2008학년도 10월 고1 학업성취도평가

정답 및 해설

고 1	정답 및 해설	2008학년도 10월 학업성취도평가

2008학년도 10월 학업성취도평가	정답 및 해설	고 1

3

수리 영역

정답

1	⑤	2	⑤	3	①	4	⑤	5	③
6	④	7	②	8	③	9	②	10	②
11	⑤	12	④	13	③	14	①	15	④
16	④	17	①	18	③	19	②	20	①
21	②	22	[eqn: 19]	23	[eqn: 15]	24	[eqn: 11]	25	[eqn: 10]
26	[eqn: 36]	27	[eqn: 97]	28	[eqn: 90]	29	[eqn: 28]	30	[eqn: 184]

해설

1. [출제의도] 집합의 연산을 이용하여 계산하기

[eqn: B SUBSET A``]이면 [eqn: A ^{c`} SUBSET B ^{``c}] 이므로 [eqn: (A CUP A ^{c} ) SUBSET (A CUP B`` ^{c})]

[eqn: A CUP A ^{c} =U] 이고 [eqn: U SUBSET (A CUP B`` ^{c} )]이므로

[eqn: THEREFORE] [eqn: A CUP B`` ^{c}=U]

2. [출제의도] 이차방정식의 근의 성질 이해하기

[eqn: x ^{2} +(m+3)x+3m=0] 의 근이 중근이므로

[eqn: D=(m+3)^2 -12m=0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: m=3]

3. [출제의도] 유리식의 사칙연산 계산하기

(준식)[eqn: = {x-1} over {x} TIMES {2x} over {1-x} =-2]

4. [출제의도] 복소수의 사칙연산 계산하기

복소수 [eqn: z= {2} over {1+i} =1-i]이므로

[eqn: THEREFORE] [eqn: {bar{z}} over {z} = {1+i} over {1-i} =i]

5. [출제의도] 실수의 성질을 이용하여 필요충분조건 이해하기

ㄱ. 필요충분조건

ㄴ. [eqn: |`ab`|+|`bc`|=0] 이면 [eqn: a=c=0`]또는 [eqn: b=0]

[eqn: p]는 [eqn: q]이기 위한 필요조건

ㄷ.[eqn: sqrt {a ^{2} +2ab+b ^{2}} =□a+b□]이고

[eqn: sqrt {a ^{2} -2ab+b ^{2}} =□a-b□`]

[eqn: a]와 [eqn: b]의 부호가 다르면 [eqn: □a+b□<□a-b□]

[eqn: □a+b□<□a-b□]이면 [eqn: □a+b□ ^{2} <□a-b□ ^{2}]이므로

[eqn: ab<0`] [eqn: THEREFORE] 필요충분조건

6. [출제의도] 다항식의 최대공약수와 최소공배수를 이용하여 다항식의 합 구하기

최소공배수는 [eqn: (x-1)(x+1)(x+2)]이고 다항식 [eqn: A=aG], [eqn: B=bG] (단, [eqn: a,`b]는 서로소)라 하면

[eqn: {G} over {A} + {G} over {B} = {G} over {aG} + {G} over {bG}]

[eqn: = {1} over {a} + {1} over {b} = {1} over {x-1} + {1} over {x+1}]이므로

[eqn: G=x+2]

[eqn: A=(x-1)(x+2)], [eqn: B=(x+1)(x+2)]

또는 [eqn: A=(x+1)(x+2)], [eqn: B=(x-1)(x+2)]

[eqn: THEREFORE] [eqn: A+B=2x ^{2} +4x]

7. [출제의도] 조립제법을 이용한 몫과 나머지 구하기

연산장치는 조립제법과 같은 원리이므로

[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: -3]	[eqn: -2]
		[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: -1]
[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: -1]	[eqn: -3]
		[eqn: 1]	[eqn: 3]
	[eqn: 1]	[eqn: 3]	[eqn: 2]

[eqn: THEREFORE] 나머지는 [eqn: 2]

8. [출제의도] 복소수의 성질 이해하기

ㄱ. [eqn: z=a+bi][eqn: (b != 0)]에서 [eqn: z- bar{z} =2bi]이므로

순허수 (참)

ㄴ. [eqn: z alpha]가 실수가 되는 복소수 [eqn: alpha]는 [eqn: bar{z}] 이외에  [eqn: 0]도 있다. (거짓)

