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2009학년도 3월 고2 전국연합학력평가 정답 및 해설

정 답

1	④	2	⑤	3	①	4	③	5	①
6	②	7	③	8	④	9	①	10	⑤
11	②	12	②	13	③	14	①	15	③
16	⑤	17	④	18	①	19	⑤	20	②
21	④	22	[eqn: 155]	23	[eqn: 14]	24	[eqn: 37]	25	[eqn: 16]
26	[eqn: 36]	27	[eqn: 28]	28	[eqn: 12]	29	[eqn: 48]	30	[eqn: 270]

해 설

1. [출제의도] 이중근호를 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: sqrt {8+ sqrt {60}} = sqrt {8+2 sqrt {15}} = sqrt {5} + sqrt {3}`]

[eqn: root{8- root60} = root{8- 2root15} =root5 - root3 `]

(주어진 식)[eqn: = ( root 5 + root 3 ) + (root 5 - root 3 ) `]

[eqn: =2 sqrt {5} `]

2. [출제의도] 이차부등식을 풀 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: (x+3)(x-1) <= 0 `]에서 [eqn: -3 <= x <= 1 `]

[eqn: x]는 정수이므로 [eqn: -3`], [eqn: -2`], [eqn: -1`], [eqn: 0`], [eqn: 1`]

구하는 개수는 [eqn: 5`]이다.

3. [출제의도] 복소수의 사칙연산을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: {3-i} over {2+i} + {3+i} over {2-i}`][eqn: = {(3-i)(2-i)} over {(2+i)(2-i)} + {(3+i)(2+i)} over {(2-i)(2+i)} `]

[eqn: =(1-i)+ (1+i)`]

[eqn: =2`]

4. [출제의도] 명제가 거짓임을 보이는 예를 찾을 수 있는가를 묻는 문제이다.

반례는 가정인 [eqn: x`>` sqrt {2} `]를 만족하지만

결론인 [eqn: x` >= sqrt {6} `]을 만족하지 않는 것이어야 한다.

즉 [eqn: sqrt {2} <x< sqrt {6}`]이어야 한다.

보기 중에서 [eqn: sqrt {2} <x< sqrt {6}`]인 [eqn: x`]의 값은 [eqn: 2`] 뿐이다.

5. [출제의도] 복소수의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: z= a+bi `]([eqn: b!=0 `])이라 하자.

[eqn: z(z+2)=(a ^{2} -b ^{2} +2a)+2b(a+1)i `]

에서 [eqn: z(z+2)`]가 실수이므로

[eqn: 2b(a+1)=0`]

[eqn: b!=0`]이므로 [eqn: a=-1`]

[eqn: z `` bar z = 4`]에서

[eqn: a^2 + b^2 = 4`]

[eqn: a=-1`]이므로 [eqn: b= +- sqrt3 `]

∴ [eqn: z(z+2)=a^2 - b^2 +2a`]

[eqn: = `-4 `]

6. [출제의도] 두 자료의 평균과 표준편차의 값을 비교할 수 있는가를 묻는 문제이다.

두 모둠의 점수가 [eqn: 2`]점을 중심으로 대칭인 분포를 이루고 있으므로 평균은 [eqn: 2`]점으로 같다.

또, B모둠은 A모둠의 [eqn: 0`]점이 [eqn: 1`]점으로, [eqn: 4`]점이 [eqn: 3`]점으로 각각 [eqn: 1`]명씩 이동한 것과 같으므로 B의 편차의 제곱의 평균(분산)은 A의 분산보다 작다.

따라서 B의 표준편차는 A의 표준편차보다 작다.

[다른 풀이]

[eqn: m_{rmA} = {0times3 +1times1+2times 2+3times 1 + 4 times 3}over10 =2`]

[eqn: m_{rmB} = {0times2 +1times2+2times 2+3times 2 + 4 times 2}over10 =2`]

[eqn: THEREFORE ```m_{rmA} =m_{rmB} `]

[eqn: sigma_{rmA} = root{ {3 times (-2)^2 +`(-1)^2 +` 1^2 + 3 times 2^2 }over10 } = root{13over5}`]

[eqn: sigma_{rmB} = root{ {2 times (-2)^2 +2 times (-1)^2 + 2 times 1^2 + 2 times 2^2 }over10} = root{2}`]

[eqn: THEREFORE ```~sigma_{rmA} `>` sigma_{rmB} `]

7. [출제의도] 부등식의 기본 성질을 이용하여 대소관계를 판단할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: a>b`]이므로 [eqn: a-b>0`]이다.

