(홀수형)

2009학년도 대학수학능력시험 (수리영역-나형)  정답 및 해설

1.

[eqn: 9^{3over2} × 27^{- 2over3} = (3^2 )^{ 3over2} × (3^3 )^{ - 2over3}`]

[eqn: = 3^3 ×3^-2`]

[eqn: = 3^3-2`]

[eqn: = 3`]

ꂼ ④

2.

[eqn: A+B = pmatrix{2&1#1&1}`+ pmatrix{-1&-2#1&0}` = pmatrix{1&-1#2&1}`]이므로

[eqn: (A+B)A` = pmatrix{1&-1#2&1}`pmatrix{2&1#1&1}`]

[eqn: = pmatrix{1&0#5&3}`]

따라서, 행렬[eqn: (A+B)A`]의 모든 성분의 합은

[eqn: 1+0+5+3 = 9`]

ꂼ ①

3.

[eqn: lim_n->inf`2over{ root{n^2 + 2n} - root{ n^2 +1}}`]

[eqn: = lim_n->inf`{2( root{ n^2 + 2n } + root{ n^2 +1 })} over{ (n^2 +2n) - (n^2 +1)}`]

[eqn: = lim_n->inf`{2( root{ n^2 + 2n } + root{ n^2 +1 })} over{ 2n-1}`]

[eqn: = lim_n->inf`{2 left( root{ 1 + 2 over n } + root{ 1 + 1over n^2 }right)} over{ 2- 1over n}`]

[eqn: = 2(1+1) over2]

[eqn: = 2`]

ꂼ ②

4.

[eqn: f(x) = x^2 -4x+31`]로 놓으면

[eqn: f(x) = (x-2)^2 + 27`]에서

[eqn: f(x)`]의 최솟값이 [eqn: 27`]이므로

[eqn: y= 3+ log_3 (x^2 -4x+3)`]의 최솟값은

[eqn: 3+ log_3`27` = 3+ 3 = 6`]

ꂼ ③

5.

[eqn: a = r`], [eqn: b = r^2`], [eqn: c = r^3`]이므로

[eqn: log_8` c = log_{2^3 }``r^3` = log_2`r`]

[eqn: log_a``b = log_r``r^2 = 2`]

따라서, [eqn: log_8 `c = log_a``b`]에서

[eqn: log_2``r = 2`]

∴ [eqn: r = 2^2 = 4`]

ꂼ ⑤

6.

[eqn: b^a = (2root2 )^{ log_2`10}` = 10^{ log_2 ``2root2}`]

[eqn: = 10^{ 3over2}`]

∴ [eqn: a` log b = log b^a `]

[eqn: = log 10^{3over2}`]

[eqn: = 3over2`]

ꂼ ②

7.

[eqn: f(x)= a^{bx-1}`]의 그래프와 [eqn: g(x) = a^{1-bx}`]의 그래프는 직선[eqn: x=2`]에 대하여 대칭이므로

[eqn: f(2) = g(2)`]

가 성립한다.

따라서, [eqn: a^2b-1 = a^1-2b`]에서

[eqn: 2b- 1 = 1-2b`], [eqn: 4b = 2`]

∴ [eqn: b = 1over2`]

[eqn: f(4) = g(0)`], [eqn: g(4)= f(0)`]이므로

[eqn: f(4) + g(4) = g(0) + f(0) = 5over2`]

[eqn: a + a^-1 = 5over2`]

[eqn: 2a^2 -5a+2 =0`]

[eqn: (a-2)(2a-1) =0`]

[eqn: 0<a<1`]이므로 [eqn: a = 1over2`]

∴ [eqn: a+b = 1over2 + 1over2 = 1`]

ꂼ ①

8.

회사에서 생산된 핸드볼 공의 무게를 확률변수[eqn: X`]라 하면 [eqn: X`]는 정규분포 [eqn: rmN(350, ``16^2 )`]을 따른다.

크기 [eqn: 64`]인 표본의 표본평균을 [eqn: bar X`]라 하면

[eqn: E( bar X ) = 350`]

[eqn: V( bar X ) = 16^2 over 64 = 2^2`]이므로

[eqn: bar X`]는 정규분포 [eqn: rmN(350 , ``2^2 )`]을 따른다.

