	수학 영역(가형)

	수학 영역(가형)

	2009학년도 11월 고2 전국연합학력평가 문제지
	수리 영역(나형)

5지선다형

[eqn: root {3} of {2} TIMES 2 ^{-2} TIMES 2 ^{{2} over {3}}]의 값은? [2점]

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: sqrt {2}]	③  [eqn: 2]

④  [eqn: 2 sqrt {2}]	⑤  [eqn: 4]

두 행렬 [eqn: A= {pmatrix{`2 _{}&`````1 _{} `#`1 ^{}&````2 ^{}}}], [eqn: B= {pmatrix{`-1&```````2``#```````2`&``-1`}}]에 대하여 실수 [eqn: p], [eqn: q]가
[eqn: pA+ it qB=5E`]를 만족시킬 때,  [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: `E`]는 단위행렬이다.) [2점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

행렬 [eqn: A= {pmatrix{`1&````````2`#``1`&``-1`}}] 일 때, 행렬 [eqn: A ^{5}]의 모든 성분의 합은? [2점]

① [eqn: 27]	② [eqn: 36]	③ [eqn: 45]

④ [eqn: 54]	⑤ [eqn: 63]

[eqn: x], [eqn: y`]에 대한 연립방정식 [eqn: {pmatrix{t-4&t#2&2t+1}} {pmatrix{`x`#`y`}} `= {pmatrix{`1`#`2`}}]가 해를 갖지 않도록 하는 실수 [eqn: t]의 값을 [eqn: alpha], [eqn: beta `]라 할 때, [eqn: {1} over {alpha} + {1} over {beta}]의 값은? [3점]

① [eqn: - {9} over {2}]	② [eqn: - {9} over {4}]	③ [eqn: -`2]

④ [eqn: {9} over {4}]	⑤ [eqn: {9} over {2}]

이차정사각행렬 [eqn: A]의 [eqn: LEFT ( i RIGHT .], [eqn: LEFT. j RIGHT )]성분 [eqn: a _{ij}`]를 [eqn: a _{ij} `=][eqn: LEFT ( {matrix{` ^{{} ^{{} ^{}}}}} RIGHT .]다항식 [eqn: x ^{3} +2x+1]을 [eqn: x- LEFT ( i-j RIGHT )]로 나눈 나머지[eqn: {matrix{` ^{{} ^{{} ^{}}}}} RIGHT .right )] 라 정의할 때, 행렬 [eqn: A]의 모든 성분의 합은? [3점] ① [eqn: 2] ② [eqn: 4] ③ [eqn: 6] ④ [eqn: 8] ⑤ [eqn: 10] 두 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 거듭제곱근의 성질로 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: ab!=0]) [3점] <보 기> ㄱ. [eqn: root {3} of {{a} over {b}} = {root {3} of {a}} over {root {3} of {b}}] ㄴ. [eqn: root {4} of {(ab) ^{2}} + root {4} of {(-ab) ^{2}} =0] ㄷ. [eqn: root {5} of {(ab) ^{2}} = root {5} of {a ^{2}} root {5} of {b ^{2}}] ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ	자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: A _{n} = LEFT { ` RIGHT .][eqn: x`□``2`n-1 LEQ log _{`2} `x<2n+1], [eqn: x]는 자연수[eqn: ` RIGHT }] 일 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [3점] <보 기> ㄱ. [eqn: A _{1} = LEFT { 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: 7 RIGHT }] ㄴ. [eqn: A _{n} SMALLINTER A _{n+1} = EMPTYSET] ㄷ. 집합 [eqn: A _{n}]의 원소의 개수는 [eqn: 3`․`2 ^{2n-1} `]개이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ 삼차방정식 [eqn: x^3 -10x+9=0]의 세 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: gamma `]라 할 때, [eqn: root 3 of {alpha^3 +beta^3 +gamma^3]의 값은? [3점] ① [eqn: -3] ② [eqn: -1] ③ [eqn: 0] ④ [eqn: 1] ⑤ [eqn: 3]

10

4

12

다음은 이차정사각행렬 [eqn: A`]에 대하여

[eqn: A ^{2} -(1+p)A+pE=O`]

일 때, [eqn: A ^{n}`]([eqn: n GEQ 2]인 자연수)을 [eqn: alpha A+ beta E`]로 나타내는 과정이다. (단, [eqn: E`]는 단위행렬, [eqn: O`]는 영행렬,  [eqn: p], [eqn: alpha], [eqn: beta `]는 실수이다.)

