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2010학년도 3월 고1 전국연합학력평가 정답 및 해설

정 답

1	④	2	①	3	③	4	①	5	③
6	②	7	④	8	④	9	③	10	④
11	⑤	12	③	13	①	14	②	15	②
16	②	17	①	18	⑤	19	⑤	20	④
21	⑤	22	25	23	16	24	18	25	20
26	450	27	36	28	19	29	214	30	24

해 설

1. [출제의도] 근호를 포함한 식의 사칙계산을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: sqrt {(-3) ^{4}} +(-2) ^{2} `][eqn: = root81 + 4][eqn: =9+4][eqn: =13]

2. [출제의도] 다항식의 곱셈을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 2(x+1) ^{2} +(2-x) ^{2} `][eqn: =2(x^2 +2x+1)+(4-4x+x^2 )]

[eqn: =2x^2 +4x+2+4-4x+x^2]

[eqn: =3x^2 +6]

[eqn: =3 TIMES (root2 ) ^2 +6]

[eqn: =12]

[다른풀이]

[eqn: 2(x+1) ^{2} +(2-x) ^{2} `][eqn: =2( sqrt {2} +1) ^{2} +(2- sqrt {2} ) ^{2}]

[eqn: =2(2+2 sqrt {2} +1)+(4-4 sqrt {2} +2)]

[eqn: =4+4 sqrt {2} +2+4-4 sqrt {2} +2]

[eqn: =12]

3. [출제의도] 이차방정식의 해의 의미를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 2x ^{2} +mx-10=0`]의 한 근이 [eqn: 2`]이므로

[eqn: x=2`]를 대입하면

[eqn: 8 + 2m - 10 =0]

[eqn: 2m=2]

[eqn: therefore ~ m=1]

4. [출제의도] 교집합과 합집합의 연산을 활용하여 실생활 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

국내 체험활동에 참여한 학생의 집합을 [eqn: A`],

해외 체험활동에 참여한 학생의 집합을 [eqn: B`]라 하면

[eqn: n(A CUP B)=34]이고 [eqn: n(A)=31`,~n(B)=8]이므로

[eqn: n(A cup B)=n(A)+n(B)-n(A cap B)]

[eqn: 34=31+8-n(A capB)]

[eqn: therefore`n(A SMALLINTER B)=5]

따라서 국내 체험활동과 해외 체험활동에 모두 참여한 학생 수는 [eqn: 5`]명이다.

5. [출제의도] 이진법으로 나타낸 수를 십진법으로 나타낼 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: a=10000 _{(2)}=2^4 =16`],

[eqn: b=100000 _{(2)} =2 ^{5} =32`]이므로

[eqn: a=16`]과 [eqn: b=32`] 사이에 있는 [eqn: 5`]의 배수는 [eqn: 20`,~25`,~30`]의 [eqn: 3`]개이다.

6. [출제의도] 연립일차방정식을 활용하여 실생활 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

아들의 현재 나이를 [eqn: x`],

아버지의 현재 나이를 [eqn: y`]라 하면

[eqn: cases{`` x+y=67& # ``2(x+16)=y+16& }]

[eqn: cases{``x+y=67&#``2x-y=-16&}]

[eqn: 3x=51`]이므로

[eqn: x=17`,~y=50`]

따라서 아들의 현재 나이는 [eqn: 17`]살이다.

[다른풀이]

아들의 현재 나이를 [eqn: x`]라 하면

아버지의 현재 나이는 [eqn: 67-x `]이다.

[eqn: 16 `]년 후 아들의 나이는 [eqn: x+16 `]이고

[eqn: 16 `]년 후 아버지의 나이는 [eqn: 67-x+16 =83-x `]

따라서 [eqn: 83-x=2(x+16)]

[eqn: 3x=51]

[eqn: x=17`]

따라서 아들의 현재 나이는 [eqn: 17`]살이다.

7. [출제의도] 근삿값과 오차의 의미를 이해하고, 유효숫자를 말할 수 있는가를 묻는 문제이다.

