2011학년도 대수능 6월 모의평가 수리영역-가형 해설지

1.

[eqn: `^3 root 8 = `^3 root 2^3 = 2`]

[eqn: log_3``81 = log_3``3^4 = 4`]

∴ [eqn: 1over{ `^3 root 8} times log_3``81`]

[eqn: = 1over2 times 4`]

[eqn: = 2`]

□ ②

2. [eqn: A+B=2E]에서 [eqn: B=2E-A]이므로

[eqn: A-B=A-(2E-A)]

[eqn: =2A-2E]

[eqn: =2 LEFT { {pmatrix{```````1&````2#-2&````3}} - {pmatrix{1&0#0&1}} RIGHT }]

[eqn: =2 {pmatrix{```````0&````2#-2&````2}}]

[eqn: = {pmatrix{```````0&````4#-4&```4}}]

따라서 모든 성분의 합은 4이다.

□ ④

3.

[eqn: lim_x->3 {x^2 +ax+b} over x-3 = 14`]에서

[eqn: x->3`]일 때, [eqn: (분모)->0]이므로 [eqn: (분자)->0]이어야 한다. 즉,

[eqn: lim_x->3 ({x^2 +ax+b})=9+3a+b=0]

∴ [eqn: b= - 3(a+3)]

[eqn: lim_x->3 {x^2 +ax-3(a+3)} over x-3][eqn: =lim_x->3 {(x-3)(x+a+3)}over x-3]

[eqn: = 6+a][eqn: =14]

∴ [eqn: a=8, ``b=-33`]

∴ [eqn: a+b = - 25]

□ ①

4. [eqn: x(x-a)(x-1)^2 <0] 에서

[eqn: (x-1)^2 >=0] 이므로

[eqn: x(x-a)<0], [eqn: x not=1]…㉠

따라서 ㉠을 만족하는 자연수의 개수가 4개이므로 다음과 같아야 한다.

0

1

2

3

4

5

6

[eqn: a]

[eqn: therefore] [eqn: 5< a<=6]

따라서 실수 [eqn: a]의 최댓값은 6이다.

□ ④

5. [eqn: f(x)]의 이차항의 계수를 [eqn: a]([eqn: a>0])라고 하면

[eqn: f(x) = a (x-2)(x+2)]

[eqn: f(x+1) over f(x-1) <=1] ⇔ [eqn: {a(x-1)(x+3) }over{ a(x-3)(x+1)} <=1]

⇔ [eqn: {(x-1)(x+3)}over {(x-3)(x+1)} <=1]

⇔ [eqn: {(x-1)(x+3)}over {(x-3)(x+1)} -1<=0]

⇔ [eqn: 4x over {(x-3)(x+1)} <=0]

따라서

[eqn: x(x+1)(x-3)<=0], [eqn: x not=-1],[eqn: x not=3]

이므로

[eqn: A = left{ x| x< -1 ~또는~0<=x<3 right}]

[eqn: therefore][eqn: A INTER B]

[eqn: = left{ x|-5 < x< -1 ~또는~0<=x<3 right}]

따라서 집합 [eqn: A INTER B]의 원소 중에서 정수인 것은 -4, -3, -2, 0, 1, 2의 6개이다.

□ ③

6.

[eqn: x overx-1 + x-2 overx+1 = ax+5 over{x^2 - 1}]

의 양변에 [eqn: x^2 -1`]을 곱하면

[eqn: x(x+1)+(x-2)(x-1)= ax+5]

[eqn: 2x^2 -(2+a)x-3=0] [eqn: cdots㉠]

의 판별식 [eqn: D`]가

[eqn: D= (2+a)^2 - 4 cdot2 cdot (-3)]

[eqn: = a^2 +4a+ 8][eqn: =(a+2)^2 +4][eqn: >0]

이므로 서로 다른 두 실근을 갖는다.

그런데 이 방정식이 오직 하나의 실근을 가지므로 ㉠은 무연근 [eqn: x=1`] 또는 [eqn: x=-1`]을 근을 가져야 한다.

(i)[eqn: x=1`]일 때, [eqn: 2- (2+a)-3=0]

∴ [eqn: a=-3`]

(ii)[eqn: x=-1`]일 때, [eqn: 2+ (2+a) -3=0]

∴ [eqn: a=-1`]

따라서 (i), (ii)에서 구하는 모든 상수 [eqn: a`]의 값의 곱은

[eqn: (-3) times (-1) = 3`]

□ ①

7.

