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2010학년도 6월 고2 전국연합학력평가 정답 및 해설

수리‘가’형 정답

1	⑤	2	⑤	3	①	4	③	5	②
6	④	7	②	8	⑤	9	④	10	①
11	④	12	⑤	13	③	14	③	15	②
16	③	17	③	18	④	19	②	20	④
21	①	22	[eqn: 49]	23	[eqn: 121]	24	[eqn: 15]	25	[eqn: 3]
26	[eqn: 14]	27	[eqn: 80]	28	[eqn: 150]	29	[eqn: 11]	30	[eqn: 39]

해 설

1. [출제의도] 지수법칙을 이용한 지수 계산하기

(준식)[eqn: = root {3} of {6} TIMES root {3} of {9} ÷ root {3} of {2}]

[eqn: = root {3} of {6 TIMES 9÷2} ``]

[eqn: = root {3} of {27} ``=3]

2. [출제의도] 행렬의 덧셈과 역행렬 구하기

[eqn: A ^{-1} = pmatrix{``5&```2`#``2&```1}] 이므로 [eqn: A+A ^{-1} = pmatrix{``6&``0`#``0&```6``} ``]

3. [출제의도] 지수를 이용한 실수의 대소 관계 이해하기

[eqn: sqrt {2} `=2 ^{{1} over {2}} ,`` root {3} of {4} `=2 ^{{2} over {3}} ,`` root {9} of {8} `=2 ^{{1} over {3}}] 이므로

[eqn: root {9} of {8} `< sqrt {2} `< root {3} of {4} `] 이다.

4. [출제의도] 역함수의 정의를 알고 식의 최댓값 구하기

[eqn: X``]에서 [eqn: X``]로의 함수 [eqn: f``]의 역함수가 [eqn: g``]이므로 두 함수 [eqn: f`,~g``]는 모두 일대일 대응이 된다.

즉, [eqn: g(1)`,~g(2)`,~g(3)`,~g(4)``]는 [eqn: X``]의 원소 [eqn: 1`,~2`,~3`,~4``]와 하나씩 대응된다.

따라서 [eqn: 4g(1)`+`3g(2)`+`2g(3)`+`g(4)``]의

최댓값은 [eqn: g(1)`=`4`,~g(2)`=`3`,~g(3)`=`2`,~g(4)`=`1``]일 때 이므로 최댓값은 [eqn: 30]이다.

5. [출제의도] 경우의 수 구하기

[eqn: a]	[eqn: b]	[eqn: c]	[eqn: d]

에서 [eqn: a``]는 [eqn: 2,3,4,5,6``]중에서, [eqn: d``]는
[eqn: 0,2,4,6,8``]중에서 택할 수 있다.

[eqn: LEFT { 2,3,4,5,6 RIGHT } SMALLINTER LEFT { 0,2,4,6,8 RIGHT } = LEFT { 2,4,6 RIGHT } ``]이므로

i) [eqn: a in LEFT { 2,4,6 RIGHT }``]이면 [eqn: d``]는 [eqn: 4``]가지

[eqn: b,c``]는 [eqn: ` _{10-2`} rm P _{2} =` _{8`} P _{2} ``]이다.

그러므로 [eqn: \3 TIMES 4 TIMES ` _{8`} P _{2} =672``]

ii) [eqn: a in LEFT { 3,5 RIGHT }``]이면  [eqn: d``]는 [eqn: 5``]가지

[eqn: b,c``]는 [eqn: \` _{8`} P _{2} ``]이다.

그러므로 [eqn: \2 TIMES 5 TIMES ` _{8`} P _{2} =560``]

[eqn: THEREFORE ``672+560=1232``]

6. [출제의도] 지수함수를 이용하여 주어진 식의 값 구하기

점 [eqn: rm H]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: t]라 하면 [eqn: \ bar AB = bar BC]이므로

[eqn: a ^{t} =b ^{2t} =3]이다.

따라서 [eqn: b ^{t} = sqrt {a ^{t}} = sqrt {3}]이다.

그러므로 [eqn: rm ` {bar{BD}} over {bar{DH}} = it {a ^{t} -b ^{t}} over {b ^{t}} = {3- sqrt {3}} over {sqrt {3}} = sqrt {3} -1]이다.

