2009학년도 11월 고2 전국연합학력평가

정답 및 해설

• 2교시 수리 영역 •

[가 형]

1	①	2	③	3	①	4	④	5	③
6	②	7	⑤	8	⑤	9	③	10	④
11	②	12	①	13	④	14	②	15	⑤
16	④	17	⑤	18	①	19	③	20	②
21	⑤	22	15	23	512	24	49	25	16
26	25	27	14	28	46	29	19	30	66

1. [출제의도] 지수 계산하기

[eqn: root {3} of {2} TIMES 2 ^{-2} TIMES 2 ^{{2} over {3}} =2 ^{{1} over {3} -2+ {2} over {3}} = {1} over {2}]

2. [출제의도] 수열의 극한 이해하기

[eqn: lim _{n -> INF } {{n ^{2}} over {(2n-1)(2n+1)}} = lim _{n -> INF } {{n ^{2}} over {4n ^{2} -1}}]의 분모,

분자를 [eqn: n ^{2} ^{}]으로 나누면 [eqn: lim _{n -> INF } {{1} over {4- {1} over {n ^{2}}}} = {1} over {4}]

3. [출제의도] 행렬의 곱셈 계산하기

행렬 [eqn: A= {pmatrix{`1&`````````2`#`1`&`-1`}}]일 때,

[eqn: A ^{2} = {pmatrix{`1&``````````2`#`1`&``-1`}} {pmatrix{`1&`````````2`#``1`&``-1`}} = {pmatrix{`3&````0`#`0`&``3`}} =3E`]이므로

[eqn: A ^{3} =A ^{2} A=(3E)A=3A]

[eqn: A ^{5} =A ^{3} A ^{2} =(3A)(3E)=9A]이므로

모든 성분의 합은 [eqn: 27]

4. [출제의도] 로그함수 이해하기

(가)에서 [eqn: a+2b=3]

(나)에서 [eqn: y=1]을 대입하면 [eqn: f(1)=2]이므로

[eqn: b=1]이다.

[eqn: THEREFORE `a=1]

따라서 [eqn: f LEFT ( {1} over {16} RIGHT ) =-log _{2} 16+2=-2]이다.

5. [출제의도] 지수함수 이해하기

[eqn: y=2 ^{log _{3} x}]이므로 [eqn: LEFT ( a,`b RIGHT ) IN A]이면 [eqn: b=2 ^{log _{3} a}]이다.

ㄱ. [eqn: 2 ^{log _{3} 3a} =2 ^{1+log _{3} a} =2․2 ^{log _{3} a} =2b] (참)

ㄴ. [eqn: {1} over {b} =2 ^{-log _{3} a} =2 ^{log _{3} {1} over {a}}]

[eqn: LEFT ( {1} over {a} ,~ {1} over {b} RIGHT ) ` IN ` rm A]이다. (거짓)

ㄷ. [eqn: LEFT ( c,`d RIGHT ) IN A]이면 [eqn: d=2 ^{log _{3} c}]이다.

[eqn: 2 ^{log _{3} ac} =2 ^{log _{3} a+log _{3} c} =2 ^{log _{3} a} ․2 ^{log _{3} c} =bd] (참)

6. [출제의도] 수열의 극한값 이해하기

[eqn: f(x)=x ^{n+1} +x ^{n}]을

[eqn: x ^{2} -5x+6]으로 나눈 몫을 [eqn: Q(x)]라 하면

[eqn: f(x)=x ^{n+1} +x ^{n}]

[eqn: =(x-2)(x-3)Q(x)+a _{n} x+b _{n}]

[eqn: f(2)=2 ^{n+1} +2 ^{n} =2a _{n} +b _{n}]

[eqn: f(3)=3 ^{n+1} +3 ^{n} =3a _{n} +b _{n}]에서

[eqn: a _{n} =4․3 ^{n} -3․2 ^{n}], [eqn: b _{n} =-8․3 ^{n} +9․2 ^{n}]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {{b _{n}} over {a _{n}}} = lim _{n -> INF } {{-8․3 ^{n} +9․2 ^{n}} over {4․3 ^{n} -3․2 ^{n}}} =-2]

7. [출제의도] 로그부등식 이해하기

ㄱ. [eqn: n=1]일 때, [eqn: 1 LEQ log _{2} x<3]이므로 [eqn: 2 LEQ x<8]

[eqn: A _{1} = LEFT { 2 RIGHT .], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: 7 right] (참)

ㄴ. [eqn: A _{n} = LEFT { `x`□`2 ^{2n-1} LEQ x<2 ^{2n+1} RIGHT .], [eqn: x]는 자연수[eqn: LEFT. ` ^{} RIGHT }]

