나 형	수리 영역

	수리 영역	나 형

8

제 2 교시

성명

1

수험 번호

2009학년도 대학수학능력시험 9월 모의평가 문제지

수리 영역

나    형

[eqn: 2^{2` log _3 `9`}]의 값은? [2점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 24]	④ [eqn: 32]	⑤ [eqn: 40]

행렬 [eqn: A= {pmatrix{3&`````````2`#5&-4`}}]에 대하여 행렬 [eqn: A(2A^-1 +3E`)]의 모든 성분의 합은? (단, [eqn: E`]는 단위행렬이다.) [2점]

① [eqn: 22]	② [eqn: 24]	③ [eqn: 25]	④ [eqn: 27]	⑤ [eqn: 28]

[eqn: lim_{n`→`inf} {5^n -2^n}_` over{5^n+1 +3^n+1 }]의 값은? [2점]

① [eqn: {1_`} over {8`}]	② [eqn: {1_`} over {5`}]	③ [eqn: {1_`} over {3`}]	④ [eqn: {3_`} over {8`}]	⑤ [eqn: 1]

두 사건 [eqn: A], [eqn: B`]는 서로 배반사건이고

[eqn: \P`(A cap B^C `` )= {1_`}over{5`}], [eqn: \P`(A^C ``cap B`)= {1_`}over {4 `}]

일 때, [eqn: \P(A cup B`)]의 값은? (단, [eqn: A^C`]은 [eqn: A`]의 여사건이다.) [3점]

① [eqn: {9_`} over {20}]	② [eqn: {11_`} over {20}]	③ [eqn: {13_`} over {20}]	④ [eqn: {17_`} over {20}]	⑤ [eqn: {19_`} over {20}]

다음은 어느 고등학교 학생 [eqn: 1000]명을 대상으로 혈액형을 조사한 표이다.

남학생 (단위: 명)
	[eqn: \A]형	[eqn: \B]형	[eqn: \AB]형	[eqn: \O]형
[eqn: \Rh^+]형	[eqn: 203]	[eqn: 150]	[eqn: 71]	[eqn: 159]
[eqn: \Rh^-]형	[eqn: 7]	[eqn: 6]	[eqn: 1]	[eqn: 3]

여학생 (단위: 명)
	[eqn: \A]형	[eqn: \B]형	[eqn: \AB]형	[eqn: \O]형
[eqn: \Rh^+]형	[eqn: 150]	[eqn: 80]	[eqn: 40]	[eqn: 115]
[eqn: \Rh^-]형	[eqn: 6]	[eqn: 4]	[eqn: 0]	[eqn: 5]

이 [eqn: 1000]명의 학생 중에서 임의로 선택한 한 학생의 혈액형이

[eqn: \B]형일 때, 이 학생이 [eqn: \Rh^+]형의 남학생일 확률은? [3점]

① [eqn: {1_`} over {4`}]	② [eqn: {3_`} over {8`}]	③ [eqn: {1_`} over {2`}]	④ [eqn: {5_`} over {8`}]	⑤ [eqn: {3_`} over {4`}]

확률변수 [eqn: X`]의 확률분포표는 다음과 같다.

[eqn: X]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	계
[eqn: \P LEFT( X=x RIGHT)]	[eqn: {3_`} over {10}]	[eqn: p]	[eqn: {1_`} over {10}]	[eqn: p]	[eqn: p]	[eqn: 1]

확률변수 [eqn: 5X+3]의 평균 [eqn: \E(5X+3)]은? [3점]

① [eqn: 17]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 19]	④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 21]

오른쪽 그림은 일차함수 [eqn: y=f`(x)]의 그래프이다. 함수 [eqn: y= 2^{2-f`(x)}]의 그래프의 개형으로 알맞은 것은? [3점]

①	②

③	④

⑤

한 개의 주사위를 던져 나온 눈의 수 [eqn: a`]에 대하여 직선

[eqn: y=ax`]와 곡선 [eqn: y=x^2 - 2x +4]가 서로 다른 두 점에서 만나는 사건을 [eqn: A`]라 하자. 한 개의 주사위를 [eqn: 300]회 던지는 독립시행에서 사건 [eqn: A`]가 일어나는 횟수를 확률변수 [eqn: X`]라 할 때,

[eqn: X`]의 평균 [eqn: \E(X`)]는? [4점]

① [eqn: 100]	② [eqn: 150]	③ [eqn: 180]	④ [eqn: 200]	⑤ [eqn: 240]

[eqn: k`]가 자연수일 때 [eqn: log k`]의 지표 [eqn: n`]과 가수 [eqn: alpha`]에 대하여 좌표평면 위의 점 [eqn: \P_k `]를 [eqn: \P_k `(alpha,``n)]이라 하자. 점 [eqn: \P_k `]를 곡선