7. [출제의도] 이차정사각행렬의 성질 중 참ㆍ거짓 찾기

ㄱ. [반례]  [eqn: A=pmatrix {`` 0``& ``0 ``# `0&`0}], [eqn: B=pmatrix { ``1``& `0 ``# `0&`1}``]이라 하면,

[eqn: AC``=`O``]이므로 [eqn: AC``=`B``]인 [eqn: C``]가 존재하지 않는다. (거짓)

ㄴ. [eqn: A+B=E`] ⇒ [eqn: A(A+B)=A`] ⇒ [eqn: A^2 +AB=A]

∴ [eqn: A^2 =-AB+A]  … ①

[eqn: A+B=E`] ⇒ [eqn: (A+B)B=B`] ⇒ [eqn: AB +B^2 =B]

∴ [eqn: B^2 =-AB +B]  … ②

① - ② 에서 [eqn: A ^{2} -B ^{2} =A-B`]  (참)

ㄷ. [반례] [eqn: A=pmatrix {``````` 1& ````````2`# `-1&``-1``}], [eqn: B=pmatrix { -1``& ``-2 ``#```` `1&`````````1}`` `]이라 하면 [eqn: AB``=`E```]이지만 [eqn: A+B``=`O``]이므로 역행렬이 존재하지 않는다.  (거짓)

8. [출제의도] 거듭제곱근의 성질을 이용하여 방정식의 실근의 개수 구하기

[eqn: n`]이 짝수이면 [eqn: {2 pi } over {3} < theta ``< {4 pi } over {3}]에서 [eqn: 2 `costheta+1<0`]이므로 [eqn: a=0`]. [eqn: 3pi over 2 < theta ``< 2pi `]에서 [eqn: costheta>0`]이므로 [eqn: 2 `costheta+1>0`]에서 [eqn: b=2`]이다.  [eqn: n`]이 홀수이면 [eqn: theta`]에 관계없이 [eqn: c=1`]이다.   [eqn: THEREFORE ~a+2b+3c=0+4+3=7`]

9. [출제의도] 지수방정식을 이용하여 문제 해결하기

[eqn: 2 ^{`x} `=`X`,~3 ^{y} `=`Y``] 로 치환하자.

연립방정식 [eqn: cases{8X`- {1} over {3} `Y`=`k` CDOT CDOT CDOT ①#{1} over {2} X`+9Y`=`2` CDOT CDOT CDOT ②} ``]  가

[eqn: X`>`0``], [eqn: Y`>`0``]인 근을 가지려면 ①의 직선이 ②의 직선의 [eqn: X``]축과의 교점인 [eqn: (`4`,``0)``]을 지날 때의 [eqn: k``]값보다 작아야 하므로 [eqn: k``]의 최댓값은 [eqn: 31``]이다.

10. [출제의도] 지수법칙을 이용한 수학 외적 문제 해결하기

처음 농도를 [eqn: a]％라 하자.

ⅰ) 첫 번째 방법: [eqn: p=a LEFT ( 1- {1} over {2} RIGHT ) ^{10}]

ⅱ) 두 번째 방법: [eqn: p=a` LEFT ( 1- {3} over {4} RIGHT ) ^{n}]

ⅰ), ⅱ) 에서 [eqn: a LEFT ( 1- {1} over {2} RIGHT ) ^{10} =a LEFT ( 1- {3} over {4} RIGHT ) ^{n}]

[eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{10} = LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{n} = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2n}]    [eqn: THEREFORE ``n=5]

11. [출제의도] 절댓값이 포함되어 있는 부등식의 영역 및 직선과 삼각형의 개수 구하기

[eqn: x]

[eqn: y]

ㄱ. 그림에서 점의 개수는 [eqn: 13``]개다. (참)

ㄴ. 직선의 개수는 [eqn: 13``]개의 점에서 두 점을 택하는 경우의 수이다. 일직선위에 있는 경우의 수는 중복되므로 [eqn: `_13 C_2 -(2 times `_5 C_2 + 10 times `_3 C_2 ) +12 =40``]이다. (거짓)

ㄷ. [eqn: 13``]개의 점에서 세 점을 택하고 일직선 위에 있는 경우의 수는 제외한다.

[eqn: `_13 C_3 -(2 times `_5 C_3 + 10 times `_3 C_3 ) =256``]이다. (참)

12. [출제의도] 함수의 그래프를 이용하여 추론하기

ㄱ. [eqn: f(-x)=-f(x)``]
[eqn: LRARROW] [eqn: -x LEFT | `x` RIGHT | -px+q=-(x LEFT | `x` RIGHT | +px+q)``]
[eqn: LRARROW] [eqn: q=0``]  (참)

ㄴ. [eqn: p=0``]이면 [eqn: y=x LEFT | x RIGHT |]의 그래프와 [eqn: y=-q]의 그래프는 항상 한 점에서 만나므로 실수해는 1개이다. (참)

