(홀수형)

2010학년도 대학수학능력시험 (수리영역-가형) 정답 및 해설

1.

[eqn: 27^{1 over 3 } + log_2 `4 = (3^3 )^{1 OVER 3 } + 2log_2 2]

[eqn: =3+2 =5]

ꂼ ⑤

2.

[eqn: A=3E]이므로

[eqn: AB+2B=3EB+2B=5B = pmatrix{-5&5#5&5}]

따라서 구하려는 행렬의 모든 성분의 합은

[eqn: 5 times 2 =10]

ꂼ ①

3.

[eqn: x->3]일 때 (분모)[eqn: ->0]이므로 (분자)[eqn: ->0]이어야 한다.

[eqn: lim _{ x->3 } (rootx+a - b) =][eqn: sqrt3+a -b=0]

즉, [eqn: b=sqrt3+a]

이를 주어진 식에 대입하면

[eqn: lim from x->3 {sqrt x+a -sqrt3+a} over x-3 = lim from x->3 1 over{sqrt x+a + sqrt 3+a}]

[eqn: = 1 over {2sqrt 3+a} = 1 over 4]

[eqn: sqrt 3+a =2], [eqn: 3+a= 4]

따라서 [eqn: a=1]이므로 [eqn: b=2]

∴[eqn: a+b = 3]

ꂼ ①

4.

포물선 [eqn: y^2 =4x] 위의 점 [eqn: {rm P}(a,``b)]에서의 접선의 방정식은

[eqn: by=2(x+a)]

이므로 점 [eqn: rm Q]의 좌표는 [eqn: (-a,``0)]이다.

또한, [eqn: b^2 =4a]이므로

[eqn: {rm bar PQ} = sqrt {4a^2 + b^2 } = sqrt{4a^2 + 4a} = 4sqrt5]

[eqn: 4a^2 +4a = 80], [eqn: a^2 + a -20 =0]

[eqn: (a+5)(a-4)=0]

[eqn: therefore] [eqn: a=4] ([eqn: BECAUSE][eqn: a>0])

따라서 [eqn: b^2 =16] 이므로

[eqn: a^2 + b^2 =32]

ꂼ ②

5.

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm P]

[eqn: alpha]

[eqn: rm M]

점 [eqn: rm P]에서 직선 [eqn: rm BC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm M]이라 하면 삼수선의 정리에 의해

[eqn: rm bar AM ``⊥``rm bar BC]

[eqn: rm ∠A =90°]이므로 점 [eqn: rm M]은 선분 BC의 중점이다.

[eqn: rm bar BC =6]이므로

[eqn: rm bar AM = 1 over 2 times bar BC =3]

[eqn: rm bar PA = 4]이므로 삼각형 [eqn: rm PAM]에서

[eqn: \ BARPM = ROOT{BARPA ^2 + BARAM ^2} = ROOT{4^2 + 3^2} = 5]

ꂼ ②

6.

처리해야할 [eqn: 6]가지의 업무를 [eqn: rm A,``B,``C,``D,``E,``F]라 하면 [eqn: rm C,``D,``E,``F] [eqn: 4]가지 업무 중 [eqn: 2]가지 업무를 택하는 방법의 가지 수는

[eqn: `_4 rm C_2 = 4times3 over 2 = 6](가지)

이때, 업무 [eqn: rm C,``D]가 택해졌다고 가정할 때

[eqn: rm A,``B,``C,``D] [eqn: 4]가지 업무의 처리 순서를 정하는 방법의 가지 수는

[eqn: 4 ! = 24](가지)

이 중 업무 [eqn: rm A]가 업무 [eqn: rm B]보다 먼저 처리되는 방법의 가지 수는

[eqn: 4! over 2! = 12](가지)

따라서 구하려는 경우의 수는 곱의 법칙에 의해

[eqn: 6 times 12 =72](가지)

ꂼ ③

7.

‘여행’이라는 단어를 포함하는 사건을 [eqn: A], 광고일 사건을 [eqn: B] 라고 하자.

‘여행’이라는 단어를 포함하고, 광고일 확률	‘여행’이라는 단어를 포함하지 않고, 광고일 확률
[eqn: P(A∩B)] [eqn: =][eqn: 0.1 times 0.5 = 0.05]	[eqn: P(A^C cap B)] [eqn: =][eqn: 0.9 times 0.2 = 0.18]

∴ [eqn: P(B) = P(A INTER B)+P(A^C INTER B)]

[eqn: = 0.1 TIMES 0.5 + 0.9TIMES0.2= 0.23]

따라서 구하고자 하는 확률은

[eqn: P(A|B)= {P(A INTERB)} OVER P(B) = 0.1TIMES0.5 OVER 0.23 = 5 OVER 23]

ꂼ ①

8.

(i) [eqn: a not =0]인 경우

방정식 [eqn: ax^2 + 2(a-2)x -(a-2)=0]이 서로 다른 두 실근을 갖는 경우는 판별식 [eqn: D]가 양수이어야 하므로

[eqn: D over 4 = (a-2)^2 + a(a-2) = 2a^2 -6a +4]

[eqn: = 2( a^2 -3a +2)= 2(a-1)(a-2) >0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a<0] 또는 [eqn: 0<a<1] 또는 [eqn: a>2]

또한, 중근(한 개의 실근)을 가질 조건은

[eqn: D OVER 4 =][eqn: 2(a-1)(a-2) =0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a=1] 또는 [eqn: a=2]

또한, 실근을 갖지 않을 조건은

[eqn: D OVER 4 =][eqn: 2(a-1)(a-2) <0]

[eqn: therefore] [eqn: 1<a<2]

(ii) [eqn: a=0]인 경우

[eqn: -4x +2 =0]이므로 실수 [eqn: x]는 [eqn: x= 1 over 2]인 한 개다.

