2009학년도 6월 고2 전국연합학력평가

정답 및 해설

고 2	정답 및 해설	2009학년도 6월 전국연합학력평가

2009학년도 6월 전국연합학력평가	정답 및 해설	고 2

4

수리 영역

“가”형 정답

1	③	2	②	3	③	4	④	5	②
6	②	7	④	8	⑤	9	③	10	②
11	③	12	④	13	⑤	14	①	15	⑤
16	①	17	③	18	②	19	③	20	④
21	①	22	[eqn: 25]	23	[eqn: 500]	24	[eqn: 20]	25	[eqn: 320]
26	[eqn: 64]	27	[eqn: 32]	28	[eqn: 10]	29	[eqn: 101]	30	[eqn: 18]

해설

1. [출제의도] 로그 계산하기

[eqn: 2log _{3} sqrt {6} +log _{3} ` {3} over {2} =log _{3} `left{ LEFT ( sqrt {6} RIGHT ) ^{2} TIMES {3} over {2} `right}]

[eqn: =log _{3} 3 ^{2} =2]

2. [출제의도] 역행렬 계산하기

[eqn: A-A ^{-1} = {pmatrix{1&```0#2&```1}} - {pmatrix{```````1&```0#-2&```1}} `= {pmatrix{0&```0#4&```0}}]

3. [출제의도] 지수법칙과 로그의 성질을 이용    하여 식의 값 계산하기

[eqn: a=2`times`6 ^{4} `=`2 ^{5} `times`3 ^{4}] , [eqn: b=`3`times`3 ^{3} `=`3 ^{4}] 이므로

[eqn: log _{2} `a`-`log _{2} `b``=``log _{2} `` {a} over {b} `=`log _{2} ` {2 ^{5} ` TIMES `3 ^{4}} over {3 ^{4}} ``]

[eqn: `=`log _{2} ``2 ^{5} ``=``5``]

4. [출제의도] 역함수의 정의 이해하기

[eqn: g(5)=f ^{-1} (2)=k``]라 하면

[eqn: f(k)=2``]이므로 [eqn: k= {3} over {2}]

∴ [eqn: g(5)= {3} over {2}]

5. [출제의도] 편차 계산하기

편차의 총합이 [eqn: 0`]이므로

[eqn: 3a-4-3+7+15=0``]

∴ [eqn: `a=-5`]

6. [출제의도] 복소수의 성질 이해하기

[eqn: sqrt {(-n-1)(n-2)} =`- sqrt {-n-1} sqrt {n-2}]

가 성립하려면 [eqn: -n-1 <= 0], [eqn: n-2 <= 0``]이므로

[eqn: -1<=n<=2]

[eqn: n=`-1``]일 때, [eqn: log``x=`- {1} over {2}]  ∴ [eqn: x=10 ^{- {1} over {2}}]

[eqn: n=0``]일 때, [eqn: log``x= {1} over {2}]       ∴ [eqn: x=10 ^{{1} over {2}}]

[eqn: n=`1``]일 때, [eqn: log``x= {3} over {2}]       ∴ [eqn: x=10 ^{{3} over {2}}]

[eqn: n=2``]일 때, [eqn: log``x= {5} over {2}]       ∴ [eqn: x=10 ^{{5} over {2}}]

∴ 모든 [eqn: x``]값의 곱은 [eqn: 10 ^{4}]

7. [출제의도] 행렬의 거듭제곱 계산하기

[eqn: A ^{5} = pmatrix{``2 ^{5a}&0#0&`3 ^{5b}} ``]이므로

[eqn: 2 ^{5a} =81], [eqn: 5a=log` _{2} `81````]  [eqn: THEREFORE ```a= {4} over {5} `log _{2} 3]

[eqn: 3 ^{5b} =32,````5b=log _{`3} `32`````````````` THEREFORE ``b=log _{`3} `2]

∴ [eqn: ab= {4} over {5} `log` _{2} `3 TIMES log _{`3} `2= {4} over {5}]

8. [출제의도] 거듭제곱근 이해하기

[eqn: A= LEFT { 1,`` sqrt {2} RIGHT }]

[eqn: B= LEFT { root {3} of {-2} , root {3} of {-1} ,``1``,` root {3} of {2} ` RIGHT }]이므로

[eqn: A CUP B= LEFT { root {3} of {-2} ,`` root {3} of {-1} ,```1``,` root {3} of {2} ,` sqrt {2} RIGHT }]

(모든 원소의 곱)[eqn: =`-2 ^{{1} over {3}} TIMES (-1) TIMES 1 TIMES 2 ^{{1} over {3}} TIMES 2 ^{{1} over {2}}# =`2 ^{{7} over {6}}]

9. [출제의도] 이중근호와 도형의 넓이를 이용한 수학 외적 문제해결하기

(활꼴의 넓이)

[eqn: =](부채꼴 [eqn: rmAOB]의 넓이)[eqn: -](삼각형 [eqn: rmAOB]의 넓이)

[eqn: = {1} over {2} r ^{2} ` TIMES ` {pi } over {6} `-` {1} over {2} r ^{2} `sin` {pi } over {6} ``# = {1} over {12} r ^{2} `( pi -3)]

따라서 [eqn: {1} over {12} (27-10 sqrt {2} `)`( pi `-3`)``= {1} over {12} r ^{2} `(pi-3)]

[eqn: r ^{2} `=`27-10 sqrt {2}]

∴ [eqn: r=` sqrt {27-10 sqrt {2}} `=`5- sqrt {2}]

10. [출제의도] 로그의 정의 이해하기

[eqn: 3.02 ^{`x} =63100``]

[eqn: x=log _{``3.02} ``63100`=` {log``63100} over {log``3.02} = {4.80} over {0.48} =10]

∴ [eqn: 3.02`timesx`=3.02 TIMES 10=30.2]

11. [출제의도] 연립방정식을 이용한 수학 외적 문제해결하기

빈 창고 [eqn: A]에 상자가 가득 채워지는데 필요한 일의

양을 [eqn: 1``]이라 하고, 갑이 시간당 한 일의 양을 [eqn: a``],

을이 시간당 한 일의 양을 [eqn: b``], 병이 시간당 한

일의 양을 [eqn: c``]라 하자.

