2008학년도 11월 고2 전국연합학력평가

정답 및 해설

• 2교시 수리 영역 •

[가 형]

1	③	2	③	3	①	4	⑤	5	③
6	⑤	7	⑤	8	④	9	④	10	①
11	④	12	①	13	③	14	⑤	15	③
16	②	17	②	18	②	19	④	20	②
21	①	22	[eqn: 6]	23	[eqn: 20]	24	[eqn: 60]	25	[eqn: 121]
26	[eqn: 485]	27	[eqn: 4]	28	[eqn: 144]	29	[eqn: 82]	30	[eqn: 48]

1. [출제의도] 지수법칙을 이해하고 계산하기

[해설]

[eqn: root {5} of {8} TIMES 4 ^{- {4} over {5}} = root {5} of {2 ^{3}} TIMES LEFT ( 2 ^{2} RIGHT ) ^{- {4} over {5}} =2 ^{{3} over {5}} TIMES 2 ^{- {8} over {5}} = {1} over {2}]

2. [출제의도] 로그의 성질을 이해하고 계산하기

[해설] [eqn: log _{3} `12+2log _{3} {3} over {2} =log _{3} 12+log _{3} LEFT ( {3} over {2} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: =log _{3} LEFT ( 12 TIMES {9} over {4} RIGHT ) =log _{3} 3 ^{3} =3]

3. [출제의도] 수열의 극한값 구하기

[해설]

[eqn: lim _{n -> INF } {{3 ^{n-1} -5 ^{n+1}} over {5 ^{n} -3 ^{n}}} = lim _{n -> INF } {{{1} over {5} LEFT ( {3} over {5} RIGHT ) ^{n-1} -5} over {1- LEFT ( {3} over {5} RIGHT ) ^{n}}} =-5]

4. [출제의도] 역행렬 구하기

[해설] [eqn: (A-2E) ^{2} =O`]를 전개하면

[eqn: A^2 -4A+4E=O]이므로

[eqn: A(A -4E)=-4E], [eqn: A LEFT ( - 1 over4 A +E RIGHT ) =E]

그러므로 [eqn: A^-1 = - 1 over4 A +E]

[eqn: p= - 1 over 4], [eqn: q=1]    [eqn: THEREFORE][eqn: p+q= 3 over4]

5. [출제의도] 거듭제곱근의 성질 이해하기

[해설] [eqn: {root {n} of {2 ^{18}}} over {root {n} of {3 ^{24}}} & = root {n} of {{2 ^{18}} over {3 ^{24}}} = root {n} of {{LEFT ( 2 ^{3} RIGHT ) ^{6}} over {LEFT ( 3 ^{4} RIGHT ) ^{6}}} = root {n} of {LEFT ( {8} over {81} RIGHT ) ^{6}}]의  값이 유리수가 되려면 [eqn: n]이 [eqn: 6]의 약수인 [eqn: 1,~2,~3,~6]이어야 한다. 그러므로 [eqn: n]은 [eqn: 2,```3,```6```( BECAUSE n >= 2)]

[별해] [eqn: root {n} of {2 ^{18}} =2 ^{{18} over {n}}], [eqn: root {n} of {3 ^{24}} =3 ^{{24} over {n}}]이므로 [eqn: n]은 [eqn: 18]과 [eqn: 24]의 공약수이고, [eqn: n >= 2]이므로, [eqn: n=2], [eqn: 3], [eqn: 6]이다.

6. [출제의도] 순열을 이용하여 함수의 개수 구하기

[해설] [eqn: Y]의 모든 원소의 곱이 [eqn: 36^2]이므로 조건을 만족하는 경우는 [eqn: 1 times 4 times 9 = 2 times3 times6]이다. 따라서  ([eqn: 1,~4,~9]), ([eqn: 2,~3,~6])에 각각 대응되는 경우의 수는 [eqn: 3 !]이므로 [eqn: 3！ TIMES 3！]이고 서로 바뀌는 경우가 [eqn: 2！]이므로 [eqn: 3！ TIMES3！ TIMES2！ =72]이다.