근삿값 [eqn: 3.150 TIMES 10 ^{3} =3150`]이므로

ㄱ. 유효숫자는 [eqn: 3`,``1`,``5`,``0`]이므로 [eqn: 4`]개이다. (참)

ㄴ. 소수점 아래 첫째자리에서 반올림하였다. (거짓)

ㄷ. 소수점 아래 첫째자리에서 반올림하였으므로

오차의 한계는 [eqn: 0.5`]이다. (참)

따라서 ㄱ, ㄷ이 참이다.

8. [출제의도] 분수가 유한소수로 표현되는 경우의 특징을 말할 수 있는가를 묻는 문제이다.

분수가 유한소수로 나타내어지려면, 기약분수의 분모의 소인수가 2 또는 5만 있어야 한다.

[eqn: a over 42 = a over {2 times 3 times 7 }`]이므로 유한소수가 되도록 하는 [eqn: a`]는

[eqn: 3 times 7]의 배수이다.

[eqn: a over 165 = a over {3 times 5 times 11} `]이므로 유한소수가 되도록 하는 [eqn: a`]는

[eqn: 3 times 11]의 배수이다.

따라서 [eqn: a`]의 최솟값은 [eqn: 3 times 7]과 [eqn: 3 times 11]의 최소공배수인 [eqn: 3 times 7 times 11 = 231`]이다.

9. [출제의도] 삼각비를 이용하여 직각삼각형의 변의 길이를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: rm △COD`]는 직각삼각형이므로 [eqn: rm ANGLE OCD`=`38°`]이다.

ㄱ. [eqn: rm cos 52° =bar OD over bar OC = rm bar OD`] (참)

ㄴ. [eqn: rm tan 52° = bar AE over bar OA =rm bar{AE}`] (참)

ㄷ. [eqn: rm sin 38° = bar OD over bar OC =rm bar OD <bar CD <bar AC`] (거짓)

따라서 ㄱ, ㄴ이 참이다.

10. [출제의도] 일차함수 그래프의 절편과 기울기를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: rm TRIANGLE ABO`=TRIANGLE ACO+TRIANGLE BOC=`2 TRIANGLE BOC`]이므로

[eqn: rm TRIANGLE ACO`=` TRIANGLE BOC`]

[eqn: RM B(-3,~0)], [eqn: RM C(0,~3)`]이고

두 삼각형 [eqn: rm ACO`,~`BOC`]는 밑변 [eqn: rmCO]를 공유하고 넓이가 같으므로 점 [eqn: rm A]의 [eqn: x]의 좌표는 [eqn: 3]이다.

[eqn: THEREFORE~rm A(3,``6)]

또, [eqn: rm TRIANGLE ACD`= TRIANGLE ACO+ TRIANGLE AOD]

[eqn: rm =3 TRIANGLE ACO]

[eqn: rm TRIANGLE AOD`=2 TRIANGLE ACO]이므로

[eqn: rm bar{OD} =2 bar{OC}`]

[eqn: rm THEREFORE ~D`(0,`-6)`]

직선 [eqn: y= ax+b`]의 [eqn: y]절편이 [eqn: -6]이므로

[eqn: `b=-6`]

또 직선 [eqn: y=ax-6]이 점 [eqn: RM A(`3`,~6`)]을 지나므로

[eqn: 6= 3a-6] 이다.

[eqn: THEREFORE ~a=4`]

[eqn: therefore`a=4,````b=-6`]

11. [출제의도] 실수의 대소 관계를 판단할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 1<root2 <2`]이므로

[eqn: 5<4+root2 <6`], [eqn: 2<4- sqrt {2}<3`]

[eqn: < 4+ sqrt {2} > =5`]

[eqn: << 4- sqrt {2} >> =(4- sqrt {2} )-2=2- sqrt {2}]

[eqn: <4+ sqrt {2} >+ {2} over{ << 4+ sqrt {2} >>} =5+ {2} over {2- sqrt {2}}]

