2009학년도 11월 고1 전국연합학력평가 문제지
제 2 교시	수리 영역

1.  [eqn: sqrt {3+2 sqrt {2}} + sqrt {3-2 sqrt {2}}]의 값은? [2점]

수리 영역

수리 영역

8

① [eqn: 2-2 sqrt {2}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 2 sqrt {2}]

④ [eqn: 2+2 sqrt {2}]	⑤ [eqn: 4+2 sqrt {2}]

2.  다항식 [eqn: (x-1)(x+1)(x ^{2} +1)+1]을 간단히 한 것은? [2점]

① [eqn: x ^{4}]	② [eqn: x ^{4} -1]	③ [eqn: x ^{4} +1]

④ [eqn: x ^{4} +x ^{2} -1]	⑤ [eqn: x ^{4} +x ^{2} +1]

3.  실수 전체의 집합에서 [eqn: 1+ sqrt {2}]의 덧셈에 대한 역원과 곱셈에 대한 역원의 합은? [3점]

① [eqn: -2]	② [eqn: - sqrt {2}]	③   [eqn: 0]

④    [eqn: 2]	⑤  [eqn: 2 sqrt {2}]

4.  두 조건 [eqn: p:` LEFT | `x-1 RIGHT | ` LEQ `5], [eqn: `q:`x LEQ a+2]에 대하여 [eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한  충분조건일 때, 상수 [eqn: a]의 최솟값은? [3점]

① [eqn: -6]	② [eqn: -4]	③   [eqn: 4]

④    [eqn: 6]	⑤    [eqn: 8]

5.  집합 [eqn: A= LEFT { 1,``2,```3,``4 RIGHT }]에 대하여 집합 [eqn: A]에서 [eqn: A]로의

두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]의 그래프가 각각 그림과 같을 때,           [eqn: (g` CIRC `f)(1)+ LEFT ( f CIRC g RIGHT ) ^{-1} (3)]의 값은? [3점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

6.  유리함수 [eqn: y`= {3x+5} over {x-1} `]의 그래프에 대한 설명으로 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [3점]

		보 기
ㄱ. 점근선의 방정식은 [eqn: x=1], [eqn: `y=3]이다. ㄴ. 그래프는 제[eqn: 3]사분면을 지난다. ㄷ. 그래프는 직선 [eqn: y=x+3]에 대하여 대칭이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

7.  집합 [eqn: X= LEFT { `2,```3,```6` RIGHT }]에 대하여 집합 [eqn: X]에서 [eqn: X]로의 일대일 대응, 항등함수, 상수함수를 각각 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)], [eqn: `h(x)]라 하자. 세 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)], [eqn: `h(x)]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f(3)+h(2)]의 값은?

[3점]

(가) [eqn: f(2)=g(3)=h(6)]

(나) [eqn: f(2)f(3)`=`f(6)]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

8.  무리함수 [eqn: f(x)= sqrt {x-1} +k]의 그래프와 그 역함수 [eqn: y=f` ^{-1} `(x)]의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만날 때, 상수 [eqn: k]의 최댓값은? [3점]

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {3} over {4}]

④  [eqn: 1]	⑤ [eqn: {5} over {4}]

9.  두 다항식 [eqn: A`], [eqn: B] 의 최대공약수를 [eqn: G(A,`B)], 최소공배수를 [eqn: L(A,`B)]라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [3점]

		보 기
ㄱ. [eqn: G(A,`AB)=A] ㄴ. [eqn: L` LEFT ( G(A,`B),``L(A,`B) RIGHT ) =L(A,`B)] ㄷ. [eqn: G(`L(A,`B),``B)=L(G(A,`B),``B)]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

10.  집합 [eqn: A= \{ itx`|``(k-1)x ^{2} -8x+k=0,``x RIGHT .]는 실수[eqn: \}]에 대하여

[eqn: n(A)=1]이 되게 하는 모든 상수 [eqn: k]의 합은? [3점]

① [eqn: -1]	②   [eqn: 0]	③   [eqn: 1]

④    [eqn: 2]	⑤   [eqn: 3]

11.  복소수 [eqn: z]를 입력하면, [eqn: {z} over {i}]의 값이 계산된 복소수 [eqn: z prime]이 출력되는 연산장치가 있다.

