2009학년도 10월 고2 학업성취도평가

정답 및 해설

고 2	정답 및 해설	2009학년도 10월 학업성취도평가

2009학년도 10월 학업성취도평가	정답 및 해설	고 2

5

수리 영역

“가”형 정답

1	②	2	⑤	3	①	4	④	5	①
6	②	7	④	8	④	9	①	10	④
11	③	12	①	13	③	14	⑤	15	⑤
16	①	17	③	18	③	19	②	20	③
21	②	22	[eqn: 11]	23	[eqn: 45]	24	[eqn: 72]	25	[eqn: 37]
26	[eqn: 16]	27	[eqn: 84]	28	[eqn: 225]	29	[eqn: 63]	30	[eqn: 21]

해설

1. [출제의도] 로그 계산하기

[eqn: log _{2} ` LEFT ( sqrt {3} RIGHT ) ^{2} -log _{2} 6=log _{2} {3} over {6} =log _{2} {1} over {2} =-1]

2. [출제의도] 간단한 행렬 계산하기

[eqn: AB+ LEFT ( A+B RIGHT ) ^{-1}# = pmatrix{``````0&``2#-2&``0} + pmatrix{`0&``` {1} over {2}#{1} over {2}&0} ``=`` LEFT ( matrix{0&``` {5} over {2}#- {3} over {2}&`0} RIGHT )]

[eqn: THEREFORE {5} over {2} + LEFT ( - {3} over {2} RIGHT ) =1]

3. [출제의도] 무한등비수열의 수렴 조건 계산하기

공비가 [eqn: {3r-1} over {8}]인 무한등비수열이 수렴하기 위해서는 [eqn: -1< {3r-1} over {8} <= 1]

따라서 정수 [eqn: r=-2,-1,0,1,2,3]이므로 [eqn: 6]개

4. [출제의도] 간단한 로그 계산하기

[eqn: `log _{3} ` alpha +log _{3} ` beta =5] …㉠

[eqn: `log _{3} ` alpha `log _{3} ` beta =6] …㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: log _{3} alpha]와 [eqn: log _{3} beta]는 이차방정식

[eqn: x ^{2} -5x+6=0]의 두 근이므로 [eqn: x=2]또는 [eqn: x=3]

즉, [eqn: log _{3} alpha =2], [eqn: log _{3} beta =3] ([eqn: 0< alpha < beta]이므로)

[eqn: alpha =3 ^{2} =9], [eqn: beta =3 ^{3} =27]

[eqn: THEREFORE alpha ^{2} - beta =81-27=54]

5. [출제의도] 역함수의 성질을 이용한 로그성질 이해하기

[eqn: {2x+1} over {3} =t]라 하면 [eqn: x= {3t-1} over {2}] 이므로

[eqn: f(t)=log _{2} (-9t+7)`] [eqn: f ^{-1} (4)=a]라 하면

[eqn: log _{2} (-9a+7)=4]

[eqn: -9a+7=2 ^{4}], [eqn: a=-1]

[eqn: THEREFORE `f ^{-1} (4)=-1]

6. [출제의도] 수열의 극한 계산하기

[eqn: a _{n} =log _{8} {n(n+1)} over {2} -log _{8} n ^{2} =log _{8} {n LEFT ( n+1 RIGHT )} over {2n ^{2}}]

[eqn: ` lim _{n -> INF } {a _{n} = lim _{n -> INF } {log _{8} {n LEFT ( n+1 RIGHT )} over {2n ^{2}}} =log _{8} {1} over {2} =- {1} over {3}}]

7. [출제의도] 삼각함수의 성질을 이용한 로그계산하기

[eqn: log _{5} (b-c) ^{2} =log _{5} LEFT ( a ^{2} - {2bc} over {3} RIGHT )]

[eqn: (b-c) ^{2} =a ^{2} - {2bc} over {3}] …㉠

[eqn: rm TRIANGLE ABC`]에서 제[eqn: 2]코사인법칙

[eqn: a ^{2} =b ^{2} +c ^{2} -2bc`cosA] …㉡

㉡을 ㉠에 대입하면

[eqn: (b-c) ^{2} =b ^{2} +c ^{2} -2bc`cosA- {2bc} over {3}]이므로

[eqn: cosA= {2} over {3}]

8. [출제의도] 로그부등식 이해하기

[eqn: f(x)= cases{`````````````````2x _{}&```(0 <= x<10)#-2x+40`&```(10 <= x <= 20)}]

[eqn: f(f(x))= cases{``````````````4x _{}&```(0 <= x<5)#eqalign{-4x+40 _{}# ``````4x-40 _{}# -4x+80 _{}}&eqalign{```(5 <= x<10)# ```(10 <= x<15)# ```(15 <= x <= 20)}}]

[eqn: f(x)>`f(f(x))`]를 만족하는 정수 [eqn: x]값은 [eqn: 7,8,9,]

[eqn: 10,11,12,13]이고 이중 [eqn: 10]은 [eqn: log _{{1} over {2}} f(f(x))]의 진수가 [eqn: 0]이 되게 하는 값이므로 제외

따라서 모든 정수 [eqn: x]값의 합은 [eqn: 60]

9. [출제의도] 수열의 극한 추론하기

겹쳐지는 부분의 넓이는 항상 정사각형 [eqn: rmB]의 넓이의 [eqn: {1} over {4}]이므로 [eqn: 1]이다. 겹쳐진 부분의 넓이가 [eqn: rmA]의 넓이 [eqn: a _{n}]의 [eqn: {1} over {n+1}]일 때, 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은

[eqn: 2,~3,~4,~ CDOTS ,~n+1,~…] 이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{k} = {n(2+n+1)} over {2} = {n ^{2} +3n} over {2}]

따라서 [eqn: lim _{n -> INF } {{sum _{k=1} ^{n} a _{k} ^{}} over {n ^{2}}} = lim _{n -> INF } {{n ^{2} +3n} over {2n ^{2}} = {1} over {2}}]

10. [출제의도] 수열과 원의 방정식의 수학 내적문제 해결하기

원[eqn: rm O _{1} , rm O _{2} , rm O _{3} , rm O _{4} `]의 반지름을 각각 [eqn: r _{1} ,r _{2} ,r _{3} ,r _{4}]라