∴ [eqn: {rmP}( bar X <= 346 ``또는``bar X >= 355 )`]

[eqn: = {rmP}(bar X <= 346 ) + { rmP} ( bar X >= 355 )`]

[eqn: = {rmP} left( Z <= 346-350 over 2 right) + {rmP} left( Z>= 355-350 over 2 right)`]

[eqn: = {rmP} (Z<= -2 ) + {rmP} (Z>= 2.5 )`]

[eqn: = {rmP}(Z>= 2 ) + {rmP} ( Z>= 2.5 )`]

[eqn: = (0.5 - 0.4772) + (0.5 - 0.4938)`]

[eqn: = 0.0228 + 0.0062`]

[eqn: = 0.0290`]

ꂼ ①

9.

[eqn: left( x + 1over x^3 right)^4`]의 전개식에서 일반항은

[eqn: `_4 {rmC}_r cdot x^4-r cdot left( 1over x^3 right)^r` = `_4 {rmC}_r cdot x^4-4r`]

[eqn: 1over x^4`]의 항은 [eqn: 4-4r = -4`]에서

[eqn: r = 2`]일 때이므로

[eqn: 1over x^4`]의 계수는

[eqn: `_4 {rmC}_2 = 6`]

ꂼ ②

10.

(1) [eqn: n=1`]일 때,

(좌변)[eqn: = 1over2`], (우변)[eqn: = 1- 1over2 = 1over2`]이므로

(*)이 성립한다.

(2) [eqn: n=m`]일 때, (*)이 성립한다고 가정하면

[eqn: sum_k=1^m a_k = sum_k=1^m 1over k^2 - m over m+1`]

이다. [eqn: n=m+1`]일 때, (*)이 성립함을 보이자.

수열 [eqn: left{ a_n right}`]의 정의에 의해

[eqn: a_m+1 = m^2 over{ (m+1)(m+2)} a_m`]이므로

[eqn: sum_k=1^m+1 a_k = sum_k=1^m 1over k^2 - m over m+1 + a_m+1`]

[eqn: = sum_k=1^m 1over k^2 - m over m+1 +`]

[eqn: m^2 over{(m+1)(m+2)}`]

[eqn: a_m`]

[eqn: = sum_k=1^m 1over k^2 - m over m+1`]

[eqn: + m^2 over{ (m+1)(m+2)} cdot {(m-1)^2} over{m(m+1)} cdot cdots cdot 1^2 over{ 2 cdot 3} a_1`]

[eqn: = sum_k=1^m 1over k^2 - m over m+1`]

[eqn: + m^2 over{ (m+1)(m+2)} cdot {(m-1)^2} over{m(m+1)} cdot cdots cdot 1^2 over{ 2 cdot 3}cdot 1over2]

[eqn: = sum_k=1^m 1over k^2 - m over m+1`+`]

[eqn: 1over{ (m+1)^2 (m+2)}`]

[eqn: = sum_k=1^m 1over k^2 - m over m+1 + 1over{ (m+1)^2 }`]

[eqn: -]

[eqn: 1over{ (m+1) (m+2)}`]

[eqn: = sum_k=1^m+1 1over k^2 - left{ m over m+1 + 1over{ (m+1)(m+2)}`right}`]

[eqn: = sum_k=1^m+1 1over k^2 - {(m+1)^2 }over{ (m+1)(m+2)}`]

[eqn: = sum_k=1^m+1 1over k^2 - m+1 over m+2`]

그러므로 [eqn: n=m+1`]일 때에도 (*)이 성립한다.

따라서 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 (*)이 성립한다.

ꂼ ④

11.