[eqn: { 1} over { a}-{ 1} over {b }= { b-a} over { ab}<0]

∴ [eqn: { 1} over { a}< { 1} over {b }`] (참)

ㄴ. [반례] [eqn: a=3`], [eqn: b=2`]일 때

[eqn: {2} over {3 ^{2}} < {3} over {2 ^{2}} `](거짓)

ㄷ. [eqn: a-1 >0`], [eqn: b-1>0`]이므로

[eqn: ab-(a+b-1)=(a-1)(b-1)>0`]

∴ [eqn: ab>a+b-1`] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

8. [출제의도] 집합의 연산의 성질을 이해하고 연산의 규칙성을 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: A AST B=(A CUP B) ^{C} CUP (A SMALLINTER B)``]

[eqn: =(B CUP A) ^{C} CUP (B SMALLINTER A)``]

[eqn: =``B AST A``](참)

ㄴ. [eqn: A ∗ A= A^C cup A= U] (거짓)

ㄷ. [eqn: A ∗ A ∗A=U ∗ A = U ^{C} CUP A=A]

[eqn: A ∗ A ∗A ∗ A=A ∗ A = U]

[eqn: A ∗ A ∗`A ∗ A ∗A=A ∗ A ∗ A= A]

[eqn: vdots``]

위로부터

[eqn: UNDERBRACE {A가~짝수개}{A ∗ A ∗ A ∗ CDOTS ∗ A}=U``]

[eqn: UNDERBRACE {A가~홀수개}{A ∗ A ∗ A ∗ CDOTS ∗ A}=A]

임을 알 수 있다. [eqn: 2009``]가 홀수이므로

[eqn: UNDERBRACE {A가~2009 개}{A ∗ A ∗A ∗ CDOTS ∗ A}=A] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ과 ㄷ이다.

[참고]

연산 ∗에 대한 결합법칙 [eqn: A AST (B AST C`)=(A AST B) AST C`]이 성립하므로 [eqn: A AST (B AST C`)`], [eqn: (A AST B) AST C`]는 모두

[eqn: A ∗B∗C``]로 나타낼 수 있다.

9. [출제의도] 합성함수와 역함수의 성질을 이용하여 주어진 그래프에서 함숫값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

위의 그래프에서 [eqn: f(c) = b `]이므로

[eqn: g^-1 ``left( `` f ( c ) ``right) = g^-1 (b) `]

[eqn: g ^{-1} LEFT ( b RIGHT ) =k`]라 하면 [eqn: g LEFT ( k RIGHT ) =b`]이다.

주어진 그래프에서 [eqn: g LEFT ( a RIGHT ) =b`]이므로 [eqn: k=a`]

즉, [eqn: g ^{-1} LEFT ( b RIGHT ) =a`]이다.

10. [출제의도] 뺄셈에 대하여 닫혀 있는 집합의 원소를 추측할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: A not= emptyset `]이므로 [eqn: a`in`A`]이면 [eqn: 0=a-a `in`A`]이다. (참)

ㄴ. [eqn: 0 in A`]이고 [eqn: a` in` A `]이므로 [eqn: -a=0-a `in`A`]이다. (참)

ㄷ. [eqn: a`in`A`], [eqn: b`in`A`]이면 ㄴ에서 [eqn: -b`in`A`]이다.

따라서 [eqn: a+b=a-(-b)`in`A`]이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

[참고]

[eqn: 1` in `A`]이면 ㄷ에서 [eqn: 2=1+1`in`A`]이고, 마찬가지로 [eqn: 3=2+1`in`A`], [eqn: 4=3+1`in`A`], … 이므로 모든 자연수 [eqn: n`]이 집합 [eqn: A`]의 원소이다.

또, ㄱ, ㄴ에서 [eqn: 0`in`A`], [eqn: -n`in`A`]이므로 [eqn: A`]는 정수 전체의 집합이다.