(i), (ii)에 의하여

[eqn: f(a) = cases{2 ~~~&(a<0 ``또는 `0<a<1, ``a >2)#1&(a=0,``1,``2)#0&(1<a<2)}]

이를 그래프로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: rm O]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: y]

[eqn: a]

[eqn: y=f(a)]

ㄱ.

[eqn: lim from a->0 f(a) =2], [eqn: f(0)=1]이므로 [eqn: lim from a->0 f(a) not = f(0)]

(거짓)

ㄴ. [eqn: lim from a->c+0 f(a) not= lim from a->c-0 f(a)]인 [eqn: c]는 [eqn: c=1], [eqn: c=2]이다. (참)

ㄷ. [eqn: a=0,``1,``2]에서 함수 [eqn: f(a)]가 불연속이다.

(참)

ꂼ ④

9.

확률변수 [eqn: X]를 그 공장에서 생산되는 병의 내압강도라 놓으면 [eqn: X]는 [eqn: rm N(m,``sigma^2 )]을 따른다.

[eqn: G=0.8]이면  [eqn: 0.8 = m-40 over 3sigma]이므로

[eqn: m= 40 + 2.4 sigma]이다.

임의로 추출된 한 개의 병이 불량품일 확률은 [eqn: {rm P}(X<40)]이므로

[eqn: {rm P}(X<40)&={rm P} left( Z< {40- (40+2.4 sigma)} over sigma right)]

[eqn: = {rm P}(Z< -2.4)]

[eqn: = 0.5- {rm P}(0<= Z<= 2.4)]

[eqn: =0.5- 0.4918 =0.0082]

ꂼ ③

10.

[eqn: Q_A over Q_B = {0.01` t^1.25 `w^0.25}over{0.05 `t^0.75 `w^0.30}= {t^0.5} over{5`w^0.05}]

이므로 이 식에 [eqn: t=20], [eqn: w=8]을 대입하면

[eqn: Q_A over Q_B = {20^0.5} over{5times`8^0.05} = {(4 times 5)^0.5} over {5 times 2^0.15} = 2^0.85 times 5^-0.5]

∴ [eqn: a=0.85], [eqn: b=-0.5]

따라서 [eqn: a+b = 0.35]이다.

ꂼ ②

11.

[eqn: f(x) + g(x) = 1 over f(x) + 1 over g(x)]에서

[eqn: f(x) + g(x) = f(x)+g(x) over f(x)g(x)]

[eqn: left{ f(x)+g(x) right} left{ 1- 1 over f(x)g(x) right}=0]

따라서 [eqn: f(x)=-g(x)] 또는 [eqn: f(x)g(x)=1]

(단, [eqn: f(x) not =0], [eqn: g(x) not =0])

(ⅰ) [eqn: f(x)=-g(x)]인 경우

[eqn: y=-g(x)]의 그래프는 [그림1]과 같고 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 세 점에서 만난다. 이 때, [eqn: f(2)=g(2)=0]이므로 [eqn: x=2]는 주어진 방정식의 무연근이다. 따라서 이 경우의 실근의 개수는 [eqn: 2](개)이다.

[그림1]

[eqn: rm O]

[eqn: 2]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: y=-g(x)]

[eqn: 1]

(ⅱ) [eqn: f(x)g(x)=1]인 경우 (즉, [eqn: f(x) = 1 over g(x)]인 경우)

함수 [eqn: g(x)]의 기울기를 [eqn: m]([eqn: m<0])이라 하면

[eqn: g(x)= m(x-2)]이고 [eqn: y]절편은 [eqn: -2m]이며 주어진 그래프에서 [eqn: -2m>1]이다.

따라서 [eqn: y= 1 over g(x) = 1 over m(x-2)]이고 [eqn: y]절편은 [eqn: - 1 over 2m]이며 [eqn: 0< - 1 over 2m <1]이다.

그러므로 [eqn: y= 1 over g(x)]의 그래프는 [그림2]와 같다. 따라서 이 경우의 실근의 개수는 [eqn: 2](개)이다.

[그림2]

[eqn: rm O]

[eqn: 2]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: y= 1 over g(x)]

[eqn: 1]

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의해 주어진 방정식의 실근의 개수는 [eqn: 4]이다.

ꂼ ④

12.

[eqn: sum from k=0 to m+1 {`_m+1 {rm C}_k} over{`_m+5 {rm C}_k} = {`_m+1 {rm C}_0} over {`_m+5 {rm C}_0} + sum from k=1 to m+1 {`_m+1 {rm C}_k} over{`_m+5 {rm C}_k}]

[eqn: = 1 + sum from k=0 to m {`_m+1 {rm C}_k+1} over{`_m+5 {rm C}_k+1}]

따라서 (가)에 들어갈 수는 [eqn: 1]이다.

[eqn: `_l+1 {rm C}_k+1 = {(l+1)!} over{(k+1)! times (l-k)!}]

[eqn: = l+1 over k+1 times l! over {k! times (l-k)!}]

[eqn: = l+1 over k+1 times `_l {rm C}_k]

따라서 (나)에 들어갈 식은 [eqn: l+1 over k+1]이다.

