2008학년도 10월 고2 학업성취도평가

정답 및 해설

고 2	정답 및 해설	2008학년도 10월 학업성취도평가

2008학년도 10월 학업성취도평가	정답 및 해설	고 2

4

수리 영역

“가”형 정답

1	②	2	②	3	①	4	②	5	⑤
6	①	7	④	8	③	9	⑤	10	④
11	②	12	③	13	⑤	14	①	15	①
16	③	17	⑤	18	④	19	①	20	④
21	③	22	[eqn: 25]	23	[eqn: 11]	24	[eqn: 20]	25	[eqn: 81]
26	[eqn: 178]	27	[eqn: 14]	28	[eqn: 813]	29	[eqn: 50]	30	[eqn: 48]

해설

1. [출제의도] 간단한 지수 계산하기

[eqn: 2 ^{{4} over {5}} ÷2 ^{{3} over {10}}=2 ^{{8-3} over {10}}= sqrt {2 }]

2. [출제의도] 행렬의 연산 이해하기

[eqn: AB= pmatrix{`1``````&2`#`2``````&3`} ` pmatrix{`1```&-1`#`2```&-2`} ``=` pmatrix{`5```&-5`#`8```&-8} `]이므로

[eqn: AB-A= pmatrix{`4`````&-7`#`6``````&-11`}]의 모든 성분의 합은 [eqn: -8]

3. [출제의도] 등비수열의 항 계산하기

[eqn: a_2`=`ar`=`6]이고, [eqn: a_5`=`ar^4`=`162]

[eqn: a_5` DIVIDEa_2`=`r^3`=`162DIVIDE6`=`27]이므로 [eqn: r^3`=`27]

따라서 [eqn: r=`3]이므로 [eqn: a=2]

[eqn: a_4`=`ar^3`=`2 TIMES3^3`=`54]

4. [출제의도] 근호가 있는 수열의 극한값 계산하기

[eqn: lim _{n -> INF } { sqrt { n^2`+2n-1} -n} over {3 }]   [eqn: =lim _{n -> INF } { (sqrt { n^2`+2n-1} -n)(sqrt { n^2`+2n-1} +n)} over {3(sqrt { n^2`+2n-1} +n) }]

[eqn: =lim _{n -> INF } { 2n-1} over {3(sqrt { n^2`+2n-1} +n) }`=` { 1} over {3 }]

5. [출제의도] 간단한 로그 계산하기

[eqn: log _{4} root {3} of {81} + {1} over {log _{3} root {4} of {8}} ``=`log``_{2^2} `3^ {{ 4} over {3 }}`+log``_{2^ {{ 3} over {4 }}} `3]

[eqn: ={ 2} over {3 } rm log``_{2} `3`+ { 4} over { 3} log``_2 `3`=`2`log``_2`3]

6. [출제의도] 행렬의 성분 이해하기

[eqn: a_11`=`1◎1`=`1-2+1=0]

[eqn: a_12`=`1◎2`=`1-4+1=-2]

[eqn: a_21`=`2◎1`=`2-2+1=1]

[eqn: a_22`=`2◎2`=`2-4+1=-1]

따라서 모든 성분의 합은 [eqn: -2]

7. [출제의도] 등비수열의 극한 이해하기

[eqn: lim _{n -> INF } {{4 ^{n+1} -3 ^{n+1} +5} over {2 ^{2n+3} +3 ^{n}}} `]

[eqn: = lim _{n -> INF } {{4- {3 ^{n+1}} over {4 ^{n}} + {5} over {4 ^{n}}} over {8+ {3 ^{n}} over {4 ^{n}}}} `=` {1} over {2}]

8.  [출제의도] 등차수열 합의 성질 이해하기

등차수열을 이루는 9개의 수의 합은

[eqn: rm{ 9(A+17C)} over { 2}={ 9(2B+10B)} over { 2}=54B=162]

따라서 [eqn: rm B=3]

9. [출제의도] 로그의 지표의 성질 이해하기

[eqn: 2 ^{n`}` <= x<2^n+1]일 때, [eqn: a _{n} `=`2^n+1`-2 ^{n}=2^n]

[eqn: 3 ^{n-1`}` <= x<3^n]일 때, [eqn: b _{n} `=`3^n`-3^n-1`=`2 ․ 3 ^{n-1}]

따라서 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {a _{n}} over {b _{n}} `=` sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{n-1} `= {1} over {1- {2} over {3}} `=`3]

10. [출제의도] 지수방정식과 행렬의 수학 내적문제 해결하기

연립방정식이 [eqn: x=y=0`]이외의 해를 가지므로

행렬  [eqn: pmatrix{2 ^{a} -8````&2 ^{b-1} -12#4&-2}]의 역행렬이 존재하지 않는다.

따라서 [eqn: (2 ^{a} `-8) TIMES (-2)-(2 ^{b-1} -12) TIMES 4=0]이고, [eqn: 2 ^{a} `+2 ^{b} =32]

산술·기하 평균의 관계에 의하여

[eqn: 32=2 ^{a} `+2 ^{b} >= 2 sqrt {2 ^{a+b}}]이므로

[eqn: 8 >= a+b]

따라서 [eqn: a+b]의 최댓값은 [eqn: 8]

11. [출제의도] 수열의 극한과 무한급수의 성질 이해하기

ㄱ. [eqn: lim _{n -> INF } {b _{n} =0}]이고, [eqn: lim _{n -> INF } {a _{n} = alpha ( != 0} )]이면

[eqn: lim _{n -> INF } {{a _{n}} over {b _{n}}}]은 발산한다. (거짓)

ㄴ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } (-1) ^{n} a _{n}]가 수렴하면

[eqn: lim _{n -> INF } {(-1) ^{n} a _{n}} `=`0]이므로 [eqn: lim _{n -> INF } {a _{n``} =0}]이다. (참)

