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2010년도 3월 고2 전국연합학력평가

정답 및 해설

정 답

1	③	2	①	3	④	4	④	5	③
6	②	7	⑤	8	⑤	9	③	10	①
11	④	12	③	13	⑤	14	②	15	⑤
16	①	17	③	18	②	19	①	20	②
21	④	22	[eqn: 5]	23	[eqn: 37]	24	[eqn: 17]	25	[eqn: 14]
26	[eqn: 120]	27	[eqn: 13]	28	[eqn: 77]	29	[eqn: 36]	30	[eqn: 12]

해 설

1. [출제의도] 조합의 수를 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: ` _{4} `rm C it ` _{2} TIMES `3`!``][eqn: =`` {` _{4} `{rm P} ` _{2}} over 2! TIMES `3`!``][eqn: = 6 times 6 =36``]

2. [출제의도] 이중근호를 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: sqrt {5+2 sqrt {6}} TIMES sqrt {5-2 sqrt {6}} ``]

[eqn: =( sqrt {3} +sqrt {2})( sqrt {3} -sqrt {2})``]

[eqn: =3-2=1``]

[다른풀이]

[eqn: sqrt {5+2 sqrt {6}} TIMES sqrt {5-2 sqrt {6}} ``]

[eqn: = sqrt {(5+2 sqrt {6} )(5-2 sqrt {6} )}]

[eqn: = sqrt {25-24} = sqrt {1} =1]

3. [출제의도] 복소수의 사칙연산을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 1 over i ^{2} =-1``], [eqn: 1 over i ^{3} =i``], [eqn: 1 over i ^{4} =1``]이므로

[eqn: {1} over {i^{`}} + {3} over {i ^{2}} + {5} over {i ^{3}} + {7} over {i ^{4}} =-i-3+5i+7=4+4i``]

∴ [eqn: a=4], [eqn: b=4] 따라서 [eqn: a+b=8``]

[다른풀이]

[eqn: 1 over i^{`} + 3 over i^2 + 5 over i^3 + 7 over i^4 ``=a+b`i``]의 양변에 [eqn: i ^{4} =1]을 곱하면

[eqn: i ^{3} +3i ^{2} +5i+7`=a+bi``]

[eqn: 4+4i=a+bi``]

∴ [eqn: a=4], [eqn: b=4] 따라서 [eqn: a+b=8``]

4. [출제의도] 이차방정식이 실근을 가질 조건을 이해하는가를 묻는 문제이다.

이차방정식 [eqn: x ^{2} +2ax+4a=0``]이 실근을 가지므로

판별식 [eqn: D over 4 =`a ^2 -4a ge 0``]

[eqn: a(a-4) ge 0``] ∴  [eqn: a le 0``] 또는 [eqn: a ge 4``]

따라서 양수 [eqn: a``]의 최솟값은 [eqn: 4``]이다.

5. [출제의도] 복잡한 유리식을 간단히 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: {1- {1} over {x+1}} over {1+ {1} over {x-1}} `][eqn: = {{x} over {x+1}} over {{x} over {x-1}}][eqn: = {x-1} over {x+1}]이므로

[eqn: x-1=p`x+q``]에서 [eqn: p=1`,```q=`-1]

∴ [eqn: p+q``][eqn: =1-1=0]

6. [출제의도] 실수의 대소 관계를 이해하여 주어진 식의 대소를 비교할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 0<a<b``]에서 [eqn: a-b<0]

[eqn: A-B= {a} over {a+1} - {b} over {b+1} = {a-b} over {(a+1)(b+1)} <0``]

이므로 [eqn: A<B``]

[eqn: A-C= {a} over {a+1} - {a+b} over {a+b+2} = {a-b} over {(a+1)(a+b+2)} <0``]

이므로 [eqn: A<C``]

[eqn: B-C= {b} over {b+1} - {a+b} over {a+b+2} = {b-a} over {(b+1)(a+b+2)} >0``]

이므로 [eqn: B>C``]

∴ [eqn: A<C<B``]

7. [출제의도] 이차함수의 그래프와 직선의 위치관계를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: y=x ^{2} -2x][eqn: =(x-1) ^{2} -1]를 [eqn: x``]축의 방향으로 [eqn: -2``], [eqn: y``]축의 방향으로 [eqn: -1``]만큼 평행이동시키면

[eqn: y+1=(x+2-1) ^{2} -1]

[eqn: y=(x+1) ^{2} -2]	……㉠

㉠과 직선 [eqn: y=mx``]와의 교점의 [eqn: x``]좌표는

[eqn: (x+1) ^{2} -2=mx``]의 근이다.