[eqn: sum _{k=0} ^{m+1} {` _{m+1} {rm C} it _{k}} over {` _{m+5} {rm C} it _{k}} & =1+ sum _{k=0} ^{m} {` _{m+1} {rm C} it _{k+1}} over {` _{m+5} {rm C} it _{k+1}}]

[eqn: =1+ sum _{k=0} ^{m} {{m+1} over {k+1} TIMES ` _{m} {rm C} it _{k}} over {{m+5} over {k+1} TIMES ` _{m+4} {rm C} it _{k}}#]

[eqn: =1+ m+1 over m+5 times sum from k=0 to m {`_m {rm C}_k} over{`_m+4 {rm C}_k}]

[eqn: = 1+ m+1 over m+5 times m+5 over 5 = m+6 over 5]

따라서 (다)에 들어갈 식은 [eqn: m+1 over m+5]이다.

ꂼ ②

13.

[eqn: B= pmatrix{1```&0#1```&1}]이므로 [eqn: B^-1 = pmatrix{```````1```&0#-1```&1}]이다.

[eqn: (BA)^2 = pmatrix{1```&1#1```&2}]이므로

[eqn: BABA= pmatrix{1```&1#1```&2}]

이 등식의 왼쪽에 [eqn: B^-1]을 곱하면

[eqn: B^-1 BABA= pmatrix{1&0#-1&1} pmatrix{1&1#1&2}]

[eqn: ABA = PMATRIX{1&1#0&1}]

∴ [eqn: (AB)^2 = (ABA)B = PMATRIX{1&1#0&1} PMATRIX{1&0#1&1}][eqn: = pmatrix{2```&1#1```&1}]

ꂼ ③

14.

ㄱ. [eqn: rm vec AB + vec AE = 2 vec AM]이므로 [eqn: rm vec AB + vec AE]와 [eqn: rm vec AM]은 평행하다. (참)

ㄴ. (참)

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: rm E]

[eqn: theta]

[eqn: pi-theta]

[eqn: rm ∠B=∠E=90°]이므로 [eqn: rm vec AB]와 [eqn: rm vec AE]가 이루는 각을 [eqn: theta]라 하면 [eqn: rm vec BC]와 [eqn: rm vec ED]가 이루는 각은 [eqn: pi - theta]이다.

따라서

[eqn: rm vec AB cdot vec AE = | vec AB ||vec AE | cos theta]

[eqn: rm vec BC cdot vec ED = | vec BC || vec ED | cos (pi- theta) = rm - | vec BC || vec ED | cos theta]

이때, [eqn: rm bar AB = bar BC], [eqn: rm bar AE = bar ED]이므로

[eqn: rm vec AB cdot vec AE = - vec BC cdot vec ED] (참)

ㄷ. [eqn: rm |vec BC + vec ED |^2 &= | vec BC |^2 + 2 vec BC cdot vec ED + | vec ED |^2]

[eqn: rm |vec BE |^2 = |vec AE - vec AB |^2 = |vec AE |^2 - 2 vec AE cdot vec AB + | vec AB |^2] 이때, [eqn: rm bar AB = bar BC], [eqn: rm bar AE = bar ED]이고 ‘ㄴ’에 의해 [eqn: rm vec AB cdot vec AE = - vec BC cdot vec ED]이 성립하므로

[eqn: rm |vec BC + vec ED |^2 = | vec BE |^2]

따라서 [eqn: rm |vec BC + vec ED | = | vec BE |]이 성립한다. (참)

ꂼ ⑤

15.

원 [eqn: rm O_2]의 반지름의 길이를 [eqn: r]라 하면

[eqn: rm bar {A_1 C_2} + bar{A_2 C_1 }-bar{A_2 C_2}=bar{A_1 C_1}]

이므로

[eqn: 3sqrt2 + 3sqrt2 - 2r =6]

∴ [eqn: r=3sqrt2 -3]

따라서 반복되어지는 도형의 닮음비는

[eqn: 3``:``(3sqrt2 -3) = 1``:``(sqrt2 -1)]

이므로 넓이의 비는

[eqn: 1``:``(sqrt2 -1 )^2 = 1``:``(3-2sqrt2 )]

그러므로 수열 [eqn: left{S_n +T_n right}]은 공비가 [eqn: {3-2sqrt2}]인 등비수열이다. 이 때 첫째항 [eqn: S_1 + T_1]의 값은

[eqn: pi cdot 3^2 - 2 times left{ 1 over 2 cdot (3sqrt2 )^2 cdot pi over 2 - 1 over 2 cdot (3sqrt2 )^2 right}]

[eqn: =18]

이므로

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } (S _{n} +T _{n} )= {18} over {1-{ (3-2 sqrt 2 )}}]

[eqn: = 18 over{2sqrt2 -2}]

[eqn: = 9 over {sqrt2 -1} = 9(sqrt2 +1 )]

ꂼ ④

16.

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y=log_2 `x]

[eqn: y=-log_2 `x]

[eqn: 1]

[eqn: b_n]

[eqn: a_n]

[eqn: 1 over 4]([eqn: n=2]일 때)

[eqn: n]

[eqn: n]

[eqn: y=-x+n]

ㄱ. [eqn: 2=-log_2 `x] 을 만족하는 [eqn: x]의 값은 [eqn: 1 over 4]이므로 [eqn: a_2 > 1 over 4]이다. (거짓)

ㄴ. 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 0<a_n+1 < a_n]이므로 [eqn: 0< a_n+1 over a_n <1]이다. (참)

ㄷ. [eqn: b_n <n]이므로 [eqn: b_n over n <1]이다.

또, [eqn: log_2 `b_n = -b_n +n]이므로

[eqn: 0=b_n -n + log_2 `b_n < b_n -n + log_2 `n]

따라서 [eqn: n-log_2 `n < b_n]

양변을 [eqn: n]으로 나누면

[eqn: 1- {log_2 `n } over n < b_n over n]

따라서 [eqn: 1- {log_2 `n } over n < b_n over n <1]이 성립한다. (참)

ꂼ ④

17.