[eqn: z]

→

[eqn: {z} over {i}]

→

[eqn: z prime]

(입력)

(출력)

(연산장치)

이 연산장치에 처음 복소수 [eqn: z _{0} =a+bi]를 입력하였더니 [eqn: {z _{0}} over {i}]의 값이 계산된 복소수 [eqn: z _{1}]이 출력되었다. 다시 이 연산장치에 [eqn: z _{1}]을 입력하였더니 [eqn: {z _{1}} over {i}]의 값이 계산된 복소수 [eqn: z _{2}]가 출력되었다. 이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: z _{3}], [eqn: z _{4}], [eqn: z _{5}], [eqn: CDOTS]이 출력되었다. [eqn: z _{2009} =2+i]일 때, [eqn: a-b]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1}] 이고 [eqn: a], [eqn: b]는 실수이다.) [3점]

① [eqn: -3]	② [eqn: -1]	③   [eqn: 0]

④    [eqn: 1]	⑤    [eqn: 3]

12.  연립부등식 [eqn: {cases{x ^{2} -2x-24 LEQ 0` ^{`}#-1 LEQ LEFT [ x-1 RIGHT ] ^{{} ^{{} ^{}}} ` LEQ 6}}]을 만족하는 정수 [eqn: x]의 개수는?(단, [eqn: LEFT [ x RIGHT ]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대의 정수이다.) [3점]

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

13.  전체집합 [eqn: U] 의 공집합이 아닌 두 부분집합 [eqn: A], [eqn: B] 에 대하여 [eqn: A], [eqn: B ^{C}] 이 서로소일 때, <보기>에서 항상 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [3점]

		보 기
ㄱ. [eqn: A-B`= EMPTYSET] ㄴ. [eqn: LEFT ( A` SMALLINTER B` RIGHT ) ^{C} `=A ^{C`}] ㄷ. [eqn: LEFT ( A ^{C} `` CUP B` RIGHT ) SMALLINTER A=A]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

14.  그림은 두 점 [eqn: (-1,``0)`], [eqn: (2,``0)]을 지나는 이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프를 나타낸 것이다. 부등식 [eqn: f LEFT ( {x+k} over {2} RIGHT ) LEQ 0]의 해가  [eqn: -3 LEQ x LEQ 3]일 때, 상수 [eqn: k]의 값은? [4점]

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

15.  다음은 양의 실수 [eqn: a`], [eqn: b], [eqn: c``]에 대하여 부등식

[eqn: {1} over {a+b} + {1} over {b+c} + {1} over {c+a} LEQ {(a+b+c) ^{2}} over {6abc}]

이 성립함을 증명한 것이다.

[증명]

[eqn: (a+b) ^{2} -4ab=]

양의 실수 [eqn: a, ``b,``c]에 대하여

(가)

[eqn: GEQ 0]

이므로 [eqn: 4ab LEQ (a+b) ^{2}]이고,

같은 방법으로 [eqn: 4bc LEQ (b+c) ^{2} `], [eqn: 4ca LEQ (c+a) ^{2}] 이므로

[eqn: 4abc LEFT ( {1} over {a+b} + {1} over {b+c} + {1} over {c+a} RIGHT )]

[eqn: = {4ab} over {a+b} c+ {4bc} over {b+c} a+ {4ca} over {c+a} b]

[eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

(나)

[eqn: LEQ]

이다.

한편,  [eqn: a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} -ab-bc-ca GEQ 0]에서

(다)

[eqn: ab+bc+ca LEQ {(a+b+c) ^{2}} over {}]

[eqn: CDOTS CDOTS CDOTS CDOTS CDOTS CDOTS CDOTS CDOTS CDOTS CDOTS ㉡]

이다.