[eqn: lim _{t -> INF } {f LEFT ( {t-1} over {t+1} RIGHT )}]에서 [eqn: s= {t-1} over {t+1}]로 놓으면

[eqn: s=1+ {-2} over {t+1}]

이므로 [eqn: t -> INF]일 때, [eqn: s -> 1-0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: lim _{t -> INF } {f LEFT ( {t-1} over {t+1} RIGHT )}][eqn: = lim _{s -> 1-0} {f(s)} =2]  ----㉠

또, [eqn: lim _{t -> - INF } {f LEFT ( {4t-1} over {t+1} RIGHT )}]에서 [eqn: s= {4t-1} over {t+1}]로 놓으면

[eqn: s=4+ {-5} over {t+1}]

이므로 [eqn: t -> - INF]일 때, [eqn: s -> 4+0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: lim _{t -> - INF } {f LEFT ( {4t-1} over {t+1} RIGHT )}][eqn: = lim _{s -> 4+0} {f(s)} =3] ---㉡

따라서, ㉠과 ㉡에서

[eqn: lim _{t -> INF } {f LEFT ( {t-1} over {t+1} RIGHT )}][eqn: + lim _{t -> - INF } {f LEFT ( {4t-1} over {t+1} RIGHT )}]

[eqn: =2+3=5]

□ ③

8.

직선 [eqn: AB`]의 방정식은

[eqn: y-3 = -(x-2)`]

즉, [eqn: y= -x+5`]

한편, 두 함수 [eqn: y= 2^x -1`], [eqn: y= log_2 `(x+1)`]은 서로 역함수이므로 두 함수의 그래프는 직선 [eqn: y=x`]에 대하여 대칭이다.

직선 [eqn: AB`]가 직선 [eqn: y=x`]와 수직으로 만나므로

점 [eqn: B`]의 좌표는 점 [eqn: A`]를 직선 [eqn: y=x`]에 대하여 대칭이동한 것과 같다.

∴ [eqn: B(3,``2)`]

사각형 [eqn: ACDB`]에서

[eqn: bar AC = 3`], [eqn: bar BD = 2`], [eqn: bar CD = 1`]이므로

사각형 [eqn: ACDB`]의 넓이는

[eqn: 1over2 times ( 3+2 ) times 1 = 5 over 2`]

□ ①

9.

[eqn: t_1 = 10`]일 때, [eqn: T_1 = 200`]

[eqn: t_2 = 20`]일 때, [eqn: T_2 = 202`]이므로

[eqn: kappa = C times { log20- log10} over 202-200}` = C times log2 over 2`] [eqn: cdots㉠`]

[eqn: t_3 = x]일 때, [eqn: T_3 = 206`]이므로

[eqn: kappa = C times { log x - log 20} over 206-202]

[eqn: = C times { logx - log20} over 4`] [eqn: cdots㉡`]

㉠,㉡에서

[eqn: {log x - log20} over 4 = log2 over 2`]

[eqn: log x - log20 = 2 log2`]

[eqn: log x = log20 + 2log2 = log 80`]

∴ [eqn: x = 80`]

□ ②

10. 도형 [eqn: R _{1}]에서 색칠된 직사각형의 가로의 길이를 [eqn: x]라 하면

[eqn: 2x+ {1} over {4} TIMES 5=5] [eqn: THEREFORE ``x= {15} over {8}]

또, 세로의 길이를 [eqn: y]라 하면

[eqn: 2y+ {1} over {5} TIMES 4=4] [eqn: THEREFORE] [eqn: y= {8} over {5}]

그러므로

[eqn: S _{1} =4 TIMES {15} over {8} TIMES {8} over {5} =12]

한편, 색칠된 하나의 직사각형의 가로의 길이, 세로의 길이는 각각 [eqn: {3} over {8}], [eqn: {2} over {5}]인 등비수열을 이루고 직사각형의 개수는 공비가 4인 등비수열을 이룬다.

따라서, 수열 [eqn: LEFT { S _{n} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: 12], 공비가 [eqn: 4 TIMES {3} over {8} TIMES {2} over {5}] 즉, [eqn: {3} over {5}]인 등비수열을 이루므로

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n} = {12} over {1- {3} over {5}} =30]

□ ②

11.

함수 [eqn: f(x) = cases{ x^2 &(x!=1) # 2 &(x=1)}]의 그래프는 다음 그림과 같다.

[eqn: x]

[eqn: \O]

[eqn: y]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 1]

[eqn: y= f(x)]

ㄱ. [eqn: lim_x->1-0 f(x) = 1 = lim_x->1+0 f(x)] (참)

ㄴ. [eqn: g(x)= f(x-a)`]의 그래프는 [eqn: f(x)]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: a`]만큼 평행이동한 그래프이므로 함수 [eqn: g(x)`]가 실수전체의 집합에서 연속인 실수 [eqn: a`]는 존재하지 않는다. (거짓)

ㄷ. [eqn: y= x-1`]이 실수 전체의 집합에서 연속이고, [eqn: y= f(x)`]는 [eqn: x=1`]에서 불연속이므로 [eqn: h(x)=(x-1)f(x)`]가 [eqn: x=1`]에서 연속이면 실수 전체의 집합에서 연속이다.

