◦ 문제지의 해당란에 성명과 수험 번호를 정확히 쓰시오.

2010학년도 6월 고1 전국연합학력평가 문제지

제 2 교시            수리 영역

성명			수험 번호						1

수리 영역

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수리 영역

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◦ 답안지의 해당란에 성명과 수험 번호를 쓰고, 또 수험 번호와 답을 정확히 표시하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 ‘0’이 포함되면, 그 ‘0’ 도 답란에 반드시 표시하시오.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

8

1. 전체집합 [eqn: U] 의 공집합이 아닌 두 부분집합 [eqn: A`,~B] 가 서로소일 때, 다음 중 옳은 것은? [2점]

① [eqn: A SUBSET B ^{C}]	② [eqn: B SUBSET A]	③ [eqn: A SMALLINTER B^C = phi]

④ [eqn: B``-A= phi]	⑤ [eqn: A CUP B```=U]

2. 등식 [eqn: (5`+3i)`x`-(2-3i)`y```=`-7+6i] 를 만족시키는 두 실수 [eqn: x`,~y``]에 대하여 [eqn: x+y] 의 값은? (단, [eqn: i`=` sqrt {-1} ``]) [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

3. [eqn: 0<a<1] 일 때, [eqn: sqrt {a ^{2} -2a+1} + sqrt {`a ^{2}}] 을 간단히 하면? [2점]

① [eqn: -2a+1]	② [eqn: 2a-1]	③ [eqn: a]

④ [eqn: -1]	⑤ [eqn: 1]

4. [eqn: a= sqrt {3+2 sqrt {2}}] 일 때, [eqn: {1} over {a- LEFT [ a RIGHT ]}][eqn: =m+n sqrt {2}] ([eqn: m`,~n] 은 유리수)이다. [eqn: m+n] 의 값은? (단, [eqn: LEFT [ a RIGHT ]]는 [eqn: a] 보다 크지 않은 최대의 정수이다.)                                                        [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

5. 복소수 [eqn: z= sqrt2 over {1+i }] 일 때, [eqn: z^2010] 의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1}]) [3점]

① [eqn: 2i]	② [eqn: -2i]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: i]	⑤ [eqn: -i]

6. [eqn: 0] 이 아닌 세 실수 [eqn: a`,~b`,~c] 가 다음 조건을 만족한다.

(가) [eqn: sqrt {a} sqrt {b} =``- sqrt {ab}]

(나) [eqn: {sqrt {c}} over {sqrt {b}} =``- sqrt {{c} over {b}}]

이때, 이차함수 [eqn: y=ax ^{2} +bx+c] 의 그래프가 될 수 있는 것은?                                                         [3점]

①	[eqn: rm O] [eqn: y] [eqn: x]	②	[eqn: rm O] [eqn: y] [eqn: x]
③	[eqn: rm O] [eqn: y] [eqn: x]	④	[eqn: rm O] [eqn: y] [eqn: x]
⑤	[eqn: rm O] [eqn: y] [eqn: x]

7. <그림1>의 연산장치 [eqn: rm F] 에 두 자연수 [eqn: a`,~b] 를 입력하면 출력되는 두 수 [eqn: c`,~d] 는 [eqn: c= LEFT | a-b `RIGHT |], [eqn: d`= cases{`a~(a LEQ b)#`b````(a>b)}] 이다.

<그림1>

[eqn: a]

[eqn: b]

[eqn: c]

[eqn: d]

이 장치에 [eqn: 360] 과 [eqn: 204] 를 입력하고, <그림2>와 같이 반복 작동시켜 출력되는 두 수 중 어느 한 수가 처음으로 [eqn: 0] 이 될 때, 다른 한 수는? [3점]

<그림2>

[eqn: 360]

[eqn: 204]

[eqn: 0]

[eqn: ?]