[eqn: 6a+6b=1``] 즉, [eqn: a+b= {1} over {6} ``]…①

[eqn: 15a+5b-10c=1``] 즉, [eqn: 3a+b-2c= {1} over {5} ``] …②

[eqn: 12a+12b-12c=1``]  즉, [eqn: a+b-c= {1} over {12} ``]… ③

①, ②, ③에 의하여

[eqn: a= {1} over {10} ``], [eqn: b= {1} over {15} ``], [eqn: c= {1} over {12}]

∴ 갑이 혼자 빈 창고 [eqn: A``]를 채우는데 걸리는 시간은 [eqn: 10``]시간이다.

12. [출제의도] 좌표평면에서 도형의 대칭이동 이해하기

점 [eqn: rm A``]의 [eqn: x``]축에 대한 대칭점을 [eqn: rmA'], 점 [eqn: rm B```]의 [eqn: y```]축에 대한 대칭점 [eqn: rm B` prime ``]라 하면,

[eqn: rm A` prime]의 좌표는 [eqn: (5,``-2)`], [eqn: rmB`` prime]의 좌표는 [eqn: (-1,``4)``]

따라서, 사각형의 둘레의 길이의 최솟값은

[eqn: rmbar{A prime B`` prime } + bar{AB} = sqrt {LEFT ( -6 RIGHT ) ^{2} +6 ^{2}} + sqrt {LEFT ( -4 RIGHT ) ^{2} +2 ^{2}}]

[eqn: =6 sqrt {2} +2 sqrt {5} `]

13. [출제의도] 지수법칙을 이용한 수학 외적 문제해결하기

[eqn: {30` root {3} of {3}} over {S _{1}} = {1000} over {S _{2}} ``]이므로 [eqn: {S _{1}} over {S _{2}} = {30 root {3} of {3}} over {1000}]

피스톤 [eqn: A``]가 받는 힘의 크기를 [eqn: x]라 하면

[eqn: {x} over {S _{1}} = {100` root {3} of {9}} over {S _{2}}]

∴ [eqn: x=100` root {3} of {9} `times {3` root {3} of {3}} over {100} =9]

14. [출제의도] 지수법칙을 이용한 추론하기

임의의 자연수 [eqn: m``,```n```]([eqn: m<`n``])에 대하여

집합 [eqn: S``]의 두 원소 [eqn: 2 ^{2 ^{``m``}} `+1``]과 [eqn: 2 ^{2 ^{``n`}} `+1``]의 공통인수를[eqn: d``]([eqn: d>1`])라고 가정하자.

[eqn: 2 ^{2 ^{``n``}} `+1``]은 [eqn: (2 ^{2 ^{``n``}} `-1)+2``]이고

[eqn: 2 ^{2 ^{``n``}} `-1```=`(` sqrt {2 ^{2 ^{n}}} +1)`( sqrt {2 ^{2 ^{n}}} -1)``]

[eqn: ```=`(`2 ^{```2 ^{n-1}} ```+`1)`(`2 ^{````2 ^{n-1} `} ```-`1)``]

(∵ [eqn: sqrt {2 ^{2 ^{n}}} `=`(`2 ^{2 ^{n} `} `) ^{{1} over {2}} `=`2 ^{`2 ^{n} ` TIMES ` {1} over {2}} `=`2 ^{`2 ^{n} ` TIMES `2 ^{-1}} ``=`2 ^{2 ^{n-1}}])

[eqn: 2 ^{2 ^{``n-1``}} `-1``]

[eqn: =(2 ^{2 ^{n-2}} +1)(2 ^{2 ^{n-3}} +1) TIMES CDOTS TIMES (2+1)(2-1)]

[eqn: 2 ^{2 ^{``n`}} `+1```=(`2 ^{2 ^{n}} `-1`)`+`2``]

[eqn: =`(`2 ^{```2 ^{n-1}} ```+`1)`(`2 ^{````2 ^{n-1} `} ```-`1)+2``]

따라서, [eqn: d``]가 [eqn: 2 ^{2 ^{``m``}} `+1``]과 [eqn: 2 ^{2 ^{``n`}} `+1``]의 공통인수이고 [eqn: d``>``1``]이므로 [eqn: d``=] 이다.

[eqn: =(2 ^{```2 ^{n-1}} +1) TIMES CDOTS TIMES (2 ^{2 ^{m}} +1) TIMES CDOTS TIMES (2+1)(2-1)+2]

[eqn: 2``]

그러나, 모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여 [eqn: 2 ^{2 ^{``n``}} `+1``]은  이므로 모순이다.

홀수

따라서, [eqn: 2 ^{2 ^{``m``}} `+1``]과 [eqn: 2 ^{2 ^{``n``}} `+1``]은 [eqn: 1``]보다 큰 공통인수를 갖지 않으므로 서로소이다.

15. [출제의도] 행렬의 성질 이해하기

복소수 [eqn: z=a+bi``]에 대하여

ㄱ. [eqn: <(1+2i)(1-2i)>`=`<5>`= pmatrix{5&``0#0&``5} =5E]

∴ 참

ㄴ. [eqn: <z+ bar{z`} >`=<2a>`= pmatrix{2a&``0#0&``2a}]

[eqn: <z>+< bar{z`} >`=<a+bi>+<a-bi>]

[eqn: = pmatrix{~~a&``b#-b&``a} + pmatrix{a&-b#b&~~a}]

[eqn: = pmatrix{2a&``0#0&``2a}]

∴ 참

ㄷ. [eqn: {1} over {z} = {1} over {a+bi} = {a} over {a ^{2} +b ^{2}} `- {b} over {a ^{2} +b ^{2}} i] 이므로

[eqn: < {1} over {z} >`= {1} over {a ^{2} +b ^{2}} pmatrix{a&``-b#b&````````a}]

[eqn: A= pmatrix{```````a&`````b`#-b&`````a}]일 때,

[eqn: A ^{-1} `= {1} over {a ^{2} +b ^{2}} `` pmatrix{``a&-b#``b&````````a}]

∴ 참

16. [출제의도] 유리함수의 그래프 이해하기

[eqn: y= {-3x+7} over {x-2} `=`-3`+` {1} over {x-2} `]은

[eqn: y=x``]와 [eqn: y=-x``]에 대하여 대칭인 유리함수 [eqn: y= {1} over {x}] 을 [eqn: x``]축의 방향으로 [eqn: 2``], [eqn: y``]축의 방향으로 [eqn: -3``]만큼 평행이동한 유리함수이다.