[eqn: lim_x->1-0 h(x) = lim_x->1-0 (x-1)x^2]

[eqn: = lim_x->1-0 (x^3 - x^2 ) =0]

[eqn: lim_x->1+0 h(x) = lim_x->1+0 (x-1)x^2]

[eqn: = lim_x->1+0 (x^3 - x^2 ) =0]

이므로 [eqn: lim_x->1 h(x) =0]

[eqn: h(1)= (1-1) f(1)= 0 times 2 = 0]

∴ [eqn: lim_x->1 h(x) =h(1)]

따라서 함수 [eqn: h(x)`]는 실수 전체의 집합에서 연속이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

□ ③

12. ㄱ. [eqn: f(alpha)=0], [eqn: f``'( alpha)=0] 이므로

[eqn: f(x)]는 [eqn: (x-alpha)^2]을 인수로 갖는다.

따라서 [eqn: f(x)]는 [eqn: (x-alpha)^2]으로 나누어 떨어진다. (참)

ㄴ. [eqn: f``'(alpha) f``'(beta )=0] 이면

[eqn: f``'( alpha)=0] 또는 [eqn: f``'( beta)=0]

이므로 ㄱ에 의하여 [eqn: f(x)]의 사차항의 계수를 [eqn: k]라 하면

[eqn: f(x)= k ( x-alpha)^2 ( x-beta) (x-gamma)]

또는

[eqn: f(x)= k ( x-alpha) ( x-beta)^2 (x-gamma)]

또는

[eqn: f(x)= k ( x-alpha) ^2 ( x-beta)^2]

으로 나타낼 수 있다.

따라서 방정식 [eqn: f(x)=0]은 허근을 갖지 않는다. (참)

ㄷ. [eqn: f(x)= k (x-alpha)(x-beta)(x^2 + ax+b)]

라고 하면

[eqn: f``'(x) = k(x-beta) (x^2 + ax+b)]

[eqn: + k(x-alpha)(x^2 + ax+b)]

[eqn: + k(x-alpha)(x-beta)(2x+a)]

[eqn: f``'(alpha)f``'(beta)]

[eqn: = left{ k(alpha-beta)(alpha^2 + a alpha+b ) right} times]

[eqn: left{ k( beta-alpha)(beta^2 + a beta + b ) right}]

[eqn: = - k^2 ( alpha-beta)^2 ( alpha^2 + a alpha+ b)(beta^2 + a beta + b ) >0]

[eqn: ( alpha^2 + a alpha+ b)(beta^2 + a beta + b ) <0]

따라서 [eqn: g(x) = x^2 + ax+b]라고 하면

[eqn: g(alpha) g(beta) <0] 이므로 중간값의 정리에 의하여 구간 [eqn: ( alpha, beta)]에서 방정식 [eqn: g(x)=0]은 하나의 실근을 갖는다. 또한, [eqn: g(x)]는 이차함수이므로 다른 구간에서 또다른 하나의 실근을 갖는다.

즉, 방정식 [eqn: f(x)=0]은 서로 다른 네 실근을 갖는다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ 이다.

□  ⑤

13. [eqn: 0 = k a_k+1 + sum from m=1 to k m a_m]

[eqn: = k a_k+1 + sum from m=1 to k-1 ma_m + k a_k]

[eqn: = k a_k+1 + (1-k)a_k + k a_k]

이므로

[eqn: ka_k+1 = (k-1)a_k -k a_k = - a_k]

[eqn: therefore] [eqn: a_k+1 = - 1 over k a_k]

따라서 (가), (나)에 들어갈 식은 각각

[eqn: 1-k], [eqn: - 1 overk]

이므로

[eqn: f(k) = (1-k) ( - 1 overk ) = 1 - 1 over k]

[eqn: therefore] [eqn: f(10) = 1- 1 over 10 = 9 over 10]

□  ⑤

14.

주사위를 던져서 [eqn: 3`]의 배수의 눈이 나오는 경우 즉, 시계방향으로 주사위를 주는 경우를　[eqn: a], 주사위를 던져서 [eqn: 3`]의 배수가 아닌 눈이 나오는 경우 즉, 반시계방향으로 주사위를 주는 경우를　[eqn: b]라 하자.

[eqn: 5]번 주사위를 던진 후에 [eqn: \B]가 주사위를 가지려면 [eqn: a`]가 [eqn: 3`]번, [eqn: b`]가 [eqn: 2`]번 나오거나 [eqn: b`]가 [eqn: 5`]번 나오는 경우이므로 구하는 확률은

[eqn: `_5 \C_3 left( 1over 3 right)^3 left( 2over 3 right)^2 + left( 2over 3 right)^5 = 8 over 27]

□ ③

15.