하면 [eqn: r _{1} =1]이고

[eqn: r _{1} ,r _{2} ,r _{3}]가 등비수열을 이루므로 [eqn: r _{2} ^{```2} =r _{1} r _{3}]…㉠

[eqn: r _{2} ,r _{3} ,r _{4}]는 등차수열을 이루므로 [eqn: 2r _{3} =r _{2} +r _{4}]…㉡

원[eqn: rmO _{1}]의 반지름의 길이는 [eqn: 1], 중심은 [eqn: (0,0)], 원[eqn: rm O _{4}]의 중심은 [eqn: (40,0)]이므로 [eqn: 1+2r _{2} +2r _{3} +r _{4} =40]이고 ㉠, ㉡에 의해 [eqn: 4r _{2} ^{``2} +r _{2} -39=0]

[eqn: THEREFORE r _{2} =3]([eqn: BECAUSE r _{2} >0]), [eqn: r _{4} =15]

따라서 원[eqn: rm O _{4}]의 넓이는 [eqn: 225 pi]

11. [출제의도] 행렬의 연산법칙을 이용하여 연역적 추론하기

[eqn: A ^{2} = pmatrix{a&```0#0&```1} ` pmatrix{a&``0#0&```1} = pmatrix{a ^{2}&```0#0&```1}]

[eqn: A ^{3} = pmatrix{a ^{3}&``0#0&``1}]

⋮

[eqn: A ^{n} = pmatrix{a ^{n} ``&0#0``&1}]

ㄱ. [eqn: A ^{10} = pmatrix{a ^{10}&``0#0&``1}] (참)

ㄴ. [eqn: X _{n} =A`A ^{2} A ^{3} CDOTS A ^{n} `# ````````````=A ^{{n(n+1)} over {2}}]

[eqn: = LEFT ( matrix{a ^{{n(n+1)} over {2}} ````&0#0&1} RIGHT )] (참)

ㄷ. (반례) [eqn: n=1]일 때,

[eqn: X _{2} ^{2} = LEFT ( matrix{a ^{6}&0#0&1} RIGHT ) != LEFT ( matrix{a ^{7}&0#0&1} RIGHT )=X _{3} X _{1}] (거짓)

12. [출제의도] 역행렬의 성질과 부등식 영역의 수학 내적문제 해결하기

[eqn: LEFT ( matrix{`````` LEFT [ a RIGHT ] -2&```` LEFT [ b RIGHT ] -1#- LEFT [ b RIGHT ] -1&```` LEFT [ a RIGHT ] -2} RIGHT )]는 역행렬이 존재하지 않아야하므로 [eqn: ( LEFT [ a RIGHT ] -2) ^{2} + LEFT [ b RIGHT ] ^{2} =1]

(i) [eqn: ( LEFT [ a RIGHT ] -2) ^{2} =0,``` LEFT [ b RIGHT ] ^{2} =1] 일 때

[eqn: LEFT [ a RIGHT ] =2,` LEFT [ b RIGHT ] =1]   [eqn: LRARROW `2 <= a<3,``````````1 <= b<2]

[eqn: LEFT [ a RIGHT ] =2,` LEFT [ b RIGHT ] =-1]  [eqn: LRARROW `2 <= a<3,``-1 <= b<0]

(ii) [eqn: ( LEFT [ a RIGHT ] -2) ^{2} =1,``` LEFT [ b RIGHT ] ^{2} =0] 일 때

[eqn: LEFT [ a RIGHT ] =3, LEFT [ b RIGHT ] =0] [eqn: LRARROW ``3 <= a<4,`````0 <= b<1]

[eqn: LEFT [ a RIGHT ] =1, LEFT [ b RIGHT ] =0] [eqn: LRARROW `1 <= a<2,```` & 0 <= b<1]

(i), (ii)의 영역을 나타내면

[eqn: (a,````b)]의 영역은 어두운 부분이므로 넓이는 [eqn: 4]

13. [출제의도] 수학적귀납법을 이용한 부등식 추론하기

(i) [eqn: n=2]일 때

[eqn: f(2)=12]이고

[eqn: sigma (2)=1+2+3+4+6+12=28] 이므로

(★)이 성립한다.

(ii) [eqn: n=k`(k >= 2)`]일 때 (★)이 성립한다고 가정하면 [eqn: sigma (k)>2f(k)=2 ^{k+1} `․`3]이다.

[eqn: n=k+1]일 때 (★)이 성립함을 보이자.

[eqn: f(k)]의 약수의 개수는 [eqn: 2k+2`]개이고 각각의 약수를 [eqn: a _{1} ,a _{2} ,` CDOTS `,a _{2k+2} ```(`a _{1} <a _{2} <` CDOTS `<a _{2k+2} )`] 라 하면 [eqn: f(k+1)]의 약수는

[eqn: a _{1} ,`a _{2} ,` CDOTS `,`a _{2k+2} `,] ,[eqn: `2a _{2k+2]이므로

[eqn: {2} over {3} a _{2k+2}]

[eqn: sigma (k+1)= sigma (k)+][eqn: +2a _{2k+2}]

[eqn: {2} over {3} a _{2k+2}]

한편, [eqn: a _{2k+2} =] 이므로

[eqn: `2 ^{k} `․`3]

[eqn: sigma (k+1)= sigma (k)+` { 8} over {3 }a_2k+2]

[eqn: =sigma(k)+]

[eqn: 2^k+3]

[eqn: >2 ^{k+1} ․3+2 ^{k+3}]

[eqn: =2 ^{k+1} ․7]

[eqn: >2 ^{k+1} `‧`6`]

[eqn: =2f(k+1)]

그러므로 [eqn: n=k+1]일 때도 (★)이 성립한다.

따라서 [eqn: n >= 2]인 모든 자연수에 대하여 (★)이 성립한다.

