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2009학년도 9월 고1 전국연합학력평가 정답 및 해설

정 답

1	①	2	④	3	⑤	4	②	5	⑤
6	①	7	②	8	②	9	③	10	③
11	④	12	②	13	⑤	14	④	15	③
16	①	17	⑤	18	④	19	⑤	20	④
21	③	22	24	23	2	24	10	25	56
26	15	27	12	28	70	29	120	30	16

해 설

1. [출제의도] 다항식 계산하기

[eqn: A-B+C`=`x+2-x+1+x`=x+3]

2. [출제의도] 두 복소수가 서로 같을 조건 이해하여 계산하기

[eqn: x-1=2,```x+2y=`-3]을 풀면 [eqn: x=3,``y=`-3]

3. [출제의도] 외분점을 구하는 공식 적용하여 계산하기

[eqn: rmbar{AB``}]를 [eqn: 3:2`]로 외분하는 점

[eqn: rm P``left( {6-(-2)} over {3-2} right)=P`(8)`]

4. [출제의도] 절댓값을 포함한 부등식을 이해하고 해 구하기

[eqn: -3`leq``x-2` LEQ` 3`]이므로 [eqn: -1` LEQ x` LEQ 5]

정수의 개수는 [eqn: 7]개

5. [출제의도] 제곱근의 성질 이해하기

ㄱ. [eqn: sqrt {-2} sqrt {-8} =- sqrt {(-2)(-8)} `=`-4](참)

ㄴ. [eqn: {4} over {sqrt {(-2) ^{2}}} `= {4} over {|-2|} `=2] (참)

ㄷ. [eqn: {sqrt {8}} over {sqrt {-2}} ``=`- sqrt {{8} over {-2}} ``=`-2`i] (참)

6. [출제의도] 이차부등식의 해집합 이해하기

[eqn: ax ^{2} +bx+c`=`a(x-3) ^{2} ` GEQ `0],

그 해집합이 [eqn: left{ 3 right }]이므로  [eqn: a<0]

[eqn: THEREFORE ```][eqn: b`=`-6a`>`0,```c`=`9a`<`0]

7. [출제의도] 다항식의 최대공약수와 최소공배수 이해하고, 다항식 분류하기

최대공약수는 [eqn: x-1],

최소공배수는 [eqn: x ^{3} `-7x`+`6=(x-1)(x-2)(x+3)]이므로 두 다항식은

[eqn: f(x)=(x-1)(x-2),```g(x)=(x-1)(x+3)]

[eqn: therefore````f(0)+g(0)=`-1]

8. [출제의도] 번분수식 계산하기

[eqn: & 1- {1 TIMES (1-x)} over {LEFT { 1- {1} over {1-x} RIGHT } TIMES (1-x)} `# = & 1- {1-x} over {1-x-1}# = & 1+ {1-x} over {x}# = & {1} over {x} `]

이므로 [eqn: a=1``,``b=0``]  ∴ [eqn: a+b=1`]

9. [출제의도] 삼차방정식을 인수분해하여 근과 계수와의 관계 적용하기

[eqn: x ^{3} -4x ^{2} +4x-3`=`(x-3)(x ^{2} -x+1)`=`0`]이 되어

[eqn: alpha `]는 [eqn: x ^{2} -x+1`=`0`]의 근이다. 따라서 [eqn: bar{alpha } `]도 근임을 알 수 있다.

따라서 근과 계수와의 관계에서 [eqn: alpha +{bar alpha}`=`1,`` alpha bar{alpha } `=`1`]이 되어 주어진 식은

[eqn: {bar{alpha }} over {alpha } + {alpha } over {bar{alpha }} ``=`][eqn: {{bar{alpha}}^2 + alpha^2} over {alpha bar{alpha}}``][eqn: `=` LEFT ( alpha + bar{alpha } RIGHT ) ^{2} -2 alpha bar{alpha } `=`1-2`=`-1]

임을 알 수 있다.

10. [출제의도] 조건과 진리집합 포함관계를 추론하기

조건 [eqn: p,``q,``r]의 진리집합 [eqn: P,``Q,``R] 에 대하여 주어진 참인 명제에 따른 [eqn: P,``Q,``R`]의 포함관계는 다음 벤다이어그램과 같다.