11. [출제의도] 항등함수의 성질을 이용하여 합성함수의 성질을 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. 모든 [eqn: x `in`X`]에 대하여 [eqn: f(x)=g(x)=x`]이므로

[eqn: (g circ f)(x)=g(f(x))=g(x)=x`]

∴ [eqn: g`circ f`]는 항등함수 (참)

ㄴ. [eqn: g`circ f`]가 항등함수이면 모든 [eqn: x `in`X`]에 대하여

[eqn: g(f(x))=x`]

즉 [eqn: f`]의 역함수는 [eqn: g`]이고 [eqn: g`]의 역함수는 [eqn: f`]이다.

[eqn: f`], [eqn: g`]는 모두 역함수가 존재하므로 일대일대응이다.

ㄷ. [반례] 다음에서 [eqn: g`circ f`]가 항등함수이지만

[eqn: f`], [eqn: g`]는 모두 항등함수가 아니다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

12. [출제의도] 방정식의 공통근의 개수를 이용하여 공통이 아닌 근의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: x(x^2 +ax+b)=0`]에서

[eqn: x=0`] 또는 [eqn: x^2 +ax+b=0`]

[eqn: x(x^2 +bx+a)=0`]에서

[eqn: x=0`] 또는 [eqn: x^2 +bx+a=0`]

[eqn: n(A capB )= 2`]이므로 두 이차방정식

[eqn: x^2 +ax+b=0`], [eqn: x^2 +bx+a=0`]

이 공통근을 갖는다.

공통근을 [eqn: alpha`]라 하면

[eqn: alpha^2 +a alpha +b=0`], [eqn: alpha^2 +b alpha +a=0`]

두 식을 변끼리 빼면

[eqn: alpha(a-b)+b-a=(a-b)(alpha-1)=0`]

[eqn: a ne b`]이므로 [eqn: alpha=1`]

[eqn: x^2 +ax+b=0`], [eqn: x^2 +bx+a=0`]에 [eqn: x=1`]을 대입하면

[eqn: a+b=-1`]

[eqn: x^2 +ax+b=0`]의 한 근이 [eqn: 1`]이므로 다른 한 근은 [eqn: b`]

[eqn: x^2 +bx+a=0`]의 한 근이 [eqn: 1`]이므로 다른 한 근은 [eqn: a`]

[eqn: n(A cupB )= 4`], [eqn: n(A capB )= 2`]이므로

[eqn: a`], [eqn: b`]는 모두 [eqn: 0`]도 아니고 [eqn: 1`]도 아니다.

∴ [eqn: A= LEFT { 0,``1,``a`` RIGHT }`], [eqn: B= LEFT { 0,``1,``b`` RIGHT }`]

따라서 [eqn: (A cupB)-(A capB)`][eqn: = LEFT { a,``b`` RIGHT } `]이므로

원소의 합은 [eqn: a+b=-1`]

13. [출제의도] 삼각함수의 그래프의 대칭성을 이용하여 교점의 [eqn: x`]좌표의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

두 점 [eqn: rm A`], [eqn: rmB`]는 직선 [eqn: x= pi over 4 `]에 대하여 대칭이므로

[eqn: alpha+beta over 2 = pi over 4 `]

∴ [eqn: alpha + beta = pi over 2 `]	…… ㉠

두 점 [eqn: rm C`], [eqn: rm D`]는 직선 [eqn: x= 3 over 4 pi`]에 대하여 대칭이므로

[eqn: gamma+delta over 2 = 3 over 4 pi`]

∴ [eqn: gamma + delta = 3 over 2 pi `]	…… ㉡

두 점 [eqn: rm B`], [eqn: rm C`]는 점 [eqn: left ( pi over 2 , `` 0 right) `]에 대하여 대칭이므로

[eqn: beta+gamma over 2 = pi over 2 `]

∴ [eqn: beta + gamma = pi `]	…… ㉢

㉠, ㉡, ㉢에서

[eqn: alpha + 2 beta + 2gamma + delta = (alpha + beta ) + (beta + gamma) + (gamma + delta ) `]	[eqn: = pi over 2 +pi+ 3 over 2 pi `]