[eqn: A _{n+1} = LEFT { x□2 ^{2n+1} LEQ x<2 ^{2n+3} RIGHT .], [eqn: x]는 자연수[eqn: LEFT. ` ^{} RIGHT }]

[eqn: A_n SMALLINTERA_n+1 = EMPTYSET] (참)

ㄷ. [eqn: A_n]의 원소의 개수는

[eqn: 2 ^{2n+1} -2 ^{2n-1} =3`․`2 ^{2n-1}] (참)

8. [출제의도] 수열의 귀납적 정의를 이용한 극한 문제 해결하기

[eqn: 3a _{n+2} =2a _{n+1} +a _{n}]

[eqn: 3a _{n+2} -3a _{n+1} =-a _{n+1} +a _{n}]

[eqn: a _{n+2} -a _{n+1} =- {1} over {3} (a _{n+1} -a _{n} )]

[eqn: a _{n} =p+ sum _{k=1} ^{n-1} (q-p)left(- {1} over {3} right) ^{k-1}]

[eqn: THEREFORE lim _{n -> INF } {a _{n}} =p+ {q-p} over {1- LEFT ( - {1} over {3} RIGHT )} = {p+3q} over {4}]

9. [출제의도] 행렬 증명하기

[eqn: A^2 -A =p(A-E)]이므로

[eqn: A^3 -A^2 =p(A^2 -A) =p^2 (A-E)]

[eqn: A ^{4} -A ^{3} =p ^{2} (A ^{2} -A)=p ^{3} (A-E)]

[eqn: VDOTS]

[eqn: A ^{n} -A ^{n-1} =p ^{n-1} (A-E)]이다.

따라서 [eqn: A^n -A =(p+p^2 + cdots +p^n-1 )(A-E)]

[eqn: A ^{n} =(1+p+p ^{2} + CDOTS +p ^{n-1} )A]

[eqn: -(p+p ^{2} + CDOTS +p ^{n-1} )E]

(ⅰ) [eqn: p=`1]일 때, [eqn: A ^{n} =nA-(n-1)E]

(ⅱ) [eqn: p != 1]일 때

[eqn: A ^{n} = {1} over {p-1} LEFT ( p ^{n} -1) RIGHT . A- {1} over {p-1} LEFT ( p ^{n} -p) RIGHT . E`]

10. [출제의도] 부분합을 이용한 무한급수 문제해결하기

[eqn: 3․2 ^{n}]의 양의 약수는 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 2 ^{2}], [eqn: CDOTS],[eqn: 2 ^{n}],

[eqn: 3], [eqn: 3․2], [eqn: 3․2 ^{2}], [eqn: CDOTS], [eqn: 3․2 ^{n}]이므로

[eqn: S(n)= LEFT ( 1+ {1} over {2} + {1} over {2 ^{2}} + CDOTS + {1} over {2 ^{n}} RIGHT )]

[eqn: + LEFT ( {1} over {3} + {1} over {3․2} + {1} over {3․2 ^{2}} + CDOTS + {1} over {3․2 ^{n}} RIGHT )]

[eqn: lim _{n-> INF } {S(n)= {1} over {1- {1} over {2}}} + {{1} over {3}} over {1- {1} over {2}} = {8} over {3}]

11. [출제의도] 지수함수를 이용한 그래프의 개형 추론하기

(ⅰ) [eqn: x<a]일 때, [eqn: x]축을 점근선으로 하는 아래로 볼록인 증가하는 함수의 개형을 나타낸다.

(ⅱ) [eqn: a LEQ x<0]일 때, 아래로 볼록인 감소하는 함수의 개형을 나타낸다.

(ⅲ) [eqn: x GEQ 0]일 때, [eqn: y GEQ 1]이고, 아래로 볼록인 증가하는 함수의 개형을 나타낸다.

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: y`=2 ^{f(x)} `]

[eqn: a]

12. [출제의도] 로그를 이용한 실생활 문제해결하기

[eqn: 2log`c=log` {2aG} over {b}] [eqn: cdots`]㉠

[eqn: 2log`kc=log` {2․600aG} over {6b}] [eqn: cdots`]㉡

㉡-㉠하면 [eqn: 2log`k=log`100]

[eqn: THEREFORE `k=10]

13. [출제의도] 수열의 합 추론하기

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때, [eqn: `a _{1} =3]

(ⅱ) [eqn: n GEQ 2]일 때, [eqn: a _{n} =S _{n} -S _{n-1}]이므로

[eqn: 2S _{n} =S _{n} -S _{n-1} + {9} over {S _{n} -S _{n-1}}]이다.