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 24]

8. 실수 전체의 집합에서 연산 [eqn: ◉] 를 [eqn: a`◉`b=ab-a-b+2] 로 정의할 때, 연산 [eqn: ◉] 에 대한 역원을 갖지 않는 원소는? [4점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

9. 두 가지 모양의 케이크를 만들려고 한다. 그림과 같이 <케이크 A>는 모서리의 길이가 각각 [eqn: a`,~b`,~c] 인 정육면체 세 개를 쌓아서 만들고, <케이크 B>는 세 모서리의 길이가 [eqn: a`,~b`,~c] 인 직육면체 세 개를 쌓아서 만든다. <보기>에서 옳은 설명만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: a>b>c]) [4점]

[eqn: a] [eqn: b] [eqn: c]	[eqn: a] [eqn: b] [eqn: b] [eqn: b] [eqn: c]
<케이크 A>	<케이크 B>

		<보 기>
	ㄱ. <케이크 A>가 <케이크 B>보다 높다. ㄴ. <케이크 A>에서 밑면을 제외한 겉넓이는 [eqn: 5a ^{2} +4b ^{2} +4c ^{2}]이다. ㄷ. <케이크 A>와 <케이크 B>의 부피를 같게 만들 수 있다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

10.  [eqn: {x`+`y} over 3 `=`{y`+`z} over 4 `=`{z`+`x} over 5 ``]일 때, [eqn: {xy `-` yz`-`zx} over {x^2 `+`y^2 `+`z^2 } ``]의 값은?
(단, [eqn: xyz`neq`0``]) [3점]

① [eqn: - {9} over {14} ``]	② [eqn: - 1 over 2 ``]	③ [eqn: 1 over 14 ``]

④ [eqn: 1 over 2 ``]	⑤ [eqn: {9} over {14} ``]

11.  그림과 같이 삼각형 [eqn: rmABC] 의 변 [eqn: rm BC] 는 원 [eqn: rm O] 의 중심을 지나고, 두 변 [eqn: rm AB], [eqn: rm AC] 는 원에 접한다. [eqn: rm bar{AB`} =16`], [eqn: rm bar{AC`} =12`], [eqn: rm bar{BO`} =12] 일 때, 선분 [eqn: rmOC] 의 길이는? [3점]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm O]

[eqn: 12]

[eqn: 12]

[eqn: 16]

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]	④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

12. 다항식 [eqn: P`(x)=x ^{2} -4x-6] 에 대하여 서로 다른 두 실수 [eqn: a`,~b] 가 [eqn: P`(a)=0`], [eqn: P`(b)=0] 을 만족시킬 때, [eqn: P`(a+b)] 의 값은? [3점]

① [eqn: -6]	② [eqn: -4]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 6]

13. [eqn: a>b>1], [eqn: c>0] 인 세 실수 [eqn: a`,~b`,~c] 에 대하여 <보기>에서 옳은 식만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: {1} over {a+c} < {1} over {b+c}] ㄴ. [eqn: ` ab+1>a+b] ㄷ. [eqn: {a} over {b} < {a-1} over {b-1}]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

14. 두 복소수 [eqn: z _{1} `,~z _{2}] 가 [eqn: bar{z _{1}} `-` bar{z _{2}} `=1+2i`,~ bar{z _{1}} `` bar{z _{2}} `=4-3i```]를 만족시킬 때, [eqn: (z _{1} -1)(z _{2} +1)] 의 값은? (단, [eqn: i =sqrt {-1}], [eqn: bar{z} `] 는 [eqn: z] 의 켤레복소수이다.) [3점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 4+5i]	③ [eqn: 4-5i]

④ [eqn: 4+i]	⑤ [eqn: 4-i]

15. 다음은 피타고라스 정리를 증명한 것이다.