ㄷ. (반례) 수열 [eqn: left{a _{n}right }``:``{1,`0,`1,`0,`1,`0`, CDOTS }] 일 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n}]은 발산하지만 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{2n} =0]이다. (거짓)

12. [출제의도] 등차수열을 이용한 수학 내적문제 해결하기

넓이는 [eqn: { 1} over {2 } TIMES | `` b `` | TIMES ` LEFT | ``{ b} over {a } ``RIGHT | ``=32]이므로

[eqn: b^2`=`64 LEFT | ``a``RIGHT |]

[eqn: bar{rm A _{{it k}}B _{{it k}}`}=` LEFT | ``{ k-b} over { a}- { -k-b} over {a }``RIGHT | = LEFT | ``{ 2k} over {a }``RIGHT |]이므로

[eqn: sum _{ k=1} ^{10 }bar{rmA_{itk} B_{itk}}`=` { 2} over { LEFT | ``a ``RIGHT | }+ { 4} over { LEFT | ``a ``RIGHT |}+ { 6} over { LEFT | ``a ``RIGHT |}+ CDOTS+ { 20} over {LEFT | ``a ``RIGHT | }`=`110]

[eqn: LEFT | ``a`` RIGHT |`=`1]이고 [eqn: b`^2 =64]

따라서 [eqn: a^2`+b^2`=`65]

13. [출제의도] 수열의 극한 추론하기

삼각형 [eqn: rm A it rm _{n} rm A it rm _{n-1} rm ` rm B it rm _{n} `]과 삼각형 [eqn: rm A it rm _{n+1} rm A it rm _{n} rm ` rm B it rm _{n+1} `]이 닮은 도형이므로 대응하는 변의 길이의 비는 [eqn: 2:1]이다.

점 [eqn: rmA_{itn}]의 [eqn: x]좌표는

[eqn: 4+4× { 1} over {2 }+4×left( { 1} over {2 }right)^2 +`` CDOTS`` +`4×left( { 1} over {2 }right)^n-1] [eqn: ={4left{1-left( { 1} over {2 } right)^n`right}`} over {1- { 1} over {2 } }`=`8left{1-left( { 1} over { 2}right)^n`right}]

점 [eqn: rmA_{itn-1}]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: `8left{1-left( { 1} over { 2}right)^n-1`right}]

점 [eqn: rmB_{itn}]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 8left{1-left( { 1} over { 2}right)^n-1`right} +2×left( { 1} over { 2}right)^n-1`]

[eqn: y]좌표는 [eqn: 8left{1-left( { 1} over { 2}right)^n-1`right}]

따라서 삼각형 [eqn: rm A it rm _{n} rm A it rm _{n-1} rm ` rm B it rm _{n} `]의 무게중심의 [eqn: x]좌표는

[eqn: { 1} over {3 } left[8left{1-left({ 1} over {2 }right)^n`right}+ 16left{1-left( { 1} over { 2}right)^n-1`right} +2×left( { 1} over { 2}right)^n-1`right]]

이고 [eqn: y]좌표는

[eqn: { 1} over {3 } left[8left{1- left({ 1} over {2 }right)^n`right}+ 16left{1-left( { 1} over { 2}right)^n-1`right} `right]]이다.

[eqn: x]좌표의 극한값 [eqn: alpha=8]이고 [eqn: y]좌표의 극한값 [eqn: beta=8]이므로 [eqn: alpha+ beta=16]

(별해)

삼각형 [eqn: rm A it rm _{n} rm A it rm _{n-1} rm ` rm B it rm _{n} `]과 삼각형 [eqn: rm A it rm _{n+1} rm A it rm _{n} rm ` rm B it rm _{n+1} `]이 닮음이므로 각 삼각형의 무게중심은 한 직선위에 있다.[eqn: TRIANGLE rmA_1`OB_1]과 [eqn: TRIANGLE rmA_2`A_1`B_2]의 무게중심좌표는 각 각 [eqn: left(`2,`` { 4} over {3 }``right)], [eqn: left(`5,`` {1 4} over {3 }``right)]이므로 두 점을 지나는 직선의 방정식은 [eqn: y= { 10} over { 9}x- { 8} over { 9}]

따라서 [eqn: y=x]와 [eqn: y= { 10} over { 9}x- { 8} over { 9}]의 교점은 [eqn: (8,```8)]

14. [출제의도] 수학적귀납법을 이용하여 부등식 추론하기

(ⅰ) [eqn: n=1] 일 때, (좌변)[eqn: ={ 1} over {2 }``<``1=](우변) 이므로 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=k] 일 때 성립한다고 가정하면

[eqn: {1+2 ^{2} +3 ^{3} +…+k ^{k}} over {(k+1) ^{k}} <1]

이므로   [eqn: 1+2 ^{2} +3 ^{3} +…+k ^{k} <(k+1) ^{k}] 이다.

이 때, [eqn: {1+2 ^{2} +3 ^{3} +…+k ^{k} +(k+1)^k+1 } over {(k+2) ^{k+1}}]

[eqn: < { (k+1)^k + (k+1)^k+1 } over {(k+2)^k+1 }]

[eqn: = { (k+1)^k (k+2) } over {(k+2)^k+1 }]

[eqn: =left( {k+1} over {k+2} right) ^{k} `````<`````1]

그러므로  [eqn: n=k+1] 일 때도 성립한다.

따라서 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 주어진 부등식은 성립한다.

