• 수리 영역 •

2011학년도 대학수학능력시험 대비

2010년도 3월 고3 전국연합학력평가 정답 및 해설

수리‘가’형 정답

1	④	2	⑤	3	③	4	②	5	③
6	①	7	②	8	④	9	①	10	⑤
11	③	12	⑤	13	②	14	④	15	③
16	②	17	⑤	18	[eqn: 30]	19	[eqn: 12]	20	[eqn: 10]
21	[eqn: 6]	22	[eqn: 136]	23	[eqn: 37]	24	[eqn: 15]	25	[eqn: 71]
26	①	27	④	28	②	29	①	30	[eqn: 16]

해 설

1. [출제의도] 지수를 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 2 ^{`{2} over {3}} TIMES`` 5 ^{- {1} over {3}} TIMES ``10 ^{ ` {4} over {3}} =2 ^{` {2} over {3}} TIMES ``5 ^{- {1} over {3}} TIMES`` 2 ^{` {4} over {3}} TIMES ``5 ^{` {4} over {3}}]

[eqn: = 2 ^{` {2} over {3}+ 4over3 } TIMES ``5 ^{- {1} over {3} + 4 over3 } = 2^{`2} times` 5 = 20]

2. [출제의도] 로그를 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: log _{`5} `3 `TIMES ( log _{`3} sqrt {5} -log _{1over 9 } 125 )]

[eqn: = log _{`5} `3 `times left( 1over2 ` log _{`3}` 5 + 3over2 ` log _{`3} `5 right)]

[eqn: = log_{`5}` 3 times 2 `log_{`3}` 5 = 2]

3. [출제의도] 수열의 극한을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: lim _{n -> INF } {} `n` left( sqrt {n ^{2} +1} -n` right ) =lim _{n -> INF } {} `n over { sqrt {n ^{2} +1} +n} = 1over2 `]

4. [출제의도] 지수부등식과 로그부등식을 풀 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: a^{`x-1} <a^{`2x+1 } `]의 해가 [eqn: x< -2`]이려면

[eqn: x< -2``~LRARROW``~x-1>2`x+1]

∴ [eqn: 0<a<1]

[eqn: log _{`a} (x-2)`<log _{`a} (4-x)`]에서

[eqn: x-2 >4-x]  ∴ [eqn: x>3] … ㉠

진수는 양수이어야 하므로 [eqn: x-2>0`,``4-x>0]

∴ [eqn: 2<x<4] … ㉡

㉠, ㉡에서 주어진 부등식의 해는 [eqn: 3<x<4 `]이다.

5. [출제의도] 역행렬을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: X=sin theta `A +costheta` E]

[eqn: =sin theta `pmatrix{`0&``-1#`1&````````0} +cos theta ` pmatrix{`1&``0`#`0&``1`}][eqn: = pmatrix{`cos theta &```-sin theta` #`sin theta &``````````cos theta` } `]이므로

[eqn: X ^{``-1} = pmatrix{````````cos theta &````sin theta `#-sin theta &````cos theta` } `][eqn: =`-sin theta `pmatrix{`0&``-1#`1&````````0} +cos theta` pmatrix{`1&``0`#`0&``1`}]

[eqn: =`-sin theta A +cos theta E]

6. [출제의도] 조건부확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

두 주사위의 바닥에 닿은 면에 적힌 숫자의 합이 짝수인 사건을 [eqn: A`], 정육면체 모양의 주사위의 바닥에 닿은 면에 적힌 숫자가 짝수인 사건을 [eqn: B`]라 하자. 두 주사위의 바닥에 닿은 면에 적힌 숫자의 합이 짝수이려면 두 숫자 모두 짝수이거나 모두 홀수이어야 한다. 따라서 구하는 확률은

[eqn: rm P` it (B``|``A)= {rm P` it (A SMALLINTER B)} over {rm P` it (A)}][eqn: = {1over4 times 2over6} over {1over4 times 2over6 + 3over4 times 4over6} = {1} over {7}]

7. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 실생활 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: T``=`2T _{`0} `]일 때, [eqn: v= sqrt {10} `v _{`0} `]이므로 이를 대입하면

[eqn: log` sqrt {10} ``=K ``LEFT ( {1} over {T _{`0}} - {1} over {2T _{`0}} RIGHT )]

[eqn: {1} over {2} = {K} over {2T _{`0}}]  ∴ [eqn: {K} over {T _{`0}} =1]

[eqn: T``=`4T _{`0}]일 때

[eqn: log`` {v} over {v _{`0}} =K`` LEFT ( {1} over {T _{`0}} - {1} over {4T _{`0}} RIGHT ) `=` {3K} over {4T _{`0}} `= {3} over {4}]

[eqn: {v} over {v _{`0}} ``=`10 ^{{3} over {4}}]

∴ [eqn: v=10 ^{{3} over {4}} v_{`0} = root {4} of {1000} v_{`0}]

8. [출제의도] 행렬의 곱셈을 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: A ^{2} = {1} over {sqrt {2}} pmatrix{`0&```-2`#`2&``````````0`}]이므로

[eqn: A ^{4} = {1} over {2} pmatrix{`-4&```````````0`#````````0&```-4`}][eqn: =`-2` E`]

[eqn: B`` ^{3} = {1} over {4} pmatrix{`-8&``````````0`#`````````0&```-8`}][eqn: =`- 2`E`]

∴ [eqn: A ^{12} +B `` ^{12} =(A ^{4}` ) ^{`3} +(B ``^{3} `) ^{`4}][eqn: =`- 8` E+16`E``= 8 `E]

따라서 모든 성분의 합은 [eqn: 8+ 8 = 16`]이다.

