◦ 문제지의 해당란에 성명과 수험 번호를 정확히 쓰시오.

2010학년도 3월 고2 전국연합학력평가 문제지

제 2 교시            수리 영역

성명			수험 번호						2

수리 영역

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수리 영역

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◦ 답안지의 해당란에 성명과 수험 번호를 쓰고, 또 수험 번호와 답을 정확히 표시하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 ‘0’이 포함되면, 그 ‘0’ 도 답란에 반드시 표시하시오.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

8

1. [eqn: `_4 {`rmC}`_2 times `3`! ``]의 값은? [2점]

① [eqn: 12``]	② [eqn: 24``]	③ [eqn: 36``]	④ [eqn: 48``]	⑤ [eqn: 60``]

2. [eqn: sqrt {5+ 2sqrt {6}} ×sqrt {5- 2sqrt {6}}``]의 값은? [2점]

① [eqn: 1``]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3``]	④ [eqn: 4``]	⑤ [eqn: 5``]

3. 등식

[eqn: {1} over {i^{`}} `+ {3} over {i ^{2}} `+ {5} over {i ^{3}} `+ {7} over {i ^{4}} ``=`a`+b`i``]

를 만족시키는 실수 [eqn: a``], [eqn: b``]의 합 [eqn: a`+`b``]의 값은? (단, [eqn: i`=` root -1``])

[2점]

① [eqn: 2``]	② [eqn: 4``]	③ [eqn: 6``]	④ [eqn: 8``]	⑤ [eqn: 10``]

4. 이차방정식 [eqn: x^2 `+2`a`x `+4`a `=`0``]이 실근을 가지도록 하는 양수 [eqn: a``]의 최솟값은? [3점]

① [eqn: 1``]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3``]	④ [eqn: 4``]	⑤ [eqn: 5``]

5. 다음 식의 분모를 [eqn: 0``]으로 만들지 않는 모든 실수 [eqn: x``]에 대하여

[eqn: {1`-` {1} over {x`+`1}} over {1`+` {1} over {x`-`1}} ``= {p`x`+`q} over {x`+`1}``]

이 성립할 때, 상수 [eqn: p``], [eqn: q``]의 합 [eqn: p`+`q``]의 값은? [3점]

① [eqn: -2``]	② [eqn: -1``]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

6. [eqn: 0``<`a``<`b``]일 때, [eqn: A``], [eqn: B``], [eqn: C```]를 각각

[eqn: A``=` a over a+1 ``],  [eqn: B``=` b over b+1``],  [eqn: C``=` a+b over a+b+2``]

라 하자. [eqn: A``], [eqn: B``], [eqn: C```]의 대소 관계를 바르게 나타낸 것은? [3점]

① [eqn: A<B<C``]	② [eqn: A<C<B``]	③ [eqn: B<A<C``]

④ [eqn: B<C<A``]	⑤ [eqn: C<A<B``]

7. 이차함수 [eqn: y``=`x ^{`2} `-`2`x``]의 그래프를 [eqn: x``]축의 방향으로 [eqn: -2``]만큼, [eqn: y``]축의 방향으로 [eqn: -1``]만큼 평행이동시키면 직선 [eqn: y``=`m`x``]와 두 점 [eqn: rmP``], [eqn: rmQ``]에서 만난다. 선분 [eqn: rmP`Q``]의 중점이 원점일 때, 상수 [eqn: m``]의 값은? [3점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

8. 그림과 같이 두 직선 [eqn: y= 1over2`x`]와 [eqn: y=3`x`]가 직선 [eqn: y=`-2`x+k``]와 만나는 점을 각각 [eqn: \A`], [eqn: \B`]라 하자. 원점 [eqn: rmO``]와 두 점 [eqn: \A`], [eqn: \B`]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: \OAB`]의 무게중심의 좌표가 [eqn: LEFT ( `2`,``` {8} over {3}` RIGHT ) ``]일 때, 상수 [eqn: k``]의 값은? [3점]

① [eqn: 2``]	② [eqn: 4``]	③ [eqn: 6`]	④ [eqn: 8``]	⑤ [eqn: 10``]

9. 실수 [eqn: a``], [eqn: b``]가 등식

[eqn: root{(a+b)^2 -8(a+b)+16`} `+` root{a^2 `b^2 -4`a`b +4`} `=`0``]

을 만족시킬 때, 다음 중 [eqn: a``], [eqn: b``]를 두 근으로 하는 이차방정식은?