7. [출제의도] 수열의 귀납적 정의를 이해하여 일반항 구하기

[해설] [eqn: f(1)=2,]

[eqn: f(2)=f(1+1)=f(1)f(1)=2 ^{2}],

[eqn: `f(3)=f(1+2)=f(1)f(2)=2 ^{3}],

[eqn: CDOTS]

[eqn: f(n)=2 ^{n}]

[eqn: a _{10} =a _{1} + sum _{k=1} ^{9} f(k)=1+ {2(2 ^{9} -1)} over {2-1} =1023]

8. [출제의도] 지수함수의 최솟값 구하기

[해설] [eqn: t=2 ^{x-2} +2 ^{-x}]라 하면

[eqn: t=2 ^{x-2} +2 ^{-x}>=2root{2^x-2 2^-x} =1]이고,

[eqn: 2 ^{x} +2 ^{2-x}=4 LEFT ( 2 ^{x-2} +2 ^{-x} RIGHT ) =4t]이므로

[eqn: f(t)=t ^{2} -4t+8=(t-2) ^{2} +4] (단, [eqn: t >= 1])

그러므로 최솟값은 [eqn: 4]이다.

9. [출제의도] 행렬의 성질을 이해하기

[해설] ㄱ. [반례] [eqn: A= {pmatrix{``1&````0``#``0&````2``}}], [eqn: B= {pmatrix{-1&```0#``````0&```2}}] (거짓)

ㄴ. [eqn: A ^{2} =2E]이므로

[eqn: A ^{2} B=(2E)B=B`(2E)=BA ^{2}] (참)

ㄷ. [eqn: (A-E)(A ^{3} +A ^{2} +A+E)=O]이므로

[eqn: A ^{4} -E=O], [eqn: A ^{2} A ^{2} =E]이므로

[eqn: (A ^{2}` ) ^{-1}= A ^{2}]이다. (참)

10. [출제의도] 상용로그를 이용하여 실생활문제 해결하기

[해설] 매월 전월보다 [eqn: 10%]씩 증가하므로 [eqn: 12]개월 후 이용자 수는 [eqn: 10(1+0.1) ^{12}](만 명)이다.

[eqn: x=][eqn: 10(1+0.1) ^{12}]라 하면

[eqn: log``x=log`10(1.1) ^{12} =log`10`+12`log`1.1]

[eqn: =1+0.48=1+log`3.02][eqn: =log`` 30.2]

[eqn: THEREFORE x=30.2](만 명)

그러므로 [eqn: 302000](명)이다.

11. [출제의도] 행렬에 대응되는 입체 추론하기

[해설] [eqn: a _{11} =m _{1} TIMES m _{1} =4]이므로 [eqn: m _{1} =2].

[eqn: a _{22} =m _{2} TIMES m _{2} =9]이므로 [eqn: m _{2} =3].

[eqn: a _{33} =m _{3} TIMES m _{3} =16]이므로 [eqn: m _{3} =4].

12. [출제의도] 무한수열의 성질 이해하기

[해설] ㄱ. [eqn: lim _{ n->inf} { a _{n} }=alpha], [eqn: lim _{ n->inf} { b _{n} }=beta]이면

[eqn: lim _{ n->inf} { a_n b _{n} }= alpha beta]이다. (참)

ㄴ. [반례] [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]: [eqn: 1], [eqn: -1], [eqn: 1], [eqn: -1], [eqn: CDOTS]

[eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]: [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: CDOTS] (거짓)

ㄷ. [반례] [eqn: a _{n} =1+ {1} over {n}] (거짓)

13. [출제의도] 극한값 구하기

[해설] 계산하는 식을 수열의 귀납적 정의로 표현하면

[eqn: rm A_1 =25], [eqn: rm A _{ it n+1} = {2} over3 {A _{it n}} +3]([eqn: n=1,``2,``3,``cdots])이고 [eqn: {LEFT. rm A _{it n+1}-9 = 2 over 3 {LEFT ( {A _{it n}}-9 RIGHT )}]

그러므로 일반항은 [eqn: {rm A } _{it n rm} = 16 LEFT ( 2 over 3 RIGHT )^n-1 +9]이다.

[eqn: THEREFORE][eqn: lim _{ n->inf} { {rm A}_n}=9]

14. [출제의도] 역행렬이 존재하는 조건 구하기

[해설] 역행렬이 존재하기 위하여 [eqn: pr-sq !=0]이어야 한다. 대각의 합이 [eqn: 180 DEG]인 사각형은 원에 내접하고 [eqn: p:s = q:r]이 성립하므로 [eqn: pr-sq =0]이 되어 역행렬이 존재하지 않는다.