ㄷ. [eqn: f(x)=x LEFT | x RIGHT | +px+q=0]에 대하여 [eqn: x LEFT | x RIGHT | =-px-q] 에서 [eqn: y=x LEFT | x RIGHT |]와 [eqn: y=-px-q] 의 그래프의 교점을 생각하면 [eqn: p]와 [eqn: q]에 따라서 많아야 세 점에서 만난다. (참)

13. [출제의도] 지수방정식의 해의 존재성 이해하기

[eqn: 16 times 3 ^{-x} +3 ^{x+2} =2a``]에서 [eqn: 3 ^{x} =t(t>0)``]라 하면,

[eqn: 16t ^{-1} +9t=2a,~~9t ^{2} -2at+16=0``]

[eqn: t>0``]이고 두 근의 곱이 양수이므로 이 방정식이 단 하나의 해를 가진다면 양수인 중근을 가져야 하므로 (두 근의 합) [eqn: = {2a} over {9} >0~~ THEREFORE ``a>0``]

[eqn: {D} over {4} =a ^{2} -9 times 16=0,~~a ^{2} =144``]

[eqn: THEREFORE ``a=12``]

14. [출제의도] 행렬의 성질을 이용한 참ㆍ거짓 찾기

ㄱ. [eqn: A`,``B``inM_0`]이면 [eqn: A= pmatrix { a_11``&0 #0`` &a_22 }`,~B= pmatrix { b_11``&0 # 0``&b_22 }`]이므로

[eqn: AB=BA`]이다.  [eqn: THEREFORE ~C```(A,B`)=O```] (참)

ㄴ. [eqn: |k|>=2`]이면 임의의 [eqn: i`,``j=1`,``2`]에 대하여           [eqn: i-j != k`] 이므로 [eqn: a_ij =0`]이다.

즉 [eqn: A``inM_k `]이면 [eqn: A= pmatrix { 0``&0 # 0``&0 }`=O```]뿐이다. (거짓)

ㄷ. [eqn: |k|<2`]이면 [eqn: k=0`,``1`,``-1`]이다.

[eqn: k=0`]이면 ㄱ에 의해서 참.

[eqn: k=1`]이면 두 행렬

[eqn: A= pmatrix { 0``&0 # a_21 ``&0 }`,~B= pmatrix { 0``&0 # b_21 ``&0 }`]이므로 [eqn: AB=BA`]이고

[eqn: k=`-1`]이면 [eqn: A= pmatrix { 0``&a_12 #0`` &0 }`,~B= pmatrix { 0``&b_12 #0`` &0 }`]이므로 [eqn: AB=BA`]

이다. [eqn: THEREFORE ~C```(A,B`)=O```](참)

15. [출제의도] 이차방정식의 근과 계수와의 관계를 이용하여 추론하기

[eqn: f(x)=x ^{2} +kx-1``]이라 할 때, [eqn: f(x)=0``]의 두 근이
[eqn: gamma `,`` delta ``]이므로

[eqn: ( alpha - gamma )( beta - gamma )( alpha - delta )( beta - delta )``]
[eqn: =f( alpha )`f( beta )``]

[eqn: =( alpha ^{`2} +k` alpha -1)( beta ^{`2} +k` beta -1)]

[eqn: = LEFT { LEFT ( ``k+1`)` alpha +k-1 RIGHT } LEFT { LEFT ( ``k+1``)` beta +k-1 RIGHT } RIGHT . RIGHT .]

[eqn: =(`k+1```) ^{2} alpha beta +(`k+1``)(k-1)( alpha + beta )+ LEFT ( k-1 RIGHT ) ^{2}]

[eqn: =`-k(k ^{2} +3)`] 이다.

16. [출제의도] 무리함수와 직선의 위치 관계 이해하기

[eqn: k LEQ 0] 이면 두 그래프는 항상 한 점에서 만난다.

[eqn: k>0] 일 때, [eqn: 2kx`=`(x`+`1`-`k) ^{2} ``]
[eqn: x ^{2} `+`2(1`-`2k)x`+`(1`-`k) ^{2} `=`0``]
[eqn: {D} over {4} `=`(1`-`2k) ^{2} `-`(1`-`k) ^{2} `<`0``]

따라서 [eqn: 0`<`k`<` {2} over {3} ``]일 때, 두 그래프는 만나지 않는다.