두 교점이 원점에 대하여 대칭이므로

[eqn: x ^{2} +(2-m)x-1=0``]의 두 근의 합이 [eqn: 0``]이다.

근과 계수의 관계에서 [eqn: -(`2-m)=0]

∴ [eqn: m=2]

8. [출제의도] 좌표평면에서 삼각형의 무게중심을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: rm `A LEFT ( ita,```1over2 a RIGHT ), ```\B`it LEFT ( b,```3b`RIGHT )]라 놓으면 삼각형 [eqn: rm OAB`]의 무게중심[eqn: rm`G``]의 좌표가 [eqn: rm G LEFT ( 2,``` {8} over {3} RIGHT )]에서

[eqn: {a+b}over 3 =2], [eqn: {1over2 a+3b}over 3 = 8over3]

두 식을 연립하여 풀면 [eqn: a=4,```b=2]

∴[eqn: rm `A LEFT ( it 4,``` 2 RIGHT ) ,``` rm B` it LEFT ( 2,```6` RIGHT )]

점[eqn: rm``A``]는 직선 [eqn: y=-2x+k``] 위의 점이므로 [eqn: k=10]

[다른풀이]

직선 [eqn: y=-2x+k]과 두 직선 [eqn: y= {1} over {2} `x`], [eqn: y=3x`]의 교점 [eqn: rm `A,``B``]의 좌표를 구하면 각각

[eqn: rm `A` LEFT ( `it` {2} over {5} k`,` {1} over {5} k` RIGHT )], [eqn: rm`B` LEFT ( it` {1} over {5} k`,` {3} over {5} k` RIGHT )]

무게중심의 [eqn: x``]좌표가 [eqn: 2``]에서 [eqn: {{1} over {5} k+ {2} over {5} k} over {3} =2]

∴ [eqn: k=10]

9. [출제의도] 실수의 성질을 이해하고, 두 수를 근으로하는 이차방정식을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: root{(a+b-4)^2 } + root{(ab-2)^2 } =0``]

[eqn: |``a+b-4``|+|``ab-2``|=0``]

[eqn: a+b-4`=`0`,```ab-2`=`0``]

∴ [eqn: a+b=4``], [eqn: ab=2``]

두 수 [eqn: a``], [eqn: b``]를 근으로 하고 이차항의 계수가 [eqn: 1``]인 이차방정식은 [eqn: x^2 -4x+2=0``]이다.

10. [출제의도] 함수와 역함수의 뜻을 이해하고 합성함수의 함숫값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

두 함수 [eqn: f``], [eqn: g``]의 정의에 의해서

[eqn: f(1)=3``], [eqn: f(2)=9``], [eqn: f(3)=7``], [eqn: f(4)=1``]

[eqn: g(1)=7``], [eqn: g(2)=9``], [eqn: g(3)=3``], [eqn: g(4)=1``]

[eqn: g ^{-1} (1)=4``], [eqn: f ^{-1} (7)=3``]이므로

[eqn: (``f` CIRC `g` ^{-1} `)(1)`+`(``g` CIRC `f` ^{-1} `)`(7)``]

[eqn: =f(g ^{-1} (1))+g(f ^{-1} (7))``]

[eqn: =f(4)+g(3)``][eqn: =1+3=4``]

11. [출제의도] 조건과 진리집합 사이의 관계를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: p`` RARROW ` SIM q``]에서 [eqn: P SUBSET Q ^{C} ``] ∴ [eqn: Q SUBSET P ^{C}``]

[eqn: SIM r` RARROW ``q``]에서 [eqn: R ^{C} SUBSET Q``] ∴ [eqn: Q ^{C} SUBSET R``]

[eqn: P SUBSET Q ^{C} `], [eqn: Q ^{C} SUBSET R``]에서 [eqn: P SUBSET R``]

[eqn: P SUBSET Q ^{C}`], [eqn: P SUBSET R``]에서 [eqn: P SUBSET (R SMALLINTER Q ^{C}`` )``]

따라서 ①, ②, ③, ⑤는 옳다.

[eqn: P SUBSET R``]과 [eqn: R SUBSET P ^{C} ``]이 모두 성립하려면

[eqn: P= EMPTYSET ``]이어야하므로 ④는 옳지 않다.