15. [출제의도] 로그함수 그래프의 성질 이해하기

[해설] ㄱ. [eqn: 0<a<b<1]이므로 [eqn: 0<log_a b<1](참)

ㄴ. 세 점 [eqn: rmO(0,~0)], [eqn: rmA(ita,``log`a)],  [eqn: rmB(itb,``log`b)]에 대하여 직선 [eqn: rmOA]의 기울기 [eqn: {log``a} overa]가 직선 [eqn: rmOB]의 기울기 [eqn: {log``b} over b]보다 작으므로 성립한다.(참)

[eqn: y=log`x]

[eqn: y]

[eqn: 1]

[eqn: a]

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: b]

[eqn: log`b]

[eqn: log`a]

[eqn: rm B]

[eqn: rm A]

ㄷ. [eqn: log_a LEFT ( a overb RIGHT ) =1-log_a b], [eqn: log_b LEFT ( b overa RIGHT ) =1-log_b a]이고, [eqn: 0<log_a b<1], [eqn: log`_b` a` >1]이므로,

[eqn: log_a LEFT ( a overb RIGHT ) > log_b LEFT ( b overa RIGHT )]이다. (거짓)

16. [출제의도] 행렬을 이용한 실생활문제 해결하기

[해설] 자동차의 속력을 [eqn: x], [eqn: y]([eqn: x>y])라 할 때,

[eqn: {1} over {3} x+ {1} over {3} y=10 pi,`` {5} over {3} x- {5} over {3} y=10 pi]이므로

[eqn: {pmatrix{1&````````1#5&``-5}} LEFT ( pile{x#y} RIGHT ) = LEFT ( pile{30 pi #30 pi } RIGHT )], [eqn: LEFT ( pile{x#y} RIGHT ) =3 pi {pmatrix{5&`````````1#5&``-1}} LEFT ( pile{1#1} RIGHT )]

[eqn: THEREFORE][eqn: a=1], [eqn: b=`-1] 이므로 [eqn: LEFT | a-b` RIGHT | =2]

17. [출제의도] 이항정리를 이용한 식의 값 추론하기

[해설] [eqn: (1+x) ^{59} =][eqn: ` _{59}{rm C} _{0}][eqn: + _{59} {rmC} _{1} `x][eqn: `+` CDOTS][eqn: +` _{59}{rm C} _{59} `x ^{59}] 이고, 양변에 [eqn: x]대신 [eqn: i]를 대입하면,

[eqn: (1+i) ^{59}]

[eqn: = LEFT ( ` _{59} {rmC} _{0}-` _{59}{rm C} _{2}+` _{59}{rm C } _{4 } -`CDOTS`-` _{59}{rm C} _{58 } RIGHT )]

[eqn: +LEFT ( ` _{59}{rm C} _{1}-` _{59}{rm C} _{3}+` _{59} {rm C } _{5 } -`CDOTS`-` _{59}{rm C} _{59} RIGHT )i]

[eqn: =sum _{r=0} ^{29} (-1) ^{r} ` _{59} rm C it rm _{2r} `][eqn: +][eqn: sum _{r=0} ^{29} (-1) ^{r} ` _{59}{rm C} _{2r+1}][eqn: `i]

한편, [eqn: (1+i) ^{59} = LEFT { (1+i) ^{2} RIGHT } ^{29} TIMES (1+i)]

[eqn: = (2i) ^{29}(1+i) =- 2^29`+2^29` i]

∴(가)[eqn: sum _{r=0} ^{29} (-1) ^{r} ` _{59}{rm C} _{2r+1}], (나)[eqn: -2^29]

18. [출제의도] 수학적귀납법으로 대소관계 추론하기

[해설] (가)[eqn: k+1], (나)[eqn: {(k+1)(k+2) }over2], (다)[eqn: {2k+3 }over2]

19. [출제의도] 무한등비급수의 규칙성 추론하기

[해설] 한 변의 길이가 [eqn: a]인 정삼각형의 높이와 넓이는 각각 [eqn: {sqrt {3}} over {2} a], [eqn: {sqrt {3}} over {4} a ^{2}]이므로, 한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정삼각형의 높이는 [eqn: sqrt {3}]이고 넓이는 [eqn: sqrt {3}]이다.

삼각형 [eqn: rmA _{1}]의 높이는 내접원의 지름과 같으므로 내접원의 반지름을 [eqn: r]라 하면,

[eqn: {1} over {2} LEFT ( 2+2+2 RIGHT ) r= sqrt {3}]이므로 [eqn: r= {sqrt {3}} over {3}]이고

내접원의 지름은 [eqn: {2} over {3} sqrt {3}]이다.

삼각형의 한 변의 높이가 [eqn: {2} over {3}]배만큼 축소되므로 넓이는 [eqn: left( {2} over {3} right) ^{2}]배만큼 축소된다.