15. [출제의도] 무한수열의 극한을 이용한 수학 내적문제 해결하기

직각삼각형 [eqn: rmO_{itn} O_{itn} ' P_{itn}]에 대하여 [eqn: l_n]은 두 원의 반지름의 합과 같으므로

[eqn: rm overline {O_{itn} P_{itn}}` = `{`it2n -l_n}```, ```````` overline {O_{itn} ' P_{itn} }`=it3``n - l_n]

[eqn: (2n`-`l _{n} ) ^2 +(3n - l_n )^2 =( l_n ) ^2]

[eqn: rm C it]

[eqn: rm O it _{n} `]

[eqn: 3n`]

[eqn: rm D it]

[eqn: rm B it]

[eqn: rm A it]

[eqn: 2n`]

[eqn: rm O it _{n} prime `]

[eqn: rmP _{it n}]

[eqn: (l_n )^2 - 10n ``․ ``l_n + 13 n^2 = 0]

[eqn: THEREFORE````l_n = 5n - 2 sqrt { 3}n]

[eqn: THEREFORE ``` lim _{ n->inf} { { l_n - 5n} over {n+1 } }= lim _{ n->inf} { { -2 sqrt { 3}n } over {n+1 } }= -2 sqrt { 3}]

16. [출제의도] 등비수열을 이용한 수학 내적문제 해결하기

세 실근을 [eqn: alpha ,``` 2alpha ,``` 4alpha]라 놓으면

[eqn: rmO]

[eqn: alpha]

[eqn: y]

[eqn: 2 alpha]

[eqn: 4 alpha]

[eqn: x]

[eqn: -log _{2} alpha =a alpha +b]  …  ①

[eqn: log _{2} 2 alpha =2a alpha +b]  …  ②

[eqn: log _{2} 4 alpha =4a alpha +b]  …  ③

①식과 ②식을 더하면 [eqn: 3a alpha+2b=1]

①식과 ③식을 더하면 [eqn: 5a alpha+2b=2]

따라서 [eqn: b=- { 1} over { 4}]

17. [출제의도] 행렬의 연산법칙을 이용하여 연역적 추론하기

ㄱ. [eqn: A ^{3} = E]이므로 [eqn: a=-1] (참)

ㄴ. [eqn: A^2 + A+E =O]

[eqn: A(-A-E)`=`E]

[eqn: A]의 역행렬은 [eqn: -A -E] (참)

ㄷ. [eqn: (A^2`+E)^10 = (-A )^10 =A]이므로 모든 성분의 합은 [eqn: -1] (참)

18. [출제의도] 상용로그를 이용한 수학 외적문제 해결하기

현재의 유가를 [eqn: a]라 하면

[eqn: a left(1+ 0.05`right)^n`≧2a]

[eqn: n log`1.05`≧log```2]

[eqn: n`≧ { log```2} over { log`1.05} =15]

따라서 [eqn: 15]개월

19. [출제의도] 상용로그의 가수의 성질을 이용한 수학 내적문제 해결하기

[eqn: log` x=m+ alpha](단, [eqn: m]은 정수, [eqn: 0≦alpha<1])라 하면

[eqn: [[log `x] -log`x]`= LEFT [ ``- alpha`` RIGHT ]]이므로 [eqn: f(x)]의 치역은 [eqn: left{-1`,```0 right}`]

[eqn: -1`< a<0]이므로 방정식 [eqn: f(x)`=`ax]의 실근이 없는 경우는 [eqn: y=ax`]의 그래프가 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: (10^n`,```-1)]을 지날 때이다.

따라서 실근이 존재하지 않기 위한 기울기 [eqn: a`]의 값은 [eqn: - 1 over 10^n `]이므로 모든 [eqn: a`]의 값들의 합은 [eqn: sum _{ n=1} ^{ inf}left( - 1 over 10^n`right)`` =````` - 1 over 9]

20. [출제의도] 역행렬이 존재하지 않을 조건을 이용한 수학 내적문제 해결하기

역행렬이 존재하지 않으므로 [eqn: ad-bc=0]

ⅰ) [eqn: rm A( it +-3 ,```0)]이면 [eqn: rmB( -+3 ,``0)] (복호동순)

ⅱ) [eqn: rm A(0,```+-3 )]이면 [eqn: rmB( 0,``-+3)] (복호동순)

ⅲ) [eqn: 0]이 아닌 [eqn: a,``b,``c,``d]에 대해서 [eqn: ad-bc=0]

이면 [eqn: {a} over {b}`=` { c} over {d }]

따라서 두 점 [eqn: rmA,```B]는 원 위의 점이고 두 점은 원점 대칭이므로 [eqn: rm B it (c`,```d)`= rm B it (-a`,```-b)]

그러므로 점 [eqn: rm C it ( alpha `,``` beta )`]라 하면 ⅰ), ⅱ), ⅲ)의 모든 경우에 [eqn: rm TRIANGLE ABC`]의 무게중심의 좌표 [eqn: rm (X,Y)]는 [eqn: LEFT ( {alpha } over {3} `,``` {beta } over {3} RIGHT ) `]

[eqn: rm alpha=3X,``` beta=3Y]를 원 [eqn: x^2`+y^2`=9]에 대입하면, [eqn: rmX ^{2} +Y ^{2} =1`]이므로 길이는 [eqn: 2 pi `]

21. [출제의도] 점의 대칭이동에 대한 귀납적 추론하기

삼각형의 세 점을 [eqn: rmA({ita,b}),B({itc,d}),C({ite,f})]라 하자.