ㄱ. 사차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 주기가 [eqn: 2]인 주기함수 [eqn: g(x)]가 실수전체의 집합에서 미분가능하기 위한 필요충분조건은

[eqn: f(1)=f(-1)], [eqn: f'(1)=f'(-1)] (참)

ㄴ.  [eqn: f(x)=x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d]라 하면

[eqn: f(1) = 1+ a+b+c+d]

[eqn: f(-1) = 1-a+b-c+d]

[eqn: f(1)=f(-1)]이므로 [eqn: a+c=0],

[eqn: therefore] [eqn: c=-a]

[eqn: f'(x)= 4x^3 + 3ax^2 + 2bx + c]이고

[eqn: f'(1)= 4+3a +2b +c]

[eqn: f'(-1)=-4 +3a -2b +c]

[eqn: f'(1)=f'(-1)]이므로 [eqn: 4+2b=0]

∴ [eqn: b=-2]

즉, [eqn: f(x)= x^4 + ax^3 -2x^2 -ax +d]이고

[eqn: f'(x)= 4x^3 + 3ax^2 -4x -a]이다.

[eqn: f'(0)=-a], [eqn: f'(1)= 4+3a-4-a=2a]이므로

[eqn: f'(0)f'(1)= -2a^2 <=0] (거짓)

ㄷ. [eqn: f'(-1)=f'(1)=2a] 이고 [eqn: f'(1)>0]이므로 [eqn: a>0]

[eqn: f'(0)=-a<0]이므로 [eqn: y=f'(x)]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: -1]

[eqn: 1]

[eqn: 2a]

[eqn: -a]

[eqn: y=f'(x)= 4x^3 + 3ax^2 -4x -a]

따라서 구간 [eqn: (-inf ,``-1)]에 [eqn: f'(c)=0]인 [eqn: c]가 존재한다. (참)

ꂼ ③

18.

[eqn: f'(x) = 2x(x^2 +x-2)+(x^2 +1)(2x+1)]이므로

[eqn: f'(2)=4 cdot 4 + 5 cdot 5 = 16 + 25 =41]

ꂼ [eqn: 41]

19.

[eqn: x^2 -7x =t]라 하면

[eqn: sqrt t+15 = t+9]

양변을 제곱하면

[eqn: t+15 = t^2 +18t +81]

[eqn: t^2 +17t + 66 =0], [eqn: (t+11)(t+6)=0]

[eqn: therefore] [eqn: t=-6] 또는 [eqn: t=-11]

이때, [eqn: t=-11]은 무리방정식의 무연근이므로

[eqn: x^2 -7x =-6]

즉, [eqn: x^2 -7x +6 =0], [eqn: (x-1)(x-6)=0] 에서

[eqn: x=1] 또는 [eqn: x=6]

따라서 주어진 방정식의 모든 실근의 곱은 [eqn: 6]이다.

ꂼ [eqn: 6]

다른 풀이

[eqn: root {x^2 -7x +15 }=t] ([eqn: t>=0])로 놓으면 주어진 방정식은

[eqn: t = t^2 -6], [eqn: t^2 -t-6=(t-3)(t+2)=0]

∴ [eqn: t=3]

이때, [eqn: root {x^2 -7x +15 }=3]이므로

[eqn: {x^2 -7x +15 }=9], [eqn: x^2 -7x+6=(x-1)(x-6)=0]

∴ [eqn: x=1] 또는 [eqn: x=6]

따라서 구하는 방정식의 모든 실근의 곱은 [eqn: 6]이다.

20.

주어진 직선의 방향벡터 [eqn: vec u = (2,``3,``1)]이 구하고자 하는 평면의 법선벡터이고 점 [eqn: (1, -5, 2)]을 지나므로 평면의 방정식은

[eqn: 2 (x-1) + 3 (y+5) + (z-2)=0]

따라서 [eqn: 2x+3y+z+11=0] 이므로

[eqn: a=3], [eqn: b=1], [eqn: c=11]

∴ [eqn: a+b+c = 3+1+11=15]

ꂼ [eqn: 15]

21.

[eqn: A_1 = 1 over n f left( 1 over n right)], [eqn: A_n = 1 over n f(1)]이므로

[eqn: A_1 + A_n &= 1 over n left{ f left( 1 over n right) + f(1) right}]

[eqn: = 1 over n left( 1 over n^2 + a over n + b + 1 +a+b right)]

[eqn: = 1 over n^3 left{ 1 + an + (1+a+2b )n^2 right}]

[eqn: = {7n^2 +1} over n^3]

따라서 [eqn: a=0]이고 [eqn: 1+a+2b = 7] 즉, [eqn: b=3]이다.

∴ [eqn: f(x) = x^2 +3]

[eqn: lim from n->inf sum from k=1 to n 8k over n A_k &= 8lim from n->inf sum from k=1 to n k over n times 1 over n times f left ( k over n right)]

[eqn: = 8 int from 0 to 1 x f(x) ``dx]

[eqn: = 8 int from 0 to 1 x(x^2 + 3) ``dx]

[eqn: = 8left( 1 over 4 + 3 over 2 right) = 2 + 12 =14]

ꂼ [eqn: 14]

22.

[eqn: {rm A}_n (x_n ,``0)]이므로

[eqn: {rm P}_n left( x_n ,`` 1 over x_n right)], [eqn: {rm Q}_n left( 1 over x_n ,`` x_n right)],

[eqn: {rm R}_n left( 1 over x_n ,`` 0 right)], [eqn: {rm A}_n+1 left( 1 over x_n +1,`` 0 right)]

이다.