[eqn: LEFT ( S _{n} RIGHT ) ^{2} - LEFT ( S _{n-1} RIGHT ) ^{2} =9]

따라서 수열 [eqn: LEFT { LEFT ( S _{n} ` RIGHT ) ^{2} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: 9]이고,

공차가 [eqn: 9]인 등차수열이다.

[eqn: LEFT ( S _{n} RIGHT ) ^{2} =9n]이므로 [eqn: S _{n} `=3 sqrt {n}] ([eqn: n GEQ 1])이다.

[eqn: THEREFORE `S _{100} =30]

14. [출제의도] 로그의 성질 이해하기

[eqn: log _{3} sqrt {b-2a} -log _{3} a=log _{3} {sqrt {b-2a}} over {a}]

[eqn: =log _{3} {sqrt {LEFT ( 10 ^{5} +1 RIGHT ) a-2a}} over {a} =log _{3} {sqrt {LEFT ( 10 ^{5} -1 RIGHT ) a}} over {a}]

[eqn: =log _{3} sqrt {{LEFT ( 10 ^{5} -1 RIGHT )} over {a}} =log _{3} sqrt {{99999} over {11111}} =log _{3} 3=1]

15. [출제의도] 수열의 합 추론하기

[eqn: 1․4+2․8+3․`12`+` CDOTS `+9․36]

[eqn: = sum _{k=1} ^{9} 4k ^{2} =4`․` {9·10·19} over {6} =1140]

16. [출제의도] 등비수열을 이용한 문제해결하기

[eqn: rm bar{AC} =it`a], [eqn: bar{rmOC} =it`ar], [eqn: bar{rmBC} =it`ar ^{2}]이라 하자.

[eqn: TRIANGLE rmABC]에서 [eqn: rm ANGLE ACB=90 DEG]이므로

[eqn: a ^{2} + LEFT ( ar ^{2} RIGHT ) ^{2} = LEFT ( 2ar RIGHT ) ^{2}]에서 [eqn: r ^{4} -4r ^{2} +1=0]

[eqn: THEREFORE `r ^{2} =2± sqrt {3}]

[eqn: {bar{rm BC it}} over {rm barAC it} = {ar ^{2}} over {a} =r ^{2} >1] ([eqn: rm BECAUSE bar{rm AC it rm} < bar{OC} < bar{BC}])

따라서 [eqn: {bar{rmBC}} over {bar{rmAC}} =2+ sqrt {3}]

17. [출제의도] 수열의 규칙성을 이용한 문제해결하기

각 행의 가장 작은 값을 나열한 수열을 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이라 하면 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 4], [eqn: 7], [eqn: 11], [eqn: 16], [eqn: cdots]으로 계차수열이 등차수열을 이루는 수열이다.

따라서 [eqn: a _{20} =1+ sum _{k=1} ^{19} k=191]이므로 [eqn: 20]행의

가장 작은 수는 [eqn: 191]이다.

[eqn: n]행에는 첫째항이 [eqn: a _{n}]이고, 공차가 1인 등차수열의 항이 [eqn: (n+1)]개 있으므로,

[eqn: 20]행에 있는 [eqn: 21]개의 모든 수의 합은

[eqn: {21(2․191+20․1)} over {2} =4221]

18. [출제의도] 여러 가지 수열의 합 이해하기

두 점 [eqn: rmA(1,`1)], [eqn: rm B(0,it``-n)]을 지나는

직선의 방정식은 [eqn: y= LEFT ( n+1 RIGHT ) x-n]이므로

[eqn: x]축과 만나는 점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: p _{n} = {n} over {n+1}]이다.

따라서 [eqn: 10 sum _{n=1} ^{8} l _{n} =10 sum _{n=1} ^{8} LEFT ( p _{n+1} -p _{n} RIGHT )]

[eqn: =10(p _{9} -p _{1} )=10` LEFT ( {9} over {10} - {1} over {2} ` RIGHT ) =4]

19. [출제의도] 행렬의 성질 이해하기

[eqn: A IN S], [eqn: B IN S`]이므로

ㄱ. [eqn: {pmatrix{1&0#1&1}} AB=A {pmatrix{1&0#1&1}} B=AB {pmatrix{1&0#1&1}}]이므로

[eqn: AB IN S] (참)

ㄴ. [eqn: {pmatrix{1&0#1&1}} A=A {pmatrix{1&0#1&1}}]의 양변에 [eqn: A ^{-1}]을 곱하면

[eqn: A ^{-1} {pmatrix{1&0#1&1}} A= {pmatrix{1&0#1&1}}]이다.