14. [출제의도] 무한등비급수와 원의 방정식의 수학 내적문제 해결하기

[eqn: S _{1} `=` {1} over {2} TIMES LEFT { TRIANGLE rm A _{1} OB _{1} - {LEFT ( C _{1} 의`넓이 RIGHT )} over {4} RIGHT }]

[eqn: `=` {1} over {2} TIMES LEFT ( {r ^{2}} over {2} - {pi r ^{2}} over {8} RIGHT )]

[eqn: S _{2} `=` {1} over {2} TIMES LEFT { TRIANGLE rm A _{2} OB _{2} - {LEFT ( C _{2} 의`넓이 RIGHT )} over {4} RIGHT }]

[eqn: `=` {1} over {2} TIMES LEFT ( {r ^{2}} over {4} - {pi r ^{2}} over {16} RIGHT )]

[eqn: VDOTS]

[eqn: S _{n} `=` {1} over {2} TIMES LEFT { TRIANGLE rm A it rm _{n} rm OB it rm _{n} - {rm LEFT ( C it rm _{n} 의`넓이 RIGHT )} over {4} RIGHT }]

[eqn: S _{n} =` LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n} TIMES LEFT ( {r ^{2}} over {2} - {pi r ^{2}} over {8} RIGHT )]

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n} `={r ^{2}} over {2} LEFT ( 1`- {pi } over {4} RIGHT ) `=`25 LEFT ( 1`- {pi } over {4} RIGHT )]이므로

[eqn: r ^{2} =50`````][eqn: ``` THEREFORE `r=`5 sqrt {2}]

15. [출제의도] 등비수열 이해하기

ㄱ. [eqn: 4 ^{5} ․9 ^{2} =2 ^{10} ․3 ^{4}] (참)

ㄴ. 제 [eqn: n]행의 왼쪽에서 [eqn: r]번째 수는 [eqn: a^n-r+1 b^r-1]    이므로 (참)

ㄷ. 제 [eqn: n]행의 합은

[eqn: a ^{n} +a ^{n-1} b+a ^{n-2} b^2 + CDOTS +b ^{n}]

[eqn: = {a ^{n} LEFT { 1- LEFT ( {b} over {a} RIGHT ) ^{n+1} RIGHT }} over {1- {b} over {a}}]

[eqn: = {a ^{n+1} -b ^{n+1}} over {a-b}] (참)

16. [출제의도] 수열의 극한 이해하기

	[eqn: alpha]	[eqn: alpha +4]	[eqn: alpha +8]	…
	[eqn: alpha +3]	[eqn: alpha +6]	[eqn: alpha +9]	…
	[eqn: alpha +6]	[eqn: alpha +8]	[eqn: alpha +10]	…
	[eqn: VDOTS]	[eqn: VDOTS]	[eqn: VDOTS]

[eqn: a _{n1} ``= alpha +3(n-1)``=``3n-3+ alpha `,# a _{nn} `=`(`3n-3+ alpha )``+`(n-1)(5-n)``# ````````````=`-n ^{2} `+9n+ alpha -8]

[eqn: THEREFORE ` lim _{n` -> INF } {` {a _{nn}} over {n ^{2}}} ``=`-1]

17. [출제의도] 수열의 극한 추론하기

[eqn: TRIANGLE rmABC=3200]

⃞[eqn: rmABDE] : [eqn: TRIANGLE rmDCE] = [eqn: (n+1):n] 이므로

⃞[eqn: rm ABDE it = {3200(n+1)} over {2n+1}],[eqn: TRIANGLE {rm DCE}= {3200n} over {2n+1}]

[eqn: △{rm BDE}= {1} over {2} TRIANGLE {rm DCE} = {1600n} over {2n+1}]

[eqn: △rmABE]= ⃞[eqn: rmABDE- TRIANGLE BDE] 이므로

[eqn: △{rmABE}= {1600(n+2)} over {2n+1} =40a _{n}]

따라서 [eqn: a _{n} = {40(n+2)} over {2n+1}] 이고 [eqn: lim _{n -> INF } {a _{n}} =20]

18. [출제의도] 로그의 성질 이해하기

[eqn: log _{a} x=n+ alpha]

ㄱ. [eqn: log _{2} 3=1+ alpha], [eqn: 2 ^{1+ alpha } =3]이므로 [eqn: 2 ^{alpha } = {3} over {2}](참)

ㄴ. [eqn: log _{sqrt {a}} x=2log _{a} x=2(n+ alpha )]

[eqn: alpha >= {1} over {2}]이면 [eqn: log _{sqrt {a}} x]의 정수부분은 [eqn: 2n+1]

(거짓)

ㄷ. [eqn: n <= log _{a} x<n+1]

[eqn: a ^{n} <= x<a ^{n+1}]이므로 자연수 [eqn: x]의 개수는 [eqn: (a-1)a ^{n}] (참)

19. [출제의도] 수열의 극한과 삼각함수의 수학 내적문제 해결하기

직각삼각형 [eqn: rmOPH]에서 [eqn: `sin theta = {bar{rm PH it}} over {bar{rm OP it}}]

[eqn: bar{rm PH it} = {n} over {sqrt {(n+1) ^{2} +1}}], [eqn: bar{rmOP}= sqrt { n^4 +n^2}]

[eqn: lim _{n -> INF } {`n ^{2} `sin theta } `= lim _{n-> INF } {{n ^{3}} over {sqrt {n ^{2} (n ^{2} +1)(n ^{2} +2n+2)}}} =1]

20. [출제의도] 지수, 로그함수 그래프 이해하기

함수의 그래프는 다음과 같다.

ㄱ.

ㄴ.

ㄷ.

따라서 조건에 맞는 그래프는 ㄱ, ㄴ 이다.

21. [출제의도] 상용로그를 이용한 수학 외적문제 해결하기

[eqn: 10 ^{6} LEFT ( 1+ {1} over {4} TIMES {10} over {100} RIGHT ) ^{4n} >= 5 TIMES 10 ^{6}]

[eqn: 4n`log`1.025 >= log`5`]

[eqn: n` >= 17.5]

[eqn: THEREFORE `n=18`]

22. [출제의도] 지수방정식 계산하기

[eqn: 3 ^{x} =t] [eqn: (t>0)]

[eqn: 3t ^{2} +2t-1= LEFT ( 3t-1 RIGHT ) LEFT ( t+1 RIGHT ) =0]이고 [eqn: t>0]이므로 [eqn: t= {1} over {3}] 즉 [eqn: 3 ^{x} = {1} over {3}]이다.