[eqn: =5+(2 +root 2 )]

[eqn: =7+ sqrt {2}]

[eqn: therefore`a=7,~b=1`]

[eqn: therefore`a+b=8`]

12. [출제의도] 이차함수의 그래프와 계수의 부호 사이의 관계를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. 이차함수 [eqn: y=ax^2 +bx +c`]는 아래로 볼록인 그래프

이므로 [eqn: a>0`]이다. (참)

ㄴ. 대칭축의 방정식이 [eqn: x=- {b} over {2a}(>0)`]이므로 [eqn: b<0`]이고

[eqn: y`]절편이 양수이므로 [eqn: c>0`]이다.

따라서 [eqn: bc<0`]이다. (거짓)

ㄷ. [eqn: x=-2`]일 때 함숫값은 [eqn: 4a-2b+c>0`]이다. (참)

따라서 ㄱ, ㄷ이 참이다.

13. [출제의도] 피타고라스의 정리를 활용하여 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: rm bar{BP} ` ^{2} + bar{BQ} ` ^{2} ```= LEFT ( bar{BM} ` ^{2} + bar{MP} ` ^{2} RIGHT ) + LEFT ( bar{BN} ` ^{2} + bar{NQ} ` ^{2} RIGHT )]

[eqn: rm = LEFT ( 4 ^{2} +6 ^{2} RIGHT ) + LEFT ( 8 ^{2} +3 ^{2} RIGHT )]

[eqn: =16+36+64+9]

[eqn: =125]

14. [출제의도] 기둥과 뿔의 부피를 이용하여 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

정사면체의 부피는 정육면체의 부피에서 [eqn: 4`]개의 삼각뿔의 부피를 뺀 것과 같다.

정육면체 한 변의 길이를 [eqn: a`]라 하면

(정육면체의 부피)=[eqn: a×a ×a = a^3]

(삼각뿔의 부피)=[eqn: 1 over 3 times left(1 over2 timesa timesa right) timesa = {a ^{3}} over {6}]

(정사면체의 부피)=[eqn: a^3 - 4 times a^3 over6 = a^3 over3]

따라서 정육면체와 정사면체의 부피의 비는

[eqn: a^3 : a^3 OVER3` = 3:1`]이다.

15. [출제의도] 피타고라스의 정리를 활용하여 평면도형의 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: RM △ ABP ==][eqn: RM TRIANGLE CBQ`]이므로

[eqn: rm ANGLE PBQ= ANGLE ABC=90°]이다.

또한 [eqn: RMBAR BP = BAR BQ`]이므로

삼각형 [eqn: rm PBQ`]는 직각이등변삼각형이다.

따라서 [eqn: rm ANGLE BQP=45°]이다.

[eqn: RMBAR PA :BAR PB :BAR PC = 1:2:3`]이므로

[eqn: {RMBAR PA} =a], [eqn: rm bar{PB} it =2a`], [eqn: {RMBAR PC } =3a`][eqn: (a>0)]라 하면

[eqn: rm bar{PQ} ` ^{2} = bar{PB} ` ^{2} + bar{BQ} ` ^{2} =8 it a ^{2}]에서

[eqn: {RMBAR PQ}=][eqn: 2root 2 a`]이고

[eqn: {RMBARQC }=a]이므로

[eqn: RM BAR PQ `^ 2 + BAR QC `^2 = it 8 a^2 + a ^2 = 9 a ^ 2][eqn: rm = bar{PC} ` ^{2} `]이 성립한다.

따라서 삼각형 [eqn: rm PQC]는 [eqn: rm angle PQC=90 °]인 직각삼각형이다.