9. [출제의도] 수열을 이용하여 점의 개수를 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다.

주어진 규칙에 따라 각 항의 값을 구하면

[eqn: a _{`1} =6`], [eqn: a _{`2} =15=3`a _{`1} -3]

[eqn: a _{`3} =3`a _{`2} -3]

…

이므로 [eqn: a _{`n+1} =3`a _{`n} -3`]이 성립함을 알 수 있다.

[eqn: a _{`n+1}- 3over2 =3 `left(a _{`n} - 3over2 right)`]에서

[eqn: a _{`n} - {3} over {2} = LEFT ( a _{`1} - {3} over {2} RIGHT ) ``․``3 ^{`n-1}]

∴ [eqn: a _{`n} = {3} over {2} (3 ^{`n} +1)]

따라서 [eqn: a _{`5} = {3} over {2} (3 ` ^{5} +1) = 366`]이다.

10. [출제의도] 지수의 성질을 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: 2 ^{`x} ``․``3 ^{`y} =6 ^{`z} ``․``6 ^{`z} =36 ^{`z}] (참)

ㄴ. [eqn: 2 ^{`z} ``․``3 ^{`z-y} = {2 ^{`z} ``․``3 ^{`z}} over {3 ^{`y}} = {6 ^{`z}} over {3 ^{`y}} = 1] (참)

ㄷ. [eqn: 2 ^{`x} =3 ^{`y} =3 ^{`1-x}]에서 [eqn: 6 ^{`x} =3], [eqn: x=log _{`6} `3]

[eqn: 6 ^{`z} =2 ^{`x} =2 ^{`log _{`6} `3}]에서 [eqn: z=log _{`6} `2 ^{`log _{`6} `3} =log _{`6} `2``․``log _{`6} `3] (참)

11. [출제의도] 행렬의 연산의 성질을 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: (AB`A) ^{2} =(AB`A)`(AB`A)=AB`A ^{2} B`A]

[eqn: =AB`` ^{2} A=A ^{2} =E] (참)

ㄴ. (반례) [eqn: A= LEFT ( matrix{```````1&```````1`#`-1&-1`} RIGHT )], [eqn: B``= LEFT ( matrix{`2&````-1`#`4&````-2`} RIGHT )]라 하면

[eqn: A ^{2} =B ^{`2} =O`]이지만 [eqn: AB`` != O`]이다. (거짓)

ㄷ. [eqn: A ^{2} +2`A+E=O`], 즉 [eqn: A `left(- A-2E` right)=E`]이므로 행렬 [eqn: A`]는 역행렬을 갖는다.

[eqn: AB=A`]의 양변에 [eqn: A ^{-1} `]을 곱하면 [eqn: B``=E`] (참)

12. [출제의도] 수열을 이용하여 점의 좌표를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

주어진 규칙에 따라 점 [eqn: rm A it rm _{`it n rm} `]을 정하면

[eqn: n=4k-2 `]([eqn: k=2,`3,`cdots `])일 때, 점 [eqn: rm A it rm _{`it n rm} `]은 제 [eqn: 1`]사분면에 있다.

[eqn: rm A _{`6} (`3,```2`),``` rm A _{`10} (`5,```4`),```rm A _{`14} (`7,```6`),``cdots`,``]

[eqn: rm A it rm _{`it 4k-2 rm} (2k-1`,``2k-2) `]

따라서 [eqn: rmA _50 ( 25,`24)`]이므로 [eqn: p+q = 49 `]이다.

13. [출제의도] 수열의 성질을 이용하여 부등식을 증명할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: a _{`1} +a _{`2} +a _{`3} +`` CDOTS ``+a _{`n}]

[eqn: = LEFT ( 1- {1} over {2} RIGHT ) (1``․``2`a _{`1} )+ LEFT ( {1} over {3} - {1} over {4} RIGHT ) (3``․``4`a _{`2} )+ LEFT ( {1} over {5} - {1} over {6} RIGHT ) (5``․``6`a _{`3} )]

[eqn: +`` CDOTS ``+ LEFT ( {1} over {2n-1} - {1} over {2n} RIGHT ) LEFT { (2n-1)``․``2n`a _{`n} RIGHT }]

[eqn: = LEFT ( 1- {1} over {2} - {1} over {3} + {1} over {4} RIGHT ) (1``․``2`a _{`1} )]

[eqn: + LEFT ( {1} over {3} - {1} over {4} - {1} over {5} + {1} over {6} RIGHT ) (1``․``2`a _{`1} +3``․``4`a _{`2} )]

[eqn: + LEFT ( {1} over {5} - {1} over {6} - {1} over {7} + {1} over {8} RIGHT ) (1``․``2`a _{`1} +3``․``4`a _{`2} +5``․``6`a _{`3} )][eqn: + ``cdots]

[eqn: + LEFT ( {1} over {2n-1} - {1} over {2n} RIGHT ) LEFT { 1``․``2`a _{`1} +3``․``4`a _{`2} +`` CDOTS ``+(2n-1)``․``2n`a _{`n} RIGHT }]

[eqn: >= LEFT ( 1- {1} over {2} - {1} over {3} + {1} over {4} RIGHT ) +2 `LEFT ( {1} over {3} - {1} over {4} - {1} over {5} + {1} over {6} RIGHT )]

[eqn: +3 `LEFT ( {1} over {5} - {1} over {6} - {1} over {7} + {1} over {8} RIGHT )+`` CDOTS ``+n` LEFT ( {1} over {2n-1} - {1} over {2n} RIGHT )]

[eqn: =1- {1} over {2} + {1} over {3} - {1} over {4} + {1} over {5} - {1} over {6} +`` CDOTS ``+ {1} over {2n-1} - {1} over {2n}]

