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2009학년도 9월 고2 전국연합학력평가 정답 및 해설

수리‘가’형 정답

1	③	2	②	3	③	4	①	5	④
6	③	7	⑤	8	④	9	⑤	10	④
11	①	12	②	13	④	14	③	15	②
16	③	17	①	18	⑤	19	②	20	①
21	⑤	22	[eqn: 12]	23	[eqn: 11]	24	[eqn: 14]	25	[eqn: 17]
26	[eqn: 511]	27	[eqn: 115]	28	[eqn: 198]	29	[eqn: 40]	30	[eqn: 18]

해 설

1. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 지수계산을 할 수  있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: root {4} of {4^3} TIMES LEFT ( 1 over 2 RIGHT )^ {- 3 over 2}][eqn: =4^{3 over 4 }TIMES 2^ {3 over 2}][eqn: = 2^{3 over 2 + 3 over 2}=2^3 =8]

2. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 로그 계산을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 2log_{``3}``2 + `log_{``3}``18 -log_{``3}``8``][eqn: =log _{3} `` {4 TIMES 18} over {8} =log _{3} ``9=2]

3. [출제의도] 행렬의 계산을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: A+B = pmatrix{ 3`&`0#`0`&`3}]이므로

[eqn: (A+B)C = pmatrix{ 3`&`0#`0`&`3}pmatrix{``````0&``-1#-1&````````1}][eqn: = pmatrix{``````0&```-3#-3&``````````3}]

따라서 모든 성분의 합은 [eqn: -3]이다.

4. [출제의도] 등차수열의 일반항과 합의 관계를 알고 있는가를 묻는 문제이다.

주어진 등차수열의 일반항을 [eqn: a_n], 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: a_4 =86,~d=-4]이므로

[eqn: a_4 = a_1 + 3d =86]에서 [eqn: a_1 = 98]

∴ [eqn: a_n = 98+(n-1)(-4) = -4n +102]

이때, [eqn: a_n = -4n+102>0]에서 [eqn: n<25.5]

주어진 수열은 첫째항부터 제[eqn: 25]항까지 양수이고, 제[eqn: 26]항부터 음수이다.

따라서 제[eqn: 25]항까지의 합이 최대가 된다.

5. [출제의도] [eqn: sum _{ } ^{ }]에 대한 성질을 이용하여 수열의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: sum _{k=1} ^{10} {(k+1) ^{2}} - sum _{k=1} ^{10} {(k-1) ^{2}}][eqn: =sum _{ k=1} ^{10 } LEFT { (k+1)^2 - (k-1)^2 RIGHT }]

[eqn: = sum _{ k=1} ^{10 } 4k = 4times {10times11} over 2 = 220]

6. [출제의도] 지수가 실수일 때 지수법칙을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. (좌변)[eqn: = (a^b )^c = a^bc], (우변)[eqn: = a^bc] (참)

ㄴ. (좌변)[eqn: = a ∧b^c = a^b^c],

(우변)[eqn: = a^b ∧ c = {(a^b )}^c = a^bc] (거짓)

ㄷ. (좌변)[eqn: = (ab )^c = a^c b^c], (우변)[eqn: = a^c b^c] (참)

7. [출제의도] 지수법칙과 로그의 성질을 이용하여 식의 값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 3x= log_2 (5+2sqrt6 )]에서 [eqn: 2^3x = 8^x =5+2sqrt6]

∴ [eqn: 8^x -8^-x =5 +2sqrt6 - 1over {5 +2sqrt6}]

[eqn: =5 +2sqrt6 -(5 -2sqrt6 )][eqn: =4root6]

8. [출제의도] 행렬의 연산과 역행렬에 관한 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: A= pmatrix { `````````3`&`2` #`-1` &`4` }], [eqn: B=pmatrix { ``4`&``3` `#``1` &``1`` }]이라 하면

[eqn: LEFT { {pmatrix{```````3`&```2``#-1`&``4``}} ◎ {pmatrix{```````3`&```2``#-1`&``4``}}^-1 RIGHT } ◎ {pmatrix{``4`&``3``#``1`&``1``}} =(A◎A^-1 ) ◎ B][eqn: =2E◎B =4B][eqn: = pmatrix { 16`&``12` #4` &```4` }]

9. [출제의도] 행렬의 곱셈에 대한 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: (A `-B`) ^{2} ``=A ^{2} `-AB-BA+B ^{2}]이므로

[eqn: AB+BA=`(A ^{2} `+B ^{2} `)-(A-B) ^{2}]

[eqn: =`][eqn: {pmatrix{``````````0``&`````````2``#```-1`&`-1``}} - {pmatrix{`````````0``&`````2``#-2`&````1``}} ^{2}]

[eqn: =`][eqn: {pmatrix{``````````0``&`````````2``#```-1`&`-1``}} - {pmatrix{-4``&````````2``#-2`&-3``}} `=`` {pmatrix{``4```&`0``#1`&`2``}}]

따라서 행렬 [eqn: AB``+BA``]의 모든 성분의 합은 [eqn: 7]이다.

