◦ 자신이 선택한 유형(‘가’형/‘나’형)의 문제지인지 확인하시오.

수리 영역

‘나’형

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수리 영역

‘나’형

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2009학년도 9월 고2 전국연합학력평가 문제지

제 2 교시            수리 영역

성명			수험 번호						2

‘나’형

◦ 문제지의 해당란에 성명과 수험 번호를 정확히 쓰시오.

◦ 답안지의 해당란에 성명과 수험 번호를 쓰고, 또 수험 번호와 답을 정확히 표시하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 ‘0’이 포함되면, 그 ‘0’ 도 답란에 반드시 표시하시오.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

8

1. [eqn: root {bold4} of {4^3} TIMES LEFT ( 1 over 2 RIGHT )^ {- 3 over 2}]의 값은? [2점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 32]

2. [eqn: 2log_{``3}``2 + `log_{``3}``18 -log_{``3}``8``]의 값은? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3``]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

3. 세 행렬 [eqn: A= {pmatrix{````1``&`````1``#````1``&`````2``}} ``], [eqn: B= {pmatrix{```````2``&`-1``#```-1``&`````````1``}} ``], [eqn: C= {pmatrix{```````0``&```-1``#```-1``&``````````1``}} ``]에 대하여 행렬 [eqn: (A+B)C] 의 모든 성분의 합은? [2점]

① [eqn: -5]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -3]	④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -1]

4. [eqn: 3^{`a} =2,````3^{`b} = 5,````3^{`c} =50]일 때, [eqn: 3^3a+2b-c]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

5. 1이 아닌 세 양수 [eqn: a,~b,~c]에 대하여, [eqn: a^2]은 [eqn: b]의 세제곱근이고
[eqn: c^3]은 [eqn: b]의 네제곱근이다. [eqn: log _{a} b+log _{b} c= {q} over {p}]라 할 때, [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: p,````q]는 서로소인 자연수이다.) [3점]

① [eqn: 81]	② [eqn: 82]	③ [eqn: 83]	④ [eqn: 84]	⑤ [eqn: 85]

6. 두 양수  [eqn: x,~y] 에 대하여 연산 ∧를 [eqn: x∧y=x^y]으로 정의할 때,  <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: a,~b,~c]는 양수이다.) [3점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: (a∧b)^{`c} =a∧(b`c)] ㄴ. [eqn: a∧(b∧c)=(a∧b)∧c] ㄷ. [eqn: (a`b ) WEDGEc=(a WEDGE c )`(b WEDGE c)]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

7. [eqn: x= 1 over 3 `log_{``2} (5+2sqrt6 )]일 때, [eqn: 8^x -8^-x]의 값은? [3점]

① [eqn: sqrt2 -sqrt3]	② [eqn: sqrt2 +sqrt3]	③ [eqn: 2sqrt2]

④ [eqn: 2sqrt3]	⑤ [eqn: 4sqrt6]

8. 두 이차정사각행렬 [eqn: A,~B] 에 대하여 연산 ◎ 를 [eqn: A ◎ B = AB+BA]로 정의할 때, 행렬 [eqn: LEFT {pmatrix { ```````3`&```2` `#-1` &``4`` }◎ {pmatrix { ```````3`&```2` `#-1` &``4`` }}^-1 RIGHT } ◎ {pmatrix { ``4`&``3` `#``1` &``1`` }}]은? [3점]

① [eqn: pmatrix { ``4`&`````3``` #``1` &````1` }]	② [eqn: pmatrix { ``8`&`````6``` #``2` &````2` }]	③ [eqn: pmatrix { `12`&`````9` #`3 &`````3` }]

④ [eqn: pmatrix { `16`&``12` #`4` &```4` }]	⑤ [eqn: pmatrix { `20`&``15` #`5` &```5` }]

9. 두 이차정사각행렬 [eqn: A,~B``]가

[eqn: A-B= {pmatrix{``````````0``&```2``#``-2``&```1``}}], [eqn: A ^{2} `+B ^{2} = {pmatrix{````````0``&````````2``#`-1``&`-1``}} ``]
을 만족시킬 때, 행렬 [eqn: AB``+BA`]의 모든 성분의 합은? [3점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

