◦ 자신이 선택한 유형(‘가’형/‘나’형)의 문제지인지 확인하시오.

수리 영역

‘가’형

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수리 영역

‘가’형

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2010학년도 6월 고2 전국연합학력평가 문제지

제 2 교시            수리 영역

성명			수험 번호						2

‘가’형

◦ 문제지의 해당란에 성명과 수험 번호를 정확히 쓰시오.

◦ 답안지의 해당란에 성명과 수험 번호를 쓰고, 또 수험 번호와 답을 정확히 표시하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 ‘0’이 포함되면, 그 ‘0’ 도 답란에 반드시 표시하시오.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

8

1. [eqn: ``6 ^{{1} over {3}} TIMES `3 ^{{2} over {3} `} `÷2 ^{{1} over {3}}``]의 값은? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: root {3} of {3}]	③ [eqn: root {3} of {4}]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

2. 행렬 [eqn: A= pmatrix{````````1```&`-2`#`-2```&````````5`} ``]에 대하여 행렬 [eqn: A+A ^{-1} ``]은? [2점]

① [eqn: pmatrix{`4```&```0#`0```&````4`}]	② [eqn: pmatrix{`0```&```2#`2```&````0`}]	③ [eqn: pmatrix{`1```&```0#`0```&````5`}]

④ [eqn: pmatrix{`````````0```&`-4`#`-4```&```````0}]	⑤ [eqn: pmatrix{`6```&```0#`0```&````6`}]

3. 세 수 [eqn: sqrt {2} ,`` root {3} of {4} ,`` root {9} of {8} ``]의 크기를 비교하면? [2점]

① [eqn: root {9} of {8} `< sqrt {2} `< root {3} of {4}]	② [eqn: root {9} of {8} `< root {3} of {4} `<` sqrt {2}]

③ [eqn: root {3} of {4} `< sqrt {2} `< root {9} of {8}]	④ [eqn: sqrt {2} `<` root {3} of {4} < root {9} of {8}]

⑤ [eqn: sqrt {2} `<` root {9} of {8} < root {3} of {4}]

4. 집합 [eqn: X`=` LEFT { `1`,`2`,`3`,`4` RIGHT } ``]에 대하여 [eqn: X``]에서 [eqn: X``]로의 함수 [eqn: f``]의 역함수를 [eqn: g``]라 할 때, [eqn: 4`g(1)`+`3`g(2)`+`2`g(3)`+`g(4)``]의 최댓값은?
[3점]

① [eqn: 26]	② [eqn: 28]	③ [eqn: 30]	④ [eqn: 32]	⑤ [eqn: 34]

5. [eqn: 2000``]보다 크고 [eqn: 7000``]보다 작은 짝수 중에서 각 자리의 숫자가 모두 다른 수의 개수는? [3점]

① [eqn: 1230]	② [eqn: 1232]	③ [eqn: 1234]	④ [eqn: 1236]	⑤ [eqn: 1238]

6. 그림과 같이 직선 [eqn: y=3``]이 [eqn: x=0``], [eqn: y=a ^{`x}``], [eqn: y=b ^{`x} ``](단, [eqn: 1<b<a``])의 그래프와 만나는 점을 각각 [eqn: \A, ``B, ``C``]라 하고, 점 [eqn: \B``]에서 [eqn: x``]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H``], [eqn: bar{rm BH it} ``]가 [eqn: y=b ^{`x} ``]의 그래프와 만나는 점을 [eqn: \D``]라 하자. [eqn: \ bar AB = bar BC ``]일 때, [eqn: rm ` {bar{BD}} over bar{DH} ``]의 값은? [3점]

[eqn: y=3]

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm`A]

[eqn: rm`B]

[eqn: rmC]

[eqn: rmD]

[eqn: 1]

[eqn: rm H]

[eqn: y=a^x]

[eqn: y=b ^{x}]

① [eqn: sqrt {2} -1]	② [eqn: {sqrt {3}} over {3}]	③ [eqn: {sqrt {2}} over {2}]

④ [eqn: sqrt {3} -1]	⑤ [eqn: {sqrt {3}} over {2}]

7. 이차정사각행렬 [eqn: A`,`B``]에 대하여, 옳은 내용만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: E``]는 단위행렬이다.) [3점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: AC``=`B``]인 이차정사각행렬 [eqn: C``]가 항상 존재한다. ㄴ. [eqn: A+B=E``]이면 [eqn: A ^{2} -B ^{`2} =A-B``]이다. ㄷ. [eqn: AB=E``]이면 [eqn: A+B``]의 역행렬이 존재한다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

8. 다음은 [eqn: n``]이 자연수일 때, [eqn: x``]에 대한 방정식 [eqn: x ^{n} =2`cos theta `+1``]의 실근의 개수에 대한 설명이다.