[3점]

① [eqn: x^2 +4`x+2=0``]

② [eqn: x^2 -4`x-2=0``]

③ [eqn: x^2 -4`x+2=0``]

④ [eqn: x^2 -8`x+4=0``]

⑤ [eqn: x^2 -8`x-4=0``]

10. 집합 [eqn: X``=` LEFT { `1`,```2`,```3`,```4` RIGHT }]에서 집합 [eqn: Y``=` LEFT { `1`,```3`,```7`,``9` RIGHT }``]로의 두 함수 [eqn: f``], [eqn: g``]를 각각

[eqn: f``(`n)``=``]([eqn: 3^{`n}``]의 일의 자릿수)

[eqn: g``(`n)``=``]([eqn: 7^{`n}``]의 일의 자릿수)

로 정의할 때 [eqn: (``f`circ`g`^{-1}`)(`1)`+`(``g`circ`f`^{-1}`)`(`7)``]의 값은? [3점]

① [eqn: 4``]	② [eqn: 8``]	③ [eqn: 10``]	④ [eqn: 12``]	⑤ [eqn: 16``]

11. 전체집합 [eqn: U``]에서 세 조건 [eqn: p``], [eqn: q``], [eqn: r``]의 진리집합을 각각 [eqn: P``], [eqn: Q``], [eqn: R```]라 하자. [eqn: p` `⇒ ` SIM q``]이고, [eqn: SIM r`` ⇒ ``q``]일 때, 다음 중 옳지 않은 것은? (단, [eqn: P``], [eqn: Q``], [eqn: R```]는 모두 공집합이 아니다.) [3점]

① [eqn: P `` SUBSET ` Q ^{C}``]	② [eqn: P`` SUBSET `R``]	③ [eqn: P`` SUBSET `(R `capQ^C``)``]

④ [eqn: R`` SUBSET `P ^{C}``]	⑤ [eqn: Q^C`` SUBSET `R``]

12. 포물선 [eqn: y=x^2 ``-2`x` costheta``-sin^2 theta``]의 꼭짓점이 직선  [eqn: y=2`x``]위에 있기 위한 모든 [eqn: theta``]값들의 합은? (단, [eqn: 0`` LEQ `` theta ``<``2 `pi ``]) [3점]

① [eqn: pi]	② [eqn: 3over2 `pi``]	③ [eqn: 2 `pi]	④ [eqn: 5 over2 `pi``]	⑤ [eqn: 3 `pi]

13. 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 2 root3``]이고 [eqn: ∠rmB=120 ° ``]인 마름모 [eqn: rmABCD``]의 내부에 [eqn: \ bar {E`F} `=` bar {E`G}`=`2``]이고 [eqn: \ angle E`F`G ``=`30 °``]인 이등변삼각형 [eqn: \ EFG``]가 있다. 점 [eqn: rm F``]는 선분 [eqn: rm AB``]위에, 점 [eqn: rm G``]는 선분 [eqn: rmBC``]위에 있도록 삼각형 [eqn: \ EFG``]를 움직일 때, [eqn: ANGLE rmB`G`F= theta ``]라 하자.  <보기>에서 항상 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

(단, [eqn: 0°<theta < 60°``]) [4점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: ANGLE rmB`F`E``=` 90 °`- `theta ``] ㄴ. [eqn: bar{rmB`F} `=`4``sin` theta ``] ㄷ. 선분 [eqn: rm BE``]의 길이는 항상 일정하다.

① ㄱ	② ㄱ，ㄴ	③ ㄱ，ㄷ

④ ㄴ，ㄷ	⑤ ㄱ，ㄴ，ㄷ

14. 실수 전체의 집합에서 정의된 이차함수 [eqn: f``(`x)`=` ``a`x^{2^{`}}`+`b`x ``]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: f``(-1)`+`f``(`1)`<`0``]

(나) [eqn: -1 le x_{1}`<`x_{2} le 1``]이면 [eqn: -2 `<` f``(`x _{1} )`<`f``(`x _{2} `)``<`2``]이다.

실수 [eqn: a``], [eqn: b``]에 대한 설명으로 항상 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: a^{2}`<`b^{2}``] ㄴ. [eqn: 2`a`+`b`ge`0``] ㄷ. 방정식 [eqn: f(`x)=0``]의 두 근의 합은 [eqn: 2``]보다 작다.