삼각형 [eqn: rm A_1]의 한 변의 길이는 [eqn: 4 over 3]이므로

[eqn: S_1 = {4} over {9} sqrt {3}]이고 공비가 [eqn: {4} over {9}]인 무한등비급수이다.

[eqn: THEREFORE][eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n} = {{4} over {9} sqrt {3}} over {1- {4} over {9}} = {4} over {5} sqrt {3}]

20. [출제의도] 로그부등식 문제해결하기

[해설] 임의의 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f`(x)＞0`]가 성립하려면 [eqn: `log` _{a} `b>0], [eqn: D= LEFT ( log _{a`} b RIGHT )^2 -2log _{a`} b<0]

[eqn: THEREFORE][eqn: 0 < log_a b <2]

ⅰ)[eqn: 0<a<1]인 경우 [eqn: THEREFORE][eqn: a^2 < b <1]

ⅱ)[eqn: a>1]인 경우 [eqn: THEREFORE][eqn: 1<b<a^2]

이므로 구하고자 하는 영역은

[eqn: b=a ^{2}]

[eqn: b]

[eqn: 1]

[eqn: 1]

[eqn: a]

[eqn: rm O]

21. [출제의도] 로그의 성질 이용하여 문제해결하기

[해설] 로그의 정의를 이용하면 [eqn: log` _{2} `x ^{n} =4]를 만족하는 [eqn: x]는 [eqn: x ^{n} =2^4]의 정수해이므로,

[eqn: A _{1}= LEFT { 16 RIGHT }], [eqn: A _{2} = LEFT { -4,``4 RIGHT }], [eqn: A _{4}= LEFT { -2,``2 RIGHT }]

이다.

[eqn: n log` _{2} `x } =4]를 만족하는 [eqn: x]는 [eqn: x =2^{4overn]의 정수해이므로, [eqn: B _{1} `= LEFT {16 RIGHT }], [eqn: B _{2} `= LEFT { 4 RIGHT }], [eqn: B _{4} `= LEFT {2 RIGHT }]이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: (A _{1} CUP A _{2} CUP A _{4} )-(B _{`1} CUP B _{`2} CUP B _{`4} )]

[eqn: =left{-4,~-2 right}]

그러므로 모든 원소의 합은 [eqn: -6]이다.

22. [출제의도] 순열의 정의 이해하기

[해설] [eqn: (n+1)n(n-1)=n(n-1)(n-2)+90]

[eqn: 3n(n-1)=90]  [eqn: THEREFORE][eqn: n=6]

23. [출제의도] 등차중항과 등비중항 이해하기

[해설] [eqn: b^{ 2}=3a], [eqn: 6a=12+2b]

[eqn: 2b ^{ 2}-2b-12=0],

[eqn: b ^{ 2}-b-6=(b-3)(b+2)=0]

[eqn: cases{a= {4} over {3}#b=-2}] 또는 [eqn: cases{a=3##b=3}]

[eqn: a], [eqn: b]는 서로 다른 수이므로 [eqn: a= {4} over {3}], [eqn: b=`-2]

[eqn: THEREFORE][eqn: 9a ^{2} +b ^{2} =20]

24. [출제의도] 이항정리를 이용하여 항의 계수 구하기

[해설] [eqn: LEFT ( x+ {1} over {x} RIGHT ) ^{6}]의 전개식에서 일반항은

[eqn: {} _{6} {rm C} _{r} `x ^{r} x ^{r-6} = _{6} {rmC} _{r} `x ^{2r-6}]이다. [eqn: 2r-6=+- 1]이 되는 정수 [eqn: r]은 존재하지 않는다. [eqn: (x^2 +3x +3)]의 일차항과 [eqn: LEFT ( x+ 1over x RIGHT )^6]의 상수항의 곱이 [eqn: x]의 일차항이 된다.

[eqn: 2r-6=0], [eqn: r=3]이므로 상수항은 [eqn: `_{6}{rm C} _{3}]이다.

그러므로 [eqn: (x ^{2} +3x+3) LEFT ( x+ {1} over {x} RIGHT ) ^{6} `]의 [eqn: x]의 계수는

[eqn: 3 TIMES _{6}{rm C} _{3} =60]이다.

25. [출제의도] 행렬의 거듭제곱 구하기

[해설] [eqn: A= LEFT ( matrix{````````1`&```-2``#`-1`&``````````2``} RIGHT )]이므로

[eqn: A^2 = 3A], [eqn: A^3 = 3^2 A], [eqn: A^4 = 3^3 A], [eqn: A^5 = 3^4 A]

[eqn: A+A ^{2} +A ^{3} +A ^{4} +A ^{5} =121A]

그러므로 [eqn: k=121]

26. [출제의도] 수열의 규칙성 찾아 문제해결하기

[해설] 각 행의 마지막 숫자들만 나열한 수열을 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이라 하면 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 [eqn: 1], [eqn: 4], [eqn: 10], [eqn: 22], [eqn: 46], [eqn: CDOTS]이다.

[eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 계차수열이 첫째항이 [eqn: 3], 공비가 [eqn: 2]인 등비수열이다.

[eqn: THEREFORE][eqn: a _{n} =1+ sum _{k=1} ^{n-1} 3`․`2 ^{k-1} =3`․`2 ^{n-1} -2]

그러므로 [eqn: 2008]에 가장 가까운 마지막 항을 구하면 [eqn: n=10]일 때, [eqn: 1534]이다. 그러므로 [eqn: 2008]은 다음 행의 [eqn: 1535]부터 [eqn: 474]번째에 위치한다.

[eqn: THEREFORE][eqn: m=]11, [eqn: n=474]

[eqn: THEREFORE][eqn: m+n=485]

27. [출제의도] 무한급수의 수렴조건 이해하기

[해설] 무한급수가 수렴하므로

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {LEFT ( {a _{n}} over {3n} - {3n+2} over {2n-1} RIGHT ) =0}]이고

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{a _{n}} over {3n} = {3} over {2}}]이다.

[eqn: THEREFORE][eqn: lim _{n`` -> `` INF } {{6a _{n}+21n-7} over {2a _{n}+3n+5}}]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {{{6a _{n}} over {3n} + {21n-7} over {3n}} over {{2a _{n}} over {3n} + {3n+5} over {3n}}} =4]

28. [출제의도] 지수함수와 로그함수의 그래프 이해하기

[해설] 그림과 같이 두 함수 [eqn: y=2 ^{x}], [eqn: y=log` _{2} `x]는 좌표축과 각각 [eqn: (0,````1)], [eqn: (1,````0)]에서 만나므로 정사각형 [eqn: rm A _{1}]의 한 변의 길이는 [eqn: 1]이다.

또, [eqn: x=1]을 지수함수에 대입하면 정사각형 [eqn: rm A_{ 2}]의 한 변의 길이는 [eqn: 1]이고, [eqn: x=2]를 지수함수에 대입하면 정사각형 [eqn: rm A_{ 3}]의 한 변의 길이는 [eqn: 2]이고, [eqn: x=4]를 지수함수에 대입하면 정사각형 [eqn: rm A_{ 4}]의 한 변의 길이는 [eqn: 12]이다.

그러므로 [eqn: rm A_{ 4}]의 넓이는 [eqn: 144]이다.

[eqn: y=2 ^{x}]

[eqn: y=log` _{2} `x]

[eqn: y=x]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: rm A _{4}]

[eqn: rm A _{1}]

[eqn: rm A _{3}]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 4]

[eqn: 16]

[eqn: rm A _{2}]

29. [출제의도] 조합의 수를 구하여 문제해결하기

[해설] 1) [eqn: 3]명, [eqn: 5]명씩 [eqn: 2]개 조로 나누는 방법의 수

ⅰ) [eqn: 3]명인 조에 여학생 [eqn: 2]명이 포함된 경우의 수는

[eqn: `_{6} rm C it _{1} TIMES `_{5} rm C it _{5}=6]

ⅱ) [eqn: 5]명인 조에 여학생 [eqn: 2]명이 포함된 경우의 수는

남학생을 [eqn: 3]명, [eqn: 3]명으로 나눈 후 여학생 [eqn: 2]명을 [eqn: 2]개 조에 각각 배정하는 경우의 수 이므로

[eqn: ` _{6}{rm C} _{3} TIMES`_3 {rm C}_3 times 1over 2! TIMES 2! =20]

2) [eqn: 4]명, [eqn: 4]명씩 [eqn: 2]개 조로 나누는 방법의 수는

[eqn: ` _{6} rm C it _{2} TIMES ` _{4} rm C it _{4} =15]

1), 2)에 의해서 구한 [eqn: 2]개 조를 [eqn: 2]개의 청소구역에 배정하는 경우의 수는 [eqn: (6+20+15) TIMES2! =82]가지이다.

그러므로 [eqn: m]은 [eqn: 82]이다.

30. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수에 대한 문제해결하기

[해설] 상용로그 [eqn: log`A`]의 지표 [eqn: n]과 가수 [eqn: alpha]가 방정식 [eqn: 4x ^{2} -13x+ beta =0`]의 두 근이므로

[eqn: log`A`=n+alpha = 13 over 4]이다.