[eqn: Q```=`U]

[eqn: P]

[eqn: R^{ c}]

[eqn: P`-R`=`R ^{c} `]이므로 ㄴ만 거짓

11. [출제의도] 실수의 연산에 대한 기본성질 이해하기

(가) 덧셈에 대한 결합법칙

(나) 덧셈에 대한 역원

(다) 덧셈에 대한 항등원

12. [출제의도] 이차방정식의 근과 계수와의 관계 및 양의 약수 추론하기

양의 약수가 홀수 개인 자연수는 완전제곱수이며, 양의 약수가 3개인 것은 소수의 제곱수이다.

조건에서 [eqn: c,``d`]는 [eqn: 2^2 ,` `3^2 ,`` 5^2 ,``7^2`]의 네 가지 중 하나이다.

근과 계수와의 관계에서 [eqn: a = c + d`], [eqn: b = c`d`]이고

[eqn: a,``b]는 서로 다른 [eqn: 100] 이하의 자연수이므로 순서쌍 [eqn: (a,`b)]는 [eqn: (2^2 +3^2 ,` 2^2 cdot 3^2 )]과 [eqn: (2^2 + 5^2 , ` 2^2 cdot 5^2 )]

13. [출제의도] 산술기하평균을 적용하는 과정 추론하기

<학생풀이>

산술-기하평균을 이용하면

[eqn: a+` {1} over {b} GEQ 2` sqrt {{a} over {b}} `` CDOTS] ㉠   [eqn: b+` {4} over {a} ` GEQ 2` sqrt {{4b} over {a}} `` CDOTS] ㉡

㉠, ㉡의 양변을 각각 곱하면

[eqn: LEFT ( a+` {1} over {b} RIGHT ) LEFT ( b+` {4} over {a} RIGHT ) GEQ 4` sqrt {{a} over {b} CDOT {4b} over {a}} =8` CDOTS]㉢

그러므로 구하는 최솟값은 [eqn: 8]이다.

<첨삭내용>

㉠의 등호가 성립할 때는  이고

[eqn: ab=1]

㉡의 등호가 성립할 때는  이다.

[eqn: ab=4]

그러므로 ㉢의 등호는 성립할 수 없다.

[eqn: LEFT ( a+` {1} over {b} RIGHT ) LEFT ( b+` {4} over {a} RIGHT )`]=[eqn: 5`+`ab`+` {4} over {ab}geq `5+`2 sqrt{ab`cdot 4overab}]=[eqn: 9]이므로 최솟값은 [eqn: 9]이다.

14. [출제의도] 평면도형에서 무게중심의 뜻 이해하기

[eqn: {1`+`3+`a} over {3}]=[eqn: {8} over {3}], [eqn: {2`+`5+`b} over {3}]=[eqn: {14} over {3}]이므로 [eqn: a`]=[eqn: 4], [eqn: b`]=[eqn: 7]

[eqn: `therefore`][eqn: a+b`]=[eqn: 11]

15. [출제의도] 이차방정식의 근과 계수와의 관계 및 곱셈공식 이해하여 활용하기

연립방정식에서 [eqn: a,`b]는 [eqn: t]에 대한 이차방정식

[eqn: x+ty+t ^{2} =z]

즉, [eqn: t ^{2} `+yt+x-z=0]의 두 근이다.

근과 계수와의 관계에 의하여

[eqn: a+b=-y], [eqn: ab=x-z]

[eqn: a ^{2} +b ^{2} =(a+b) ^{2} ``-2ab=(-y) ^{2} ``-2x+2z]

[eqn: =y ^{2} `-2x+2z]

[다른 풀이]

[eqn: cases{`x+ay+a ^{2} `=`z``CDOTS ①#`x+by+`b ^{2} `=`z``` CDOTS② }]

[eqn: ①`-`②] 하면

[eqn: (`a`-`b`)`y`+`(a ^{ 2}`-`b ^{ 2})` `=`0]

[eqn: a` != `b`]이므로 [eqn: a`+`b`=`-`y` CDOTS `③]

[eqn: ①`+`②] 하면

[eqn: 2`x`+`(a+b)`y`+(a ^{2} `+`b ^{2} ) `=2z` `CDOTS④]

[eqn: ③`과```④`]에서 [eqn: a ^{2} `+`b ^{2}][eqn: `=`y ^{2}-2x+2z]

16. [출제의도] 이차방정식의 근의 위치관계 이해하기

[eqn: x ^{2} +(a ^{2} -4a+3)x-a+2=0]에서 두 근의 합과 곱이 음수이므로

[eqn: a ^{2} -4a+3 =(a-1)(a-3)>0], [eqn: -a+2`<0]