12. [출제의도] 삼각방정식을 풀 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: y=x ^{2} -2x`cos theta -sin ^{2} theta ``]

[eqn: =(x-cos theta ) ^{2} - cos ^{2} theta -sin ^{2} theta ``]

[eqn: =(x-cos theta ) ^{2} -1]

꼭짓점의 좌표는 [eqn: (cos theta ,~-1)`]

이 점이 직선 [eqn: y=2x]위에 있으므로

[eqn: 2cos theta ``=-1], [eqn: `cos theta =- {1} over {2} `]

∴ [eqn: theta =` {2} over {3} pi ,~ {4} over {3} pi `]

따라서 [eqn: theta ``]값들의 합은 [eqn: 2` pi ``]이다.

13. [출제의도] 사인법칙과 코사인법칙을 이용하여 변의 길이가 일정함을 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: ANGLE rm `BGF= theta] 이므로 [eqn: ANGLE rm `BFG=60 ° - theta ``]

[eqn: ANGLE rm `BFE= ANGLE BFG+ ANGLE GFE``]

[eqn: =(`60°- theta `)+30°=90°- theta ``] (참)

ㄴ. 삼각형 [eqn: rm EFG``]에서

[eqn: bar{rm FG it} `=`2`` bar{rm EF it} `cos30°``=``2 root3``]

삼각형 [eqn: rm`BGF]에서 사인법칙을 적용하면

[eqn: {bar{rm FG it}} over {sin120 ° } = {` bar{rm BF it}} over {sin` theta }]

∴ [eqn: bar{rm BF it} =4`sin theta ``] (참)

ㄷ. 삼각형 [eqn: rm `E`FB]에서 코사인법칙을 적용하면

[eqn: rm ` bar{BE`} it rm ^{`2} = rm bar{BF} it rm ^{2} + rm bar{EF} it rm ^{2} -2 rm bar{BF}` it ㆍ rm ` bar{EF}` it ㆍcos(`90°- theta `)``]

[eqn: =(4sin theta ) ^{2} +2 ^{2} -2`ㆍ4sin theta `ㆍ2ㆍsin theta ``][eqn: =4``]

따라서 [eqn: bar{rm `BE it} `=2``]로 항상 일정하다. (참)

14. [출제의도] 제한된 범위에서 정의된 이차함수의 성질을 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: f``(-1)`=`a`-`b`], [eqn: f``(0)`=`0``], [eqn: f``(1)`=`a`+`b`]

조건 (가)에서

[eqn: f``(-1)`+f(1)=`(a`-`b)+(a+b)=2a <0``]이므로

[eqn: a<0``]   ……㉠

조건 (나)에서

[eqn: -2`<`a`-`b`<`0`<`a`+`b`<`2``]   ……㉡

ㄱ. ㉡에서 [eqn: a`-`b`<`0`]이고 [eqn: a`+`b`>`0`]이므로

[eqn: (a`+`b)(a`-`b)`<`0``]

∴ [eqn: a^{2}`<`b^{2}``] (참)

ㄴ. 그림과 같이 조건 (가)를 만족시키는 이차함수   [eqn: y`=`f``(x)`]의 그래프는 위로 볼록한 포물선이므로 조건 (나)를 만족시키기 위해서는 [eqn: y`=`f``(x)`]의 그래프의 대칭축 [eqn: x`=`-`{b}over{2a}`]가 직선 [eqn: x`=`1`]보다 왼쪽에 있지 않다.

∴ [eqn: -{b}over{2a}`ge`1``]

그런데 ㉠에서 [eqn: a`<`0``]이므로 양변에 [eqn: -2`a``]를 곱      하면 [eqn: b`ge`-`2a``]

∴ [eqn: 2a`+`b`ge`0``](참)

ㄷ. 이차방정식 [eqn: f``(x)`=`0`]의 두 실근의 합은 근과 계수의 관계에 의해 [eqn: -`{b}over{a}`]이다. 그런데 [eqn: -{b}over{2a}`ge`1`]에서 [eqn: -{b}over{a}`ge`2`]이므로 이차방정식 [eqn: f``(x)`=`0`]의 두 실근의 합은 [eqn: 2``]보다 크거나 같다. (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

15. [출제의도] 원의 접선의 성질을 이해하고 있는가를  묻는 문제이다.