따라서, 함수 [eqn: y= {-3x+7} over {x-2} `]는 두 직선 [eqn: y=x``]와 [eqn: y=-x``]를 [eqn: x``]축의 방향으로 [eqn: 2``]만큼, [eqn: y``]축의 방향으로 [eqn: -3``]만큼 평행이동한 직선에 대하여 각각 대칭이다. 즉, [eqn: y=x-5``]와  [eqn: y=-x-1``]에 대하여 대칭이다.

∴ [eqn: a+b+c+d=`-6]

17. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수 이해하기

직사각형의 넓이를 [eqn: S``]라 하면

[eqn: S``=687 ^{10} TIMES 727 ^{10} `=(6.87 TIMES 7.27 TIMES 10 ^{4} ) ^{10}]

양변에 상용로그를 취하면

[eqn: log``S```=`10`(log``6.87+log`7.27+4)]

[eqn: =10(0.8370+0.8615+4)]

[eqn: =`56.985]

[eqn: log`9.66=0.985``]이므로 [eqn: S=9.66 TIMES 10 ^{56}]

∴ [eqn: `9.66 TIMES 10 ^{56}]

18. [출제의도] 역행렬을 이용한 수학 내적 문제해결하기

[eqn: pmatrix{4&``2#1&``3} pmatrix{x#y} =k pmatrix{x#y}] 즉,  [eqn: pmatrix{4-k&`````2#1&`````3-k} pmatrix{x#y} = pmatrix{0#0}]…㉠

조건에 의해 [eqn: pmatrix{4-k&`````2#1&`````3-k}]의 역행렬의 존재하지 않으므로 [eqn: (4-k)(3-k)-2=0]

[eqn: k ^{2} -7k+10=0]

∴ [eqn: `k=2```]또는 [eqn: k=5]

(ⅰ) [eqn: k=2]인 경우

㉠은 직선 [eqn: x+y=0``]이므로 [eqn: y= {1} over {2} x- {3} over {2}]과    교점은 [eqn: (1,``-1)]

(ⅱ) [eqn: k=5]인 경우

㉠은 직선 [eqn: x-2y=0``]이므로 [eqn: y= {1} over {2} x- {3} over {2}]과    교점은 존재하지 않는다.

따라서, 교점 [eqn: ( alpha ,`` beta )=(1,``-1)``]

∴ [eqn: alpha ^{2} + beta ^{2} =2]

19. [출제의도] 약수와 배수의 성질을 이용하여 추론하기

ㄱ. [eqn: 2a``]의 [eqn: 1``]이 아닌 가장 작은 양의 약수는 [eqn: 2``]이므로   [eqn: f(2a)=2]  ∴ 참

ㄴ. [eqn: a ^{b} ``]은 [eqn: a``]의 거듭제곱이고, [eqn: a``]는 [eqn: a ^{b} ``]의 약수이므로   [eqn: f(a ^{b} )=f(a)]  ∴ 참

ㄷ. (반례) [eqn: a=3``,````b=4``]일 때,

[eqn: f(3` TIMES `4)=f(12)=`2`` not= 3=f(3)]  ∴ 거짓

20. [출제의도] 역행렬이 존재하지 않을 조건을 이용한 수학 내적 문제해결하기

행렬 [eqn: A= pmatrix{x _{1}&``y _{1}#x _{2}&``y _{2}} ``]의 역행렬이 존재하지 않으므로 [eqn: x _{1} y _{2} =y _{1} x _{2} ``] 즉, [eqn: {y _{1}} over {x _{1}} `=` {y _{2}} over {x _{2}} ``][eqn: (x _{1} x _{2} != 0)``]

[eqn: {y _{1} -0} over {x _{1} -0} `=` {y _{2} -0} over {x _{2} -0} ``]이므로 [eqn: rm bar{OP}``]의 기울기와 [eqn: rm bar{OQ} ``]의 기울기는 같다.  따라서 직선 [eqn: rm {PQ]는 원점을 지나므로 직선 [eqn: rm {PQ]의 방정식은 [eqn: y=mx``]이다.

[eqn: LEFT | `y` RIGHT | =x ^{2} +1``]과 [eqn: y=mx``]는 교점을 갖는다.

[eqn: x ^{2} -mx+1=0``]와 [eqn: x ^{2} +mx+1=0``]이 실근을 가지므로 [eqn: D`=m ^{2} -4` >= 0``]

∴ [eqn: m <= -2`] 또는 [eqn: m >= 2]

21. [출제의도] 연립부등식을 활용한 수학 외적 문제해결하기

한 달 동안의 통화 시간 [eqn: t``][eqn: (t=0,`1,`2,` CDOTS `)]에 따른 요금제 [eqn: A]의 요금

[eqn: y=10000+150`t]  [eqn: (t=0,`1,`2,` CDOTS `)]

요금제 [eqn: B``]의 요금

[eqn: cases{y=20200`````````(t=0,`1,`2,` CDOTS ,60)```#y=20200+120(t-60)```````(t=61,`62,``63, CDOTS )}]

요금제 [eqn: C``]의 요금

[eqn: cases{y=28900``````````(t=0,`1,`2,` CDOTS ,120)````#y=28900+90(t-120)```(t=121,`122,`123, CDOTS )}]

(ⅰ) [eqn: B``]의 요금이 [eqn: A``]의 요금보다 저렴한 시간 [eqn: t``]의 구간은

[eqn: 20200+120(t-60)<10000+150`t```]이므로

[eqn: t>100]

(ⅱ) [eqn: B``]의 요금이 [eqn: C``]의 요금보다 저렴한 시간 [eqn: t``]의 구간은

[eqn: 20200+120(t-60)<28900+90(t-120)``]

이므로 [eqn: t<170]

따라서, [eqn: 100<t<170``]이다.