[eqn: =1+ {1} over {2} + {1} over {3} + {1} over {4} +`` CDOTS ``+ {1} over {2n-1} + {1} over {2n}]

[eqn: -2 `LEFT ( {1} over {2} + {1} over {4} + {1} over {6} +`` CDOTS ``+ {1} over {2n} RIGHT )]

[eqn: =][eqn: sum _{k=1} ^{n} {1} over {n+k}]

(가) [eqn: sum _{k=1} ^{n} {1} over {n+k}]  (나) [eqn: n `LEFT ( {1} over {2n-1} - {1} over {2n} RIGHT )]

(다) [eqn: 2` LEFT ( {1} over {2} + {1} over {4} + {1} over {6} +`` CDOTS ``+ {1} over {2n} RIGHT )]

14. [출제의도] 도형의 넓이에 관한 무한급수의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

원 [eqn: O _{`1} `]과 직선 [eqn: l_{`2} `]의 한 교점을 [eqn: rmA _{`1}`], 원 [eqn: O _{`1} `]의 중심을 [eqn: rm B_{`1} (`3,```0`)]이라 하면 삼각형 [eqn: rm{A _{`1} `O`B _{`1} }`]은 직각이등변삼각형이므로 [eqn: bar{rmO`A _{`1}` }=3sqrt2]

[eqn: S _{`1} = {1} over {2} pi left( {3 sqrt {2}} over {2} right) ^{2} + {9} over {4} pi - {9} over {2} = {9} over {2} ( pi -1)]

같은 방법으로 원 [eqn: O _{`2} `]와 직선 [eqn: l_{`3} `]의 한 교점을 [eqn: rm A _{`2} `], 원 [eqn: O _{`2} `]의 중심을 [eqn: rm B _{`2} `]라 하면 삼각형 [eqn: rm{A _{`2} `O`B _{`2} }`]는 직각이등변삼각형이므로 [eqn: bar{rm O`A _{`2} it} =3`]

[eqn: S _{`2} = {1} over {2} pi left( {3} over {2} right) ^{2} + {pi} over {4} left( {3sqrt2} over {2} right) ^{2} - {1} over {2} left( {3sqrt2} over {2} right) ^{2} = {9} over {4} ( pi -1)]

[eqn: CDOTS]

[eqn: S _{`n} = {9} over {2 ^{`n}} (pi-1)]

수열 [eqn: left{S _{`n} right}`]은 첫째항이 [eqn: {9} over {2} (pi-1)], 공비가 [eqn: {1} over {2}]인 등비수열이므로

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{`n} = {{9} over {2} ( pi -1)} over {1- {1} over {2}} =9( pi -1)]

15. [출제의도] 경우의 수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

정삼각형에 칠할 색을 결정하는 경우의 수는

[eqn: `_8 rmC_{`2} = 28]

나머지 [eqn: 6`]가지 색으로 등변사다리꼴을 칠하는 경우의 수는 [eqn: `_6 rmC_{`3} times(3-1)! times3! =240]

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 28 times240=6720`]이다.

16. [출제의도] 확률의 성질을 이용하여 확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: rmP_2 = 1over4 + 1over4 = 1over2] (참)

ㄴ. 짝수 번을 이동하면 말은 [eqn: rm A`] 또는 [eqn: rm D``]에 도착하게 된다. 말이 [eqn: (2n+2)`]번째에 처음으로 [eqn: rmD`]에 도착하려면 처음 [eqn: 2`]번을 이동한 후 [eqn: rmA`]에 있고 그 이후 [eqn: 2`n`]번을 이동하여 처음으로 [eqn: rmD`]에 도착해야 하므로

[eqn: rmP_{it2n+2} = 1over2 P_{it2n}] (참)

ㄷ. [eqn: {rm P } _{2n-1} =0`] ([eqn: n=1`,``2`,``3`,` CDOTS `])이므로

∴ [eqn: sum_k=1^10 rm {P}_ {itk }=rm P_2 +P_4 +P_6 +P_8 +P_10]

[eqn: = 1over2 + 1over2^{`2} + 1over2^{`3} + 1over2^{`4} + 1over2^{`5}][eqn: = 31over32] (거짓)

17. [출제의도] 정규분포를 활용할 수 있는가를 묻는 문제이다.

수험생의 점수를 확률변수 [eqn: X``]라 하면, [eqn: X``]는 정규분포 [eqn: rm N(156`,``20`^2 )`]을 따른다.

합격하기 위한 최저 점수를 [eqn: k`](점)이라 하면

[eqn: rm P it (X >= k)= rm P it LEFT ( Z >= {k-156} over {20} RIGHT ) = {200} over {1000} =0.2]

[eqn: {rm P}left(0<=Z <= k-156over 20 right) = 0.3]

[eqn: {k-156} over 20 = 0.84]

∴ [eqn: k = 172.8]

18. [출제의도] 행렬의 곱셈을 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: A `pmatrix{`2`#`3`} =pmatrix{`a`&`b`#`c`&`d`} ` pmatrix{`2`#`3`} = pmatrix{`2`a+3`b`#`2`c+3`d`} = pmatrix{`3`#`4`}][eqn: A ^{2} `pmatrix{`2`#`3`} = AA `pmatrix{`2`#`3`}= A `pmatrix{`3`#`4`}=pmatrix {`a`&`b`#`c`&`d`} `pmatrix{`3`#`4`}=pmatrix{`3`a+4`b`#`3`c+4`d`} = pmatrix{`5`#`7`}]

[eqn: 2`a +3`b =3 `,``3`a+4`b=5]

∴ [eqn: a=3`,``b=`-1]

[eqn: 2`c +3`d =4 `,``3`c+4`d=7]

∴ [eqn: c=5`,``d=`-2]

따라서 [eqn: a`b`c`d=30`]이다.