대칭점 [eqn: rmP _ {iti} (itx _{iti} `,`y _{iti} )]의 [eqn: x]좌표를 차례대로 구하면

[eqn: x _{1} =2a-x _{0}# x _{2} =2c-x _{1}# x _{3} =2e-x _{2}# x _{4} =2a-x _{3}# x _{5} =2c-x _{4}# x _{6} =2e-x _{5} `=2e-2c+2a-2e+2c-2a+x _{0} #``````````=x_0]

⋮

같은 방법으로 [eqn: y_6`=`y_0]

따라서 [eqn: rmP _{iti} =P _{iti+6} ``]이므로

ㄱ. 두 점 [eqn: rmP _{0}]와 [eqn: rmP _{6}]의 좌표는 같다. (참)

ㄴ. [eqn: rm bar{P _{18} P _{19}} = bar{P _{0} P _{1}}] 의 중점은 점 [eqn: rmA] (거짓)

ㄷ. [eqn: rm bar{P _{1} P _{5}} `=` bar{P _{it6m+1} P _{it6n-1}} ````(itm,``n]은 자연수[eqn: )] (참)

22. [출제의도] 간단한 로그 계산하기

[eqn: 2 ^{log _{sqrt {2}} 5} `=2 ^{2log _{2} 5} `=`5 ^{2} `=25]

23. [출제의도] 행렬의 연산 이해하기

[eqn: AX=BX+E`]에서 [eqn: (A-B)X=E]이므로

[eqn: X=(A-B)^-1`= pmatrix { 2```& ```1#5``` &```3 }]

따라서 모든 성분의 합은 [eqn: 11]

24. [출제의도] 부등식의 해를 이용한 수학 내적문제 해결하기

[eqn: LEFT ( 4 ^{a} +8 RIGHT ) x+ {1} over {2} <3`․`2 ^{a+1} `x+log _{2} ``a`]

[eqn: LEFT { (2 ^{a})^2 -6``․``2^a`+8 RIGHT } x+ {1} over {2} -log _{2} ``a`<0]이 모든 실수

[eqn: x]에 대하여 성립하려면

[eqn: (2 ^{a})^2 -6``․``2^a`+8 RIGHT =0]이고 [eqn: {1} over {2} -log _{2} ``a`<0]

[eqn: 2^a`=2`````또는 ````2^a`=4 ``이고````a> sqrt { 2}]이므로

[eqn: 10a=20]

25. [출제의도] 지수부등식 이해하기

[eqn: 2^x`>3]이므로 [eqn: x>log```_2``3]

[eqn: 3^x`<a]이므로 [eqn: x<log```_3``a]

따라서 [eqn: log``_2 3<x<log```_3``a]

정수해가 2개이려면 [eqn: 27<a≦81]이므로 [eqn: a]의 최댓값은 81

26. [출제의도] 삼각함수 성질을 이용한 수학 내적문제 해결하기

[eqn: sum _{ i=1} ^{89 }bar{rmP_{iti}`H_{iti}} =sin``1 DEG +sin``2 DEG + CDOTS +sin``89 DEG]

[eqn: rm{bar{P _{iti} A}}^2 =sin ^{2`} `{i DEG }+(1-cos ``{i DEG } ) ^{2}# ````````````````````=2-2cos ``{i DEG }]

[eqn: sum _{ i=1} ^{89 }bar{rmP_{iti}`A}`^2]

[eqn: =2 TIMES 89-2(cos``1 DEG +cos``2 DEG + CDOTS +cos``89 DEG )]

이므로 [eqn: 2sum _{ i=1} ^{89 }bar{rmP_{iti}`H_{iti}}+sum _{ i=1} ^{89 }bar{rmP_{iti}`A}`^2 =178]

27. [출제의도] 등차수열을 이용한 수학 내적문제 해결하기

근과 계수의 관계에 의해 [eqn: a+b+c`= {3b} over {a}]  …  ①

[eqn: ab+bc+ca`= {11c} over {3a}] …  ② ,  [eqn: abc=6]  …  ③

또, [eqn: a,``b,``c]가 이 순서대로 등차수열을 이루므로 [eqn: 2b=a+c] …  ④

①식과 ④식에 의해 [eqn: b=0] 또는 [eqn: a=1]

[eqn: b=0]을 ③식에 대입하면 모순이므로 [eqn: a=1]

[eqn: a=1,``b=1+d,``c=1+2d]을 ③식에 대입하면

[eqn: d= -{5 } over {2 }]또는 [eqn: d=1]

[eqn: d= -{5 } over {2 }]을 ②식에 대입하면 모순이므로 [eqn: d=1]

따라서 [eqn: a=1,``b=2,``c=3]이고

[eqn: a^2`+b^2`+c^2`=14]

28. [출제의도] 수열의 일반항 추론하기

[eqn: a_1`=`1], [eqn: a_2`=`1+3 TIMES4], [eqn: a_3`=`1+3 TIMES4+5 TIMES8]

[eqn: a_4`=`1+3 TIMES4+5 TIMES8+7 TIMES12]

⋮

[eqn: a_n`=1+3 TIMES4+5 TIMES8+` CDOTS`+(2n-1) TIMES4(n-1)]

이므로

[eqn: a_7 = 1``+ ``sum _{ k=2} ^{7}(2k-1) TIMES4(k-1)]

[eqn: = 1``+ ``sum _{ k=1} ^{ 7}(2k-1) TIMES4(k-1)]

[eqn: = 1``+ ``4sum _{ k=1} ^{ 7}(2k^2`-3k+1)`]

[eqn: =813]

29. [출제의도] 상용로그의 성질을 이용한 수학 내적문제 해결하기

[eqn: log```x`=1+ { 1} over { alpha } `,```log```y`=1+ { 1} over { beta }] …  ①

([eqn: alpha,``` beta]는 [eqn: 1]이 아닌 자연수)라 하자.

[eqn: {x ^{4}} over {y ^{2}} `=1000`]의 양변에 상용로그를 취하면

[eqn: 4log ``x``-2log ``y``=3]이고 ①식을 대입하여 정리하면 [eqn: 4beta- alpha beta-2 alpha=0]이므로

[eqn: (4- alpha)( beta+2)=8]

따라서 [eqn: alpha,``` beta]가 자연수이므로 [eqn: alpha=2] 또는 [eqn: alpha=3]

[eqn: alpha=2]이면 [eqn: beta =2]이고, [eqn: alpha=3]이면 [eqn: beta =6]

그런데 [eqn: alpha ,``` beta]는 서로 다른 자연수이므로 [eqn: alpha=3],  [eqn: beta =6]

[eqn: 20(log```x+log```y)`=20 TIMES left(1+ {1} over {3} +1+ {1} over {6} right)`=`50]

30. [출제의도] 수열을 이용한 수학 외적문제 해결하기

[eqn: 210= {20 TIMES 21} over {2}]이므로 [eqn: 210]번째 카드의 숫자는 [eqn: 20]이다.