[eqn: 0<a< 1over2`]에서 [eqn: 0<a<2a< 1`]이므로

두 함수[eqn: y= log_a``x`], [eqn: y= log_2a ``x ~]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: x`]

[eqn: y`]

[eqn: O`]

[eqn: p]

[eqn: q]

[eqn: y= log_a``x]

[eqn: y= log_2a``x`]

[eqn: y=x`]

ㄱ. [eqn: p = 1over2`]이면 [eqn: p = log_a``p`]에서

[eqn: a^{ 1over2} = 1over2`~]

양변을 제곱하면 [eqn: a = 1over4`] (참)

ㄴ. 위의 그림에서

[eqn: p<q`] (참)

ㄷ. [eqn: p = log_a``p`], [eqn: q= log_2a ``q`]이므로

[eqn: a^p = p`], [eqn: (2a)^q = q`]

즉, [eqn: a^p = p`], [eqn: a^q = q over 2^q`]

∴ [eqn: a^p+q = a^p cdot a^q = p cdot q over 2^q = pq over 2^q`] (참)

따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

ꂼ ⑤

12.

ㄱ. [eqn: A = pmatrix{4&```9#3&```2}`]이면

[eqn: log_4``2 = log_9``3 = 1over2`]이므로

[eqn: A in S`~] (참)

ㄴ. (반례) [eqn: A = pmatrix{2&``~3#4&~``5}`]이면 [eqn: A in U`]이고,

[eqn: 2 cdot 5 - 3 cdot 4 = -2 `ne 0`]이므로

행렬[eqn: A]의 역행렬이 존재한다. 그러나

[eqn: log_2``5 >2`], [eqn: log_3``4 `<2`~]에서

[eqn: log_2``5 `` ne log_3``4`]이므로 [eqn: A not in S`] (거짓)

ㄷ. [eqn: A = pmatrix{a``&b#c``&d`}`in S`]이면

[eqn: log_a``d `` = log_b``c`]이므로 [eqn: d = a^{ log_b``c}`]

[eqn: ad-bc = a cdot a^{log_b``c}` - bc`]

[eqn: = a^{ 1+ log_b``c } - bc`]

[eqn: = a^{ log_b``bc } - bc`]

[eqn: = (bc)^{ log_b``a } - bc`]

[eqn: ne 0`]  (∵ [eqn: log_b``a ` ne 1`])

이므로 행렬[eqn: A]는 역행렬을 갖는다. (참)

따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

ꂼ ③

13.

직선[eqn: rm P_0 P_1`]의 기울기가 1이므로

직선[eqn: rm P_1 P_2`]의 기울기는 -1이다.

점[eqn: rmP_1 (1,1)`]을 지나고 기울기가 -1인 직선의 방정식은 [eqn: y-1 = -(x-1)`] 즉, [eqn: y= -x+2`]이므로

점[eqn: rm P_2`]의 좌표를 구하면

[eqn: x^2 = -x+2`]에서 [eqn: x^2 +x-2=0`]

[eqn: (x+2)(x-1)=0`~]

[eqn: x<0`~]이므로 [eqn: x=-2`]

∴ [eqn: rm P_2 (-2,`4)`]

점[eqn: rm P_2 (-2,`4)`]를 지나고 기울기가 1인 직선의 방정식은 [eqn: y-4 = x+2`] 즉, [eqn: y= x+6`]이므로

점[eqn: rm P_3`]의 좌표를 구하면

[eqn: x^2 = x+6`]에서 [eqn: x^2 -x-6=0`]

[eqn: (x+2)(x-3)=0`]

[eqn: x>0`]이므로 [eqn: x=3`]

∴ [eqn: rmP_3 (3,9)`]

점[eqn: rmP_3 (3,9)`]를 지나고 기울기가 -1인 직선의 방정식은 [eqn: y-9 = -(x-3)`] 즉, [eqn: y= -x+12`]이므로

점[eqn: rmP_4`]의 좌표를 구하면

[eqn: x^2 = -x+12`]에서 [eqn: x^2 + x-12=0`]

[eqn: (x+4)(x-3)=0`]

[eqn: x<0`]이므로 [eqn: x=-4`]

∴ [eqn: rmP_4 (-4 , 16 )`]

이와 같은 방법으로 [eqn: rmP_n`]의 좌표를 구하면

[eqn: rm P_2m-1 left( 2m-1 , `4m^2 -4m+1 )`]

[eqn: rm P_2m ``( -2m ,``4m^2 `)`]

[eqn: n= 2m`]일 때,

[eqn: l_n = l_2m = bar { rm P_2m-1 P_2m } `]

[eqn: = bar {rm P_2m-1 P_2m }]