위 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점]

[eqn: A^2 -A =p(A-E)]이므로

[eqn: A^3 -A^2 =p(A^2 -A) =p^2 (A-E)]

[eqn: A ^{4} -A ^{3} =p ^{2} (A ^{2} -A)=p ^{3} (A-E)]

[eqn: VDOTS]

[eqn: A ^{n} -A ^{n-1} =][eqn: BOX{`````(가)`````}][eqn: (A-E)`]이다.

따라서 [eqn: A ^{n} -A=(p+p ^{2} +p ^{3} +` CDOTS `+p ^{n-1} )(A-E)]이므로

(ⅰ) [eqn: p=`1]일 때, [eqn: A ^{n} =][eqn: BOX{`````(나)`````}][eqn: A-(n-1)E]

(ⅱ) [eqn: p != 1]일 때, [eqn: A ^{n} =][eqn: BOX{`````(다)`````}][eqn: A - {1} over {p-1} LEFT ( p ^n} -p) RIGHT .E`]이다.

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: p^n-1]	[eqn: (n-1)]	[eqn: {1} over {p-1} LEFT ( `p ^{n-1} -1 RIGHT )]
②	[eqn: p^n-1]	[eqn: n]	[eqn: {1} over {p-1} LEFT ( `p ^{n-1} -1 RIGHT )]
③	[eqn: p^n-1]	[eqn: n]	[eqn: {1} over {p-1} LEFT ( `p ^{n} -1 RIGHT )]
④	[eqn: p^n]	[eqn: (n-1)]	[eqn: {1} over {p-1} LEFT ( `p ^{n-1} -p RIGHT )]
⑤	[eqn: p^n]	[eqn: n]	[eqn: {1} over {p-1} LEFT ( `p ^{n} -p RIGHT )]

두 이차정사각행렬 [eqn: A it ` _{n} = {pmatrix{`a _{}&``b _{} `#`c ^{}&``d ^{} `}}], [eqn: B= {pmatrix{```````0 _{}&``1 _{} `#`-1 ^{}&``0 ^{} `}}]에 대하여

[eqn: `A` it rm _{`n+1} =A _{it n` rm } B it `] ([eqn: n=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: cdots])

으로 정의하자. 행렬 [eqn: A _{1} = {pmatrix{`1 _{}&``2 _{} `#`3 ^{}&``4 ^{} `}}]일 때, 행렬 [eqn: A _{100}]의 [eqn: (1], [eqn: 1)]성분과 [eqn: (2], [eqn: 2)]성분의 합은? [3점]

① [eqn: -5]	② [eqn: -3]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3]

4

12

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 4]와 [eqn: 16]인 동심원 사이에 [eqn: 11]개의 동심원을 그려 [eqn: 13]개 동심원의 반지름의 길이가 등차수열을 이룰 때, 모든 동심원의 둘레의 길이의 합은? [3점]

[eqn: 16]

[eqn: 4]

① [eqn: 247 pi]	② [eqn: 260 pi]	③ [eqn: 273 pi]

④ [eqn: 286 pi]	⑤ [eqn: 299 pi]

질량이 [eqn: M`], 반지름의 길이가 [eqn: R]인 행성의 표면에서 물체의 탈출속력을 [eqn: v`]라 할 때,

[eqn: 2log`v=log {2GM} over {R}] ([eqn: G]는 만유인력 상수)

인 관계가 성립한다. 두 행성 [eqn: rm A], [eqn: rm B]의 질량, 반지름의 길이, 행성의 표면에서 물체의 탈출속력은 표와 같다.