① ㄱ	② ㄱ，ㄴ	③ ㄱ，ㄷ

④ ㄴ，ㄷ	⑤ ㄱ，ㄴ，ㄷ

15. 그림과 같이 원 [eqn: (`x-1)^2 +(`y-1)^2 =1``]위의 점 [eqn: \P``]에서 그은 접선이 [eqn: x``]축, [eqn: y``]축과 만나는 점을 각각 [eqn: \A(it `a`,```0`)``], [eqn: \B(it` 0`,```b`)``]라 하고 [eqn: \ barAP = it s``], [eqn: \ barBP = itt``]라 하자. <보기>에서 항상 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: a>2``], [eqn: b>2``]) [4점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: s ``:`` t `=` a``:``b``] ㄴ. [eqn: a`b=14``]이면 [eqn: a+b=8``]이다. ㄷ. 삼각형 [eqn: \OAB ``]의 넓이는 [eqn: s`t``]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄴ, ㄷ

16. 그림과 같이 좌표평면 위에서 일직선 위에 있지 않은 세 점

[eqn: {\A}(`x_{1}`,```y_{1}`)``], [eqn: {\B}`(`x_{2}`,```y_{2}`)``], [eqn: {\C}`(`x_{3}`,```y_{3}`)``]

에 대하여

[eqn: a`=`x_{1}`-`x_{3}``], [eqn: b`=`y_{1}`-`y_{3}``],

[eqn: c`=`x_{2}`-`x_{3}``], [eqn: d`=`y_{2}`-`y_{3}``]

이라 할 때 삼각형 [eqn: \ABC``]의 넓이는

[eqn: {1}over{2}` LEFT |` a`d`-`b`c``RIGHT |``]임을 증명한 것이다.

<증명>

세 점 [eqn: \A``], [eqn: rmB``], [eqn: rm C``]를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: -x_{3}``]만큼, [eqn: y``]축의 방향으로 [eqn: -y_{3}``]만큼 평행이동시킨 점을 각각 [eqn: rm A prime], [eqn: \B'], [eqn: \C'`]이라 하면

[eqn: a`=`x_{1}`-`x_{3}``], [eqn: b`=`y_{1}`-`y_{3}``],

[eqn: c`=`x_{2}`-`x_{3}``], [eqn: d`=`y_{2}`-`y_{3}``]

이므로 [eqn: bar{\C'A'`}`=`]

(가)

이고, 직선 [eqn: \`C'A'`]의 방정식은

(나)

이다.

이때 점 [eqn: \B']에서 직선 [eqn: \`C'A'`]에 내린 수선의 발을 [eqn: \H``]라 하면

[eqn: bar{\B'`H}`=`]

(다)

이다.

그런데 삼각형 [eqn: \A'`B'`C'`]과 삼각형 [eqn: \ABC``]는 합동이므로

삼각형 [eqn: \ABC``]의 넓이는 [eqn: {1}over{2}` LEFT |` a`d`-`b`c``RIGHT |``]이다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점]

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: root{a^{2}`+`b^{2}``]	[eqn: b`x-a`y=0]	[eqn: {LEFT |` a`d-b`c``RIGHT | }over{ sqrt { a^2 + b^2} }]
②	[eqn: root{a^{2}`+`b^{2}``]	[eqn: a`x-b`y=0]	[eqn: {LEFT |` a`d-b`c``RIGHT | }over{ sqrt { a^2 + b^2} }]
③	[eqn: root{a^{2}`+`b^{2}``]	[eqn: b`x-a`y=0]	[eqn: {LEFT | ` a`d-b`c``RIGHT | }over{2 sqrt { a^2 + b^2} }]
④	[eqn: root{c^{2}`+`d^{2}}``]	[eqn: a`x-b`y=0]	[eqn: {LEFT |` a`d-b`c``RIGHT | }over{ 2sqrt { c^2 + d^2} }]
⑤	[eqn: root{c^{2}`+`d^{2}}``]	[eqn: b`x-a`y=0]	[eqn: {LEFT | `a`d-b`c``RIGHT | }over{ sqrt { c^2 + d^2} }]

17. [eqn: 10``]이상 [eqn: 200``]이하의 자연수 중에서 일의 자릿수 또는 십의 자릿수가 [eqn: 0``]인 수의 집합을 [eqn: X``]라 하자. 예를 들어 [eqn: 105 ``in``X``], [eqn: 123 `∉` X``]이다. 집합 [eqn: X``]의 서로 다른 두 원소 [eqn: x`], [eqn: y``]의 합 [eqn: x+y``]가 [eqn: 10``]의 배수일 때, 순서쌍 [eqn: (`x`,```y`)``]의 개수는? [4점]

① [eqn: 384``]	② [eqn: 386``]	③ [eqn: 388``]

④ [eqn: 390``]	⑤ [eqn: 392``]