[eqn: = 3pi `]

[다른 풀이]

두 점 [eqn: rm A`], [eqn: rm D`]는 점 [eqn: left ( pi over 2 , `` 0 right) `]에 대하여 대칭이므로

[eqn: {alpha +delta} over 2 = pi over 2 `]   ∴ [eqn: alpha + delta = pi `]  …… ㉣

두 점 [eqn: rm B`], [eqn: rm C`]는 점 [eqn: left ( pi over 2 , `` 0 right) `]에 대하여 대칭이므로

[eqn: beta+gamma over 2 = pi over 2 `]   ∴ [eqn: beta + gamma = pi `] …… ㉤

㉣, ㉤에서

[eqn: alpha + 2 beta + 2gamma + delta = (alpha + delta ) + 2(beta + gamma) `]	[eqn: = pi + 2pi`]

[eqn: = 3pi `]

14. [출제의도] 삼각형의 넓이의 비에서 선분의 내분점과 외분점을 이해하고 직선의 방정식을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

([eqn: △rmOPB`]의 넓이)[eqn: = 1 over 2 × `]([eqn: △rmOAB`]의 넓이)이고,

점 [eqn: rm P`]가 제1사분면 위의 점이므로

점 [eqn: rmP`]는 선분 [eqn: rmOA`]의 중점이다.

∴ [eqn: {rmP} LEFT ( 3,`` 1 RIGHT )`]

([eqn: △rmOPQ`]의 넓이)[eqn: = 3over2 × `]([eqn: △rmOPB`]의 넓이)이고,

점 [eqn: rm Q`]가 제2사분면 위의 점이므로

점 [eqn: rmQ`]는 선분 [eqn: rmOB`]를 [eqn: 3``:``1`]로 외분하는 점이다.

[eqn: {rmQ} LEFT ( {3×(-2)-0} over 3-1 , ``{3×4-0} over 3-1 RIGHT ) `]

∴ [eqn: rm Q it (-3,``6)`]

그러므로 직선 [eqn: rmPQ`]의 방정식은 다음과 같다.

[eqn: y-1 = {- 5 over 6} (x -3 ) `]

∴ [eqn: 5x+6y=21`]

[eqn: m = 5 `], [eqn: n=6`]이므로 [eqn: m+n = 11 `]

15. [출제의도] 삼각형의 넓이 공식을 이용하여 육각형의 넓이를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

사각형 [eqn: rmAPQB`], [eqn: rm BRSC`], [eqn: rm CTUA`]의 넓이는 각각

[eqn: c^2 `], [eqn: a^2 `], [eqn: b^2`]이고, [eqn: rm △ABC`]의 넓이는 [eqn: { 1} over {2 }ab `]이다.

또, [eqn: rm ` ANGLE BAC= it theta`]라고 하면 [eqn: \ ∠PAU = 180°- it theta`]이므로

[eqn: rm △PAU`]의 넓이는

[eqn: rm ` TRIANGLE PAU= {1} over {2} ` bar{AU} `` bar{AP} ``sin(180°-theta)`]

[eqn: = {1} over {2} bc`sin theta `]

[eqn: = rm ` TRIANGLE ABC`]

[eqn: = {1} over {2} it ab`]

이다.

마찬가지 방법으로 [eqn: rm △QRB`], [eqn: rm △CST`]의 넓이도 각각 [eqn: { 1} over {2 }ab`]이다.

따라서 육각형 [eqn: rm PQRSTU`]의 넓이는

[eqn: c ^{2} +a ^{2} +b ^{2} + {1} over {2} ab TIMES 4=2(c^2 +ab )`] (∵ [eqn: a^2 +b^2 =c^2 `])

16. [출제의도] 귀류법을 이용하여 방정식이 정수인 근을 갖지 않음을 증명할 수 있는가를 묻는 문제이다.

(가) [eqn: f(0)`]

(나) 홀수

(다) [eqn: f(1)`]

17. [출제의도] 규칙을 발견하고 이를 이용하여 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: LEFT { 1,``2,``3,``4,`` 5` RIGHT } `]의 [eqn: 2^5 `]개의 부분집합 중 최대의 원소인 [eqn: 5`]를 포함하는 것과 [eqn: 5`]를 포함하지 않는 것을 다음과 같이 일대일대응시킬 수 있다.