17. [출제의도] 지수부등식의 해 구하기

[eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{f(x-2)} <2 ^{-g(x+1)}]

[eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{f(x-2)} < LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{g(x+1)}]

[eqn: f(x-2)>g(x+1)] [eqn: RARROW `````x(x-3)>`-x]

[eqn: THEREFORE ```x<0~또는~x>2]

18. [출제의도] 행렬을 나타내는 그래프 구하기

주어진 행렬로 나타내어지는 그래프의 꼭짓점들을  각각 [eqn: \A,```B,```C,```D``]라 하면

[eqn: `\`````````````A``B``C``D# {matrix{\A#B#C#D}} ```` {pmatrix{``0`&`1`&`1`&`1``#1&0&1&1#1&1&0&0#1&1&0&0}}]

19. [출제의도] 다항식을 이용한 참ㆍ거짓 찾기

ㄱ. [eqn: x ^{10} -x+1=(x ^{2} +1)Q(x)+ax+b] 에서

[eqn: x ^{2} =`-1] 대입하면 [eqn: a=`-1,``b=0``]이다.

따라서 [eqn: R(x ^{10} -x+1)=`-x] (참)

ㄴ. [eqn: x ^{2} =`-1] 대입하면

[eqn: R`(x ^{9} +x+1)=R`(x ^{5} +x+1)``=2x+1``]이다. (참)

ㄷ. [eqn: n=4k+3(k는~자연수)]이면

[eqn: x ^{n} +x+1=(x ^{2} +1)Q(x)+ax+b] 에 [eqn: x ^{2} =`-1] 을 대입하면 [eqn: R`(x ^{n} +x+1)=1]이다. (거짓)

20. [출제의도] 삼각함수의 그래프 이해하기

[eqn: y=4`sin`3x]

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm A]

[eqn: {pi } over {3}]

[eqn: {3 pi } over {4}]

[eqn: rm C]

[eqn: rm B]

[eqn: y=3`cos`2x]

[eqn: rm A LEFT ( {pi } over {3} ,``0 RIGHT ) `, rm ``B LEFT ( {3 pi } over {4} ,``0 RIGHT ) ``]이므로 [eqn: bar{rm AB it} = {5 pi } over {12}``]이다. 점 [eqn: rm P]의 [eqn: y]좌표의 최댓값은 [eqn: 4``]이므로 [eqn: TRIANGLE rm ABP``]의 넓이의 최댓값은 [eqn: {5 pi } over {6}]이다.

21. [출제의도] 복소수의 상등을 이용하여 문제 해결하기

[eqn: a+b`i= {x+i} over {x-i} ``]이므로 [eqn: (x-i)(a+b`i)=x+i] 이다.

전개하면, [eqn: (a-1)`x+b+(b`x-(a+1))`i=0]

[eqn: (a-1)`x+b=0], [eqn: b`x-(a+1)=0] 이고,

[eqn: x= {-b} over {a-1} = {a+1} over {b}] 이므로

[eqn: a ^{`2} +b ^{`2} =1``(단,``a != ±1`,``b != 0`)] 이다.

[별해] [eqn: x+i over x-i = (x+i)^2 over{(x-i)(x+i)} = {x^2 -1+2x i }over {x^2 + 1}]

[eqn: = { x^2 -1} over {x^2 +1} + 2x over {x^2 +1} i = a+ bi]이므로,

복소수 상등에 의하여 [eqn: a= {x ^{2} -1} over {x ^{2} +1} ,``b= {2x} over {x ^{2} +1}]이다.

따라서 [eqn: a^2 + b^2 ={ (x^2 -1)^2} over{(x^2 +1)^2} + 4x^2 over{(x^2 + 1)^2 }= { (x^2 +1)^2} over{(x^2 +1)^2}=1]

이다. [eqn: b not = 0]이므로 [eqn: (1,0),`(-1,0)]은 제외된다.

따라서 [eqn: (a,b)]의 영역은

[eqn: a]

[eqn: b]

이다.

22. [출제의도] 행렬의 연산하기

[eqn: A+B=7E``] (단, [eqn: E``]는 단위행렬)이므로,
[eqn: A ^{2} +AB=A(A+B)=7A]

따라서, [eqn: A ^{2} +AB``]의 모든 성분의 합은 [eqn: 49``]이다.

23. [출제의도] 지수함수 이해하기

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y=4 ^{x}]

[eqn: y=2x]

[eqn: {1} over {2}]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 1]

[eqn: rm A]의 넓이는 [eqn: 1 TIMES {1} over {2} = {1} over {2}]

[eqn: rm B]의 넓이는 [eqn: 2 TIMES {1} over {2} =1]

[eqn: rm C]의 넓이는 [eqn: 4 TIMES 1=4]

따라서 넓이의 합 [eqn: S``= {11} over {2} ``]이므로 [eqn: 4`S` ^{``2} =121``]이다.

24. [출제의도] 경우의 수 구하기

유형: [eqn: 9개]

유형: [eqn: 6개]

따라서, 총 [eqn: 15]개다.