[eqn: n]은 정수, [eqn: 0<=alpha <1]이므로, [eqn: n=3], [eqn: alpha = 1 over 4]이다.

[eqn: THEREFORE][eqn: sum _{k=1} ^{30} ` LEFT [ {400 alpha } over {n ^{k}} RIGHT ] = sum _{k=1} ^{30} ` LEFT [ {100} over {3 ^{k}} RIGHT ]]

[eqn: = LEFT [ {100} over {3} RIGHT ] + LEFT [ {100} over {3 ^{2}} RIGHT ] + LEFT [ {100} over {3 ^{3}} RIGHT ] + LEFT [ {100} over {3 ^{4}} RIGHT ] +0+ CDOTS]

[eqn: =48]

[나 형]

1	③	2	③	3	①	4	⑤	5	③
6	②	7	①	8	④	9	④	10	①
11	④	12	④	13	③	14	⑤	15	②
16	①	17	⑤	18	②	19	②	20	⑤
21	③	22	[eqn: 43]	23	[eqn: 20]	24	[eqn: 15]	25	[eqn: 121]
26	[eqn: 485]	27	[eqn: 3]	28	[eqn: 271]	29	[eqn: 45]	30	[eqn: 48]

1. [출제의도] 수리‘가’형 1번과 같음

2. [출제의도] 수리‘가’형 2번과 같음

3. [출제의도] 두 행렬이 같을 조건 이해하기

[해설] [eqn: pmatrix{`1````&```x`#`3````&```6`} + pmatrix{`3`````&````1`#`5`````&`2y`}]

[eqn: = pmatrix{`4`&```````x+1```#`8`&`````6+2y`} = pmatrix{`4```&````````6``#`8``&`-2``}]

그러므로 [eqn: x=5,~ y=-4]이고 [eqn: x+y=1]이다.

4. [출제의도] 역행렬 구하기

[해설] 역행렬의 정의에 의하여 [eqn: X=A^-1]

그러므로 [eqn: X= pmatrix{``2`&`3#`1`&``2`}]이고 모든 성분의 합은 [eqn: 8]이다.

5. [출제의도] 수리‘가’형 5번과 같음

6. [출제의도] 거듭제곱근 값의 대소 비교하기

[해설] [eqn: rm A ^{12} =left( root {3} of {2}right)^12 =left( root {3} of {2^12}right) =2^{12 over3} =16]

[eqn: rm B ^{12} =left( root {4} of {3}right)^12 =left( root {4} of {3^12}right) =3^{12 over4} =27]

[eqn: rm C^{12} = LEFT (root {6} of {5} RIGHT ) ^{12} = LEFT ( root {6} of {5^{12}} RIGHT ) =5^{{12} over {6}} =25]

[eqn: THEREFORE][eqn: rm A<C<B]

7. [출제의도] 수열의 귀납적 정의 이해하기

[해설] [eqn: a _{n+1} =a _{n} +2n-1]에서 수열 [eqn: left{ a_n right}]의 계차수열의 일반항이 [eqn: 2n-1]이므로 일반항 [eqn: a_n]은

[eqn: a_n =2 + sum _{ k=1} ^{n-1 }(2k-1)]

[eqn: =n^2 -2n+3]

[eqn: THEREFORE][eqn: a_10 = 83]

8. [출제의도] 로그의 정의를 이용하여 문제해결하기

[해설] 로그의 밑과 진수 조건에 의하여

[eqn: 1-x != 1], [eqn: 1-x>0], [eqn: x+5>0]

[eqn: -5<x<1(x != 0)]

[eqn: THEREFORE x=`-4], [eqn: -3], [eqn: -2], [eqn: -1]

9. [출제의도] 수리‘가’형 9번과 같음

10. [출제의도] 수리‘가’형 10번과 같음

11. [출제의도] 수리‘가’형 11번과 같음

12. [출제의도] 로그의 정의 이해하기

[해설] 로그의 정의에 의하여 [eqn: m=log`_ 2 `6], [eqn: n=log`_ 3 `6]이므로 [eqn: (m-1)(n-1)=1]이다.

[eqn: THEREFORE][eqn: log`(m-1)(n-1)=0]

13. [출제의도] 수열의 합과 일반항 사이의 관계 이해하기

[해설] [eqn: a _{n} =S _{n} -S _{n-1}=6n-35]([eqn: n >= 2])

[eqn: a_{ 1}=S _{ 1}=-29]

따라서 [eqn: a _{n} =6n-35]이다.