[eqn: = root{ (4m-1)^2 + (4m-1)^2 }`]

[eqn: = root2 (4m-1)`]

[eqn: = root2 (2n-1 )`]

[eqn: n= 2m+1`]일 때,

[eqn: l_n = l_2m+1 = bar{ rm P_2m P_2m+1}`]

[eqn: = root{ (4m+1)^2 + (4m+1)^2 }`]

[eqn: = root2 (4m+1)`]

[eqn: = root2 (2n-1 )`]

∴ [eqn: lim_n->inf``l_n over n = lim_n->inf``{root2 (2n-1)} over n``]

[eqn: = 2root2`]

ꂼ ②

14.

[eqn: x`]

[eqn: y`]

[eqn: O`]

[eqn: 3]

[eqn: 4]

[eqn: rmQ_2`]

[eqn: rmQ_1]

[eqn: rmP_2]

[eqn: rmP_1]

[eqn: C_2]

[eqn: C_1]

[eqn: l`]

원[eqn: C_1`],[eqn: C_2`]의 중심을 각각 [eqn: Q_1 , ``Q_2`]라 하자.

[eqn: △OP_1 Q_1`]에서 [eqn: bar OP_1 = root{ 4^2 -1^2} = root15`]

이고, [eqn: △OP_1 Q_1 `□`△OP_2 Q_2`]이므로

[eqn: bar OP_1 ` : ``bar {P_1 Q_1 }` = bar OP_2``:`` bar{ P_2 `Q_2 }`]

[eqn: root15 ``:``1` = 3``:`` bar {P_2 Q_2}`]

∴ [eqn: bar {P_2 Q_2} = 3over root15`]

따라서, [eqn: △OP_1 Q_1`]과 [eqn: △OP_2 Q_2`]의 닮음비는

[eqn: bar {P_1 Q_1 }``:`` bar{ P_2 Q_2 }` = 1``:`` 3 over root15`]

이므로 넓이의 비는 [eqn: 1``:`` 9 over 15 = 1``:``3over5`]이다.

원[eqn: C_1`]의 넓이는 [eqn: S_1 = pi`]이므로

[eqn: sum_n=1^inf``S_n = S_1 + S_2 + S_3 + cdots`]

[eqn: = S_1 + 3over5 S_1 + left( 3over5 right)^2 S_1 + cdots`]

[eqn: = S_1 over{ 1- 3over5`}]

[eqn: = 5over2 S_1`]

[eqn: = 5over2 pi`]

ꂼ ③

15.

다섯 번의 프로그램에 참여하여 시간 합계가 8시간이 되도록 하는 방법은 다음과 같다.

[eqn: 8 = 1+1+1+1+4`]

[eqn: = 1+1+1+2+3`]

[eqn: = 1+1+2+2+2`]

(1) [eqn: 8 = 1+1+1+1+4`]의 경우

작성할 수 있는 봉사활동 계획서의 가짓수는

A, A, A, A, D

를 나열하는 방법의 수와 같으므로

[eqn: 5! over 4! = 5`](가지)

(2) [eqn: 8= 1+1+1+2+3`]의 경우

작성할 수 있는 봉사활동 계획서의 가짓수는

A, A, A, B, C

를 나열하는 방법의 수와 같으므로

[eqn: 5! over 3! = 20`](가지)

(3) [eqn: 8 = 1+1+2+2+2`]의 경우

작성할 수 있는 봉사활동 계획서의 가짓수는

A, A, B, B, B

를 나열하는 방법의 수와 같으므로

[eqn: 5! over{ 2!``3!} = 10`](가지)

따라서 구하는 가짓수는

[eqn: 5+20+10= 35`](가지)

ꂼ ⑤

16.

철수가 주머니 A에서 어느 한 숫자를 선택하고 영희가 주머니 B에서 그와 다른 숫자를 선택할 확률은

[eqn: `_5 rmC_1 × `1over5 × 4over5`= 4over5`]

철수는 두 사람이 꺼낸 첫 번째 숫자 2개를 제외한 나머지 3개의 숫자 중에서 한 개를 선택하고, 영희는 그와 같은 숫자를 선택해야 하므로 그 확률은

[eqn: 3over4 × 1over4 = 3over16`]

따라서 구하는 확률은

[eqn: 4over5 × 3over16 = 3over20`]

ꂼ ①

17.