10. [출제의도] 역행렬을 이용하여 실생활 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: b=a+1], [eqn: c=a+7], [eqn: d=a+8]이므로

[eqn: A= {pmatrix{a&```a+1#a+7&```a+8}}]이고

[eqn: A ^{-1} =- {1} over {7} {pmatrix{a+8&``-(`a+1)#-(a+7)&```a}}]

∴ [eqn: {pmatrix{x#y}} = {pmatrix{a+8&`````-a-1#-a-7&````a}} {pmatrix{-1#-2}}][eqn: = {pmatrix{a-6#-a+7}}]

∴ [eqn: alpha=a-6], [eqn: beta=-a+7]

[eqn: alpha-beta=2a-13=`1]이므로 [eqn: a=7]

한편, 4월 14일은 3월 14일로부터 31일 후이고, 31을 7로 나누었을 때의 나머지는 3이므로 4월 14일은 목요일이다.

11. [출제의도] 수열의 합과 일반항 사이의 관계를 알고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: log_2 a_1 + log_2 a_2 + cdots +log_2 a_9 +log_2 a_10 = 110] [eqn: cdots] ㉠

[eqn: log_2 a_1 + log_2 a_2 + cdots + log_2 a_9 = 90]           [eqn: cdots] ㉡

㉠－㉡에서 [eqn: log_2 a_10 = 20]    ∴ [eqn: a_10 = 2^20]

12. [출제의도] 수열의 극한값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

원의 중심은 직선 [eqn: y=a_n x] 위의 점이므로 [eqn: ( alpha,~a_n alpha)]로 놓을 수 있다.

점 [eqn: ( alpha,~a_n alpha)]와 두 직선 [eqn: y=nx,~y=2nx] 사이의 거리가 서로 같으므로

[eqn: { LEFT | `` n alpha - a_n alphaRIGHT | } over { root{n^2 +1}} = { LEFT | 2n alpha - a_n alphaRIGHT | } over { root{4n^2 +1}}]이다.

[eqn: alpha>0,~ n<a_n <2n]이므로

[eqn: { -n + a_n } over { root{n^2 +1}} = { 2n - a_n } over { root{4n^2 +1}}]에서

[eqn: a_n over n = { 2root{n^2 +1} + root{4n^2 +1}} over { root{n^2 +1}+ root{4n^2 +1 }}]

∴ [eqn: lim _{ n->inf} {a_n over n } = 4 over 3]

13. [출제의도] 수학적귀납법을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다

(가) [eqn: 9]

(나) [eqn: 2m^2 + 8m +7]

(다) [eqn: m^3 + (m+1 )^3]

14. [출제의도] 등비수열의 특징을 이해하고 수열의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: a _{n} =2 ^{n}]이므로

[eqn: a _{k} ``a _{k+1} CDOTSa _{k+m}][eqn: =2^k 2^k+1 cdots 2^ k+m = 2^ { (m+1 ) k + {m(m+1)} over 2 }]

[eqn: a_{k+m+1} ``a_{k+m+2} CDOTS a_{k+2m}]

[eqn: =][eqn: 2^k+m+1 ``2^k+m+2 cdots 2^ k+2m = 2^ { m k + { m(3m+1)} over 2 }]

[eqn: { (m+1 ) k + { m(m+1)} over 2 }=][eqn: { m k + { m(3m+1)} over 2 }]에서

[eqn: k= m^2]

따라서 [eqn: a_k+m = 2^{m^2 + m}]이므로 [eqn: b_m = 2^{ m^2 + m}]

ㄱ. [eqn: b_1 = 2^2 =4] (참)

ㄴ. 수열 [eqn: b_1 ,~ b_2 ,~b_3 , cdots] 은 등비수열이 아니다. (거짓)

ㄷ. [eqn: sum _{m=1} ^{10} log_2 b_m = sum _{m=1} ^{10} ( m^2 + m ) =440] (참)

15. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 실생활과 관련된 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 2= 2` log_{``2}`` f_1]     [eqn: cdots] ㉠