10. 그림은 어느 해 [eqn: 3]월 달력의 일부분을 나타낸 것이다. 그림에 굵은 실선으로 표시된 직사각형 안에 있는 수 [eqn: a,] [eqn: b,~c,~d] 를 성분으로 하는 이차정사각행렬 [eqn: A= pmatrix { `a`&`b` #`c` &`d` }]에 대하여 연립방정식 [eqn: A pmatrix {`x ` # `y `}=pmatrix {`7 ` # `14 `}]의 해를 [eqn: x= alpha], [eqn: y= beta `]라 하자.
[eqn: alpha-beta=1]일 때, 그 해의 [eqn: 4]월 [eqn: 14]일의 요일은? [4점]

① 월요일	② 화요일	③ 수요일	④ 목요일	⑤ 금요일

11. [eqn: 36^ { 1 over n } = root { 2 + root 3 } + root { 2 - root 3 }]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 값은?
[3점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

12. 반지름의 길이가 [eqn: 1 over 2]인 [eqn: 4]개의 원이 그림과 같이 놓여 있다.
주어진 [eqn: 4]개의 원과 원 [eqn: (x-1)^2 +y^2 =k] ([eqn: k=1,~2,~3,~4])의 서로 다른 교점의 개수를 [eqn: a _{k}]라 하자. 이 때, [eqn: pmatrix{`a _{1} `&`a _{2} `#`a _{3} `&`a _{4} `} pmatrix{`p`#`q`} = pmatrix{`9`#`18`}]을 만족시키는 [eqn: p,````q``]에 대하여  [eqn: p+q``]의 값은? [4점]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm `O]

[eqn: 1]

[eqn: -1]

[eqn: 1]

[eqn: -1]

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]	④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

13. 다음은 유리수 [eqn: x,````y,````u,````v``]에 대하여
[eqn: x`log`2`+`y`log`5`=`u`log`2`+`v`log`5]이면 [eqn: x`=`u], [eqn: y`=`v`]임을 증명한 것이다.

<증명>

먼저 [eqn: {log5} over {log2}]가 무리수임을 보이자.

[eqn: {log5} over {log2} `=` {q} over {p}] ([eqn: p,````q`]는 서로소인 자연수)라 하면

[eqn: 5 ^{``p }=] 이다.

(가)

그런데, [eqn: 5 ^{``p }]은 홀수이고 은 짝수이므로 모순이다.

(가)

따라서 [eqn: {log5} over {log2}]는 무리수이다.

[eqn: x`log`2`+`y`log`5`=`u`log`2`+`v`log`5]에서

[eqn: x-u`=`(v`-y`)`]이다.

(나)

[eqn: v`-`y` != `0]이면 우변은 이고, 좌변은 이므로 등식이 성립하지 않는다.

(다)

그러므로 [eqn: v-y=0], [eqn: x-u=0]이다.

따라서 [eqn: x=u,````y=v]이다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점]

	(가)		(나)	(다)
①	[eqn: 2^q]		[eqn: log _{`2} `5]	무리수
②	[eqn: 2^q]		[eqn: log _{`2} `5]	유리수
③	[eqn: 2^q]		[eqn: log _{`5} `2]	무리수
④	[eqn: 2^p]		[eqn: log _{`2} `5]	유리수
⑤	[eqn: 2^p]		[eqn: log _{`5} `2]	유리수

14. 역행렬이 존재하는 두 이차정사각행렬 [eqn: A,~B``]가
[eqn: A^2 +AB=B^-1], [eqn: B^2 +BA=A^-1]를 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: A^-1]는 [eqn: A]의 역행렬이다.)                                                        [4점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: AB=BA] ㄴ. [eqn: (AB)^-1 =A-B] ㄷ. [eqn: (A+B)^-1 (A^-1 +B^-1 ) =A+B]

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

15. 어떤 카메라에는 렌즈를 통하여 필름에 도달하는 빛의 양을 조절하는 장치인 조리개가 있다. 이 카메라에서 필름에 도달하는 빛의 양의 척도 [eqn: s]와 조리개 개방 수치 [eqn: f] 사이에는 다음과 같은 관계가 있다고 한다.
[eqn: s=`2`log _{``2}``f]
필름에 도달하는 빛의 양의 척도가 [eqn: 2]일 때의 조리개 개방 수치를 [eqn: f_1], 필름에 도달하는 빛의 양의 척도가 [eqn: 6]일 때의 조리개 개방 수치를 [eqn: f_2]라 할 때, [eqn: {f_2 } over { f_1 }]의 값은? [3점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

16. <그림1>과 같은 두 종류의 연산 장치 , 가 있다.
2 이상의 두 자연수 [eqn: a,~b]에 대하여 연산 장치 에 두 수 [eqn: a,~b]가 입력될 때 출력되는 수 [eqn: p]는 [eqn: p=log _{`a} `b]이고, 연산 장치 에 두 수 [eqn: a,~b]가 입력될 때 출력되는 수 [eqn: q]는 [eqn: q=][eqn: root {bolda} of {b}]이다.