따라서 [eqn: alpha =-1]

[eqn: THEREFORE `` alpha ^{2} -10 alpha =11]

23. [출제의도] 등차중항의 성질 이해하기

[eqn: {a _{4} +a _{24}} over {2} + {b _{16} +b _{8}} over {2} =a _{14} +b _{12} =50]

[eqn: {a _{4} +a _{14}} over {2} + {b _{12} +b _{16}} over {2} =a _{9} +b _{14} =45]

따라서 [eqn: a _{9} +b _{14} =45]

24. [출제의도] 상용로그의 성질을 이해하기

[eqn: log` sqrt {x}]와 [eqn: log` root {3} of {sqrt {x}}]의 가수가 같으므로

[eqn: log` sqrt {x} -log root {3} of {sqrt {x}}= {1} over {3} `log`x]

[eqn: {1} over {3} `log`x]는 정수이고 [eqn: {20} over {3} < {1} over {3} `log`x<10] 이므로

[eqn: log`x=21,24,27]    [eqn: THEREFORE `x=10 ^{21} ,`10 ^{24} ,`10 ^{27}]

따라서 [eqn: log`N=log`10 ^{21} ․10 ^{24} ․10 ^{27} ``=72]

25. [출제의도] 지수함수 로그함수와 그 역함수의 그래프 이해하기

[eqn: y=a ^{x} -b]와 [eqn: y=log _{a} LEFT ( x+b RIGHT )]는 서로 역함수이고

그래프가 [eqn: y=x]에 대칭이므로 두 함수의 교점은 [eqn: LEFT ( 0,0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 5,5 RIGHT )]

[eqn: cases{b=1&#a ^{5} -b=5&}]이므로 [eqn: a ^{5} =6]

따라서 [eqn: a ^{10} +b ^{10} =(a ^{5} ) ^{2} +b ^{10} =36+1=37]

26. [출제의도] 로그함수의 그래프 이해하기

[eqn: rmP,Q]좌표를 [eqn: rm P it (a,`1-2 ^{a} ), rm ~Q it (b,`2 ^{b} -1)]이라 하면[eqn: TRIANGLE rm AP _{1} P]와 [eqn: TRIANGLE rm AQ _{1} Q]는 닮음이고 넓이의 비가 [eqn: 1:4], 닮음비는 [eqn: 1:2]이다.

[eqn: cases{b+3=2(a+3)&CDOTS ㉠#2 ^{b} -1=2(1-2 ^{a} )&CDOTS ㉡}]

㉠, ㉡에 의해 [eqn: 8․(2 ^{a} ) ^{2} +2․2 ^{a} -3=0]

[eqn: 2 ^{a} =t] [eqn: (t>0)]

[eqn: (2t-1)(4t+3)=0]

[eqn: t= {1} over {2}] , [eqn: 2 ^{a} = {1} over {2}],[eqn: `a=-1] [eqn: rm THEREFORE `P LEFT ( -1,` {1} over {2} RIGHT )]

따라서 점 [eqn: rmA,P,Q]를 지나는 직선 [eqn: y=m(x+3)]의 기울기 [eqn: m= {1} over {4}]이 되어 [eqn: { 1} over {m^2 }=16]

27. [출제의도] 행렬의 거듭제곱과 방정식의 수학 내적문제 해결하기

[eqn: A ^{3} = pmatrix{-1&```````0#``````0``&`-1} =-E], [eqn: A ^{4} =-A], [eqn: A ^{5} =-A ^{2}],

[eqn: A ^{6} =E``], [eqn: E`+A+A ^{2} +A ^{3} +A ^{4} +A ^{5} =O]

이므로 [eqn: E`+A+A ^{2} +A ^{3} + CDOTS +A ^{n} =O``]에서

[eqn: E`+A+A ^{2} +A ^{3} +A ^{4} +A ^{5}]                    [eqn: +A ^{6} (E`+A+A ^{2} +A ^{3} +A ^{4} +A ^{5} )=O]이므로

최솟값 [eqn: m=11]

[eqn: E`+A+A ^{2} +A ^{3} +A ^{4} +A ^{5}]

[eqn: +A ^{6} (E`+A+A ^{2} +A ^{3} +A ^{4} +A ^{5} )]             [eqn: + CDOTS +A ^{90} (E`+A+A ^{2} +A ^{3} +A ^{4} +A ^{5} )=O`]이므로 최댓값 [eqn: M=95]

[eqn: THEREFORE `M-m=84]

28. [출제의도] 등차수열 이해하기

[eqn: 1,~13,~`25,~37,~49]는 한 번만 더해지고 나머지 수는 두 번씩 더하게 되므로

[eqn: & ``````` sum _{k=1} ^{5} S _{kk}# & =S _{11} +S _{22} +S _{33} +S _{44} +S _{55}# & =2(1+3+ CDOTS +49)-(1+13+25+37+49)]

[eqn: & =2 {25(1+49)} over {2} - {5(1+49)} over {2} =1125]

[eqn: THEREFORE ` {1} over {5} sum _{k=1} ^{5} S _{kk} & = {1125} over {5} =225]

29. [출제의도] 로그함수와 삼각함수 그래프의 수학 내적문제 해결하기

[eqn: f(x)=` {1} over {4} `log _{2} x] , [eqn: g(x)=`sin(4 pi x)``]

[eqn: f(x)]가 증가함수이고 [eqn: f(16)=1]이므로 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=g(x)]가 만나는 교점의 개수는

[eqn: 3+4 TIMES 15`=63](개)

30. [출제의도] 등비수열과 등차수열을 이용한 수학 외적문제 해결하기

등비수열 [eqn: a],[eqn: b],[eqn: c]를 [eqn: a],[eqn: ar],[eqn: ar^2]이라 하면 [eqn: a'= {1} over {2} a]이므로 등차수열 [eqn: a prime = {a} over {2}], [eqn: b prime = {a} over {2} +d], [eqn: c prime = {a} over {2} +2d]

[eqn: ar ^{2} - LEFT ( {a} over {2} +2d RIGHT ) =2 LEFT { {a} over {2} +ar- LEFT ( {a} over {2} +d RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: {a} over {2} LEFT ( 2r ^{2} -4r-1 RIGHT ) =0]에서

[eqn: a != 0]이므로 [eqn: r= {2+ sqrt {6}} over {2} LEFT ( BECAUSE `r>0 RIGHT )]

[eqn: a:b:c=1: {2+ sqrt {6}} over {2} : {5+2 sqrt {6}} over {2}]

[eqn: alpha + beta = {1} over {2} (7+3 sqrt {6} )]이므로 [eqn: p=7,q=3]