25. [출제의도] 함수의 그래프를 이해하여 최댓값, 최솟값 구하기

[eqn: y=`f``(`x-6)`]는 [eqn: y=`f(x)`]를 [eqn: x]축의 양의 방향으로 [eqn: 6``]만큼 평행 이동한 그래프이다.

[eqn: g(x)= cases{6&(x<0)#- {3} over {2} x+6&(0 LEQ x<6)#-3&(x GEQ 6)} ``]

이므로 최댓값 [eqn: 6``], 최솟값 [eqn: -3``]을 갖는다.

따라서 [eqn: `M````+`m] = [eqn: 3`]이다.

26. [출제의도] 부등식을 만족하는 정수 추론하기

[eqn: 0~]과 [eqn: 1~]사이에 분모가 [eqn: m`]인 분수는

[eqn: {1} over {m} `,`` {2} over {m} `,`` {3} over {m} `,`` CDOTS `,`` {m-1} over {m} `]이다. 따라서

[eqn: 1 over 4 < 1 over m ``< 2 over 7`~ RARROW ``7 over 2 < m ``< 4`] 이 경우 만족하는 자연수 [eqn: m`]은 없다.

[eqn: 1 over 4 < 2 over m ``< 2 over 7 `~ RARROW``7 < m ``<8`] 이 경우 만족하는 자연수 [eqn: m`]은 없다.

[eqn: 1 over 4 < 3 over m ``< 2 over 7 `~ RARROW`` 21 over 2 < m ``<12`]에서 [eqn: m=11`]이다.

범위가 증가하므로 [eqn: m`]은 점점 커진다. 따라서 최소인 것은 [eqn: m=11`]이고 이때, [eqn: n=3``]이다.

∴ [eqn: m+n=14``]

27. [출제의도] 접선의 방정식을 구하고 행렬을 이해하여 문제 해결하기

원 [eqn: x^2 +y^2 =5``]위의 점 [eqn: rm `A(1`,``2)`]에서의 접선의 방정식은 [eqn: x+2y=5]

원 [eqn: x^2 +y^2 =5``]위의 점 [eqn: rm B(2`,`-1)``]에서의 접선의 방정식은 [eqn: 2x-y=5]

연립방정식 [eqn: cases{x``+2y=5#2x -y=5} ``]에서 [eqn: pmatrix { 1&`````````2```#2&-1}pmatrix{x```#y``}`= pmatrix{`5``#`5`}]

[eqn: THEREFORE ~~ pmatrix{`x```#y``} = {pmatrix{1&`````````2``#2&``-1} } ^{-1} pmatrix{`5``#`5``} = pmatrix{{1} over {5}&````````` {2} over {5} `#`` {2} over {5}&``- {1} over {5} `} ` pmatrix{`5``#`5``}]

따라서, 행렬 [eqn: M``]은 [eqn: pmatrix{{1} over {5}&`````````````` {2} over {5} ```#{2} over {5}&`````- {1} over {5}}] 이다.

[eqn: therefore``]모든 성분의 합 [eqn: k=][eqn: 4over5] 이므로 [eqn: 80``]이다.

28. [출제의도] 부채꼴의 넓이 구하기

원의 반지름을 [eqn: r`]라 하자. 점 [eqn: rm A] 에서 변 [eqn: rm BC]에 수선을 그으면 수선의 발이 점 [eqn: rm D]이다. 이 때, [eqn: TRIANGLE rm ABD] 는 직각삼각형이고 [eqn: TRIANGLE rm ACD]는 직각이등변삼각형이다.

따라서, [eqn: r=2``]이고, [eqn: ANGLE rm C= { pi} over {4 }], [eqn: ANGLE rm A= {5pi } over {12}]이다.

구하고자 하는 넓이는 [eqn: {1} over {2} TIMES 4 TIMES {pi } over {3} + {1} over {2} TIMES 4 TIMES {5 pi } over {12} = {3 pi } over {2}]이다. 그러므로 [eqn: 100k=100 TIMES {3} over {2} =150] 이다.

[별해] 원의 반지름의 길이를 [eqn: r`]라 하면 [eqn: TRIANGLE \ABC]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: (2 sqrt {6} ) ^{2} ``=``(2r) ^{2} +(r+2 sqrt {3} ) ^{2} ``-``2times2r times(r+2 sqrt {3} )times{1} over {2}]

이 식을 풀면 [eqn: r=±2``].  ∴ [eqn: r=2]

[eqn: TRIANGLE \ABC]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: ANGLE `C``= {pi } over {4}``]이므로 [eqn: ANGLE `A```=```5pi over 12]

따라서 구하는 넓이는

[eqn: 2pi over 3 ``+ {5 pi } over 6] = [eqn: {3 pi } over 2]   ∴ [eqn: k= {3} over {2}``]이므로 [eqn: 100k=150``]

29. [출제의도] 함수를 이용하여 방정식의 실근의 개수추론하기

위의 그림에서 교점은 11개이다.