구 분	질량	반지름의 길이	표면에서 물체의 탈출속력
행성 [eqn: rm A]	[eqn: a]	[eqn: b]	[eqn: c]
행성 [eqn: rm B]	[eqn: 600a]	[eqn: 6b]	[eqn: k`․`c]

이때, 상수 [eqn: k`]의 값은? (단, 두 행성의 모양은 구로 생각한다.) [3점]

① [eqn: 10]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 22]

④ [eqn: 28]	⑤ [eqn: 34]

4

12

모든 항이 양수인 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 하자. 다음은 [eqn: 2S _{n} =a _{n} + {9} over {a _{n}}] ([eqn: n=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: cdots])일 때, [eqn: S _{100}]을 구하는 과정이다.

위 과정에서 (가), (나), (다)에 들어갈 모든 수의 합은? [3점]

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때, [eqn: `a _{1} =][eqn: BOX{`````(가)`````}]

(ⅱ) [eqn: n GEQ 2]일 때, [eqn: a _{n} =S _{n} -S _{n-1}]이므로

[eqn: 2S _{n} =S _{n} -S _{n-1} + {9} over {S _{n} -S _{n-1}}]이다.

따라서 [eqn: LEFT ( S _{n} RIGHT ) ^{2} - LEFT ( S _{n-1} RIGHT ) ^{2} =][eqn: BOX{`````(나)`````}]이다.

[eqn: THEREFORE `S _{100} =][eqn: BOX{`````(다)`````}]

① [eqn: 39]	② [eqn: 40]	③ [eqn: 41]

④ [eqn: 42]	⑤ [eqn: 43]

[eqn: a=11111], [eqn: b=(10 ^{5} +1)a`]일 때, [eqn: log _{3} sqrt {b-2a} -log _{3} `a]의 값은? [3점]

① [eqn: { 1} over {2 }]	② [eqn: 1]	③ [eqn: { 3} over {2 }]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: { 5} over { 2}]

정사각형 모양을 이루고 있는 ([eqn: 19 TIMES 19])개의 칸에 밝은 색과 어두운 색이 번갈아 칠해져 있다. 그림과 같이 밝은 색의 칸에 [eqn: 0]부터 [eqn: 9]까지의 모든 정수를 일정한 규칙에 따라 적었다고 할 때, 적힌 모든 수의 합은? [4점]

[eqn: 9]	[eqn: cdots]	[eqn: 9]		[eqn: 9]		[eqn: 9]		[eqn: 9]	[eqn: cdots]	[eqn: 9]
[eqn: VDOTS]	[eqn: ⋱]	[eqn: VDOTS]	[eqn: VDOTS]	[eqn: VDOTS]	[eqn: VDOTS]	[eqn: VDOTS]	[eqn: VDOTS]	[eqn: VDOTS]	[eqn: ⋰]	[eqn: VDOTS]
[eqn: 9]	[eqn: cdots]	[eqn: 3]		[eqn: 3]		[eqn: 3]		[eqn: 3]	[eqn: cdots]	[eqn: 9]
	[eqn: cdots]		[eqn: 2]		[eqn: 2]		[eqn: 2]		[eqn: cdots]
[eqn: 9]	[eqn: cdots]	[eqn: 3]		[eqn: 1]		[eqn: 1]		[eqn: 3]	[eqn: cdots]	[eqn: 9]
	[eqn: cdots]		[eqn: 2]		[eqn: 0]		[eqn: 2]		[eqn: cdots]
[eqn: 9]	[eqn: cdots]	[eqn: 3]		[eqn: 1]		[eqn: 1]		[eqn: 3]	[eqn: cdots]	[eqn: 9]
	[eqn: cdots]		[eqn: 2]		[eqn: 2]		[eqn: 2]		[eqn: cdots]
[eqn: 9]	[eqn: cdots]	[eqn: 3]		[eqn: 3]		[eqn: 3]		[eqn: 3]	[eqn: cdots]	[eqn: 9]
[eqn: VDOTS]	[eqn: ⋰]	[eqn: VDOTS]	[eqn: VDOTS]	[eqn: VDOTS]	[eqn: VDOTS]	[eqn: VDOTS]	[eqn: VDOTS]	[eqn: VDOTS]	[eqn: ⋱]	[eqn: VDOTS]
[eqn: 9]	[eqn: cdots]	[eqn: 9]		[eqn: 9]		[eqn: 9]		[eqn: 9]	[eqn: cdots]	[eqn: 9]

