(홀수형)

2009학년도 대학수학능력시험 (수리영역-가형)  정답 및 해설

1.

[eqn: 9^{3over2} × 27^{- 2over3} = (3^2 )^{ 3over2} × (3^3 )^{ - 2over3}`]

[eqn: = 3^3 ×3^-2`]

[eqn: = 3^3-2`]

[eqn: = 3`]

ꂼ ④

2.

[eqn: A+B = pmatrix{2&1#1&1}`+ pmatrix{-1&-2#1&0}` = pmatrix{1&-1#2&1}`]이므로

[eqn: (A+B)A` = pmatrix{1&-1#2&1}`pmatrix{2&1#1&1}`]

[eqn: = pmatrix{1&0#5&3}`]

따라서, 행렬[eqn: (A+B)A`]의 모든 성분의 합은

[eqn: 1+0+5+3 = 9`]

ꂼ ①

3.

[eqn: int_0^1 f(x)d x = int_0^1 (6x^2 +2a x )dx]

[eqn: = left[ 2x^3 + ax^2 right] _0^1]

[eqn: =2+a]

이고

[eqn: f(1)=6+2a]

이므로

[eqn: 2+a = 6+2a]

∴ [eqn: a=-4]

ꂼ ①

4.

[eqn: root{ x^2 -2x}= t~(t>0)]로 놓으면

[eqn: root {x^2 -2x +1 } = root {t^2 +1}]이므로 주어진 방정식은

[eqn: root {t^2 +1} = t+ 1over 2]

양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: 4(t^2 +1) = 4t^2 + 4t+1]

∴ [eqn: t = 3over4]

이때 [eqn: root{ x^2 -2x}= 3 over 4]이므로 다시 양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: x^2 -2x - 9 over 16 =0]

위의 이차방정식은 서로 다른 두 실근을 가지므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 두 실근의 합은 2이다.

ꂼ ④

5.

[eqn: 1 over {f(x)+1} - 1over {f(x)-1} = 2over x^2]

의 좌변을 통분하여 정리하면

[eqn: -2 over{"{"f(x)"}"^2 -1} = 2over x^2]

∴ [eqn: "{"f(x)"}"^2 =1- x^2]

∴ [eqn: f(x)= +- root {1-x^2}]

따라서 구하는 방정식의 실근은

두 곡선 [eqn: y=f(x)], [eqn: y= +- root {1-x^2}]가 만나는 점의 [eqn: x]좌표 중에서 [eqn: f(x)!=+-1], [eqn: x!=0]인 [eqn: x]좌표와 같다.

그런데 [eqn: y= +- root {1-x^2}]의 그래프는 원 [eqn: x^2 +y^2 = 1]과 같으므로 주어진 그림에서 두 곡선 [eqn: y=f(x)], [eqn: y= +- root {1-x^2}]는 서로 다른 네 점에서 만난다.

그런데, [eqn: x!=0], [eqn: f(x)!=-1]이므로 점 (0, -1)은 제외해야 한다.

따라서 구하는 실근의 개수는 3이다.

ꂼ ②

6.

[eqn: f(x)= (x-2)^2 +a-4]이므로 함수 [eqn: f(x)]의 그래프는 직선 [eqn: x=2]에 대하여 대칭인 연속함수이다.

한편, [eqn: g(x)]를 간단히 하면 다음과 같다.

(i) [eqn: |x-b|>1]일 때 [eqn: g(x) =2]

(ii) [eqn: |x-b|=1]일 때 [eqn: g(x) = 3OVER 2]

(iii) [eqn: |x-b|<1]일 때 [eqn: g(x) =1]

이때

[eqn: |x-b|=1]

⇔ [eqn: x= b-1] 또는 [eqn: x=b+1]

이므로 함수 [eqn: g(x)]의 그래프는 다음과 같다.

이때, 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=b-1], [eqn: x=b+1]일 때 불연속이므로 함수 [eqn: h(x)=f(x)g(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 연속이 되려면

[eqn: f(b-1)=f(b+1)=0]

이어야 한다.

따라서 [eqn: y=f(x)]의 대칭축의 방정식은

[eqn: x=2= b] ⋯ ㉠

이고,

[eqn: f(3)= 9-12+a=0] ⋯ ㉡

이어야 한다.

㉠, ㉡에서

[eqn: a=3,~b=2]

∴ [eqn: a+b=5]

ꂼ ③

7.

[eqn: f(x)= a^{bx-1}`]의 그래프와 [eqn: g(x) = a^{1-bx}`]의 그래프는 직선[eqn: x=2`]에 대하여 대칭이므로

[eqn: f(2) = g(2)`]

가 성립한다.

따라서, [eqn: a^2b-1 = a^1-2b`]에서

[eqn: 2b- 1 = 1-2b`], [eqn: 4b = 2`]

∴ [eqn: b = 1over2`]

[eqn: f(4) = g(0)`], [eqn: g(4)= f(0)`]이므로

[eqn: f(4) + g(4) = g(0) + f(0) = 5over2`]

[eqn: a + a^-1 = 5over2`]

[eqn: 2a^2 -5a+2 =0`]

[eqn: (a-2)(2a-1) =0`]

[eqn: 0<a<1`]이므로 [eqn: a = 1over2`]

∴ [eqn: a+b = 1over2 + 1over2 = 1`]

ꂼ ①

8.

회사에서 생산된 핸드볼 공의 무게를 확률변수[eqn: X`]라 하면 [eqn: X`]는 정규분포 [eqn: rmN(350, ``16^2 )`]을 따른다.

크기 [eqn: 64`]인 표본의 표본평균을 [eqn: bar X`]라 하면

[eqn: E( bar X ) = 350`]

[eqn: V( bar X ) = 16^2 over 64 = 2^2`]이므로

[eqn: bar X`]는 정규분포 [eqn: rmN(350 , ``2^2 )`]을 따른다.

∴ [eqn: {rmP}( bar X <= 346 ``또는``bar X >= 355 )`]

[eqn: = {rmP}(bar X <= 346 ) + { rmP} ( bar X >= 355 )`]

[eqn: = {rmP} left( Z <= 346-350 over 2 right) + {rmP} left( Z>= 355-350 over 2 right)`]

[eqn: = {rmP} (Z<= -2 ) + {rmP} (Z>= 2.5 )`]

[eqn: = {rmP}(Z>= 2 ) + {rmP} ( Z>= 2.5 )`]

[eqn: = (0.5 - 0.4772) + (0.5 - 0.4938)`]

[eqn: = 0.0228 + 0.0062`]

[eqn: = 0.0290`]

ꂼ ①

9.