원 밖의 점에서 그은 두 접선의 접점까지의 거리는 같으므로

[eqn: rm ` bar{AP} = it s`=a-1], [eqn: rm ` bar{BP} =it t=b-1`]

ㄱ. [eqn: rm ` bar{AP} ```:` bar{BP} = it s``:``t= it (a-1):(b-1`)`] (거짓)

ㄴ. [eqn: rm ` bar{AB} = it s+t`=(a-1)+(b-1)=a+b-2`]

삼각형 [eqn: rm`OAB``]에 피타고라스의 정리를 적용하면

[eqn: a^2 + b^2 = (a+b-2)^2]

[eqn: 1over2 ab = a+b-1`]

따라서 [eqn: ab=14]이면 [eqn: a+b=8]이다. (참)

ㄷ. [eqn: s`t=(a-1)(b-1)=ab-a-b+1``]

[eqn: =ab- {1} over {2} ab``][eqn: = {1} over {2} ab``]

이므로 삼각형 [eqn: rm OAB]의 넓이는 [eqn: s`t]이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

16. [출제의도] 세 점의 좌표가 주어진 삼각형의 넓이의 공식을 증명할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: rm A`,``B,``C``]를 평행이동시키면

[eqn: rm A` prime `( it `a`,```b`)``], [eqn: rm B` prime (it`c`,```d`)``], [eqn: rm C` prime `(`0`,```0)``]이다.

[eqn: bar{rm C` prime A` prime it} = sqrt {a ^{2} +b ^{2} ``} ``]	……(가)

직선 [eqn: rm`C`'A`']의 방정식은 [eqn: y=`b over a x]에서

[eqn: bx-ay=0]	……(나)

[eqn: rm ` bar{B'H}``]는 점 [eqn: rm B` prime (it`c`,```d`)``]에서 직선 [eqn: bx-ay=0``]까지의 거리이므로

[eqn: rm ` bar{B prime `H} = it {LEFT | `bc-ad` RIGHT |} over {sqrt {a ^{2} +b ^{2}}} = {□`ad`-`bc`□} over {sqrt {a ^{2} +b ^{2}}} ``]	……(다)

따라서 삼각형 [eqn: rm A'B'C`'`]의 넓이 [eqn: S`]는

[eqn: S= {1} over {2} rm ` bar{C prime A prime} TIMES bar{B prime H} = {1} over {2} it LEFT | `ad-bc` RIGHT |]

17. [출제의도] 순열과 경우의 수의 합의 법칙을 이용하여 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

(ⅰ) [eqn: X``]의 원소 중 [eqn: 10``]의 배수는

[eqn: 10,```20,```30,``` CDOTS ,```90,``]

[eqn: 100,```110,```120,``` CDOTS ,```200``]의 [eqn: 20``]개다.

서로 다른 두 수 [eqn: x`,```y``]의 합 [eqn: x`+`y`]가 [eqn: 10]의 배수가 되는 순서쌍의 수는 [eqn: 20``]개의 수 중에서 서로 다른 두 수를 일렬로 나열하는 방법의 수와 같으므로

[eqn: ` _{20} rm P _{2} =20 TIMES 19=380``](가지)

(ⅱ) [eqn: X``]의 원소 중 [eqn: 10``]의 배수가 아닌 것은

[eqn: 101,~102,` CDOTS ,~109``]의 [eqn: 9`]개이고

[eqn: x`+`y`]가 [eqn: 10]의 배수가 되는 순서쌍은

[eqn: (101,~109)`], [eqn: (102,~108)`], [eqn: (103,~107)`], [eqn: (104,~106)`],

[eqn: (106,~104)`], [eqn: (107,~103)`], [eqn: (108,~102)`], [eqn: (109,~101)`]

∴ [eqn: 8``](가지)

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 경우의 수는

[eqn: 380+8=388``](가지)

18. [출제의도] 무리함수의 그래프와 역함수의 그래프 사이 관계를 이용하여 미정계수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: root{ax}`=`x``]의 한 실근이 [eqn: x`=`2``]이므로

[eqn: root{2a}`=`2``] ∴ [eqn: a`=`2``]

[eqn: y`=`root{2x`+`b}``]의 역함수는

[eqn: x`=`root{2y`+`b}``]에서 [eqn: y`=`{1}over{2}`(x^{2}`-`b)``]이므로

[eqn: y`=`root{2x`+`b}`]와 직선 [eqn: y`=`x``]가 접하면

[eqn: y`=`{1}over{2}`(x^{2}`-`b`)``]와 직선 [eqn: y`=`x``]도 접한다.