[eqn: 6= 2` log_{``2}`` f_2]     [eqn: cdots] ㉡

㉡-㉠에서 [eqn: 2`=`log _{2} ` {f _{2}} over {f _{1}}]           ∴ [eqn: {f _{2}} over {f _{1}} =2 ^{2`} =`4]

16. [출제의도] 거듭제곱근의 대소 관계를 판단할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: k=log_2 64 =6]이므로 [eqn: x= root {4} of {6} = root {12} of {216}]

[eqn: l=root36 =6]이므로 [eqn: y= root {6} of {13} = root {12} of {169}]

[eqn: m=log _{2}8`=3`,~n=log_3 81 =4]이므로

[eqn: z= root {3} of {4} = root {12} of {256}]

∴ [eqn: y<x<z]

17. [출제의도] 계차수열을 이용하여 수열의 일반항을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: n]행 [eqn: n]열에 들어가는 수를 [eqn: b_n]이라 하면

[eqn: b _{1} +7c=12,~b _{1} +5c=8]에서 [eqn: b _{1} =-2,~c=2]

[eqn: b _{2} =b _{1} +3c]

[eqn: b _{3} =b _{2} +5c=b _{1} +(3+5)c]

[eqn: b _{4} =b _{3} +7c=b _{1} +(3+5+7)c]

[eqn: vdots]

[eqn: b _{10} =b _{1} +(3+5+7 CDOTS +19)c]

[eqn: = -2+ { 9(3+19)} over 2 times 2 = 196]

18. [출제의도] 수열의 극한에 대한 성질을 이용하여 극한값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: lim _{ n->inf} { (a^2 -2a-3)n^2 + (a+1)n +5} over {n+2}][eqn: = lim _{ n->inf} {(a-3)(a+1)n^2 + (a+1)n + 5} over n+2 } =b]이려면

[eqn: (a-3)(a+1)=0,~a+1 =b][eqn: (b!=0])이어야 한다.

∴ [eqn: a=3,~b = 4]

따라서 [eqn: a+b = 3+4 =7]이다.

19. [출제의도] 무한등비급수의 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

그림에서

[eqn: {RMA}_n]

[eqn: {RMB}_n]

[eqn: {RMC}_n]

[eqn: 2r_n]

[eqn: {RMA}_n+1]

[eqn: {RMB}_n+1]

[eqn: {RMC}_n+1]

[eqn: {{RMD}_n+1]

[eqn: r_n]

[eqn: r_n - 2r_n+1]

[eqn: r_n -r_n+1]

[eqn: r_n+1]

[eqn: {RM D}_n]

[eqn: r_n ^2 = (r_n - r_n+1 )^2 + (r_n -2r_n+1 )^2]이므로

[eqn: 5r_n+1 ^2 - 6 r_n r_n+1 + r_n ^2 =0]

[eqn: ( 5r_n+1 - r_n )( r_n+1 - r_n ) =0]

∴ [eqn: r_n+1 = 1 over 5 r_n]

∴ [eqn: S _{n+1} =2 TIMES {1} over {2} TIMES pi r _{n+1} ^{2}][eqn: = 1 over 25 times pi r_n ^2 = 1 over 25 S_n]

수열 [eqn: LEFT { S_n RIGHT }]은 [eqn: S_1 = 2 times 1 over2 times pi times 1^2 = pi]이고,

공비가 [eqn: 1 over 25]인 등비수열이므로

[eqn: sum _{ n=1} ^{inf } S_n = pi over { 1 - 1 over 25} = 25 over 24 pi]

20. [출제의도] 수열의 극한과 무한급수에 대한 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: lim _{ n->inf} { (a_n +b_n )}][eqn: =alpha], [eqn: lim _{ n->inf} { (a_n -b_n )}=beta]라 하면

[eqn: lim _{n -> INF } {b _{n}} = {1} over {2} lim _{n -> INF } {LEFT . LEFT { (a _{n} +b _{n} )-(a _{n} -b _{n} ) RIGHT . RIGHT } = {alpha - beta } over {2}}](참)

ㄴ. (반례) [eqn: a_n =1 ,~ b_n =n]이면 [eqn: lim _{ n->inf} {a_n over n+1}], [eqn: lim _{ n->inf} { b_n over n}]이 모두 존재하지만 [eqn: lim _{ n->inf} { }b_n over a_n = inf]이다. (거짓)

ㄷ. (반례) [eqn: a_n = (-1)^n]이면 [eqn: sum _{ n=1} ^{inf } LEFT ( 1 over 2 RIGHT )^n a_n]은 수렴하지만 [eqn: lim _{ n->inf} { a_n }]은 존재하지 않는다. (거짓)

21. [출제의도] 등차수열의 합에 대한 추론능력을 묻는 문제이다.