19. [출제의도] 수열의 극한을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: f(`x)=2`x ^{2} -2`n`x+ {1} over {2} n ^{2} +6`n+1`=2 `left(x- {n} over {2} right) ^{2} +6`n+1]

∴ [eqn: {rmP}_n ` left ( n over2 `,``6`n+1 `right) `]

따라서 [eqn: x_{`n} = n over2 `,```` y_{`n} = 6`n+1]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } ` {y_{`n} } over {x_{n} } `=` lim _{n -> INF } {{6`n+1} over { {n} over {2}} `=12]

20. [출제의도] 등차수열과 등비수열의 성질을 이해하여 각 수열의 항을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

수열 [eqn: LEFT { `a _{`n} ` RIGHT } `]의 공차를 [eqn: d`], 수열 [eqn: LEFT {` b _{`n} ` RIGHT } `]의 공비를 [eqn: r`]라 하면

[eqn: a _{`2} =b _{`2} `]이므로 [eqn: 2+d=2`r] … ㉠

[eqn: a _{`4} =b _{`4}`]이므로 [eqn: 2+3d=2`r^{`3}] … ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: r ^{`3} -3`r+2=0]

[eqn: (r-1) ^{`2} (r+2)=0]

∴ [eqn: r`=`-2`](∵ [eqn: r!=1 `]), [eqn: d=`-6]

∴ [eqn: a _{`5} +b _{`5} =(2+4`d)+2r ^{`4}] [eqn: =`-22+32=10]

21. [출제의도] 상용로그의 가수를 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: log`n = alpha `]라 하면 [eqn: 1<n<10]이므로 [eqn: 0< alpha<1]이다.

[eqn: log` {1} over {n}][eqn: =`-log`n=` - alpha = `-1+(1- alpha)]

[eqn: log`n^2][eqn: =2`log`n =2 `alpha]

(ⅰ) [eqn: 0< alpha< 1over2 `]일 때,

[eqn: 1- alpha >2 alpha`]이므로 [eqn: 0< alpha< 1over3]

따라서 [eqn: 0<log`n< 1over3 `]이므로 [eqn: 1<n< root {3} of {10}]

∴ [eqn: n= 2]

(ⅱ) [eqn: 1over2 <= alpha <1`]일 때,

[eqn: 1- alpha >2 alpha-1`]이므로 [eqn: 1over2 <= alpha < 2over3]

따라서 [eqn: 1over2 <= log`n < 2over3 `]이므로 [eqn: sqrt {10} <= n< root {3} of {100}]

∴ [eqn: n=4]

따라서 구하는 모든 자연수 [eqn: n`]의 값의 합은 [eqn: 2+4=6`]이다.

22. [출제의도] 함수의 개수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

(ⅰ) [eqn: f(`3)=2`]인 경우

[eqn: 1,``2`]는 [eqn: 1`]로, [eqn: 4,``5,``6`]은 [eqn: 3,``4,``5,``6`] 중 하나로 대응되므로 경우의 수는 [eqn: ` _{`1} Π _{`2} TIMES _{`4} Π _{`3} =64]

(ⅱ) [eqn: f(`3)=4`]인 경우

[eqn: 1,``2`]는 [eqn: 1,``2,``3`] 중 하나로, [eqn: 4,``5,``6`]은 [eqn: 5,``6`] 중 하나로 대응되므로 경우의 수는 [eqn: `_{`3} Π _{`2} times_{`2} Π _{`3} =72]

(ⅲ) [eqn: f(`3)=6`]인 경우는 없다.

따라서 구하는 모든 함수의 개수는 [eqn: 64+72 =136`]이다.

23. [출제의도] 확률변수의 평균을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

꺼낸 [eqn: 2`]개의 공에 적혀 있는 숫자 중에서 최솟값이 [eqn: k`]([eqn: k=1`,```2`,``3])가 되는 경우의 수는 [eqn: k`]이상의 숫자 중에서 [eqn: 2`]개의 숫자를 뽑는 경우의 수에서 [eqn: k`]보다 큰 숫자  중에서 [eqn: 2`]개의 숫자를 뽑는 경우의 수를 뺀 것과 같다.

[eqn: rmP (it X=1)][eqn: ={` _{6} rm C _{`2} - ` _{4} rm C _{`2}} over {` _{6} rm C _{`2} it} = {9} over {15} = 3 over 5]

[eqn: rmP (it X=2)][eqn: ={ ` _{4} rm C _{`2} - ` _{2} rm C _{`2} } over {`_6rmC_{`2} } = 5 over 15 = 1 over3]

[eqn: rmP (it X=3)][eqn: ={` _{2} rm C _{`2}} over {`_6rmC_{`2} } = 1over 15]

따라서 확률변수 [eqn: X`]의 평균은

[eqn: 1 times 3over 5 + 2 times 1 over 3 + 3 times 1 over 15 = 22 over 15]이다.