따라서 [eqn: x_n+1 = 1 over x_n +1], [eqn: x_1 =2]이므로

[eqn: x_2 = 1 over x_1 +1 = 1 over 2 +1 = 3 over 2]

[eqn: x_3 = 1 over x_2 +1 = 2 over 3 +1 = 5 over 3]

[eqn: x_4 = 1 over x_3 +1 = 3 over5 +1 = 8 over 5]

[eqn: x_5 = 1 over x_4 +1 = 5 over 8 +1 = 13 over 8]

[eqn: THEREFORE] [eqn: p+q = 8 + 13 =21]

ꂼ [eqn: 21]

23.

등비수열 [eqn: left{ a_n right}]의 첫째항을 [eqn: a], 공비를 [eqn: r]라 하면

[eqn: a_2 = ar = 1 over 2] [eqn: cdots cdots ㉠]

[eqn: a_5 = ar^4 = 1 over 6] [eqn: cdots cdots ㉡]

㉠,㉡에서  [eqn: r^3 = 1 over 3]

㉠의 양변을 세제곱하면

[eqn: (ar)^3 = 1 over 8]

따라서 [eqn: a^3 times 1 over 3 = 1 over 8] 이므로

[eqn: a^3 = 3 over 8]

[eqn: a_n a_n+1 a_n+2 = ar^n-1 ar^n ar^n+1 = a^3 r^3n = 3 over 8 cdotleft( 1 over 3 right)^n]

따라서 수열 [eqn: left{ a_n a_n+1 a_n+2 right}]은 첫째항이 [eqn: 3 over 8 times 1 over 3 = 1 over 8]이고 공비가 [eqn: 1 over 3]인 등비수열이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: sum from n=1 to inf a_n a_n+1 a_n+2 = {1 over 8} over {1- 1 over 3} = {1 over 8 }over {2 over 3 } = 3 over 16]

∴ [eqn: p+q = 16 +3 =19]

ꂼ [eqn: 19]

다른 풀이

공비가 [eqn: r]인 등비수열 {[eqn: a_n]}에 대하여

[eqn: (a_n+1 `)^2 = a_n a_n+2]

이므로 수열 {[eqn: a_n a_n+1 a_n+2]} 즉, {[eqn: (a_n+1 )`^3]}은 첫째항이 [eqn: a_2 ^3], 공비가 [eqn: r^3]인 등비수열이다.

∴ [eqn: sum from n=1 to inf a_n a_n+1 a_n+2]

[eqn: = {a_2 ^3 } over {1 - r^3 }][eqn: = {1 over 8} over {1- 1 over 3} = {1 over 8 }over {2 over 3 } = 3 over 16]

24.

[eqn: f(x)=x^3 -3x -1]에서 [eqn: f'(x)= 3x^2 -3]

따라서 [eqn: f'(x)=0]이 되는 [eqn: x]의 값은 [eqn: +-1]이다.

이때, [eqn: f(1)= -3], [eqn: f(-1)=1]이므로 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 다음과 같다.

[그림1]

[eqn: 1]

[eqn: 1]

[eqn: -1]

[eqn: -1]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: -3]

따라서 함수 [eqn: y=|`f(x)`|]의 그래프를 그려보면 다음과 같다.

[그림2]

[eqn: 1]

[eqn: 1]

[eqn: -1]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y=|`f(x)`|]

[eqn: 3]

따라서 [eqn: -1<= x<= t]에서 [eqn: |f(x)|]의 최댓값 [eqn: g(t)]는 구간 [eqn: [-1, 1]]에서 다음과 같이 나타낼 수 있다.

[eqn: g(t) = cases{~~~~~~1~~~~~(-1<= t<=0 ) #-t^3 + 3t+1 ~~(0<=t<=1)}]

따라서 함수 [eqn: y=g(t)]의 그래프는 다음 그림과 같다.

[그림3]

[eqn: 1]

[eqn: 1]

[eqn: -1]

[eqn: t]

[eqn: y]

[eqn: y=g(t)]

[eqn: 3]

[eqn: rm O]

[eqn: therefore][eqn: int from -1 to 1 g(t) ``dt = int_-1^0 g(t)dt + int_0^1 (-t^3 + 3t+1)dt]

[eqn: = int_-1^0 1 dt + int_0^1 (-t^3 + 3t+1 )dt]

[eqn: = [ t] _-1^0 + [ - 1 over 4 t^4 + 3over2 t^2 +t ]_0^1]

[eqn: = 1 + (- 1 over 4 + 3 over 2 + 1 ) = 13 over 4]

[eqn: therefore] [eqn: p+q = 4+13 =17]

ꂼ [eqn: 17]

25.

[eqn: x]축을 포함하는 평면 [eqn: alpha]가 구 [eqn: x^2 + y^2 + z^2 =1] 와 만나서 생기는 단면은 반지름의 길이가 1인 원이고 이 원을 [eqn: xy]평면 위로 정사영한 도형은 타원이며 이 타원의 장축의 길이는 구의 지름의 길이와 같고, 단축의 길이는 [eqn: 2cos theta]이다.

따라서 정사영한 도형의 방정식은

[eqn: x^2 + y^2 over{ cos^2 theta} =1]

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: 1]

[eqn: 1]

[eqn: 0<theta < pi over 2]일 때

이 타원이 영역 [eqn: left{ (x,``y,``0)`|`x+3y-2<=0 right}]에 포함되게 하려면 [eqn: 0<theta < pi over 2]인 [eqn: theta]중 가장 작은 [eqn: theta]가 존재하고, 이 때 [eqn: cos theta]는 최댓값을 갖게 된다.