① [eqn: 1060]	② [eqn: 1080]	③ [eqn: 1100]

④ [eqn: 1120]	⑤ [eqn: 1140]

4

12

그림과 같이 점 [eqn: rmO]가 중심이고 선분 [eqn: rm {AB}]가 지름인 반원이 있다. 호 [eqn: rm AB]위의 점 [eqn: rmC]에 대하여 선분 [eqn: rm { AC}], [eqn: rm { OC}], [eqn: rm { BC}]의 길이가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, [eqn: rm {bar{rmBC}} over {rm` bar{AC}}]의 값은? (단, [eqn: rm bar { AC}``<`bar { OC}``<`bar { BC}]) [4점] [eqn: rm`A] [eqn: rm `O] [eqn: rm `B] [eqn: rm `C] ① [eqn: 1＋ sqrt {2}] ② [eqn: 1+ sqrt {3}] ③ [eqn: 2+ sqrt {2}] ④ [eqn: 2+ sqrt {3}] ⑤ [eqn: 3+ sqrt {2}]	그림과 같이 자연수를 일정한 규칙에 따라 배열하였다. 이때, [eqn: 20]행에 있는 모든 수의 합은? [4점] ① [eqn: 4137] ② [eqn: 4158] ③ [eqn: 4179] ④ [eqn: 4200] ⑤ [eqn: 4221]

4

12

자연수 [eqn: n]에 대하여 좌표평면 위의 두 점 [eqn: rm A(1], [eqn: 1)], [eqn: rm B`(0], [eqn: -n)]을 지나는 직선이 [eqn: x`]축과 만나는 점의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: p _{n}]이라고 하자. [eqn: l _{n} =p _{n+1} -p _{n}]이라 할 때, [eqn: 10 sum _{n=1} ^{8} `l _{n}]의 값은? [3점] [eqn: x] [eqn: y] [eqn: rm`O] [eqn: 1] [eqn: 1] [eqn: rm A] [eqn: rm B] [eqn: p_n] ① [eqn: 4] ② [eqn: 5] ③ [eqn: 6] ④ [eqn: 7] ⑤ [eqn: 8]	집합 [eqn: S`= LEFT { `M`` LEFT | ` {pmatrix{1 _{}&``0 _{}#1 ^{}&``1 ^{}}} M=M` {pmatrix{1 _{}&``0 _{}#1 ^{}&``1 ^{}}} RIGHT . RIGHT .], [eqn: M`]은 이차정사각행렬[eqn: matrix { `# ` }right}]의 두 원소 [eqn: A], [eqn: B`]에 대하여 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점] <보 기> ㄱ. [eqn: AB` IN `S`] ㄴ. [eqn: A]의 역행렬 [eqn: A ^{-1}]이 존재하면 [eqn: A ^{-1} ` IN `S] 이다. ㄷ. [eqn: A ^{2}`=A`]를 만족하는 행렬 [eqn: A]는 무수히 많다. ① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

4

12

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에서 [eqn: a _{n} =2 ^{n+ {1} over {2}}]이라 할 때,
[eqn: log _{{} _{sqrt {2}}} `a _{1} +log _{{} _{sqrt {2}}} a _{2} +log _{{} _{sqrt {2}}} `a _{3} +` CDOTS `+log _{{} _{sqrt {2}}} `a _{10}]의 값은? [3점]