ㄱ. [eqn: f(x)]는 폐구간 [0, 5]에서 연속이므로 함수 [eqn: "{"f(x)"}"^2 ,~ (f circ f )(x)]는 모두 폐구간 [0,5]에서 연속이다.

따라서 함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x=3]에서 연속이면 [eqn: g(x)]는 폐구간 [0, 5]에서 연속이다.

[eqn: lim_x->3-0 g(x)][eqn: = lim_x->3-0 "{"f(x)"}"^2][eqn: =1^2 =1]

[eqn: lim_x->3+0 g(x)][eqn: = lim_x->3+0 ( f circ f)(x)]

[eqn: =lim_t->1-0 f(t)][eqn: =2]

∴ [eqn: lim_x->3-0 g(x)][eqn: !=lim_x->3+0 g(x)]

따라서 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=3]에서 불연속이므로 폐구간 [0, 5]에서 연속이 아니다.

ㄴ. [eqn: f(x)]는 폐구간 [0, 3]에서 연속이므로 함수 [eqn: "{"f(x)"}"^2]는 폐구간 [0, 3]에서 연속이다.

한편, 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x!=4]인 모든 [eqn: x]에서 연속이므로 합성함수 [eqn: (f circ f )(x)]는 [eqn: x!=4]이고 [eqn: f(x)!=4]인 [eqn: x]에서 연속이다.

따라서 함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x=3]에서 연속이고 [eqn: x=4]에서 연속이면 [eqn: g(x)]는 폐구간

[0, 5]에서 연속이다.

(i) [eqn: x=3]에서의 연속성

[eqn: lim_x->3-0 g(x)][eqn: = lim_x->3-0 "{"f(x)"}"^2][eqn: =2^2 =4]

[eqn: lim_x->3+0 g(x)][eqn: = lim_x->3+0 ( f circ f)(x)]

[eqn: =lim_t->2-0 f(t)][eqn: =4]

[eqn: g(3)="{"f(3)"}"^2 = 2^2 = 4]

∴ [eqn: lim_x->3-0 g(x)][eqn: =lim_x->3+0 g(x) = g(3)]

따라서 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=3]에서 연속이다.

(ii) [eqn: x=4]에서의 연속성

[eqn: lim_x->4-0 g(x)][eqn: = lim_x->4-0 ( f circ f)(x)]

[eqn: =lim_t->+0 f(t)=3]

[eqn: lim_x->4+0 g(x)][eqn: = lim_x->4+0 ( f circ f)(x)]

[eqn: =lim_t->1+0 f(t)=3]

[eqn: g(4)=f(f(4))=f(0)=3]

∴ [eqn: lim_x->4-0 g(x)][eqn: =lim_x->4+0 g(x) = g(4)]

따라서 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=4]에서 연속이다.

(i), (ii)에서 함수 [eqn: g(x)]는 폐구간 [0, 5]에서 연속이다.

ㄷ. [eqn: f(x)]는 폐구간 [0, 3]에서 연속이므로 함수 [eqn: "{"f(x)"}"^2]는 폐구간 [0, 3]에서 연속이다.

한편, 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x!=4]인 모든 [eqn: x]에서 연속이므로 합성함수 [eqn: (f circ f )(x)]는 [eqn: x!=4]이고 [eqn: f(x)!=4]인 [eqn: x]에서 연속이다.

따라서 함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x=3]에서 연속이고 [eqn: x=4]에서 연속이면 [eqn: g(x)]는 폐구간 [0, 5]에서 연속이다.

(i) [eqn: x=3]에서의 연속성

[eqn: lim_x->3-0 g(x)][eqn: = lim_x->3-0 "{"f(x)"}"^2][eqn: =2^2 =4]

[eqn: lim_x->3+0 g(x)][eqn: = lim_x->3+0 ( f circ f)(x)]

[eqn: =lim_t->2-0 f(t)][eqn: =4]

[eqn: g(3)="{"f(3)"}"^2 = 2^2 = 4]

∴ [eqn: lim_x->3-0 g(x)][eqn: =lim_x->3+0 g(x) = g(3)]

따라서 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=3]에서 연속이다.

(ii) [eqn: x=4]에서의 연속성

[eqn: lim_x->4-0 g(x)][eqn: = lim_x->4-0 ( f circ f)(x)]

[eqn: =lim_t->+0 f(t)=2]

[eqn: lim_x->4+0 g(x)][eqn: = lim_x->4+0 ( f circ f)(x)]

[eqn: =lim_t->1+0 f(t)=3]

∴ [eqn: lim_x->4-0 g(x)][eqn: !=lim_x->4+0 g(x)]

따라서 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=4]에서 불연속이므로 폐구간 [0, 5]에서 연속이 아니다.

이상에서 함수 [eqn: g(x)]가 폐구간 [0, 5]에서 연속이 되도록 하는 함수 [eqn: f(x)]의 그래프는 ㄴ이다.

ꂼ ②

10.

(1) [eqn: n=1`]일 때,

(좌변)[eqn: = 1over2`], (우변)[eqn: = 1- 1over2 = 1over2`]이므로

(*)이 성립한다.

(2) [eqn: n=m`]일 때, (*)이 성립한다고 가정하면

[eqn: sum_k=1^m a_k = sum_k=1^m 1over k^2 - m over m+1`]

이다. [eqn: n=m+1`]일 때, (*)이 성립함을 보이자.

