2009학년도 9월 모의평가 (수리영역-나형)  정답 및 해설

1.

[eqn: 2^{2log_3 9} =2^{4log_3 3} = 2^4 =16]

ꂼ ②

2.

[eqn: A(2A^-1 + 3E) = 2AA^-1 + 3A`]

[eqn: = 2E + 3A`]

[eqn: = pmatrix { 2&0 #0 &2 }+ pmatrix {9&6#15&-12}`]

[eqn: = pmatrix {11&6#15&-10}`]

따라서, 모든 성분의 합은

[eqn: 11+ 6+ 15 + (-10) = 22`]

ꂼ ①

3.

[eqn: lim _{n -> INF } {{5 ^{n} -2 ^{n}} over {5 ^{n+1} +3 ^{n+1}}}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {{1- LEFT ( {2} over {5} RIGHT ) ^{n}} over {5+3 LEFT ( {3} over {5} RIGHT ) ^{n}}}][eqn: = {1} over {5}]

ꂼ ②

4.

두 사건 [eqn: A ,``B]가 서로 배반 사건이므로

[eqn: A cap B != emptyset]

이고

[eqn: A cap B ^c = A- ( A cap B) = A]

[eqn: A^c cap B = B- ( A cap B) =B]

이므로

[eqn: P( A cap B^c ) = P(A)], [eqn: P (A^c cap B ) = P(B)]

∴ [eqn: P (A cup B ) = P(A) + P(B) - P (A cap B)]

[eqn: = 1over 5 + 1 over 4]

[eqn: = 9 over 20]

ꂼ ①

5.

조사 대상인 1000명 중 혈액형이 B형인 학생의 수는

150+6+80+4=240(명)

이 중 혈액형이 B형이고 [eqn: \Rh^+]형의 남학생의 수는

150(명)

따라서 구하는 확률은

[eqn: 150 over 240 = 5over 8]

ꂼ ④

6.

확률의 총합은 1이므로

[eqn: 4 over 10 + 3p = 1]  [eqn: therefore] [eqn: p = 1 over 5]

[eqn: E(X) = 1 TIMES 3 OVER 10 + 2p + 3 times 1 over 10 + 4p + 5p]

[eqn: = 6 over 10 + 11p = 14 over 5]

[eqn: therefore] [eqn: E(5X+3)= 5E(X)+3]

[eqn: = 5 TIMES 14 OVER 5 + 3 = 17]

ꂼ ①

7.

[eqn: f(x)= x+1] 이므로

[eqn: y = 2^2-f(x) = 2^2-(x+1)]

[eqn: = 2^-x+1 = 2^-(x-1) = ( 1 over 2 )^{x-1}]

따라서, [eqn: y= 2^{2-f(x)}]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: O]

ꂼ ④

8.

직선 [eqn: y=ax]와 곡선 [eqn: y=x^2 -2x+4]가 서로 다른 두 점에서 만나려면 이차방정식

[eqn: x^2 -2x+4=ax]

즉,

[eqn: x^2 -(a+2)x+4=0]

의 판별식 [eqn: D]가 0보다 커야 한다.

[eqn: D=(a+2)^2 -16=a^2 +4a-12]

[eqn: =(a+6)(a-2)>0]

∴ [eqn: a>2] (∵ [eqn: a+6>0])

∴ [eqn: a=3,4,5,6]

따라서 사건 [eqn: A]가 일어날 확률은

[eqn: 4over6 = 2over3]

이므로 확률변수 [eqn: X]는 이항분포

[eqn: \B left( 300,~ 2over 3 right)]

을 따른다.

∴ [eqn: E(X)=300times 2over 3 = 200]

ꂼ ④

9.