∴ [eqn: p+q=15+22=37`]

24. [출제의도] 수열의 귀납적 정의를 이용하여 무한급수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

수열 [eqn: LEFT {a _{`n} RIGHT } `]은 [eqn: 2`,``1`,``2`,``1`,``2`,``1`,`` CDOTS]이므로

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } ` {a _{`n}} over {3 ^{`n}} `= LEFT ( {2} over {3} + {2} over {3 ^{`3}} + {2} over {3 ^{`5}} +` CDOTS `` RIGHT ) + LEFT ( {1} over {3 ^{`2}} + {1} over {3 ^{`4}} + {1} over {3 ^{`6}} +` CDOTS`` RIGHT )]

[eqn: = {{2} over {3}} over {1- {1} over {9}} ``+` {{1} over {9}} over {1- {1} over {9}}]

[eqn: = {3} over {4} `+` {1} over {8} `= {7} over {8}]

∴ [eqn: p+q=8+7=15]

25. [출제의도] 지수함수의 그래프를 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

삼각형 [eqn: \AOB`]의 넓이가 [eqn: 16`]이고 [eqn: rmbar OB = 4 `]이므로 점 [eqn: rm A]의 [eqn: y`]좌표는 [eqn: 8`]이다.

점 [eqn: rm A]는 곡선 [eqn: y=2^{`x} - 1 `] 위의 점이므로 점 [eqn: rm A]의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: alpha `]라 하면 [eqn: 2^ {`alpha} -1 = 8 `]  ∴ [eqn: alpha =log `_{2}` 9]

이때, 점 [eqn: \A(log ` _{2}` 9` ,``8)`]은 곡선 [eqn: y=2 ^{-x} + a over9 `] 위의 점이므로 [eqn: 8=2 ^{-log `_{`2}` 9} + a over9 = 1over9 + a over9]

∴ [eqn: a= 71]

26. [출제의도] 이항계수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: (x+a) ^{10}]의 전개식에서 [eqn: x], [eqn: x ^{2}], [eqn: x ^{4}]의 계수는

[eqn: ` _{10}` {rm C} it _{`1} `a ^{`9} `], [eqn: ` _{10}` {rm C} it _{`2} ``a ^{`8} `], [eqn: ` _{10} `{rm C} it _{`4}`` a ^{`6} `] 즉, [eqn: 10`a ^{`9} `], [eqn: 45`a ^{`8} `], [eqn: 210`a ^{`6} `]

이 순서로 등비수열을 이루므로

[eqn: (45`a ^{`8} ) ^{2} =10`a ^{`9} `․``210`a ^{`6}]

∴ [eqn: a= {28} over {27}]

27. [출제의도] 확률변수의 평균과 분산을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: a+ {1} over {3} +b=1]에서 [eqn: a+b= {2} over {3}]

[eqn: rm E it (X``)=`-a+b], [eqn: rm E it (X ``^{2} )=a+b= {2} over {3}]이므로

[eqn: rm V it (X``)= rm E it (X ``^{2} )- LEFT { rm E it (X``) RIGHT } ^{2}][eqn: = {2} over {3} -(-a+b) ^{2} = 5over12]

∴ [eqn: (a-b)^2 = 1 over 4]

28. [출제의도] 독립시행의 확률과 이항정리를 이용하여 확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: rmP(itk) = `_100` rmC_{`itk} it LEFT ( 1over3 RIGHT ) ^{`k} LEFT ( 2over 3 RIGHT ) ^{`100-k}][eqn: (k`=`0,`1,`2,`cdots,`100)]

[eqn: sum _{k=1} ^{50} LEFT { {\P}(2`k-1)-{\P}(2`k) RIGHT }]

[eqn: = rm LEFT { P(1)-P(2) RIGHT }+LEFT { P(3) -P(4)RIGHT } + `` CDOTS ``+LEFT { P(99) -P(100)RIGHT }]

[eqn: =` _{100} ` rm C _{` it 1 rm} it LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ` LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{99} -` _{100} ` rm C _{` it 2 rm} it LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{2} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{98} +` _{100} ` rm C _{` it 3 rm} it LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{3} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{97}]

[eqn: -`cdots`+ `_100 `rmC_{`it99}` it LEFT ( 1over3 RIGHT ) ^99 LEFT ( 2over 3 RIGHT ) ``- `_100` rmC_{`100} it ``LEFT ( 1over3 RIGHT ) ^100]

[eqn: =`- LEFT ( 1over 3 - 2 over 3 RIGHT )^100 + LEFT ( 2 over3 RIGHT ) ^100 = LEFT ( 2over 3 RIGHT )^100 -LEFT ( 1over 3 RIGHT )^100]

29. [출제의도] 수열의 극한의 성질을 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. 두 무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{ `n} `], [eqn: sum _{n=1} ^{INF } b _{`n} `]이 모두 수렴하므로

[eqn: lim _{n -> INF } {}` `a _{`n} =`` lim _{n -> INF } {} ``b _{`n} =`0`]이다. (거짓)

ㄴ. 두 무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF }(` a _{`n} +`b_{`n} ) `], [eqn: sum _{n=1} ^{INF } (`a_{`n} -` b _{`n} ) `]이 모두 수렴하므로 [eqn: lim _{n -> INF } {}` `(`a _{`n} +`b_{`n} ) = lim _{n -> INF } {} ``(`a_{`n} -` b _{`n} ) =0`]이다.