<그림1>

위의 두 종류의 연산 장치를 결합하여 만든 <그림2>의 각 연산 장치에서 출력되는 세 수 [eqn: x,~y,~z]의 대소 관계를 옳게 나타낸 것은? [4점]

<그림2>

① [eqn: x<y<z]	② [eqn: x<z<y]	③ [eqn: y<x<z]

④ [eqn: y<z<x]	⑤ [eqn: z<x<y]

17.  자연수 [eqn: x]의 상용로그의 지표를 [eqn: f(x)]라 할 때,
[eqn: f(x)f(y)=2f(x)-2f(y)+9]를 만족시키는 자연수 [eqn: x,~y]의 순서쌍 [eqn: (`x,````y)]의 개수는? [4점]

① [eqn: 81` times `10 ^{6}]	② [eqn: 81`times`10 ^{8}]	③ [eqn: 81` times `10 ^{10}]

④ [eqn: 81` times `10 ^{12}]	⑤ [eqn: 81` times `10 ^{14}]

18. [eqn: abcd!=0]인 네 실수 [eqn: a,``b,``c,``d``]에 대하여
[eqn: 2^a =3^b = 6^c = 12^d], [eqn: 1 over c - 1 over b = 1 over 4]
일 때, 좌표평면 위의 점 [eqn: (a,````0)]과 직선 [eqn: y=x+ 8 LEFT ( 1 over d - 1 over c RIGHT )] 사이의 거리는? [3점]

① [eqn: 3 sqrt {2}]	② [eqn: 4 sqrt {2}]	③ [eqn: 5 sqrt {2}]	④ [eqn: 6 sqrt {2}]	⑤ [eqn: 7 sqrt {2}]

19. 그림과 같이 [eqn: rmANGLE B=90 DEG]인 직각삼각형 [eqn: rmABC]에서 변 [eqn: rm BC]를 지름으로 하는 원 [eqn: rm O]와 변 [eqn: rm AC]의 교점 중 [eqn: rm `C]가 아닌 점을 [eqn: rm D]라 할 때, [eqn: rm bar{AB} = it a,] [eqn: bar{rm AD} `=`b]라 하자.
행렬 [eqn: pmatrix{`a`&````b`#`b`&````a`}]가 [eqn: pmatrix{`a`&````b`#`b`&````a`} pmatrix{````````` 2`&-sqrt 3 `#-sqrt 3`&````````2`} = pmatrix{`1`&````0`#`0`&````1`}]을 만족시킬 때,
[eqn: rm ` bar{`BC}]의 값은? [4점]

[eqn: rm`C]

[eqn: rm`B]

[eqn: rm`A]

[eqn: rm`O]

[eqn: rm `D]

[eqn: a]

[eqn: b]

① [eqn: { sqrt 3 over \2]	② [eqn: { 2 root 3 }over 3]	③ [eqn: {5 root 3 } over 6]	④ [eqn: root 3]	⑤ [eqn: { 7 root 3 } over 6]

20. 네 개의 행렬로 이루어진 집합 [eqn: G``]가 [eqn: G= LEFT { pmatrix { `1`& ``0`#`0` &``1` },`` pmatrix { -1`& ``0`#```````0` &``1` },`` pmatrix { `1`& ````````0`#`0 `&`-1 `},`` pmatrix {- 1`& ````````0`#```````0 `&`-1 `} RIGHT }]일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

		<보 기>
	ㄱ. 집합 [eqn: G]는 곱셈에 대하여 닫혀 있다. ㄴ. 집합 [eqn: G]의 모든 원소는 곱셈에 대한 역원을 가진다. ㄷ. 집합 [eqn: G]의 임의의 원소 [eqn: A,``B``]에 대하여 [eqn: (AB) ^{2n} =A ^{2n} B ^{`2n}]이다. (단, [eqn: n]은 자연수이다.)