[eqn: y= left( root 10 `right)^x] 위에 있도록 하는 모든 [eqn: k] 값의 합은? [4점]

① [eqn: 1210]	② [eqn: 3210]	③ [eqn: 5410]

④ [eqn: 7510]	⑤ [eqn: 9410]

자연수 [eqn: n`]에 대하여 함수 [eqn: y = 2 ^x+n`]의 그래프가 함수

[eqn: y`= left( {1_`} over {2`} right) ^x]의 그래프와 만나는 점을 [eqn: \P_n`]이라 하자. 점 [eqn: \P_n`]의

[eqn: x] 좌표를 [eqn: a _n], [eqn: y] 좌표를 [eqn: b_n`]이라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

	<보 기>
ㄱ. 수열 [eqn: \{a _n \}]은 등차수열이다. ㄴ. 임의의 자연수 [eqn: m], [eqn: n`]에 대하여 [eqn: b_m ``b_n = b_m+n]이다. ㄷ. [eqn: 2 `b _n `＜b_n+1]을 만족하는 자연수 [eqn: n`]이 존재한다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

그림과 같이 이웃한 두 교차로 사이의 거리가 모두

[eqn: 1]인 바둑판 모양의 도로망이 있다. 로봇이 한 번 움직일 때마다 길을 따라 거리

[eqn: 1]만큼씩 이동한다. 로봇은 길을 따라 어느 방향으로도 움직일 수 있지만, 한 번 통과한 지점을 다시 지나지는 않는다. 이 로봇이 지점 [eqn: \O]에서 출발하여

[eqn: 4]번 움직일 때, 가능한 모든 경로의 수는? (단, 출발점과 도착점은 일치하지 않는다.) [4점]

① [eqn: 88]	② [eqn: 96]	③ [eqn: 100]	④ [eqn: 104]	⑤ [eqn: 112]

집합

[eqn: S=LEFT { PMATRIX { a& b``# c& d `` }`````a `!=b ,```a`!= c,```a+d=b+c,````a,``b,``c,`` d`~~~~~~~RIGHT }]

는 실수

[eqn: left |{ `} atop { `}]

에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: A∈S`]이면 [eqn: 2A∈S`]이다. ㄴ. 행렬 [eqn: X=PMATRIX { 1& p``# q& r ``}]의 성분 [eqn: 1], [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r`]가 이 순서로 공차가 양수인 등차수열을 이루면 [eqn: X∈S`]이다. ㄷ. [eqn: A∈S`]이면 [eqn: A`]는 역행렬을 가진다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

어떤 모집단의 분포가 정규분포 [eqn: \N( m, ``` 10^2 )]을 따르고, 이 정규분포의 확률밀도함수 [eqn: f`(x)]의 그래프와 구간별 확률은 아래와 같다.

확률밀도함수 [eqn: f`(x)]는 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여

[eqn: f`(x)=f`(100 - x)]

를 만족한다. 이 모집단에서 크기 [eqn: 25]인 표본을 임의추출할 때의 표본평균을 라 하자. [eqn: \P( 44`≦][eqn: ≦`48 )]의 값은? [4점]

① [eqn: 0.1359]	② [eqn: 0.1574]	③ [eqn: 0.1965]

④ [eqn: 0.2350]	⑤ [eqn: 0.2718]

어느 제과점에서는 다음과 같은 방법으로 빵의 가격을 실질적으로 인상한다.

빵의 개당 가격은 그대로 유지하고, 무게를 그 당시 무게에서 [eqn: 10]% 줄인다.

이 방법을 [eqn: n`]번 시행하면 빵의 단위 무게당 가격이 처음의

[eqn: 1.5]배 이상이 된다. [eqn: n`]의 최솟값은? (단, [eqn: log2=0.3010],

[eqn: log3=0.4771]로 계산한다.) [3점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

두 함수 [eqn: f`(x) = 2^x-2 +1], [eqn: g(x) = log_2 (x-1)+2`]에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [3점]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: f`^-1 (5) cdot left{ g(5)+1 right} = 20]이다. ㄴ. [eqn: y=f`(x)]의 그래프와 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이다. ㄷ. [eqn: y=f`(x)]의 그래프와 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 만나지 않는다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

다음은 이차정사각행렬 [eqn: A`]와 서로 다른 두 실수 [eqn: p], [eqn: q`]에 대하여 [eqn: A-pE`]와 [eqn: A-qE`]가 모두 역행렬을 갖지 않으면

[eqn: A^2 -(p+q)A+pqE `=O`]

임을 증명한 것이다. (단, [eqn: E`]는 단위행렬이고, [eqn: O`]는 영행렬이다.)