[eqn: lim _{n -> INF } {} ```a _{`n} = 1over2 lim _{n -> INF }`` LEFT { (`a_{`n} +`b_{`n} )+(`a_{`n} -`b_{`n} ) RIGHT } =0]

[eqn: lim _{n -> INF } {} ```b _{`n} = `lim _{n -> INF }`` LEFT { (`a_{`n} +`b_{`n} )-`a_{`n} RIGHT } =0]

따라서 두 수열 [eqn: LEFT { a _{`n} RIGHT } `]과 [eqn: LEFT { b _{`n} RIGHT }]은 모두 수렴한다. (참)

ㄷ. (반례) [eqn: a _{`n} =(-1) ` ^{` n} `], [eqn: b _{`n} =(-1)` ^{` n+1} `]이면

[eqn: LEFT |`` a _{`n} +`b _{`n}`` RIGHT |` `=0`], [eqn: LEFT |`` a _{`n} -`b _{`n} ``RIGHT | ``=2`]이므로

두 수열 [eqn: LEFT {` LEFT |` a _{`n} +`b _{`n}` RIGHT |` RIGHT } `], [eqn: LEFT {`` LEFT |`` a _{`n} -`b _{`n} ``RIGHT | `RIGHT }`]이 모두 수렴하지만 수열 [eqn: LEFT { a _{`n} RIGHT }`]과 [eqn: LEFT { b _{`n} RIGHT }`]은 수렴하지 않는다. (거짓)

30. [출제의도] 로그함수의 그래프를 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

주어진 두 곡선과 두 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이는 그림과 같이 평행사변형 [eqn: rm OABC`]의 넓이와 같다.

[eqn: y=log` _{`6} (x-1)-4`]의 그래프는 [eqn: y=log` _{`6} (x+1)`]의 그래프를 [eqn: x]축, [eqn: y]축의 방향으로 각각 [eqn: 2`], [eqn: -4`]만큼 평행이동시킨 것이다. 원점을 [eqn: x]축, [eqn: y]축의 방향으로 각각 [eqn: 2`], [eqn: -4`]만큼 평행이동시키면 [eqn: (2`,``-4)`]이고, 점 [eqn: (2`,``-4)`]는 직선 [eqn: y=`-2x`] 위의 점이다.

따라서 [eqn: y=log` _{`6} (x-1)-4`]의 그래프와 직선 [eqn: y=`-2x`]의 교점 [eqn: rm A]의 좌표는 [eqn: rm A(2,``-4)]이다. 이때, 점 [eqn: rmC `]의 좌표는 [eqn: (4`,``0)`]이므로 [eqn: bar{rm OC} `= 4`]이고, 평행사변형 [eqn: rm OABC`]의 넓이는 [eqn: 4 times 4 = 16 `]이다.

수리‘나’형 정답

1	④	2	⑤	3	③	4	④	5	③
6	①	7	②	8	④	9	①	10	⑤
11	③	12	⑤	13	②	14	①	15	②
16	③	17	②	18	[eqn: 30]	19	[eqn: 12]	20	[eqn: 10]
21	[eqn: 6]	22	[eqn: 4]	23	[eqn: 13]	24	[eqn: 102]	25	[eqn: 181]
26	①	27	④	28	⑤	29	③	30	[eqn: 101]

해 설

1~3. ‘가’형과 같음.

4. [출제의도] 행렬의 연산을 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: A ^{-1} = pmatrix{```````1`&-1`#-1`&```````2`}]이다. [eqn: AB+A ^{-1} =E`]에서

[eqn: AB=E-A ^{-1} = pmatrix{`1```&```0`#`0```&```1`} - pmatrix{```````1`&-1`#-1`&```````2`} = pmatrix{0&````````1#1&-1}]

따라서 [eqn: B=A ^{-1} pmatrix{`0``&```````1#1&-1} = pmatrix{```````1`&-1`#-1`&```````2`}pmatrix{0&````````1#1&-1} = pmatrix{-1&``````2#```````2&-3}]

∴ [eqn: a=2]

5. ‘가’형과 같음.

6. [출제의도] 상용로그의 지표를 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: A= LEFT { 2,``2 ^{`2} ,``2 ^{`3} ,``2 ^{`4} ,`` CDOTS RIGHT }]이고 집합 [eqn: A]의 원소 중에서 상용로그의 지표가 [eqn: 1`]인 자연수는 두 자리 자연수이다. 따라서 주어진 조건을 만족시키는 원소는 [eqn: 2 ^{`4} `], [eqn: 2 ^{`5} `], [eqn: 2 ^{`6} `]이므로 [eqn: 2 ^{4} +2 ^{5} +2 ^{6} =112`]이다.

7~13. ‘가’형과 같음.

14. [출제의도] 역행렬의 성질을 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: A ^{2} -2A=A(A-2E``)=E] … ㉠

[eqn: A LEFT ( {1} over {2} B` RIGHT ) `=E] … ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: A ^{-1} =A - 2E```={1} over {2} B]

∴ [eqn: B```=2A-4E]

행렬 [eqn: B ``]의 모든 성분의 합은 [eqn: 2×7 -4×2 =6]이다.

15. [출제의도] 등차수열과 등비수열의 성질을 이용하여 일반항을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항을 [eqn: a], 공비를 [eqn: r]라 하면

[eqn: b _{1} +b _{3} +b _{5} + `CDOTS` +b _{15} +b _{17}]

[eqn: =log `_{3}` a+log `_{3}` ar ^{2} +log `_{3} `ar ^{4} + `CDOTS `+log ` _{3}` ar ^{14} +log ` _{3} `ar ^{16}]

[eqn: =log `_{3} `a ^{9} r ^{72} =9log ` _{3}` ar ^{8} =36]

∴ [eqn: ar ^{8} =3 ^{4}] … ㉠

[eqn: b _{2} +b _{4} +b _{6} + `CDOTS `+b _{16} +b _{18}]

[eqn: =log `_{3}` ar+log `_{3}` ar ^{3} +log `_{3}` ar ^{5} +` CDOTS` +log ` _{3} `ar ^{15} +log `_{3} `ar ^{17}]

[eqn: =log _{3} a ^{9} r ^{81} =9log _{3} ar ^{9} =45]

∴ [eqn: ar ^{9} =3 ^{5}] … ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: r=3,```a= {1} over {81}]이므로 [eqn: a _{n} =3 ` ^{n-5}]이다.