	<증명> 그림과 같이 직각삼각형 [eqn: rm ABC] 에서 [eqn: {rm`barAB}=c] , [eqn: rm ` bar{BC} it =a] , [eqn: {rm`barCA}=b] , 내접원의 중심을 [eqn: rmI] , 반지름의 길이를 [eqn: r] 라 하고, 내접원과 세 변의 접점을 [eqn: rmD`,~E`,~F] 라 하자. [eqn: rm A] [eqn: rm B] [eqn: rm C] [eqn: rm D] [eqn: rm E] [eqn: rm F] [eqn: rm I] [eqn: a] [eqn: c] [eqn: b] ([eqn: TRIANGLE rm ABC]의 넓이) [eqn: =]([eqn: TRIANGLE ` rm ABI]의 넓이)+([eqn: TRIANGLE rm BCI]의 넓이)+([eqn: TRIANGLE rm CAI]의 넓이) 이므로 [eqn: r=] 이다. (가) 한편, [eqn: rm TRIANGLE ABC] 둘레 길이의 합 [eqn: a+b+c=a+2r+] 이므로 [eqn: r=] 이다. (나) (다) [eqn: =] 이므로 [eqn: a^2 =b^2 +c^2] 이다. (가) (다)

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점]

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: {a+b+c} over {bc}]	[eqn: rm barCE +barBE]	[eqn: {2} over {b+c-a}]
②	[eqn: {bc} over {a+b+c}]	[eqn: rm barAC +barAB]	[eqn: {b+c-a} over {2}]
③	[eqn: {bc} over {a+b+c}]	[eqn: rm barCE +barBE]	[eqn: {b+c-a} over {2}]
④	[eqn: {a+b+c} over {bc}]	[eqn: rm barAC +barAB]	[eqn: {2} over {b+c-a}]
⑤	[eqn: {bc} over {a+b+c}]	[eqn: rm barCE +barBE]	[eqn: {2} over {b+c-a}]

16. 그림과 같이 삼각형 [eqn: rm ABC] 의 무게중심을 [eqn: rmG] , 점 [eqn: rmB] 에서 선분
[eqn: rm AG] 의 연장선에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH] 라 하자. [eqn: rm bar{BH} =20`], 삼각형 [eqn: rm ABC] 의 넓이가 [eqn: 540] 일 때, 선분 [eqn: rm AG] 의 길이는? [3점]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm H]

[eqn: rm G]

[eqn: 20]

① [eqn: 15``]	② [eqn: 16 ``]	③ [eqn: 17``]	④ [eqn: 18``]	⑤ [eqn: 19`]

17. 전체집합 [eqn: U``=LEFT {` x vert x`` RIGHT .]는 [eqn: 10] 이하의 자연수[eqn: "}"] 에서의 두 조건

[eqn: p~:~x``]는 [eqn: 4``]의 약수이다 ,    [eqn: q~:~2x-17≤0]

의 진리집합을 각각 [eqn: P,~Q``] 라 할 때, [eqn: P`subset`X`subset`Q ``] 를 만족시키는 집합 [eqn: X``] 의 개수는? [3점]

① [eqn: 4 ``]	② [eqn: 8``]	③ [eqn: 16 ``]	④ [eqn: 32``]	⑤ [eqn: 64``]

18. 출발점에 말을 놓고 주사위를 던져 나온 눈의 수만큼 말을 이동시켜 [eqn: 20]번 칸에 도착하면 끝나게 되는 게임이 있다. 그림과 같이 게임판에는 [eqn: 1]번부터 [eqn: 20]번까지의 숫자가 차례대로 적혀 있고, [eqn: 5]번(★)이나 [eqn: 15]번(◉) 칸에 말이 도착하면 게임판의 <게임 규칙>에 따르기로 한다. 혼자서 게임할 때, 주사위를 세 번 던져 게임이 끝나는 경우의 수는? [4점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

19. 전체집합 [eqn: U``=` LEFT { `1,~2,~3,~ CDOTS`,~9,~10 RIGHT } `]의 부분집합 중 두 개의 원소를 가지는 집합을 [eqn: A=LEFT { `a`,~b` RIGHT }] 로 나타낼 때, 두 원소의 곱 [eqn: ab] 가 어떤 자연수의 제곱이 되는 집합 [eqn: A] 의 개수는? [3점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