[eqn: 210]번째 카드까지 홀수인 항들을 나열하면

이고

[eqn: 1,`3,`3,`3,`5,`5,`5,`5,`5,` CDOTS `,19,` CDOTS `,19]

[eqn: 19]개

항의 개수는 [eqn: 100]개

[eqn: 210]번째 카드까지 짝수인 항들을 나열하면

이고

[eqn: 2,`2,`4,`4,`4,`4,`6`,`6,`6,`6,`6,`6,` CDOTS `,20,` CDOTS `,20]

[eqn: 20]개

항의 개수는 [eqn: 110]개

따라서 움직인 총시간은 [eqn: 100 TIMES 3+110 TIMES 2=520]분이고 시계가 가리키는 시각은 [eqn: 8]시간 [eqn: 40]분

그러므로 [eqn: a+b=48]

“나”형 정답

1	②	2	②	3	①	4	④	5	⑤
6	①	7	③	8	③	9	①	10	②
11	⑤	12	③	13	④	14	①	15	③
16	②	17	⑤	18	④	19	⑤	20	④
21	③	22	[eqn: 25]	23	[eqn: 11]	24	[eqn: 42]	25	[eqn: 64]
26	[eqn: 178]	27	[eqn: 14]	28	[eqn: 813]	29	[eqn: 50]	30	[eqn: 48]

해설

1. [출제의도] 간단한 지수 계산하기

[eqn: 2 ^{{4} over {5}} ÷2 ^{{3} over {10}}=2 ^{{8-3} over {10}}= sqrt {2 }]

2. [출제의도] 행렬의 연산 이해하기

[eqn: AB= pmatrix{`1``````&2`#`2``````&3`} ` pmatrix{`1```&-1`#`2```&-2`} ``=` pmatrix{`5```&-5`#`8```&-8} `]이므로

[eqn: AB-A= pmatrix{`4`````&-7`#`6``````&-11`}]의 모든 성분의 합은 [eqn: -8]

3. [출제의도] 등비수열의 항 계산하기

[eqn: a_2`=`ar`=`6]이고, [eqn: a_5`=`ar^4`=`162]

[eqn: a_5` DIVIDEa_2`=`r^3`=`162DIVIDE6`=`27]이므로 [eqn: r^3`=`27]

따라서 [eqn: r=`3]이므로 [eqn: a=2]

[eqn: a_4`=`ar^3`=`2 TIMES3^3`=`54]

4. [출제의도] 이차방정식의 근과 계수의 관계 이해하기

이차방정식 [eqn: x ^{2} +ax+b=0] 의 두 근을 [eqn: alpha `,` beta] 라고 할 때, [eqn: alpha + beta =-a``,` alpha beta =b]

[eqn: ( sqrt {alpha } + sqrt {beta } ) ^{2```} =` alpha + beta +2 sqrt {alpha } sqrt {beta } =-5-2 sqrt {3}]

즉, [eqn: sqrt {alpha } sqrt {beta } =- sqrt {alpha beta }]

[eqn: a+b=5+3`=8]

5. [출제의도] 간단한 로그 계산하기

[eqn: log _{4} root {3} of {81} + {1} over {log _{3} root {4} of {8}} ``=`log``_{2^2} `3^ {{ 4} over {3 }}`+log``_{2^ {{ 3} over {4 }}} `3]

[eqn: ={ 2} over {3 } rm log``_{2} `3`+ { 4} over { 3} log``_2 `3`=`2`log``_2`3]

6. [출제의도] 행렬의 성분 이해하기

[eqn: a_11`=`1◎1`=`1-2+1=0]

[eqn: a_12`=`1◎2`=`1-4+1=-2]

[eqn: a_21`=`2◎1`=`2-2+1=1]

[eqn: a_22`=`2◎2`=`2-4+1=-1]

따라서 모든 성분의 합은 [eqn: -2]

7. [출제의도] 역행렬의 성질을 이용한 수학 내적문제 해결하기

연립방정식 [eqn: rm A` pmatrix{it ``x-2``#``y-2``} = pmatrix{it ``x-2``#``y-2``}]은

[eqn: rm pmatrix { ```````it k`````&1# `````-1``````&k-3 } ` pmatrix{it ``x-2``#``y-2``} = pmatrix{it ``0``#``0``}]

[eqn: x=y=2]이외의 해를 가지므로 해가 무수히 많다.

따라서 [eqn: rm pmatrix { ```````it k`````&1# `````-1``````&k-3 } `]의 역행렬이 존재하지 않으므로 [eqn: k(k-3)+1=0]

상수 [eqn: k]값들의 합은 [eqn: 3]

8. [출제의도] 등차수열 합의 성질 이해하기

등차수열을 이루는 9개의 숫자의 합은

[eqn: rm{ 9(A+17C)} over { 2}={ 9(2B+10B)} over { 2}=54B=162]

따라서 [eqn: rm B=3]

9. [출제의도] 행렬의 연산을 이용한 수학 내적문제 해결하기

[eqn: A`^2`=`9E]

[eqn: `pmatrix{``x+y&``-2x#y&``````-(x+y)``}`pmatrix{``x+y&``-2x#y&``````-(x+y)``} =`pmatrix{``9&``0``#````0``&``9``}]

이므로 [eqn: x^2`+y^2`=9]