∴ [eqn: b-a``]의 최댓값은 [eqn: 70]

22. [출제의도] 행렬 계산하기

[eqn: A+2B= pmatrix{-5&`10#`````15&`5} `` CDOTS ``]①

[eqn: A-B= pmatrix{25&~~10#``0&-10} ``` CDOTS ``]②

①과 ②에 의하여,

[eqn: A= pmatrix{15&~~10#5&`-5} ``,````B= pmatrix{-10&``0#~~~5&``5}], [eqn: A+B= pmatrix{5&`10#10&`````0}]

∴ 모든 성분의 합 [eqn: 25]

23. [출제의도] 선분의 내분점과 외분점 계산하기

[eqn: rm bar{AB} ``]를 [eqn: 1:2`]로 내분하는 점 [eqn: rm P``]의 좌표는 [eqn: (3,`0)]

[eqn: rm bar{AB} ``]를 [eqn: 2:1`]로 외분하는 점 [eqn: rm Q``]의 좌표는 [eqn: (13`,`20)]

[eqn: a = sqrt {10 ^{2} +20 ^{2}} =10 sqrt {5}]

∴ [eqn: a ^{2} =500]

24. [출제의도] 연립방정식과 행렬의 관계 이해하기

[eqn: pmatrix{`a ^{2} +1```&-4#`5```&`a-20} LEFT ( pile{x#y} RIGHT ) = LEFT ( pile{0#0} RIGHT ) ``]의 해가 무수히 많으려면

[eqn: (a ^{2} +1)(a-20)+20=0```]

[eqn: a(a ^{2} -20`a+1)=0`]

[eqn: a=0] 또는 [eqn: a=10±3 sqrt {11}]

∴ 모든 실수 [eqn: a`]의 합은 [eqn: 20]

25. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수의 성질 이해하기

(ⅰ) 조건 Ⅰ에 의해 [eqn: N``]은 세 자리 정수이다.

(ⅱ) 조건 Ⅱ에서

[eqn: log``32-[log`19]=log`32-1=log`3.2``]이므로

[eqn: log`N``]의 가수는 [eqn: log`3.2``]

∴ [eqn: N=320]

26. [출제의도] 지수법칙을 이용한 수학 내적 문제해결하기

이차방정식 [eqn: x ^{2} `+5x`+1`=0``]의 두 근을 각각

[eqn: alpha ``,```` beta ``]라 하면, [eqn: alpha + beta =-5```,````` alpha beta `=`1``]

[eqn: {(`2``․``2` ^{` alpha } `) ^{beta }} over {2 ^{alpha } ``․``4 ^{` beta }} ``=` {2 ^{beta } ```․```2 ^{alpha beta }} over {2 ^{alpha } ```․```2 ^{2 beta }} ``=2 ^{alpha beta -( alpha + beta )} =64]

27. [출제의도] 원의 성질을 활용한 수학 내적 문제해결하기

원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =4``]와 [eqn: x``]축에 동시에 접하고 반지름의 길이가 [eqn: 1`]인 원의 중심의 좌표는 [eqn: (`2 sqrt {2} ,~1)``]이다.

[eqn: rm ANGLE AOT= theta ``]라 하면 [eqn: tan` theta = {l} over {2} ``]

직각삼각형 [eqn: rm O prime OH``]에서 [eqn: tan LEFT ( {pi } over {2} - theta RIGHT ) = {1} over {2 sqrt {2}} `]이므로

[eqn: tan theta =2 sqrt {2} `]

∴ [eqn: l ` ^{2} =(2`tan` theta ) ^{2} =32]

28. [출제의도] 로그의 성질을 이용한 수학 내적 문제해결하기

[eqn: f(x)=x ^{2} +ax+b``]라 하자.

(ⅰ) [eqn: f(-log`5)=log`5 ^{11}]

[eqn: (-log`5) ^{2} -a`log`5+b=11`log``5`` CDOTS CDOTS ①]

(ⅱ) [eqn: f(log`2)=log`2 ^{`-9}]

[eqn: (log`2) ^{2} +a`log`2+b=`-9`log``2````` CDOTS CDOTS ②]

①과 ②에 의하여,

[eqn: (log2) ^{2} -(log5) ^{2} +a(log2`+log5)# =`-9log2-11`log5]

[eqn: a=`-10]

∴ 두 근의 합 [eqn: 10]

29. [출제의도] 로그의 성질을 이용한 수학 내적 문제해결하기

[eqn: log _{`2} ``x=f(x)+g(x)``]

([eqn: f(x)`]는 정수, [eqn: 0 <= `g(x)`<1])라 할 때,

[eqn: g(x)-f(x)=log _{`2} `x-2f(x)]

[eqn: 2 ^{log _{2} x-2f(x)} =x TIMES 2 ^{-2f(x)} `]

[eqn: x=1]일 때, [eqn: f(x)=0]

[eqn: x= {1} over {2}]일 때, [eqn: f(x)=`-1]

[eqn: x= {1} over {3} ``]일 때, [eqn: f(x)=`-2]

[eqn: x= {1} over {4} ``]일 때, [eqn: f(x)=`-2]

[eqn: x= {1} over {5}]일 때, [eqn: f(x)=`-3]

따라서,

[eqn: 1 TIMES 2 ^{0} +2 TIMES {1} over {2} TIMES 2 ^{2} +3 TIMES {1} over {3} TIMES 2 ^{4}]

[eqn: +4 TIMES {1} over {4} TIMES 2 ^{4} +5 TIMES {1} over {5} TIMES 2 ^{6} `]

[eqn: =1+2 ^{2} +2 ^{4} +2 ^{4} +2 ^{6} `=`101]