또 양변에 [eqn: A ^{-1}]을 곱하면

[eqn: A ^{-1} {pmatrix{1&0#1&1}} = {pmatrix{1&0#1&1}} A ^{-1}]이므로 [eqn: A ^{-1`} IN S] (참)

ㄷ. 행렬 [eqn: A= {pmatrix{a&b#c&d}} IN S]라 하면

[eqn: LEFT . LEFT . ` {pmatrix{1 _{}&0#1 ^{}&1}} A=A {pmatrix{1 _{}&0#1 ^{}&1}}]을 만족하는 행렬은 [eqn: A= {pmatrix{a&0#c&a}}]

[eqn: A ^{2} =A]를 만족하려면

[eqn: A ^{2} = {pmatrix{a&0#c&a}} {pmatrix{a&0#c&a}} = {pmatrix{a ^{2}&0#2ac&a ^{2}}} = {pmatrix{a&0#c&a}} =A]

[eqn: a ^{2} =a], [eqn: 2ac=c]이므로

[eqn: {cases{a=0#c=0}}] 또는 [eqn: {cases{a=1#c=0}}]이다.

따라서 [eqn: A= {pmatrix{1&0#0&1}}] 또는 [eqn: {pmatrix{0&0#0&0}}] (거짓)

20. [출제의도] 도형을 이용한 무한등비급수 추론하기

[eqn: S _{1} = {pi -2} over {8}]

[eqn: S _{2} = {1} over {4} `․` {pi -2} over {8} `]

[eqn: S _{3} = LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{2} ․` {pi -2} over {8}]

[eqn: vdots]

[eqn: S _{n} = LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{n-1} ․` {pi `-2} over {8}]이므로

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( 3 ^{n-1} `․`S _{n} RIGHT ) = sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{n-1} ․` {pi `-2} over {8} `]

[eqn: `= {{pi-2} over {8}} over {1- {3} over {4}} = {pi -2} over {2}]

21. [출제의도] 수열의 극한 증명하기

[eqn: {rmC} _{n}]

[eqn: {rmB} _{n}]

[eqn: {rmA} _{n+1}]

[eqn: {rmB} _{n+1}]

[eqn: {rmC} _{n+1}]

[eqn: {rmI} _{n}]

[eqn: rm A it _{itn}]

[eqn: a_n]

[eqn: rm ANGLE A _{it `n rm} B _{it n rm} C _{it n rm} = it b _{n}], [eqn: rm ANGLE B _{it `n rm} C _{it n rm} A _{it n rm} = it c _{n}],

삼각형 [eqn: rm A it rm _{it n rm} rm B it rm _{n} rm C it rm _{n}]의 내심을 [eqn: rm I it _{it n}]이라 하자.

[eqn: bar{rm I it _{it n} rm A it _{it n+1}} BOT bar{rm B it _{it n} rm C it _{it n}}],  [eqn: bar{rm I it _{it n} rm C it _{it n+1}} BOT bar{rm A it _{it n} rm B it _{it n}}]이므로

사각형 [eqn: rm I it rm _{it n rm} rm C it rm _{it n+1 rm} rm B it rm _{it n rm} rm A it rm _{it n+1 rm}]이 원에 내접한다.

[eqn: ` ANGLE rm I it rm _{n} rm A it rm _{n+1} rm C it rm _{n+1} = ANGLE rm I it rm _{n} rm B it rm _{n} rm C it rm _{n+1} = it {1} over {2} b _{n}]이고

[eqn: ANGLE rm I it rm _{it n} rm A it rm _{n+1} rm B it rm _{n+1} = {1} over {2} c _{n}]이다.

[eqn: `a _{n+1} = {1} over {2} b _{n} + {1} over {2} c _{n} = {1} over {2} (pi-a _{n} )]이므로

[eqn: a _{n+1} =- {1} over {2} a _{n} + {pi} over {2}]이다. [eqn: THEREFORE ``` lim _{n -> INF } {a _{n}} = {pi} over {3}]

22. [출제의도] 조합 이해하기

[eqn: log _{2} LEFT { f(m)-f(n)+4 RIGHT } >2]에서 [eqn: f(m)>f(n)]

이므로 구하는 함수의 개수는 [eqn: {} _{6} rmC _{4} =15]이다.