ㄷ. [eqn: z+ {1} over {z} = LEFT ( a+bi RIGHT ) + {1} over {a+bi}]이 실수이기 위해

허수부분 [eqn: {b(a ^{2} +b ^{2} -1)} over {a ^{2} +b ^{2}} =0], [eqn: b != 0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a ^{2} +b ^{2} -1=0] 즉 [eqn: z bar{z} =1] (참)

9. [출제의도] 이중근호 계산을 이용한 정사각형의 넓이 구하기

[eqn: S_1]의 한변의 길이는

[eqn: sqrt {6-4 sqrt {2}} = sqrt {6-2 sqrt {8}} =2- sqrt {2}]

[eqn: S_2]의 한변의 길이는

[eqn: sqrt {3+2 sqrt {2}} = sqrt {2} +1]

[eqn: S_3]의 한 변의 길이는 [eqn: 3]이므로

[eqn: THEREFORE] [eqn: S_3]의 넓이는 [eqn: 9]

10. [출제의도] 두 원의 공통외접선의 교점이 그리는 도형의 길이 구하기

접선과 두 원 [eqn: rm ~O prime ,~O]의 접점을 각각 [eqn: rm Q,~R]이라 할 때, [eqn: TRIANGLE rm PO'Q] □ [eqn: TRIANGLE rm POR]

[eqn: {rm bar { PO'}}=m]이라 하면  [eqn: rm bar{PO} it =m+1+3]

[eqn: rm bar{PO prime } ``:`` bar{PO} ``=`` bar{O'Q} ``:`` bar{OR} ``=`1``:``3]이므로

[eqn: {rm bar { PO}}=6]

원 [eqn: rm O']가 원 [eqn: rm O]위를 한 바퀴 구를 때의 길이는 [eqn: 2pi]이므로 중심각은 [eqn: 120 DEG]이다. 따라서 점 [eqn: rm P]가 그리는 도형의 길이는 반지름의 길이가 [eqn: 6]인 원 둘레의 [eqn: { 1} over {3 }]

[eqn: THEREFORE] [eqn: 4pi]

11. [출제의도] 절대부등식의 성질을 이해하고 호의 길이 계산하기

[eqn: (a ^{2} +b ^{2} )x+1>4x+a`]

[eqn: (a ^{2} +b ^{2} -4)x>a-1`]

모든 실수 [eqn: x] 에 대하여 항상 성립하려면

[eqn: a ^{2} +b ^{2} -4=0] 이고 [eqn: a-1<0]

[eqn: THEREFORE] 반지름의 길이가 [eqn: 2]이고 중심각이 [eqn: 240 DEG]인      부채꼴의 호의 길이는 [eqn: {8} over {3} pi]

12. [출제의도] 도수분포표에서의 평균을 이용한 미지수 구하기

계급값	도수(명)
[eqn: 1]	[eqn: 1]
[eqn: 3]	[eqn: 3]
[eqn: 5]	[eqn: 6]
[eqn: 7]	[eqn: x]
[eqn: 9]	[eqn: y]
계	20

도수의 합이 [eqn: 20]이므로 [eqn: x+y=10]

평균이 [eqn: 6]이므로 [eqn: 7x+9y=80]

[eqn: THEREFORE] [eqn: y=5]

13. [출제의도] 두 직선의 관계 이해하기

ㄱ. 직선 [eqn: m]에 점 [eqn: (-1,`1)]을 대입하면 성립 (참)

ㄴ. [eqn: k=1]일 때, 직선 [eqn: l]과 [eqn: m]의 기울기의 곱이 [eqn: -1]이므로 수직 (참)

ㄷ. 두 직선 [eqn: l]과 [eqn: m]이 제1사분면에서 만나려면

직선 [eqn: m]이 [eqn: (2,``0)]과 [eqn: (0,```2)]사이를 지나야

하므로 기울기 [eqn: k]의 범위는 [eqn: - {1} over {3} <k<1]

[eqn: THEREFORE] 정수 [eqn: k]의 개수는 한 개 (거짓)

14. [출제의도] 닮은 도형의 성질을 알고 비례식을 이용한 삼각형의 변의 길이 구하기

[eqn: rm bar BD =][eqn: x], [eqn: rm bar AD =bar DC =][eqn: y] 라 하면

[eqn: rm TRIANGLE DBA] □ [eqn: `rm TRIANGLE ABC] 이므로  [eqn: x:4=y:5=4:(x+y)]