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 2 over 3]

[eqn: cos theta]의 값이 최대가 될 때는 타원 [eqn: x^2 + y^2 over { cos^2 theta} =1]과 직선 [eqn: x+ 3y-2=0]이 그림과 같이 접하는 경우이다. 즉, 기울기가 [eqn: - 1 over 3]인 타원의 접선의 방정식은

[eqn: y= - 1 over 3 x +-sqrt{1^2 cdot left( - 1 over 3right)^2 + cos^2 theta}]

이고 이 접선의 [eqn: y]절편이 [eqn: 2 over 3]이므로

[eqn: sqrt{1 over 9 + cos^2 theta }= 2 over 3]

따라서 [eqn: cos^2 theta = 1 over 3 = M^2] 이므로

[eqn: 60M^2 = 60 times 1 over 3 = 20]

ꂼ [eqn: 20`]

미분과 적분

26.

[eqn: tantheta = -sqrt2]이고 [eqn: pi over 2 < theta < pi]이므로

[eqn: sin theta = sqrt2 over sqrt3]

또한,

[eqn: tan 2 theta = {2 tan theta} over {1-tan^2 theta} = {-2sqrt2} over {1-2} = 2sqrt2]

이므로

[eqn: sin theta tan 2 theta = sqrt2 over sqrt3 times 2sqrt2 = 4 over sqrt3 = {4sqrt3} over 3]

ꂼ ③

27.

곡선 [eqn: y=e^x] 위의 점 [eqn: (1,``e)]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y-e = e(x-1)] 즉, [eqn: y=ex]이다.

이 직선이 [eqn: y=2sqrt {x-k}]와 접하므로

[eqn: ex = 2sqrt{x-k}], [eqn: e^2 x^2 = 4(x-k)]

[eqn: e^2 x^2 - 4x + 4k=0]……㉠

에서 ㉠이 중근을 갖는다.

[eqn: D over 4 = 4- e^2 cdot 4k =0]

∴ [eqn: k= 1 over e^2]

ꂼ ②

28.

[eqn: rm ∠PAO = theta]이므로 [eqn: rm ∠POQ = 2 theta]이다.

[eqn: rm △POQ]에서

[eqn: tan 2theta = {{rm bar PQ}} over {1}={rm bar PQ}]

[eqn: cos 2theta = {1} over {{rm bar OQ}}]에서 [eqn: {rm bar OQ} = 1 over {cos 2theta}]

따라서

[eqn: lim from {theta-> pi over 4 -0} {rm bar PQ - bar OQ} over{theta - pi over 4}= lim from {theta-> pi over 4 -0} {tan 2theta - 1 over {cos 2theta}} over{theta- pi over 4}]

[eqn: = lim from {theta-> pi over 4 -0} {sin 2theta -1} over{left(theta - pi over 4 right) cos 2theta}]

[eqn: theta - pi over 4 =t]라 하면

[eqn: sin 2 theta = sin 2 left( pi over 4 +t right) = sin left( pi over 2 + 2 t right) = cos 2t]

[eqn: cos 2 theta = cos 2 left( pi over 4 + t right) = cos left( pi over 2 + 2t right) = - sin 2t]

이므로

[eqn: lim from {theta-> pi over 4 -0} {rm bar PQ - bar OQ} over{theta - pi over 4}&= lim from t->-0 {cos2t -1} over{-t sin 2t}]

[eqn: = lim from t->-0 {cos^2 2t -1} over{-t sin 2t ( cos 2t +1 )}]

[eqn: = lim from t->-0 {-sin ^2 2t} over {-t sin 2t ( cos 2t +1 )}]

[eqn: = lim from t->-0 {sin 2t}over {2t times 1 over 2 times (cos 2t +1 )}=1]

ꂼ ④

29.

ㄱ.[eqn: int from 0 to 1 left{ f'(x) g(1-x)-g'(x)f(1-x) right} `dx =k]

에서 [eqn: 1-x =t]라 하면

[eqn: int from 1 to 0 left{ f'(1-t) g(t) - g'(1-t)f(t) right}`(-1)dt =k]

즉, [eqn: int from 0 to 1 left{ f'(1-x)g(x) - g'(1-x)f(x) right} `dx =k]

∴[eqn: int from 0 to 1 left{ f(x) g'(1-x) - g(x) f'(1-x) right} `dx =-k] (참)

ㄴ. [eqn: left{ f(x) g(1-x) right}']

[eqn: =f'(x)g(1-x)-f(x)g'(1-x)]

이므로 양변에 정적분을 취하면

[eqn: left[ f(x) g(1-x)right]_0^1][eqn: = int from 0 to 1 f'(x)g(1-x)`dx - int from 0 to 1 f(x) g'(1-x) `dx] [eqn: cdots cdots㉠]

이때, [eqn: int from 0 to 1 f(x) g'(1-x) `dx]에서 [eqn: 1-x =t]라 하면

[eqn: int from 0 to 1 f(x) g'(1-x) `dx= int from 1 to 0 f(1-t)g'(t) (-1) `dt][eqn: = int from 0 to 1 g'(x) f(1-x) `dx]

이므로 ㉠의 식은

[eqn: left[ f(x) g(1-x)right]_0^1}][eqn: = int from 0 to 1 f'(x)g(1-x)`dx - int from 0 to 1 g'(x)f(1-x) `dx]

[eqn: = int from 0 to 1 left{ f'(x) g(1-x)-g'(x)f(1-x) right} dx][eqn: =k]

[eqn: therefore] [eqn: k=left[ f(x) g(1-x)right]_0^1 = f(1) g(0) -f(0)g(1)]

따라서 [eqn: f(0)=f(1),~g(0)=g(1)]이면

[eqn: k= f(1) g(0) -f(0)g(1) =0] (참)

ㄷ. [eqn: f(x) = ln (1+x^4 )], [eqn: g(x) = sin pi x]이면

[eqn: f(0)=ln 1 =0], [eqn: g(0)=sin 0 =0]이므로

[eqn: k= f(1) g(0) -f(0)g(1)][eqn: =0] (참)

ꂼ ⑤

30.