ㄱ. [eqn: {rmP}(E) = 1over2`]이므로

[eqn: I(E) = - log_2`{rmP}(E)`]

[eqn: = - log_2 ``1over2`]

[eqn: = 1`] (참)

ㄴ. 두 사건[eqn: A,B`]가 서로 독립이므로

[eqn: rmP(A∩B) = P(A) `P(B)`]

∴ [eqn: I(A∩B) = - log_2``{rmP}(A∩ B)`]

[eqn: = - log_2``{rmP}(A) {rmP}(B)`]

[eqn: = - left{ log_2 {rmP}(A) + log_2 {rmP}(B) right}`]

[eqn: = - log_2`{rmP}(A) - log_2 {rmP}(B)`]

[eqn: = I(A) + I(B)`]  (참)

ㄷ. [eqn: 2 I(A∪B) = -2log_2`{rmP}(A∪B)`]

[eqn: = - log_2 `left{ {rmP}(A∪B) right}^2`]

[eqn: I(A) + I(B) = - log_2`{rmP}(A) - log_2`{rmP}(B)`]

[eqn: = - log_2``{rmP}(A) {rmP}(B)`]

[eqn: {rmP}(A∪B) >= {rmP}(A)`>0`], [eqn: {rmP}(A∪B) >= {rmP}(B)`>0`]

이므로

[eqn: left{ {rmP}(A∪B) right}^2 >= {rmP}(A) {rmP}(B)`]

∴ [eqn: log_2 left{ {rmP}(A∪B) right}^2 >= log_2 {rmP}(A) {rmP}(B)`]

[eqn: - log_2 left{ {rmP}(A∪B) right}^2 <= - log_2 {rmP}(A) {rmP}(B)`]

∴ [eqn: 2I(A∪B) <= I(A)+I(B)`]  (참)

따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

ꂼ ⑤

18.

[eqn: y= 5^x-1`]의 그래프가 점[eqn: (a,``5)`]를 지나므로

[eqn: 5 = 5^a-1`]에서 [eqn: a-1 = 1`]

∴ [eqn: a=2`]

[eqn: y= 5^x-1`]의 그래프가 점[eqn: (3,``b)`]를 지나므로

[eqn: b= 5^3-1 `]에서 [eqn: b= 25`]

∴ [eqn: a+b = 2+25 = 27`]

ꂼ [eqn: 27`]

19.

등차수열 [eqn: left{ a_ n ``right}`]의 공차가 2이므로

[eqn: a_1 + a_5 + a_9`]

[eqn: = a_1 + (a_1 + 4 cdot 2 ) + (a_1 + 8 cdot 2 )`]

[eqn: = 3a_1 + 24`]

[eqn: = 45`]

따라서 [eqn: 3a_1 = 21`]에서 [eqn: a_1 = 7`]이므로

[eqn: a_1 + a_10 = a_1 + (a_1 + 9 cdot 2 )`]

[eqn: = 2a_1 + 18`]

[eqn: = 2 cdot 7 + 18`]

[eqn: = 32`]

ꂼ [eqn: 32`]

다른 풀이

{[eqn: a_n]}이 등차수열이므로

[eqn: a_1 +a_9 = 2a_5]

∴ [eqn: a_1 +a_9 = 2over 3 times 45 = 30]

∴ [eqn: a_1 +a_10 = a_1 +(a_9 +2)]

[eqn: = (a_1 +a_9 )+2 = 32]

20.

두 무한등비수열[eqn: left{a_n `right} ,` `left{ b_n right}`]의 공비를 [eqn: r`]라 하자.