18. 그림과 같이 무리함수 [eqn: y`=`root{a`x}``]의 그래프와 직선 [eqn: y`=`x``]가 만나는 한 점의 [eqn: x``]좌표가 [eqn: 2``]이다. 무리함수 [eqn: y`=`root{a`x`+`b}``]의 그래프가 직선 [eqn: y`=`x``]에 접할 때 상수 [eqn: a`], [eqn: b``]의 곱 [eqn: a`b``]의 값은? [4점]

① [eqn: -`4``]	② [eqn: -`2``]	③ [eqn: -`1``]

④ [eqn: -{1}over{2}``]	⑤ [eqn: -{1}over{4}``]

19. 그림과 같이 좌표평면 위의 점 [eqn: \P`(`1`,```2)``]를 [eqn: x``]축의 방향으로 [eqn: a``]만큼 평행이동시킨 점을 [eqn: \Q``], [eqn: y``]축의 방향으로 [eqn: b``]만큼 평행이동시킨 점을 [eqn: \R``]라 하자.

원점 [eqn: \O``]와 두 점 [eqn: \Q``], [eqn: \R``]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: \O`Q`R``]의 넓이가 [eqn: 4``]일 때, 양수 [eqn: a`], [eqn: b``]의 순서쌍 [eqn: (`a`,```b`)``]를 좌표평면에 나타낸 것은? [4점]

①		②
③		④
⑤

20. 세 지점 [eqn: rm A``]，[eqn: rmB``]，[eqn: rm C``]에 대리점이 있는 회사가 세 지점에서 같은 거리에 있는 지점에 물류창고를 지으려고 한다. 그림과 같이 [eqn: rmB``]지점은 [eqn: rm A``]지점에서 서쪽으로 [eqn: 4``rmkm``]만큼 떨어진 위치에 있고, [eqn: rm C``]지점은 [eqn: rm A``]지점에서 동쪽으로 [eqn: 1``rmkm``], 북쪽으로 [eqn: 1``rmkm``]만큼 떨어진 위치에 있을 때, 물류창고를 지으려는 지점에서 [eqn: rm A``]지점에 이르는 거리는? [4점]

① [eqn: 2sqrt {2}``][eqn: rmkm``]	② [eqn: sqrt {13}``][eqn: rmkm``]	③ [eqn: sqrt {17}``][eqn: rmkm``]

④ [eqn: 2sqrt {5}``][eqn: rmkm``]	⑤ [eqn: sqrt {29}``][eqn: rmkm``]

21. 그림과 같이 원점 [eqn: rmO``]를 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 1``]인 원 위의 점 [eqn: rmA``]가 제[eqn: ``2``]사분면에 있을 때 동경 [eqn: rmOA``]가 나타내는 각의 크기를 [eqn: theta``]라 하자. 점 [eqn: rm B(`-1`,```0`)``]을 지나는 직선 [eqn: x``=`-1``]과 동경 [eqn: rmOA``]가 만나는 점을 [eqn: rmC``], 점 [eqn: rmA``]에서의 접선이 [eqn: x``]축과  만나는 점을 [eqn: rmD``]라 하자. 다음 중 삼각형 [eqn: rmOCD``]의 넓이에서 부채꼴

[eqn: rmOAB``]의 넓이를 뺀 어두운 부분의 넓이와 항상 같은 것은?

(단, [eqn: pi over2 < theta <pi``]) [4점]

① [eqn: 1over 2 left( `- `{ costheta}over {sin^2 theta} `-` pi+theta ``right)``]	② [eqn: 1over 2 left( `-`{sin theta}over {cos^2 theta} `-`pi + theta ``right)``]

③ [eqn: 1over 2 left( ```{cos^2 theta}over {sin theta} `-` theta ``right)``]	④ [eqn: 1over 2left ( ```{sin theta}over {cos^2 theta} `-` pi+theta `right)``]

⑤ [eqn: 1over 2 left( ```{sin^2 theta}over {cos theta} `-`theta ``right)``]

단답형(22 ~ 30)

22. 이차방정식 [eqn: x^2 - 3`x+1=0``]의 두 근을 [eqn: alpha `],  [eqn: beta``]라 할 때,

[eqn: ( `alpha +1)( `beta +1`)``]의 값을 구하시오. [3점]

23. 함수 [eqn: f(`x)=2`x+3``]에 대하여 [eqn: (`f circ f circ f `)(`2)``]의 값을 구하시오. [3점]