[eqn: THEREFORE `pq=21]

“나”형 정답

1	②	2	⑤	3	④	4	④	5	①
6	⑤	7	④	8	①	9	②	10	④
11	③	12	①	13	③	14	②	15	⑤
16	①	17	⑤	18	③	19	③	20	③
21	②	22	[eqn: 16]	23	[eqn: 45]	24	[eqn: 72]	25	[eqn: 115]
26	[eqn: 10]	26	[eqn: 84]	28	[eqn: 225]	29	[eqn: 102]	30	[eqn: 21]

해설

1. [출제의도] 로그 계산하기

[eqn: log _{2} ` LEFT ( sqrt {3} RIGHT ) ^{2} -log _{2} 6=log _{2} {3} over {6} =log _{2} {1} over {2} =-1]

2. [출제의도] 간단한 행렬 계산하기

[eqn: AB+ LEFT ( A+B RIGHT ) ^{-1}# = pmatrix{``````0&``2#-2&``0} + pmatrix{`0&``` {1} over {2}#{1} over {2}&0} ``=`` LEFT ( matrix{0&``` {5} over {2}#- {3} over {2}&`0} RIGHT )]

[eqn: THEREFORE {5} over {2} + LEFT ( - {3} over {2} RIGHT ) =1]

3. [출제의도] 로그의 밑변환 공식 이해하기

[eqn: log _{9} 24= {log`24} over {log`9} = {3log2+log3} over {2log3} = {3a+b} over {2b}]

4. [출제의도] 간단한 로그 계산하기

[eqn: `log _{3} ` alpha +log _{3} ` beta =5] …㉠

[eqn: `log _{3} ` alpha `log _{3} ` beta =6] …㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: log _{3} alpha]와 [eqn: log _{3} beta]는 이차방정식

[eqn: x ^{2} -5x+6=0]의 두 근이므로 [eqn: x=2]또는 [eqn: x=3]

즉, [eqn: log _{3} alpha =2], [eqn: log _{3} beta =3] ([eqn: 0< alpha < beta]이므로)

[eqn: alpha =3 ^{2} =9], [eqn: beta =3 ^{3} =27]

[eqn: THEREFORE alpha ^{2} - beta =81-27=54]

5. [출제의도] 행렬의 상등과 수열의 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: a _{n+1} =3a _{n} +2b _{n} ```,```b _{n+1} =b _{n}]

[eqn: b _{n+1} =b _{n} =` CDOTS `=b _{1} =2]

따라서 [eqn: a _{n+1} =3a _{n} +4]

[eqn: a _{n} =3 ^{n} -2]  [eqn: THEREFORE `a _{10} +b _{10} =3 ^{10}]

<별해>

[eqn: cases{a _{n+1} =3a _{n} +2b _{n}&` CDOTS ㉠#b _{n+1} =b _{n}&`CDOTS ㉡} `]

㉠, ㉡을 더하면

[eqn: a _{n+1} +b _{n+1} =3(a _{n} +b _{n} )]이므로 수열 [eqn: LEFT { a _{n} +b _{n} RIGHT }]은 [eqn: a _{1} +b _{1} =3]이고 공비가 [eqn: 3]인 등비수열

[eqn: THEREFORE `a _{n} +b _{n} =3 ^{n}]

6. [출제의도] 등비수열의 일반항과 합 이해하기

수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]은 공비가 [eqn: {1} over {2}]인 등비수열

[eqn: sum _{k=1} ^{n} `log``a _{k`}]의 값이 최대가 되려면 [eqn: loga _{n} >= 0]

즉, [eqn: a _{n`} ` >= `1]

[eqn: 10 ^{10} `․`` LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1} `` >= `1]

[eqn: 10`+`(1-n)`log2 >= 0]

[eqn: n` <= {10} over {log2} +1`=`34.`` CDOTS]    [eqn: THEREFORE `n=34]

7. [출제의도] 삼각함수의 성질을 이용한 로그계산하기

[eqn: log _{5} (b-c) ^{2} =log _{5} LEFT ( a ^{2} - {2bc} over {3} RIGHT )]

[eqn: (b-c) ^{2} =a ^{2} - {2bc} over {3}] …㉠

[eqn: rm TRIANGLE ABC`]에서 제[eqn: 2]코사인법칙

[eqn: a ^{2} =b ^{2} +c ^{2} -2bc`cosA] …㉡

㉡을 ㉠에 대입하면

[eqn: (b-c) ^{2} =b ^{2} +c ^{2} -2bc`cosA- {2bc} over {3}]이므로

[eqn: cosA= {2} over {3}]

8. [출제의도] 역행렬의 정의 이해하기

[eqn: (A-2E)(A+2E) & =E# A ^{2} -4E & =E# A ^{2} & =5E# THEREFORE A LEFT ( {1} over {5} A RIGHT ) & =E]

9. [출제의도] 수열의 일반항과 합의 관계 이해하기

[eqn: a _{n} =S _{n} -S _{n-1} (n >= 2)]

[eqn: THEREFORE `a _{10} =S _{10} -S _{9} =2 ^{9} -19=493]

10. [출제의도] 수열과 원의 방정식의 수학 내적문제 해결하기

원[eqn: rm O _{1} , rm O _{2} , rm O _{3} , rm O _{4} `]의 반지름을 각각 [eqn: r _{1} ,r _{2} ,r _{3} ,r _{4}]라

하면 [eqn: r _{1} =1]이고

[eqn: r _{1} ,r _{2} ,r _{3}]가 등비수열을 이루므로 [eqn: r _{2} ^{```2} =r _{1} r _{3}]…㉠

[eqn: r _{2} ,r _{3} ,r _{4}]는 등차수열을 이루므로 [eqn: 2r _{3} =r _{2} +r _{4}]…㉡

원[eqn: rmO _{1}]의 반지름의 길이는 [eqn: 1], 중심은 [eqn: (0,0)], 원[eqn: rm O _{4}]의 중심은 [eqn: (40,0)]이므로 [eqn: 1+2r _{2} +2r _{3} +r _{4} =40]이고 ㉠, ㉡에 의해 [eqn: 4r _{2} ^{``2} +r _{2} -39=0]

[eqn: THEREFORE r _{2} =3]([eqn: BECAUSE r _{2} >0]), [eqn: r _{4} =15]