① [eqn: 63]	② [eqn: 80]	③ [eqn: 99]

④ [eqn: 120]	⑤ [eqn: 143]

[eqn: A= LEFT ( 1+ {1} over {2} RIGHT ) LEFT ( 1+ {1} over {2 ^{2}} RIGHT ) LEFT ( 1+ {1} over {2 ^{4}} RIGHT ) LEFT ( 1+ {1} over {2 ^{8}} RIGHT )]일 때, [eqn: log` LEFT ( 1- {1} over {2} A RIGHT )]의 지표는? (단, [eqn: log`2=0.3]으로 계산한다.) [4점]

① [eqn: -9]	② [eqn: -8]	③ [eqn: -7]

④ [eqn: -6]	⑤ [eqn: -5]

단답형

[eqn: 5 ^{{1} over {log`5}}]의 값을 구하시오. [3점]

두자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: f` LEFT ( n RIGHT ) =2 ^{sqrt {n+1} - sqrt {n}}]일 때,

[eqn: f` LEFT ( 1 RIGHT ) TIMES f` LEFT ( 2 RIGHT ) TIMES f` LEFT ( 3 RIGHT ) TIMES ` CDOTS ` TIMES f` LEFT ( 99 RIGHT )]의 값을 구하시오. [3점]

4

12

임의의 실수 [eqn: a`]에 대하여 [eqn: N``(a], [eqn: n)]을 [eqn: a]의 [eqn: n]제곱근([eqn: n≥2]) 중 실수인 것의 개수라 정의하자. 이때, 양의 실수 [eqn: p]에 대하여 [eqn: sum _{n=2} ^{100} N``(-p], [eqn: n)]의 값을 구하시오. [3점] [eqn: 2]이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: root {n} of {5 ^{360}}]이 자연수가 되게 하는 [eqn: n]의 개수를 구하시오. [3점]	[eqn: 100]보다 큰 두 실수 [eqn: a], [eqn: b]가 [eqn: 2 LEFT [ log`a RIGHT ] +3 LEFT [ log`b RIGHT ] =13]을 만족할 때, [eqn: log`ab]의 지표는 [eqn: alpha] 또는 [eqn: beta `]이다. 이때, [eqn: alpha+ beta]의 값을 구하시오. (단, [eqn: LEFT [ `x` RIGHT ]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대의 정수이다.) [4점] 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: f _{n} (x)=nx`+` {n} over {x}] [eqn: (x>0)]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{20} f _{n} (x)]의 최솟값을 구하시오. [4점]

4

12

그림의 [eqn: rm A], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD], [eqn: rm E]에 [eqn: 10], [eqn: 12], [eqn: 13], [eqn: 14], [eqn: 16]을 적절히 하나씩 써 넣어 [eqn: rm bar{AB}], [eqn: rm bar{BC}], [eqn: rm bar{CD}], [eqn: rm bar{DE}], [eqn: rm bar{EA}]의 양 끝에 있는 두 수의 합을 크기순으로 배열하여 등차수열이 되도록 하였다. 이 등차수열의 세 번째 항을 구하시오. [4점] [eqn: rm A] [eqn: rm E] [eqn: rm D] [eqn: rm `C] [eqn: rm B]	행렬 [eqn: {pmatrix{m-7 _{{} _{}}&```5 _{{} _{}}#```5&m-8}} {pmatrix{2 _{{} _{}}&```m _{{} _{}}#1&``2}}]가 역행렬을 갖지 않도록 하는 모든 실수 [eqn: m]의 값의 합을 구하시오. [4점] 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]을 [eqn: {cases{a _{1} =1,```a _{2} =`-1#a _{n+2} -a _{n} =2~~~(n=1,``2,``3,` CDOTS )}}] 으로 정의할 때,[eqn: a _{15} +a _{16}]의 값을 구하시오. [4점]

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