ㄱ. 수열 [eqn: left { a_ n right}]은 등차수열이다. (참)

ㄴ. [eqn: n<=5]일 때, [eqn: a_n <0]이므로 [eqn: S_5]가 최솟값이다.

(참)

ㄷ. [eqn: n<=5]일 때, [eqn: a_n <0]이고

[eqn: n>=6]일 때, [eqn: a_n >0]이므로

[eqn: sum _{n=1 } ^{10 } ` LEFT | a_n RIGHT |`=`- sum _{ n=1} ^{5 } a_n + sum _{ n=6} ^{10 } a_n = 150] (거짓)

14. [출제의도] 수리‘가’형 14번과 같음

15. [출제의도] [eqn: sum]의 성질 이해하여 값 구하기

[해설] [eqn: sum _{k=1} ^{10} ` {k ^{3}} over {k ^{2} -k+1} `+` sum _{k=2} ^{10} ` {1} over {k ^{2} -k+1}]

[eqn: = sum _{ k=1} ^{10 }left{{(k+1)(k ^{2} -k+1)} over{ k ^{2} -k+1}right}-1]

[eqn: = sum _{k=1} ^{10} (k+1)-1=64]

16. [출제의도] 원리합계 문제해결하기

[해설] [eqn: 10(1.005)+10(1.005)^2 + CDOTS +10(1.005) ^{60}]

[eqn: = {10(1.005) left{ (1.005)^60 -1 right}} over {1.005-1} = 703.5](만 원)

그러므로 [eqn: 60]개월 후의 원리합계는 [eqn: 703]만 [eqn: 5]천 원이다.

17. [출제의도] 상용로그의 가수의 정의 이해하기

[해설] ㄱ. [eqn: f(x)]가 가수이므로 최솟값은 [eqn: f(10)=0] (참)

ㄴ. [eqn: f(20)+f(50)=1] (참)

ㄷ. [eqn: log x=1+alpha](단, [eqn: 0<=alpha<1])이라고 하면

[eqn: logx^n =n+n alpha], [eqn: 0<= n alpha<n]이고,

ⅰ) [eqn: 0<=n alpha<1]일 때,

[eqn: f(x^n )=n alpha], [eqn: n f(x)=n alpha]이므로

[eqn: f(x ^{n} )=n f(x)]

[eqn: THEREFORE][eqn: 0<=alpha< 1 overn]이고 [eqn: 1<= log x <1+ 1overn]

[eqn: THEREFORE][eqn: 10<=x<10^{1+ 1over n}]

ⅱ) [eqn: 1<=n alpha<n]일 때, [eqn: f(x ^{n} )=n alpha -[n alpha ]]

이고 [eqn: [n alpha]]의 값은 [eqn: 1,~2,~cdots,~n-1]이므로

[eqn: f(x ^{n} ) !=n f(x)]

[eqn: THEREFORE][eqn: 10<=x<10^{1+ 1over n}] (참)

18. [출제의도] 수리‘가’형 18번과 같음

19. [출제의도] 행렬을 이용하여 연립방정식 문제해결하기

[해설] [eqn: {pmatrix{a+2&`````b#-b&`````a}} LEFT ( pile{x#y} RIGHT ) = LEFT ( pile{0#0} RIGHT )]에서 [eqn: {pmatrix{a+2&`````b#-b&`````a}}]의 역행렬이 존재하지 않아야 하므로 [eqn: a(a+2)+b ^{2} =0]이다.

점[eqn: (a,````b)]는 원 [eqn: (a+1)^2 +b^2 =1]위의 점이다.

[eqn: a+b=k]라 하면 직선 [eqn: b=-a+k]가 원과 접할 때 최댓값과 최솟값을 가지므로 [eqn: M=-1 + sqrt2],

[eqn: m=-1- sqrt2]이다. 그러므로 [eqn: M^2 + m^2 = 6]이다.

[eqn: a]

[eqn: b]

[eqn: rm O]

[eqn: b=-a+k]

[eqn: (a+1) ^{2} +b ^{2} =1]

[eqn: -1]

20. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 식의 값 구하기

[해설] [eqn: {a +a ^{5}} over {a ^{-1} +a ^{-5}} =3]의 좌변의 분자, 분모에 [eqn: a^5]을 곱하면 [eqn: {a^6 +a ^{10}} over {a ^{4} + 1}={a^6 ( 1 +a ^{4})} over {a ^{4} + 1} =a^6 =3]이다.