선분들의 길이는

[eqn: root2 ,``root2 ,``2root2 ,``2root2 ,``cdots ,``k over 2root2 ,``k over 2 root2] ([eqn: k]는 짝수)

이므로 모든 선분의 길이의 합은

[eqn: 2 root 2 left(1+ 2+ cdots + k over 2 right)= 2 root2 TIMES { k over 2 left (1+ k over 2 right)} over {2 }][eqn: = 380 root 2]

[eqn: k(k+2) =1520]   [eqn: THEREFORE~k=38]

38은 4의 배수가 아닌 짝수이므로 [eqn: rm A_38]은 [eqn: y]축의 양의 부분에 놓여 있으며 [eqn: rmA _{it 4n-2} it(0,``2n)]([eqn: n]은 자연수)꼴이다.

따라서 점 [eqn: rm A_38]의 좌표는 [eqn: (0,``20)]   [eqn: THEREFORE~m=20]

22. [출제의도] 행렬의 거듭제곱을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: A^2 = pmatrix{``````2&~````````5#-1&~`-2} pmatrix{``````2&~````````5#-1&~`-2}= pmatrix{-1&``~`````0#``````0&~-1} =-E]

∴ [eqn: A^4 = E]

∴ [eqn: A +A^5 +A^9][eqn: =A+A+A =3A][eqn: = pmatrix {`````` 6& ``````15# -3&``-6 }]

따라서 행렬 [eqn: A +A^5 +A^9]의 모든 성분의 합은 [eqn: 12]이다.

23. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: logx`=` 4+ alpha (0 <= alpha <1``)``]라 하면

[eqn: log sqrt {3} of x`=` 1 over 3 `log x `=` 4 over 3 + alpha over 3``][eqn: = 1 + 1 over 3 + alpha over 3]

[eqn: 0<= alpha over 3 < 1 over 3``]이므로 [eqn: log sqrt { 3}of {x}``]의 가수는 [eqn: {1} over {3} + {alpha } over {3}]이다.

[eqn: log x``]와 [eqn: log sqrt{3} of{x}``]의 가수가 같으므로

[eqn: alpha`= 1 over 3 + alpha over 3 `]에서 [eqn: alpha`=` 1 over 2``]

[eqn: THEREFORE ```logx`=` 4+ {1} over {2} = 9 over 2]

따라서 [eqn: p = 2], [eqn: q= 9]이므로 [eqn: p+q = 11]

24. [출제의도] 거듭제곱근의 뜻을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: n]이 짝수이면 [eqn: f(n)=2], [eqn: n]이 홀수이면 [eqn: f(n)=1]

∴ [eqn: f(2)+f(3)+f(4)+cdots+f(10)]

[eqn: =2+1+2+1+2+1+2+1+2 =14]

25. [출제의도] 행렬의 거듭제곱과 역행렬을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: A^4 = pmatrix { 1&``0 #0 &``4 }], [eqn: A^8 = pmatrix { 1&``0 #0 &``16 }]

[eqn: (A^-1 )^8 = (A^8 )^-1 = {pmatrix { 1& ``0# 0&``16 }}^{-1} = 1 over 16 pmatrix { 16&``0 #0 &``1 }]이므로

행렬 [eqn: 16 (A^-1 )^8]의 모든 성분의 합은 [eqn: 17]이다.

26. [출제의도] 등비수열의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

등비수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]의 첫째항을 [eqn: a], 공비를 [eqn: r]라 하면

[eqn: a_2 = a r =4], [eqn: a_4 = a r^3 = 16]이므로 [eqn: {r^2 } = 4]

∴ [eqn: r=2], [eqn: a = 2]

∴ [eqn: a_n = 2^n]

[eqn: sum _{ n=1} ^{8 } 1 over a_n = sum _{ n=1} ^{8 } left( 1 over 2 right)^n = { 1 over 2 LEFT { 1- left( 1 over 2 right) ^8 RIGHT }} over { 1- 1 over 2 } = 255 over 256]

∴ [eqn: p = 256], [eqn: q= 255]

∴ [eqn: p+q = 511]

27. [출제의도] 계차수열을 이용하여 수열의 일반항을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: pmatrix { t``` &~4t-1# 1```&~t+2p }]의 역행렬이 존재하므로

[eqn: t(t+2p)-(4t-1) != 0], [eqn: t^2 + 2(p-2)t +1 !=0]

실수 [eqn: t]의 값에 관계없이 성립하여야 하므로

[eqn: D over 4][eqn: = (p-2)^2 -1 <0], [eqn: 1<p<3]