[eqn: rm ANGLE APB= ANGLE CQB]

[eqn: rm = ANGLE PQC+ ANGLE PQB]

[eqn: rm =90°+45°]

[eqn: = 135 °]

[eqn: therefore ANGLE rm APB+ ANGLE PBQ=135°+ 90°=225°`]

16. [출제의도] 경우의 수를 활용하여 실생활 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

한 교시에는 [eqn: 1`]개 강좌만 수강할 수 있으므로

ⅰ) [eqn: 1`], [eqn: 2`]교시 강좌를 선택할 수 있는 경우의 수는

[eqn: 2 TIMES 3=6`](가지)

ⅱ) [eqn: 1`], [eqn: 3`]교시 강좌를 선택할 수 있는 경우의 수는

[eqn: 2 TIMES 4=8`](가지)

ⅲ) [eqn: 2`], [eqn: 3`]교시 강좌를 선택할 수 있는 경우의 수는

[eqn: 3TIMES4=12`](가지)

세 가지 경우는 동시에 일어날 수 없으므로

[eqn: 2`]개 강좌를 수강할 수 있는 모든 경우의 수는

[eqn: 6+8+12=26`](가지)이다.

17. [출제의도] 피타고라스의 정리를 활용하여 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

점 [eqn: RM D`]와 선분 [eqn: rm BC`]가 만나는 점을 점 [eqn: RM D'`]이라 하면

[eqn: rm bar AD`=`bar AD' =`5`]이다.

삼각형 [eqn: rm ABD']은 직각삼각형이므로

피타고라스의 정리에 의하여

[eqn: rm bar BD' =`root{5^2 -3^2}`=`4`]이다.

[eqn: rm bar BC = 5]이므로

[eqn: rm bar CD' =bar BC - bar BD' = `5-4=1`]

[eqn: RM BAR CE IT =x`]라 하면

[eqn: rm bar{DE} = bar D'E =it 3-x]이고 삼각형 [eqn: rm D prime CE]가 직각삼각형이므로 피타고라스의 정리에 의하여

[eqn: 1 ^2 + x^2 = (3-x)^2]

[eqn: 1=-6x+9]

[eqn: ~ x`=`4 over 3 `]

18. [출제의도] 원의 성질을 이해하고, 이를 이용하여 문제를 증명할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: rm ANGLE BMD= it x`]라고 하면

[eqn: rm ANGLE BAD][eqn: rm = ANGLE DAC][eqn: rm = ANGLE DBC=itx`]이다.

점 [eqn: rm I`]는 내심이므로 [eqn: rm ANGLE ABI= ANGLE IBC]

[eqn: rm ANGLE BID= ANGLE BAI+ ANGLE ABI`]

[eqn: rm = ANGLE DBC+ ANGLE IBC]

[eqn: =]

[eqn: RM ANGLE DBI`]

따라서 삼각형 [eqn: rm DBI`]는 이등변삼각형이다.

선분 [eqn: rm {IO} `]의 연장선이 외접원과 만나는 두 점을 각각

[eqn: rm P,~ Q`]라 하면

[eqn: rm bar{AI} CDOT bar{ID} = bar{IP} CDOT bar{IQ}]

[eqn: =RM(8+ bar{IO} )(8- bar{IO} )]

[eqn: =][eqn: - rm bar{IO} ` ^{2}]

[eqn: 64]

내심 [eqn: rm I`]에서 변 [eqn: rm AC`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H`]라고 하면

삼각형 [eqn: rm AIH`]와 [eqn: rm MDB`]는 직각삼각형이므로

[eqn: sin``x```=` rm {bar{IH}} over {bar{AI}}][eqn: `=` rm {bar{DB}} over {bar{MD}}]

[eqn: -rm overline IO `^2][eqn: = rm bar{AI} CDOT bar{ID}][eqn: =rm bar{AI} CDOT bar{BD}]

[eqn: 64]

[eqn: = LEFT ( {rm bar{IH} it} over {sinx} RIGHT ) CDOT LEFT ( rm bar{MD} `` TIMES sinx RIGHT )]

[eqn: = rm bar{IH} CDOT rm bar{MD}]

[eqn: rm bar{IH} `]는 내접원의 반지름이고,

[eqn: rm bar{MD} `]는 외접원의 지름이므로

[eqn: -rm overline IO `^2][eqn: =3 TIMES16=48`]이다.