점 [eqn: rm P]가 [eqn: t=0]에서 [eqn: t= 2pi]까지 움직인 거리는

[eqn: int from 0 to 2pi sqrt{left( dx over dt right)^2 + left( dy over dt right)^2} `dt &]

[eqn: = int from 0 to 2pi sqrt{left{4(-sin t + cost ) right}^2 + (-2sin 2t )^2}`dt]

[eqn: = int from 0 to 2pi sqrt{16(1-sin2t) + 4 sin^2 2t}`dt]

[eqn: = 2 int from 0 to 2pi sqrt{4(1-sin2t)+sin^2 2t}`dt]

[eqn: = 2 int from 0 to 2pi sqrt{(2-sin 2t )^2}`dt]

[eqn: = 2 int from 0 to 2pi |`2-sin 2t `|`dt]

[eqn: = 2 int from 0 to 2pi (2-sin 2t) `dt]

[eqn: = 2 left[ 2t + 1 over 2 {rm cos} 2t right]_0^2pi = 2 times 4 pi = 8pi]

[eqn: a=8]이므로 [eqn: a^2 =64]이다.

ꂼ [eqn: 64]

확률과 통계

26.

[eqn: x]를 제외한 [eqn: 8]개의 자료를 크기순으로 나열하면 다음과 같다.

[eqn: 2,````7,````8,````10,````17,````20,````25,````28]

따라서

[eqn: x<=10]이면 중앙값은 [eqn: 10]

[eqn: 10<=x<=17]이면 중앙값은 [eqn: x]

[eqn: x>=17]이면 중앙값은 [eqn: 17]

그러므로 중앙값을 나타내는 함수의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: 10]

[eqn: 17]

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: 10]

[eqn: 17]

중앙값

ꂼ ③

27.

한 모둠에서 [eqn: 2]명을 택할 때 [eqn: 2]명 모두 남학생일 확률은 [eqn: {`_3 rm C_2} over{`_5 rm C_2}= 3 over 10]이므로

확률변수 [eqn: X]는 이항분포 [eqn: rm B left(10,`` 3 over 10 right)]을 따른다.

따라서 [eqn: X]의 평균 [eqn: E(X)]는

[eqn: E(X)= 10 times 3 over 10 =3]

ꂼ ④

28.

[eqn: rm A,``B,``C] 세 코스에서 받은 쿠폰의 수를 순서쌍으로 나타내면

[eqn: (1,``1,``2)], [eqn: (1,``2,``1)], [eqn: (2,``1,``1)]

각 경우의 확률은 각각

[eqn: 2 over 3 times 1 over 2 times 1 over 3], [eqn: 2 over 3 times 1 over 3 times 4 over 9], [eqn: 1 over 3 times 1 over 2 times 4 over 9]

이므로 구하려는 확률은

[eqn: { 2 over 3 times 1 over 3 times 4 over 9} over { left(2 over 3 times 1 over 2 times 1 over 3 right) + left(2 over 3 times 1 over 3 times 4 over 9 right) + left(1 over 3 times 1 over 2 times 4 over 9right) }]

[eqn: = {8 over 81} over{ 1 over 9 + 8 over 81 + 2 over 27} = 8 over 23]

ꂼ ②

29.

확률변수 [eqn: X]를 동물 [eqn: rm A]이 이 부위의 길이라 하면 [eqn: X]는 [eqn: rm N left( 10, `` left( 2 over 5 right)^2 right)]을 따르고,

확률변수 [eqn: Y]를 동물 [eqn: rm B]이 이 부위의 길이라 하면 [eqn: Y]는 [eqn: rm N left( 12, `` left( 3 over 5 right)^2 right)]을 따른다.

동물 [eqn: rm A]의 화석을 동물 [eqn: rm A]의 화석으로 판단할 확률은

[eqn: {rm P}(X<d) = {rm P} left( Z< d-10 over {2 over 5} right)]

이고 동물 [eqn: rm B]의 화석을 동물 [eqn: rm B]의 화석으로 판단할 확률은

[eqn: {rm P}(Y >=d) = {rm P} left( Z>= d-12 over {3 over 5} right)]

이다. 따라서 두 확률이 같으려면

[eqn: d-10 over {2 over 5 } = - d-12 over { 3 over 5}]

[eqn: 3d-30 =-2d +24] 즉, [eqn: 5d = 54]

∴ [eqn: d= 54 over 5 = 10.8]

ꂼ ⑤

30.