자연수 [eqn: k`]에 대하여

[eqn: log k = n+ alpha`]([eqn: n`]은 정수, [eqn: 0<=alpha<1])

점 [eqn: P _k (alpha, ``n)]이 곡선 [eqn: y = ( root10 )^x`] 위에 있으려면

[eqn: n = (root10 )^alpha][eqn: = 10^{ alphaover 2 }]

[eqn: alpha = 2 log``n][eqn: =log ``n^2`]

[eqn: 0<=alpha<1]이므로 [eqn: alpha`][eqn: =log ``n^2`]의 값은

[eqn: n= 1, ``2, ``3`]일 때, [eqn: log``1`], [eqn: log``4], [eqn: log``9`]

∴ [eqn: log ``k= 1] 또는 [eqn: log ``k= 2+ log4]

또는 [eqn: log``k= 3 + log 9]

∴ [eqn: k= 10] 또는 [eqn: k = 400] 또는 [eqn: k= 9000]

따라서 모든 [eqn: k`]의 값의 합은

[eqn: 10 +400+9000 = 9410]

ꂼ ⑤

10.

[eqn: y=2 ^{x+n}]의 그래프와 [eqn: y= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x}]의 그래프가 만나는 점이 [eqn: rm P _{it n rm} it LEFT ( a _{n} ,``b _{n} RIGHT )]이므로

[eqn: 2 ^{x+n} = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x}]

[eqn: 2 ^{x+n} =2 ^{-x}]

[eqn: x+n`=`-x]

[eqn: THEREFORE] [eqn: x=- {n} over {2}]

그러므로 [eqn: a _{n} =- {n} over {2}], [eqn: b _{n`} =2 ^{{n} over {2}}]

ㄱ. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 일반항은 [eqn: a _{n} =- {n} over {2}]이므로 첫째항이 [eqn: - {1} over {2}], 공차가 [eqn: - {1} over {2}]인 등차수열이다. <참>

ㄴ. [eqn: b _{m} b _{n} =2 ^{{m} over {2}} CDOT 2 ^{{n} over {2}}]

[eqn: =2 ^{{m} over {2} + {n} over {2}}]

[eqn: =2 ^{{m+n} over {2}}]

[eqn: =b _{m+n}]    <참>

ㄷ. 부등식 [eqn: 2b _{n} <b _{n+1}]을 풀면

[eqn: 2 CDOT 2 ^{{n} over {2}} <2 ^{{n+1} over {2}}]

[eqn: 2 ^{1+ {n} over {2}} <2 ^{{n+1} over {2}}]

밑이 1보다 크므로

[eqn: 1+ {n} over {2} < {n+1} over {2}]

이 때, [eqn: 1+ {n} over {2} <` {n} over {2} + {1} over {2}]이므로 부등식을 만족하는 자연수 [eqn: n]은 존재하지 않는다.

<거짓>

ꂼ ③

11.

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•

[eqn: F]

[eqn: E]

[eqn: D]

[eqn: C]

[eqn: B]

[eqn: A]

[eqn: O`]

그림과 같이 점[eqn: O`]를 원점으로 하는 좌표평면 위에 길을 옮겨 놓는다.

그림에서 [eqn: A,B,C,D,E,F`]를 도착점으로 하는 경우의 수를 구한 후에 대칭성을 이용한다.

[eqn: O`->`A`] : 1(가지)

[eqn: O`-> B`] : [eqn: 4! over 3! = 4`](가지)

[eqn: O`->`C`] : [eqn: 4! over 2!2! = 6`](가지)

[eqn: O`->`D`] : [eqn: 4! over 3! = 4`](가지)

[eqn: h`]

[eqn: g]

[eqn: f`]

[eqn: d`]

[eqn: c`]

[eqn: b`]

[eqn: a`]

[eqn: E`]

[eqn: O`]

[그림1]

[eqn: O`->`E`] : 그림1과 같이

[eqn: OabcE`],[eqn: Odbc E`],[eqn: OabdE`],

[eqn: OfghE],[eqn: OdghE],[eqn: OfgdE]

의 6(가지)

④

③

②

①

[eqn: F`]

[eqn: O`]

[그림2]

[eqn: O`->F`] : 그림2와 같이

4(가지)

따라서, 구하는 경우의 수는

[eqn: 4(1+4+6+4+6+4)`]

[eqn: =100`](가지)

ꂼ ③

12.