[eqn: x-y=k]라 하면 직선 [eqn: x-y-k=0]과 원점 사이의 거리가 [eqn: 3]이하이므로

[eqn: -3 sqrt { 2}≦k≦3 sqrt { 2}]

최댓값과 최솟값의 곱은 [eqn: -18]

10. [출제의도] 이차부등식 이해하기

이차부등식 [eqn: ax ^{2} +bx+c>0]의 해가

[eqn: 0< alpha <x< beta]이므로

[eqn: ax ^{2} +bx+c=a(x- alpha)(x- beta)>0], [eqn: a<0]

[eqn: THEREFORE``b=-a( alpha+ beta),```c=a`alpha beta<0]

[eqn: cx ^{2} +bx+a=a alpha betax^2`-a (alpha+ beta)x+a]

[eqn: =a( alphax-1)( betax-1)]이므로

[eqn: cx ^{2} +bx+a<0]의 해는  [eqn: x< {1} over {beta } ```또는`` `x>{1} over {alpha }]

11. [출제의도] 행렬의 거듭제곱을 이용한 수학 내적문제 해결하기

[eqn: A^n`= pmatrix{it `1`````&0``#``1-2^n`````&2^n``} `]이므로 행렬 [eqn: A^n]([eqn: n≧1])의 모든 성분의 합은 [eqn: 2]

따라서 [eqn: A+3A ^{2} +5A ^{3} +` CDOTS `+39A ^{20} `]의 모든 성분의 합은

[eqn: 2+6+10+`` CDOTS``+78= { 20(2+78)} over { 2}=800]

12. [출제의도] 등차수열을 이용한 수학 내적문제 해결하기

넓이는 [eqn: { 1} over {2 } TIMES | `` b `` | TIMES ` LEFT | ``{ b} over {a } ``RIGHT | ``=32]이므로

[eqn: b^2`=`64 LEFT | ``a``RIGHT |]

[eqn: bar{rm A _{{it k}}B _{{it k}}`}=` LEFT | ``{ k-b} over { a}- { -k-b} over {a }``RIGHT | = LEFT | ``{ 2k} over {a }``RIGHT |]이므로

[eqn: sum _{ k=1} ^{10 }bar{rmA_{itk} B_{itk}}`=` { 2} over { LEFT | ``a ``RIGHT | }+ { 4} over { LEFT | ``a ``RIGHT |}+ { 6} over { LEFT | ``a ``RIGHT |}+ CDOTS+ { 20} over {LEFT | ``a ``RIGHT | }`=`110]

[eqn: LEFT | ``a`` RIGHT |`=`1]이고 [eqn: b`^2 =64]

따라서 [eqn: a^2`+b^2`=`65]

13. [출제의도] 행렬을 이용한 수학 외적문제 해결하기

[eqn: n]이 홀수일 때

	[eqn: rmA]	[eqn: rmB]
[eqn: (n-1)]번 시행 후	[eqn: a_n-1]	[eqn: b_n-1]
[eqn: n]번 시행 후	[eqn: a_n-1`-b_n-1]	[eqn: 2b_n-1]

[eqn: pmatrix { ``a_n`` #``b_n`` }`=` pmatrix {`` 1& ``-1``# ````0``&`````````2 ``}pmatrix { ``a_n-1`` #``b_n-1` }], [eqn: X_n`=`pmatrix {`` 1& ``-1``# ````0``&`````````2 ``}]

[eqn: n]이 짝수일 때

	[eqn: rmA]	[eqn: rmB]
[eqn: (n-1)]번 시행 후	[eqn: a_n-1]	[eqn: b_n-1]
[eqn: n]번 시행 후	[eqn: 2a_n-1]	[eqn: b_n-1`-a_n-1]

[eqn: pmatrix { ``a_n`` #``b_n`` }`=` pmatrix {`` ````2& ``0``# `-1``&```1 ``}pmatrix { ``a_n-1`` #``b_n-1` }], [eqn: X_n`=`pmatrix {`` ````2& ``0``# `-1``&```1 ``}]

[eqn: X_2008``+X_2007`]

[eqn: =pmatrix {`` 1& ``-1``# ````0``&`````````2 ``}`+`pmatrix {`` ````2& ``0``# `-1``&```1 ``}=`pmatrix {`` ````3& ``-1``# `-1``&````````3 ``}]

따라서 모든 성분의 합은 [eqn: 4]

14. [출제의도] 수학적귀납법을 이용하여 부등식 추론하기

(ⅰ) [eqn: n=1] 일 때, (좌변)[eqn: ={ 1} over {2 }``<``1=](우변) 이므로 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=k] 일 때 성립한다고 가정하면

[eqn: {1+2 ^{2} +3 ^{3} +…+k ^{k}} over {(k+1) ^{k}} <1]

이므로   [eqn: 1+2 ^{2} +3 ^{3} +…+k ^{k} <(k+1) ^{k}] 이다.

이 때, [eqn: {1+2 ^{2} +3 ^{3} +…+k ^{k} +(k+1)^k+1 } over {(k+2) ^{k+1}}]

[eqn: < { (k+1)^k + (k+1)^k+1 } over {(k+2)^k+1 }]

[eqn: = { (k+1)^k (k+2) } over {(k+2)^k+1 }]

[eqn: =left( {k+1} over {k+2} right) ^{k} `````<`````1]

그러므로  [eqn: n=k+1] 일 때도 성립한다.

따라서 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 주어진 부등식은 성립한다.

