◦ 먼저 수험생이 선택한 응시 유형의 문제지인지 확인하시오.

2008학년도 9월 고2 전국연합학력평가 문제지

제 2 교시           수 리 영 역

성명			수험번호						2

‘나’형

수 리 영 역

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수 리 영 역

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◦ 문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오.

◦ 답안지에 수험 번호, 응시 유형 및 답을 표기할 때는 반드시 ‘수험생이 지켜야 할 일’에 따라 표기하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 0 이 포함된 경우, 0 을 OMR 답안지에 반드시 표기해야 합니다.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

8

1. [eqn: log _{2} `( sqrt {5} +1)`+log _{2} ( sqrt {5} -1)]의 값은? [2점]

① [eqn: 1 over4]	② [eqn: 1over2]	③ [eqn: 1``]	④ [eqn: 2``]	⑤ [eqn: 4]

2. 두 행렬 [eqn: A= pmatrix{````````1``&```````3``#`-1`&`-2``} ``,~B= pmatrix{`0`&`1`#`1`&`0`}``]에 대하여 행렬 [eqn: A ^{-1} B``]의 [eqn: (1,~1)``]성분은? [2점]

① [eqn: -3`]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -1]	④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: 1]

3. [eqn: log` _{a`} 3= {1} over {2}]이고 [eqn: log` _{b`} 9=2]일 때, [eqn: a+b]의 값은? [2점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 9]	④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 15]

4. [eqn: 3 ^{a} =5,~5 ^{b} =9``]일 때, [eqn: ab``]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

5. 상수 [eqn: k``]에 대하여 [eqn: log`x=k+2], [eqn: log`y=2k+ {3} over {4}]일 때, [eqn: log` x^2 overy]의
가수는? [3점]

① [eqn: ` {1} over {4}]	② [eqn: 3over8]	③ [eqn: 1over2]	④ [eqn: 5over8]	⑤ [eqn: {3} over {4}]

6. 이차정사각행렬 [eqn: A`]의 [eqn: (i,~j)]성분 [eqn: a` _{i`j} `]가

[eqn: a` _{i`j} `=` cases{``log` _{2} ``i+log` _{2} ``j~~~(i=j)##```2` ^{i-j~~~~~~} ~~~~~``````(i != j)} `]

로 주어질 때, [eqn: A ^{2} ``]의 모든 성분의 합은? [3점]

① [eqn: 9]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 11]	④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 13]

7. 세 수 [eqn: A= sqrt {5} ,~B= root {3} of {11} ,~C= sqrt {2 root {3} of {15}}]의 대소를 바르게 비교한 것은? [3점]

‘나’형

① [eqn: A<B<C]	② [eqn: A<C<B]	③ [eqn: B<A<C]

④ [eqn: B<C<A]	⑤ [eqn: C<B<A]

8. 그림과 같이 네 점 [eqn: rm A(0,~5)], [eqn: rm B(-1,~0),] [eqn: rm C(5,~0),] [eqn: rm D(4,~5)]로 만들어진 사다리꼴 [eqn: rm{ABCD}``]에서  두 대각선 [eqn: rm {AC}], [eqn: rm BD]의 교점을 [eqn: rmP( itx,``y)]라 하자. [eqn: x,~y``]에 대한 연립일차방정식을 행렬을 이용하여

[eqn: pmatrix{a&``-1#1&`````````1} pmatrix{x#y} `= pmatrix{-1#```````b}]

와 같이 나타낼 때, 상수 [eqn: a,~b``]의 합 [eqn: a+b``]의 값은? [3점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

9. 다음은 [eqn: log`2]가 무리수임을 증명한 것이다.

‘나’형

< 증명 >

[eqn: log`2]가 유리수라고 가정하자.

[eqn: log`2``=` {n} over {m}] ([eqn: m], [eqn: n]은 서로소인 자연수) [eqn: cdots] ㉠

로 놓으면

[eqn: 0<log`2<1]이므로  이다.

(가)

㉠에서

[eqn: 10 ^{{n} over {m}} =2]이므로

[eqn: `2```` ^{(나)} `````=5 ^{n}]

이때,  이므로

(가)

[eqn: 2```` ^{(나)} `````]은  이고 [eqn: 5 ^{n} `]은  가 되어 모순이다.

(다)

따라서 [eqn: log`2]는 무리수이다.