수열[eqn: left[ a_n right}`]의 정의에 의해

[eqn: a_m+1 = m^2 over{ (m+1)(m+2)} a_m`]이므로

[eqn: sum_k=1^m+1 a_k = sum_k=1^m 1over k^2 - m over m+1 + a_m+1`]

[eqn: = sum_k=1^m 1over k^2 - m over m+1 +`]

[eqn: m^2 over{(m+1)(m+2)}`]

[eqn: a_m`]

[eqn: = sum_k=1^m 1over k^2 - m over m+1`]

[eqn: + m^2 over{ (m+1)(m+2)} cdot {(m-1)^2} over{m(m+1)} cdot cdots cdot 1^2 over{ 2 cdot 3} a_1`]

[eqn: = sum_k=1^m 1over k^2 - m over m+1`]

[eqn: + m^2 over{ (m+1)(m+2)} cdot {(m-1)^2} over{m(m+1)} cdot cdots cdot 1^2 over{ 2 cdot 3}cdot 1over2]

[eqn: = sum_k=1^m 1over k^2 - m over m+1`+`]

[eqn: 1over{ (m+1)^2 (m+2)}`]

[eqn: = sum_k=1^m 1over k^2 - m over m+1 + 1over{ (m+1)^2 }`]

[eqn: -]

[eqn: 1over{ (m+1) (m+2)}`]

[eqn: = sum_k=1^m+1 1over k^2 - left{ m over m+1 + 1over{ (m+1)(m+2)}`right}`]

[eqn: = sum_k=1^m+1 1over k^2 - {(m+1)^2 }over{ (m+1)(m+2)}`]

[eqn: = sum_k=1^m+1 1over k^2 - m+1 over m+2`]

그러므로 [eqn: n=m+1`]일 때에도 (*)이 성립한다.

따라서 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 (*)이 성립한다.

ꂼ ④

11.

[eqn: lim_x->inf f(x) over x^m =1]이므로 [eqn: f(x)]의 최고차항은 [eqn: x^m]이다. 이때 [eqn: lim_x->inf f'(x) over x^m-1 =a]이므로

[eqn: m=][eqn: a]

이다.

한편, [eqn: lim_x->0 f(x) over x^n =b]이므로 [eqn: f(x)]의 계수가 0이 아닌 항 중 차수가 가장 낮은 항은 [eqn: b x^n]이다. 이때 [eqn: lim_x->0 f'(x) over x^n-1 =9]이므로

[eqn: bn=9]

이다.

ㄱ.  [eqn: f(x)]의 최고차항이 [eqn: x^m]이고 차수가 가장 낮은 항이 [eqn: b x^n]이므로

[eqn: m>=n] (참)

ㄴ. [eqn: m=][eqn: a], [eqn: bn=9]이므로

[eqn: a b = m × 9 over n][eqn: >= 9] (∵ [eqn: m>=n]) (참)

ㄷ. [eqn: f(x)]가 삼차함수이면

[eqn: m=a=3], [eqn: bn=9]

이므로

[eqn: am=bn] (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

ꂼ ⑤

12.

ㄱ. [eqn: A = pmatrix{4&```9#3&```2}`]이면

[eqn: log_4``2 = log_9``3 = 1over2`]이므로

[eqn: A in S`~] (참)

ㄴ. (반례) [eqn: A = pmatrix{2&``~3#4&~``5}`]이면 [eqn: A in U`]이고,

[eqn: 2 cdot 5 - 3 cdot 4 = -2 `ne 0`]이므로

행렬[eqn: A]의 역행렬이 존재한다. 그러나

[eqn: log_2``5 >2`], [eqn: log_3``4 `<2`~]에서

[eqn: log_2``5 `` ne log_3``4`]이므로 [eqn: A not in S`] (거짓)

ㄷ. [eqn: A = pmatrix{a``&b#c``&d`}`in S`]이면

[eqn: log_a``d `` = log_b``c`]이므로 [eqn: d = a^{ log_b``c}`]

[eqn: ad-bc = a cdot a^{log_b``c}` - bc`]

[eqn: = a^{ 1+ log_b``c } - bc`]

[eqn: = a^{ log_b``bc } - bc`]

[eqn: = (bc)^{ log_b``a } - bc`]

[eqn: ne 0`]  (∵ [eqn: log_b``a ` ne 1`])

이므로 행렬[eqn: A]는 역행렬을 갖는다. (참)

따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

ꂼ ③

13.

직선[eqn: rm P_0 P_1`]의 기울기가 1이므로

직선[eqn: rm P_1 P_2`]의 기울기는 -1이다.

점[eqn: rmP_1 (1,1)`]을 지나고 기울기가 -1인 직선의 방정식은 [eqn: y-1 = -(x-1)`] 즉, [eqn: y= -x+2`]이므로

점[eqn: rm P_2`]의 좌표를 구하면

[eqn: x^2 = -x+2`]에서 [eqn: x^2 +x-2=0`]

[eqn: (x+2)(x-1)=0`~]

[eqn: x<0`~]이므로 [eqn: x=-2`]

∴ [eqn: rm P_2 (-2,`4)`]

점[eqn: rm P_2 (-2,`4)`]를 지나고 기울기가 1인 직선의 방정식은 [eqn: y-4 = x+2`] 즉, [eqn: y= x+6`]이므로

점[eqn: rm P_3`]의 좌표를 구하면

[eqn: x^2 = x+6`]에서 [eqn: x^2 -x-6=0`]

[eqn: (x+2)(x-3)=0`]

[eqn: x>0`]이므로 [eqn: x=3`]

∴ [eqn: rmP_3 (3,9)`]

점[eqn: rmP_3 (3,9)`]를 지나고 기울기가 -1인 직선의 방정식은 [eqn: y-9 = -(x-3)`] 즉, [eqn: y= -x+12`]이므로

점[eqn: rmP_4`]의 좌표를 구하면

[eqn: x^2 = -x+12`]에서 [eqn: x^2 + x-12=0`]

[eqn: (x+4)(x-3)=0`]

[eqn: x<0`]이므로 [eqn: x=-4`]

∴ [eqn: rmP_4 (-4 , 16 )`]

이와 같은 방법으로 [eqn: rmP_n`]의 좌표를

구하면

[eqn: rm P_2m-1 left( 2m-1 , `4m^2 -4m+1 )`]

[eqn: rm P_2m ``( -2m ,``4m^2 `)`]

[eqn: n= 2m`]일 때,

[eqn: l_n = l_2m = bar { rm P_2m-1 P_2m } `]

[eqn: = bar {rm P_2m-1 P_2m }]

[eqn: = root{ (4m-1)^2 + (4m-1)^2 }`]

[eqn: = root2 (4m-1)`]

[eqn: = root2 (2n-1 )`]

[eqn: n= 2m+1`]일 때,

[eqn: l_n = l_2m+1 = bar{ rm P_2m P_2m+1}`]

[eqn: = root{ (4m+1)^2 + (4m+1)^2 }`]

[eqn: = root2 (4m+1)`]

[eqn: = root2 (2n-1 )`]

∴ [eqn: lim_n->inf``l_n over n = lim_n->inf``{root2 (2n-1)} over n``]

[eqn: = 2root2`]

ꂼ ②

14.