ㄱ. [eqn: g(x)=f(a)]에서 [eqn: b-a>0]이므로

[eqn: f(a)+(b-a)f`'`(x)=f(a)]

[eqn: (b-a)f prime (x)=0]

[eqn: f'(x)=0]

이때, [eqn: y=f(x)]의 그래프는 극댓값과 극솟값을 을 가지므로 방정식 [eqn: f'(x)=0]은 실근을 갖는다. <참>

ㄴ. [eqn: g(b)-f(a)= LEFT { f(a)+(b-a)f prime (b) RIGHT } -f(a)]

[eqn: =(b-a)f'(b)]

이때, [eqn: b-a>0]이고 [eqn: y=f(x)]가 감소하는 구간에서는 [eqn: f'(b)<0]이므로

[eqn: (b-a)f prime (b)<0]

그러므로 [eqn: g(b)>f(a)]라고 할 수 없다. <거짓>

ㄷ. [eqn: g(a)-f(b)= LEFT { f(a)+(b-a)f'(a) RIGHT } -f(b)]

[eqn: =(b-a) LEFT { f'(a)- {f(b)-f(a)} over {b-a} RIGHT }]

이때, [eqn: b-a>0]이고 점 [eqn: LEFT ( a,``f(a) RIGHT )]에서의 접선의 기울기 [eqn: f'(a)]는 두 점 [eqn: LEFT ( a,``f(a) RIGHT )], [eqn: LEFT ( b,`f(b) RIGHT )]를 잇는 직선의 기울기 보다 항상 크므로

[eqn: f prime (a)- {f(b)-f(a)} over {b-a} >0]

그러므로 [eqn: g(a)>f(b)] <참>

□ ④

16.

ㄱ. [eqn: h(x)`]가 실수 전체의 집합에서 연속이므로

[eqn: lim_x->+0 h(x) = lim_x->-0 h(x) = h(0)`]

따라서, [eqn: lim_x->+0 f(x) = lim_x->-0 g(x)`]에서

[eqn: f(0) = g(0)`] (참)

ㄴ. [eqn: f`'(0) = g`'(0) = k`]라 하면

[eqn: lim_x->+0 {h(x)- h(0)} over x = lim_x->+0 { f(x) - f(0)} over x`]

[eqn: = f`'(0) = k`]

[eqn: lim_x->-0 { h(x) - h(0)} over x = lim_x->-0 { g(x) - f(0)} over x`]

[eqn: = lim_x->-0 { g(x) - g(0)} over x`]

[eqn: = g`'(0) = k`]

∴ [eqn: h`'(0) = lim_x->0{ h(x)-h(0)} over x = k`] (참)

ㄷ. (ⅰ) [eqn: f`'(0) `<0`], [eqn: g`'(0) >0`]이면

[eqn: f(x)`]는 [eqn: x=0`]에서 감소상태, [eqn: g(x)`]는 [eqn: x=0`]에서 증가상태이고, [eqn: f(0) = g(0)`]이므로 아래의 그림과 같이 함수 [eqn: h(x)`]는 [eqn: x=0`]에서 극댓값을 갖는다.

[eqn: x]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: y=g(x)]

[eqn: y=h(x)]

[eqn: 0]

(ⅱ) [eqn: f`'(0) `>0`], [eqn: g`'(0) `<0`]이면

[eqn: f(x)`]는 [eqn: x=0`]에서 증가상태, [eqn: g(x)`]는 [eqn: x=0`]에서 감소상태이고, [eqn: f(0) = g(0)`]이므로 아래의 그림과 같이 함수 [eqn: h(x)`]는 [eqn: x=0`]에서 극솟값을 갖는다.

[eqn: x]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: y=g(x)]

[eqn: y=h(x)]

[eqn: 0]

따라서, [eqn: h(x)`]는 [eqn: x=0`]에서 극값을 갖는다. (참)

그러므로 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

□ ⑤

17.

주어진 삼각형을 포함하는 사각형을 만들려면 점 [eqn: O(0,`0)`]을 반드시 꼭짓점으로 해야 한다.

점 [eqn: O`]와 연결된 변의 꼭짓점은

[eqn: (4,``0),``(8,``0)`] 중에서 한 개,

[eqn: (0,4),``(0,`8)`] 중에서 한 개 선택하며,

점 [eqn: O`]와 변으로 연결되지 않은 한 꼭짓점은

[eqn: (4,`4),``(4,`8),`(8,`4),`(8,`8)`] 중에서 한 개를 선택해야 한다.