(가) [eqn: n``]이 짝수이고 [eqn: {2 pi } over {3} < theta ``< {4 pi } over {3} ``]이면 [eqn: a``]개

(나) [eqn: n``]이 짝수이고 [eqn: {3 pi } over {2} < theta ``<2 pi ``]이면 [eqn: b``]개

(다) [eqn: n``]이 홀수이고 [eqn: {pi } over {3} < theta ``< {3 pi } over {2} ``]이면 [eqn: c``]개

[eqn: a+2b+3c``]의 값은? [4점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

9. [eqn: x`,``y``]에 대한 연립방정식 [eqn: cases{2 ^{`x+3} `-`3 ^{`y-1} `=`k#2 ^{`x-1} `+`3 ^{`y+2} `=`2} ``] 가 근을 갖기 위한 정수 [eqn: k``]의 최댓값은? [3점]

① [eqn: 25]	② [eqn: 27]	③ [eqn: 29]	④ [eqn: 31]	⑤ [eqn: 33]

10. 신맛이 매우 강한 오렌지주스 [eqn: 4` rm L``]의 농도를 낮추기 위해 [eqn: 2` rm L``]를 버리고 [eqn: 2` rm L``]의 물을 섞는다. 이 시행을 [eqn: 10``]회 반복하여 [eqn: p`]％ 오렌지주스 [eqn: 4` rm L``]를 만들었다. 시행 횟수를 줄이기 위해 [eqn: 3` rm L``]를 버리고 [eqn: 3` rm L``]의 물을 섞는 일을 반복하여 [eqn: p`]％ 오렌지주스 [eqn: 4` rm L``]를 만들려면, 반복해야 할 시행 횟수는? [3점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

11. 좌표평면 위의 점들의 집합
[eqn: A= LEFT { `(`x`,``y`)``|````|``x``|+|``y``| LEQ 2`,````x``와```y``는~정수` RIGHT } ``]의 원소에 대하여 옳은 내용만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: A``]의 원소의 개수는 [eqn: 13``]이다. ㄴ. [eqn: A``]의 원소를 연결하여 만들 수 있는 직선의 개수는 [eqn: 28``]이다. ㄷ. [eqn: A``]의 원소를 연결하여 만들 수 있는 삼각형의 개수는 [eqn: 256``]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

12. 함수 [eqn: f(x)=x` LEFT | `x` RIGHT | `+p`x+q``](단, [eqn: p,~q``]는 실수)에 대하여 옳은 내용만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: f(-x)=`-`f(x)``]는 [eqn: q=0```]이기 위한 필요충분조건이다. ㄴ. [eqn: p=0``]이면 방정식 [eqn: f(x)=0``]의 실근은 [eqn: 1``]개이다. ㄷ. 방정식 [eqn: f(x)=0``]의 실근은 많아야 [eqn: 3``]개이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

13. [eqn: x``]에 대한 지수방정식 [eqn: 16 CDOT 3 ^{`-x} +3 ^{``x+2} =2`a``]가 단 하나의 해를 가질 때, 실수 [eqn: a``]의 값은? [3점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 12]	④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 18]

14. 이차정사각행렬 [eqn: A`,``B``]에 대하여 [eqn: C``(A`,`B`)=AB-BA``]라 하자. 정수 [eqn: k``]에 대하여 이차정사각행렬의 집합 [eqn: M_k``]를
[eqn: LEFT . M _{k} = LEFT { ```left(``a _{ij} ``right)```` RIGHT | ```i`=1`,``2`,``j=1`,``2``에~대하여~i-j != k``이면~a _{ij} =0` RIGHT }]
으로 정의할 때, 옳은 내용만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: O``]는 영행렬이고 [eqn: E``]는 단위행렬이다.) [4점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: A`,``B``inM_0``]이면 [eqn: C``(A`,`B`)=O``]이다. ㄴ. [eqn: |`k`| GEQ 2``]이면 [eqn: M _{k} = LEFT { O`,``E`` RIGHT }``]이다. ㄷ. [eqn: |`k`|<2``]일 때, [eqn: A`,``B`` IN M _{k}``]이면 [eqn: C``(A`,B`)=O``]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

15. 다음은 [eqn: k``]가 실수일 때, [eqn: x``]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} -x-k=0``]의 두 근 [eqn: alpha `,`` beta ``]와 [eqn: x ^{2} +kx-1=0``]의 두 근 [eqn: gamma `,`` delta ``]에 대하여
[eqn: ( alpha - gamma )( beta - gamma )( alpha - delta )( beta - delta )``]의 값을 구하는 과정이다.