[eqn: sum_n=1^inf``a_n = a_1 over 1-r = 8`] [eqn: cdots㉠`]

[eqn: sum_n=1^inf`b_n = b_1 over 1-r = 6`] [eqn: cdots㉡``]

㉠-㉡에서

[eqn: {a_1 - b_1 } over 1-r = 2`]

[eqn: a_1 - b_1 = 1`]이므로 [eqn: 1over 1-r = 2`], [eqn: 1-r = 1over2`]

∴ [eqn: r = 1over2`]

㉠에서

[eqn: a_1 = 8 (1- r) = 8 cdot 1over2 = 4`]

㉡에서

[eqn: b_1 = 6(1-r) = 6 cdot 1over2 = 3`]

따라서 수열 [eqn: left{ a_n b_n right}`]은 첫째항이

[eqn: a_1 b_1 = 4 cdot 3 = 12`]이고, 공비가 [eqn: r^2 = 1over4`]인 등비수열이다.

∴ [eqn: sum_n=1^inf`a_n b_n = 12 over{ 1- 1over4} = 12 over {3over4} = 16`]

ꂼ [eqn: 16`]

21.

[eqn: 3a over{log_a``b} = b over{ 2 log_b ``a}` = 3a+b over 3`=k`]로 놓으면

[eqn: 3a = k``log_a``b`], [eqn: b = 2k log_b``a`], [eqn: 3a+b = 3k`]

∴ [eqn: k log_a``b + 2k `log_b``a = 3k`]

[eqn: log_a``b + 2 log_b``a = 3`]

[eqn: log_a``b = t`]로 놓으면 [eqn: log_b``a = 1over t`]이므로

[eqn: t+ 2overt = 3`], [eqn: t^2 - 3t +2=0`]

[eqn: (t-1)(t-2)=0`]

[eqn: t ne 1`]이므로 [eqn: t=2`]

∴ [eqn: 10 log_a``b = 10 cdot 2 = 20`]

ꂼ [eqn: 20`]

[다른 풀이]

[eqn: 3a over{log_a``b} = b over{ 2 log_b ``a}`]에서

[eqn: 6a log_b``a = b`log_a``b`], [eqn: 6a over {log_a ``b} = b` log_a ``b`]

[eqn: 6a over b = ( log_a``b`)^2`] [eqn: cdots㉠`]

[eqn: 3a over{log_a``b} = b over{ 2 log_b ``a}` = 3a+b over 3`]이므로

[eqn: left( 3a+b over 3 right)^2 = 3a over {log_a``b} × b over{ 2 log_b``a`}`]

[eqn: = 3ab over 2`]  (∵ [eqn: log_a``b × log_b``a = 1`])

[eqn: {9a^2 + 6ab+ b^2 } over9 = 3ab over 2`]에서

[eqn: 18a^2 + 12ab + 2b^2 = 27 ab`]

[eqn: 18a^2 -15ab + 2b^2 =0`]

[eqn: b ne 0`]이므로 양변을 [eqn: b^2`]으로 나누면

[eqn: 18 left( a over b right)^2 - 15 cdot a over b + 2 =0`]

[eqn: a over b = t`]로 놓으면

[eqn: 18t^2 - 15t +2=0`]

[eqn: (3t-2)(6t-1)=0`]

[eqn: t = 2over3`] 또는 [eqn: t= 1over6`]

[eqn: a over b = 2over3`]이면 ㉠에서 [eqn: ( log_a`b)^2 = 4`]

[eqn: log_a``b `>1`]이므로 [eqn: log_a``b = 2`]

[eqn: a over b = 1over6`]이면 ㉠에서 [eqn: (log_a``b)^2 = 1`]

[eqn: log_a``b `>1`]이므로 모순

따라서 [eqn: log_a``b = 2`]이므로

[eqn: 10 log_a`b = 20`]

22.

[eqn: i^m cdot (-i)^n = (-1)^n cdot i^m+n`]이므로

[eqn: i^m cdot (-1)^n`]의 값이 1이 되는 경우는

[eqn: n`]이 짝수이고 [eqn: m+n = 4,``8,``12`]

또는 [eqn: n`]이 홀수이고 [eqn: m+n = 2 ,``6,``10`]이다.

(1) [eqn: n`]이 짝수이고 [eqn: m+n = 4,``8,``12`]인 경우는

[eqn: (2,2),(2,6),(4,4),(6,2),(6,6)`]

의 5가지

(2) [eqn: n`]이 홀수이고 [eqn: m+n = 2 ,``6,``10`]인 경우는

[eqn: (1,1),(1,5),(3,3),(5,1),(5,5)`]

의 5가지 따라서, 구하는 확률은 [eqn: 5+5 over 36 = 5over18`]이므로 [eqn: p+q = 18+5 = 23`]

ꂼ [eqn: 23`]

23.