ㄱ. [eqn: A = pmatrix{ a&b#c&d``}]라 하면 [eqn: 2A = pmatrix{ 2a&2b#2c&2d}] 에서

[eqn: a`≠`b]이므로 [eqn: 2a`≠`2b]

[eqn: a`≠`c]이므로 [eqn: 2a`≠`2c]

[eqn: a+d=b+c]에서

[eqn: 2a+2d=2(a+d)=2(b+c)=2b+2c]

[eqn: ∴``````2A `∈` S] (참)

ㄴ. 공차를 [eqn: d``(``d`>`0`)]라 하면

[eqn: p=1+d ,```q=1+2d ,```r=1+3d]

이므로 [eqn: 1`≠` p ,```1`≠` q]이고

[eqn: 1+r = p+q =2+3d]

[eqn: ∴``````X`∈` S] (참)

ㄷ. [eqn: A = pmatrix{ a&b#c&d``}]라 하면

[eqn: a+d=b+c]에서[eqn: d=b+c-a]이므로

[eqn: ad-bc = a(b+c-a) -bc]

[eqn: =ab-ac-a^2 -bc]

[eqn: =(a-c)(b-a)]

그런데 [eqn: a`≠`b],[eqn: a`≠`c]이므로

[eqn: (a-c)(b-a)`≠` 0]

따라서 [eqn: A]는 역행렬을 가진다. (참)

따라서, 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

ꂼ ⑤

13. 확률밀도함수 [eqn: f(x)]가

[eqn: f(x)=f(100-x)]이므로 [eqn: f(x)]는

[eqn: x=50]에 대하여 대칭이다.

따라서 평균 [eqn: m=50]이고 표본평균

[eqn: barX]는 평균이 [eqn: 50]이고 표준편차가

[eqn: { 10} over {root25} =2]인 정규분포를 따른다.

[eqn: ∴```P(44``<=` barX`<=` 48 )]

[eqn: = P LEFT ( { 44-50} over {2 }``<=` Z`<=` { 48-50} over {2 }` RIGHT )]

[eqn: = P` LEFT ( -3``<=` Z`<=` -1` RIGHT )]

한편 주어진 그래프에서 구간별 확률은

[eqn: P(-1<=Z<=1) =0.6826]

[eqn: P(-3<=Z<=3) =0.9974]

이므로

[eqn: P` LEFT ( -3``<=` Z`<=` -1` RIGHT )]

[eqn: =P` LEFT ( 0``<=` Z`<=` 3` RIGHT ) - P` LEFT ( 0``<=` Z`<=` 1` RIGHT )]

[eqn: = { 0.9974} over {2 } - { 0.6826} over {2 } =0.1574]

ꂼ ②

14.

처음 빵의 개당 무게와 가격을 각각

[eqn: A`]g, [eqn: B`]원

이라 하자.

1번 시행 후 개당 무게는 [eqn: 0.9A`]g이므로

[eqn: n`]번 시행 수 개당 무게는 [eqn: (0.9)^n A`]g

처음 빵의 1g당 가격은 [eqn: B over A`]원

[eqn: n`]번 시행 후 1g당 가격은 [eqn: B over{(0.9)^n A`}]원

[eqn: B over{ (0.9)^n A} >= 3over2 × B over A`]에서

[eqn: (0.9)^-n >= 3over2`]

[eqn: -n log 9 over 10 >= log3 - log2`]

[eqn: n (1-2log3 ) `>= log3 - log2`]

[eqn: n>= {0.4771-0.3010} over{ 1- 2×0.4771}` = 0.1761 over 0.0458` = 3.8 ×××`]

따라서, 구하는 정수[eqn: n`]의 최솟값은 4이다.

ꂼ ②

15.

