ^{n} -1`]

[eqn: cdots㉠`]

[eqn: 7a _{1} +7 ^{2} a _{2} + CDOTS +7 ^{n-1} a _{n-1} =3 ^{n-1} -1`]

[eqn: cdots㉡`]

㉠-㉡에서

[eqn: 7 ^{n} a _{n} =3 ^{n} -3 ^{n-1} =2 CDOT 3 ^{n-1} `]

∴ [eqn: a _{n} = {2 CDOT 3 ^{n-1}} over {7 ^{n}} `] ([eqn: n >= 2`])

[eqn: n=1`]일 때, [eqn: 7a _{1} =3 ^{1} -1`]에서

[eqn: a _{1} = {2} over {7} `]이므로

[eqn: a _{n} = {2 CDOT 3 ^{n-1}} over {7 ^{n}} `] ([eqn: n >= 1`])

∴ [eqn: sum _{n=1} ^{INF } `` {a _{n}} over {3 ^{n-1}} `][eqn: = sum _{n=1} ^{INF } `` LEFT ( ` {1} over {3 ^{n-1}} TIMES {2 CDOT 3 ^{n-1}} over {7 ^{n}} ` RIGHT ) `]

[eqn: = sum _{n=1} ^{INF } `` {2} over {7 ^{n}} `]

[eqn: = {{2} over {7}} over {1- {1} over {7}} `]

[eqn: = {1} over {3} `]

ꂼ ①

13. [eqn: 0=ka _{k+1} + sum _{m=1} ^{k} ma _{m}]

[eqn: =ka _{k+1} + sum _{m=1} ^{k-1} ma _{m} +ka _{k}]

[eqn: =ka _{k+1} +(1-k)a _{k} +ka _{k}]

이므로

[eqn: ka _{k+1} =(k-1)a _{k} -ka _{k} =-a _{k}]

[eqn: therefore] [eqn: a _{k+1} =- {1} over {k} a _{k}]

따라서 (가), (나)에 들어갈 식은 각각

[eqn: 1-k], [eqn: - {1} over {k}]

이므로

[eqn: f(k)=(1-k)(- {1} over {k} )=1- {1} over {k}]

[eqn: therefore] [eqn: f(10)=1- {1} over {10} = {9} over {10}]

ꂼ ⑤

14.

연립방정식이 [eqn: x=0,``y=0`] 이외의 해를 가지려면

행렬 의 역행렬이 존재하지 않아야 한다.

따라서, [eqn: 1 CDOT (-4)-(-k) CDOT k=0`]에서

[eqn: k ^{2} =4`]

[eqn: k=-2`] 또는 [eqn: k=2`]

그러므로 모든 실수 [eqn: k`]의 값의 합은 0이다.

ꂼ ③

15.

[eqn: b _{n} =a _{n}]이므로

[eqn: a _{n+1} =a _{n} +b _{n}]

[eqn: =2a _{n}]

또, [eqn: a _{1} =1]이므로

[eqn: a _{n} =2 ^{n-1}]

따라서,

[eqn: sum _{k=1} ^{6} a _{k} = sum _{k=1} ^{6} 2 ^{k-1}]

[eqn: = {1 TIMES LEFT ( 2 ^{6} -1 RIGHT )} over {2-1}]

[eqn: =][eqn: 63]

ꂼ ③

16.

점 [eqn: rm P _{it n rm}]의 좌표를 [eqn: (a _{n} ,``0)]이라 하면

점 [eqn: rm A _{it n rm}]의 좌표는 [eqn: (a _{n} ,``-a _{n} +2)]

점 [eqn: rm B _{it n rm}]의 좌표는 [eqn: LEFT ( - {1} over {4} (a _{n} +2),```-a _{n} +2 RIGHT )]

점 [eqn: rm C _{it n rm}]의 좌표는 [eqn: LEFT ( - {1} over {4} (a _{n} +2),```0 RIGHT )]

따라서 점 [eqn: rm P _{it n+1 rm}]의 좌표는

[eqn: LEFT ( {1} over {4} (a _{n} +2),```0 RIGHT )]

∴ [eqn: a _{n+1} = {1} over {4} (a _{n} +2)]

[eqn: lim _{n -> INF } {} a _{n} = alpha]라 하면 [eqn: lim _{n -> INF } {} a _{n+1} = alpha]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {} a _{n+1} = lim _{n -> INF } {} {1} over {4} (a _{n} +2)]에서

[eqn: alpha = {1} over {4} ( alpha +2)]

∴ [eqn: alpha = lim _{n -> INF } {} a _{n} = {2} over {3}]

ꂼ ⑤

17.