∴ [eqn: p=2]

[eqn: a_n+1 = a_n + 2n +3]이므로

[eqn: a_10 = -2 + sum _{ k=1} ^{9 } (2k+3) = 115]

28. [출제의도] 순서도를 이용하여 수열의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: n]	[eqn: m]	[eqn: S]
[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 1]
[eqn: 2]	[eqn: 1+2]	[eqn: 1+][eqn: 1 over {1+2}]
[eqn: 3]	[eqn: 1+2+3]	[eqn: 1+][eqn: 1 over {1+2}][eqn: + 1 over {1+2+3}]
[eqn: VDOTS]	[eqn: VDOTS]	[eqn: VDOTS]
[eqn: 99]	[eqn: 1+2][eqn: +cdots + 99]	[eqn: 1+ 1 over {1+2} + cdots + 1 over {1+2+cdots + 99}]

[eqn: S =][eqn: 1+][eqn: 1 over {1+2} + cdots + 1 over {1+2+cdots + 99}]

[eqn: = sum _{ n=1} ^{ 99} 1 over {1+2+ cdots + n}][eqn: = sum _{ n=1} ^{ 99} 2 over {{n(n+1)} }]

[eqn: = 2sum _{ n=1} ^{ 99}left( 1 over n - 1 over {n+1} right)][eqn: = 2left( 1- 1 over 100 right)][eqn: = 99 over 50]

[eqn: therefore~~ 100S=198]

29. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수 사이의 관계를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: log x]의 지표를 [eqn: n], 가수를 [eqn: alpha]([eqn: 0 <= alpha<1])라 하면

[eqn: [log x ] =n], [eqn: logx - [log x ] = alpha]

[eqn: [log`` x ]=3left( log ``x -[log``x] right)]에서 [eqn: n=3alpha]

[eqn: 0 <= 3alpha<3]이고 [eqn: 3alpha]는 정수이므로

[eqn: 3 alpha = 0] 또는 [eqn: 3alpha=1] 또는 [eqn: 3alpha =2]이다.

∴ [eqn: alpha = 0] 또는 [eqn: alpha = 1 over 3] 또는 [eqn: alpha = 2 over 3]

(ⅰ) [eqn: alpha = 0]일 때, [eqn: log x = 0]이므로 [eqn: x=1]

(ⅱ) [eqn: alpha = 1 over 3]일 때, [eqn: log x = 4 over 3]이므로 [eqn: x = 10^{4 over 3 }]

(ⅲ) [eqn: alpha = 2 over 3]일 때, [eqn: log x = 8 over 3]이므로 [eqn: x = 10^{8 over 3 }]

따라서 주어진 등식을 만족시키는 모든 양수 [eqn: x]의 값의 곱 [eqn: A]는 [eqn: A =][eqn: 10^4]이다.

∴ [eqn: 10log A = 40]

30. [출제의도] 무한등비급수의 수렴조건과 수열의 극한에 대한 성질을 알고 있는가를 묻는 문제이다.

무한급수 [eqn: sum _{ n=1} ^{inf } LEFT ( r-5 over 8 RIGHT )^n]이 수렴하려면

[eqn: -1 < r-5 over 8 <1]이므로 [eqn: -3 < r <13]

(ⅰ) [eqn: -3 < r <7]일 때,

[eqn: lim _{n -> INF } {{r ^{n+1} -7 ^{n} +2} over {r ^{n} +7 ^{n+1} +2 ^{n-1}} = lim _{n -> INF } {{r LEFT ( {r} over {7} RIGHT ) ^{n} -1+ {2} over {7 ^{n}}} over {LEFT ( {r} over {7} RIGHT ) ^{n} +7+ {1} over {2} LEFT ( {2} over {7} RIGHT ) ^{n}}}}]

[eqn: =- {1} over {7}]

(ⅱ) [eqn: r=7]일 때,

[eqn: lim _{n -> INF } {} {7 ^{n+1} -7 ^{n} +2} over {7 ^{n} +7 ^{n+1} +2 ^{n-1}} = lim _{n -> INF } {} {6 TIMES 7 ^{n} +2} over {8 TIMES 7 ^{n} +2 ^{n-1}} = {3} over {4}]

(ⅲ) [eqn: 7<r<13]일 때, [eqn: lim _{n -> INF } {} {r- LEFT ( {7} over {r} RIGHT ) ^{n} + {2} over {r ^{n}}} over {1+7 LEFT ( {7} over {r} RIGHT ) ^{n} + {1} over {2} LEFT ( {2} over {r} RIGHT ) ^{n}}][eqn: = r]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 [eqn: -3<r<7]

따라서 모든 정수 [eqn: r]의 값의 합은 [eqn: 18]이다.