[eqn: n`]으로 나누었을 때 몫과 나머지가 같아지는 자연수는

[eqn: n+1,```2n+2 ,``3n+3 ,``4n+4 ,``cdots ,``(n-1)n+(n-1)`]

의 [eqn: n-1`]개다.

∴ [eqn: a_n = sum_k=1^n-1 (kn+k)`]

[eqn: = (n+1) sum_k=1^n-1 k`]

[eqn: = (n+1) cdot {(n-1)n} over 2`]

[eqn: a_n >500`]에서

[eqn: {(n-1)n(n+1)} over2 `>500`]

[eqn: (n-1)n(n+1)>1000`]

[eqn: 9 cdot 10 cdot 11 = 990 <1000`]

[eqn: 10 cdot 11 cdot 12 = 1320 >1000`]

이므로 구하는 자연수 [eqn: n`]의 최솟값은 [eqn: 11`]이다.

ꂼ [eqn: 11`]

24.

[eqn: A^2 + A^3 = -3A- 3E`]이므로

[eqn: A^4 + A^5 = A^2 (A^2 + A^3 )`]

[eqn: = A^2 (-3A-3E)`]

[eqn: = -3A^3 - 3A^2`]

[eqn: = -3(A^2 + A^3 )`]

[eqn: = -3 (-3A-3E)`]

[eqn: = 9A+9E`]

[eqn: A = pmatrix{a&``b#c&``d}`]로 놓으면 [eqn: a+b+c+d`=0`]이므로

행렬[eqn: 9A+ 9E`]의 모든 성분의 합은

[eqn: 9(a+b+c+d) + 9(1+0+0+1)`]

[eqn: = 9 cdot 0 + 9 cdot2`]

[eqn: = 18`]

ꂼ [eqn: 18`]

25.

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B 지점

A 지점

[그림 1]

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A

B

[그림 2]

P

Q

[그림 1]에서 A 지점에서 출발하여 산책로를 따라 최단 거리로 B 지점에 도착하는 경우의 수는 [그림 2]에서 A 지점에서 출발하여 실선을 따라 최단 거리로 B 지점에 도착하는 경우의 수와 같다.

(1) A → P → B의 경우

[eqn: left( 4! over {2!``2!}` - 1 right) × 4! over 3! = 5 × 4 = 20`](가지)

(2) A → Q → B의 경우

[eqn: 4! over 3! × left( 4! over {2!``2!}` - 1 right)= 4×5 = 20`](가지)

따라서 구하는 경우의 수는

[eqn: 20+20 = 40`](가지)

ꂼ [eqn: 40`]

26.

[eqn: {rmP}(B)= 1- {rmP}(B^c ) = 1- 2over3 = 1over3`]

[eqn: {rmP}(B`|`A) = { {rmP}(A∩B)} over{ {rmP}(A)} = 1over6`]에서

[eqn: {rmP}(A∩B) = 1over6 {rmP}(A) = 1over6 cdot 1over2 = 1over12`]

[eqn: {rmP}(A∩B) + {rmP}(A^c ∩B) = {rmP}(B)`]이므로

[eqn: {rmP}(A^c ∩B) = 1over3 - 1over12 = 1over4`]

∴ [eqn: {rmP}(A^c `|`B) = { {rmP}(A^c ∩ B) } over{ {rmP}(B)}`]

[eqn: = { 1over4} over{ 1over3}` = 3over4`]

ꂼ ④

27.

[eqn: 1<=n<=9`]일 때, [eqn: log n`]의 지표는 0이므로 가수[eqn: f(n)`]의 값은

[eqn: log1 ,``log2 ,``log3 ,`` cdots , `log9`]  [eqn: cdots㉠`]

의 9개이고, 이들은 서로 다른 값이다.