[eqn: f(x)=x ^{2} +kx-1``]이라 할 때, [eqn: f(x)=0``]의 두 근이 [eqn: gamma `,`` delta ``]이므로

[eqn: ( alpha - gamma )( beta - gamma )( alpha - delta )( beta - delta )]

[eqn: =``````````` LEFT ( 가 RIGHT )]

[eqn: = LEFT { LEFT ( ````` LEFT ( 나 RIGHT ) `````)` alpha +k-1 RIGHT } LEFT { LEFT ( ````` LEFT ( 나 RIGHT ) `````)` beta +k-1 RIGHT } RIGHT . RIGHT .]

[eqn: =(`````(나)`````) ^{2} alpha beta +(`````(나)`````)(k-1)( alpha + beta )+ LEFT ( k-1 RIGHT ) ^{2}]

[eqn: =``````````` LEFT ( 다 RIGHT )]

이다.

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점]

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: f( alpha )`f( beta )]	[eqn: ``````k+1]	[eqn: ````````k(k ^{2} +3)]
②	[eqn: f( alpha )`f( beta )]	[eqn: ``````k+1]	[eqn: -k(k ^{2} +3)]
③	[eqn: f( alpha )`f( beta )]	[eqn: -k-1]	[eqn: ````````k(k ^{2} +3)]
④	[eqn: f( gamma )`f( delta )]	[eqn: -k-1]	[eqn: -k(k ^{2} +3)]
⑤	[eqn: f( gamma )`f( delta )]	[eqn: -k-1]	[eqn: ````````k(k ^{2} +3)]

16. 두 함수 [eqn: y`=` sqrt {2kx} `,``y`=`x`+`1`-`k``]의 그래프가 만나지 않기 위한 실수 [eqn: k``]의 범위는? [3점]

① [eqn: - {2} over {3} <k<0]	② [eqn: - {1} over {3} <k< {1} over {3}]	③ [eqn: 0<k< {2} over {3}]

④ [eqn: {1} over {3} <k<1]	⑤ [eqn: {2} over {3} <k<` {4} over {3}]

17. 이차함수 [eqn: y=f(x)``]의 그래프와 일차함수 [eqn: y=g(x)``]의 그래프가 그림과 같을 때, 부등식 [eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{`f`(x-2)} <`2 ^{`-g`(x+1)} ``]의 해는? [3점]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: rmO]

① [eqn: x<`-2``] 또는 [eqn: x>2]	② [eqn: x<`0`] 또는 [eqn: `x>1]

③ [eqn: x<`0`] 또는 [eqn: `x>2]	④ [eqn: -3<x<1]

⑤ [eqn: 0<x<2]

18. 행렬 [eqn: pmatrix{``0`&`1`&`1`&`1``#1&0&1&1#1&1&0&0#1&1&0&0}] 이 나타내는 그래프는? [3점]

①		②
③		④
⑤

19. [eqn: x``]에 대한 다항식 [eqn: A``]를 [eqn: x ^{2} +1``]로 나눈 나머지를 [eqn: R`(A)``]라 할 때, 옳은 내용만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: R`(`x ^{`10} -x+1)=`-x] ㄴ. [eqn: R`(`x ^{`9} +x+1)=R`(`x ^{`5} +x+1)] ㄷ. 자연수 [eqn: k``]에 대하여 [eqn: n=4k+3`]이면 [eqn: R`(`x ^{`n} +x+1)=`-1]이다.

① ㄷ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

20. 두 함수 [eqn: y=4`sin`3x`,~y=3`cos`2x``]의 그래프가 [eqn: x``]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rm A(ita`,``0)`,``\B`(itb`,``0)``](단, [eqn: 0<a< {pi } over {2} <b< pi])라 하자.
[eqn: y=4`sin`3x``]의 그래프 위의 임의의 점 [eqn: \P`]에 대하여 [eqn: TRIANGLE rm ABP``]의 넓이의 최댓값은? [3점]

① [eqn: {pi } over {3}]	② [eqn: { pi } over {2}]	③ [eqn: {2pi } over {3}]	④ [eqn: {5 pi } over {6}]	⑤ [eqn: pi]

21. 허수부분이 [eqn: 0``]이 아닌 복소수 [eqn: a+b`i``]에 대하여
[eqn: a+bi= {x+i} over {x-i}``]를 만족시키는 실수 [eqn: x``]가 존재할 때, 점 [eqn: (`a`,``b`)``]가 그리는 도형은? (단, [eqn: a,``b``]는 실수이고, [eqn: i= sqrt {-1}]이다.) [4점]