주어진 삼각형을 포함하는 사각형을 만들려면 점 [eqn: O(0,`0)`]을 반드시 꼭짓점으로 해야 한다.

점 [eqn: O`]와 연결된 변의 꼭짓점은

[eqn: (4,``0),``(8,``0)`] 중에서 한 개,

[eqn: (0,4),``(0,`8)`] 중에서 한 개 선택하며,

점 [eqn: O`]와 변으로 연결되지 않은 한 꼭짓점은

[eqn: (4,`4),``(4,`8),`(8,`4),`(8,`8)`] 중에서 한 개를 선택해야 한다.

따라서, 꼭짓점을 선택하는 방법의 수는

[eqn: ` _{2} C _{1} TIMES ` _{2} C _{1} TIMES ` _{4} C _{1} =16`](개)

이 중에서 [eqn: (0,`0),(8,0),`(4,`4),`(0,`8)`]을 꼭짓점으로 선택하면 사각형을 만들 수 없다.

따라서, 구하는 사각형의 개수는

[eqn: 16-1=15`](개)

ꂼ ②

18. [eqn: a _{2} a _{4} =a _{3} ^{2} =16]

[eqn: therefore] [eqn: a _{3} =4] ([eqn: BECAUSE][eqn: a _{n} >0])

[eqn: a _{3} a _{5} =4a _{5} =64]

[eqn: therefore] [eqn: a _{5} =16]

따라서 공비를 [eqn: r]([eqn: r>0])라 하면

[eqn: a _{5} =a _{3} r ^{2} =4r ^{2} =16]

[eqn: r ^{2} =4]

[eqn: therefore] [eqn: r = 2]

[eqn: therefore] [eqn: a _{7} =a _{5} r ^{2} =16 TIMES 2 ^{2} =64]

ꂼ 64

19. 일반항은

[eqn: ` _{6} C _{r} ( {x} over {2} ) ^{6-r} ( {2} over {x} ) ^{r} =` _{6} C _{r} 2 ^{-6+2r} x ^{6-2r}]

(단, [eqn: r=0,1,2,3,4,5,6])

따라서 상수항은 [eqn: 6-2r =0]에서 [eqn: r = 3]일 때이므로

[eqn: ` _{6} C _{3} 2 ^{-6+6} = {6 TIMES 5 TIMES 4} over {3 TIMES 2 TIMES 1} =20]

ꂼ 20

20. [eqn: 2A ^{2} -A=2E] 에서

[eqn: (2A-E)A=2E]

[eqn: (2A-E)( {1} over {2} A)=E]

[eqn: THEREFORE] [eqn: (2A-E) ^{-1} = {1} over {2} A]

따라서 행렬 [eqn: A]의 모든 성분의 합이 24이므로 행렬 [eqn: 2A-E]의 역행렬의 모든 성분의 합은

[eqn: 24 TIMES {1} over {2} =12]

ꂼ  12

21. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } (3 ^{n} a _{n} -2)]가 수렴하므로

[eqn: lim _{n -> INF } {} (3 ^{n} a _{n} -2)=0]

[eqn: therefore] [eqn: lim _{n -> INF } {} 3 ^{n} a _{n} =2]

[eqn: lim _{n -> INF } {} {6a _{n} +5 CDOT 4 ^{-n}} over {a _{n} +3 ^{-n}}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} {6 CDOT 3 ^{n} a _{n} +5( {3} over {4} ) ^{n}} over {3 ^{n} a _{n} +1}]

[eqn: = {6 TIMES 2} over {2+1} =4]

ꂼ  4

22.

[eqn: a=log _{2} (2+ sqrt {3} )]에서

[eqn: 2 ^{a} =2+ sqrt {3}]

[eqn: 4 ^{a} =(2 ^{a} ) ^{2}][eqn: =(2+ sqrt {3} ) ^{2}]

[eqn: =7+4 sqrt {3}]

∴ [eqn: 4 ^{a} + {4} over {2 ^{a}} =7+4 sqrt {3} + {4} over {2+ sqrt {3}}]

[eqn: =7+4 sqrt {3} +4(2- sqrt {3} )]

[eqn: =15]

ꂼ 15

23

(ⅰ) A, B가 공통으로 가입한 동아리가 1개인 경우

공통으로 가입하는 동아리 1개를 선택하고 이를 제외한 3개의 동아리 중에서 A, B가 각각 하나씩 택하면 되므로 구하는 경우의 수는

[eqn: {} _{4} rm C _{1} TIMES 3 TIMES 2=24](가지)

(ⅱ) A, B가 공통으로 가입한 동아리가 없는 경우

A가 2개의 동아리를 선택한 후 B가 나머지 중에 2개의 동아리를 선택하면 되므로 구하는 경우의 수는

[eqn: {} _{4} rm C _{2} TIMES _{2} rm C _{2} =6](가지)

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 경우의 수는

[eqn: 24+6=30](가지)

ꂼ 30

24.