23. [출제의도] 지수 법칙 이해하기

[eqn: f(1)=2 ^{sqrt {2} -1}]

[eqn: `f(2)=2 ^{sqrt {3} - sqrt {2}}]

[eqn: VDOTS]

[eqn: f(99)=2 ^{10- sqrt {99}}]이므로

[eqn: f(1) TIMES f(2) TIMES CDOTS TIMES f(99)]

[eqn: =2 ^{LEFT ( sqrt {2} -1 RIGHT ) + LEFT ( sqrt {3} - sqrt {2} RIGHT ) + CDOTS + LEFT ( sqrt {100} - sqrt {99} RIGHT )} =2 ^{10-1}]

[eqn: =2 ^{9} =512]

24. [출제의도] 거듭제곱근의 정의 이해하기

[eqn: -p]가 음수이므로

[eqn: n]이 짝수일 때, [eqn: N(-p,~n)=0]

[eqn: n]이 홀수일 때, [eqn: N(-p,~n)=1]

[eqn: sum _{n=2} ^{100} N``(-p,~n)=49]

25. [출제의도] 경우의 수 이해하기

[eqn: 10 ^{4}]의 자리	[eqn: 10 ^{3}]의 자리	[eqn: 10 ^{2}]의 자리	[eqn: 10]의 자리	[eqn: 1]의 자리
[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 1]	[eqn: 1]
				[eqn: 2]
			[eqn: 2]	[eqn: 1]
	[eqn: 2]	[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 2]
			[eqn: 2]	[eqn: 1]
				[eqn: 2]
		[eqn: 2]	[eqn: 1]	[eqn: 1]
				[eqn: 2]

[eqn: 1]로 시작하는 경우의 수가 [eqn: 8]가지이므로

[eqn: 2]로 시작하는 경우의 수도 [eqn: 8]가지이다.

따라서 [eqn: 16]개이다.

[별해] [eqn: 1 != 2=2 != 1=1]처럼 이웃한 두 숫자가 같은가 같지 않은가에 따라 [eqn: =], [eqn: !=]를 두 숫자 사이에 둘 때, [eqn: =]가 연속하지 않는 방법의 수와 같다.

[eqn: n]개의 숫자를 위의 규칙에 따라 나열하는 방법의 수를 [eqn: f(n)]이라 하자.

[eqn: (n+1)]개의 숫자를 규칙에 따라 나열하는 방법은

[eqn: a _{1}], [eqn: a_2], [eqn: a_3], [eqn: cdots], [eqn: a _{n} != a _{n+1}]인 경우,

[eqn: a _{1}], [eqn: a_2], [eqn: a_3], [eqn: cdots], [eqn: a _{n-1} != a _{n}=a_n+1]인 경우이므로

[eqn: f(n+1)=f(n)+f(n-1)] ([eqn: n GEQ 2])이다.

[eqn: f(1)=2], [eqn: f(2)=4], [eqn: f(3)=6], [eqn: f(4)=10],

[eqn: f(5)=16]이다.

26. [출제의도] 지수부등식 이해하기

(ⅰ) [eqn: LEFT ( 2 ^{x-1} +2 ^{-x} RIGHT ) ^{2} LEQ 25]

[eqn: 2 ^{2x-2} +2 ^{-2x} LEQ 24]이므로

[eqn: 2 ^{2x-2} +2 ^{-2x}]의 최댓값은 [eqn: 24]이다.

(ⅱ) [eqn: 2 ^{2x-2} +2 ^{-2x} GEQ 2 sqrt {2 ^{2x-2} `․2 ^{-2x}} =1]이므로

[eqn: 2 ^{2x-2} +2 ^{-2x}]의 최솟값은 [eqn: 1]이다.

27. [출제의도] 수열의 귀납적 정의를 이용하여 무한급수 문제해결하기

[eqn: a _{n+1} = {1} over {8} a _{n} +q]를 변형하면

[eqn: a _{n+1} - {8q} over {7}= {1} over {8} LEFT ( a _{n} - {8q} over {7} RIGHT )]

[eqn: a _{n} = LEFT ( a _{1} - {8q} over {7} RIGHT ) LEFT ( {1} over {8} RIGHT ) ^{n-1} + {8q} over {7}]

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n} =16]이므로 [eqn: lim _{n-> INF } {a _{n}} =0]이다. [eqn: THEREFORE `q=0]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 [eqn: a _{1} =p]이고 공비 [eqn: r= {1} over {8}]인 등비수열이므로 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n} = {p} over {1- {1} over {8}} = {8} over {7} p=16] [eqn: THEREFORE p=14]

28. [출제의도] 로그의 성질을 이용한 경우의 수 문제해결하기

[eqn: a=2 ^{m}], [eqn: b=2 ^{n}] ([eqn: 1 LEQ m], [eqn: `n LEQ 20])라 하면

[eqn: log _{`a} b=log` _{2 ^{m} `} 2 ^{n} = {n} over {m}]=(정수)

[eqn: m=1]일 때, [eqn: n=2], [eqn: 3], [eqn: CDOTS], [eqn: 20] ([eqn: 19]가지)

[eqn: m=2]일 때, [eqn: n=4], [eqn: 6], [eqn: CDOTS], [eqn: 20] ([eqn: 9]가지)