도시 [eqn: rm A]에서 고속버스를 택한 비율은

[eqn: hat p = 20 over 100 = 1 over 5]

따라서 비율에 대한 신뢰도 [eqn: 95%]의 신뢰구간은

[eqn: left[1 over 5 - 1.96 sqrt{{1 over 5 times 4 over 5} over 100}, ``1 over 5 +1.96 sqrt{{1 over 5 times 4 over 5} over 100} ``right]]

∴ [eqn: b-a over 2 = 1.96 sqrt{{ 1 over 5 times 4 over 5 } over 100}=1.96 times 2 over 50 = 1.96 over 25]

따라서 신되도 95%인 신뢰구간의 최대 허용 표본 오차는 [eqn: 1.96 sqrt{ 1 over 4n }]이므로

[eqn: 1.96 sqrt{ 1 over 4n } <= 1.96 over 25] 즉, [eqn: 4n >= 25^2 =625]

[eqn: n>= 625 over 4 = 156.25]

이므로 자연수 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: 157]이다.

ꂼ [eqn: 157]

이산수학

26.

[eqn: a_3 = 2a_2 + a_1 = 2 cdot 5 + 2 =12]

[eqn: a_4 = 2a_3 + a_2 = 2 cdot 12 + 5 = 29]

[eqn: a_5 = 2 a_4 + a_3 = 2 cdot 29 + 12 = 70]

ꂼ ①

27.

같은 종류의 사탕 [eqn: 5]개를 [eqn: 3]명의 아이에게 [eqn: 1]개 이상씩 나누어 주는 방법의 가지수는

[eqn: x+y+z=2] ([eqn: x,``y,``z]는 음이 아닌 정수)

의 해의 개수와 같으므로

[eqn: `_3+2-1 C_2 =6](가지)

이를 순서쌍으로 나타내면

[eqn: (1,``1,``3)], [eqn: (1,``3,``1)], [eqn: (1,``2,``2)], [eqn: (2,``1,``2)], [eqn: (2,``2,``1)], [eqn: (3,``1,``1)]이다.

각 경우에서 [eqn: 1]개의 사탕을 받은 아이에게만 초콜릿 [eqn: 5]개를 [eqn: 1]개 이상씩 나누어 주는 경우의 수는 [eqn: (1,``1,``3)]의 경우 [eqn: a+b =3] ([eqn: a,``b]는 음이 아닌 정수)의 해의 개수와 같으므로

[eqn: `_2+3-1 C_3 =4](가지)

[eqn: (1,``2,``2)]의 경우는 [eqn: 1](가지)이므로

따라서 구하려는 가지수는

[eqn: 4+4+1+1+1+4=15](가지)

ꂼ ⑤

28.

②

[eqn: rm S]

①

[eqn: rm S]

③

[eqn: rm S]

④

[eqn: rm S]

⑤

[eqn: rm S]

각 통로를 변으로 하고 각 통로가 만나는 점을 꼭짓점으로 하는 그래프를 그리면 위와 같다.

한붓그리기가 가능한 그래프는 ①, ③, ④이고 [eqn: rm S]에서 시작하여 한 번 지나간 통로는 다시 가지 않고 모든 통로를 지나서 다시 [eqn: rm S]로 돌아 올 수 있는 그래프는 [eqn: rm S]에서 시작하는 오일러 회로가 존재하는 그래프이다.

따라서 모든 꼭짓점의 차수가 짝수인 그래프를 찾으면 되므로 ③이다.

ꂼ ③

29.

[그림1]

[eqn: a]

[eqn: b]

[eqn: c]

[eqn: d]

[eqn: e]

[eqn: f]

[그림2]

[eqn: a]

[eqn: b]

[eqn: c]

[eqn: d]

[eqn: e]

[eqn: f]

ㄱ. [그림1]에서 회로 [eqn: aefca] 내부에 꼭짓점 [eqn: b]가, 외부에 꼭짓점 [eqn: d]가 있으므로 두 꼭짓점 [eqn: b], [eqn: d]의 위치를 바꾸거나 변 [eqn: bd]를 구부리거나 늘리거나 줄여서 변이 꼭짓점에서만 만나게 평면 위에 다시 그릴 수 없으므로 평면그래프가 아니다. (거짓)

ㄴ. [그림1]에서 회로 [eqn: aefcbda]는 모든 꼭짓점을 오직 한 번씩만 지나며 시작점으로 돌아오는 회로이므로  해밀턴회로이다. (참)

ㄷ. [그림2]는 주어진 그래프를 적절하게 색칠한 것이고 [eqn: 2]가지 색이면 충분하다. (참)

ꂼ ⑤

30.

품목	설치용량 ([eqn: rm MB])	가치 (점)	설치용량당 가치	가치의 순위
[eqn: rm A]	[eqn: 40]	[eqn: 3]	[eqn: 3 over 40 = 12 over 160]	[eqn: 7]
[eqn: rm B]	[eqn: 25]	[eqn: 4]	[eqn: 4 over 25 = 12 over 75]	[eqn: 3]
[eqn: rm C]	[eqn: 25]	[eqn: 2]	[eqn: 2 over 25 = 12 over 150]	[eqn: 6]
[eqn: rm D]	[eqn: 24]	[eqn: 3]	[eqn: 3 over 24 = 12 over 96]	[eqn: 4]
[eqn: rm E]	[eqn: 20]	[eqn: 2]	[eqn: 2 over 20 = 12 over 120]	[eqn: 5]
[eqn: rm F]	[eqn: 15]	[eqn: 3]	[eqn: 3 over 15 = 12 over 60]	[eqn: 2]
[eqn: rm G]	[eqn: 5]	[eqn: 4]	[eqn: 4 over 5 = 12 over 15]	[eqn: 1]

표에서 설치용량당 가치가 높은 것부터 차례로 설치하여 누적 가치가 [eqn: 15]점 이상 되려면 최소한

[eqn: 5+15+25+24+20 =89]([eqn: rm MB])

의 용량이 필요하다.

ꂼ 89