[eqn: emptyset `]↔ [eqn: left{ 5 right }]

[eqn: left{ 1 right} `]↔[eqn: left{1,``5 right}]

[eqn: left{ 2 right} `]↔[eqn: left{2,``5 right}]

[eqn: left{ 3 right} `]↔[eqn: left{3,``5 right}]

[eqn: vdots]

[eqn: left{ 1,``2,``3 , `` 4`right} `]↔[eqn: left{1,``2,``3,``4, `` 5 ` right}]

두 집합 [eqn: A`], [eqn: B`]가 위와 같이 대응될 때 [eqn: m (emptyset ) = 0`]으로 정하고 [eqn: m(A) + m(B) `]의 값을 구하여 보자.

[eqn: emptyset `]↔ [eqn: left{ 5 right }]의 경우 : [eqn: 0+5=5``]

[eqn: left{ 1 right} `]↔[eqn: left{1,``5 right}]의 경우 : [eqn: 1+(5-1)=5``]

[eqn: left{ 2 right} `]↔[eqn: left{2,``5 right}]의 경우 : [eqn: 2+(5-2)=5``]

[eqn: left{ 3 right} `]↔[eqn: left{3,``5 right}]의 경우 : [eqn: 3+(5-3)=5``]

[eqn: vdots]

[eqn: left{ 1,``2,``3 , `` 4`right} `]↔[eqn: left{1,``2,``3,``4, `` 5 ` right}]의 경우 :

[eqn: (4-3+2-1)+(5-4+3-2+1)=5`]

이와 같은 경우가 부분집합의 개수의 절반인

[eqn: {2 ^{5}} over {2} =16`](가지)

만큼 존재하므로 구하는 값은

[eqn: m(X_1 )+ m(X_2 ) + cdots + m(X_31 ) = 5 times 16 = 80`]

18. [출제의도] 직선의 기울기를 이용하여 조건을 만족하는 영역의 넓이를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: {b} over {a} `]는 직선 [eqn: rmOP`]의 기울기이고, [eqn: {d} over {c}`]는 직선 [eqn: rmOQ`]의 기울기이다.

[eqn: {b} over {a} cdot {d} over {c} =-1 `]이므로 직선 [eqn: rmOP`]와 직선 [eqn: rmOQ`]는 서로 수직으로 만난다.

선분 [eqn: rmAB `]를 따라 점 [eqn: rmP`]를 움직이면서 선분 [eqn: rmOQ`]를 선분 [eqn: rm OP`]에 수직이 되게 그려 보면 점 [eqn: rm Q`]가 존재하는 영역은 그림의 어두운 부분과 같다.

따라서 구하는 넓이는

[eqn: {pi } over {2} - {1} over {2} TIMES 2 TIMES 1= {pi -2} over {2}`]

이다.

19. [출제의도] 사인법칙을 이용하여 선분의 길이를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: bar{rm AQ it} BOT bar{rm PQ it} `], [eqn: bar{rm AR it} BOT bar{rm PR it} `]이므로 네 점 [eqn: rmA`], [eqn: rm Q`], [eqn: rmP`], [eqn: rm R`]는 한 원 위의 점이다. 즉, 선분 [eqn: rm AP`]는 삼각형 [eqn: rm AQR`]의 외접원의 지름이다.

[eqn: rm △AQR`]에서 사인법칙을 이용하면

[eqn: {rm bar {QR }} over { sinA }= rm bar AP =6`]

[eqn: rm △ABC`]는 직각삼각형이므로

[eqn: sin A = 6 over 10 = 3 over 5 `]

따라서 구하는 길이는

[eqn: bar {rmQR } = bar{rmAP} `sin A `]

[eqn: =6 TIMES {3} over {5} `]

[eqn: = {18} over {5}`]

20. [출제의도] 합집합의 원소의 개수를 이용하여 실생활 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

유전자 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`], [eqn: rm O`]를 가진 학생의 집합을 각각 [eqn: A`], [eqn: B`], [eqn: C`]라 하고, 학생 전체의 집합을 [eqn: U`]라고 하면

[eqn: n(A)=18`], [eqn: n(B)=16`], [eqn: n(C)=27`], [eqn: n(U)=40`]

이다.