[eqn: m=3]일 때, [eqn: n=6], [eqn: 9], [eqn: CDOTS], [eqn: 18] ([eqn: 5]가지)

[eqn: m=4]일 때, [eqn: n=8], [eqn: 12], [eqn: 16], [eqn: 20] ([eqn: 4]가지)

[eqn: m=5]일 때, [eqn: n=10], [eqn: 15], [eqn: 20] ([eqn: 3]가지)

[eqn: m=6]일 때, [eqn: n=12], [eqn: 18] ([eqn: 2]가지)

[eqn: m=7]일 때, [eqn: n=14] ([eqn: 1]가지)

[eqn: m=8]일 때, [eqn: n=16] ([eqn: 1]가지)

[eqn: m=9]일 때, [eqn: n=18] ([eqn: 1]가지)

[eqn: m=10]일 때, [eqn: n=20] ([eqn: 1]가지)

따라서 [eqn: 46]가지이다.

29. [출제의도] 역행렬의 성질 이해하기

[eqn: {pmatrix{m-7 _{{} _{}}&5 _{{} _{}}#5&m-8}} {pmatrix{2 _{{} _{}}&```m _{{} _{}}#1&``2}}][eqn: = {pmatrix{2m-9 _{{} _{}}&`m ^{2} -7m+10 _{{} _{}}#m+2&7m-16}}]

역행렬이 존재하지 않으므로

[eqn: (2m-9)(7m-16)-(m+2)(m ^{2} -7m+10)=0]

[eqn: (m-4)(m ^{2} -15m+31)=0]이므로

모든 실수 [eqn: m]의 값의 합은 [eqn: 19]이다.

30. [출제의도] 순열을 이용하여 실생활 문제해결하기

(ⅰ) [eqn: rm A -> P -> Q -> B] 경로의 경우:

[eqn: 1 TIMES 1 TIMES {6!} over {4!2!} =15]

(ⅱ) [eqn: rmA -> P -> R -> B] 경로의 경우:

[eqn: 1 TIMES 1 TIMES {5!} over {4!} =5]

(ⅲ) [eqn: rm A -> P -> S -> B] 경로의 경우:

[eqn: 1 TIMES 1 TIMES 1=1]

(ⅳ) [eqn: rm A -> Q -> R -> B] 경로의 경우:

[eqn: {5!} over {4!} TIMES 1 TIMES {5!} over {4!} =25]

(ⅴ) [eqn: rmA -> Q -> S -> B] 경로의 경우:

[eqn: {5!} over {4!} TIMES 1 TIMES1 =5]

(ⅵ) [eqn: rmA -> R -> S -> B] 경로의 경우:

[eqn: {6!} over {4!2!} TIMES 1 TIMES 1=15]

따라서 총 [eqn: 66]가지이다.

[나 형]

1	①	2	④	3	①	4	②	5	②
6	③	7	⑤	8	①	9	③	10	③
11	②	12	①	13	④	14	②	15	⑤
16	④	17	⑤	18	①	19	③	20	④
21	⑤	22	10	23	512	24	49	25	23
26	11	27	420	28	26	29	19	30	28

1. ‘가’형과 같음.

2. [출제의도] 행렬의 상등 이해하기

[eqn: pA+qB= {pmatrix{2p-q _{}&``p+2q#p+2q ^{}&2p-q}} = {pmatrix{`5&`0#0&5}}]이므로

[eqn: 2p-q=5], [eqn: `p+2q=0]

[eqn: p=2], [eqn: q=-1]이므로 [eqn: p+q=1]이다.

3. ‘가’형과 같음.

4. [출제의도] 행렬을 이용하여 연립일차방정식 문제해결하기

행렬 [eqn: {pmatrix{`t-4`&``t#2&``2t+1`}}]의 역행렬이 존재하지 않으므로

[eqn: (t-4)(2t+1)-2t=0]

[eqn: THEREFORE `2t ^{2} -9t-4=0]

방정식 [eqn: `2t ^{2} -9t-4=0]의 근이 [eqn: alpha], [eqn: ` beta]이므로

[eqn: alpha + beta = {9} over {2}], [eqn: alpha beta =-2]

[eqn: THEREFORE {1} over {alpha } + {1} over {beta } = {alpha + beta } over {alpha beta } =- {9} over {4}]

5. [출제의도] 행렬의 정의를 이용하여 문제해결하기

[eqn: x ^{3} +2x+1]을 [eqn: LEFT { x- LEFT ( i-j RIGHT ) RIGHT }]로 나눈 몫을 [eqn: Q` _{ij} (x)], 나머지를 [eqn: a _{ij}]라 하면

[eqn: x ^{3} +2x+1= LEFT { x- LEFT ( i-j RIGHT ) RIGHT } Q` _{ij} (x)+a _{ij}]

[eqn: i=1], [eqn: j=1]일 때, [eqn: a _{11} =1]

[eqn: i=1], [eqn: j=2]일 때, [eqn: a _{12} =-2]

[eqn: i=2], [eqn: j=1]일 때, [eqn: a _{21} =4]

[eqn: i=2], [eqn: j=2]일 때, [eqn: a _{22} =1]

행렬 [eqn: A]의 모든 성분의 합은 [eqn: 4]이다.