30. [출제의도] 로그의 성질을 이용한 수학 외적 문제해결하기

직사각형의 가로의 길이를 [eqn: 2a``], 세로의 길이를 [eqn: a``]라 하면, [eqn: 2a ^{2} =10 ^{16}], [eqn: a= sqrt {{1} over {2} TIMES 10 ^{16}} = {10 ^{8}} over {sqrt {2}} ```],

[eqn: W=2a=2 TIMES {10 ^{8}} over {sqrt {2}} =2 ^{{1} over {2}} TIMES 10 ^{8}], [eqn: t=1`]이므로

[eqn: 2 ^{{1} over {2}} TIMES 10 ^{8} = pi TIMES 2 ^{{3} over {2} (n-1)}]

[eqn: 2 ^{{3} over {2} (n-1)} = {2 ^{{1} over {2}} TIMES 10 ^{8}} over {pi }]

[eqn: {3} over {2} (n-1)=log` _{2} ` {2 ^{{1} over {2}} TIMES `10 ^{8}} over {pi }]

[eqn: = {log`` {2 ^{{1} over {2}} TIMES `10 ^{8}} over {pi }} over {log`2}]

[eqn: = {{1} over {2} `log`2`+8-log` pi } over {log`2}]

[eqn: =25.5]

[eqn: THEREFORE ```n=18]

“나”형 정답

1	③	2	①	3	③	4	④	5	②
6	②	7	⑤	8	①	9	③	10	②
11	⑤	12	④	13	⑤	14	①	15	④
16	③	17	③	18	⑤	19	③	20	②
21	①	22	[eqn: 27]	23	[eqn: 500]	24	[eqn: 15]	25	[eqn: 320]
26	[eqn: 64]	27	[eqn: 24]	28	[eqn: 16]	29	[eqn: 101]	30	[eqn: 18]

해설

1. [출제의도] 로그 계산하기

[eqn: 2log _{3} sqrt {6} +log _{3} ` {3} over {2} =log _{3} `left{ LEFT ( sqrt {6} RIGHT ) ^{2} TIMES {3} over {2} `right}]

[eqn: =log _{3} 3 ^{2} =2]

2. [출제의도] 집합의 연산법칙 이해하기

[eqn: A-B= phi ``]이므로 [eqn: A SUBSET B``]

3. [출제의도] 지수법칙과 로그의 성질을 이용    하여 식의 값 계산하기

[eqn: a=2`times`6 ^{4} `=`2 ^{5} `times`3 ^{4}] , [eqn: b=`3`times`3 ^{3} `=`3 ^{4}] 이므로

[eqn: log _{2} `a`-`log _{2} `b``=``log _{2} `` {a} over {b} `=`log _{2} ` {2 ^{5} ` TIMES `3 ^{4}} over {3 ^{4}} ``]

[eqn: `=`log _{2} ``2 ^{5} ``=``5``]

4. [출제의도] 역함수의 정의 이해하기

[eqn: g(5)=f ^{-1} (2)=k``]라 하면

[eqn: f(k)=2``]이므로 [eqn: k= {3} over {2}]

∴ [eqn: g(5)= {3} over {2}]

5. [출제의도] 편차 계산하기

편차의 총합이 [eqn: 0`]이므로

[eqn: 3a-4-3+7+15=0``]

∴ [eqn: `a=-5`]

6. [출제의도] 복소수의 성질 이해하기

[eqn: sqrt {(-n-1)(n-2)} =`- sqrt {-n-1} sqrt {n-2}]

가 성립하려면 [eqn: -n-1 <= 0], [eqn: n-2 <= 0``]이므로

[eqn: -1<=n<=2]

[eqn: n=`-1``]일 때, [eqn: log``x=`- {1} over {2}]  ∴ [eqn: x=10 ^{- {1} over {2}}]

[eqn: n=0``]일 때, [eqn: log``x= {1} over {2}]       ∴ [eqn: x=10 ^{{1} over {2}}]

[eqn: n=`1``]일 때, [eqn: log``x= {3} over {2}]       ∴ [eqn: x=10 ^{{3} over {2}}]

[eqn: n=2``]일 때, [eqn: log``x= {5} over {2}]       ∴ [eqn: x=10 ^{{5} over {2}}]

∴ 모든 [eqn: x``]값의 곱은 [eqn: 10 ^{4}]

7. [출제의도] 지수법칙 이해하기

새로 만든 정육면체 한 개의 부피는

[eqn: {2 ^{15} +2 ^{12}} over {72} = {2 ^{12} (2 ^{3} +1)} over {72} =2 ^{9}]

∴ 한 모서리의 길이는 [eqn: root {3} of {2 ^{9}} =2 ^{3}]

8. [출제의도] 원의 성질 이해하기

원의 중심을 [eqn: rmO^` prime]라 할 때, [eqn: rm ANGLE AO prime B= {2} over {3} pi]이고, [eqn: rm ANGLE OAO {prime } = ANGLE OBO {prime } = {pi } over {2}], 사각형 [eqn: rmAOBO {prime }]의 내각의 합이 [eqn: 2pi]이므로 [eqn: rm ANGLE AOB= {pi } over {3}]

따라서, [eqn: x]축의 양의 방향과 직선이 이루는 각은 [eqn: {pi } over {6}]이므로 직선의 기울기 [eqn: a``]는

∴ [eqn: a=tan` {pi } over {6} `=` {sqrt {3}} over {3} `]

9. [출제의도] 이중근호와 도형의 넓이를 이용한 수학 외적 문제해결하기

(활꼴의 넓이)

[eqn: =](부채꼴 [eqn: rmAOB]의 넓이)[eqn: -](삼각형 [eqn: rmAOB]의 넓이)

[eqn: = {1} over {2} r ^{2} ` TIMES ` {pi } over {6} `-` {1} over {2} r ^{2} `sin` {pi } over {6} ``# = {1} over {12} r ^{2} `( pi -3)]

따라서 [eqn: {1} over {12} (27-10 sqrt {2} `)`( pi `-3`)``= {1} over {12} r ^{2} `(pi-3)]