[eqn: x`]

[eqn: y`]

[eqn: O`]

[eqn: 3]

[eqn: 4]

[eqn: rmQ_2`]

[eqn: rmQ_1]

[eqn: rmP_2]

[eqn: rmP_1]

[eqn: C_2]

[eqn: C_1]

[eqn: l`]

원[eqn: C_1`],[eqn: C_2`]의 중심을 각각 [eqn: Q_1 , ``Q_2`]라 하자.

[eqn: △OP_1 Q_1`]에서 [eqn: bar OP_1 = root{ 4^2 -1^2} = root15`]

이고, [eqn: △OP_1 Q_1 `□`△OP_2 Q_2`]이므로

[eqn: bar OP_1 ` : ``bar {P_1 Q_1 }` = bar OP_2``:`` bar{ P_2 `Q_2 }`]

[eqn: root15 ``:``1` = 3``:`` bar {P_2 Q_2}`]

∴ [eqn: bar {P_2 Q_2} = 3over root15`]

따라서, [eqn: △OP_1 Q_1`]과 [eqn: △OP_2 Q_2`]의 닮음비는

[eqn: bar {P_1 Q_1 }``:`` bar{ P_2 Q_2 }` = 1``:`` 3 over root15`]

이므로 넓이의 비는 [eqn: 1``:`` 9 over 15 = 1``:``3over5`]이다.

원[eqn: C_1`]의 넓이는 [eqn: S_1 = pi`]이므로

[eqn: sum_n=1^inf``S_n = S_1 + S_2 + S_3 + cdots`]

[eqn: = S_1 + 3over5 S_1 + left( 3over5 right)^2 S_1 + cdots`]

[eqn: = S_1 over{ 1- 3over5`}]

[eqn: = 5over2 S_1`]

[eqn: = 5over2 pi`]

ꂼ ③

15.

다섯 번의 프로그램에 참여하여 시간 합계가 8시간이 되도록 하는 방법은 다음과 같다.

[eqn: 8 = 1+1+1+1+4`]

[eqn: = 1+1+1+2+3`]

[eqn: = 1+1+2+2+2`]

(1) [eqn: 8 = 1+1+1+1+4`]의 경우

작성할 수 있는 봉사활동 계획서의 가짓수는

A, A, A, A, D

를 나열하는 방법의 수와 같으므로

[eqn: 5! over 4! = 5`](가지)

(2) [eqn: 8= 1+1+1+2+3`]의 경우

작성할 수 있는 봉사활동 계획서의 가짓수는

A, A, A, B, C

를 나열하는 방법의 수와 같으므로

[eqn: 5! over 3! = 20`](가지)

(3) [eqn: 8 = 1+1+2+2+2`]의 경우

작성할 수 있는 봉사활동 계획서의 가짓수는

A, A, B, B, B

를 나열하는 방법의 수와 같으므로

[eqn: 5! over{ 2!``3!} = 10`](가지)

따라서 구하는 가짓수는

[eqn: 5+20+10= 35`](가지)

ꂼ ⑤

16.

철수가 주머니 A에서 어느 한 숫자를 선택하고 영희가 주머니 B에서 그와 다른 숫자를 선택할 확률은

[eqn: `_5 rmC_1 × `1over5 × 4over5`= 4over5`]

철수는 두 사람이 꺼낸 첫 번째 숫자 2개를 제외한 나머지 3개의 숫자 중에서 한 개를 선택하고, 영희는 그와 같은 숫자를 선택해야 하므로 그 확률은

[eqn: 3over4 × 1over4 = 3over16`]

따라서 구하는 확률은

[eqn: 4over5 × 3over16 = 3over20`]

ꂼ ①

17.

ㄱ. [eqn: {rmP}(E) = 1over2`]이므로

[eqn: I(E) = - log_2`{rmP}(E)`]

[eqn: = - log_2 ``1over2`]

[eqn: = 1`] (참)

ㄴ. 두 사건[eqn: A,B`]가 서로 독립이므로

[eqn: rmP(A∩B) = P(A) `P(B)`]

∴ [eqn: I(A∩B) = - log_2``{rmP}(A∩ B)`]

[eqn: = - log_2``{rmP}(A) {rmP}(B)`]

[eqn: = - left{ log_2 {rmP}(A) + log_2 {rmP}(B) right}`]

[eqn: = - log_2`{rmP}(A) - log_2 {rmP}(B)`]

[eqn: = I(A) + I(B)`]  (참)

ㄷ. [eqn: 2 I(A∪B) = -2log_2`{rmP}(A∪B)`]

[eqn: = - log_2 `left{ {rmP}(A∪B) right}^2`]

[eqn: I(A) + I(B) = - log_2`{rmP}(A) - log_2`{rmP}(B)`]

[eqn: = - log_2``{rmP}(A) {rmP}(B)`]

[eqn: {rmP}(A∪B) >= {rmP}(A)`>0`], [eqn: {rmP}(A∪B) >= {rmP}(B)`>0`]

이므로

[eqn: left{ {rmP}(A∪B) right}^2 >= {rmP}(A) {rmP}(B)`]

∴ [eqn: log_2 left{ {rmP}(A∪B) right}^2 >= log_2 {rmP}(A) {rmP}(B)`]

[eqn: - log_2 left{ {rmP}(A∪B) right}^2 <= - log_2 {rmP}(A) {rmP}(B)`]

∴ [eqn: 2I(A∪B) <= I(A)+I(B)`]  (참)

따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

ꂼ ⑤

18.

[eqn: lim_x->2 {f(x+1)-8} over {x^2 -4} = 5]에서

[eqn: x->2]일 때 (분모)→0이므로

(분자)→0이어야 한다.

즉, [eqn: lim_x->2 left{ f(x+1)-8right} =0]이어야 하므로

[eqn: f(3)=8]

[eqn: x+1=t]로 놓으면

[eqn: lim_t->3 {f(t)-f(3)} over {t^2 - 2t-3}][eqn: = lim_t->3 {f(t)-f(3)} over t-3 times lim_t->3 1 over t+1]

[eqn: = 1over 4 f`'(3)=5]

∴ [eqn: f`'(3)=20]

∴ [eqn: f(3)+f`'(3)=28]

ꂼ 28

19.