ㄱ. [eqn: f(x)]의 역함수를 구하면  [eqn: x=`2 ^{y-2} +1]에서

[eqn: 2 ^{y-2} =x-1]

[eqn: y-2`=`log` _{2} `(x-1)]

[eqn: THEREFORE] [eqn: y=`log` _{2} `(x-1)`+2]

따라서, [eqn: f ^{-1} (x)=`log` _{2} (x-1)`+`2]이고

[eqn: g(x)=f ^{-1} (x)]

ㄱ.  [eqn: f ^{-1} (5)`=`log` _{2} `(5-1)`+2`=`4]이므로

[eqn: f ^{-1} (5) LEFT { g(5)+1 RIGHT }]

[eqn: =f ^{-1} (5) LEFT { f ^{-1} (5)+1 RIGHT }]

[eqn: =4 LEFT ( 4+1 RIGHT ) =20] <참>

ㄴ. [eqn: f(x)]의 역함수가 [eqn: g(x)]이므로  [eqn: y=f(x)]의 그래프와 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이다. <참>

ㄷ. [eqn: y=f(x)]의 그래프는 [eqn: y=2 ^{x}]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 2만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동한 것이다.

그러므로 [eqn: y=2 ^{x}]의 그래프 위의 점 [eqn: (0,``1)]은 [eqn: y=f(x)]의 그래프위의 점 [eqn: (2,`2)]로 평행이동한다.

이 때, 점 [eqn: (2,`2)]는 직선 [eqn: y=x]위의 점이므로 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 [eqn: y=x]의 그래프는 만난다.

그러므로 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 역함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 만난다. <거짓>

[eqn: y]

[eqn: f(x)=2 ^{x-2} +1]

[eqn: y=2 ^{x}]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 1]

[eqn: y=1]

[eqn: y=x]

ꂼ ③

16.

[eqn: B= A - {p+q } over 2 E], [eqn: k= left[ p-q over2 right]]라 하면

[eqn: B- kE = A-p E]이고 [eqn: B+kE = A- qE`]이므로 [eqn: B- kE]와 [eqn: B+kE]는 모두 역행렬을 갖지 않는다.

따라서 [eqn: B= pmatrix{``a``&``b``#``c``&``d``}]라 하면

[eqn: B- kE][eqn: = pmatrix{``a``&``b``#``c``&``d``} -k pmatrix{``1``&``0``#``0``&``1``}]

[eqn: = pmatrix{``a-k``&``b``#``c``&``d-k``}]

는 역행렬을 갖지 않으므로

[eqn: (a-k)(d-k)- bc= ad- k (a+d)+k^2 -bc]

[eqn: =0]

[eqn: k!=0]이므로 [eqn: a+d = [``0``]], [eqn: ad-bc= - k^2]이다. 그런데

[eqn: B^-1 = 1over ad-bc pmatrix{``d``&``-b``#``-c``&``a``}]

[eqn: = 1over k^2 pmatrix{``a``&``b``#``c``&``d``}]([eqn: because][eqn: a+d = 0],[eqn: ad-bc= - k^2])

[eqn: = 1 over k^2 [``B``]]

이므로

[eqn: A^2 - (p+q) A + pq E = (A-pE)(A- qE)][eqn: =O]

가 성립한다.

ꂼ ③

17.

사각형 [eqn: \A_1 B_1 C_1 D_1]의 한 변의 길이를 [eqn: a]라 하자.

이 때, [eqn: \ bar AB_1 = 1over 2 + it a over 2], [eqn: \ bar {B_1 C_1 }=it a], [eqn: \ bar {AC_1 }= 1]이므로 직각삼각형 [eqn: \ AB_1 C_1]에서

[eqn: left( 1over2 + a over 2 right) ^2 + a^2 =1^2]

[eqn: 5over4 a^2 + a over2 - 3over4 =0]

[eqn: 5a^2 +2a-3=(5a-3)(a+1)=0]

∴ [eqn: a = 3over5] (∵ [eqn: a>0])

따라서 정사각형 [eqn: A_n B_n C_n D_n]의 한 변의 길이를 [eqn: a_n]이라 하면 수열 {[eqn: a_n]}은 첫째항이 [eqn: 3over5], 공비가 [eqn: 3over5]인 등비수열임을 알 수 있다.