6. [출제의도] 거듭제곱근의 성질 이해하기

ㄱ. [eqn: root {3} of {{a} over {b}} = LEFT ( {a} over {b} RIGHT ) ^{{1} over {3}} = {a ^{{1} over {3}}} over {b ^{{1} over {3}}} = {root {3} of {a}} over {root {3} of {b}}] (참)

ㄴ. [eqn: root {4} of {LEFT ( ab RIGHT ) ^{2}} = root {4} of {LEFT ( -ab RIGHT ) ^{2}}]이므로

[eqn: root {4} of {(ab) ^{2}} + root {4} of {LEFT ( -ab RIGHT ) ^{2}} =2 root {4} of {LEFT ( ab RIGHT ) ^{2}}] (거짓)

ㄷ. [eqn: root {5} of {LEFT ( ab RIGHT ) ^{2}} = LEFT ( ab RIGHT ) ^{{2} over {5}} =a ^{{2} over {5}} b ^{{2} over {5}} = root {5} of {a ^{2}} root {5} of {b ^{2}}] (참)

7. ‘가’형과 같음.

8. [출제의도] 거듭제곱근의 성질 이해하기

[eqn: alpha ^{`3} -10 alpha +9=0] … ㉠

[eqn: beta ^{`3} -10` beta +9=0] … ㉡

[eqn: gamma ^{`3} -10` gamma +9=0] … ㉢

㉠, ㉡, ㉢ 을 더하면

[eqn: alpha ^{3} + beta ^{3} + gamma ^{3} -10 LEFT ( alpha + beta + gamma RIGHT ) +27=0]이다.

근과 계수와의 관계에 의해 [eqn: alpha + beta + gamma =0]이므로

[eqn: alpha ^{3} + beta ^{3} + gamma ^{3} =-27]  [eqn: THEREFORE ` root {3} of {alpha ^{3} + beta ^{3} + gamma ^{3}} =-3]

9. ‘가’형과 같음.

10. [출제의도] 행렬의 곱셈을 이용하여 규칙성 추론하기

[eqn: A _{2} = {pmatrix{1&2#3&4}} {pmatrix{```````0&`1#-1&0}} = {pmatrix{-2&`1#-4&`3}}]

[eqn: A _{3} = {pmatrix{-2&`1#-4&`3}} {pmatrix{```````0&`1#-1&0}} = {pmatrix{-1&-2#-3&-4}}] [eqn: A _{4} = {pmatrix{-1&-2#-3&-4}} {pmatrix{```````0&`1#-1&0}} = {pmatrix{`2&`-1#`4&`-3}}]

[eqn: A _{5} = {pmatrix{`2&`-1#`4&`-3}} {pmatrix{```````0&`1#-1&0}} = {pmatrix{1`&2#3&`4}} =A _{1}]이므로

[eqn: A _{100} =A _{4} = {pmatrix{2&`-1#4&`-3}}]이다.

[eqn: A _{100}]의 [eqn: (1], [eqn: 1)]성분과 [eqn: (2], [eqn: 2)]성분의 합은 [eqn: -1]이다.

11. [출제의도] 등차수열을 이용하여 문제해결하기

[eqn: 4]와 [eqn: 16] 사이의 원의 반지름을 [eqn: r _{1}], [eqn: r _{2}], [eqn: CDOTS], [eqn: r _{11}]이라 하면

[eqn: 4], [eqn: r _{1}], [eqn: r _{2}], [eqn: CDOTS], [eqn: r _{11}], [eqn: 16]은 등차수열이다.

모든 동심원의 둘레의 길이의 합은

[eqn: 2pi` LEFT ( 4+r _{1} +r _{2} + CDOTS +r _{11} +16 RIGHT )]

[eqn: =2 pi `․` {13 LEFT ( 4+16 RIGHT )} over {2} =260` pi]

12~19. ‘가’형과 같음.