타원 [eqn: x^2 over a^2 + y^2 over b^2 = 1]의 초점의 좌표가 [eqn: (+-b,~0)]이므로

[eqn: a^2 - b^2 = b^2]

∴ [eqn: a^2 = 2b^2] ⋯ ㉠

또, 타원 [eqn: x^2 over a^2 + y^2 over b^2 = 1]에 접하고 기울기가 [eqn: 1over 2]인 접선의 [eqn: y]절편이 ±1이므로

[eqn: +- root { a^2 over 4 + b^2 } =+-1] ⋯ ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

[eqn: a^2 = 4over 3], [eqn: b^2 = 2over 3]

∴ [eqn: a^2 b^2 = 8 over 9]

∴ [eqn: p+q=17]

ꂼ 17

20.

점 H를 원점으로 하고, 반직선 HE, HG, HD를 각각 [eqn: x]축, [eqn: y]축, [eqn: z]축의 양의 방향으로 하는 좌표공간을 설정하면

A(4, 0, 8), D(0, 0, 8), E(4, 0, 0),

F(4, 4, 0), G(0, 4, 0)이므로

네 점 P, Q, R, S, T의 좌표는 각각

P(4, 0, 6), Q(4, 2, 8), R(2, 0, 8)

S(2, 4, 0), T(3, 1, 8)이다.

이때

[eqn: \ vec TP = (1, -1, -2)],

[eqn: \ vec QS =( -2, 2, -8)]

이므로

[eqn: \ vec TP cdot vec QS = (1, -1, -2) cdot (-2, 2, -8)]

[eqn: =-2-2+16=12]

ꂼ 12

21.

포물선[eqn: y^2 = 12x`]에 접하고 기울기가 1인 접선의 방정식은

[eqn: y= x + 3`]

이므로

[eqn: a = 3`]

포물선[eqn: y^2 = 12x`]와 직선[eqn: y=x+3`]의 접점의 [eqn: x`]좌표를 구하면

[eqn: (x+3)^2 = 12x`]에서

[eqn: x^2 -6x+9=0`], [eqn: (x-3)^2 = 0`]

∴ [eqn: x=3`]

따라서 구하는 회전체의 부피는

[eqn: pi int_0^3 (x+3)^2 dx - pi int_0^3`12x `dx`]

[eqn: = pi int_0^3`(x^2 -6x+9)dx`]

[eqn: = pi left[ x^3 over 3 - 3x^2 + 9x right]_0^3`]

[eqn: = 9pi`]

∴ [eqn: b= 9`]

∴ [eqn: ab = 3 cdot 9 = 27`]

ꂼ [eqn: 27`]

22.

선분[eqn: AP`]를 [eqn: 1``:``2`]로 내분하는 점을 [eqn: Q`]라고 할 때,

[eqn: 2over 3 vec OA + 1over3 vec OP = vec OQ`]

이다.

•

•

•

•

[eqn: Q]

[eqn: P]

[eqn: A(3,3,3)]

[eqn: O]

[eqn: |` vec OP`| = 3`], [eqn: |` vec OA `| = 3root3`]로 일정하므로

[eqn: |`vec OQ`|]의 값이 최대가 되는 것은 두 벡터 [eqn: vec OP ,`` vec OA`]의 방향이 같을 때이다.

•

•

•

•

[eqn: Q]

[eqn: P]

[eqn: A(3,3,3)]

[eqn: O]

[eqn: bar PQ = 2over3 bar PA = 2over3 ( 3root3 - 3)` = 2root3 -2`]

이므로

[eqn: |`vec OQ `| = 3+ (2root3 -2 ) = 1+ 2root3`]

∴ [eqn: a=1 , ``b=2`]

∴ [eqn: 10(a+b) = 10(1+2) = 30`]

ꂼ [eqn: 30]

[다른 풀이]

점[eqn: P]의 좌표를 [eqn: (x,y,z)`]라 하면

[eqn: 2over3 vec OA + 1over3 vec OP = 2over3 (3,3,3) + 1over3 (x,y,z)`]

[eqn: = 1over3 (x+6, ``y+6 ,``z+6 )`]

이므로

[eqn: left|` 2over3 vec OA + 1over3 vec OP`right| `]

[eqn: = left|` 1over3 (x+6 ,``y+6 ,``z+6 )``right|`]

[eqn: = 1over3 root{ (x+6)^2 + (y+6)^2 + (z+6)^2 }`]

[eqn: root{ (x+6)^2 + (y+6)^2 + (z+6)^2 }`]는

구면 위의 점[eqn: P(x,y,z)`]와

점[eqn: Q(-6,-6,-6)`] 사이의 거리이므로

[eqn: bar PQ`]의 최댓값은

[eqn: bar OQ + 3` = root{ 6^2 + 6^2 + 6^2 } + 3` = 6root3 + 3`]

이다.

따라서, [eqn: 1over3 root{ (x+6)^2 + (y+6)^2 + (z+6)^2 }`]의 최댓값은

[eqn: 1over3 ( 6root3 + 3)` = 2root3 +1`]

이므로 [eqn: a = 1,``b= 2`]이다.

∴ [eqn: 10(a+b) = 10(1+2) = 30`]

23.

[eqn: n`]으로 나누었을 때 몫과 나머지가 같아지는 자연수는

[eqn: n+1,```2n+2 ,``3n+3 ,``4n+4 ,``cdots ,``(n-1)n+(n-1)`]

의 [eqn: n-1`]개다.

∴ [eqn: a_n = sum_k=1^n-1 (kn+k)`]

[eqn: = (n+1) sum_k=1^n-1 k`]

[eqn: = (n+1) cdot {(n-1)n} over 2`]

[eqn: a_n >500`]에서

[eqn: {(n-1)n(n+1)} over2 `>500`]

[eqn: (n-1)n(n+1)>1000`]

[eqn: 9 cdot 10 cdot 11 = 990 <1000`]

[eqn: 10 cdot 11 cdot 12 = 1320 >1000`]

이므로 구하는 자연수 [eqn: n`]의 최솟값은 [eqn: 11`]이다.

ꂼ [eqn: 11`]

24.

세 원기둥의 밑면의 반지름의 길이가 모두 같으므로 삼각형 QRP가 이등변삼각형이려면 세 원기둥의 높이가 작은 것부터 차례로 등차수열을 이루어야 하고, 이때

[eqn: \ bar QP = bar QR]

이다.