[eqn: 5x=4y`,`````x(x+y)=16]이므로

[eqn: x= {8} over {3} ,``y= {10} over {3}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: rm bar BC =][eqn: x+y= {8} over {3} + {10} over {3} =6]

15. [출제의도] 방정식의 근과 복소수의 성질을 이용한 문제해결하기

[eqn: LEFT ( omega ^{2} - omega +1 RIGHT ) f( omega )=1]의 양변에 [eqn: omega +1]를 곱하면 [eqn: -3 omega f( omega )= omega +1]

복소수 성질에 의해 [eqn: a=0], [eqn: b= {2} over {3}]

[eqn: THEREFORE]  [eqn: b= {2} over {3}]

16. [출제의도] 내분점과 절대부등식을 이용한   연산의 성질 추론하기

삼각형 [eqn: rm APS]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} LEFT ( {6m} over {m+n} RIGHT ) LEFT ( {3n} over {m+n} RIGHT )]이고

다른 세 개의 삼각형의 넓이도 모두 같으므로

삼각형 네 개의 넓이의 합은

[eqn: 4 TIMES {1} over {2} times{18mn} over {(m+n) ^{2}} = {36mn} over {LEFT ( m+n RIGHT ) ^{2}}]

[eqn: rm H it LEFT ( m,~n RIGHT ) =18- {36mn} over {LEFT ( m+n RIGHT ) ^{2}} =18 LEFT { 1- {2mn} over {LEFT ( m+n RIGHT ) ^{2}} RIGHT }]

ㄱ. [eqn: rm H it LEFT ( 2,~1 RIGHT ) =10] (거짓)

ㄴ. 교환법칙 성립 (참)

ㄷ. [eqn: {m+n} over {2} >= sqrt {mn}]이므로 [eqn: {2mn} over {LEFT ( m+n RIGHT ) ^{2}} <= {1} over {2}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: rm H` it (m,```n) >= 9] (참)

17. [출제의도] 이차방정식의 근과 계수의 관계 응용하기

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해

[eqn: alpha + beta =1], [eqn: alpha beta =p]

[eqn: alpha + {1} over {beta }], [eqn: beta + {1} over {alpha }]을 두 근으로 하는 이차방정식이 [eqn: x ^{2} -qx-1=0]이 될 때 근과 계수의 관계에 의해

[eqn: left(alpha + {1} over {beta } right)+ left (beta + {1} over {alpha } right) = LEFT ( alpha + beta RIGHT ) LEFT ( 1+ {1} over {alpha beta } RIGHT ) =1+ {1} over {p} =q]

[eqn: LEFT ( alpha + {1} over {beta } RIGHT ) LEFT ( beta + {1} over {alpha } RIGHT ) =2+ alpha beta + {1} over {alpha beta } =2+p+ {1} over {p} =-1]  [eqn: {1} over {p} +1=q]이고 [eqn: {1} over {p} +2+p=-1]

[eqn: THEREFORE] [eqn: p+q=-2]

18. [출제의도] 삼각형의 오심을 이해하고 외심, 수심, 무게중심의 관계를 증명하기

삼각형 [eqn: rm ABC`]의 꼭짓점을

[eqn: rm A it (a``,``b),```` rm B it (-c``,``0),```` rm C it (c``,``0)````(c>0)`]라 하자.

ⅰ) 외심 [eqn: rm F`]의 좌표

직선 [eqn: rm AC`]의 기울기를 [eqn: m`]이라 하면, [eqn: m=]

[eqn: {b} over {a-c}]

변 [eqn: rm AC`]의 수직이등분선은

[eqn: y= {c-a} over {b} x``+`]

[eqn: {a ^{2} +b ^{2} -c ^{2}} over {2b}]

----------- ①

변 [eqn: rm BC`]의 수직이등분선은 [eqn: x=0] ---------- ②

①과 ②의 교점이 외심 [eqn: rm F`]의 좌표이므로

[eqn: rm F it (``0``,`````]

[eqn: {a ^{2} +b ^{2} -c ^{2}} over {2b}]

[eqn: )]

ⅱ) 수심 [eqn: rm H`]의 좌표

꼭짓점 [eqn: rm B`]에서 변 [eqn: rm AC]에 내린 수선의 방정식은

[eqn: y= {c-a} over {b} (x+c)] -------------------- ③

꼭짓점 [eqn: rm A`]에서 변 [eqn: rm BC`]에 내린 수선의 방정식은

[eqn: x=a]

------------------------- ④

③과 ④의 교점이 수심 [eqn: rm H`]의 좌표이므로

[eqn: rm H it LEFT ( ``a```,```` {c ^{2} -a ^{2}} over {b} RIGHT )]

선분 [eqn: rm FH`]를 [eqn: 1:2] 로 내분하는 점의 좌표는 [eqn: LEFT ( {a} over {3} `,````` {b} over {3} RIGHT )] 이므로 무게중심 [eqn: rm G`]와 일치한다.