20. [출제의도] 로그의 성질 이해하기

[eqn: a _{n} =2 ^{n+ {1} over {2}} =2 ^{{2n+1} over {2}}]이므로

[eqn: log _{sqrt {2}} `a _{1} +log _{sqrt {2}} `a _{2} +log _{sqrt {2}} `a _{3} + CDOTS +log _{sqrt {2}} `a _{10}]

[eqn: =log _{sqrt {2}} LEFT ( 2 ^{{3} over {2}} TIMES 2 ^{{5} over {2}} TIMES CDOTS TIMES 2 ^{{21} over {2}} RIGHT )]

[eqn: = log` _{sqrt {2}} 2 ^{{120} over {2}} =120]

21. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수 이해하기

[eqn: A= LEFT ( 1+ {1} over {2} RIGHT ) LEFT ( 1+ {1} over {2 ^{2}} RIGHT ) LEFT ( 1+ {1} over {2 ^{4}} RIGHT ) LEFT ( 1+ {1} over {2 ^{8}} RIGHT )]의

양변에 [eqn: LEFT ( 1- {1} over {2} RIGHT )]을 곱하면

[eqn: LEFT ( 1- {1} over {2} RIGHT ) A= LEFT ( 1- {1} over {2} RIGHT ) LEFT ( 1+ {1} over {2} RIGHT ) LEFT ( 1+ {1} over {2 ^{2}} RIGHT ) LEFT ( 1+ {1} over {2 ^{4}} RIGHT ) LEFT ( 1+ {1} over {2 ^{8}} RIGHT )]

[eqn: {1} over {2} A=1- {1} over {2 ^{16}}]

[eqn: log` LEFT ( 1- {1} over {2} A RIGHT ) =log` {1} over {2 ^{16}} =-16log`2=-4.8]

따라서 지표는 [eqn: -5]이다.

22. [출제의도] 로그의 성질 이해하기

[eqn: 5 ^{{1} over {log`5}} =5 ^{log _{5} 10} =10 ^{log _{5} 5} =10]

23~24. ‘가’형과 같음.

25. [출제의도] 지수의 성질 이해하기

[eqn: 5 ^{{360} over {n}}]이 자연수가 되려면 [eqn: n]은 [eqn: 2]이상인 [eqn: 360]의 약수이다. 따라서 [eqn: 23]개이다.

26. [출제의도] 상용로그의 지표를 이용하여 문제해결하기

[eqn: a], [eqn: b]는 [eqn: 100]보다 큰 실수이므로

[eqn: LEFT [ log`a RIGHT ]], [eqn: LEFT [ log`b RIGHT ]]가 [eqn: 2]이상의 정수이다.

[eqn: LEFT [ log`a RIGHT ] =2], [eqn: LEFT [ log`b RIGHT ] =3]이므로

[eqn: 2<log`a<3], [eqn: 3 LEQ log`b<4]

[eqn: 5<log`a`+`log`b`=log`ab<7]이다.

[eqn: THEREFORE `log`ab]의 지표는 [eqn: 5] 또는 [eqn: 6]

27. [출제의도] 여러 가지 수열의 합 문제해결하기

[eqn: nx>0], [eqn: {n} over {x} >0]이므로

[eqn: nx+ {n} over {x} GEQ 2 sqrt {n ^{2}} =2n]이다.

[eqn: f _{n} (x)=nx+ {n} over {x}][eqn: GEQ 2n] (단, 등호는 [eqn: x=1]일 때, 성립한다.)

[eqn: sum _{n=1} ^{20} f _{n} (x) GEQ sum _{n=1} ^{20} 2n=420]

28. [출제의도] 등차수열 추론하기

[eqn: rm bar{AB}], [eqn: rm bar{BC}], [eqn: rm bar{CD}], [eqn: rm bar{DE}], [eqn: rm bar{EA}]의 양끝에 쓰인 수의 합을 크기순으로 배열한 등차수열을

[eqn: a-2d], [eqn: a-d], [eqn: a], [eqn: a+d], [eqn: a+2d]라 하면

[eqn: (a-2d)+(a-d)+a+(a+d)+(a+2d)=5a]

[eqn: 5a=2(10+12+13+14+16)=130]

[eqn: THEREFORE `a=26]

29. ‘가’형과 같음.

30. [출제의도] 수열의 귀납적 정의를 이용하여 두 항의 합 추론하기

[eqn: a _{3} -a _{1} =2]

[eqn: a _{4} -a _{2} =2]

[eqn: a _{5} -a _{3} =2]

[eqn: a _{6} -a _{4} =2]

[eqn: VDOTS]

[eqn: a _{15} -a _{13} =2]

[eqn: a _{16} -a _{14} =2]에서

좌변과 우변을 모두 더하면

[eqn: a _{15} +a _{16} -a _{1} -a _{2} =28]

[eqn: THEREFORE `a _{15} +a _{16} =28]