따라서 원[eqn: rm O _{4}]의 넓이는 [eqn: 225 pi]

11. [출제의도] 행렬의 연산법칙을 이용하여 연역적 추론하기

[eqn: A ^{2} = pmatrix{a&```0#0&```1} ` pmatrix{a&``0#0&```1} = pmatrix{a ^{2}&```0#0&```1}]

[eqn: A ^{3} = pmatrix{a ^{3}&``0#0&``1}]

⋮

[eqn: A ^{n} = pmatrix{a ^{n} ``&0#0``&1}]

ㄱ. [eqn: A ^{10} = pmatrix{a ^{10}&``0#0&``1}] (참)

ㄴ. [eqn: X _{n} =A`A ^{2} A ^{3} CDOTS A ^{n} `# ````````````=A ^{{n(n+1)} over {2}}]

[eqn: = LEFT ( matrix{a ^{{n(n+1)} over {2}} ````&0#0&1} RIGHT )] (참)

ㄷ. (반례) [eqn: n=1]일 때,

[eqn: X _{2} ^{2} = LEFT ( matrix{a ^{6}&0#0&1} RIGHT ) != LEFT ( matrix{a ^{7}&0#0&1} RIGHT )=X _{3} X _{1}] (거짓)

12. [출제의도] 역행렬의 성질과 부등식 영역의 수학 내적문제 해결하기

[eqn: LEFT ( matrix{`````` LEFT [ a RIGHT ] -2&```` LEFT [ b RIGHT ] -1#- LEFT [ b RIGHT ] -1&```` LEFT [ a RIGHT ] -2} RIGHT )]는 역행렬이 존재하지 않아야하므로 [eqn: ( LEFT [ a RIGHT ] -2) ^{2} + LEFT [ b RIGHT ] ^{2} =1]

(i) [eqn: ( LEFT [ a RIGHT ] -2) ^{2} =0,``` LEFT [ b RIGHT ] ^{2} =1] 일 때

[eqn: LEFT [ a RIGHT ] =2,` LEFT [ b RIGHT ] =1]   [eqn: LRARROW `2 <= a<3,``````````1 <= b<2]

[eqn: LEFT [ a RIGHT ] =2,` LEFT [ b RIGHT ] =-1]  [eqn: LRARROW `2 <= a<3,``-1 <= b<0]

(ii) [eqn: ( LEFT [ a RIGHT ] -2) ^{2} =1,``` LEFT [ b RIGHT ] ^{2} =0] 일 때

[eqn: LEFT [ a RIGHT ] =3, LEFT [ b RIGHT ] =0] [eqn: LRARROW ``3 <= a<4,`````0 <= b<1]

[eqn: LEFT [ a RIGHT ] =1, LEFT [ b RIGHT ] =0] [eqn: LRARROW `1 <= a<2,```` & 0 <= b<1]

(i), (ii)의 영역을 나타내면

[eqn: (a,````b)]의 영역은 어두운 부분이므로 넓이는 [eqn: 4]

13. [출제의도] 수학적귀납법을 이용한 부등식 추론하기

(i) [eqn: n=2]일 때

[eqn: f(2)=12]이고

[eqn: sigma (2)=1+2+3+4+6+12=28]이므로

(★)이 성립한다.

(ii) [eqn: n=k`(k >= 2)`]일 때 (★)이 성립한다고 가정하면 [eqn: sigma (k)>2f(k)=2 ^{k+1} `․`3]이다.

[eqn: n=k+1]일 때 (★)이 성립함을 보이자.

[eqn: f(k)]의 약수의 개수는 [eqn: 2k+2`]개이고 각각의 약수를 [eqn: a _{1} ,a _{2} ,` CDOTS `,a _{2k+2} ```(`a _{1} <a _{2} <` CDOTS `<a _{2k+2} )`]라 하면 [eqn: f(k+1)]의 약수는

[eqn: a _{1} ,`a _{2} ,` CDOTS `,`a _{2k+2} `,] ,[eqn: `2a _{2k+2]이므로

[eqn: {2} over {3} a _{2k+2}]

[eqn: sigma (k+1)= sigma (k)+][eqn: +2a _{2k+2}]

[eqn: {2} over {3} a _{2k+2}]

한편, [eqn: a _{2k+2} =] 이므로

[eqn: `2 ^{k} `․`3]

[eqn: sigma (k+1)= sigma (k)+` { 8} over {3 }a_2k+2]

[eqn: =sigma(k)+]

[eqn: 2^k+3]

[eqn: >2 ^{k+1} ․3+2 ^{k+3}]

[eqn: =2 ^{k+1} ․7]

[eqn: >2 ^{k+1} `‧`6`]

[eqn: =2f(k+1)]

그러므로 [eqn: n=k+1]일 때도 (★)이 성립한다.

따라서 [eqn: n >= 2]인 모든 자연수에 대하여 (★)이 성립한다

14. [출제의도] 계차수열의 일반항 추론하기

[eqn: a _{1} =0], [eqn: a _{2} =2 TIMES 1], [eqn: a _{3} =0+2 TIMES 1+2 TIMES 5]

[eqn: a _{4} =0+2 TIMES 1+2 TIMES 5+2 TIMES 5 ^{2}]

⋮

[eqn: a _{n} =0+2(1+5+5 ^{2} +` CDOTS `+5 ^{n-2} )][eqn: (n >= 2)]

[eqn: = {2(5 ^{n-1} -1)} over {5-1} = {5 ^{n-1} -1} over {2}]

[eqn: a _{5} = {5 ^{4} -1} over {2} =312]

15. [출제의도] 등비수열 이해하기

ㄱ. [eqn: 4 ^{5} ․9 ^{2} =2 ^{10} ․3 ^{4}] (참)

ㄴ. 제 [eqn: n]행의 왼쪽에서 [eqn: r]번째 수는 [eqn: a^n-r+1 b^r-1]    이므로 (참)

ㄷ. 제 [eqn: n]행의 합은

[eqn: a ^{n} +a ^{n-1} b+a ^{n-2} b^2 + CDOTS +b ^{n}]

[eqn: = {a ^{n} LEFT { 1- LEFT ( {b} over {a} RIGHT ) ^{n+1} RIGHT }} over {1- {b} over {a}}]

[eqn: = {a ^{n+1} -b ^{n+1}} over {a-b}] (참)

16. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수의 성질이해하기

[eqn: log`x=n+ alpha] (단, [eqn: n >= 0]인 정수, [eqn: 0 <= alpha <1])

[eqn: LEFT ( log`x RIGHT ) ^{2} +23 alpha ^{2} =2n ^{2} `]

[eqn: (n+ alpha ) ^{2} +23 alpha ^{2} =2n ^{2}]

[eqn: (n-6 alpha )(n+4 alpha )=0]

[eqn: THEREFORE ``n=6 alpha] ([eqn: BECAUSE n >= 0]인 정수)

[eqn: 0 <= alpha <1]이고 [eqn: 0 <= n<6]인 정수

[eqn: (n,`` alpha )= LEFT ( 1,``` {1} over {6} RIGHT ) , LEFT ( 2,``` {1} over {3} RIGHT ) , LEFT ( 3,``` {1} over {2} RIGHT ) , LEFT ( 4,``` {2} over {3} RIGHT ) , LEFT ( 5,``` {5} over {6} RIGHT )]

[eqn: m=10 ^{{7} over {6}}], [eqn: M=10 ^{{35} over {6}}]

[eqn: THEREFORE `log``mM=7]

17. [출제의도] 행렬의 거듭제곱과 등비수열의 수학 내적문제 해결하기

[eqn: A ^{2} pmatrix{1#0} =A LEFT ( A pmatrix{1#0} RIGHT ) = LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{2} pmatrix{1#0}]

[eqn: A ^{3} pmatrix{1#0} =A LEFT ( A ^{2} pmatrix{1#0} RIGHT ) = LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{3} pmatrix{1#0}]

[eqn: VDOTS]

[eqn: A ^{n} pmatrix{1#0} = LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n} pmatrix{1#0}]

마찬가지 방법으로  [eqn: A ^{n} pmatrix{1#1} = LEFT ( {1} over {5} RIGHT ) ^{n} pmatrix{1#1}]

[eqn: A ^{n} pmatrix{1&1#0&1} = pmatrix{{1} over {3 ^{n}}&{1} over {5 ^{n}} `#0&{1} over {5 ^{n}} `} ``]

[eqn: A ^{n} = pmatrix{{1} over {3 ^{n}}&{1} over {5 ^{n}}#0&{1} over {5 ^{n}}} pmatrix{1&```-1#0&``````````1}][eqn: = pmatrix{{1} over {3 ^{n}}&``````````- {1} over {3 ^{n}} + {1} over {5 ^{n}}#0&{1} over {5 ^{n}}}]

따라서 [eqn: A ^{n}]의 모든 성분의 합은 [eqn: {2} over {5 ^{n}}]

[eqn: A+A ^{2} +A ^{3} + CDOTS +A ^{10}]의 모든 성분의 합은

[eqn: {2} over {5} + {2} over {5 ^{2}} + {2} over {5 ^{3}} + CDOTS + {2} over {5 ^{10}} = {1} over {2} LEFT ( 1- {1} over {5 ^{10}} RIGHT )]

18. [출제의도] 로그의 성질 이해하기

[eqn: log _{a} x=n+ alpha]

ㄱ. [eqn: log _{2} 3=1+ alpha], [eqn: 2 ^{1+ alpha } =3]이므로 [eqn: 2 ^{alpha } = {3} over {2}](참)

ㄴ. [eqn: log _{sqrt {a}} x=2log _{a} x=2(n+ alpha )]

[eqn: alpha >= {1} over {2}]이면 [eqn: log _{sqrt {a}} x]의 정수부분은 [eqn: 2n+1]

(거짓)

ㄷ. [eqn: n <= log _{a} x<n+1]

[eqn: a ^{n} <= x<a ^{n+1}]이므로 자연수 [eqn: x]의 개수는 [eqn: (a-1)a ^{n}] (참)

19. [출제의도] 수열의 일반항 추론하기

(선분 [eqn: rmAB]의  길이)=[eqn: a _{n}]이라 하면,

[eqn: bar{rm AQ it rm _{i} it} = {i} over {n+1} a _{n} ,`` bar{rm AP it rm _{i} it} = {i} over {n} a _{n} ,`` bar{rm AQ it rm _{i+1} it} = {i+1} over {n+1} a _{n}]

[eqn: (1 <= i <= n-1)]

[eqn: bar{rm Q it rm _{i} rm P it rm _{i} it} = LEFT ( {i} over {n} - {i} over {n+1} RIGHT ) a _{n} = {i} over {n(n+1)} a _{n}]이 최소일 때 [eqn: i=1], 최솟값은 [eqn: {a _{n}} over {n(n+1)}]

[eqn: bar{rm P it rm _{i} rm Q it rm _{i+1} it} = LEFT ( {i+1} over {n+1} - {i} over {n} RIGHT ) a _{n} = {n-i} over {n(n+1)} a _{n}]이 최소일 때 [eqn: i=n-1], 최솟값은 [eqn: {a _{n}} over {n(n+1)}]

[eqn: {a _{n}} over {n(n+1)} =2] 이므로 [eqn: a _{n} =2n(n+1)]

[eqn: THEREFORE `a _{30} =1860]

20. [출제의도] 행렬을 이용한 해가 무수히 많을 조건 이해하기

[eqn: a-2+2b=0`]이므로 [eqn: a+2b=2]

[eqn: 1= {a+2b} over {2} >= sqrt {2ab}] , [eqn: {1} over {2} >= ab`], 최댓값은 [eqn: {1} over {2}]

등호는 [eqn: a=2b`]일 때 성립

즉, [eqn: cases{a+2b=2&#a-2b=0``&}]이므로 [eqn: pmatrix{``1&`````2#``1&-2``} ` LEFT ( pile{a _{1}#``b _{1} ``} RIGHT ) =` LEFT ( pile{2#``0``} RIGHT )] [eqn: ` alpha =1,` beta =-2]  [eqn: THEREFORE alpha + beta =-1]

21. [출제의도] 상용로그를 이용한 수학 외적문제 해결하기

[eqn: 10 ^{6} LEFT ( 1+ {1} over {4} TIMES {10} over {100} RIGHT ) ^{4n} >= 5 TIMES 10 ^{6}]

[eqn: 4n`log`1.025 >= log`5`]

[eqn: n` >= 17.5]

[eqn: THEREFORE `n=18`]