이차방정식 [eqn: {1}over{2}`(x^{2}`-`b)`=`x`]가 중근을 가지므로

[eqn: x ^{2} -2x-b=0``]에서

[eqn: {D} over {4} =1+b=0``], [eqn: b=`-1``]

∴ [eqn: a`b`=`-2``]

19. [출제의도] 평행이동과 넓이를 이용하여 자취를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

점 [eqn: \Q`,``R``]의 좌표는 [eqn: rm Q it (a`+`1`,``2)`,```` rm R it `(1`,``b`+`2)``]

삼각형 [eqn: \OQR``]의 넓이를 [eqn: S``]라 하면

[eqn: S`=`{1} over {2} ` LEFT | `(a`+`1)`(b`+`2)`-`2` RIGHT | `]

[eqn: =` {1} over {2} ` LEFT { (a`+`1)`(b`+`2)`-`2` RIGHT } `=`4`]

[eqn: (a`+`1)(b`+`2)`=`10``]

∴ [eqn: b`=`-2`+`{10}over{a`+`1}``]

순서쌍 [eqn: (a`,```b)``]가 나타내는 자취는 분수함수 [eqn: b`=` {10} over {a} ``]의 그래프를 [eqn: a``]축의 방향으로 [eqn: -1``]만큼, [eqn: b``]축의 방향으로 [eqn: -2``]만큼 평행이동시킨 것이다.

따라서 제1사분면에서 분수함수의 그래프는 그림과 같다.

20. [출제의도] 두 점 사이의 거리를 이해하고 이를 실생활에 적용할 수 있는가를 묻는 문제이다.

점 [eqn: rm A]를 좌표평면상의 원점으로 두면

[eqn: rm A``(0,~0)], [eqn: rm B``(-4,~0),~C``(1,~1)]

세 점 [eqn: rm A,```B,```C``]에서 같은 거리에 있는 점의 좌표를 [eqn: rm P`( it x,~y)]라 하면

[eqn: bar{rm AP} = bar{rmBP} = bar{rmCP} ``]에서

[eqn: x^2 +y^2 = (x+4)^2 +y^2 =(x-1)^2 +(y-1)^2 ``]

연립방정식을 풀면

[eqn: x=-2``], [eqn: y=3``]

∴ [eqn: \ barAP`= sqrt {(-2) ^{2} +3 ^{2}} = sqrt {13} ``]

[다른풀이]

점 [eqn: rm A]를 좌표평면상의 원점으로 두면

[eqn: rm A``(0,~0)], [eqn: rm B``(-4,~0),~C``(1,~1)]

세 점 [eqn: rm A,~B,~C]에서 같은 거리에 있는 점 [eqn: rm P]라 하면 점 [eqn: rm P]는 세 점 [eqn: rm A,~B,~C]를 지나는 원의 중심이다.

원의 방정식을 [eqn: x ^{2} +y ^{2} +ax+by+c=0] 이라 하면

[eqn: (0,~0)]을 지나므로 [eqn: c=0]	……㉠

[eqn: (-4,~0)]을 지나므로 [eqn: 16-4a=0]	……㉡

[eqn: (1,~1)]을 지나므로 [eqn: 1+1+a+b=0]	……㉢

㉠，㉡，㉢을 연립하여 풀면

[eqn: a=4], [eqn: b=-6], [eqn: c=0]

원의 방정식은

[eqn: x ^{2} +y ^{2} +4x-6y=0], [eqn: (x+2) ^{2} +(y-3) ^{2} =13]

구하는 거리는 이 원의 반지름의 길이이므로

[eqn: sqrt {13} `` rm (km)``]이다.

21. [출제의도] 삼각함수의 성질을 이용하여 도형의 넓이를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

삼각형 [eqn: rm`OBC]에서  [eqn: rm` bar{BC}][eqn: =tan( pi - theta )][eqn: `=`-`tan theta]

삼각형 [eqn: rm`OAD]에서 [eqn: rm ` ANGLE OAD=90°``]이므로

[eqn: cos`( pi - theta )= {1} over {rm ` bar{OD} it} ``]

∴ [eqn: rm ` bar{OD}][eqn: = {1} over {cos( pi - theta )}][eqn: `=`-` {1} over {cos theta }]

(삼각형 [eqn: rm`OCD]의 넓이)-(부채꼴[eqn: rm `OAB]의 넓이)