<증명>

[eqn: B=A- {p+q}_` over 2 E], [eqn: k=]       라 하면

[eqn: B-kE`=A-pE`]이고 [eqn: B`+kE`=A-qE`]이므로 [eqn: B-kE`]와 [eqn: B+kE`]는 모두 역행렬을 갖지 않는다.

따라서 [eqn: B=PMATRIX { a& b` `# c& d `` }]라 하면,

[eqn: k`!= 0]이므로 [eqn: a+d=]       이고 [eqn: ad-bc=-k^2]이다.

그런데 [eqn: B^-1 = 1_` over k^2]       이므로

[eqn: A^2 -(p+q)A+pqE`=(A-pE`)(A-qE`)=O`]

가 성립한다.

(가)

(나)

(다)

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점]

(가)	(나)	(다)

①	[eqn: {p-q}_` over 2]	[eqn: 0]	[eqn: -B]

②	[eqn: {p+q}_` over 2]	[eqn: 0]	[eqn: -B]

③	[eqn: {p-q}_` over 2]	[eqn: 0]	[eqn: ~``B]

④	[eqn: {p+q}_` over 2]	[eqn: 1]	[eqn: -B]

⑤	[eqn: {p-q}_` over 2]	[eqn: 1]	[eqn: ~``B]

한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형 [eqn: \ABCD]가 있다. 그림과 같이 정사각형 [eqn: \ABCD] 안에 두 점 [eqn: \A], [eqn: \B]를 각각 중심으로 하고 변

[eqn: \AB]를 반지름으로 하는 [eqn: 2]개의 사분원을 그린다. 이 두 사분원의 공통부분에 내접하는 정사각형을 [eqn: rmA_1 B_1 C_1 D_1]이라 하자.

정사각형 [eqn: rmA_1 B_1 C_1 D_1] 안에 두 점 [eqn: rmA_1], [eqn: \B_1]을 각각 중심으로 하고 변 [eqn: rmA_1 B_1]을 반지름으로 하는 [eqn: 2]개의 사분원을 그린다. 이 두 사분원의 공통부분에 내접하는 정사각형을 [eqn: rmA_2 B_2 C_2 D_2]라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 정사각형

[eqn: \A_n \B_n \C_n \D_n]의 넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: sum_{n=1^`}^∞_` S_n]의 값은? [4점]

[eqn: S_2]

[eqn: S_3]

[eqn: S_1]

① [eqn: {3_`}over{8`}]	② [eqn: {9_`}over{16}]	③ [eqn: {4_`}over{5`}]	④ [eqn: {9_`}over{8`}]	⑤ [eqn: {23_`}over{16}]

단 답 형

수열 [eqn: left{`a_n `right}]의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합 [eqn: S _n]이 [eqn: S _n =2^n -1]일 때, [eqn: a_9]의 값을 구하시오. [3점]

지진의 규모 [eqn: R`]와 지진이 일어났을 때 방출되는 에너지 [eqn: E`] 사이에는 다음과 같은 관계가 있다고 한다.

[eqn: R=0.67 log (0.37E`)+1.46]

지진의 규모가 [eqn: 6.15]일 때 방출되는 에너지를 [eqn: E_1],

지진의 규모가 [eqn: 5.48]일 때 방출되는 에너지를 [eqn: E_2]라 할 때,

[eqn: E_1 over E_2]의 값을 구하시오. [3점]

두 실수 [eqn: a], [eqn: b`]가 [eqn: 3^a+b =4], [eqn: 2^a-b = 5`]를 만족할 때,

[eqn: 3^{a^2 -b^2 }]의 값을 구하시오. [3점]

다항식 [eqn: (1- x)^4 (2-x)^3]의 전개식에서 [eqn: x^2]의 계수를 구하시오. [3점]

수열 [eqn: \{ a_n \}]의 제 [eqn: n`]항 [eqn: a_n`]을 자연수 [eqn: k`]의 양의 제곱근 [eqn: SQRT "k``"]를 소수점 아래 첫째 자리에서 반올림하여 [eqn: n`]이 되는 [eqn: k`]의 개수라 하자. [eqn: SUM from { { i}=1^`} to 10_` a_i`]의 값을 구하시오. [4점]

할아버지, 할머니, 아버지, 어머니, 아들, 딸로 구성된 가족이 있다. 이 가족 [eqn: 6]명이 그림과 같은 [eqn: 6]개의 좌석에 모두 앉을 때, 할아버지, 할머니가 같은 열에 이웃하여 앉고, 아버지, 어머니도 같은 열에 이웃하여 앉는 경우의 수를 구하시오. [4점]

자연수 [eqn: n`]에 대하여 좌표평면 위의 세 점 [eqn: \A_n (x_n ,``0)],

[eqn: \B_n (0,``x_n )], [eqn: \C_n (x_n ,``x_n )]을 꼭짓점으로 하는 직각이등변삼각형

[eqn: T_n`]을 다음 조건에 따라 그린다.