[eqn: 64]

따라서 [eqn: rm bar{IO} =]이다.

[eqn: 4]

19. [출제의도] 원에 내접하는 사각형의 특징을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

ⅰ) 두 점 [eqn: rm E`, ~F`]가 직선 [eqn: rm BC`]에 대하여 같은 쪽에 있을 때, [eqn: rm angle BEC= angle BFC`]이면 네 점 [eqn: rm B`,~C`,~E`,~F`]는 한 원 위에 있다.

이와 같은 방법으로 그림과 같이 [eqn: 3`]개의 원을 그릴 수 있다.

ⅱ) 사각형에서 한 쌍의 대각의 크기의 합이 [eqn: 180°]이면 그 사각형은 원에 내접하므로 그림과 같이 [eqn: 3`]개의 원을 그릴 수 있다.

따라서 [eqn: 6`]개의 원을 그릴 수 있다.

20. [출제의도] 특수각의 삼각비를 이용하여 직각삼각형의 변의 길이를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

점 [eqn: rm E`]에서 [eqn: rm bar BC`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H`],

선분 [eqn: rm EH`]의 길이를 [eqn: x`]라 하면

삼각형 [eqn: rm BHE]는 직각이등변삼각형이므로

[eqn: rm bar EH`=`bar BH `=`][eqn: x`]

삼각형 [eqn: rm CHE]는 [eqn: rm ANGLE ECH=30°]인 직각삼각형이므로

[eqn: rm bar{CH} it`=root3 x =`6- it x`]

[eqn: ( sqrt {3} +1)x=6]

[eqn: therefore x= {6} over {sqrt {3} +1}][eqn: =`3( sqrt {3} -1)]

따라서 [eqn: {rm bar CE `=`}2x`=`6(root3 -1 )`]

[다른풀이]

[eqn: rm bar BE]는 [eqn: rm angle ABC]의 이등분선이므로

[eqn: rm bar AB : bar BC =bar AE : bar EC = 1: root 3 `]이다.

[eqn: rm bar AB = 2 root 3 `]이므로

[eqn: rm bar AC = 2 bar AB = 4 root 3 `]이다.

따라서 [eqn: rm bar{CE} = {sqrt {3}} over {sqrt {3} +1} TIMES bar{AC}]

[eqn: = rm {sqrt {3}} over {sqrt {3} +1} TIMES 4 sqrt {3}]

[eqn: = 6(root3 - 1 )`]

[다른 풀이]

[eqn: RM BAR AB : BAR BC =1: ROOT 3 `]이므로

[eqn: RM BAR AB = 2 ROOT 3 `]이다.

[eqn: RM BAR CH = 6- ITx]이고 [eqn: rm TRIANGLE ABC]□[eqn: rm TRIANGLE EHC`]이므로

[eqn: rm bar{AB} : barEH = barBC : barHC]

[eqn: 2 ROOT 3 :x = 6:6-x]

[eqn: 6x=12 root 3 - 2 root 3 x]

[eqn: x= {6 sqrt {3}} over {3+ sqrt {3}} =3( sqrt {3} -1)]

따라서 [eqn: {rm bar CE `=`}2x`=`6(root3 -1 )`]

21. [출제의도] 주어진 상관표를 보고 자료를 해석할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. 수학 성적과 영어 성적은 양의 상관관계에 있다.

(참)

ㄴ. 수학 성적이 [eqn: 60`]점 이상 [eqn: 80`]점 미만인 학생은

[eqn: 20`]명이므로 전체 학생의 [eqn: 50(%)`]이다. (참)

ㄷ. 영어 성적이 [eqn: 80`]점 이상 [eqn: 90`]점 미만인 학생들의

수학 성적의 평균은 [eqn: {75 TIMES2 + 85TIMES5+95TIMES3} OVER 10 =86`]이다. (참)

따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ이 참이다.