수리 ‘나’형 정답

1	③	2	②	3	③	4	④	5	⑤
6	③	7	⑤	8	④	9	⑤	10	④
11	②	12	①	13	①	14	④	15	②
16	③	17	①	18	①	19	②	20	⑤
21	⑤	22	[eqn: 12]	23	[eqn: 11]	24	[eqn: 14]	25	[eqn: 17]
26	[eqn: 13]	27	[eqn: 23]	28	[eqn: 10]	29	[eqn: 40]	30	[eqn: 19]

해 설

1. “가”형과 동일

2. “가”형과 동일

3. “가”형과 동일

4. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 식의 값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 3^3a+2b-c][eqn: = {3 ^{3a} 3 ^{2b}} over {3 ^{c}} = {(3 ^{a} ) ^{3} (3 ^{b} ) ^{2}} over {3 ^{c}} = {8 times 25} over {50} =4]

5. [출제의도] 거듭제곱근의 뜻과 로그의 성질을 이용하여 식의 값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: a ^{2}]은 [eqn: b]의 세제곱근이므로 [eqn: (a ^{2})^3 =b]

∴ [eqn: a ^{6} =b]

[eqn: c ^{3}]은 [eqn: b]의 네제곱근이므로 [eqn: (c ^{3})^4 =b]

∴ [eqn: c ^{12} =b]

[eqn: log _{a} ``b+log _{b} ``c=log _{a} ``a ^{6} +log _{c ^{12}} ``c][eqn: =6+ {1} over {12} = {73} over {12}]

∴ [eqn: p=12], [eqn: q=73]  ∴ [eqn: p+q=85]

6. “가”형과 동일

7. “가”형과 동일

8. “가”형과 동일

9. “가”형과 동일

10. “가”형과 동일

11. [출제의도] 거듭제곱근의 성질을 알고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: left( 36^ { 1 over n }right)^2 =left( root { 2 + root 3 } + root { 2 - root 3 }right) ^2]에서 [eqn: 6^{ 4 over n} = 6]

∴ [eqn: 4 over n = 1]

∴ [eqn: n=4]

12. [출제의도] 역행렬을 이용하여 연립방정식의 해를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: (x-1)^2 + y^2 =k~(k=1,~2,~3,~4)]인 원에서

[eqn: k]의 값이 [eqn: 1,~2,~3,~4]일 때의 반지름의 길이는 각각

[eqn: 1,~root2 ,~root3 ,~2]이다. 이들 원과 주어진 [eqn: 4]개의 원과의 교점을 세어보면

[eqn: 1]

[eqn: k=1]

[eqn: k=2]

[eqn: k=3]

[eqn: k=4]

[eqn: 1]

[eqn: -1]

[eqn: -1]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: a_1 =3,~a_2 =6,```~a_3 =2,~a_4 =1]

∴ [eqn: pmatrix{p#q} = {pmatrix{a_1&~```a_2#a_3&~```a_4}}^{-1} pmatrix{9#18}][eqn: = {pmatrix{3&~```6#2&~```1}}^-1 pmatrix{9#18}]

[eqn: = - 1 over 9 pmatrix{~``````1&~```-6#-2&~`````````3} pmatrix{9#18} = pmatrix{11#-4}]

∴ [eqn: p+q =7]

13. [출제의도] 로그의 성질을 이용한 증명 과정에서의 추론능력을 묻는 문제이다.

(가) [eqn: 2^q]

(나) [eqn: log_2 5]

(다) 무리수

14. [출제의도] 행렬의 곱셈에 대한 성질과 역행렬의 성질을 알고 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: A^2 +AB=B^-1]에서 [eqn: A^2 B +AB^2 =E] … ㉠

[eqn: B^2 +BA=A^-1]에서 [eqn: AB^2 +ABA =E] … ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: A^2 B =ABA]

[eqn: THEREFORE~ AB=BA] (참)

ㄴ. ㉡에서 [eqn: AB(A+B)=E]

[eqn: THEREFORE~ (AB)^-1 =A+B] (거짓)

ㄷ. [eqn: (A+B)^-1 = AB]이므로

[eqn: (A+B)^-1 (A^-1 +B^-1 )]

[eqn: = AB (A^-1 +B^-1 )]

[eqn: = ABA^-1 +ABB^-1 = B+A](참)

15. “가”형과 동일

16. “가”형과 동일

17. [출제의도] 상용로그의 지표의 성질을 알고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: f(x)f(y)=2f(x)-2f(y)+9]를 변형하면

[eqn: LEFT { f(x)+2 RIGHT } LEFT { f(y)-2 RIGHT } =5]이다.