[eqn: r ^{2} `=`27-10 sqrt {2}]

∴ [eqn: r=` sqrt {27-10 sqrt {2}} `=`5- sqrt {2}]

10. [출제의도] 로그의 정의 이해하기

[eqn: 3.02 ^{`x} =63100``]

[eqn: x=log _{``3.02} ``63100`=` {log``63100} over {log``3.02} = {4.80} over {0.48} =10]

∴ [eqn: 3.02`timesx`=3.02 TIMES 10=30.2]

11. [출제의도] 그래프의 개형 추론하기

점 [eqn: rm P it (a`,``a-1)``]과 점 [eqn: rm Q it (b`,`-b+3)``]에 대하여

[eqn: rm bar{PQ} = it k``][eqn: (`k>0`)``]라 하면

[eqn: (a-b) ^{2} +(a+b-4) ^{2} =k ^{2} ```` CDOTS ①]

[eqn: rm bar{PQ} ``]의 중점의 좌표는 [eqn: LEFT ( {a+b} over {2} ,`` {a-b+2} over {2} RIGHT ) ``]

[eqn: {a+b} over {2} =x``,```` {a-b+2} over {2} =y```]라 하면

[eqn: a=x+y-1``,````b=x-y+1``` CDOTS ②]

이 때, ①과 ②에 의하여

[eqn: (x-2) ^{2} +(y-1) ^{2} = {k ^{2}} over {4}]

따라서, [eqn: rm bar{PQ} ``]의 중점이 나타내는 도형은 원이다.

12. [출제의도] 이차방정식의 판별식을 이용하여 부등식의 영역의 넓이 계산하기

[eqn: x ^{2} -2bx+4`=`-2a(x-b)```]의 해가 존재하지 않으므로 [eqn: x ^{2} +2(a-b)x-2ab+4=0``]의

판별식 [eqn: D<0``]

[eqn: (a-b) ^{2} -(-2ab+4)<0``] 즉, [eqn: a ^{2} +b ^{2} -4<0]

따라서, 점 [eqn: (a`,``b)``]는 중심이 [eqn: (0`,``0)], 반지름의 길이가 [eqn: 2``]인 원의 내부이다.

∴ 영역의 넓이는 [eqn: 4 pi]

13. [출제의도] 지수법칙을 이용한 수학 외적 문제해결하기

[eqn: {30` root {3} of {3}} over {S _{1}} = {1000} over {S _{2}} ``]이므로 [eqn: {S _{1}} over {S _{2}} = {30 root {3} of {3}} over {1000}]

피스톤 [eqn: A``]가 받는 힘의 크기를 [eqn: x]라 하면

[eqn: {x} over {S _{1}} = {100` root {3} of {9}} over {S _{2}}]

∴ [eqn: x=100` root {3} of {9} `times {3` root {3} of {3}} over {100} =9]

14. [출제의도] 지수법칙을 이용한 추론하기

임의의 자연수 [eqn: m``,```n```]([eqn: m<`n``])에 대하여

집합 [eqn: S``]의 두 원소 [eqn: 2 ^{2 ^{``m``}} `+1``]과 [eqn: 2 ^{2 ^{``n`}} `+1``]의 공통인수를[eqn: d``]([eqn: d>1`])라고 가정하자.

[eqn: 2 ^{2 ^{``n``}} `+1``]은 [eqn: (2 ^{2 ^{``n``}} `-1)+2``]이고

[eqn: 2 ^{2 ^{``n``}} `-1```=`(` sqrt {2 ^{2 ^{n}}} +1)`( sqrt {2 ^{2 ^{n}}} -1)``]

[eqn: ```=`(`2 ^{```2 ^{n-1}} ```+`1)`(`2 ^{````2 ^{n-1} `} ```-`1)``]

(∵ [eqn: sqrt {2 ^{2 ^{n}}} `=`(`2 ^{2 ^{n} `} `) ^{{1} over {2}} `=`2 ^{`2 ^{n} ` TIMES ` {1} over {2}} `=`2 ^{`2 ^{n} ` TIMES `2 ^{-1}} ``=`2 ^{2 ^{n-1}}])

[eqn: 2 ^{2 ^{``n-1``}} `-1``]

[eqn: =(2 ^{2 ^{n-2}} +1)(2 ^{2 ^{n-3}} +1) TIMES CDOTS TIMES (2+1)(2-1)]

[eqn: 2 ^{2 ^{``n`}} `+1```=(`2 ^{2 ^{n}} `-1`)`+`2``]

[eqn: =`(`2 ^{```2 ^{n-1}} ```+`1)`(`2 ^{````2 ^{n-1} `} ```-`1)+2``]

따라서, [eqn: d``]가 [eqn: 2 ^{2 ^{``m``}} `+1``]과 [eqn: 2 ^{2 ^{``n`}} `+1``]의 공통인수이고 [eqn: d``>``1``]이므로 [eqn: d``=] 이다.

[eqn: =(2 ^{```2 ^{n-1}} +1) TIMES CDOTS TIMES (2 ^{2 ^{m}} +1) TIMES CDOTS TIMES (2+1)(2-1)+2]

[eqn: 2``]

그러나, 모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여 [eqn: 2 ^{2 ^{``n``}} `+1``]은  이므로 모순이다.

홀수

따라서, [eqn: 2 ^{2 ^{``m``}} `+1``]과 [eqn: 2 ^{2 ^{``n``}} `+1``]은 [eqn: 1``]보다 큰 공통인수를 갖지 않으므로 서로소이다.