따라서, 꼭짓점을 선택하는 방법의 수는

[eqn: `_2 C_1 times `_2 C_1 times `_4 C_1 = 16`](개)

이 중에서 [eqn: (0,`0),(8,0),`(4,`4),`(0,`8)`]을 꼭짓점으로 선택하면 사각형을 만들 수 없다.

따라서, 구하는 사각형의 개수는

[eqn: 16-1 = 15`](개)

□ ②

18.

[eqn: h= {1} over {n}]으로 놓으면 [eqn: n -> INF]일 때, [eqn: h -> 0]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {n LEFT { f LEFT ( 1+ {3} over {n} RIGHT ) -f LEFT ( 1- {2} over {n} RIGHT ) RIGHT }}]

[eqn: = lim _{h -> 0} {{f LEFT ( 1+3h RIGHT ) -f LEFT ( 1-2h RIGHT )} over {h}}]

[eqn: = lim _{h -> 0} {{f LEFT ( 1+3h RIGHT ) -f(1)} over {h}} - lim _{h -> 0} {{f LEFT ( 1-2h RIGHT ) -f(1)} over {h}}]

[eqn: =3 lim _{h -> 0} {{f LEFT ( 1+3h RIGHT ) -f(1)} over {3h}} +2 lim _{h -> 0} {{f LEFT ( 1-2h RIGHT ) -f(1)} over {-2h}}]

[eqn: =3f'(1)+2f'(1)]

[eqn: =5f'(1)]

이때, [eqn: f'(x)=8x ^{3} -3]이므로

[eqn: 5f'(1)=5 TIMES (8-3)=25]

□ 25

19.

[eqn: rootx-1 = t] ([eqn: t>=0])라 하면

[eqn: t^3 -6t = t^2]

[eqn: t^3 -t^2 - 6t =0]

[eqn: t(t-3)(t+2)=0]

∴ [eqn: t= 0], [eqn: t=3] ([eqn: because t>=0])

[eqn: rootx-1 =0]에서 [eqn: x=1]
[eqn: rootx-1 = 3]에서 [eqn: x= 10]

따라서 구하는 모든 실근의 합은

[eqn: 1+10 =11]

□ 11

20. [eqn: 2A^2 - A = 2E] 에서

[eqn: (2A-E)A = 2E]

[eqn: (2A-E)( 1 OVER 2 A ) = E]

[eqn: THEREFORE] [eqn: (2A-E)^-1 = 1 OVER 2 A]

따라서 행렬 [eqn: A]의 모든 성분의 합이 24이므로 행렬 [eqn: 2A-E]의 역행렬의 모든 성분의 합은

[eqn: 24 TIMES 1 OVER 2 = 12]

□  12

21. [eqn: SUM from n=1 to inf (3^n a_n - 2 )]가 수렴하므로

[eqn: lim _{ n->inf} (3^n a_n - 2 )=0]

[eqn: therefore] [eqn: lim _{ n->inf} 3^n a_n = 2]

[eqn: lim _{ n->inf} {6a_n + 5 cdot 4^-n} over {a_n + 3^-n}]

[eqn: = lim _{ n->inf} {6 cdot 3^n a_n + 5 ( 3 over 4 ) ^n} over {3^n a_n +1}]

[eqn: = {6times2 } over {2+1} = 4]

□  4

22.

실수 [eqn: a]([eqn: 1<a<2])에 대하여 폐구간 [eqn: [0,``2]]에서 정의된 [eqn: X]의 확률밀도함수 [eqn: f(x)= cases{ x overa ``&(0<=x<=a) # x-1 over a-2 &(a<x<=2)}]

의 그래프는 다음 그림과 같다.

[eqn: x]

[eqn: \O]

[eqn: y]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: a]

[eqn: y= f(x)]

[eqn: 1]

[eqn: 1 over a]

[eqn: \P(1<= it X<=2 ) = 1- \\P (0<= it X<=1 )]

[eqn: = 1 - 1over 2 times 1 times 1over a][eqn: = 3 over 5]

[eqn: 1over 2a = 2over5]

∴ [eqn: a= 5 over 4]

∴ [eqn: 100a = 125]

□ 125

23. (가)에서 [eqn: f(x)]의 최고차항을 [eqn: ax ^{n}][eqn: (a != 1)]이라 하면

[eqn: LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} -f(x ^{2} )]의 최고차항은

[eqn: a ^{2} x ^{2n} -ax ^{2n} =a(a-1)x ^{2n}] ---㉠

또, [eqn: x ^{3} f(x)]의 최고차항은

[eqn: ax ^{n+3}]                 ----㉡

0이 아닌 극한값이 존재하려면 ㉠과 ㉡에서

[eqn: 2n=n+3]  [eqn: THEREFORE] [eqn: n=3]