[eqn: = {1} over {2} (-`tan theta `)`` TIMES ``][eqn: LEFT ( `-` {1} over {cos theta } RIGHT )][eqn: - {1} over {2} TIMES 1 ^{2} TIMES ( pi - theta )] [eqn: = {1} over {2} LEFT ( `` {sin theta } over {cos ^{2} theta } - pi + theta `` RIGHT )]

[다른풀이]

[eqn: bar{rm BC it} =tan`( pi - theta )`=`-tan` theta``]

원 위의 점 [eqn: rm `A(cos` theta `,```sin` theta )]에서 그은 접선의 방정식은 [eqn: x`cos theta `+y`sin theta =1]이므로

점 [eqn: rm `D]의 좌표는  [eqn: `left( {1} over {cos` theta } `,```0`right)``]이다.

∴ [eqn: rm bar{rm OD}][eqn: =- {1} over {cos` theta }]

(삼각형 [eqn: rm`OCD]의 넓이)-(부채꼴[eqn: rm `OAB]의 넓이)

[eqn: = {1} over {2} (-`tan theta `)`` TIMES ``][eqn: LEFT ( `-` {1} over {cos theta } RIGHT )][eqn: - {1} over {2} TIMES 1 ^{2} TIMES ( pi - theta )]

[eqn: = {1} over {2} LEFT ( `` {sin theta } over {cos ^{2} theta } - pi + theta `` RIGHT )]

22. [출제의도] 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이해하고 식의 값을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: x ^{2} -3x+1=0`]의 두 근이 [eqn: alpha ,```` beta ``]이므로

근과 계수의 관계에서

[eqn: alpha + beta =3], [eqn: alpha beta =1]

[eqn: ( alpha +1)( beta +1)= alpha ` beta `+(` alpha + beta )+1]

[eqn: =1+3+1][eqn: =5]

23. [출제의도] 합성함수의 함숫값을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: f(x)=2x+3``]에서

[eqn: f(2)=7``], [eqn: f(7)=17``]이므로

[eqn: (`f`circ`f`circ`f)(2) =f(f(f(2))) ``]

[eqn: =f(f(7))=f(17) =37``]

24. [출제의도] 조건과 진리집합 사이의 관계를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: p``], [eqn: q``], [eqn: r``]의 진리집합을 각각 [eqn: P], [eqn: Q], [eqn: R] 라 하면

[eqn: 2n-4 ge 3``], [eqn: n ge 7 over 2``]에서 [eqn: Q`= LEFT { 4,``5,``6,``7,`` CDOTS RIGHT }]

[eqn: n^2 -19n -20 ge0``], [eqn: (n+1)(n-20) ge 0``]에서

[eqn: R= LEFT { `20,``21,``22,``23,` CDOTS RIGHT } ``]

[eqn: p``]는 [eqn: q``]이기 위한 충분조건이므로 [eqn: P``` SUBSET Q``]

[eqn: p``]는 [eqn: r``]이기 위한 필요조건이므로 [eqn: R`` SUBSET P``]

∴ [eqn: R `` SUBSET `` P ``` SUBSET Q``]

[eqn: P= it LEFT { n``|``n` GEQ `k``,`````n`은~`자연수` RIGHT } `]에서

[eqn: k=`4,``5,``6,` CDOTS ,``20]

따라서 자연수 [eqn: k]의 개수는 [eqn: 17]

25. [출제의도] 다항식의 나눗셈을 이해하여 미정계수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: x ^{3} -2x ^{2} +ax+b``]를 [eqn: x^2 -1``]로 나눈 몫을 [eqn: Q(x)``]라 하면

[eqn: x ^{3} -2x ^{2} +ax+b``=(x^2 -1)Q(x)+3x+5``]   ……㉠

㉠에 [eqn: x=1``]을 대입하면 [eqn: a+b=9``]

[eqn: x=`-1``]을 대입하면 [eqn: -a+b=5``]

두 식을 연립하여 풀면 [eqn: a=2``], [eqn: b=7``]

∴ [eqn: ab=14``]

[다른풀이]

[eqn: x ^{3} -2x ^{2} +ax+b``]를 [eqn: x^2 -1``]로 직접 나누면 몫은 [eqn: x-2]이고 나머지는 [eqn: (a+1)x+(b-2)]이다.