15. [출제의도] 상용로그의 가수의 성질 이해하기

[eqn: log` x = m+ alpha`]([eqn: m`]은 정수, [eqn: 0<= alpha <1`])

[eqn: log` y = n``+ ``beta`]([eqn: `n``]은 정수, [eqn: 0<= beta <1`])라 하면,

[eqn: log ` x over y = (m-n)+(alpha- beta)`]에서 가수가 [eqn: beta- alpha`]이므로 [eqn: 1+(alpha - beta) = beta- alpha`]

[eqn: THEREFORE`` beta`=` alpha+ { 1} over { 2}]

[eqn: log ` xy = (m+n)+(alpha+ beta)`]에서 가수가

[eqn: alpha + beta -1`]이므로 [eqn: 1 <= alpha+beta < 2`]

따라서 정리하면 [eqn: {1} over {4} <= alpha < {1} over {2} `]

16. [출제의도] 수열의 성질을 이용한 수학 내적문제 해결하기

[eqn: b^2`=`ac],

[eqn: { 1} over { 2} `log `` b={ 1} over { 2} `log `` a``+``{ 1} over { 8} `log `` c]이므로 [eqn: a^4`c=`b^4]

따라서 [eqn: a^2`=`c]이므로 [eqn: b=a sqrt { a}]

[eqn: `THEREFORE````` log`_c `` ab = { 5} over {4 }]

17. [출제의도] 행렬의 연산법칙을 이용하여 연역적 추론하기

ㄱ. [eqn: A ^{3} = E]이므로 [eqn: a=-1] (참)

ㄴ. [eqn: A^2 + A+E =O]

[eqn: A(-A-E)`=`E]

[eqn: A]의 역행렬은 [eqn: -A -E] (참)

ㄷ. [eqn: (A^2`+E)^10 = (-A )^10 =A]이므로 모든 성분의 합은 [eqn: -1] (참)

18. [출제의도] 상용로그를 이용한 수학 외적문제 해결하기

현재의 유가를 [eqn: a]라 하면

[eqn: a left(1+ 0.05`right)^n`≧2a]

[eqn: n log`1.05`≧log```2]

[eqn: n`≧ { log```2} over { log`1.05} =15]

따라서 [eqn: 15]개월

19. [출제의도] 수열의 귀납적 정의 추론하기

[eqn: a_n+1 -a_n = b_n] 이라 할 때,

수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]의 계차수열 [eqn: LEFT { b_n RIGHT }]은

[eqn: b_n = cases{ -2 ``````(n≦4) #``````0```````(n=5) #``````2```````(n≧6) }]

그러므로 [eqn: a_n = cases{ -2n + 13`````````(n≦5) # `````````2n -9 ```````````(n≧6) }]

[eqn: LEFT { a_n` RIGHT }: 11,``9,``7,``5,``3,``3,``5,``7,``9,``11,``13,``15,``…]

ㄱ. [eqn: a _{3`}=`7]  (참)

ㄴ. [eqn: a_n]의 최솟값은 3  (참)

ㄷ. [eqn: sum _{ k=6} ^{20 }a_k`=` sum _{ k=6} ^{20 }(2k-9)=255]  (참)

20. [출제의도] 역행렬이 존재하지 않을 조건을 이용한 수학 내적문제 해결하기

역행렬이 존재하지 않으므로 [eqn: ad-bc=0]

ⅰ) [eqn: rm A( it +-3 ,```0)]이면 [eqn: rmB( -+3 ,``0)] (복호동순)

ⅱ) [eqn: rm A(0,```+-3 )]이면 [eqn: rmB( 0,``-+3)] (복호동순)

ⅲ) [eqn: 0]이 아닌 [eqn: a,``b,``c,``d]에 대해서 [eqn: ad-bc=0]

이면 [eqn: {a} over {b}`=` { c} over {d }]

따라서 두 점 [eqn: rmA,```B]는 원 위의 점이고 두 점은 원점 대칭이므로 [eqn: rm B it (c`,```d)`= rm B it (-a`,```-b)]

그러므로 점 [eqn: rm C it ( alpha `,``` beta )`]라 하면 ⅰ), ⅱ), ⅲ)의 모든 경우에 [eqn: rm TRIANGLE ABC`]의 무게중심의 좌표 [eqn: rm (X,Y)]는 [eqn: LEFT ( {alpha } over {3} `,``` {beta } over {3} RIGHT ) `]

[eqn: rm alpha=3X,``` beta=3Y]를 원 [eqn: x^2`+y^2`=9]에 대입하면, [eqn: rmX ^{2} +Y ^{2} =1`]이므로 길이는 [eqn: 2 pi `]

21. [출제의도] 점의 대칭이동에 대한 귀납적 추론하기

삼각형의 세 점을 [eqn: rmA({ita,b}),B({itc,d}),C({ite,f})]라 하자.

대칭점 [eqn: rmP _ {iti} (itx _{iti} `,`y _{iti} )]의 [eqn: x]좌표를 차례대로 구하면

[eqn: x _{1} =2a-x _{0}# x _{2} =2c-x _{1}# x _{3} =2e-x _{2}# x _{4} =2a-x _{3}# x _{5} =2c-x _{4}# x _{6} =2e-x _{5} `=2e-2c+2a-2e+2c-2a+x _{0} #``````````=x_0]

⋮

같은 방법으로 [eqn: y_6`=`y_0]

따라서 [eqn: rmP _{iti} =P _{iti+6} ``]이므로

ㄱ. 두 점 [eqn: rmP _{0}]와 [eqn: rmP _{6}]의 좌표는 같다. (참)

ㄴ. [eqn: rm bar{P _{18} P _{19}} = bar{P _{0} P _{1}}] 의 중점은 점 [eqn: rmA] (거짓)

ㄷ. [eqn: rm bar{P _{1} P _{5}} `=` bar{P _{it6m+1} P _{it6n-1}} ````(itm,``n]은 자연수[eqn: )] (참)

22. [출제의도] 간단한 로그 계산하기

[eqn: 2 ^{log _{sqrt {2}} 5} `=2 ^{2log _{2} 5} `=`5 ^{2} `=25]

23. [출제의도] 역행렬 이해하기

[eqn: AX=BX+E`]에서 [eqn: (A-B)X=E]이므로

[eqn: X=(A-B)^-1`= pmatrix { 2```& ```1#5``` &```3 }]