이때, 극한값이 4이므로

[eqn: {a(a-1)} over {a} =4] [eqn: THEREFORE] [eqn: a=5]

[eqn: f(x)=5x ^{3} +bx ^{2} +cx+d]로 놓으면

[eqn: f'(x)=15x ^{2} +2bx+c]

(나)에서

[eqn: lim _{x -> 0} {{f` prime (x)} over {x}} = lim _{x -> 0} {{15x ^{2} +2bx+c} over {x}}]

이때, [eqn: x -> 0]일 때, (분모)[eqn: -> 0]이고 극한값이 존재하므로 (분자)[eqn: -> 0]에서

[eqn: lim _{x -> 0} {LEFT ( 15x ^{2} +2bx+c RIGHT )} =c=0]

이 값을 대입하면

[eqn: lim _{x -> 0} {{15x ^{2} +2bx} over {x}} = lim _{x -> 0} {(15x+2b)} =2b=4]

[eqn: THEREFORE] [eqn: b=2]

따라서 [eqn: f'(x)=15x ^{2} +4x]이므로

[eqn: f'(1)=15+4=19]

□ 19

24.

(ⅰ) [eqn: 8<x<9`]일 때,

[eqn: x`]보다 작은 자연수 중에서 소수는 2, 3, 5, 7의 4개이므로

[eqn: f(x)= 4`]

이 때, [eqn: 2`f(x) = 8` <`x`]이므로

[eqn: g(x) = f(x) = 4`]

∴ [eqn: lim_x->8+0` g(x) = lim_x->8+0` 4 = 4`]

∴ [eqn: alpha = 4`]

(ⅱ) [eqn: 7<x<8`]일 때,

[eqn: x`]보다 작은 자연수 중에서 소수는 2, 3, 5, 7의 4개이므로

[eqn: f(x)= 4`]

이 때, [eqn: 2f`(x) = 8` >x`]이므로

[eqn: g(x) = 1over { f(x)} = 1over 4`]

∴ [eqn: lim_x->8-0` g(x) = lim_x->8-0` 1over 4 = 1over 4`]

∴ [eqn: beta = 1over 4`]

∴ [eqn: alpha over beta = 4 over { 1over 4} = 16`]

□ [eqn: 16`]

25.

[eqn: a_n = 16 times left( 2^{ 1over10} `right)^n-1 = 2^{ 1over10 n +4- 1over10 }`]이므로

[eqn: log a_n = left( 1over 10 n + 4 - 1over10 right) `log2`]

[eqn: = left( 1over10 n + 4 - 1over10 right) times 0.301`]

[eqn: = 0.0301 n + 1.204 - 0.0301`]

[eqn: = 0.0301 n + 1.1739`]

[eqn: = 1+ (0.0301 n + 0.1739 )`]

[eqn: 0.0301 n + 0.1739 >= 1`]에서

[eqn: 0.0301 n >= 0.8261`]

[eqn: n>= 27.4 ×××`]

따라서, [eqn: 1<= n<= 27`]일 때,

[eqn: log a_n`]의 가수 [eqn: b_n`]은

[eqn: b_n = 0.0301 n + 0.1739`]

이므로 수열

[eqn: b_1 ,``b_2 ,`` b_3 ,`` cdots , `b_27`]

은 공차가 [eqn: 0.0301`]인 등차수열을 이룬다.

[eqn: b_28 = 0.0301 times 28 + 0.1739 -1`]이므로

[eqn: b_28 +1 = 0.0301 times 28`+ 0.1739`]

[eqn: b_29 = 0.0301 times 29 + 0.1739-1`]이므로

[eqn: b_29 +1 = 0.0301 times 29`+ 0.1739`]

따라서, 수열

[eqn: b_1 ,``b_2 ,``cdots ,``b_27 ,``b_28 +1 ,``b_29 +1 `]

은 공차가 [eqn: 0.0301`]인 등차수열을 이룬다.

그러므로 수열

[eqn: b_1 ,``b_2 ,``b_3 , `` cdots , ``b_k ,``b_k+1 +1`]

이 등차수열을 이루는 [eqn: k`]의 값은

[eqn: 27`]이다.

□ [eqn: 27`]

미분과 적분

26.

(주어진 식)

[eqn: =lim_x->0 left{ {e^2x^2 -1} over 2x^2 times x over {tanx} times 2x over sin2x right}]

[eqn: = 1times 1 times 1 = 1]

□ ③

27.