따라서 [eqn: ㉠], [eqn: ㉡]으로부터

[eqn: 4abc LEFT ( {1} over {a+b} + {1} over {b+c} + {1} over {c+a} RIGHT ) LEQ {2} over {3} (a+b+c) ^{2} ` CDOTS CDOTS CDOTS CDOTS ㉢]

이다.

이때, [eqn: ㉢]의 양변을 [eqn: 4abc]로 나누면

[eqn: {1} over {a+b} + {1} over {b+c} + {1} over {c+a} LEQ {(a+b+c) ^{2}} over {6abc}]이다.

위 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점]

	(가)		(나)		(다)
①	[eqn: (a-b) ^{2}]		[eqn: 2(ab+bc+ca)]		[eqn: 4]
②	[eqn: (a-b) ^{2}]		[eqn: 2(ab+bc+ca)]		[eqn: 3]
③	[eqn: (a-b) ^{2}]		[eqn: 4(ab+bc+ca)]		[eqn: 4]
④	[eqn: (a-2b) ^{2}]		[eqn: 2(ab+bc+ca)]		[eqn: 3]
⑤	[eqn: (a-2b) ^{2}]		[eqn: 4(ab+bc+ca)]		[eqn: 4]

16.  방정식 [eqn: (x-3)(x-1)(x+2)+1=x] 의 세 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: gamma] 라 할 때, [eqn: alpha ` ^{3} + beta `` ^{3} + gamma ^{``3}] 의 값은? [4점]

① [eqn: 21]	② [eqn: 23]	③ [eqn: 25]

④ [eqn: 27]	⑤ [eqn: 29]

17.  함수 [eqn: LEFT . f(x RIGHT ) = {cases{`````````x ^{2} ` _{{} _{{} _{}}} ```````&(x GEQ 0) _{{} _{{} _{{} _{}}}}#sqrt {-x}&(x<`0)}}] 에 대하여

연립부등식 [eqn: {cases{`y GEQ f LEFT ( x RIGHT )#`x ^{2} + LEFT ( y-1 RIGHT ) ^{2 ^{{} ^{{} ^{}}}} LEQ 1}}]을 만족하는 점 [eqn: (x,``y)]가 나타내는  영역의 넓이는? [4점]

① [eqn: {pi } over {2} + {1} over {2}]	② [eqn: pi -``1]	③ [eqn: {pi } over {2} + {3} over {4}]

④ [eqn: {pi } over {2} +``1]	⑤ [eqn: pi - {1} over {2}]

18.  다음은 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원에 내접하는 정오각형의 한 변의 길이를 [eqn: a]라 할 때, 이 원에 내접하는 정십각형의 한 변의 길이를 [eqn: a]를 써서 나타낸 과정이다.

그림과 같이 정오각형의 한 꼭짓점 [eqn: rm A]와 정십각형의 한 꼭짓점 [eqn: rm B]를 이으면 원의 지름이 된다. 이때, 지름 [eqn: rm AB]와 정오각형의 한 변 [eqn: rm CD]가 만나는 점을 [eqn: rm E]라 하자.

이때, 정십각형의 한 변의 길이를 [eqn: x]라 하면,

이다.

[eqn: rm barAC =]

(가)

한편, 삼각형 [eqn: rmABC]에서 [eqn: rm bar AC times bar BC = barAB ``times bar CE]이므로

(가)

[eqn: ․``x=a````` CDOTS CDOTS CDOTS CDOTS CDOTS CDOTS ㉠]

이고, [eqn: ㉠]의 식을 정리하면

[eqn: x ^{4} `-]

(나)

[eqn: ․`x ^{2} +a ^{2} =0` CDOTS CDOTS ㉡]

이다.

(다)

이다.