24. 자연수 [eqn: n``]에 대하여 세 조건 [eqn: p``], [eqn: q``], [eqn: r``]를 각각

[eqn: p```:``n``ge`k``]

[eqn: q```:``2`n`-4``ge`3``]

[eqn: r```:``n^ 2 -19`n ``ge`20``]

이라 하자. [eqn: p``]는 [eqn: q``]이기 위한 충분조건이고, [eqn: p``]는 [eqn: r``]이기 위한 필요조건일 때, 자연수 [eqn: k``]의 개수를 구하시오. [3점]

25. 다항식 [eqn: x ^{3} -2`x ^{2} +a`x+b``]를 [eqn: x^2 -1``]로 나눈 나머지가 [eqn: 3`x+5``]일 때, 상수 [eqn: a`], [eqn: b``]의 곱 [eqn: a`b``]의 값을 구하시오. [3점]

26. 좌표평면에서 [eqn: x``], [eqn: y``]에 대한 연립부등식

[eqn: cases{```x`y` `GEQ `0 _{`} `#```|``x``|`+`2``|``y``|` LEQ `k ^{`} `} ``]

가 나타내는 영역의 넓이가 [eqn: 60``]이 되도록 상수 [eqn: k``]의 값을 정할 때, [eqn: k`^{2}``]의 값을 구하시오. [3점]

27. 두 이차함수 [eqn: y``=`-2`x^{2}`+`2`a`x`+`b``], [eqn: y``=`2`x ^{2} `+`4``]의 그래프가 만나지 않을 때, 음이 아닌 두 정수 [eqn: a`], [eqn: b``]의 순서쌍 [eqn: (`a`,```b`)``]의 개수를 구하시오. [4점]

28. 농구 경기에서 득점의 종류는 [eqn: 1``]점, [eqn: 2``]점, [eqn: 3``]점의 세 종류이다.다음은 [eqn: rmA`], [eqn: rmB``] 두 팀 간의 어느 한 경기 결과를 분석한 것이다.

(가) [eqn: rmA`], [eqn: rmB``] 두 팀이 [eqn: 2``]점짜리를 득점한 횟수는 같다.

(나)  [eqn: rmA``]팀이 [eqn: 3``]점짜리를 득점한 횟수는 [eqn: rmB``]팀이 [eqn: 1``]점짜리를 득점한 횟수와 같다.

(다) [eqn: rmA``]팀이 [eqn: 2``]점짜리를 득점한 횟수는 [eqn: rmB``]팀이 [eqn: 3``]점짜리를 득점한 횟수의 [eqn: 3``]배이다.

(라) [eqn: rmA``]팀이 득점한 총 횟수는 [eqn: 38``]회이고, [eqn: rmB``]팀이 득점한 총 횟수는 [eqn: 37``]회이다.

(마) [eqn: rmA``]팀의 총 득점은 [eqn: rmB``]팀의 총 득점보다 [eqn: 5``]점이 많다.

[eqn: rmA``]팀의 총 득점을 구하시오. [4점]

29. 그림과 같이 도형 [eqn: x`y``-`2`x`-`2`y``=`k``]가 직선 [eqn: x`+`y`=`8``]과 만나는 두 점을 [eqn: \P`], [eqn: \Q``]라 하자. 두 점 [eqn: \P`], [eqn: \Q``]의 [eqn: x``]좌표의 곱이 [eqn: 14``]일 때 [eqn: bar{\OP}`times`bar{\OQ}``]의 값을 구하시오. (단, [eqn: k`<`0``]) [4점]

30. 케플러의 법칙에 의하면 지구의 질량이 [eqn: M```][eqn: \kg`], 지구의 중심에서 인공위성까지의 거리가 [eqn: r``][eqn: \m``]일 때 인공위성이 지구 주위를 도는 주기 [eqn: T``]는

[eqn: T``=` sqrt {{4` pi ^{`2} `r ^{`3}} over {G`M}} ``] (단, [eqn: G``]는 상수이고 주기의 단위는 초이다.)

이 성립한다고 한다.

지구의 반지름의 길이를 [eqn: R``][eqn: \m``]라 할 때 지표면으로부터의 거리가 [eqn: {R} over {10} `][eqn: \m``]인 인공위성의 주기는 [eqn: T _{1}``]이고, 지표면으로부터의 거리가 [eqn: {a`R} over {10} ``][eqn: \m``]인 인공위성의 주기는 [eqn: T _{2} ``]이다. [eqn: T _{2} =2 sqrt {2} T _{1} ``]이 성립할 때, 상수 [eqn: a``]의 값을 구하시오. [4점]

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.