또 선분 PR의 중점을 M이라 하면 점 Q를 지나고 평면 [eqn: alpha]와 평행한 평면 [eqn: beta]와 평면 QPR의 교선은 선분 QM이다.

이때 [eqn: \ bar QM bot bar PR]이므로 두 평면 [eqn: alpha,~ beta]가 이루는 각의 크기는 선분 PR와 평면 [eqn: alpha]가 이루는 각의 크기와 같다.

그런데 선분 PR의 평면 [eqn: alpha] 위로의 정사영의 길이는 두 원기둥의 반지름의 길이의 합과 같으므로

[eqn: \ bar PR times cos 60DEG = 2root3]

∴ [eqn: \ bar PR = 4root3]

따라서 위의 그림에서 점 P와 점 R의 평면 [eqn: alpha]로부터의 거리의 차는

[eqn: \ bar PR sin 60DEG =][eqn: 6]

따라서 세 원기둥의 높이는 각각

8, 8+3, 8+6

이다.

∴ [eqn: a=11,~b=14]

∴ [eqn: a+b = 25]

ꂼ 25

25.

구 [eqn: S]의 중심 (0, 0, 0)과 평면 [eqn: alpha] 사이의 거리 [eqn: d]는

[eqn: d= {|-2|} over root{1^2 +(-root3 )^2 } = 1]

이므로 구 [eqn: S]와 평면 [eqn: alpha]가 만나서 생기는 원 [eqn: C] 의 반지름의 길이 [eqn: r]는

[eqn: r= root {2^2 - 1^2 } = root3]

이다. 원 [eqn: C] 위의 세 점 A, P, Q의 위치관계는 다음과 같다.

또한, 다음 그림에서

[eqn: \ bar PR = 2 bar OC = 2]

이고 선분 QR는 구 [eqn: S]의 지름임을 알 수 있다.

이때 점 A는 구 위의 점이므로 삼각형 ARQ는 ∠A=90〬 인 직각삼각형이다.

∴ [eqn: \ bar AR = root { bar QR ^2 - bar QA ^2 }]

[eqn: = root {16 - 6}=root10]

∴ [eqn: s= 1 over 2 times \ bar AQ times bar AR]

[eqn: = 1over 2 × root 6 × root 10]

[eqn: = root15]

∴ [eqn: s^2 = 15]

ꂼ 15

미분과 적분

26.

[eqn: sin 2x = 2sinx cos x]이므로 주어진 방정식은

[eqn: 2sinx cos x = 2cos x - 2cos^2 x]

[eqn: cos x (sinx +cos x -1)=0]

∴ [eqn: cos x =0] 또는 [eqn: sinx +cos x =1]

(i) [eqn: cos x =0]에서

[eqn: x= pi over 2] 또는 [eqn: x = 3over 2 pi]

(ii) [eqn: sinx +cos x =1]에서

[eqn: root2 `sin left( x+ pi over 4 right) = 1]

[eqn: `sin left( x+ pi over 4 right) = 1 over root2]

∴ [eqn: x+ pi over 4 = pi over 4] 또는 [eqn: x+ pi over 4 = 3pi over 4]

∴ [eqn: x=0] 또는 [eqn: x = pi over 2]

따라서 구하는 서로 다른 모든 [eqn: x]의 값의 합은

[eqn: 0+ pi over 2 + 3over2 pi = 2pi]

ꂼ ⑤

27.

[eqn: f`'(x)>0,~f''(x)>0]이므로

연속함수 [eqn: f(x)]의 그래프는 구간 [0, 1]에서 아래로 볼록하게 증가한다.

또, 역함수 [eqn: f^-1 (x)]의 그래프는 곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이므로 다음 그래프와 같다.

이때, [eqn: int_0^1 "{"f^-1 (x) - f(x) "}"dx]의 값은 위 그림에서 색칠한 부분의 넓이와 같고, 이는 직선 [eqn: y=x]와 곡선 [eqn: y=f(x)]로 둘러싸인 부분의 넓이의 2배와 같다.

직선 [eqn: y=x]와 곡선 [eqn: y=f(x)]로 둘러싸인 부분의 넓이는 정적분의 정의에 의해

[eqn: int_0 ^1 "{" x - f(x)"}"dx][eqn: = lim_n->inf sum_k=1^n left{ k over n - f left( k over n right) right} 1 over n]

이므로

[eqn: int_0^1 "{"f^-1 (x) - f(x) "}"dx]

[eqn: =2 int_0 ^1 "{" x - f(x)"}"dx]

[eqn: =2 lim_n->inf sum_k=1^n left{ k over n - f left( k over n right) right} 1 over n]

[eqn: = lim_n->inf sum_k=1^n left{ k over n - f left( k over n right) right} 2 over n]

ꂼ ②

28.

ㄱ. [eqn: f(x) = 4ln x + ln (10-x )]의 정의역은

[eqn: "{"x | ~0<x<10"}"]

이때,

[eqn: f(x) = ln x^4 + ln (10-x) = ln x^4 (10-x)]

에서

[eqn: g(x)= x^4 (10-x) = -x^5 +10x^4]

로 놓으면

[eqn: g`'(x) = -5x^4 +40 x^3][eqn: =-5x^3 (x-8)]

이므로 [eqn: x=8]에서 극댓값이자 최댓값

[eqn: g(8)= 8^4 (10-8)= 2^13]

을 갖는다.

이때, [eqn: f(x) = lng(x)]에서 밑 [eqn: e]가 1보다 크므로 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=8]일 때 최댓값

[eqn: f(8)= l n g(8) = ln 2^13 = 13 ln 2]

를 갖는다. (참)

ㄴ. 곡선 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 다음 그림과 같다.

이때 [eqn: f(x) = lng(x)][eqn: =0] ⇔ [eqn: g(x)= 1]이고

[eqn: y=g(x)]와 직선 [eqn: y=1]은 서로 다른 두 점에서 만나므로 방정식 [eqn: f(x)=0]은 서로 다른 두 실근을 갖는다. (참)

ㄷ. [eqn: y=e^f(x) = e^lng(x) = g(x)^lne = g(x)]이다.

[eqn: g`'(x) = -5x^4 +40 x^3]이므로

[eqn: g`''(x)=-20 x^3 +120 x^2 =-20x^2 (x-6)=0]

에서 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=6]일 때 변곡점이다.