따라서 [eqn: ㉡]의 방정식을 풀면, [eqn: x =]

위 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점]

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: root{1-x^2]	[eqn: 2]	[eqn: sqrt {1+ sqrt {1-a ^{2}}}]
②	[eqn: root{1-x^2]	[eqn: 4]	[eqn: root{ 2- root{4-a^2}}]
③	[eqn: root{4-x^2]	[eqn: 2]	[eqn: sqrt {1+ sqrt {1-a ^{2}}}]
④	[eqn: root{4-x^2]	[eqn: 4]	[eqn: sqrt {2+ sqrt {4-a ^{2}}}]
⑤	[eqn: root{4-x^2]	[eqn: 4]	[eqn: root{ 2- root{4-a^2}}]

19.  좌표평면 위에 두 점 [eqn: rm A(0,``0)], [eqn: rm B(0,``2)]가 있다. [eqn: rm bar{PA} ` ^{2} + bar{PB} `` ^{2} =4]를 만족하는 점 [eqn: rm P` it (x,``y)]에 대하여 [eqn: y-x ^{2}]의 최댓값과 최솟값의 합은? [4점]

① [eqn: - {7} over {4}]	② [eqn: - {1} over {4}]	③   [eqn: {1} over {4}]

④    [eqn: {7} over {4}]	⑤     [eqn: 2]

20.  수직선 위의 서로 다른 세 점 [eqn: rm A( it a)], [eqn: rm B( it b)], [eqn: rm C( it c)]에 대하여 선분 [eqn: rmAC]를 [eqn: m:n]으로 내분하는 점 [eqn: rmP(itp)]가 선분 [eqn: rmBC]를 [eqn: m:n]으로 외분하는 점이 될 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: m != n], [eqn: m>0], [eqn: n>0]) [4점]

		보 기
ㄱ. [eqn: a=1,```b=5,```m=1,```n=`2]이면 [eqn: c=7]이다. ㄴ. [eqn: m>n]이면 [eqn: a<p<b<c]이다. ㄷ. [eqn: p= { a+b} over { 2}]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

21.  그림과 같이 두 함수 [eqn: y=`-(x-1) ^{2} +1], [eqn: y=x ^{2}]의 그래프 위에 각각 점 [eqn: rm A]와 [eqn: RM C]를, 직선 [eqn: y=x] 위에 서로 다른 두 점 [eqn: rm B]와 [eqn: rm D]를 잡아 사각형 [eqn: rmABCD]가 정사각형이 되도록 하였다. 이때, 정사각형 [eqn: rmABCD]의 한 변의 길이는? (단, 점 [eqn: rm A], [eqn: RMB], [eqn: rmC], [eqn: rm D]의 [eqn: x]좌표는 양수이다.) [4점]

① [eqn: {sqrt {5}} over {2} -1]	② [eqn: sqrt {5} -2]	③ [eqn: 2- sqrt {3}]

④ [eqn: sqrt {3} -1]	⑤ [eqn: 3- sqrt {5}]

단답형

22.  다항식 [eqn: x ^{3} +3x ^{2} -x+2]를 [eqn: x-2]로 나눈 나머지를 구하시오. [2점]

23.  이차함수 [eqn: y=x ^{2} `+ax+3]의 그래프와 직선 [eqn: y=2x+b]가 서로 다른 두 점에서 만나고 두 교점의 [eqn: x]좌표가 [eqn: -2]와 [eqn: 1]일 때, [eqn: 2b-a]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.) [3점]

24.  직선 [eqn: y=mx+3]이 직선 [eqn: nx-2y-2=0]과는 수직이고, 직선 [eqn: y=(3-n)x-1]과는 평행할 때, [eqn: m ^{2} +n ^{2}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: m], [eqn: n]은 상수이다.) [3점]

25.  두 제품 [eqn: rm `P]와 [eqn: RM Q]의 한 알에 함유되어 있는 비타민[eqn: RMB _{1}], 비타민[eqn: RMC]의 양과 한 알의 가격은 표와 같다.