[eqn: n`]이 두 자리 자연수이므로

[eqn: logn=1+ alpha `] ([eqn: 0 <= alpha <1`]) [eqn: cdots㉠`]

로 놓을 수 있다.

[eqn: log {1} over {2} =-log2=-1+(1-log2)`]

[eqn: =-1+log5`]

이므로 [eqn: log {1} over {2} `]의 가수는 [eqn: log5`]이다.

[eqn: logn`]의 가수가 [eqn: alpha `]이므로

문제의 조건에서 [eqn: alpha `<log5`]

따라서, [eqn: 0 <= alpha <log5`]이므로 ㉠에서

[eqn: 1 <= logn<1+log5`]

[eqn: log10 <= logn<log50`]

∴ [eqn: 10 <= n<50`]

따라서, 자연수 [eqn: n`]의 개수는

[eqn: 50-10=4`0](개)

ꂼ 40

25.

[eqn: a _{n} =16 TIMES LEFT ( 2 ^{{1} over {10}} ` RIGHT ) ^{n-1} =2 ^{{1} over {10} n+4- {1} over {10}} `]이므로

[eqn: loga _{n} = LEFT ( {1} over {10} n+4- {1} over {10} RIGHT ) `log2`]

[eqn: = LEFT ( {1} over {10} n+4- {1} over {10} RIGHT ) TIMES 0.301`]

[eqn: =0.0301n+1.204-0.0301`]

[eqn: =0.0301n+1.1739`]

[eqn: =1+(0.0301n+0.1739)`]

[eqn: 0.0301n+0.1739 >= 1`]에서

[eqn: 0.0301n >= 0.8261`]

[eqn: n >= 27.4 TIMES TIMES TIMES `]

따라서, [eqn: 1 <= n <= 27`]일 때,

[eqn: loga _{n} `]의 가수 [eqn: b _{n} `]은

[eqn: b _{n} =0.0301n+0.1739`]

이므로 수열

[eqn: b _{1} ,``b _{2} ,``b _{3} ,`` CDOTS ,`b _{27} `]

은 공차가 [eqn: 0.0301`]인 등차수열을 이룬다.

[eqn: b _{28} =0.0301 TIMES 28+0.1739-1`]이므로

[eqn: b _{28} +1=0.0301 TIMES 28`+0.1739`]

[eqn: b _{29} =0.0301 TIMES 29+0.1739-1`]이므로

[eqn: b _{29} +1=0.0301 TIMES 29`+0.1739`]

따라서, 수열

[eqn: b _{1} ,``b _{2} ,`` CDOTS ,``b _{27} ,``b _{28} +1,``b _{29} +1`]

은 공차가 [eqn: 0.0301`]인 등차수열을 이룬다.

그러므로 수열

[eqn: b _{1} ,``b _{2} ,``b _{3} ,`` CDOTS ,``b _{k} ,``b _{k+1} +1`]

이 등차수열을 이루는 [eqn: k`]의 값은

[eqn: 27`]이다.

ꂼ [eqn: 27`]

26. [eqn: AB= {pmatrix{-2#```4}} {pmatrix{1``&{3} over {2} ``&5}} = {pmatrix{-2&``-3&``-10#``4&``6&``20}}]

이므로 행렬 [eqn: AB]의 모든 성분의 합은

15이다.

ꂼ  ③

27. 곡선 [eqn: y=a^-x-2]가 직선 [eqn: y=1]과 만나는 점

[eqn: rmA]의 좌표를 [eqn: rmA (t, ``1)]이라 하면

[eqn: 1=a^-t-2] 에서 [eqn: a>1] 이므로 [eqn: -t-2=0]이다.

[eqn: THEREFORE```` t=-2]

또 곡선 [eqn: y=log_a (x-2)]가 직선 [eqn: y=1]과 만나   는 점 [eqn: rm B]의 좌표를 [eqn: rmB (k, ``1)]이라 하면

[eqn: 1=log _{a} (k-2),````k-2=a]

[eqn: THEREFORE````k=a+2]

따라서

[eqn: rm bar{AB} = sqrt {LEFT { a+2-(-2) RIGHT } ^{2} +(1-1) ^{2}}]

[eqn: =(a+4) =8]

이므로 [eqn: a=4] 이다.