[eqn: 10<= n<= 99`]일 때, [eqn: log n`]의 지표는 1이므로 가수[eqn: f(n)`]의 값은

[eqn: log 10 over10 ,``log 11 over 10 ,`` log 12 over 10 , ``cdots ,``log 99 over 10`] [eqn: cdots㉡`]

의 90개이고, 이들은 서로 다른 값이며, 이들 중

[eqn: log 10 over 10 ,``log 20 over 10 ,``log 30 over 10 ,``cdots , `` log 90 over 10`]

의 9개는 ㉠의 값과 중복된다.

[eqn: 100<= n<= 150`]일 때, [eqn: log n`]의 지표는 2이므로 가수[eqn: f(n)`]의 값은

[eqn: log 100 over 100 ,``log 101 over 100 ,`` log 102 over 100 , `` cdots ,`` log 150 over 100`]

의 51개이고, 이들은 서로 다른 값이며, 이들 중 [eqn: log 100 over 100 ,`` log 110 over 100 ,`` log 120 over 100 ,`` cdots , ``log 150 over 100`]

의 6개는 ㉠,㉡의 값과 중복된다.

따라서 집합[eqn: A`]의 원소의 개수는

[eqn: 9+ (90-9) + (51-6) = 135`](개)

이다.

ꂼ ③

28.

[eqn: BAB = E`]에서

[eqn: B^-1 = AB = BA`]

[eqn: ABA = A^-1`]에서

양변에 [eqn: A ~]를 곱하면

[eqn: AABA = E`]

[eqn: AB = BA`]이므로

[eqn: AAAB = E`]

∴ [eqn: B^-1 = A^3`]

[eqn: B^-1 = AB = A^3`]이므로

[eqn: B= A^2`]

∴ [eqn: B B^-1 = A^2 cdot A^3 = E`]

∴ [eqn: A^5 = E`]

한편, [eqn: A,A^-1 , B, B^-1`]은 단위행렬이 아니고,

[eqn: A^2 = B`], [eqn: A^3 = B^-1`],

[eqn: A^4 = A^2 A^2 = A^2 B = ABA = A^-1`]

이므로 [eqn: A^n = E`]를 만족하는 자연수[eqn: n`]의 최솟값은 5이다.

ꂼ ③

29.

[eqn: E( bar X ) = E(X) = 18`]이므로

[eqn: E(X) = 10 cdot 1over2 + 20 a + 30 left( 1over2 - a right)]

[eqn: = 20 -10a`]

[eqn: = 18`]

∴ [eqn: a = 1over5`]

크기가 2인 표본을 복원추출할 때,

[eqn: bar X` = 20`]인 경우는

10과 30, 20과 20, 30과 10

을 추출하는 경우이므로

[eqn: {rmP} ( bar X = 20 )`][eqn: = {rmP} (X = 10) cdot {rmP} (X=30) `]

[eqn: + {rmP} (X=20) cdot {rmP} (X=20)`]

[eqn: + {rmP} (X=30) cdot {rmP} (X=10)`]

[eqn: = 1over2 cdot 3over10 + 1over5 cdot 1over5 + 3over10 cdot 1over2`]

[eqn: = 3over20 + 1over25 + 3over20`]

[eqn: = 17 over 50`]

ꂼ ④

30.

사건[eqn: E`]가 일어나는 경우의 수는

[eqn: m=1`]일 때, [eqn: n^2 <= 24`]에서

[eqn: n=1,2,3,4`]의 4가지

[eqn: m=2`]일 때, [eqn: n^2 <= 21`]에서

[eqn: n= 1,2,3,4`]의 4가지

[eqn: m=3`]일 때, [eqn: n^2 <= 16`]에서

[eqn: n= 1,2,3,4`]의 4가지

[eqn: m=4`]일 때, [eqn: n^2 <= 9`]에서

[eqn: n= 1,2,3`]의 3가지

∴ [eqn: {rmP} (E) = 4+4+4+3 over 36 = 5 over 12`]

따라서, 확률변수[eqn: X`]는 이항분포 [eqn: rmB left( 12 , ``5over12 right)`]를 따르므로

[eqn: {rmV} (X) = 12 cdot 5over12 cdot 7 over 12 = 35 over12`]

∴ [eqn: p+q = 12+35 = 47`]

ꂼ [eqn: 47`]