합집합의 원소의 개수에서

[eqn: n(A∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(C) `]

[eqn: -n(A SMALLINTER B)-n(B SMALLINTER C)-n(C SMALLINTER A)`]

[eqn: +n(A SMALLINTER B SMALLINTER C)`]

[eqn: A∪B∪C`=U`]이고, [eqn: A∩B∩C= ∅`]이므로

[eqn: 40=18+16+27-n(A SMALLINTER B)-n(B SMALLINTER C)-n(C SMALLINTER A)+0`]

∴ [eqn: n(A∩B)+n(B∩C)+n(C∩A)=21 `]

그런데 [eqn: A SMALLINTER B`], [eqn: B∩C``], [eqn: C∩A``]는 대립유전자형이 각각 [eqn: rm AB`], [eqn: rm BO`], [eqn: rm AO`]인 학생의 집합이므로 잡종인 대립유전자형을 가진 학생 수는 [eqn: 21`]명이다.

따라서 순종인 대립유전자형을 가진 학생 수는

[eqn: 40-21=19`](명)이다.

[다른 풀이]

유전자 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`], [eqn: rm O`]를 가진 학생의 집합을 각각 [eqn: A`], [eqn: B`], [eqn: C`]라 하고, 학생 전체의 집합을 [eqn: U`]라고 하면

[eqn: A∪B∪C`=U`]이고, [eqn: A∩B∩C= ∅`]이다.

위의 벤다이어그램에서 [eqn: c=0`]

[eqn: a+b+d=18`]	…… ㉠

[eqn: b+e+f=16`]	…… ㉡

[eqn: d+f+g=27`]	…… ㉢

㉠+㉡+㉢을 하면

[eqn: a+2b+2d +e+2f+g=61`]  …… ㉣

전체 학생 수가 [eqn: 40`](명)이므로

[eqn: a+b+d +e+f+g=40`]     …… ㉤

㉣-㉤을 하면

[eqn: b+d+f=61-40=21`]

∴ [eqn: a+e+g=40-21=19`]

따라서 순종인 대립유전자형을 가진 학생 수는 [eqn: 19`](명)이다.

21. [출제의도] 삼각함수의 그래프의 성질을 이용하여 실생활의 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: f(x)=a`cosb pi (x-c)+4.5`]라고 하자.

만조 때의 해수면의 높이는 함수 [eqn: f(x)`]의 최댓값 [eqn: a+4.5`]이고, 간조 때의 해수면의 높이는 함수 [eqn: f(x)`]의 최솟값 [eqn: -a+4.5`]이다.

조차는 만조 때와 간조 때의 해수면의 높이의 차이므로

[eqn: (a+4.5)-(-a+4.5)=8`]

∴ [eqn: a= 4`]

만조와 만조, 또는 간조와 간조 사이의 시간이 함수 [eqn: f(x)`]의 주기이다.

만조시각인 [eqn: 4`]시 [eqn: 30`]분은 [eqn: 4.5`]시이고, [eqn: 17`]시[eqn: 00`]분은 [eqn: 17`]시이므로 만조와 만조 사이의 시간은

[eqn: 17-4.5= 12.5`]

[eqn: f(x)=a`cosb pi (x-c)+4.5`]에서

주기는 [eqn: {2 pi } over {b pi }`]이므로

[eqn: 12.5 = 2pi over {b pi} `]에서 [eqn: b = 4 over 25 `]

함수 [eqn: f(x)=4`cos left(4 over25 pi (x-c)right) +4.5`]는

[eqn: x=4.5`]일 때 최댓값 [eqn: a+4.5=8.5`]를 가지므로

[eqn: 4`cos LEFT ( {4} over {25} pi (4.5-c) RIGHT ) +4.5 = 8.5`]

방정식을 풀면

[eqn: c = 4.5`](∵[eqn: 0<c<6`])

따라서 [eqn: a + 100 b + 10 c = 65`]

22. [출제의도] 합성함수의 함숫값을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: f(2) = 11 `]이므로