19. [출제의도] 삼각비를 이용한 점과 직선   사이의 거리 구하기

점 [eqn: rm C]를 원점으로 하는 좌표평면 위에 정사각형을 놓으면 [eqn: ANGLE rm D prime CD=60 DEG]

점 [eqn: rm D']의 좌표는 [eqn: LEFT ( 1, sqrt {3} RIGHT )]

직선 [eqn: rm AC]의 방정식은 [eqn: y=x]

[eqn: THEREFORE] 점 [eqn: rm D']에서 직선 [eqn: rm AC]까지의 거리는

[eqn: {sqrt {6} - sqrt {2}} over {2}]

20. [출제의도] 할선의 성질을 이용하여 원과 직선사이의 관계에 대한 문제 해결하기

원의 방정식은 [eqn: (x-3)^2 +(y-2)^2 =2^2]

원이 [eqn: x]축과 접하고 접점을 [eqn: rm R]이라 하면

할선과 접선의 성질에 의해

[eqn: rm bar{OP} ㆍ bar{OQ} `= bar{OR} ` ^{2}=3^2]

[eqn: THEREFORE] [eqn: rm bar{OP} ㆍ bar{OQ}=9]

21. [출제의도] 직선의 방정식과 내분점을 이용하여 문제 해결하기

선분 [eqn: rm AB it}]의 내분점 [eqn: LEFT ( {-m+an} over {m+n} ,` {m+bn} over {m+n} RIGHT )]은

[eqn: y]축 위의 점이므로 [eqn: {-m+an} over {m+n} =0], [eqn: a= {m} over {n}]

선분 [eqn: {rm AC it}]의 내분점 [eqn: LEFT ( {2m+an} over {m+n} ,` {-2m+bn} over {m+n} RIGHT )]은

[eqn: x]축 위의 점이므로 [eqn: {-2m+bn} over {m+n} =0], [eqn: b= {2m} over {n}]

점 [eqn: rm A it LEFT ( a,~b RIGHT )]는 [eqn: b=2a]를 만족하므로

점 [eqn: rm A]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 1,~2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 2,~4 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 3,~6 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 4,~8 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 5,~10 RIGHT )]

[eqn: THEREFORE] 삼각형 [eqn: rm ABC]의 개수는 [eqn: 5]개

22. [출제의도] 삼차방정식을 풀고 집합의 연산 이해하기

[eqn: x ^{3} -7x ^{2} +14x-8=(x-1)(x-2)(x-4)=0]

[eqn: A= LEFT { 1,`2,`4 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { 4,`6,`10 RIGHT }]

[eqn: (A-B) CUP (B-A)= LEFT { 1,`2,`6,`10 RIGHT }]

[eqn: THEREFORE] 원소의 합은 [eqn: 19]

23. [출제의도] 곱셈공식을 이용하여 유리식의 값 구하기

[eqn: {x ^{4} +x ^{2} +1} over {x ^{2}} `][eqn: =x ^{2} + {1} over {x ^{2}} ``+1][eqn: =(x+ {1} over {x} ) ^{2} -1]

[eqn: THEREFORE] [eqn: {x ^{4} +x ^{2} +1} over {x ^{2}} `][eqn: =15]

24. [출제의도] 이차부등식 이해하기

[eqn: □x-a |>=0]이므로 [eqn: x-10 <=0] 또는 [eqn: x=a]

[eqn: x]가 [eqn: 11]개의 자연수이려면  [eqn: a]는 [eqn: 10]보다 큰 자연수

[eqn: THEREFORE] [eqn: a]의 최솟값은 [eqn: 11]

25. [출제의도] 대칭이동을 이용한 문제 해결하기

삼각형 [eqn: rm ABC]의 둘레의 길이가 최소이기 위해서는 점 [eqn: rm B]을 [eqn: y]축으로 대칭이동시킨 점 [eqn: rm B prime]와 점 [eqn: rm A]을 연결한 직선과 [eqn: y]축의 교점이 점 [eqn: rm C]이어야 한다. 점 [eqn: rm C]의 좌표는 [eqn: (0,`4)]