20. 두 자연수 [eqn: a`,~b] 의 공약수 개수를 [eqn: N``(a`,~b)] 라 하자.
전체집합 [eqn: U="{"x vert x]는 [eqn: 100] 이하의 자연수[eqn: "}"]의 부분집합 [eqn: A_k (a)] 를 [eqn: A_k (a) ="{"x vert N``(a`,~x)=k"}"]라 할 때, <보기>에서 옳은 내용만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: 4`` IN `A _{1} (3)] ㄴ. 집합 [eqn: A _{3} (4)`]의 원소의 개수는 [eqn: 23]개이다. ㄷ. [eqn: a] 가 소수이면 집합 [eqn: A _{2} (a)]의 원소의 개수는 [eqn: LEFT [ {100} over {a} RIGHT ]]개이다. (단, [eqn: [x]] 는 [eqn: x] 보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

21. 그림과 같이 [eqn: rmbarAD`}]// [eqn: rm bar{BC}] 이고 넓이가 [eqn: 400] 인 사다리꼴 [eqn: rm ABCD] 에서 변 [eqn: rm AB`], [eqn: rm`CD] 의 중점을 각각 [eqn: rm E`,~F`]라 하고, 선분 [eqn: rm EF] 위의 한 점 [eqn: rm M] 에 대하여 두 선분 [eqn: rm DM`,~AM] 의 연장선과 변 [eqn: rm BC] 와의 교점을 각각 [eqn: rmG`,~H] 라 하자. [eqn: rm bar{AD} =10`], [eqn: rm bar{BC} =30] 일 때, 세 삼각형 [eqn: rm`AMD], [eqn: rm EGM], [eqn: rm MHF] 넓이의 합은? [4점]

[eqn: 10]

[eqn: rm A]

[eqn: rmB]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: rm E]

[eqn: rm F]

[eqn: rm G]

[eqn: rm M]

[eqn: 30]

[eqn: rm H]

① [eqn: 140]	② [eqn: 145]	③ [eqn: 150]	④ [eqn: 155]	⑤ [eqn: 160]

단답형(22~30)

22.  [eqn: x+ 1 over x =7] 일 때, [eqn: x ^{3} + {1} over {x ^{3}}+3x + 3 over x] 의 값을 구하시오. [3점]

23. 다항식 [eqn: f(x)] 를 [eqn: x+1] 로 나눈 나머지는 [eqn: 5] 이고, [eqn: x-1] 로 나눈 나머지는 [eqn: 13] 이다. [eqn: f(x)] 를 [eqn: x^2 -1] 로 나눈 나머지를 [eqn: R`(x)] 라 할 때, [eqn: R`(10)] 의 값을 구하시오. [3점]

24. 자연수 [eqn: n] 에 대하여 [eqn: n] 차 다항식
[eqn: P _{n} (x)=(x-1)(x-2)(x-3)~ CDOTS `(x-n)] 이라 할 때,
[eqn: 2x^3 -3x^2 +1 = a +bP_1 (x) +cP_2 (x) + dP_3 (x)] 는 [eqn: x] 에 대한 항등식이다. 상수 [eqn: a`,~b`,~c`,~d] 의 합 [eqn: a+b+c+d] 의 값을 구하시오. [3점]

25. 그림과 같이 선분 [eqn: rm AB] 를 지름으로 하고 [eqn: rm bar{AB} `=`10 sqrt {3}] 인 반원이 있다.  반원 위의 점 [eqn: rm T] 에서 그은 접선과 선분 [eqn: rm AB] 의 연장선이 만나는 점을 [eqn: rm P] 라 하자. [eqn: rm ANGLE PAT=15 DEG]일 때, [eqn: rm bar{PA} ` TIMES ` bar{PB}] 의 값을 구하시오. [4점]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm P]