[eqn: cos^2 x = 1- sin^2 x], [eqn: 1-cos2x = 2sin^2 x]이므로

[eqn: 2sinx - 4sinx (1-sin^2 x ) + 2sin^2 x]

[eqn: = 4 sin^3 x +2sin^2 -2sinx]

[eqn: = 2 sin x (sinx +1)(2sinx -1 ) =0]

∴ [eqn: sin x =0] 또는 [eqn: sin x = -1] 또는 [eqn: sin x = 1over 2]

∴ [eqn: x = 0,~ pi ,~ 3 over 2 pi ,~ pi over 6 ,~ 5 over 6 pi]

따라서 구하는 모든 근의 합은

[eqn: {0+6+9+1+5} over 6 pi = 7 over 2 pi]

□ ⑤

28.

주어진 그림에서

[eqn: sin (alpha +beta ) = 1over 2 ,~ cos (alpha +beta ) = root3 over 2]이고,

[eqn: sin beta = root2 over 4 ,~ cos beta = root14 over 4]이다.

이때, [eqn: sin2beta = 2sin beta cos beta = root7 over 4], [eqn: cos 2 beta = 3 over 4]이므로

[eqn: sin (alpha - beta ) = sin "{"(alpha +beta )-2beta "}"]

[eqn: = sin (alpha+beta) cos 2beta - cos (alpha+beta) sin 2beta]

[eqn: = 1 over 2 cdot 3 over 4 - root3 over 2 cdot root7 over 4]

[eqn: = {3- root21} over 8]

□ ④

29.

[eqn: lim_x->inf x^a = inf]이므로 주어진 등식이 성립하려면

[eqn: lim_x->inf `ln left( b + c over x^2 right) = 0]이어야 한다.

따라서 [eqn: lim_x->inf left( b + c over x^2 right) ~ = 1]이어야 하므로

[eqn: b=1]

이때,

(주어진 식)[eqn: = lim_x->inf c x^a-2 `ln left( 1`+ c over x^2 right)^{x^2 over c }]

[eqn: =lim_x->inf c x^a-2][eqn: =2]

이어야 하므로

[eqn: a-2=0,~c=2]

이어야 한다.

∴ [eqn: a=2,~c=2]

∴ [eqn: a+b+c= 2+1+2=5]

□ ①

30.

[eqn: \P (cos theta ,~sin theta )]이므로 직선 [eqn: \ AP]의 방정식은

[eqn: y= sintheta-1 over costheta x + 1]

위 직선의 [eqn: x]절편은

[eqn: costheta over {1-sintheta}]

이므로 점 [eqn: \R]의 좌표는 [eqn: left( costheta over {1-sintheta} ,0 right)]이다.

[eqn: \△ORP = 1 over 2 times {costheta} over { 1- sin theta } times sin theta]

[eqn: \ △OQP = 1 over 2 times 1 times tan theta]

이므로

[eqn: \ △PQR = 1 over 2 left( {sin theta cos theta } over {1- sin theta} - tan theta right)]

[eqn: = 1 over 2 left{ {sin theta cos theta (1+sin theta ) } over {(1- sin theta)(1+sin theta) } - sintheta over costheta right}]

[eqn: = 1 over 2 left{ {sin theta cos theta (1+sin theta ) - sin theta cos theta } over {cos^2 theta } right}]

[eqn: = {sin^2 theta } over {2cos theta }]

∴ [eqn: alpha=][eqn: lim_theta->+0 S(theta) over theta^2 = lim_theta->+0 {sin^2 theta} over 2theta^2 cdot 1over costheta = 1over2]

∴ [eqn: 100 alpha = 50]

□ 50

확률과 통계

26.

두 사건 [eqn: A,~B]가 독립이므로

이때, [eqn: P(B)= p]라 하면

[eqn: P(A cup B)= P(A)+P(B)-P(A cap B)]이므로

[eqn: 1over 2 = 1over 4 + p - 1over 4 p]

∴ [eqn: p = 1over 3]

∴ [eqn: P(B^C` |A) =P(B^C )][eqn: = 1- P(B)= 1 - p = 2over 3]

□ ④

27.

14명의 학생 중에서 임의로 뽑은 3명이 선택한 악기가 모두 피아노일 확률은

[eqn: {`_3 C_3 } over {`_14 C_3 }]

4명의 학생 중에서 임의로 뽑은 3명이 선택한 악기가 모두 바이올린일 확률은

[eqn: {` _5 C_3 } over {`_14 C_3 }]

14명의 학생 중에서 임의로 뽑은 3명이 선택한 악기가 모두 첼로일 확률은

[eqn: {` _6 C_3 } over {`_14 C_3 }]

따라서 구하는 확률은

[eqn: {{`_3 C_3 + _5 C_3 } over {`_14 C_3 } } over {{`_3 C_3 + _5 C_3 + _6 C_3 } over {`_14 C_3 }} = 1+10 over 1+10+20 = 21 over 31]

□ ⑤

28.