∴ [eqn: a _{11} =3 ` ^{11-5} =3^6]

16. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수의 성질을 알고 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: f(2010)=f(0.201)=log`2.01`](참)

ㄴ. (반례) [eqn: x=10], [eqn: y= sqrt { 10}]이면 [eqn: f LEFT ( {x} over {y} RIGHT ) = 0.5],

[eqn: f(x)-f(y)=`-0.5]이다. (거짓)

ㄷ. [eqn: f(x)+f(y)=0`]이므로 [eqn: f(x) = f(y) =0`]이다. 따라서 [eqn: x=10 ^{`m}], [eqn: y=10 ^{`n}`]([eqn: m], [eqn: n`]은 정수)이다. 그런데 [eqn: x>1], [eqn: y>1`]이므로 [eqn: x], [eqn: y`]는 모두 정수이다. (참)

17. [출제의도] 수열의 극한값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

주어진 조건에서 [eqn: a _{n} = sqrt {n ^{2} +1}]이다.

[eqn: n< sqrt {n ^{2} +1} < sqrt {n ^{2} +2n+1} =n+1]이므로 [eqn: LEFT [ ``a _{n} ``RIGHT ]=n]이다.

[eqn: lim _{n` -> INF } {{LEFT [ `a _{`1} ` RIGHT ] `+` LEFT [ `a _{`2} ` RIGHT ] `+` LEFT [ `a _{`3} ` RIGHT ] `+` CDOTS `+ LEFT [ `a _{`n} ` RIGHT ]} over {n ^{`2}}} `]

[eqn: = lim _{n` -> INF } {{1+2+3+` CDOTS` +n} over {n ^{2}}}][eqn: = lim _{n` -> INF } {{{n(n+1)} over {2}} over {n ^{2}}}]

[eqn: = lim _{n` -> INF } {{n(n+1)} over {2n ^{2}}} = {1} over {2}]

18~21. ‘가’형과 같음.

22. [출제의도] 역행렬의 성질을 이용하여 연립방정식의 해를 판별할 수 있는가를 묻는 문제이다.

연립방정식 [eqn: pmatrix{a-3````&-2#-3&b-2} pmatrix{`x#`y} = pmatrix{0#0}]이 [eqn: x=0], [eqn: y=0] 이외의 해를 갖기 위해서는 행렬 [eqn: pmatrix{a-3````&-2#-3&b-2} `]가 역행렬을 갖지 않아야 한다.

[eqn: (a-3)(b-2)-6=0]에서 [eqn: (a-3)(b-2)=6]

[eqn: a], [eqn: b]는 자연수이므로

[eqn: a-3]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 6]
[eqn: b-2]	[eqn: 6]	[eqn: 3]	[eqn: 2]	[eqn: 1]

[eqn: a], [eqn: b]의 값은 다음 표와 같다.

[eqn: a]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	[eqn: 6]	[eqn: 9]
[eqn: b]	[eqn: 8]	[eqn: 5]	[eqn: 4]	[eqn: 3]

따라서 구하는 순서쌍 [eqn: (`a,``b`)`]의 개수는 [eqn: 4`]이다.

23. [출제의도] 로그의 기본성질을 이용하여 식의 값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

주어진 조건에서 각 변끼리 더하면

[eqn: 2 LEFT ( log` _{2} `ab`+`log` _{2} `bc`+`log` _{2} `ca` RIGHT ) =20]

[eqn: log` _{2} `ab`+`log` _{2} `bc`+`log` _{2} `ca` =10] … ㉠

따라서 [eqn: log` _{2} `ab`=2], [eqn: log` _{2} `bc`=3], [eqn: log` _{2} `ca`=`5]이므로

[eqn: ab=4], [eqn: bc=8], [eqn: ca=32] … ㉡

㉠에서 [eqn: log` _{2} `(abc) ^{2} `=10], [eqn: log` _{2} `abc`=5]

∴ [eqn: abc=32] … ㉢

㉡, ㉢에서 [eqn: a=4], [eqn: b=1], [eqn: c=8]이므로 [eqn: a+b+c=13]

24. [출제의도] 행렬의 거듭제곱에 대한 성질을 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다.

행렬 [eqn: A= LEFT ( matrix{``````0&```1#-1&``1} RIGHT )]에서 [eqn: A ^{3} =`-E``]이므로 [eqn: A ^{6} =E``]이다.

따라서 다음 등식이 성립한다.

[eqn: A=A ^{7} =A ^{13} = `cdots`=A^97]

[eqn: A^2 =A^8 =A^14 =`cdots`=A^98]

[eqn: A^3 =A^9 =A^15 =`cdots`=A^99]

[eqn: A^4 =A^10 =A^16 =`cdots`=A^100]

[eqn: A^5 =A^11 =A^17 =`cdots`= A^95]

[eqn: A^6 =A^12 =A^18 =`cdots`=A^96]

즉, [eqn: A ^{m} =A ^{n}]이 성립하려면 [eqn: |``m-n``|`]의 값이 [eqn: 6]의 배수가 되어야 한다.

따라서 [eqn: |``m-n``|`]의 최댓값은 [eqn: 96], 최솟값은 [eqn: 6]이다.

∴ [eqn: p```+q`` =96+6=102]

25. [출제의도] 계차수열을 이용하여 수열의 일반항을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 제[eqn: n]항을 제([eqn: 2n-1])행에 나열된 모든 자연수의 평균이라 하자.

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 각 항은 [eqn: 1,~5,~13,``~25,~41,~61,] … 이므로 [eqn: LEFT { a_{n} RIGHT }]의 계차수열은 첫째 항이 [eqn: 4`]이고 공차가 [eqn: 4]인 등차수열을 이룬다.