22. [출제의도] 주어진 함수의 함숫값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: x=5`]를 대입하면, [eqn: f(5)= {5} over {3} times 3 =5`]

[eqn: x=14`]를 대입하면, [eqn: f(14)= {5} over {3}times 12 =20`]

[eqn: THEREFORE f(5)+f(14)=5+20=25`]

23. [출제의도] 곱셈공식을 활용하여 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: {2010 ^{2} -2002 TIMES 2018} over {2011 ^{2} -2009 TIMES 2013}][eqn: = {2010 ^{2} - LEFT ( 2010-8 RIGHT ) TIMES LEFT ( 2010+8 RIGHT )} over {2011 ^{2} - LEFT ( 2011-2 RIGHT ) TIMES LEFT ( 2011+2 RIGHT )}]

[eqn: = {2010 ^{2} -2010 ^{2} +64} over {2011 ^{2} -2011 ^{2} +4}]

[eqn: = 64 over 4]

[eqn: =16]

[다른 풀이]

[eqn: 2010=x`,~2011=y`]라 하면

[eqn: {2010 ^{2} -2002 TIMES 2018} over {2011 ^{2} -2009 TIMES 2013}][eqn: = {x ^{2} - LEFT ( x-8 RIGHT ) TIMES LEFT ( x+8 RIGHT )} over {y ^{2} - LEFT ( y-2 RIGHT ) TIMES LEFT (y+2 RIGHT )}]

[eqn: = {x ^{2} -x ^{2} +64} over {y ^{2} -y ^{2} +4}]

[eqn: = 64 over 4]

[eqn: =16]

24. [출제의도] 문제의 뜻에 맞게 연립일차부등식을 세우고 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: cases{``4x-6 >65 &# ``3x-5<50& }]

[eqn: 4x>71``]이므로 [eqn: x > 71 over 4 `]

[eqn: 3x<55``]이므로 [eqn: x< 55over 3`]

따라서 [eqn: {71} over {4} <x< {55} over {3} `]이므로

[eqn: x=18`]

25. [출제의도] 삼각비를 활용하여 실생활 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

아파트와 상가 건물의 높이의 차는 [eqn: rm 15-6=9(m)`]이다.

[eqn: rm angle ACB = 90° `]인 직각삼각형 [eqn: rm ABC`]에 대하여

[eqn: sin 27 ° = 9 over x = 0.45`]이므로

[eqn: x= 9 over 0.45 = 20 `]

따라서 [eqn: rmA`]지점에서 [eqn: rmB`]지점까지의 직선거리는 [eqn: 20 rm (m)`]이다.

26. [출제의도] 일차방정식을 활용하여 실생활 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

실속요금제의 통화료는 분당 [eqn: 60`]원이고

알뜰요금제의 통화료는 분당 [eqn: 120`]원이다.

ⅰ) [eqn: x LEQ 100`]인 경우

실속요금제의 이용요금은 [eqn: 25000+60x`]원

알뜰요금제의 이용요금은 [eqn: 10000`]원이다.

모든 양수 [eqn: x`]에 대하여

[eqn: 25000+60x>10000`]이므로

이용요금이 같아지는 [eqn: x`]의 값이 존재하지 않는다.

ⅱ) [eqn: x>100`]인 경우

실속요금제의 이용요금은 [eqn: 25000+60x`]원

알뜰요금제의 이용요금은 [eqn: 10000+120(x-100)]원이다.

[eqn: 25000+60x = 10000+120(x-100 )]

[eqn: 60 x = 27000]

[eqn: x=450]

27. [출제의도] 이차함수의 그래프를 이해하고, 이차방정식의 해를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

두 이차함수 [eqn: y= 1 over 3 x^2 ``], [eqn: y = x^2`]에 [eqn: x=a`]를 대입하면,

[eqn: {rmP} `left( a ,~ 1 over3 a^2 right) ,~ {rmQ}`( a ,~ a^2 )`]이다.