[eqn: (f circ f) (2) = f(f(2) ) = f(11) = 155`]

23. [출제의도] 삼각함수의 성질을 이용하여 삼각함수의 값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: sin theta +cos theta= { 4} over {3 }`]의 양변을 제곱하면

[eqn: sin^2 theta + cos^2 theta +2``sin theta `cos theta= LEFT ( 4 over 3 RIGHT )^2`]

[eqn: 1+2``sin theta `cos theta= { 16} over {9 }`]

∴ [eqn: sin theta `cos theta= {7} over {18 }`]

따라서 구하는 식의 값은

[eqn: 36` { sin theta }` { cos theta } = 36 times 7 over 18 = 14 `]

24. [출제의도] 나머지 정리를 이용하여 나머지를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

다항식 [eqn: f(x)`]를 [eqn: (x-2)(x-3)`]으로 나눌 때

몫을 [eqn: Q(x)`], 나머지를 [eqn: ax +b`]라 하면

[eqn: f(x) = (x-2)(x-3) Q(x) + ax +b`]

이 식은 [eqn: x``]에 대한 항등식이므로

[eqn: f(2) = 2a + b `], [eqn: f(3) = 3a + b`]

나머지정리에 의하여

[eqn: f(2)=1`]이므로 [eqn: 2a+b=1`]   …… ㉠

[eqn: f(3)=3`]이므로 [eqn: 3a + b = 3 `]   …… ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

[eqn: a = 2 `], [eqn: b=-3`]

따라서 [eqn: R(x) = 2x -3 `]이므로

[eqn: R(20) = 37 `]

25. [출제의도] 유리함수의 그래프에서 산술평균과 기하평균의 관계를 이용하여 거리의 최솟값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: {rmQ}`` left (a, 8 over a + 3 right) `]라 하면

[eqn: bar{rm PQ} = root{ a^2 + left( 8 over a right)^2 } >= root {2 root{a^2 cdot left( 8 over a right)^2 }} = root16 = 4 `]

(단, 등호는 [eqn: a=±2 root2`]일 때 성립)

[eqn: m = 4`]이므로 [eqn: m^2 = 16 `]

26. [출제의도] 이차함수의 최댓값을 이용하여 무리식의 최댓값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

주어진 식은

[eqn: left (`` sqrt {17-2x} + sqrt {11-4y} `` right)^2 `]

[eqn: =`17-2x + 11-4y + 2sqrt {17-2x} sqrt{11-4y} `]

이 식을 정리하면

[eqn: 28-2(x +2y) + 2sqrt {(17-2x)(11-4y)} `]   …… ㉠

[eqn: x+2y=5`]에서 [eqn: 2y=5 - x `]이므로 ㉠은

[eqn: 18 + 2 sqrt {(17-2x)(1+2x)} `]

[eqn: = 18 + 2 sqrt {-4x^2 + 32 x + 17 } `]

[eqn: = 18 + 2 sqrt {-4(x-4)^2 +81 } `]	…… ㉡

[eqn: {-4(x-4)^2 +81 } `]은 [eqn: x=4`]일 때, 최댓값 [eqn: 81`]을 갖는다.

따라서 ㉡의 최댓값은 [eqn: 18+2root81 =36`]이다.

[참고]

[eqn: x+2y=5`]에서 [eqn: 2y=5 - x `]이므로

[eqn: sqrt {17-2x} + sqrt {11-4y} = sqrt {17-2x} + sqrt {1+2x}`]

[eqn: f(x)= sqrt {17-2x} `], [eqn: g(x)= sqrt {1+2x}]라 하자.

[eqn: - {1} over {2} <= x <= {17} over {2}]에서 [eqn: y = f(x)`], [eqn: y = g(x)`]의 그래프는

다음과 같다.

[eqn: y=f(x) + g(x)`]의 그래프는 직선 [eqn: x=4]에 대하여 대칭이고 위로 볼록이므로 [eqn: y=f(x) + g(x)`]는 [eqn: x=4]일 때 최댓값 [eqn: f(4) +g(4)= 6`]을 갖는다.

따라서 구하는 값은 [eqn: 6 ^{2} =36`]이다.