따라서 [eqn: a _{n} =1+ sum _{k=1} ^{n-1} 4k=1+2n(n-1)=2n ^{2} -2n+1]에서 [eqn: a _{10} =181]이므로 제[eqn: 19`]행에 나열된 수들의 평균은 [eqn: 181`]이다.

26. [출제의도] 귀납적 정의로 주어진 수열의 일반항을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: {1} over {a _{n}} =b _{n}]이라 하면, [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]은 공차가 [eqn: {1} over {2}]인 등차수열이다.

[eqn: b _{1} =1]이므로 [eqn: b _{n``} =`1+ {1} over {2} (n-1)= {n+1} over {2}]이다.

따라서 [eqn: a _{n} = {1} over {b _{n}} = {2} over {n+1}]이므로 [eqn: a _{20} = {2} over {21}]

27. [출제의도] 정수로 이루어진 수열의 항을 추측할 수 있는가를 묻는 문제이다.

연속된 네 개의 항이 처음으로 [eqn: 2,``0,``1,``0`]이 되는 때는 다음과 같이 자연수 [eqn: 1020`]과 [eqn: 1021`]의 각 자릿수를 나열할 때이다.

[eqn: 1,``2,``3,``4, ``CDOTS` ,``1,``0,``2,``0,``1,``0,``2,``1, ``CDOTS]

자연수 [eqn: 1020]이 나타날 때까지 나열된 자릿수의 개수는

한 자리 수의 자릿수 : [eqn: 9](개)

두 자리 수의 자릿수 : [eqn: 90 TIMES 2=180](개)

세 자리 수의 자릿수 : [eqn: 900 TIMES 3=2700](개)

네 자리 수의 자릿수 : [eqn: 20 TIMES4 =80](개)

이를 모두 더하면 [eqn: 9+180+2700+80=2969`]이다.

따라서 [eqn: n`]의 최솟값은 [eqn: 2969+3=2972]이다.

28. [출제의도] 행렬의 거듭제곱을 이용하여 무한수열의 극한값을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: B``^2`= pmatrix{`3&````0`#`0&````4`}pmatrix{`3&````0`#`0&````4`}=pmatrix{`3^2&```0#`0&```4^2}]

[eqn: B``^3`= pmatrix{`3^2&```0`#`0&```4^2`}pmatrix{`3&````0`#`0&````4`}=pmatrix{`3^3&```0#`0&```4^3}]

…

이므로 [eqn: B``^n`=pmatrix{`3^n&```0#`0&```4^n}]임을 알 수 있다.

∴ [eqn: A ^{-1} B``` ^{n} A][eqn: = pmatrix{1&``2#0&``1} pmatrix{3 ^{n} ``&0#0&``4 ^{n}} pmatrix{1&``-2#0&`````````1}`]

[eqn: = pmatrix{3 ^{n}&``````-2`․`3 ^{n} +2`․`4 ^{n}`#0&``````````````4 ^{n}}]

∴ [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{b _{n} +c _{n}} over {a _{n} +d _{n}}}][eqn: = lim _{n` -> ` INF } {{-2`․`3 ^{n} +2`․`4 ^{n}} over {3 ^{n} +4 ^{n}}}]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {{-2`․` LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{n} +2} over {LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{n} +1} =2}]

29. [출제의도] 무한수열의 극한에 관한 성질을 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: lim _{n -> INF } ` b _{n} = lim _{n -> INF }`a _{n} ``․`` {b _{n}} over {a _{n}}` =0] (참)

ㄴ. (반례) [eqn: a _{n} =n+1], [eqn: b _{n} =n]이면 [eqn: alpha =1]이지만

[eqn: lim _{n` -> INF } {(a _{n} -b _{n}} )=1]이다. (거짓)

ㄷ. [eqn: {b _{n}} over {a _{n}} =c _{n}]으로 놓으면 [eqn: b _{n} =a _{n} `c _{n}]

∴ [eqn: lim _{n -> INF } {} {a _{n}} over {b _{n}} = lim _{n -> INF } {} {a _{n}} over {a _{n} `c _{n}} = lim _{n -> INF } {} {1} over {c _{n}} = {1} over {alpha }] (참)

30. [출제의도] 수열의 귀납적 정의를 추론하여 삼각형의 넓이의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: rm bar{P _{it n rm} `P _{it n+1 rm}} =it a _{n}]이라 하면 규칙 (다)에서

[eqn: a _{n} = {n-1} over {n+1} a _{n-1}] [eqn: cdots] ㉠

㉠의 [eqn: n]대신 [eqn: 2,``3,``4, `CDOTS` ,`n]을 차례로 대입하면

[eqn: a _{2} = {1} over {3 } a _{1}], [eqn: a _{3} = { 2} over {4} a _{2}], [eqn: a _{4} = {3} over {5 } a _{3}], [eqn: CDOTS] , [eqn: a _{n} = { n-1} over {n+1 } a _{n-1}]

위의 식을 각 변끼리 곱하여 약분하면

[eqn: a _{n} =a _{1`} TIMES {1} over {3} TIMES {2} over {4} TIMES {3} over {5} TIMES ` CDOTS ` TIMES {n-2} over {n} TIMES {n-1} over {n+1} = {2} over {n(n+1)}]

따라서 [eqn: S _{n} = {1} over {2} a _{n} = {1} over {n(n+1)}]이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{50} S _{k} = sum _{k=1} ^{50} LEFT ( {1} over {k} - {1} over {k+1} RIGHT ) = {50} over {51}]

∴ [eqn: p+q=101]