30. [출제의도] 이차방정식에서 근과 계수와의 관계를 이해하여 문제 해결하기

[eqn: f(x)=x^2 -ax +b =0] 의 두 근을 [eqn: alpha ,beta``]라 하면

[eqn: alpha + beta =a,` `alpha beta =b``]이다.

[eqn: 1 LEQ alpha LEQ 9,```1 LEQ beta LEQ 9]이므로 [eqn: 2 LEQ alpha + beta LEQ 18]에서

[eqn: 2 LEQ a LEQ 18]이다. 따라서 [eqn: a=5, ``12]이다.

(i) [eqn: a=5]일 때, [eqn: f(x)=x ^{2} -5x+b=0]의 두 근이 [eqn: 1]이상 [eqn: 9]이하이므로 [eqn: D=25-4b GEQ 0], [eqn: f(1)=-4+b GEQ 0],

[eqn: f(9)=36+b GEQ 0]에서 [eqn: 4 LEQ b LEQ {25} over {4}]이다.

따라서 [eqn: b=6]이다.

[eqn: b=6``]을 대입하면 [eqn: x ^{2} -5x+6=0``]에서 두 근이 [eqn: 2,``3``]

이므로 성립한다.

(ⅱ) [eqn: a=12]일 때, [eqn: f(x)=x ^{2} -12x+b=0]의 두 근이 [eqn: 1]이상 [eqn: 9]이하이므로 [eqn: D=12 ^{2} -4b GEQ 0],

[eqn: f(1)=-11+b GEQ 0], [eqn: f(9)=-27+b GEQ 0]에서

[eqn: 27 LEQ b LEQ 36]이다. 따라서 [eqn: b=27, ``34]이다.

[eqn: a=12, ``b=27]이면 [eqn: x ^{2} -12x+27=0]에서 두 근이 [eqn: 3,``9]

이므로 성립한다.

[eqn: a=12,`` b=34]이면 [eqn: x ^{2} -12x+34=0]에서 두 근이

[eqn: 6± sqrt {2}] 이므로 성립하지 않는다.

따라서 [eqn: (a,b)=(5,6), ```(12, 27)]이다.

∴ [eqn: a+b``]의 최댓값은 [eqn: 39``]이다.

수리‘나’형 정답

1	①	2	⑤	3	③	4	③	5	②
6	④	7	②	8	①	9	⑤	10	②
11	④	12	⑤	13	③	14	①	15	②
16	③	17	①	18	④	19	②	20	④
21	①	22	[eqn: 49]	23	[eqn: 44]	24	[eqn: 15]	25	[eqn: 10]
26	[eqn: 40]	27	[eqn: 16]	28	[eqn: 4]	29	[eqn: 11]	30	[eqn: 39]

1. [출제의도] 집합의 연산 계산하기

각 집합을 원소나열법으로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: U]={[eqn: 1,2,3,…,16]}

[eqn: A]={[eqn: 1,2,4,8 ,16]}

[eqn: B]={[eqn: 1,3,5,7,9,11,13,15]}

[eqn: A-B ^c]=[eqn: A SMALLINTER B=]{[eqn: 1]}

따라서 [eqn: A-B ^c]의 원소의 개수는 [eqn: 1``]이다.

2. ‘가’형과 동일

3. [출제의도] 이차정사각행렬의 상등을 이용하여 계산하기

행렬의 상등에 의해서 [eqn: x+y=3`,``xy=2``]이므로

[eqn: x ^{`3} +y ^{`3}][eqn: =(x+y) ^{`3} -3`xy(x+y)][eqn: =27-6 TIMES 3=9``]

4. ‘가’형과 동일

5. ‘가’형과 동일

6. [출제의도] 원의 방정식을 이해하여 현의 길이 구하기

[eqn: rm O]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: LEFT ( 2, 1 RIGHT )]

[eqn: 2sqrt { 2}]

그림에서 [eqn: bar{rm AB it} =4] 이고 원의 반지름의 길이는
[eqn: sqrt {5-k} =2 sqrt {2}] 이므로 [eqn: k=`-3] 이다.