[eqn: THEREFORE] 삼각형 [eqn: rm ABC]의 넓이는 [eqn: 10]

26. [출제의도] 직각삼각형의 외접원 성질을 이용한 삼각형의 넓이 구하기

삼각형 [eqn: rm ABC]의 외접원은 [eqn: rm AC]가 지름이므로 반지름의 길이를 [eqn: r]이라 하면 두 외접원의 넓이의 합은

[eqn: pi r ^{2} + pi LEFT ( r+1 RIGHT ) ^{2} =85 pi]

[eqn: 2r ^{2} +2r-84=0]

[eqn: LEFT ( r+7 RIGHT ) LEFT ( r-6 RIGHT ) =0]이므로 [eqn: r=6]

[eqn: rm bar{AB}=bar{BC }it =6 sqrt {2}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: TRIANGLE rm ABC it =36]

27. [출제의도] 두 원의 위치관계를 이용한 삼각형 넓이 구하기

중심이 [eqn: rm M]인 반원이 두 사분원과 동시에 접하므로 [eqn: rm bar{AM} = bar{BM}]

삼각형 [eqn: rm ABM]은 이등변삼각형이므로

[eqn: rm bar{MP} BOT][eqn: rm bar { AB}]

[eqn: rm bar{AM} =5], [eqn: rm bar{MR} =2]이므로

[eqn: rm TRIANGLE ABM] □ [eqn: rm TRIANGLE rm RQM]

삼각형 [eqn: rm RQM]의 높이를 [eqn: h]라 할 때,

[eqn: rm bar{AB} ``:`` rm bar{RQ} ``= rm bar{MP} `` it :``h``=5``:``2]

[eqn: TRIANGLE rm PQR it = {1} over {2} TIMES rm bar{RQ} TIMES LEFT (rm bar{PM} it -h RIGHT )]

[eqn: = {1} over {2} TIMES {12} over {5} TIMES LEFT ( 4- {8} over {5} RIGHT ) = {72} over {25}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a+b=97]

28. [출제의도] 일차방정식을 이용하여 실생활문제 해결하기

분침은 1분에 [eqn: 6 DEG]씩, 시침은 [eqn: 1]분에 [eqn: 0.5 DEG]씩 움직이므로  [eqn: LEFT ( {1} over {2} t+150 RIGHT ) -6t=(6t+60)- {1} over {2} t]

[eqn: THEREFORE] [eqn: 11t=90]

29. [출제의도] 공통외접선의 성질을 이용하여 도형의 평행이동 이해하기

원 [eqn: rm C]의 중심의 좌표는 [eqn: rm C it (2,``p)]

[eqn: x+y-10=0]에 접하므로 중심에서 직선까지의 거리는 [eqn: {LEFT | 2+p-10 RIGHT |} over {sqrt {2}} =2]

[eqn: p=8+2 sqrt {2}]

원 [eqn: rm C ']의 중심의 좌표는 [eqn: rm C prime it (q,``2)]

[eqn: x+y-10=0]에 접하므로 중심에서 직선까지의 거리는 [eqn: {LEFT | q+2-10 RIGHT |} over {sqrt {2}} =2]

[eqn: q=8-2 sqrt {2}]

원 [eqn: rm C]의 중심이 [eqn: (2,``8+2 sqrt {2} )]에서 원 [eqn: rm C']의 중심 [eqn: (`8-2 sqrt {2} ,``2)]으로 이동되었으므로

[eqn: a=6-2 sqrt {2}], [eqn: b=6+2 sqrt {2}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: ab=28]

30. [출제의도] 최소공배수를 이용하여 수학외적문제 해결하기

세 단중 맨 윗단이 제일 작고 가장 적은 개수의 블록을 사용해야 하므로 블록 한 개의 모양은 [그림1]과 같다.

[그림1]

맨 윗단의 모양은 [그림2]와 같고

[그림2]

같은 방법으로 중간단은 [그림3]과 같다.

[그림3]

마찬가지로 맨 아랫단은 [그림4]와 같다.

[그림4]

[그림2]에서 노란색의 넓이는 [eqn: 60]

[그림3]에서 노란색의 넓이는

[eqn: 10 times 10 - 6 times6 = 64]

[그림4]에서 노란색의 넓이는 [eqn: 60]

[eqn: THEREFORE] [eqn: 60+64+60=184]