①	[eqn: rm O] [eqn: a] [eqn: b]	②	[eqn: rm O] [eqn: a] [eqn: b]
③	[eqn: rm O] [eqn: a] [eqn: b]	④	[eqn: rm O] [eqn: a] [eqn: b]
⑤	[eqn: b] [eqn: rm O] [eqn: a]

단답형(22~30)

22. 두 행렬 [eqn: A= pmatrix{`````````3&````1#`-1&````4`} `,``B``= pmatrix{`4&```-1`#`1&``````````3`} ``]에 대하여 [eqn: A ^{2} +AB``]의
모든 성분의 합을 구하시오. [3점]

23. 그림과 같이 두 함수 [eqn: y=4 ^{`x}], [eqn: y=2x]의 그래프와 좌표축에 평행한 직선으로 만들어진 세 직사각형 [eqn: rm A,``B,``C]의 넓이의 합을 [eqn: S```]라 할 때, [eqn: 4`S` ^{``2} ``]의 값을 구하시오. (단, [eqn: y=4 ^{`x} ``]과 [eqn: y]축이 만나는 점은 직사각형 [eqn: rm A]의 한 꼭짓점이다.) [3점]

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y=4 ^{x}]

[eqn: y=2x]

24. 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1``]인 정삼각형 [eqn: 9``]개를 이어 붙여 만든 도형이 있다. 이 도형의 선들로 이루어지는 평행사변형의 개수를 구하시오. [3점]

25. 함수 [eqn: `f`(`x)`= cases{{1} over {2} `x~&(`x GEQ 0)#-x~`&(`x<0)} ``]에 대하여
함수 [eqn: g`(`x)``=f`(`x-6)-f`(`x`)``]의 최댓값을 [eqn: M``], 최솟값을 [eqn: m``]이라 할 때, [eqn: `M````+`m``]의 값을 구하시오. [4점]

26. 부등식 [eqn: {1} over {4} < {n} over {m} ``< {2} over {7} `]를 만족시키는 분수 [eqn: {n} over {m} `](단, [eqn: m`,``n`]은 서로소인 자연수) 에 대하여, [eqn: m`]이 최소일 때 [eqn: m+n``]의 값을 구하시오.                                                        [4점]

27. 좌표평면에서 원 [eqn: x^2 +y^2 =5``] 위의 두 점 [eqn: rm `A(1`,`2)`], [eqn: rm B(2`,`-1)``]에서의 접선의 방정식을 각각 [eqn: l _{1} `,``l _{2} ``]라 하자. 두 접선 [eqn: l _{1} `,``l _{2} ``]의 교점의 좌표 [eqn: (`x`,``y`)]는 다음과 같이 행렬을 이용하여 구할 수 있다.

[eqn: pmatrix{``x``#`y`} `=M``` pmatrix{``5```#`5``}]

이차정사각행렬 [eqn: M````]의 모든 성분의 합이 [eqn: k``]일 때, [eqn: 100`k``]의 값을 구하시오. [4점]

28. 그림과 같이 [eqn: TRIANGLE \ ABC`]의 두 꼭짓점 [eqn: \A,``B``]를 각각 중심으로 하고 반지름의 길이가 같은 두 원이 외접한다.
[eqn: ANGLE rm B= {pi } over {3} ``], [eqn: bar{rm AC it} =2 sqrt {6}], [eqn: bar{rm CD it} =2 sqrt {3}] 일 때, [eqn: TRIANGLE \ABC] 의 내부의 두 부채꼴(어두운 부분) 넓이의 합은 [eqn: `k`` pi ``]이다.
[eqn: 100`k``]의 값을 구하시오. [4점]

[eqn: a]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: rm {pi } over {3}]

29. 함수 [eqn: f(x)]는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: 0` LEQ `x` LEQ `1``]일 때, [eqn: f(`x)`=` {2x} over {x`+`1} ``]

(나) [eqn: f(`x)`=`f(`-x)``]

(다) [eqn: f(`x)`=`f(`x`+`2)``]

함수 [eqn: g(x)`= {1} over {6} ` LEFT | `x` RIGHT | ``]에 대하여 방정식 [eqn: f(x)`-`g(x)=0``]의 실근의 개수를 구하시오. [4점]

30. 자연수 [eqn: a,``b``]는 [eqn: 7``]로 나누면 나머지가 각각 [eqn: 5,``6``]이다.
[eqn: x``]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} -ax+b=0``]의 두 근이 [eqn: 9``]이하의
자연수가 되도록 하는 순서쌍 [eqn: (`a`,``b`)``]에 대하여 [eqn: a+b``]의 최댓값을 구하시오. [4점]

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.