따라서 수열 {[eqn: S_n]}은 첫째항이 [eqn: 9over25], 공비가 [eqn: 9over25]인 등비수열이므로

[eqn: sum_n=1^inf S_n = {9over25} over{ 1- 9 over 25} = 9 over 16]

ꂼ ②

18.

[eqn: a_9 = S_9 - S_8]

[eqn: = (2^9 - 1)-(2^8 - 1) = 256]

ꂼ

19.

[eqn: 6.15 = 0.67 log(0.37E_1 )+1.46]…㉠

[eqn: 5.48 = 0.67 log(0.37E_2 )+1.46]…㉡

㉠-㉡에서

[eqn: 0.67 = 0.67 LEFT{ log(0.37 E_1 )- log(0.37E_2 ) RIGHT}]

[eqn: 0.67 = 0.67 log E_1 OVER E_2], [eqn: 1 = log E_1 OVER E_2]

[eqn: THEREFORE] [eqn: E_1 OVER E_2 = 10]

ꂼ

20.

[eqn: 3^a+b = 4]에서

[eqn: a+b = log_3 4] ⋯ ㉠

[eqn: 2^a-b = 5]에서

[eqn: a-b = log_2 5] ⋯ ㉡

㉠, ㉡의 각 변끼리 각각 곱하면

[eqn: (a+b)(a-b)=log_3 4 × log_2 5]

[eqn: = {log 4 } over {log3} × {log5 } over log2]

[eqn: =2 × log5 over log3 = 2 log_3 5]

[eqn: = log_3 5^2 = log_3 25]

∴ [eqn: a^2 - b^2 = log_3 25]

따라서 로그의 정의에 의해

[eqn: 3^{a^2 -b^2 } = 25]

ꂼ [eqn: 25]

21.

[eqn: (1-x)^4 (2-x)^3`]의 전개식에서 [eqn: x^2`]의 계수는

[eqn: `_4 C_0 cdot 1^4 cdot (-x)^0 times `_3 C_2 cdot 2cdot (-x)^2]

[eqn: +`_4 C_1 cdot 1^3 cdot (-x)^1 times `_3 C_1 cdot 2^2 cdot (-x)^1]

[eqn: +`_4 C_2 cdot 1^2 cdot (-x)^2 times `_3 C_0 cdot 2^3 cdot (-x)^0]

[eqn: =6+48+ 48]

[eqn: =102]

ꂼ [eqn: 102]

22.

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: sqrt {k}]를 소수점 아래 첫째 자리에서 반올림하여 [eqn: n]이 되는 [eqn: k]는

[eqn: (n-1)+ {1} over {2} <= sqrt {k} <n+ {1} over {2}]

[eqn: n- {1} over {2} <= sqrt {k} <n+ {1} over {2}]

양변을 제곱하면

[eqn: n ^{2} `-n+ {1} over {4} <= k<n ^{2} +n+ {1} over {4}]

이 조건을 만족하는 자연수 [eqn: k]는 [eqn: n ^{2} -n+1] 부터 [eqn: n ^{2} +n]까지의 수이므로

[eqn: a _{n} =(n ^{2} +n)-(n ^{2} -n+1)+1]

[eqn: =2n]

따라서

[eqn: sum _{i=1} ^{10} a _{i} = sum _{i=1} ^{10} 2i]

[eqn: =2 TIMES {10 TIMES 11} over {2} =110]

ꂼ [eqn: 110]

23.

할아버지, 할머니가 앉는 열과 아버지, 어머니가 앉는 열을 정하는 경우의 수는

2(가지)

그 각각에 대하여 아들과 딸이 앉는 열을 정하는 경우의 수는

2(가지)

1열에서 세 사람이 앉을 때, 특정한 2명이 이웃하도록 앉는 경우의 수는

[eqn: 2! ×2! = 4`](가지)

2열에서 세 사람이 앉을 때, 특정한 2명이 이웃하도록 앉는 경우의 수는

[eqn: 2! ×2! = 4`](가지)

따라서, 구하는 경우의 수는

[eqn: 2×2 ×4 ×4` = 64`](가지)

ꂼ[eqn: 64`]