ꂼ ②

28. [eqn: rm A]보다 [eqn: rm B]가 본사로부터 거리가 먼 지사에

발령이 나야하므로 다음과 같이 경우를     나누어 생각한다.

(i) [eqn: rm A]가 ‘가’지사에 발령 나는 경우

‘나’ 지사에 나머지 사람을 발령하는 경우     의 수는 [eqn: rm B]를 제외한 3가지이므로

각 지사에 발령하는 경우의 수는

[eqn: 3 TIMES 3 TIMES 2 TIMES 1=18]

(ii) [eqn: rm A]가 ‘나’지사에 발령 나는 경우

‘가’ 지사에 나머지 사람을 발령하는 경우     의 수는 [eqn: rm B]를 제외한 3가지이므로

각 지사에 발령하는 경우의 수는

[eqn: 3 TIMES 3 TIMES 2 TIMES 1=18]

(iii) [eqn: rm A]가 ‘가’, ‘나’지사 이외의 곳에 발령 나     는 경우

‘가’, ‘나’지사에 나머지 사람을 발령하는

경우의 수는 [eqn: `_3 P_2] 이고 나머지의 곳에

[eqn: rm A,``B]를 포함하여 세 명을 발령하는 경우    의 수는 3가지뿐이므로 구하는 경우의 수    는  [eqn: ` _{3} P _{2} TIMES 3=18]

따라서 (i), (ii), (iii)에서 구하는 모든 경우   의 수는  [eqn: 18+18+18=54] (가지)이다.

ꂼ ③

29. ㄱ.   [eqn: A=P {pmatrix{a&```0#0&```b}} `P ^{-1}]

[eqn: B=P {pmatrix{c&```0#0&```d}} `P ^{-1}]

이므로 [eqn: a=c,```b=d] 이면 [eqn: A=B] 이다.  (참)

ㄴ. [eqn: AB=P {pmatrix{a&```0#0&```b}} `P ^{-1} P {pmatrix{c&```0#0&```d}} `P ^{-1}]

[eqn: =P {pmatrix{a&```0#0&```b}} {pmatrix{c&```0#0&```d}} `P ^{-1}]

[eqn: =P {pmatrix{ac&```0#0&```bd}} `P ^{-1}]

[eqn: BA=P {pmatrix{c&```0#0&```d}} `P ^{-1} P {pmatrix{a&```0#0&```b}} `P ^{-1}]

[eqn: =P {pmatrix{c&```0#0&```d}} {pmatrix{a&```0#0&```b}} `P ^{-1}]

[eqn: =P {pmatrix{ac&```0#0&```bd}} `P ^{-1}]

[eqn: THEREFORE ```AB =BA] (참)

ㄷ.  [eqn: A-B=P {pmatrix{a&```0#0&```b}} `P ^{-1} -P {pmatrix{c&```0#0&```d}} `P ^{-1}]

[eqn: =P LEFT [ {pmatrix{a&```0#0&```b}} - {pmatrix{c&```0#0&```d}} RIGHT ] `P ^{-1}]

[eqn: =P {pmatrix{a-c&```0#0&```b-d}} `P ^{-1}]

에서 [eqn: A-B]의 역행렬이 존재하므로

[eqn: (a-c)(b-d) != 0] 이다.

따라서 [eqn: a != c] 이고 [eqn: b != d] 이다. (참)

따라서 옳은 것은  ㄱ, ㄴ, ㄷ

ꂼ ⑤

30.  각 자리의 숫자의 합이 5인 다섯 자리     자연수 중에서

0을 한 개도 사용하지 않고

만든 숫자는 11111 한 가지 뿐이다.

0을 한 개 사용하여 만든 숫자는

0, 1, 1, 1, 2 로 이루어져 있으므로

(i) 맨 앞자리에 1이 오는 경우

나머지 숫자 0, 1, 1, 2를 배열하는 방법의    수는 [eqn: {4!} over {2!} =12](가지)

(ii) 맨 앞자리에 2가 오는 경우

나머지 숫자 0, 1, 1, 1을 배열하는 방법의    수는 [eqn: {4!} over {3!} =4](가지)

따라서 구하는 모든 자연수의 개수는

17 가지이다.

ꂼ  17