따라서 [eqn: bar{rm AB it} `+`k=1]

7. ‘가’형과 동일

8. [출제의도] 행렬의 곱샘을 이용하여 행렬의 수학 외적 문제 해결하기

수요일의 번호가 [eqn: 1125`]이므로

목요일의 번호는

[eqn: pmatrix{``1``&``0``#2&1`}][eqn: pmatrix{``1``&`1`#2&`5`}]=[eqn: pmatrix{``1``&```1`#4&```7``} `]이므로 [eqn: 1147]이고,

금요일의 번호는

[eqn: pmatrix{``1``&``0``#2&1`}][eqn: pmatrix{``1``&```1`#4&```7``} `]=[eqn: pmatrix{``1``&``1`#6&```9``} `]이므로 [eqn: 1169]이고,

2행3열과 2행4열의 성분은 2씩 증가하므로 다음 주 월요일의 번호가 처음 설정한 번호와 일치한다.

9. [출제의도] 삼각함수의 법칙을 이용하여 원 문제 해결하기

코사인법칙에 의하여

[eqn: bar{rm BC it} ^{2} =6 ^{2} +2 ^{2} -2 TIMES 6 TIMES 2 TIMES cos {pi } over {3} =28]이므로 [eqn: bar{rm BC it} =2 sqrt {7}``]

사인법칙에 의하여 [eqn: {bar{rm BC it}} over {sin` ANGLE rm A it} =2R] 에서

[eqn: R= {2} over {3} sqrt {21} ``]. 원 [eqn: O _{`1}]의 중심을 [eqn: \P``]라 하면
[eqn: bar{rm PA it} = bar{rm PC it} `=r _{1}] , [eqn: ANGLE rm A= {pi } over {3}]
[eqn: TRIANGLE rm P AC``]는 정삼각형이므로 [eqn: r _{1} =2``]이다.
[eqn: bar{rm AB it} =2r _{1} +2r _{2} =6``]이므로 [eqn: r _{2} =1``]이다.

[eqn: THEREFORE ``3`R ^{`2} +r _{1} ^{```2} +r _{2} ^{```2} =33``]

10. [출제의도] 행렬의 곱셈의 성질 이해하기

[eqn: A+B=`-E``,````AB=E``]이므로, [eqn: A(-E-A)=E],

[eqn: THEREFORE][eqn: A ^{2} +A+E=O]

같은 방법으로 [eqn: B ^{2} +B+E=O]

한편, [eqn: A ^{3} =A ^{2} A=(-A-E)A=`-A ^{2} -A=E]

같은 방법으로 [eqn: B ^{`3} =E``]

[eqn: (A+B)+(A ^{2} +B ^{2} )+ CDOTS +(A ^{2011} +B ^{2011} )]

[eqn: =`(A+A ^{2} +A ^{3} + CDOTS +A ^{2011} )][eqn: +(B+B ^{2} +B ^{3} + CDOTS +B ^{2011} )]

[eqn: =`A+B=`-E]

11. ‘가’형과 동일

12. ‘가’형과 동일

13. [출제의도] 그래프의 성질을 이해하여 추론하기

ㄱ. 모든 변은 꼭짓점을 항상 2개씩 가진다. (참)

ㄴ. 각 팀을 꼭짓점으로, 시합을 변으로 생각하면 대진표는 그래프가 된다. 홀수 점의 수가 짝수 개이어야 하므로 7개 팀이 모두 홀수 번 시합하는 것은 불가능하다. (거짓)

ㄷ. 꼭짓점 주위의 변의 수와 연결 상태를 살펴보면 두 그래프는 같다. (참)

14. [출제의도] 절댓값이 포함된 일차부등식을 이용하여 이차부등식 문제 해결하기

[eqn: |2x+a| LEQ 3]에서 [eqn: -3 LEQ 2x+a` LEQ 3]

[eqn: ` {-3-a`} over {2} LEQ `x` LEQ {3-a`} over {2}] 이므로
[eqn: x ^{2} `+x`+b`=0``]의 두 근은 [eqn: {-3-a`} over {2} `,`` {3-a`} over {2} ``]이다.

근과 계수와의 관계에 의해서
[eqn: a=1,~~b=-2`]

[eqn: THEREFORE `ab=-2]

15. ‘가’형과 동일

16. [출제의도] 행렬의 연산과 역행렬을 이해하여 추론하기

조건에서 곱셈에 대한 교환법칙 [eqn: AB=BA``]가 성립하므로 [eqn: (`A+`B``)(A-2B)=A^2`-AB-2B^2]

조건 (가), (나)에 의해서

[eqn: A^2`-AB-2B^2``=`E-2B^2``=`3E``]

[eqn: therefore``][eqn: (`A+`B``)^-1``=`1over3`A-`2over3`B``]

[eqn: therefore``][eqn: p+q=`- {1} over {3} ``]

17. [출제의도] 복소수의 성질을 이용하여 이차방정식문제 해결하기

[eqn: alpha]가 허근이므로 [eqn: beta = bar{alpha }] 이다.