15. [출제의도] 지수법칙을 이용한 수학 내적  문제해결하기

[eqn: cases{eqalign{` LEFT ( `x`-`1` RIGHT ) LEFT ( `x-4 ^{n`} RIGHT ) ``<0`# LEFT ( `x-2 ^{m} ` RIGHT ) LEFT ( `x-3 ^{m} ` RIGHT ) `<`0}} ``]이고

[eqn: cases{`1<x<2 ^{2n}&#`2 ^{m} <x<3 ^{m}&} ``]

양수 [eqn: m], [eqn: n``]에 대하여 연립부등식의 해가 존재하지 않으므로 [eqn: 2n <= m`] 즉, [eqn: {m} over {n} >= 2`]

∴ [eqn: {m} over {n} ``]의 최솟값은 [eqn: 2`]

16. [출제의도] 이항연산 이해하기

ㄱ. [eqn: a`◎`b=a ^{log _{3} `b} =b ^{log _{3} `a} =b`◎`a]  ∴ 참

ㄴ. 항등원을 [eqn: e``]라 하면 [eqn: a ^{log _{3} `e} ``=``a``]

[eqn: a` != 1``]이므로 [eqn: log _{`3} ``e``=`1``] 즉, [eqn: e=3`]

이 때, [eqn: 9``]의 역원을 [eqn: x``]라 하면

[eqn: 9 ^{`log _{3} ``x} `=`3```]즉, [eqn: x=` sqrt {3}]  ∴ 거짓

ㄷ. [eqn: 3```◎```3 ^{2} ```◎```3 ^{3} ```◎`` CDOTS ```◎```3 ^{n} ```=`3 ^{720} ````]

[eqn: 3 ^{`1`` TIMES ``2 TIMES ``3`` TIMES `` CDOTS TIMES ``n``} =`3 ^{720``}]

[eqn: n=6]  ∴ 참

17. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수 이해하기

직사각형의 넓이를 [eqn: S``]라 하면

[eqn: S``=687 ^{10} TIMES 727 ^{10} `=(6.87 TIMES 7.27 TIMES 10 ^{4} ) ^{10}]

양변에 상용로그를 취하면

[eqn: log``S```=`10`(log``6.87+log`7.27+4)]

[eqn: =10(0.8370+0.8615+4)]

[eqn: =`56.985]

[eqn: log`9.66=0.985``]이므로 [eqn: S=9.66 TIMES 10 ^{56}]

∴ [eqn: `9.66 TIMES 10 ^{56}]

18. [출제의도] 로그의 밑과 진수의 조건 이해하기

(ⅰ) 밑의 조건

임의의 실수 [eqn: x``]에 대하여

[eqn: x ^{2} +a>0``], [eqn: x ^{2} +a != 1``]이므로 [eqn: a>1] (단, [eqn: a``]는 정수)  ∴ [eqn: a=2`,``3`,``4`,` CDOTS]

(ⅱ) 진수의 조건

임의의 실수 [eqn: x``]에 대하여 [eqn: bx ^{2} -4bx+8>0]

[eqn: b=0``]일 때, [eqn: 8>0``]이므로 [eqn: b=0``]

[eqn: b != 0``]일 때, [eqn: D=16b(b-2)<0``], [eqn: 0<b<2] (단, [eqn: b``]는 정수)이므로 [eqn: b=1``]

∴ [eqn: b=`0`,``1]

따라서, [eqn: a+b``]의 최솟값은 [eqn: 2]

19. [출제의도] 약수와 배수의 성질을 이용하여 추론하기

ㄱ. [eqn: 2a``]의 [eqn: 1``]이 아닌 가장 작은 양의 약수는 [eqn: 2``]이므로   [eqn: f(2a)=2]  ∴ 참

ㄴ. [eqn: a ^{b} ``]은 [eqn: a``]의 거듭제곱이고, [eqn: a``]는 [eqn: a ^{b} ``]의 약수이므로   [eqn: f(a ^{b} )=f(a)]  ∴ 참

ㄷ. (반례) [eqn: a=3``,````b=4``]일 때,

[eqn: f(3` TIMES `4)=f(12)=`2`` != 3=f(3)]  ∴ 거짓

20. [출제의도] 부채꼴의 둘레의 길이 계산하기

부채꼴 [eqn: rm PAB``]의 둘레의 길이와 원 [eqn: rmO`]의 둘레의 길이가 같으므로 [eqn: 2+2+2 theta =2 pi]

∴ [eqn: theta = pi -2]

21. [출제의도] 연립부등식을 활용한 수학 외적 문제해결하기

한 달 동안의 통화 시간 [eqn: t``][eqn: (t=0,`1,`2,` CDOTS `)]에 따른 요금제 [eqn: A]의 요금

[eqn: y=10000+150`t]  [eqn: (t=0,`1,`2,` CDOTS `)]

요금제 [eqn: B``]의 요금

[eqn: cases{y=20200`````````(t=0,`1,`2,` CDOTS ,60)```#y=20200+120(t-60)```````(t=61,`62,``63, CDOTS )}]

요금제 [eqn: C``]의 요금

[eqn: cases{y=28900``````````(t=0,`1,`2,` CDOTS ,120)````#y=28900+90(t-120)```(t=121,`122,`123, CDOTS )}]

(ⅰ) [eqn: B``]의 요금이 [eqn: A``]의 요금보다 저렴한 시간 [eqn: t``]의 구간은

[eqn: 20200+120(t-60)<10000+150`t```]이므로

[eqn: t>100]

(ⅱ) [eqn: B``]의 요금이 [eqn: C``]의 요금보다 저렴한 시간 [eqn: t``]의 구간은

[eqn: 20200+120(t-60)<28900+90(t-120)``]

이므로 [eqn: t<170]

따라서, [eqn: 100<t<170``]이다.