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

21. [eqn: 10^2 < N<10^4]인 실수 [eqn: N``]에 대하여 [eqn: log``N``]의 지표와 가수를 각각 [eqn: n,~alpha]라 하자. 연립방정식 [eqn: pmatrix { -alpha&````n #``````n &````1 } pmatrix {` x` #`y `}=`-n `pmatrix {` x` #`y` }]가 [eqn: x=y=0] 이외의 해를 가지도록 하는 모든 [eqn: N``]의 값의 곱은 [eqn: 10^ {q over p}]이다.
이때, [eqn: p+q`]의 값은? (단, [eqn: p`,~q`]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

① [eqn: 85]	② [eqn: 86]	③ [eqn: 87]	④ [eqn: 88]	⑤ [eqn: 89]

단답형(22~30)

22. 행렬 [eqn: A= pmatrix{```````2``&`````````5``#-1`&`-2``} `]에 대하여 행렬 [eqn: A +A^5 +A^9]의 모든 성분의 합을 구하시오. [3점]

23. [eqn: log ``x]의 지표가 [eqn: 4]이고 [eqn: log`` x]와 [eqn: log ``sqrt { 3} of { x}``]의 가수가 같을 때, [eqn: log``x= {q} over {p}]이다. 이때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p,~q]는 서로소인 자연수이다.) [3점]

24. [eqn: 3]의 [eqn: n]제곱근 중 실수의 개수를 [eqn: f(n)]이라 할 때,
[eqn: f(2)+f(3)+f(4)+ ``CDOTS ``+f(10)]의 값을 구하시오. (단, [eqn: n]은 [eqn: 2]이상의 자연수이다.) [3점]

25. 이차정사각행렬 [eqn: A]가 [eqn: A^2 = {pmatrix{`1`&``0`#`0`&``2`}}]를 만족시킬 때,
행렬 [eqn: 16 LEFT ( A ^{-1} RIGHT ) ^{8}]의 모든 성분의 합을 구하시오. (단, [eqn: A^-1]는 [eqn: A]의 역행렬이다.) [3점]

26. [eqn: 4^{`x }=5 ,~5^{`y} =6,~6^{`z} =8]일 때, [eqn: xyz = q over p]이다. [eqn: p ^{2} +q ^{2}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`,~q]는 서로소인 자연수이다.) [3점]

27. [eqn: A=(`5+1)(`5 ^{2} +1)(`5 ^{4} +1)(`5 ^{8} +1)(`5 ^{16} +1)]일 때, [eqn: 4{A}]는 [eqn: n]자리 자연수이다. [eqn: n]의 값을 구하시오. (단, [eqn: log``2=0.3010]으로 계산한다.)
[4점]

28. 그림과 같이 삼각형 [eqn: rmABC]의 내접원의 중심 [eqn: rmI]와 꼭짓점 [eqn: rmA]를 지나는 직선이 변 [eqn: rmBC]와 만나는 점을 [eqn: rmD]라 하자. [eqn: rm bar{AB} = it a,~ rm bar{AC} = it b,``][eqn: {rm bar BD} =c ,~{rm bar CD} =d`]라 할 때, 연립방정식 [eqn: pmatrix { `1`&``````` bc-9`# `1`&`````ad `} pmatrix { `x `#`y `}= pmatrix { `ad` #`bc+9` }]의
해 [eqn: x=alpha,````y=beta`]에 대하여 [eqn: alpha+ beta]의 값을 구하시오. [4점]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: rm I]

[eqn: a]

[eqn: b]

[eqn: c]

[eqn: d]

29. 등식 [eqn: [log``x]=3 LEFT ( log``x-[log``x] RIGHT )]를 만족시키는 모든 양수 [eqn: x]의 값의 곱을 [eqn: A]라 할 때, [eqn: 10``log``A]의 값을 구하시오. (단, [eqn: LEFT [ x RIGHT ]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대의 정수이다.) [4점]

30. 행렬 [eqn: {pmatrix{`x-1`&````-y+4`#`y-4`&```````````x-3`}}]의 역행렬이 존재하지 않도록 하는 모든 실수 [eqn: x,~y`]에 대하여 점 [eqn: rm P it (x,~y)]를 좌표평면 위에 나타낼 때, 점 [eqn: rm P]가 나타내는 도형과 중심이 원점이고 반지름의 길이가 [eqn: r]인 원이 만난다고 한다. [eqn: r]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, 두수 [eqn: M`` m]의 곱을 구하시오. [4점]

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.