[eqn: rm 15 DEG]

[eqn: rm T]

[eqn: 10 sqrt {3}]

26. [eqn: 1] 이 아닌 두 자연수 [eqn: a`,~b] 에 대하여

[eqn: 3587 = 15^3 +15^2 -15+2 = a TIMESb]

로 나타낼 때, [eqn: a+b] 의 값을 구하시오. [4점]

27. 그림과 같이 세 정사각형 [eqn: rm OABC], [eqn: rmODEF], [eqn: rm OGHI] 와 세 삼각형 [eqn: rm OCD], [eqn: rm OFG], [eqn: rm OIA] 는 한 점 [eqn: rm O] 에서 만나고,

[eqn: rm ANGLE COD`= ANGLE FOG`= ANGLE IOA=30 DEG]이다.

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: rm E]

[eqn: rm F]

[eqn: rm G]

[eqn: rm H]

[eqn: rmI]

[eqn: rmO]

[eqn: rm 30DEG]

[eqn: rm 30DEG]

[eqn: rm 30DEG]

세 삼각형 넓이의 합이 [eqn: 26] 이고, 세 정사각형 둘레 길이의 합이 [eqn: 72] 일 때, 세 정사각형 넓이의 합을 구하시오. [4점]

28. 실수 [eqn: x] 에 대한 두 조건

[eqn: p] : [eqn: -3<x-a LEQ 3`],    [eqn: q] : [eqn: -1 LEQ 2x-5<19]

에 대하여 [eqn: p] 는 [eqn: q] 이기 위한 충분조건이 되는 모든 정수 [eqn: a] 의 합을 구하시오. [4점]

29. 원기둥 전시대 위에 조각품이 있다. 그림과 같이 직선의 자 두 개로 V자형 도구를 만들고, 전시대의 바닥 경계선으로부터 [eqn: 1`rmm] 거리에 원형의 선을 그어 색칠한 부분을 접근 금지 구역으로 설정하려고 한다. 전시대와 두 자의 교점에 세운 연필 사이의 거리가 [eqn: 1`rmm] 가 되도록 이 도구를 전시대와 접하게 바닥에 놓았더니 사잇각의 크기가 [eqn: 60` DEG]가 되었다. 이 상태로 도구를 한 바퀴 돌려 설정된 접근 금지 구역의 넓이를 구하였더니 [eqn: a` pi ``` rm m ^{2}] 였다. [eqn: 100a] 의 값을 구하시오. (단, 자의 폭과 두께는 고려하지 않는다.) [4점]

30. 두 점 [eqn: rm A,~B] 를 지름의 양 끝으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 10] 인 원 [eqn: rm O] 위를 움직이는 두 점 [eqn: rm P,~Q] 가 있다. 두 선분 [eqn: rm {OP}], [eqn: rm {OQ}] 는 각각 선분 [eqn: rm OA], [eqn: rm OB] 에서 동시에 출발하여 점 [eqn: rmO] 를 중심으로 시계 방향으로 회전한다. 각각 일정한 속도로 한 바퀴 도는 데 선분 [eqn: rm {OP}]는 [eqn: 30] 초, [eqn: rm {OQ}] 는 [eqn: 60] 초 걸린다. 원의 내부가 처음에는 흰색이나, 두 선분 [eqn: rm OP], [eqn: rm OQ] 가 회전하면서 지나간 부분은 흰색은 검은색으로, 검은색은 흰색으로 바뀐다.

[eqn: rm O]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rmP]

[eqn: rm Q]

두 선분 [eqn: rm {OP}], [eqn: rm {OQ}] 가 출발한 지 [eqn: 800] 초 후의 검은색 부분의 넓이가 [eqn: {q} over {p} pi] ([eqn: p] 와 [eqn: q] 는 서로소인 자연수)일 때, [eqn: p+q] 의 값을 구하시오.                                                            [4점]

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.