(가) [eqn: x_1 =1]이다.

(나) 변 [eqn: \A_n+1 \B_n+1]의 중점이 [eqn: \C_n]이다. [eqn: (n`=1,`2,`3,`⋯)]

삼각형 [eqn: T_n]의 넓이를 [eqn: a_n], 삼각형 [eqn: T_n]의 세 변 위에 있는 점 중에서 [eqn: x`]좌표와 [eqn: y`]좌표가 모두 정수인 점의 개수를 [eqn: b_n]이라 할 때, [eqn: lim from { n` -> `inf} {2^n b_n} over {a_n +2^n}]의 값을 구하시오. [4점]

연립방정식

ꀊ ꀈ ꀖ	[eqn: 3․2^x -`2․ 3^y = 6] [eqn: 2^x-2 - 3^y-1 = -1]

의 해를 [eqn: x= alpha], [eqn: y= beta`]라 할 때, [eqn: alpha^2 + beta^2]의 값을 구하시오. [3점]

5 지 선 다 형

[eqn: 1]부터 [eqn: 10]까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 [eqn: 10]개의 공이 주머니에 들어있다. 이 주머니에서 철수, 영희, 은지 순서로 공을 임의로 한 개씩 꺼내기로 하였다. 철수가 꺼낸 공에 적혀 있는 수가 [eqn: 6]일 때, 남은 두 사람이 꺼낸 공에 적혀 있는 수가 하나는

[eqn: 6]보다 크고 다른 하나는 [eqn: 6]보다 작을 확률은? (단, 꺼낸 공은 다시 넣지 않는다.) [3점]

① [eqn: {1_`} over {9`}]	② [eqn: {2_`} over {9`}]	③ [eqn: {1_`} over {3`}]	④ [eqn: {4_`} over {9`}]	⑤ [eqn: {5_`} over {9`}]

이차정사각행렬 [eqn: A]에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [3점]

	<보 기>
ㄱ. 임의의 실수 [eqn: x], [eqn: y`]에 대하여 [eqn: A LEFT ( pile{x`#y`} RIGHT ) = LEFT ( pile{x`#0`} RIGHT )]이면 [eqn: A^2 =A]이다. ㄴ. 임의의 실수 [eqn: x], [eqn: y`]에 대하여 [eqn: A LEFT ( pile{x`#y`} RIGHT ) = LEFT ( pile{-y`#```````x`} RIGHT )]이면 [eqn: A^3 =A]이다. ㄷ. 임의의 실수 [eqn: x], [eqn: y`]에 대하여 [eqn: A LEFT ( pile{x`#y`} RIGHT ) = LEFT ( pile{-x`#-y`} RIGHT )]이면 [eqn: A=A^-1]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

수열 [eqn: left{a_n right}]에서 [eqn: a_n = 3+(-1)^n`]일 때, 좌표평면 위의 점

[eqn: \P_n]을

[eqn: \P_n `` LEFT ( a_n `cos {2n pi_`}over 3 ,````a_n `sin {2n pi_`} over 3 RIGHT )]

라 하자. 점 [eqn: \P_2009`]와 같은 점은? [3점]

① [eqn: \P_1]	② [eqn: \P_2]	③ [eqn: \P_3]

④ [eqn: \P_4]	⑤ [eqn: \P_5]

자연수 [eqn: n`]에 대하여 이차함수 [eqn: f`(x)=sum_{k=1^`}^n_` left(x- {k_`} over {n} right)^2]의 최솟값을 [eqn: a_n]이라 할 때, [eqn: lim_{n`→`inf} a_n over n]의 값은? [4점]

① [eqn: {1_`}over{12}]	② [eqn: {1_`}over{6`}]	③ [eqn: {1_`}over{3`}]	④ [eqn: {1_`}over{2`}]	⑤ [eqn: 1]

단 답 형

연속확률변수 [eqn: X`]의 확률밀도함수 [eqn: f`(x)]가 다음과 같다.

[eqn: f`(x)= {1_`} over {2`} x ~~(0`≦`x`≦`2)]

매회의 시행에서 사건 [eqn: A`]가 일어날 확률이 [eqn: \P(0`≦X`≦1)]로 일정할 때, [eqn: 3]회의 독립시행에서 사건 [eqn: A`]가 [eqn: 2]회 이상 일어날 확률을 [eqn: {q_`} over {p}]라 하자. [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

* 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.