[eqn: therefore` rm ` bar{PQ} it =a ^{2} - {1} over {3} a ^{2} = {2} over {3} a ^{2} `]

두 이차함수의 그래프는 [eqn: y`]축에 대하여 대칭이므로

[eqn: rm S it ` LEFT ( -a,~ {1} over {3} a ^{2} RIGHT )]이다.

[eqn: thereforerm ` bar{PS} it =2a`]

[eqn: rm bar PQ = BAR PS`]이므로

[eqn: 2 over 3 a^2 = 2a]

[eqn: a^2 -3a =0]

[eqn: therefore ~ a=3] 또는 [eqn: a=0`]

[eqn: a>0`]이므로 [eqn: a=3`]

따라서 정사각형 [eqn: rm~ PQRS``]의 한 변의 길이는 [eqn: 2a=6`]

이므로 정사각형의 넓이는 [eqn: 6^2 =36`]이다.

28. [출제의도] 회전체의 부피를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

주어진 도형을 직선 [eqn: rm`CD]를 축으로 하여 [eqn: 1]회전시켜 만든 도형은 다음과 같다.

[eqn: rm TRIANGLE OAD]□[eqn: rm TRIANGLE OBC`]이므로

[eqn: rm bar{OD} : bar{AD} = bar{OC} : bar{BC}]

[eqn: rm bar{OD} :2= LEFT ( bar{OD} +3 RIGHT ) :3]

[eqn: therefore][eqn: RM BAR OD =6], [eqn: RM BAR OC =9]

[eqn: V= {1} over {3} TIMES LEFT ( pi TIMES 3 ^{2} RIGHT ) TIMES 9- {1} over {3} TIMES LEFT ( pi TIMES 2 ^{2} RIGHT ) TIMES 6]

[eqn: = 27pi - 8pi]

[eqn: = 19pi]

따라서 [eqn: V OVER pi = 19`]

29. [출제의도] 여사건의 확률을 활용하여 실생활 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

적어도 한 면이 색칠되어져 있는 정육면체를 선택할 확률은 어떤 면도 색칠되지 않은 것을 선택할 사건의 여사건의 확률이다.

어떤 면도 색칠되지 않은 정육면체의 개수는 [eqn: 3 TIMES 3 TIMES 4=36`]이다. 따라서 적어도 한 면이 색칠 되어져 있는 정육면체를 선택할 확률 [eqn: q over p = 1 - 36 over 125 = 89 over125`]이다.

[eqn: 89]와 [eqn: 125]는 서로소이므로 [eqn: p+q=125+89=214`]이다.

[다른풀이]

적어도 한 면이 색칠된 정육면체의 개수는 [eqn: 5 TIMES 5+4 TIMES (4 TIMES 4)=89`]이므로 구하는 확률 [eqn: q over p = 89 over125`]이다.

[eqn: 89]와 [eqn: 125]는 서로소이므로 [eqn: p+q=125+89=214`]이다.

30. [출제의도] 할선과 접선의 길이 사이의 비례 관계를 활용하여 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

선분 [eqn: RMAB`]의 연장선을 그어 점 [eqn: RM B]가 아닌 원 [eqn: RMO`]와의 교점을 [eqn: RMC`]라 하고, 선분 [eqn: RM AO`]의 연장선과 원 [eqn: RMO`]와의 교점을 각각 [eqn: RMD`], [eqn: RME`]라 하자.

[eqn: rm bar{PT} ` ^{2} `=` bar{PB} `․` bar{PC}`]이므로

[eqn: 6 ^{2} =3(3+5+ rm bar{AC} )`]

[eqn: 36=24+3` rm bar{AC}`]

[eqn: 3` rm bar{AC} =12]

[eqn: therefore` rm bar{AC} =4]

[eqn: rm bar{AD} `= it r-2`], [eqn: rm bar{AE} `= it r+2`]

[eqn: rm bar{AB} `․` bar{AC} `= bar{AD} `․`bar{AE}`]이므로

[eqn: 5 TIMES 4=(r-2)(r+2)`]

[eqn: 20=r ^{2} -4`]

[eqn: therefore r ^{2} =24`]