위 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점]

(가)	(나)	(다)

①	[eqn: m>n]	[eqn: m-n]	짝수

②	[eqn: m>n]	[eqn: n-m]	홀수

③	[eqn: m>n]	[eqn: m]	짝수

④	[eqn: m<n]	[eqn: n-m]	홀수

⑤	[eqn: m<n]	[eqn: m-n]	짝수

10. 양의 실수 [eqn: a,``b``]에 대하여 연산 [eqn: ◈ ``]을

[eqn: a`◈``b`=`2 ^{`a} +[`log``b]]

로 정의할 때, [eqn: (`3`◈`30)```+` LEFT ( 5``◈` {1} over {50} RIGHT )``]의 값은? (단, [eqn: [``x`]`]는 [eqn: x`]보다 크지 않은 최대의 정수이다.) [4점]

① [eqn: 33]	② [eqn: 36]	③ [eqn: 39]	④ [eqn: 42]	⑤ [eqn: 45]

11. 이차정사각행렬 [eqn: A,~B``]에 대하여 [eqn: A]의 역행렬이 존재하고 [eqn: A ^{2} +AB=E`], [eqn: B ^{2} =E```]일 때, [eqn: B-A`]의 역행렬을 [eqn: A,~B``]로 나타내는 과정이다.

[eqn: A ^{2} +AB=A(A+B)=E`]	… ㉠

∴ [eqn: A ^{-1} =]

(가)

또한 [eqn: (]  [eqn: )][eqn: A=E`]	… ㉡

(가)

㉠, ㉡에서

(나)

또, [eqn: B ^{2} =E`]이므로

[eqn: A ^{2} +AB=B ^{2} `]

[eqn: A ^{2} +AB-2B ^{2} =-E`]

∴ [eqn: (B-A) ^{-1} =]

(다)

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? (단, [eqn: E``]는 단위행렬이다.) [3점]

(가)	(나)	(다)

①	[eqn: A ^{2} +AB`]	[eqn: AB != BA`]	[eqn: A-2B`]

②	[eqn: A ^{2} +AB`]	[eqn: AB=BA`]	[eqn: A+2B`]

③	[eqn: A+B]	[eqn: AB=BA`]	[eqn: A-2B`]

④	[eqn: A+B]	[eqn: AB=BA`]	[eqn: A+2B`]

⑤	[eqn: A+B]	[eqn: AB != BA`]	[eqn: A-2B`]

12. 실수 [eqn: a`,````b`]에 대하여 두 행렬 [eqn: A`,```B```]를

[eqn: A`=` pmatrix{```````a`&``b`#-b`&``a`} `,```B``=` pmatrix{`b``&-a`#`a``&```````b`}]

라 하자. [eqn: A+B=E``]일 때, [eqn: LEFT ( AB` RIGHT ) ^{-1}]의 모든 성분의 합은? (단, [eqn: E``]는 단위행렬이다.) [3점]

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

13. 그림과 같이 원 밖의 한 점 [eqn: rmP]에서 원에 한 접선과 한 할선을 그을 때, 접점을 [eqn: rm A``]라 하고 원이 할선과 만나는 두 점을 각각 [eqn: rm B,~C```]라 하자. 또, [eqn: rmANGLE BAC``]의 이등분선과 할선의 교점을 [eqn: rmD``]라 하자.

네 선분 [eqn: rmPA], [eqn: rmPB], [eqn: rm PC], [eqn: rm PD``]의 길이를 각각 [eqn: a,~b,~c,~d``]라 할 때, [eqn: a,~b,~c,~d``]를 성분으로 하는 이차정사각행렬 [eqn: T``]를 [eqn: T= pmatrix{`a`&`b`#`c`&`d`}``]라 하자.

<보기>에서 역행렬이 항상 존재하는 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: E``]는 단위행렬이다.) [4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: T``] ㄴ. [eqn: T+E``] ㄷ. [eqn: T-E``]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

14. [eqn: x,``y``]에 관한 연립방정식

[eqn: pmatrix{``a``&``0``#``1``&``b``} `` pmatrix{`x`#`y`} = pmatrix{```````3`&```````b`#`-a`&`-2`} `` pmatrix{`x`#`y`}]

가 [eqn: x=y=0``]이외의 해를 가질 때, 자연수 [eqn: a,```b``]의 합 [eqn: a+b``]의 값은? [3점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

15. 다음 조건을 만족시키는 실수 [eqn: a,`````b``]에 대하여 점 [eqn: (a,```b)``]가 나타내는 영역의 넓이는? [4점]

‘나’형

(가) 이차방정식 [eqn: bx ^{2} `-`2ax`+`4-b``=`0``]은 서로 다른 두 허근을 갖는다.

(나) [eqn: log``5b``]의 지표가 [eqn: 1`]이다.