즉, 곡선 [eqn: y=g(x)]는 [eqn: x<6]일 때 아래로 볼록이고, [eqn: x>6]일 때 위로 볼록이다. (거짓)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

ꂼ ③

29.

[eqn: f(x) = int_a^x "{"2+ sin (t^2 )"}"dt]에서

[eqn: f`'(x) = 2+sin x^2]이고

[eqn: f`''(x)= cos x^2 (2x ) = 2x `cos x^2]이다.

이때 [eqn: f`''(a) = 2a cos a^2 = root 3 a]에서

[eqn: cos a^2 = root3 over 2]

∴ [eqn: a^2 = pi over6]

한편, [eqn: f^-1 (0)= b]로 놓으면

[eqn: f(b) = int_a^b "{"2+ sin (t^2 )"}"dt =0]

에서 [eqn: b=a]이다. 이때

[eqn: f`'(b) =f`'(a) = 2+sin a^2]

[eqn: =2+sin pi over 6 = 5 over 2]

이므로

[eqn: (f^-1 )`' (0) = 1 over {f`'(b) }= 2over 5]

ꂼ ④

30.

삼각형 ABC에서 사인법칙에 의해

[eqn: {\ bar BC} over sintheta = 2cdot1]

∴ [eqn: \ bar BC = 2 sin theta]

따라서 선분 BC의 중점을 [eqn: \M]이라 하면	[eqn: \ bar BM = sin theta]

이다.

또, 내접원의 중심을 D라고 하면 위 그림의 직각삼각형 BMD에서

[eqn: tan left( pi over 4 - theta over 4 right) = r(theta) over sintheta]

∴ [eqn: r(theta)= sin theta × tan left( pi over 4 - theta over4 right)]

이때, [eqn: pi - theta = t]로 놓으면 [eqn: theta -> pi -0]일 때 [eqn: t->+0]이고

[eqn: sin theta = sin (pi -t )= sin t],

[eqn: tan left( pi over 4 - theta over 4 right)= tan t over4]

이다.

∴ (주어진 식)

[eqn: =lim_t->+0 {sin t × tan t over 4} over t^2]

[eqn: = 1over 4 lim_t->+0 {sint over t } × lim_t->+0 {tan t over 4} over {t over 4 }]

[eqn: = 1over 4 × 1× 1 = 1over4]

∴ [eqn: p^2 +q^2 = 16+1 = 17]

ꂼ 17

확률과 통계

26.

주어진 줄기와 잎 그림에서 최빈값은 [eqn: 24]이다.

한편, 10일 동안의 자유투 성공 횟수의 총합은

[eqn: 9+17+19+21+24+24+26+30+31+33]

[eqn: =234]

이므로 11일 동안의 자유투 성공 횟수에 대한 평균은

[eqn: {234+n } over 11]

이다. 이때, [eqn: 234+n over 11 = 24]이어야 하므로

[eqn: 234+n = 264]

∴ [eqn: n=30]

ꂼ ④

27.

(i) (앞, 뒤, 앞) 또는 (뒤, 앞, 뒤)가 나올 확률은

[eqn: P(X=0) = 2times 1over 2 times 1over 2 times 1over 2 = 1over4]

(ii) (앞, 앞, 뒤) 또는 (앞, 뒤, 뒤) 또는 (뒤, 뒤, 앞) 또는 (뒤, 앞, 앞)이 나올 확률은

[eqn: P(X=1) = 4 times 1over 2 times 1over 2 times 1over 2 = 1over 2]

(iii) (앞, 앞, 앞) 또는 (뒤, 뒤, 뒤)가 나올 확률은

[eqn: P(X=3) = 2times 1over 2 times 1over 2 times 1over 2 = 1over4]

따라서 확률변수 [eqn: X]의 확률분포표는 다음과 같다.

[eqn: X]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 3]	계
[eqn: P(X=x)]	[eqn: 1over4]	[eqn: 1over2]	[eqn: 1over4]	[eqn: 1]

이 때, [eqn: E(X)= 0× 1over 4 + 1× 1over 2 + 3× 1over 4 = 5over 4]이므로

[eqn: V(X)= E(X^2 ) - left{ (E(X)right}^2]

[eqn: = 0^2 × 1over 4 + 1^2 × 1over 2 + 3^2 × 1over 4][eqn: - left( 5over 4 right)^2]

[eqn: = 11over 4 - 25 over 16]

[eqn: = 19 over 16]

ꂼ ②

28.

9개의 공 중에서 4개의 공을 동시에 꺼내는 경우의 수는

[eqn: \ _9 C_4 = {9times 8 times 7 times 6 } over { 4times 3times 2times1} \ =126]

꺼낸 공에 적혀 있는 수 중 가장 큰 수를 [eqn: M], 가장 작은 수를 [eqn: m]이라 하면 [eqn: 7<= M+m <=9]를 만족하는 경우의 수는 다음과 같다.

(i) [eqn: m=1,~M=6]일 때

2, 3, 4, 5 중에서 두 개를 택해야 하므로

[eqn: \ _ 4 C_2 = 6] (가지)

(ii) [eqn: m=1,~M=7]일 때

2, 3, 4, 5, 6 중에서 두 개를 택해야 하므로

[eqn: \ _ 5 C_2 =10] (가지)

(iii) [eqn: m=1,~M=8]일 때

2, 3, 4, 5, 6, 7 중에서 두 개를 택해야 하므로

[eqn: \ _ 6 C_2 = 15] (가지)

(iv) [eqn: m=2,~M=5]일 때

3, 4 중에서 두 개를 택해야 하므로

[eqn: \ _2 C_2 = 1] (가지)

(v) [eqn: m=2,~M=6]일 때

3, 4, 5 중에서 두 개를 택해야 하므로

[eqn: \ _ 3 C_2 = 3] (가지)

(vi) [eqn: m=2,~M=7]일 때

3, 4, 5, 6 중에서 두 개를 택해야 하므로

[eqn: \ _ 4 C_2 = 6] (가지)

(vii) [eqn: m=3,~M=6]일 때

4, 5 중에서 두 개를 택해야 하므로

[eqn: \ _ 2 C_2 = 1] (가지)

이상에서 주어진 조건을 만족하는 경우의 수는

[eqn: 6+10+15+1+3+6+1=42] (가지)

따라서 구하는 확률은

[eqn: 42 over 126 = 1over 3]

ꂼ ⑤

29.