[eqn: f(x),````f(y)]는 [eqn: 0]이상인 정수이므로

[eqn: f(x)+2=5], [eqn: f(y)-2=1]

즉, [eqn: f(x)=3,``f(y)=3]

[eqn: logx], [eqn: logy]의 지표가 3이므로

[eqn: 10 ^{3} <= x<10 ^{4}], [eqn: 10 ^{3} <= y<10 ^{4}]을 만족시키는 자연수 [eqn: x,~y]의 개수는 각각 [eqn: 9 TIMES 10 ^{3}]이다.

따라서 순서쌍 [eqn: (x,``y)]의 개수는 [eqn: 81 TIMES 10 ^{6}]이다.

18. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 식의 값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 2 ^{a} =3 ^{b} =6 ^{c} =12 ^{d} =k]로 놓으면

[eqn: k ^{{1} over {a}} =2]   ⋯ ㉠

[eqn: k ^{{1} over {b}} =3]   ⋯ ㉡

[eqn: k ^{{1} over {c}} =6]   ⋯ ㉢

[eqn: k ^{{1} over {d}} =12]  ⋯ ㉣

㉡, ㉢에서 [eqn: k ^{{1} over {c} - {1} over {b}} =2]이므로 [eqn: k ^{{1} over {4}} =2]  ∴ [eqn: k=16]

㉠에 [eqn: k=16]을 대입하면 [eqn: a=4]

㉢, ㉣에서  [eqn: k ^{{1} over {d} - {1} over {c}} =2]이므로 [eqn: {1} over {d} - {1} over {c} = {1} over {4}]

점 [eqn: (4,`0)]과 직선 [eqn: y=x+2] 사이의 거리는

[eqn: { |4+2 |} over root {1^2 + (-1)^2 }=][eqn: 3sqrt2]

19. [출제의도] 역행렬의 성질을 이용한 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: {pmatrix{a`&`b#`b&`a}} = {pmatrix{`````` 2&``-sqrt 3 #- sqrt 3 &``````` 2}} ^{-1} = pmatrix{`` 2&``sqrt 3 # sqrt 3 &`` ` 2}}]이므로

[eqn: {rmbar{AB} }=a=2], [eqn: {rmbar{AD}} =b=sqrt 3]이다.

한편, [eqn: rm {bar{AB}} ^{2} = bar{AD} ``` TIMES bar{AC}] 에서 [eqn: rm barAC``}= { 4 root 3 } over 3]이다.

직각삼각형 [eqn: rmABC]에서

[eqn: rm{barBC }^2 = {barAC }^2 -{barAB }^2 = 4 over 3]

∴ [eqn: rmbarBC = { 2 root 3 } over 3]

20. [출제의도] 행렬의 연산의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

집합 [eqn: G]의 원소를 [eqn: E= {pmatrix{1``&``0`#0``&``1`}}], [eqn: X= {pmatrix{-1&``0`#``````0&``1`}}],

[eqn: -X= {pmatrix{1&`````````0`#0&``-1`}}], [eqn: -E= {pmatrix{-1&`````````0`#```````0&``-1`}}]로 놓으면 곱셈에 대한 결과는 아래 표와 같다.

곱	[eqn: E]	[eqn: X]	[eqn: -X]	[eqn: -E]
[eqn: E]	[eqn: E]	[eqn: X]	[eqn: -X]	[eqn: -E]
[eqn: X]	[eqn: X]	[eqn: E]	[eqn: -E]	[eqn: -X]
[eqn: -X]	[eqn: -X]	[eqn: -E]	[eqn: E]	[eqn: X]
[eqn: -E]	[eqn: -E]	[eqn: -X]	[eqn: X]	[eqn: E]

ㄱ. 위의 표로부터 집합 [eqn: G]는 곱셈에 대하여 닫혀 있다. (참)

ㄴ. 위의 표로부터 [eqn: E ^{2} =X ^{2} =(-X) ^{2} =(-E) ^{2} =E]이므로 집합 [eqn: G]의 모든 원소는 곱셈에 대한 역원을 가진다. (참)

ㄷ. 집합 [eqn: G]의 임의의 원소 [eqn: A,```B]에 대하여

[eqn: A ^{2} =E], [eqn: B ^{2} =E], [eqn: (AB) ^{2} =E]이므로

[eqn: (AB) ^{2n} =E=A ^{2n} B ^{2n}]이 성립한다. (참)