27. [출제의도] 직선의 방정식을 구하여 항등식에서 미정계수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

직선 [eqn: l`]의 [eqn: x`]절편, [eqn: y`]절편이 각각 [eqn: 4`], [eqn: 2`]이므로

직선 [eqn: l`]의 방정식은

[eqn: { x} over {4 }+ { y} over {2 }=1`]

∴ [eqn: y=-{ 1} over {2 }x+2`]

이것을 주어진 등식에 대입하면

[eqn: x^2 +a LEFT ( -{ 1} over {2 }x+2 RIGHT ) ^2 +bx+c=0`]

[eqn: LEFT ( 1+ { a} over { 4} RIGHT ) x^2 -(2a-b)x +(4a+c)=0`]

이 식이 [eqn: x`]에 대한 항등식이므로

[eqn: 1+ { a} over { 4}=0`], [eqn: 2a-b=0`], [eqn: 4a+c=0`]

∴ [eqn: a=-4`], [eqn: b=-8`], [eqn: c=16`]

따라서 구하는 값은

[eqn: |``a``|`` +``|``b``|`` +``|``c``|``=28`]

[다른 풀이]

직선 위의 어떤 점을 대입하여도 등식이 성립한다.

직선 위의 점 [eqn: (0,``2)`], [eqn: (2,``1)`], [eqn: (4,``0)`]를 대입하여 정리하면

[eqn: 4a+c=0`]	…… ㉠

[eqn: a+2b+c=-4`]	…… ㉡

[eqn: 4b+c=-16`]	…… ㉢

㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면

[eqn: a=-4`], [eqn: b=-8`], [eqn: c=16`]

따라서 구하는 값은

[eqn: |``a``|`` +``|``b``|`` +``|``c``|``=28`]

28.  [출제의도] 원주각의 성질을 이용하여 직선의 기울기를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: rm ANGLE OAP =90 DEG `]이므로 현 [eqn: rm OP`]는 [eqn: rm △OAP`]의 외접원의 지름이다.

따라서 직선 [eqn: rm OP`]는 원의 중심을 지난다.

[eqn: x ^{2} +y ^{2} -x-12y=0`]을 변형하면

[eqn: left(x- 1over2 right) ^{2} +(y-6) ^{2} = 145 over 4 `]

이 원의 중심의 좌표는 [eqn: left( 1over2 , ``6 right) `]이므로

구하는 직선 [eqn: rm OP`]의 기울기는 [eqn: 12`]이다.

29. [출제의도] 무리함수의 그래프와 대칭이동, 평행이동의 성질을 이용하여 넓이를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: y= root {x+4} -3`]의 그래프는 [eqn: y= rootx `]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: -4`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: -3`]만큼 평행이동한 것이다.

또, [eqn: y= root {-x+4} +3`]의 그래프는 [eqn: y= rootx `]의 그래프를 [eqn: y`]축에 대하여 대칭이동한 다음 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 4`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: 3`]만큼 평행이동한 것이다.

그림에서 두 어두운 부분의 넓이가 같으므로 구하는 도형(빗금친 부분)의 넓이는 굵은 선으로 표시된 직사각형의 넓이와 같다.

따라서 구하는 넓이는 [eqn: 6×8=48`]

30. [출제의도] 속력과 거리의 관계로부터 이차방정식을 구하여 트랙의 길이를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

갑의 속력을 [eqn: v_1 `], 을의 속력을 [eqn: v_2 `]라 하자.

출발 후 두 사람이 첫 번째 만날 때까지 걸린 시간이 같으므로

[eqn: 160 over v_1 = a-160 over v_2 `]

[eqn: {v _{1}}: {v _{2}} = {160} : {(a-160)}`]     …… ㉠

두 사람이 두 번째 다시 만날 때까지 걸린 시간이 같으므로

[eqn: a+50 over v_1 = a-50 over v_2 `]

[eqn: {v _{1}}: {v _{2}} = {(a+50)} : {(a-50)}`]  …… ㉡

㉠, ㉡에서

[eqn: 160 : (a-160) = (a+50) : (a-50) `]

[eqn: (a-160) ( a+50) = 160(a-50) `]

[eqn: a^2 -270a=0`]

[eqn: a>0`]이므로 [eqn: a=270`]