제품	비타민[eqn: RMB_1]([eqn: rm `mg])	비타민[eqn: RMC]([eqn: rm mg])	한 알의 가격(원)
[eqn: rm `P]	[eqn: 20]	[eqn: 20]	[eqn: 150]
[eqn: RM Q]	[eqn: 10]	[eqn: 20]	[eqn: 100]

어느 수험생이 이 두 제품 [eqn: rm P], [eqn: rm Q]만을 이용하여 하루에 비타민[eqn: RMB _{1}]을 [eqn: 60rm mg]이상, 비타민[eqn: RMC]를 [eqn: 80`rm mg]이상 섭취하고자 할 때, 필요한 최소비용은 [eqn: a](원)이다. 이때, [eqn: a]의 값을 구하시오. [4점]

26.  [eqn: x != -1], [eqn: x != -3]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

등식 [eqn: {x} over {1+ {2} over {x+1}} =x+a+ {b} over {x+3}]가 성립할 때, [eqn: a+b]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.) [3점]

27.  그림과 같이 가로의 길이가 [eqn: 4], 세로의 길이가 [eqn: 6]인 직사각형 [eqn: rm ABCD]가 있다. 선분 [eqn: rm DC]의 중점을 [eqn: rm M]이라 하고, 대각선 [eqn: rm AC] 위의 임의의 한 점 [eqn: rm P]에서 세 직선 [eqn: rm BC], [eqn: rm DC], [eqn: rm AM]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm `Q], [eqn: rm R], [eqn: rm S]라 하자. 점 [eqn: rm P]가 [eqn: rm bar{PQ`} = bar{PS`}]를 만족시킬 때, 선분 [eqn: rm `PR]의 길이는 [eqn: {q} over {p}]이다. 이때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

28.  그림과 같이 [eqn: rmA], [eqn: RMB], [eqn: RMC] 세 지점이 있다. [eqn: RMB]는 [eqn: RMA]로부터 동쪽으로 [eqn: 12 rm `km]만큼, 북쪽으로 [eqn: 6` rm km]만큼 떨어진 곳에 있으며, [eqn: RMC]는 [eqn: RMA]로부터 동쪽으로 [eqn: 15` rm km]만큼 떨어진 곳에 있다.

어떤 건설회사가 [eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C] 각 지점에서 어느 [eqn: rm`D]지점까지 도로를 건설하려고 한다. 각 구간별 건설예정인 도로의 건설비용은 아래 그림과 같이 거리에 정비례한다.

[eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C] 각 지점에서 [eqn: rm`D]지점까지의 각각의 도로 건설비용이 모두 같은 [eqn: rm`D]지점은 두 곳이다. 이 두 지점 사이의 거리를 [eqn: x`]([eqn: rm km])라 할 때, [eqn: x]의 값을 구하시오. (단, 네 지점 [eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C], [eqn: rm D]는 동일 평면에 위치하며 모든 도로는 두 지점을 직선으로 연결한 평면상의 도로이다.) [4점]

29.  이차함수 [eqn: y=2x ^{2}]의 그래프와 원 [eqn: x ^{2} + LEFT ( y+1 RIGHT ) ^{2} =1]에 동시에 접하는 직선이 [eqn: y=ax+b]일 때, [eqn: a ^{2} +b]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이고 [eqn: b<0]이다.) [4점]

30.  [eqn: 3]이하의 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: A _{n}]을 다음과 같이 정한다.

(가) [eqn: A _{1} =9+99+999]

(나) [eqn: A _{n} =](세  수 [eqn: 9], [eqn: 99], [eqn: 999]에서 서로 다른 [eqn: n(n GEQ 2)]개를

택하여 곱한 수의 총합)

이때, [eqn: A _{1} +A _{2} +A _{3}]의 값을 [eqn: 1000]으로 나눈 나머지를 구하시오.

[4점]

※ 확인사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.