21. [출제의도] 행렬의 성질을 이용하여 연립일차방정식이 무수히 많은 해를 가질 조건을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 10 ^{2} < N<10^4]에서 [eqn: 2 < log`N<4]이므로

[eqn: n=2] 또는 [eqn: n=3]

연립방정식 [eqn: pmatrix { -alpha&````n #``n &``1 } pmatrix { x #y }=`-n pmatrix { x #y }]를 정리하면

[eqn: pmatrix { n-alpha&````n #``n &``n+1 } pmatrix { x #y }=` pmatrix { 0 #0 }]

주어진 연립방정식이 [eqn: x=y=0]이외의 해를 가지려면 [eqn: (n-alpha)(n+1)-n^2 =0]

[eqn: THEREFORE``alpha = n over n+1]

(ⅰ) [eqn: n=2]일 때, [eqn: alpha = 2 over 3]

(ⅱ) [eqn: n=3]일 때, [eqn: alpha = 3 over 4]

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: N = 10^{8 over 3}] 또는 [eqn: N = 10^{15 over 4}]이므로

구하는 모든 [eqn: N]의 값의 곱은

[eqn: 10^{8 over 3} TIMES10^{15 over 4}=10^{8 over 3 + 15 over 4}= 10^{77 over 12}]

따라서 [eqn: p=12,``q=77]이므로 [eqn: p+q=89]이다.

22. “가”형과 동일

23. “가”형과 동일

24. “가”형과 동일

25. “가”형과 동일

26. [출제의도] 지수법칙을 활용할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 4^x =5 ,``5^y =6,``6^z =8]에서

[eqn: 4^{xyz } = 8]이므로 [eqn: 2^{2xyz} = 2^3]

∴ [eqn: xyz = 3 over 2]

따라서 [eqn: p=2,~q=3]이므로 [eqn: p^2 + q^2 = 13]이다.

27. [출제의도] 상용로그의 지표의 성질을 묻는 문제이다.

[eqn: A=(5+1)(5 ^{2} +1)(5 ^{4} +1)(5 ^{8} +1)(5 ^{16} +1)]에서

[eqn: 4A=(5-1)(5+1)(5 ^{2} +1)(5 ^{4} +1)(5 ^{8} +1)(5 ^{16} +1)]

[eqn: =5 ^{32} -1]

[eqn: log5 ^{32}][eqn: =][eqn: 32log5=32(1-log2)][eqn: =22.368]이므로

[eqn: 5 ^{32}]은 [eqn: 23]자리 자연수이다.

그런데 [eqn: 5 ^{32}]의 일의 자리의 수가 5이므로 [eqn: 5 ^{32}]의 자릿수와 [eqn: 5 ^{32} -1]의 자릿수는 같다.

따라서 [eqn: 5 ^{32} -1]은 [eqn: 23]자리 자연수이다.

28. [출제의도] 역행렬을 이용하여 수학 내적 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

직선 [eqn: rmAD]는 [eqn: rm ANGLE BAC]의 이등분선이므로

[eqn: a:b =c:d]      ∴ [eqn: ad -bc =0]

[eqn: {pmatrix{1&`````bc-9#1&ad}} ^{-1} = {1} over {9} {pmatrix{ad&`````-bc+9#-1&~~1}}]

[eqn: {pmatrix{x#y}} = {1} over {9} {pmatrix{ad&`````-bc+9#-1&~~1}} {pmatrix{ad#bc+9}}]

[eqn: = {1} over {9} {pmatrix{(ad)^2 -(bc)^2 +81#-ad+bc+9}} = {pmatrix{9#1}}]

∴ [eqn: alpha =9 ,~ beta = 1]   ∴ [eqn: alpha + beta `=10]

29. “가”형과 동일

30. [출제의도] 역행렬이 존재하지 않을 조건을 이용한 활용 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

행렬 [eqn: {pmatrix{`x-1`&`-y+4`#`y-4`&```````x-3`}}]의 역행렬이 존재하지 않으므로

[eqn: (x-1)(x-3) -(-y+4)(y-4)=0]

[eqn: x^2 -4x+3 +(y-4)^2 =0]

[eqn: (x-2)^2 +(y-4)^2 =1]

원점에서 [eqn: (2,~4)]까지의 거리는 [eqn: 2root5]이므로

[eqn: M][eqn: =][eqn: 2root5 +1], [eqn: m][eqn: =][eqn: 2root5 -1]

∴ [eqn: M`m=][eqn: (2root5 +1)(2root5 -1) = 19]