[eqn: (a+1)x+(b-2)][eqn: =3x+5]에서

[eqn: a+1=3], [eqn: b-2=5]이므로 [eqn: a=2``], [eqn: b=7``]

∴ [eqn: ab=14``]

26. [출제의도] 부등식의 영역을 이해하여 영역의 넓이를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: x`y`ge`0``]이 나타내는 영역은 좌표평면에서 [eqn: x`]축, [eqn: y``]축 및 제[eqn: 1`]사분면과 제[eqn: 3``]사분면이다.

[eqn: |`x``|`+`2`|`y`|`le`k``]

⇔ [eqn: cases{x`+`2y` LEQ `k`&`(x` GEQ `0,``y` GEQ `0)#x`-`2`y` LEQ `k`&`(x` GEQ `0`,``y`<`0`)`#-x`-`2y` LEQ `k`&`(x`<`0`,``y`<`0`)`#-x`+`2y` LEQ `k`&`(x`<`0`,``y` GEQ `0)} `]

이므로 영역은

점 [eqn: LEFT ( k`,``0 RIGHT )`,`` LEFT ( 0`,``{k}over{2}` RIGHT )`,`` LEFT ( -k`,``0 RIGHT )`,`` LEFT ( 0`,``-{k}over{2}` RIGHT )``]를 꼭짓점으로 하는 마름모의 내부(경계포함)이다.

따라서 주어진 연립부등식이 나타내는 영역은 그림과 같다.

연립부등식의 영역의 넓이가 [eqn: 60``]이므로

[eqn: 2` TIMES ` {1} over {2} ` TIMES `k` TIMES ` {k} over {2} `=60``], [eqn: {k ^{2}} over {2} `=`60``]

∴ [eqn: k ^{2} `=`120``]

27. [출제의도] 두 이차함수의 그래프가 만날 조건과 부등식의 영역을 이용하여 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

두 이차함수의 그래프가 만나지 않으므로

이차방정식 [eqn: -2x^{2}`+`2ax`+`b`=`2x^{2}`+`4``]는 실근을 갖지 않는다.

[eqn: 4`x^{2}`-`2ax`-`(b`-`4)`=`0``]에서

[eqn: D over 4`=`a^{2}`+`4`(b`-`4)`<`0``]

∴ [eqn: b`<`-{1}over{4}`a^{2}`+`4``]

이 부등식을 만족시키는 음이 아닌 두 정수 [eqn: a`,``b``]의 순서쌍 [eqn: (`a`,`b`)]는

[eqn: a`=`0``]일 때 [eqn: (0`,`0)], [eqn: (0`,`1)], [eqn: (0`,`2)], [eqn: (0`,`3)]

[eqn: a`=`1``]일 때 [eqn: (1`,`0)], [eqn: (1`,`1)], [eqn: (1`,`2)], [eqn: (1`,`3)]

[eqn: a`=`2``]일 때 [eqn: (2`,`0)], [eqn: (2`,`1)], [eqn: (2`,`2)]

[eqn: a`=`3``]일 때 [eqn: (3`,`0)], [eqn: (3`,`1)]

∴ [eqn: 13``](개)

28. [출제의도] 실생활과 관련하여 미지수가 3개 이상인 연립일차방정식을 풀 수 있는가를 묻는 문제이다.

(가), (나), (다)에 의하여 두 팀의 득점 상황을 문자로 놓으면 다음과 같다.

팀별 득점	[eqn: rmA``]팀	[eqn: rmB``]팀
[eqn: 1``]점	[eqn: z``]	[eqn: y``]
[eqn: 2``]점	[eqn: x``]	[eqn: x``]
[eqn: 3``]점	[eqn: y``]	[eqn: 1 over 3 x``]

(라)에서 [eqn: x+y+z=38``]	……㉠

[eqn: {4} over {3} x+y=37``]	……㉡

(마)에서 [eqn: 2x+3y+z-(3x+y)=5``]

[eqn: -x+2y+z=5``]	……㉢

㉠-㉢에서 [eqn: 2x-y=33``]	……㉣

㉡+㉣에서 [eqn: 10 over 3 x = 70``]이므로 [eqn: x=21``]

[eqn: x=21``]을 ㉡에 대입하면 [eqn: y=9``]

[eqn: x=21``], [eqn: y=9``]를 ㉠에 대입하면 [eqn: z=8``]

따라서 [eqn: rmA``]팀의 득점은

[eqn: 2x+3y+z=42+27+8=77``](점)

29. [출제의도] 분수함수의 그래프와 직선과의 관계를 이해하고 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

도형 [eqn: x`y`-`2x`-`2`y`=`k``]와 직선 [eqn: x`+`y`=`8`]의 교점 [eqn: rm P it `],  [eqn: rm Q it `]의 [eqn: x`]좌표를 각각 [eqn: alpha`,``beta``]라 하자.