따라서 모든 성분의 합은 [eqn: 11]

24. [출제의도] 수열의 성질 이해하기

[eqn: S _{n} =pn ^{2}+2pn`]에서 [eqn: a _{n} =rmS_{itn}``-S_{itn-1}]([eqn: n≧2])이므로 [eqn: a_n`=2pn+p]

[eqn: a_5`=`10p+p=11p=22]이므로 [eqn: p=2]

[eqn: a_10`=`42]

25. [출제의도] 간단한 지수 계산하기

[eqn: LEFT ( {1} over {5} RIGHT ) ^{a+3b} `=(5 ^{a} ) ^{-1} TIMES (5 ^{b} ) ^{-3} = 8TIMES 8 = 64]

26. [출제의도] 삼각함수 성질을 이용한 수학 내적문제 해결하기

[eqn: sum _{ i=1} ^{89 }bar{rmP_{iti}`H_{iti}} =sin``1 DEG +sin``2 DEG + CDOTS +sin``89 DEG]

[eqn: rm{bar{P _{iti} A}}^2 =sin ^{2`} `{i DEG }+(1-cos ``{i DEG } ) ^{2}# ````````````````````=2-2cos ``{i DEG }]

[eqn: sum _{ i=1} ^{89 }bar{rmP_{iti}`A}`^2]

[eqn: =2 TIMES 89-2(cos``1 DEG +cos``2 DEG + CDOTS +cos``89 DEG )]

이므로 [eqn: 2sum _{ i=1} ^{89 }bar{rmP_{iti}`H_{iti}}+sum _{ i=1} ^{89 }bar{rmP_{iti}`A}`^2 =178]

27. [출제의도] 등차수열을 이용한 수학 내적문제 해결하기

근과 계수의 관계에 의해 [eqn: a+b+c`= {3b} over {a}]  …  ①

[eqn: ab+bc+ca`= {11c} over {3a}] …  ② ,  [eqn: abc=6]  …  ③

또, [eqn: a,``b,``c]가 이 순서대로 등차수열을 이루므로 [eqn: 2b=a+c] …  ④

①식과 ④식에 의해 [eqn: b=0] 또는 [eqn: a=1]

[eqn: b=0]을 ③식에 대입하면 모순이므로 [eqn: a=1]

[eqn: a=1,``b=1+d,``c=1+2d]을 ③식에 대입하면

[eqn: d= -{5 } over {2 }]또는 [eqn: d=1]

[eqn: d= -{5 } over {2 }]을 ②식에 대입하면 모순이므로 [eqn: d=1]

따라서 [eqn: a=1,``b=2,``c=3]이고

[eqn: a^2`+b^2`+c^2`=14]

28. [출제의도] 수열의 일반항 추론하기

[eqn: a_1`=`1], [eqn: a_2`=`1+3 TIMES4], [eqn: a_3`=`1+3 TIMES4+5 TIMES8]

[eqn: a_4`=`1+3 TIMES4+5 TIMES8+7 TIMES12]

⋮

[eqn: a_n`=1+3 TIMES4+5 TIMES8+` CDOTS`+(2n-1) TIMES4(n-1)]

이므로

[eqn: a_7 = 1``+ ``sum _{ k=2} ^{7}(2k-1) TIMES4(k-1)]

[eqn: = 1``+ ``sum _{ k=1} ^{ 7}(2k-1) TIMES4(k-1)]

[eqn: = 1``+ ``4sum _{ k=1} ^{ 7}(2k^2`-3k+1)`]

[eqn: =813]

29. [출제의도] 상용로그의 성질을 이용한 수학 내적문제 해결하기

[eqn: log```x`=1+ { 1} over { alpha } `,```log```y`=1+ { 1} over { beta }] …  ①

([eqn: alpha,``` beta]는 [eqn: 1]이 아닌 자연수)라 하자.

[eqn: {x ^{4}} over {y ^{2}} `=1000`]의 양변에 상용로그를 취하면

[eqn: 4log ``x``-2log ``y``=3]이고 ①식을 대입하여 정리하면 [eqn: 4beta- alpha beta-2 alpha=0]이므로

[eqn: (4- alpha)( beta+2)=8]

따라서 [eqn: alpha,``` beta]가 자연수이므로 [eqn: alpha=2] 또는 [eqn: alpha=3]

[eqn: alpha=2]이면 [eqn: beta =2]이고, [eqn: alpha=3]이면 [eqn: beta =6]

그런데 [eqn: alpha ,``` beta]는 서로 다른 자연수이므로 [eqn: alpha=3],  [eqn: beta =6]

[eqn: 20(log```x+log```y)`=20 TIMES left(1+ {1} over {3} +1+ {1} over {6} right)`=`50]

30. [출제의도] 수열을 이용한 수학 외적문제 해결하기

[eqn: 210= {20 TIMES 21} over {2}]이므로 [eqn: 210]번째 카드의 숫자는 [eqn: 20]이다.

[eqn: 210]번째 카드까지 홀수인 항들을 나열하면

이고

[eqn: 1,`3,`3,`3,`5,`5,`5,`5,`5,` CDOTS `,19,` CDOTS `,19]

[eqn: 19]개

항의 개수는 [eqn: 100]개

[eqn: 210]번째 카드까지 짝수인 항들을 나열하면

이고

[eqn: 2,`2,`4,`4,`4,`4,`6`,`6,`6,`6,`6,`6,` CDOTS `,20,` CDOTS `,20]

[eqn: 20]개

항의 개수는 [eqn: 110]개

따라서 움직인 총시간은 [eqn: 100 TIMES 3+110 TIMES 2=520]분이고 시계가 가리키는 시각은 [eqn: 8]시간 [eqn: 40]분

그러므로 [eqn: a+b=48]