[eqn: {alpha ^{2}} over {beta }]이 실수이므로 [eqn: {alpha ^{2}} over {beta } = bar{LEFT ( {alpha ^{2}} over {beta } RIGHT )} = {bar{alpha } ^{2}} over {bar{beta }} = {beta ^{2}} over {alpha }] 에서

[eqn: LEFT ( {alpha } over {beta } RIGHT ) ^{3} =1] 이다.

18~22. ‘가’형과 동일

23. [출제의도] 선분의 내분점, 외분점 계산하기

[eqn: A`(-1,``1)`,``B`(4`,``6)``]일 때, 점 [eqn: P``]의 좌표는 [eqn: (1`,``3)``]이고, 점 [eqn: Q``]의 좌표는 [eqn: (19`,``21)``]이므로, [eqn: a+b+c+d``=44``]이다.

24. ‘가’형과 동일

25. [출제의도] 연립일차방정식의 해의 조건 이해하기

[eqn: pmatrix{k-a``&``0``#2k`&``b``} pmatrix{``x```#`y``} = pmatrix{`0`&``-1``#`2`&```````1``} pmatrix{``x```#`y``} ``]

[eqn: pmatrix{k-a``&``1``#2k-2`&``b`-1`} pmatrix{``x```#`y``} = pmatrix{``0```#`0``} ``]

[eqn: x=0,~y=0] 이외의 해를 가지려면

[eqn: (k-a)(b-1)-(2k-2)=0]

[eqn: (b-3)k-ab+a+2=0]

모든 실수 [eqn: k]에 대하여 성립하기 위해 [eqn: a=1,~`b=3]

[eqn: THEREFORE ````a ^{2} +`b ^{2} =10]

26. [출제의도] 이차정사각행렬의 연산을 이해하기

[eqn: A+kB``= pmatrix{`2&````2`#`1&````3`}] , [eqn: A+B``=E``]을 연립하면
[eqn: (k-1)B``= pmatrix{`1&```2`#`1&```2`}] 이다.
[eqn: (k-1) ^{`2} B ^{`2} ``= pmatrix{`1&```2`#`1&```2`} pmatrix{`1&```2`#`1&```2`}][eqn: = pmatrix{`3&```6`#`3&```6`} =3 pmatrix{`1&```2`#`1&```2`}][eqn: =3(k-1)B``] 이고, [eqn: B ^{`2} =B``]이므로 [eqn: (k-1) ^{`2} B ``][eqn: =3(k-1)B``] 이다.
[eqn: B != O`,``k != 1``]이므로 [eqn: k=4``]이다. [eqn: THEREFORE ``10k=40``]

27. [출제의도] 삼각함수의 성질을 이해하여 도형의 넓이 구하기

부채꼴 [eqn: AEF``]의 내접원의 반지름을 [eqn: r`]라 하면

직각[eqn: TRIANGLE rm `ABC``]에서  [eqn: bar{\AC} ``=``2r], [eqn: bar{rm AB it} ``=`` sqrt {3} it r``]이고

[eqn: 2r + r=3r `=`6``]에서 [eqn: r`=`2]

(어두운 부분의 넓이)

= ([eqn: TRIANGLE `rm ABC] 의 넓이) - (부채꼴 [eqn: rm BCD``] 의 넓이)

= [eqn: {1} over {2} TIMES 2 sqrt {3} TIMES 2]-[eqn: {1} over {2} times4times{pi } over {3}]=[eqn: 2 sqrt {3}]-[eqn: {2 pi } over {3}]

따라서 구하는 어두운 부분의 넓이는

[eqn: 12`left(2 sqrt {3} - {2pi} over {3}right)]= [eqn: 24 sqrt {3} `-`8 pi]

∴ [eqn: 24 sqrt {3} `-`8 pi] = [eqn: p root 3 ``+ q `pi``]에서 [eqn: p+q`=``24``-`8``=``16]

28. [출제의도] 행렬의 연산을 이해하여 규칙성 추론하기

[eqn: AB+A=O``]에 대입하여 정리하면

[eqn: pmatrix{1``&-a+b+1#1``&-1} = pmatrix{a``&-1#1``&b} ```,~a=1,```b=-1``]이므로

[eqn: A= pmatrix{1``&-1#1``&-1} ``]이고  [eqn: A ^{2} =O``]이다.

따라서 [eqn: A+A ^{2} +` CDOTS `+A ^{2010} =A= pmatrix{1``&-1#1``&-1} `] 이므로
[eqn: p=1`,``q=-1`,``r=1`,``s=`-1``]

따라서 [eqn: p ^{2} +q ^{2} +r ^{2} +s ^{2} =4``]이다.

29. ‘가’형과 동일

30. ‘가’형과 동일