[eqn: y`=`8-x``]를 대입하여 정리하면

[eqn: x^{2}`-`8x`+`(k`+`16)`=`0``]   ……㉠

이 방정식의 두 근이 [eqn: alpha`,``beta``]이므로

[eqn: alpha ` beta `=`k+16`=`14`] ∴ [eqn: k`=`-2``]

[eqn: k`=`-2``]를 ㉠에 대입하여 풀면 [eqn: x`=`4`±` sqrt {2} ``]

∴ [eqn: rm P it `(4- sqrt {2} `,``4+ sqrt {2} `)`], [eqn: rm Q it `(4+sqrt {2} `,``4- sqrt {2} `)`]

∴ [eqn: bar{rm OP it} ` TIMES ` bar{rm OQ it} `=` {bar{rm OP it }} ^{`2} `]

[eqn: =`(4`-` sqrt {2} `) ^{`2} `+`(4`+` sqrt {2} `) ^{`2} `]

[eqn: =`36``]

[다른풀이]

도형 [eqn: x`y`-`2x`-`2`y`=`k``]와 직선 [eqn: x`+`y`=`8`]의 교점 [eqn: rm P it `],  [eqn: rm Q it `]의 [eqn: x`]좌표를 각각 [eqn: alpha`,``beta``]라 하자.

[eqn: y`=`8-x``]를 대입하여 정리하면

[eqn: x^{2}`-`8x`+`(k`+`16)`=`0``]   ……㉠

이 방정식의 두 근이 [eqn: alpha`,``beta``]이므로

[eqn: alpha`+`beta`=`8`,``~alpha`beta`=`k`+`16``]

여기서 [eqn: \P`,``Q``]의 [eqn: x``]좌표의 곱이 [eqn: 14``]이므로 [eqn: k`=`-2``]

그런데 도형 [eqn: xy`-`2x`-`2y`=`-2``]는 직선 [eqn: y`=`x``]에 대하여 대칭이므로 선분 [eqn: \PQ``]의 중점을 [eqn: \M``]이라 하면 삼각형 [eqn: \OPQ``]는 이등변삼각형이다.

∴ [eqn: bar{rm OP it} ` TIMES ` bar{rm OQ it} `=` {bar{rm OP it}} ^{2}} `=` {bar{rm OM it }} ^{`2} `+` LEFT ( {1} over {2} ` bar{rm PQ it} RIGHT ) ^{2} ``]

이때 [eqn: {bar{\OM}}^{`2}`=`4^{2}`+`4^{2}`=`32``],

[eqn: {bar{\PQ}}`=`root{2`(alpha`-`beta)^{2}}``][eqn: =` sqrt {2 LEFT { ( alpha `+` beta ) ^{2} `-`4` alpha ` beta RIGHT }} `=`4``]

∴ [eqn: {bar{\OP}}`times`{bar{\OQ}}`=`32`+`4`=`36``]

30. [출제의도] 타교과와 관련된 수학적 내용을 이해하여 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

지표면에서 거리가 [eqn: {R} over {10} ``]m인 인공위성은 지구 중심에서 거리가 [eqn: LEFT ( 1+ 1 over 10RIGHT ) `R``]m이므로 주기 [eqn: T_{1}``]은

[eqn: T _{1} `=` sqrt {{4` pi ^{2} `left( {11} over {10} R right) ^{3}} over {G`M}} `]

지표면에서 거리가 [eqn: {aR} over {10} ``]m인 인공위성은 지구 중심에서 거리가 [eqn: left( 1+ {a} over {10} right)`R``]m이므로 주기 [eqn: T_{2}``]는

[eqn: T _{2} `=` sqrt {{4` pi ^{2} ` LEFT { left( {a+10} over {10} ` right)`R RIGHT } ^{3}} over {G`M}} `]

[eqn: T_{2}`=`2`root{2}`T_{1}``]에서 [eqn: T_{2}^{`2}`=`8`T_{1}^{`2}``]

[eqn: left( {a+10} over {10} right) ^{3} `=`8` TIMES `left( {11} over {10} right) ^{3}]

[eqn: (a+10) ^{3} =22 ^{3}], [eqn: a`+`10=`22``]