[eqn: A(x) = x+10 over 5]

[eqn: M(x)= cases{ 2~~(x<2)#x~~(2<=x<=3) #3~~(x>3)}]

이므로

[eqn: A(x)- M(x)= cases{ x over 5 ~~(x<2)#- 4 over 5 x+2 ~~(2<=x<=3) #x over 5 -1 ~~(x>3)}]

따라서 구하는 그래프의 개형은 ③이다.

□ ③

29.

자료 [eqn: A]에서 60점 이상 ~ 70점 미만인 계급의 도수는 30이고,

자료 [eqn: A]에서 70점 이상 ~ 80점 미만인 계급의 도수는 20이다.

그런데, 자료 [eqn: B]에서 두 계급의 상대도수가 서로 같으므로 추가된 10개의 자료는 모두

70점 이상 ~ 80점 미만인 계급에 속한다.

따라서 자료 [eqn: B]에서 70점 이상 ~ 80점 미만인 계급의 도수는 30이고, 나머지 계급의 도수는 자료 [eqn: A]의 도수와 같다.

ㄱ. (거짓) 70점 이상 ~ 80점 미만인 계급의 상대도수는 [eqn: 30 over 110]이다.

ㄴ. (참) 자료 [eqn: A]의 평균은 70점 미만이다. 따라서 자료 [eqn: B]의 평균은 자료 [eqn: A]의 평균보다 크다.

ㄷ. (거짓) 자료 [eqn: A]와 자료 [eqn: B]의 중앙값은 모두 70점 이상 ~ 80점 미만인 계급에 속한다.

따라서 자료 [eqn: B]의 중앙값은 자료 [eqn: A]의 중앙값보다 크거나 같다.

□ ②

30.

각 세트에서 A가 이기는 것을 O, B가 이기는 것을 X라 하면 A가 승리하는 경우와 그 확률은 다음과 같다.

O : [eqn: 1over 3]

XOO : [eqn: 2over 3 times 1over 3 times 1over 3]

XOXO : [eqn: 2over 3 times 1over 3 times 2over 3 times 1over 3]

따라서 A가 승리할 확률은

[eqn: 1over 3 + 2over 3^3 + 4 over 3^4 = 27+6+4 over 81 = 37 over 81]

∴ [eqn: p+q = 81+37 = 118]

□ 118

이산수학

B

P

Q

A

26. 오른쪽

그림에서

A에서 출발하여

P를 거쳐 B로 갈 때 서로 다른 5개 지점을   거쳐 가는 방법의 수는  4가지

A에서 출발하여

Q를 거쳐 B로 갈 때 서로 다른 5개 지점을 거쳐 가는 방법의 수는  3가지

A에서 출발하여

P, Q를 거쳐 B로 갈 때 서로 다른 5개 지점을 거쳐 가는 방법의 수는  1가지이므로

구하는 모든 경우의 수는 8가지이다.

□ ②

27.  주어진 인접행렬을 그래프로 나타내면 다음과 같다.

a

b

c

d

e

따라서 그래프를 적절하게 색칠하는데  b와 e에는 같은 색을 칠하고 c와 d는 a, b와 서로 다른 색을 칠해야 하므로 색칠하는데 필요한 최소의 색의 수는 4가지이다.

□ ④

28. ㄱ. 5와 7은 주어진 수와 서로소인 개수가 7개로 같으므로 꼭짓점의 차수는 같다.      (참)

ㄴ. 주어진 그래프 G는 모든 변이 꼭짓점에서만 만나도록 평면 위에 그릴 수 없으므로 평면그래프가 아니다. (거짓)

ㄷ. 꼭짓점의 차수가 홀수개인 것이 있으므로 그래프 G는 오일러회로가 존재하지

않는다. (거짓)

따라서 옳은 것은  ㄱ이다.

□ ①

29. 주어진 그래프에서 해밀턴회로를 갖는 것은 ①, ②, ⑤ 이고 ⑤의 그래프는 각 꼭짓점의 차수가 모두 2이므로 주어진 명제의 반례가 된다.                   □ ⑤

30. 3일 동안 상담하는 학생 수는 모두 9명이므로  [eqn: a+b+c=9]이다. 이 때 각 요일별로 적어도 한 명의 학생과 상담해야 하므로

[eqn: a=a'+1 ,```b=b'+1,```c=c'+1] 이라 하면

[eqn: a' +b'+c' =6]( 단, [eqn: a',`b', c']은 음이 아닌 정수) 이다. 따라서 각 요일별로

상담하는 학생수는 3개의 문자를 중복해서 6번 선택하는 중복조합의 수

[eqn: `_3+6-1 C_6 =`_8 C_6 = `_8 C_2] 와 같다.

따라서 [eqn: `_8 C_2 = { 8 TIMES7 } over { 2} =28] (가지)

□  28