24. [eqn: A_1 (1,``0),```B_1 (0,``1),```C_1 (1,``1)]에서

[eqn: a_1 = 1×1×{ 1} over { 2} ={ 1} over { 2}], [eqn: b_1 =3]

[eqn: bar{ A_2 B_2}]의 중점이 [eqn: C_1 (1, ``1)]이므로

[eqn: A_2 (2,``0),```B_2 (0,``2),```C_2 (2,``2)]

[eqn: a_2 = 2×2×{ 1} over { 2} = { 2}], [eqn: b_2 =6]

[eqn: bar{ A_3 B_3}]의 중점이 [eqn: C_2 (2, ``2)]이므로

[eqn: A_3 (2^2 ,``0),```B_2 (0,``2^2 ),```C_2 (2^2 ,``2^2 )]

[eqn: a_3 = 2^2 ×2^2 ×{ 1} over { 2} = 8], [eqn: b_3 =12]

따라서 [eqn: a_n = { 1} over {2 } ⋅4^ n-1 ,```b_n =3⋅2^n-1]

[eqn: ∴````lim_n->inf {2^n b_n} over{a_n +2^n} = lim_n->inf {2^2n-1 ⋅3} over{2^2n-3 +2^n}]

[eqn: = lim_n->inf {{2^2n-1 ⋅3 } over 2^2n} over{2^2n-3 over 2^2n + 2^n over 2^2n}]

[eqn: = { 3⋅2^-1} over {2^-3 } =12]

ꂼ [eqn: 12]

25. [eqn: 2^x =X ,```3^y =Y]라고 하면

주어진 식은

[eqn: cases{3X-2Y=6 # { 1} over {4 } X -{ 1} over {3 }Y=-1}] 이므로

두 식을 연립하여 [eqn: X,```Y]를 구하면

[eqn: X=8,````Y=9]

즉[eqn: 2^x =8 ,```3^y =9]이므로

[eqn: α =3 ,```β=2]

[eqn: ∴`````α^2 +`β^2 = 3^2 +2^2 =13]

ꂼ [eqn: 13]

26.

철수가 꺼낸 공에 적혀있는 수가 6인 사건을 [eqn: A`]라 하면

[eqn: P(A) = 1over10`]

남은 두 사람이 꺼낸 공에 적혀있는 수가 하나는 6보다 크고 다른 하나는 6보다 작은 사건을 [eqn: B`]라 하면

[eqn: P(A∩B) = 1over10 × 5over9 × 4over8 + 1over10 × 4over9 × 5over8`]

[eqn: = 1over10 × 5over9`]

따라서, 구하는 확률은

[eqn: P(B`|`A) = {P(A∩B)} over{ P(A)} = {1over10 × 5over9 } over{ 1over10 } = 5over9`]

ꂼ ⑤

27.

행렬 [eqn: A= {pmatrix{a&b#c&d}}]라 하면

[eqn: A {pmatrix{x#y}} =][eqn: {pmatrix{a&b#c&d}} {pmatrix{x#y}} = {pmatrix{ax+by#cx+dy}}]

ㄱ.

[eqn: {pmatrix{ax+by#cx+dy}} = {pmatrix{x#0}}]

에서

[eqn: ax+by=x], [eqn: cx+dy=0]

임의의 실수 [eqn: x,`y]에 대하여 성립하므로

[eqn: a=1], [eqn: b=0], [eqn: c=0], [eqn: d=0]

따라서 [eqn: A= {pmatrix{1&0#0&0}}]이므로

[eqn: A ^{2} `= {pmatrix{1&0#0&0}} {pmatrix{1&0#0&0}} = {pmatrix{1&0#0&0}} =A] <참>

ㄴ.