[eqn: P( |X|<= a ) = P left( left| X-0 over sigma right| <= a-0 over sigma right)]

[eqn: = P LEFT(|Z``|<= a over sigma right)]

[eqn: P( |Y|<= B ) = P left( left| Y-0 over {sigma OVER 2 } right| <= b-0 over{ sigma OVER 2} right)]

[eqn: = P LEFT(|Z``|<= 2b over sigma right)]

이므로 [eqn: P(|X|<= a) = P(|Y|<= b )]이면

[eqn: a = 2b]

이다.

ㄱ. [eqn: a = 2b]이고 [eqn: a>0, ~b>0]이므로

[eqn: a>b] (참)

ㄴ. [eqn: P left( Y > a over 2 right) = P left(Y-0 over {sigma over 2 } > b-0 over {sigma over 2 } right)]

[eqn: =P left( Z> 2b over sigma right)] (참)

ㄷ. [eqn: P(Y>b)=`1-P(Y≦b ) = 0.3]이므로

[eqn: P( |Y`|<= b ) = 1 - P(|Y`|>b )]

[eqn: = 1-2 P(Y>b )]

[eqn: = 1-2×0.3 =0.4]

∴ [eqn: P(|X|≦ a right) = P(|Y|≦b ) =0.4] (거짓)

ꂼ ③

30.

모집단에서 임의로 100명을 추출하여 구한 모비율에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구간이 [eqn: left[ 1over 10 - c ,~ 1over 10 + c right]]이므로	[eqn: c= 1.96× root {{1over10 × 9 over 10} over 100} = 1.96times 3over 100]

이다.

또, 모집단에서 임의로 [eqn: n]명을 추출하여 구한 모비율에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구간이 [eqn: left[ 1over 9 -s(n) ,~ 1over 9 + s(n) right]]이므로	[eqn: s(n)= 1.96× root {{1over9 × 8 over9} over n } = 1.96times root8 over {9root n}]

이다.

이 때, [eqn: 1.96times root8 over {9 root n} = 50 over 81 times][eqn: 1.96times 3over 100]이므로

[eqn: root n = 6root8]

∴ [eqn: n = 36×8=288]

ꂼ 288

이산수학

26.

[eqn: sum_k=1^11 a_k = (a_1 +a_2 )+(a_3 +a_4 +a_5 )]

[eqn: +(a_6 +a_7 +a_8 )+(a_9 +a_10 +a_11 )]

[eqn: =(1+2)+6+6+6=21]

ꂼ ③

27.

작업의 순서를 그림으로 나타내면 다음과 같다.

따라서 작업을 모두 끝마치는 데 필요한 최소 작업시간은

A → C → D → F → G

2     5    3    4     3

에서

[eqn: 2+5+3+4+3=17](일)

이다.

ꂼ ⑤

28.

주어진 그래프의 꼭짓점을 적절하게 색칠하는 데 필요한 최소 색의 수가 [eqn: 4]인 그래프를 만들려면 다음 그림과 같이 세 꼭짓점 X, Y, Z 중의 두 개를 변으로 연결하고, 네 꼭짓점 A, B, C, D 중의 두 개를 변으로 연결해야 한다.

따라서 가능한 그래프 [eqn: H]의 개수는

[eqn: `\ _3 C_2 times _4 C_2 = 3times6 = 18] (개)

이다.

ꂼ ④

29.

A, B, C, D, E, F를 모두 사용하여 만든 6자리의 문자열의 집합을 [eqn: U]라 하면

[eqn: n(U)= 6!]

이다.

한편, [eqn: U]의 원소 중에서 A의 바로 다음 자리에 B가 오는 문자열의 집합을 [eqn: X], B 바로 다음 자리에 C가 오는 문자열의 집합을 [eqn: Y], C 바로 다음 자리에 A가 오는 문자열의 집합을 [eqn: Z]라 하면 주어진 조건을 모두 만족시키는 문자열의 집합은

[eqn: X ^C cap Y^C cap Z^C]

이다.

따라서 포함배제의 원리에 의해

[eqn: n(X^C cap Y^C cap Z^C ``)`]

[eqn: = n(U)][eqn: -n(X)-n(Y)-n(Z)]

[eqn: +n (X cap Y) +n(Y cap Z) +n (Z cap X)]

[eqn: - n (X cap Y cap Z)]

[eqn: = 6! - 3× 5! +3×4! -0]

[eqn: = 4! (6×5 - 3×5 +3)]

[eqn: = 24×18]

[eqn: =432]

ꂼ ②

30.

주어진 그래프의 꼭짓점의 개수가 7이므로 생성수형도의 변의 개수는 6이어야 한다.

그런데 주어진 그래프의 변의 개수는 9이므로 3개를 삭제해야 한다.

따라서 9개의 변 중 삭제할 3개의 변을 택하는 경우의 수는

[eqn: \ _9 C_3 = {9cdot8cdot7} over {3cdot2cdot1}= 84] (개)

그런데, 생성수형도에는 회로가 없어야 하므로 위의 84개의 그래프 중에서 회로가 있는 그래프를 제외해야 한다.

(i) 다음 그림과 같이 맨 바깥쪽에 회로가 생기는 경우

[eqn: \ _6 C_3 = 20] (개)

(ii) 다음 그림과 같이 맨 바깥쪽의 변 중 한 개만 남아서 회로가 생기는 경우

[eqn: \3times _4 C_3 = 12] (개)

(ii) 다음 그림과 같이 맨 바깥쪽의 변 중 두 개가 남아서 회로가 생기는 경우

[eqn: \3times _3 C_3 = 3]

이상에서 구하는 생성수형도의 총 개수는

[eqn: 84-(20+12+3)=49](개)

ꂼ 49

다른 풀이

다음과 같이 직접 생성수형도의 개수를 구할 수도 있다.

(i) 맨 바깥쪽의 변을 모두 삭제하는 경우

[eqn: \ _3 C_3 =]1 (개)

(ii) 맨 바깥쪽의 변 중 두 개를 삭제하는 경우

[eqn: \ _3 C_2 times][eqn: \ _4 C_1 =12] (개)

(iii) 맨 바깥쪽의 변 중 한 개를 삭제하는 경우

[eqn: \ _3 C_1 × _3 C_1 ×2×2 = 36] (개)

이상에서 구하는 생성수형도의 총 개수는

[eqn: 1+12+36=49] (개)

ꂼ 49