22. [출제의도] 간단한 지수 계산하기

[eqn: 2 ^{{1} over {6}} TIMES 2 ^{{9} over {2}} ÷2 ^{{2} over {3}} =2 ^{{1} over {6} + {9} over {2} - {2} over {3}} =16]

23.  [출제의도] 등차중항의 성질 이해하기

[eqn: {a _{4} +a _{24}} over {2} + {b _{16} +b _{8}} over {2} =a _{14} +b _{12} =50]

[eqn: {a _{4} +a _{14}} over {2} + {b _{12} +b _{16}} over {2} =a _{9} +b _{14} =45]

따라서 [eqn: a _{9} +b _{14} =45]

24. [출제의도] 상용로그의 성질을 이해하기

[eqn: log` sqrt {x}]와 [eqn: log` root {3} of {sqrt {x}}]의 가수가 같으므로

[eqn: log` sqrt {x} -log root {3} of {sqrt {x}}= {1} over {3} `log`x]

[eqn: {1} over {3} `log`x]는 정수이고 [eqn: {20} over {3} < {1} over {3} `log`x<10] 이므로

[eqn: log`x=21,24,27]    [eqn: THEREFORE `x=10 ^{21} ,`10 ^{24} ,`10 ^{27}]

따라서 [eqn: log`N=log`10 ^{21} ․10 ^{24} ․10 ^{27} ``=72]

25. [출제의도] 등차수열을 이용한 수학 외적문제 해결하기

[eqn: n]번째로 출발한 일반열차의 오전 [eqn: 6]시부터 경과 시간(분)을 [eqn: a _{n}], 급행열차의 오전 [eqn: 6]시부터 경과시간(분)을 [eqn: b _{n}]이라 하면 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 [eqn: a _{1} =0], 공차가 [eqn: 7]인 등차수열이고 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]은 [eqn: b _{1} =720], 공차가 [eqn: 13]인 등차수열이므로

[eqn: a _{n}=7n-7], [eqn: b _{n`} =13n+707]

[eqn: n]번째 일반열차와 [eqn: m]번째 급행열차의 출발시각이 일치하려면

[eqn: 7n-7=13m+707]

[eqn: 7(n-102)=13m]인 최소 자연수 [eqn: m=7]

([eqn: BECAUSE `n,m]은 자연수)이므로 [eqn: n=115]

26. [출제의도] 행렬의 곱셈 이해하기

[eqn: A ^{2} `= pmatrix{49-ab`````&0#0&49-ab} ``= LEFT ( matrix{1&``0#0&``1} RIGHT )]이므로

[eqn: ab=48=2 ^{4} TIMES 3]

[eqn: (a,b)]의 순서쌍의 개수는 [eqn: 10]개이다.

27. [출제의도] 행렬의 거듭제곱과 방정식의 수학 내적문제 해결하기

[eqn: A ^{3} = pmatrix{-1&```````0#``````0``&`-1} =-E], [eqn: A ^{4} =-A], [eqn: A ^{5} =-A ^{2}],

[eqn: A ^{6} =E``], [eqn: E`+A+A ^{2} +A ^{3} +A ^{4} +A ^{5} =O]

이므로 [eqn: E`+A+A ^{2} +A ^{3} + CDOTS +A ^{n} =O``]에서

[eqn: E`+A+A ^{2} +A ^{3} +A ^{4} +A ^{5}]                    [eqn: +A ^{6} (E`+A+A ^{2} +A ^{3} +A ^{4} +A ^{5} )=O]이므로

최솟값 [eqn: m=11]

[eqn: E`+A+A ^{2} +A ^{3} +A ^{4} +A ^{5}]

[eqn: +A ^{6} (E`+A+A ^{2} +A ^{3} +A ^{4} +A ^{5} )]             [eqn: + CDOTS +A ^{90} (E`+A+A ^{2} +A ^{3} +A ^{4} +A ^{5} )=O`]이므로 최댓값 [eqn: M=95]

[eqn: THEREFORE `M-m=84]

28. [출제의도] 등차수열 이해하기

[eqn: 1,~13,~`25,~37,~49]는 한 번만 더해지고 나머지 수는 두 번씩 더하게 되므로

[eqn: & ``````` sum _{k=1} ^{5} S _{kk}# & =S _{11} +S _{22} +S _{33} +S _{44} +S _{55}# & =2(1+3+ CDOTS +49)-(1+13+25+37+49)]

[eqn: & =2 {25(1+49)} over {2} - {5(1+49)} over {2} =1125]

[eqn: THEREFORE ` {1} over {5} sum _{k=1} ^{5} S _{kk} & = {1125} over {5} =225]

29. [출제의도] 상용로그의 성질과 집합의 성질에 대한 수학 내적문제 해결하기

[eqn: S=2 ^{n-1} ․128=2 ^{n+6}]

[eqn: S]는 [eqn: 10]자리 정수이므로

[eqn: 9 <= log`S<10]

[eqn: n]은 [eqn: {9} over {log`2} -6 <= n< {10} over {log`2} -6]인 정수이므로

[eqn: n=24,25,26,27]

따라서 [eqn: 24+25+26+27=102]

30. [출제의도] 등비수열과 등차수열을 이용한 수학 외적문제 해결하기

등비수열 [eqn: a],[eqn: b],[eqn: c]를 [eqn: a],[eqn: ar],[eqn: ar^2]이라 하면 [eqn: a'= {1} over {2} a]이므로 등차수열 [eqn: a prime = {a} over {2}], [eqn: b prime = {a} over {2} +d], [eqn: c prime = {a} over {2} +2d]

[eqn: ar ^{2} - LEFT ( {a} over {2} +2d RIGHT ) =2 LEFT { {a} over {2} +ar- LEFT ( {a} over {2} +d RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: {a} over {2} LEFT ( 2r ^{2} -4r-1 RIGHT ) =0]에서

[eqn: a != 0]이므로 [eqn: r= {2+ sqrt {6}} over {2} LEFT ( BECAUSE `r>0 RIGHT )]

[eqn: a:b:c=1: {2+ sqrt {6}} over {2} : {5+2 sqrt {6}} over {2}]

[eqn: alpha + beta = {1} over {2} (7+3 sqrt {6} )]이므로 [eqn: p=7,q=3]

[eqn: THEREFORE `pq=21]