[eqn: a`<1``]또는 [eqn: a>3], [eqn: a>2]이므로 [eqn: a>3]

17. [출제의도] 인수분해를 이용한 삼각형 모양 구하기

[eqn: a ^{3} +``c ^{3`} +a ^{2} `c`+ac ^{2} `-ab ^{2} ``-b ^{2} `c`]                          [eqn: =`(a `+c )(a^2`-ac+c^2`) `+ac(a+c)-b ^{2} (a+c)]

[eqn: =(a+c)(a ^{2} `+c ^{2} `-b ^{2} `)`=`0]

[eqn: ` THEREFORE ```a ^{2} `+c ^{2} `=b ^{2}] [eqn: ( BECAUSE `a+c != 0)]

따라서, [eqn: b`]가 빗변인 직각삼각형

18. [출제의도] 집합의 포함관계를 이해하고 조건을 만족하는 집합 구하기

[eqn: X]는 [eqn: EMPTYSET],[eqn: LEFT { a RIGHT }],[eqn: LEFT { b RIGHT }],[eqn: LEFT { c RIGHT }][eqn: LEFT { a `,`b`RIGHT }],[eqn: LEFT { a `,`c`RIGHT }],[eqn: LEFT { b `,`c`RIGHT }],[eqn: S`]의 일부를

원소로 하고 주어진 조건을 만족하는 집합이므로

[eqn: LEFT { ``S`,` EMPTYSET ` RIGHT }],

[eqn: LEFT { `` LEFT { `a` RIGHT } `,` LEFT { `b`,c` RIGHT } `,`S`,` EMPTYSET ` RIGHT }],

[eqn: LEFT { `` LEFT { `b` RIGHT } `,` LEFT { `a`,c` RIGHT } `,`S`,` EMPTYSET ` RIGHT }],

[eqn: LEFT { `` LEFT { `c` RIGHT } `,` LEFT { `a`,`b` RIGHT } `,`S`,` EMPTYSET ` RIGHT }],

[eqn: LEFT { `` LEFT {`a RIGHT }`, `LEFT { b RIGHT },` LEFT { c RIGHT }`,` LEFT { a`,`b` RIGHT }, LEFT { `a`,`c` RIGHT }`, LEFT { `b`,c` RIGHT } `,` S`,` EMPTYSET ` RIGHT }]

그러므로 5개

19. [출제의도] 조건에 따른 대소 관계 이해하기

ㄱ. [eqn: |`a`|`=|`a+b+(-b)|`` LEQ `|`a+b`|`+`|``-b`|`=`|`a+b`|`+`|`b`|]

[eqn: THEREFORE ```][eqn: |`a`+`b``|`` GEQ `|`a`|`-`|`b`|] (참)

(단, 등호는 [eqn: ab LEQ `0,```|`a`| GEQ |`b`|]일 때 성립)

ㄴ. [eqn: (sqrt a-b )^2 - (sqrt a - sqrt b )^2 = 2 sqrta sqrtb - 2b`]

[eqn: =2sqrt b (sqrt a - sqrt b ) `geq`0] (참)

(단, 등호는 [eqn: a=b`]일 때 성립)

ㄷ. [eqn: b over a + a over b geq`2], [eqn: c over b + b over c `geq`2], [eqn: a over c + c over a `geq`2]

[eqn: therefore```b+c over a + c+a over b + a+b over c `geq`6](참)

(단, 등호는 [eqn: a=b=c`]일 때 성립)

20. [출제의도] 절대부등식의 뜻을 이해하고 적용하기

[eqn: -1` LEQ `(`a`-`1`)`x`+`b`]이 모든 실수에 대하여 항상 성립하기 위하여 [eqn: a=1`],[eqn: b` GEQ `-1]

[eqn: `b` LEQ `x ^{2} `+2x`+`2]에서 [eqn: `x ^{2} `+2x`+`2`-b` GEQ `0]이 모든 실수에 대하여 항상 성립하기 위하여 판별식[eqn: D` LEQ `0]

[eqn: {D} over {4}]=[eqn: 1`-`2`+b`leq`0`]이므로 [eqn: b` LEQ `1]

[eqn: `therefore`] [eqn: -1leq`b` LEQ `1]

21. [출제의도] 해집합의 연산을 이해하고 추론하기

[eqn: A` SMALLINTER `B`]=[eqn: EMPTYSET]와[eqn: A` CUP `B`]=[eqn: LEFT { x vert -1`<`x` LEQ `4 RIGHT }]이므로

[eqn: ``x ^{2} `-`6x`+`a]=[eqn: (x-4)(x-2)]이고

[eqn: `x ^{2} `-`x`+`b`]=[eqn: (x+1)(x-2)]이다.