∴ [eqn: b-a``]의 최댓값은 [eqn: 70]

22. [출제의도] 지수법칙 이해하기

주어진 식의 양변에 [eqn: 3 ^{a} ``]을 곱하면

[eqn: 2 ^{a} TIMES 3 ^{a} =3``,~6 ^{a} =3````]

∴ [eqn: 6 ^{3a} =3 ^{3} =27`]

23. [출제의도] 선분의 내분점과 외분점 계산하기

[eqn: rm bar{AB} ``]를 [eqn: 1:2`]로 내분하는 점 [eqn: rm P``]의 좌표는 [eqn: (3,`0)]

[eqn: rm bar{AB} ``]를 [eqn: 2:1`]로 외분하는 점 [eqn: rm Q``]의 좌표는 [eqn: (13`,`20)]

[eqn: a = sqrt {10 ^{2} +20 ^{2}} =10 sqrt {5}]

∴ [eqn: a ^{2} =500]

24. [출제의도] 평균과 표준편차를 이용하여 계산하기

직사각형의 두 변의 길이를 [eqn: a``,````b]라 하면,

[eqn: {2a+2b} over {4} =5], [eqn: sqrt {{2 LEFT ( a-5 RIGHT ) ^{2} +2 LEFT ( b-5 RIGHT ) ^{2}} over {4}} = sqrt {10}]

[eqn: a+b=10``,````a ^{2} +b ^{2} =70`]

∴ [eqn: ab=15]

25. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수의 성질 이해하기

(ⅰ) 조건 Ⅰ에 의해 [eqn: N``]은 세 자리 정수이다.

(ⅱ) 조건 Ⅱ에서

[eqn: log``32-[log`19]=log`32-1=log`3.2``]이므로

[eqn: log`N``]의 가수는 [eqn: log`3.2``]

∴ [eqn: N=320]

26. [출제의도] 지수법칙을 이용한 수학 내적 문제해결하기

이차방정식 [eqn: x ^{2} `+5x`+1`=0``]의 두 근을 각각

[eqn: alpha ``,```` beta ``]라 하면, [eqn: alpha + beta =-5```,````` alpha beta `=`1``]

[eqn: {(`2``․``2` ^{` alpha } `) ^{beta }} over {2 ^{alpha } ``․``4 ^{` beta }} ``=` {2 ^{beta } ```․```2 ^{alpha beta }} over {2 ^{alpha } ```․```2 ^{2 beta }} ``=2 ^{alpha beta -( alpha + beta )} =64]

27. [출제의도] 이차함수를 이용한 수학 외적 문제해결하기

두 부채꼴의 반지름의 길이를 각각 [eqn: x], [eqn: y``]라 하자.

[eqn: {2} over {3} pi x+ {2} over {3} pi y=8 pi]  즉, [eqn: x+y=12]

두 부채꼴의 넓이의 합을 [eqn: S``]라 하면

[eqn: S= {1} over {2} TIMES {2 pi } over {3} x ^{2} + {1} over {2} TIMES {2 pi } over {3} y ^{2} ``]

[eqn: y=12-x``]이므로

[eqn: S= {1} over {2} times {2 pi } over {3} x ^{2} + {1} over {2} times {2 pi } over {3} (12-x) ^{2}]

[eqn: = {2 pi } over {3} (x-6) ^{2} +24 pi]

따라서 [eqn: x=y=6``]일 때, [eqn: S``]의 최솟값은 [eqn: 24 pi ``]

∴ [eqn: a=24]

28. [출제의도] 함수의 그래프 이해하기

[eqn: y= sqrt {LEFT | `x` RIGHT | +1} ``]이 최솟값을 갖는 점은 [eqn: rm A` LEFT ( 0`,`1 RIGHT ) ``]

[eqn: y= sqrt {LEFT | `x` RIGHT | +1} ``]와 직선 [eqn: y=3``]과의 두 교점은 [eqn: rm B` LEFT ( -8`,``3 RIGHT ) ``], [eqn: rm C` LEFT ( 8`,``3 RIGHT ) ``]

∴ (삼각형 [eqn: RM{ABC}``]의 넓이)[eqn: = {1} over {2} TIMES 16 TIMES 2=16`]

29. [출제의도] 로그의 성질을 이용한 수학 내적 문제해결하기

[eqn: log _{`2} ``x=f(x)+g(x)``]

([eqn: f(x)`]는 정수, [eqn: 0 <= `g(x)`<1])라 할 때,

[eqn: g(x)-f(x)=log _{`2} `x-2f(x)]

[eqn: 2 ^{log _{2} x-2f(x)} =x TIMES 2 ^{-2f(x)} `]

[eqn: x=1]일 때, [eqn: f(x)=0]

[eqn: x= {1} over {2}]일 때, [eqn: f(x)=`-1]

[eqn: x= {1} over {3} ``]일 때, [eqn: f(x)=`-2]

[eqn: x= {1} over {4} ``]일 때, [eqn: f(x)=`-2]

[eqn: x= {1} over {5}]일 때, [eqn: f(x)=`-3]

따라서,

[eqn: 1 TIMES 2 ^{0} +2 TIMES {1} over {2} TIMES 2 ^{2} +3 TIMES {1} over {3} TIMES 2 ^{4}]

[eqn: +4 TIMES {1} over {4} TIMES 2 ^{4} +5 TIMES {1} over {5} TIMES 2 ^{6} `]

[eqn: =1+2 ^{2} +2 ^{4} +2 ^{4} +2 ^{6} `=`101]

30. [출제의도] 로그의 성질을 이용한 수학 외적 문제해결하기

직사각형의 가로의 길이를 [eqn: 2a``], 세로의 길이를 [eqn: a``]라 하면, [eqn: 2a ^{2} =10 ^{16}], [eqn: a= sqrt {{1} over {2} TIMES 10 ^{16}} = {10 ^{8}} over {sqrt {2}} ```],

[eqn: W=2a=2 TIMES {10 ^{8}} over {sqrt {2}} =2 ^{{1} over {2}} TIMES 10 ^{8}], [eqn: t=1`]이므로

[eqn: 2 ^{{1} over {2}} TIMES 10 ^{8} = pi TIMES 2 ^{{3} over {2} (n-1)}]

[eqn: 2 ^{{3} over {2} (n-1)} = {2 ^{{1} over {2}} TIMES 10 ^{8}} over {pi }]

[eqn: {3} over {2} (n-1)=log` _{2} ` {2 ^{{1} over {2}} TIMES `10 ^{8}} over {pi }]

[eqn: = {log`` {2 ^{{1} over {2}} TIMES `10 ^{8}} over {pi }} over {log`2}]

[eqn: = {{1} over {2} `log`2`+8-log` pi } over {log`2}]

[eqn: =25.5]

[eqn: THEREFORE ```n=18]