[eqn: {pmatrix{ax+by#cx+dy}} = {pmatrix{-y#x}}]

에서

[eqn: ax+by=-y], [eqn: cx+dy=x]

임의의 실수 [eqn: x,`y]에 대하여 성립하므로

[eqn: a=0], [eqn: b=-1], [eqn: c=1], [eqn: d=0]

따라서 [eqn: A= {pmatrix{0&`````-1#1&``````````0}}]이므로

[eqn: A ^{3} `= {pmatrix{0&``-1#1&````````0}} {pmatrix{0&``-1#1&````````0}} {pmatrix{0&``-1#1&````````0}}]

[eqn: = {pmatrix{0&````-1#1&``````````0}} {pmatrix{-1&``````0#`````0&``-1}} = {pmatrix{``````0&```1#-1&````0}} != A]<거짓>

ㄷ. [eqn: {pmatrix{ax+by#cx+dy}} = {pmatrix{-x#-y}}]

에서

[eqn: ax+by=-x], [eqn: cx+dy=-y]

임의의 실수 [eqn: x,`y]에 대하여 성립하므로

[eqn: a=-1], [eqn: b=0], [eqn: c=0], [eqn: d=-1]

따라서 [eqn: A= {pmatrix{-1&`````0#0&``````````-1}}]이므로

[eqn: A ^{-1} = {1} over {1-0} {pmatrix{-1&0#0&-1}} = {pmatrix{-1&0#0&-1}} =A]<참>

ꂼ ③

28.

[eqn: a_n = 3+ (-1) ^n]에서

[eqn: a_1 = 2], [eqn: a_2 = 4], [eqn: a_3 =2], [eqn: a_4 = 4], [eqn: cdots]

[eqn: P_1 ( 2 cos 2pi over 3 , ``2 sin 2pi over 3 )] 즉, [eqn: ( - 1, root3 `)]

[eqn: P_2 ( 4 cos 4pi over 3 , ``4 sin 4pi over 3 )] 즉, [eqn: ( - 2, -2root3 `)]

[eqn: P_3 ( 2 cos 6pi over 3 , ``2 sin 6pi over 3 )] 즉, [eqn: ( 2, ``0)]

[eqn: P_4 ( 4 cos 8pi over 3 , ``4 sin 8pi over 3 )] 즉, [eqn: ( - 2, ``2root3 `)]

[eqn: P_5 ( 2 cos 10pi over 3 , ``2 sin 10pi over 3 )] 즉, [eqn: ( - 1, -root3 `)]

[eqn: P_6 ( 4 cos 12pi over 3 , ``4 sin 12pi over 3 )] 즉, [eqn: ( 4,`` 0)]

[eqn: P_7 ( 2 cos 14pi over 3 , ``2 sin 14pi over 3 )] 즉, [eqn: ( - 1, root3 `)]

[eqn: cdots cdots]

[eqn: 2009 = 6 times 334 + 5]이므로

점 [eqn: P_2009]와 같은 점은 [eqn: P_5`]이다.

ꂼ ⑤

29.

[eqn: f(x)=sum_k=1^n left( x - k over n right)^2]

[eqn: =sum_k=1^n left( x^2 - 2k over n x+ k^2 over n^2 right)]

[eqn: = nx^2 - 2 over n cdot n(n+1) over 2 x+ {n(n+1)(2n+1)} over 6n^2]

[eqn: =nx^2 - (n+1)x+ {(n+1)(2n+1)} over 6n]

[eqn: = n left( x - n+1 over 2n right)^2][eqn: + {(n+1)(2n+1)} over 6n - (n+1)^2 over 4n]

따라서 주어진 이차함수의 최솟값은

[eqn: a_n = {2(n+1)(2n+1)-3(n+1)^2 } over 12n]

[eqn: = {n^2 -1} over 12n]

∴ [eqn: lim_n->inf a_n over n = lim_n->inf {n^2 -1} over 12n^2 = 1over12]

ꂼ ①

30.

[eqn: P(0<=X<=1) = 1 OVER 2 TIMES 1 TIMES 1 OVER 2 = 1 OVER 4]

[eqn: `_3 C_2 ( 1 OVER 4 )^2 ( 3 OVER 4 ) + `_3 C_3 ( 1 OVER 4 )^3]

[eqn: = 3 TIMES 3OVER 64 + 1 OVER 64 = 5 OVER 32]

[eqn: THEREFORE] [eqn: p+q = 37]

ꂼ [eqn: 37]