[eqn: THEREFORE][eqn: {a ^{2} +a ^{4} +a ^{6}} over {a ^{-2} +a ^{-4} +a ^{-6}}``= {a ^{8} +a ^{10} +a ^{12}} over {a ^{4} +a ^{2} +1 }]

[eqn: ``= {a ^{8} (1+a ^{2} +a ^{4} )} over {a ^{4} +a ^{2} +1} =a ^{8} =(a ^{6} ) ^{{4} over {3}} = root {3} of {3^4}]

21. [출제의도] 여러 가지 수열의 일반항 추론하기

[해설] [eqn: f(1,~0)=2 TIMES1=2],

[eqn: f(2,~1)=3 TIMES2=6],

[eqn: CDOTS]

이므로 [eqn: f(k,~k-1)=(k+1) TIMES k=k^2 +k]이다.

[eqn: THEREFORE][eqn: sum _{ k=1} ^{10 }f(k,~k-1)=sum _{ k=1} ^{10 }(k^2 +k)=440]

22. [출제의도] 등차수열의 일반항 구하기

[해설] 공차를 [eqn: d]라 할 때,

[eqn: cases{ 2a _{ 1}+4d=14 # 2a _{ 1}+3d=11 }] 을 연립하면 [eqn: a_{ 1}=1,~d=3]이다.

[eqn: THEREFORE][eqn: a_{ 15}=43]

23. [출제의도] 수리‘가’형 23번과 같음

24. [출제의도] 상용로그의 지표 구하기

[해설] [eqn: 6^20 = a TIMES10^n]에서 [eqn: n]은 [eqn: log `6^20]의 지표이다.

[eqn: 20log6=20(log`2+log`3)=15.5620`]이므로

[eqn: 6^20]의 지표는 [eqn: 15]이다. [eqn: THEREFORE][eqn: n=15]

25. [출제의도] 수리‘가’형 25번과 같음

26. [출제의도] 수리‘가’형 26번과 같음

27. [출제의도] 역행렬이 존재하지 않을 조건을 이용하여 문제해결하기

[해설] 행렬 [eqn: P= pmatrix{`1&````m`#`a+3`&````b+3`}]이 역행렬 [eqn: P ^{-1}]를 갖지 않을 때, [eqn: (b+3)-m(a+3)=0]이다.

[eqn: THEREFORE][eqn: b=m(a+3)-3]

이를 좌표평면 위에 나타내면 항상 점[eqn: (-3,~-3)]을  지나는 직선이므로 [eqn: m]의 최댓값은 점[eqn: (-2,~0)]을 지날 때이다.

그러므로 [eqn: m]의 최댓값은 [eqn: 3]이다.

[eqn: a]

[eqn: b]

[eqn: 2]

[eqn: rm O]

[eqn: 2]

[eqn: |`a`|+|`b`|=2]

[eqn: (-3,~-3)]

28. [출제의도] 수열의 규칙성 파악하기

[해설] [eqn: x], [eqn: y`]의 좌표가 모두 정수인 순서쌍 [eqn: (x,~y)`]의 개수는

[eqn: x=1]일 때, [eqn: 0]개,

[eqn: x=2]일 때, [eqn: 1]개,

[eqn: x=3]일 때, [eqn: 1]개,

[eqn: x=4]일 때, [eqn: 2]개,

[eqn: CDOTS]

를 차례로 나열하면

[eqn: 0,~1,~1,~2,~3,~3,~4,~5,~5,~6,~cdots]이다.

[eqn: THEREFORE][eqn: 2 sum _{k=1} ^{9} (2k-1)+ sum _{k=1} ^{9} (2k)+19=271]

그러므로 [eqn: a]는 [eqn: 271]이다.

29. [출제의도] 수열의 합과 일반항의 관계 이해하기

[해설] [eqn: 3(a _{1} +a _{2} +` CDOTS `+a _{n} )=a _{n} `a _{n+1} `]…①

[eqn: 3(a _{1} +a _{2} +` CDOTS `+a _{n-1} )=a _{n-1} `a _{n} `]…②

이므로 ①[eqn: -]②에서

[eqn: 3a_n = (a_n+1 -a_n-1 )` a_n]

[eqn: THEREFORE][eqn: a_n+1 - a_n-1 =3]

한편 [eqn: 3a_1 =a_1`a_2]이므로 [eqn: a_2 =3]이다.

수열 [eqn: LEFT { `a_n` RIGHT }`]은 [eqn: 1,~3,~4,~6,~7,~9,~CDOTS] 이다.

그러므로 [eqn: a_2n = 3n]

[eqn: THEREFORE][eqn: a_30 =45]

30. [출제의도] 수리‘가’형 30번과 같음