따라서 [eqn: a=8], [eqn: b=-2]이다.

22. [출제의도] 인수분해를 이용한 식의 값 계산하기

[eqn: x=3+2` sqrt {2,} `````y=3-2` sqrt {2}]이고

[eqn: x+y=6,````x-y=4 sqrt {2} ,``x ^{2} `-y ^{2} `=`(x+y`)(x-y)]

[eqn: x ^{2} `-y ^{2} `=`6 CDOT 4` sqrt {2} `=`24 sqrt {2}]

[eqn: ` THEREFORE ``p=24]

23. [출제의도] 실수에서 정의된 연산에 대한 항등원 이해하기

연산[eqn: ◎]에 대한 항등원을 [eqn: e]라 할 때,

[eqn: a◎e=ae-a-e+k=a]

[eqn: a(e-2)+(k-e)=0]

∴[eqn: `e=2,``k=2]

24. [출제의도] 조건을 이해하고 집합의 원소의 개수 구하기

조건에 알맞은 [eqn: X`]의 원소는

[eqn: (1`,`1`)`,`(1`,`2`)`,`(2`,`2`)`,`(1`,`3`)`,`(3`,`3`)`,`(1`,`4`)`,`]

[eqn: (2`,`4`)`,`(4`,`4`)`,`(1`,`5`)`,`(5`,`5`)`]

∴ 10개

25. [출제의도] 방정식 근의 의미를 이해하고 근과 계수와의 관계 적용하기

[eqn: f`(` alpha `)`=`f`( beta `)`=`1]이므로 [eqn: alpha], [eqn: beta `]는 [eqn: x ^{2} -7x`+11=0`]의 두 근이다.

∴ [eqn: alpha ` beta `=`11]

∴ [eqn: f(`11`)`=11 ^{2} `-`7 BULLET 11`+`12`]

[eqn: =`11(`11`-7`)`+`12]

[eqn: =`11 BULLET 4`+`12]

[eqn: =`56]

26. [출제의도] 집합의 원소의 개수 구하기

병원을 찾은 환자 전체의 집합을 [eqn: U],

고열이 나는 환자들의 집합을 [eqn: A],

기침을 하는 환자들의 집합을 [eqn: B],

목통증이 있는 환자들의 집합을 [eqn: C] 라 하면

구하는 집합은 다음 그림에서와 같다.

[eqn: A]

[eqn: C]

[eqn: B]

[eqn: n`(U`)`=`n`(`A` CUP `B` CUP `C`)`=`90`], [eqn: n`(A`)`=``45], [eqn: n`(B`)`=``37],

[eqn: n`(C`)`=``29], [eqn: n`(B` SMALLINTER `C`)`=``6]

[eqn: n`(B` CUP `C`)`=``n`(`B`)`+`n`(`C`)`-`n`(`B` SMALLINTER `C`)`=`60]

[eqn: A]에만 속하는 원소들의 개수는

[eqn: `n`(`A` CUP `B` CUP `C`)`-`n`(`B` CUP `C`)`=`30]

∴ 구하는 부분의 원소의 개수는 [eqn: 45`-`30`=`15]

27. [출제의도] 집합에서 연산의 의미를 이해하고 부분분수를 적용하기

[eqn: n ^{2} +3n+2-(2n ^{2} +2)=3n-n ^{2} =n(3-n)]

[eqn: n>3]이면 [eqn: n ^{2} +3n+2<2n ^{2} +2]이므로

[eqn: A _{n} TRIANGLE `B _{n}]의 원소의 최솟값은

[eqn: f(n)=n ^{2} `+3n+2][eqn: =(n+1)(n+2)]

이다.

[eqn: {1} over {f(4)} + {1} over {f(5)} + CDOTS + {1} over {f(9)} = {1} over {5 CDOT 6} + {1} over {6 CDOT 7} + CDOTS + {1} over {10 CDOT 11}]

[eqn: = left( {1} over {5} - {1} over {6} right)+ left( {1} over {6} - {1} over {7} right)+ `CDOTS` +left( {1} over {10} - {1} over {11}right )]

[eqn: = {1} over {5} `- ` {1} over {11}][eqn: = {6} over {55}=K]

[eqn: therefore```110K`=`12]

28. [출제의도] 다항식의 나눗셈을 이해하고 나머지 구하기

[eqn: f(x)````=(x ^{2} -8x+12)P(x)+2x+1]

[eqn: =(x-2)(x-6)P(x)+2x+1]……①

[eqn: (x ^{2} +1)f(x+3)=(x ^{2} -2x-3)Q(x)+R(x)]

[eqn: =(x-3)(x+1)Q(x)+ax+b]……②

①에서 [eqn: f(2)=5,] [eqn: f(6)=13]

②에 [eqn: x=-1]을 대입하면 [eqn: 2f(2)=-a+b=10],

[eqn: x=3]을 대입하면 [eqn: 10f(6)=3a+b=130]

∴[eqn: `a=30,```b=40``]

[eqn: therefore``][eqn: R(1)=a+b=70]

29. [출제의도] 도형의 닮음을 이용하여 도형의 넓이 구하기

① 정삼각형 [eqn: 6``]개의 넓이 : [eqn: 6×root3 over4 ×4=6root3]

② 겹쳐져서 튀어나온 이등변삼각형[eqn: rm ` TRIANGLE C} D E] [eqn: 6]개의 넓이 :

[eqn: \ bar{CM}=bar{OC} -bar{OM}}=2-root3] [eqn: rmANGLE `DCM=60 DEG]이므로

[eqn: {bar{rm DM it}} over {bar{rm CM it}} `= sqrt {3}]

[eqn: bar{rm DM it} = sqrt {3} CDOT bar{rm CM it} `=` sqrt {3} (2- sqrt {3} )]   [eqn: therefore```rm ` TRIANGLE CDE=`2 CDOT {1} over {2} bar{CM} `․` bar{DM``} `=`-12+7 sqrt {3} `]

[eqn: THEREFORE ````6 rm ` TRIANGLE CDE][eqn: =6 TIMES (7 sqrt {3} -12)=`-72+42 sqrt {3}]

전체 넓이 ①＋②의 값은 [eqn: -72``+48root3]

[eqn: THEREFORE ``b-a=120]

30. [출제의도] 고차식의 인수분해 및 근과 계수와의 관계를 이해하기

	1	-1	0	[eqn: a]	[eqn: b]
1		1	0	0	[eqn: a]
	1	0	0	[eqn: a]	[eqn: a]+[eqn: b]=0
-2		-2	4	-8
	1	-2	4	[eqn: a]-8=0

[eqn: THEREFORE ``a=8`,``b=-8]

[eqn: x ^{2} ``-`2x`+4`=`0]의 두 근이 [eqn: ` alpha ,`` beta]이므로

[eqn: ` alpha +` beta =2,`` alpha ` beta `=`4]

[eqn: ` alpha ^{4} `+` beta `` ^{4} `=` LEFT { ( alpha + beta ) ^{2} `-2` alpha ` beta ` RIGHT } ^{2} ``-2( alpha ` beta ) ^{2} `=`-16]

[eqn: THEREFORE ``｜` alpha ^{4} + beta ` ^{4} `｜`=`16]

[다른풀이]

[eqn: x ^{2} ``-`2x`+4`=`0]의 두 근이 [eqn: ` alpha ,`` beta]이므로

[eqn: alpha ^{2} ``-`2 alpha `+4`=`0``] 이고, [eqn: beta ^{2} ``-`2 beta `+4`=`0``]이므로

[eqn: alpha ^{2} `=`2 alpha `-`4``] 이고, [eqn: beta ^{2} `=`2 beta `-`4``]이다.

따라서,

[eqn: alpha ^{3} `=`2 alpha ^{2} `-`4 alpha ``][eqn: `=`-8``]이고, [eqn: beta ^{3} `=`2 beta ^{2} `-`4 beta ``][eqn: `=`-8``]이므로

[eqn: alpha ^{4} `+` beta ^{4} `=`-8( alpha `+` beta )`=`-8 TIMES 2`=`-16``]

[eqn: THEREFORE ``｜` alpha ^{4} + beta ` ^{4} `｜`=`16]