① [eqn: ` { pi } over {2}]	② [eqn: pi]	③ [eqn: 3pi over2]	④ [eqn: 2pi]	⑤ [eqn: 5pi over2]

16. 용액의 수소이온 농도 [eqn: [rmH^+ ]]와 수산화이온 농도 [eqn: [rm OH ^- ]]에 대하여

[eqn: rm [OH ^- ]= {10 ^{-14}} times 1 over {[ rm H ^{+} ]}]

이 성립하고, 용액의 산성도를 나타내는 [eqn: rm pH]는

[eqn: rm pH=`-log`[ rm H ^{+} ]]

로 정의된다. 이때, [eqn: [ rm OH ^{-} ]=10 ^{-4}]인 용액의 [eqn: rm pH]의 값은? [4점]

① [eqn: 6.0]	② [eqn: 7.0]	③ [eqn: 8.0]	④ [eqn: 9.0]	⑤ [eqn: 10.0]

17. 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: log ``2 ^{n}]의 지표를 [eqn: f LEFT ( n RIGHT )], [eqn: log ``5 ^{n}]의 지표를 [eqn: g LEFT ( n RIGHT )]이라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[4점]

‘나’형

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: f LEFT ( 10 RIGHT ) =3] ㄴ. [eqn: f LEFT ( n RIGHT ) +g LEFT ( n RIGHT ) =n] ㄷ. [eqn: 2 ^{n}]의 자릿수와 [eqn: 5 ^{n}]의 자릿수의 합은 [eqn: 10 ^{n}]의 자릿수와 같다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

18. 두 이차정사각행렬 [eqn: A,~B``]가 [eqn: AB+A+B=O], [eqn: A ^3 =O``]를 만족한다. 다음 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: O``]는 영행렬이고 [eqn: E``]는 단위행렬이다.) [4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: A+E``]의 역행렬이 존재한다. ㄴ. [eqn: B= A^2 -A] ㄷ. [eqn: A ^2 =O``]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

19. 컴퓨터의 저장장치인 하드디스크에 표시되어 있는 [eqn: 1][eqn: rm GB](기가바이트)는 [eqn: 1000 ^{3}][eqn: rm Byte](바이트)를 나타낸다. 그런데 컴퓨터의 운영체제는 [eqn: 1024 ^{3}][eqn: rm Byte]를 [eqn: 1][eqn: rm GB]로 인식하기 때문에 하드디스크에 표시된 용량과 컴퓨터 운영체제가 인식하는 용량이 달라 사용자를 혼란스럽게 한다.
예를 들어 [eqn: 100][eqn: rm GB]로 표시된 하드디스크를 컴퓨터에 설치하면 컴퓨터는 [eqn: 100 TIMES {1000 ^{3}} over {1024 ^{3}}][eqn: rm GB]로 인식한다.

어떤 사람이 [eqn: 500][eqn: rm GB]로 표시된 하드디스크를 컴퓨터에 설치했을 때, 컴퓨터가 인식하는 용량을 다음 상용로그표를 이용하여 구한 것은? (단, 바이트는 컴퓨터 저장장치 용량의 기본 단위이다.)

[4점]

수	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	[eqn: 6]	[eqn: 7]	[eqn: 8]	[eqn: 9]
[eqn: 2.0]	[eqn: .301]	[eqn: .303]	[eqn: .305]	[eqn: .308]	[eqn: .310]	[eqn: .312]	[eqn: .314]	[eqn: .316]	[eqn: .318]	[eqn: .320]
[eqn: cdots]	[eqn: cdots]	[eqn: cdots]	[eqn: cdots]	[eqn: cdots]	[eqn: cdots]	[eqn: cdots]	[eqn: cdots]	[eqn: cdots]	[eqn: cdots]	[eqn: cdots]
[eqn: 4.4]	[eqn: .644]	[eqn: .644]	[eqn: .645]	[eqn: .646]	[eqn: .647]	[eqn: .648]	[eqn: .649]	[eqn: .650]	[eqn: .651]	[eqn: .652]
[eqn: 4.5]	[eqn: .653]	[eqn: .654]	[eqn: .655]	[eqn: .656]	[eqn: .657]	[eqn: .658]	[eqn: .659]	[eqn: .660]	[eqn: .661]	[eqn: .662]
[eqn: 4.6]	[eqn: .663]	[eqn: .664]	[eqn: .665]	[eqn: .666]	[eqn: .667]	[eqn: .668]	[eqn: .668]	[eqn: .669]	[eqn: .670]	[eqn: .671]
[eqn: 4.7]	[eqn: .672]	[eqn: .673]	[eqn: .674]	[eqn: .675]	[eqn: .676]	[eqn: .678]	[eqn: .678]	[eqn: .679]	[eqn: .679]	[eqn: .680]
[eqn: 4.8]	[eqn: .681]	[eqn: .682]	[eqn: .683]	[eqn: .684]	[eqn: .685]	[eqn: .686]	[eqn: .687]	[eqn: .688]	[eqn: .688]	[eqn: .689]
[eqn: cdots]	[eqn: cdots]	[eqn: cdots]	[eqn: cdots]	[eqn: cdots]	[eqn: cdots]	[eqn: cdots]	[eqn: cdots]	[eqn: cdots]	[eqn: cdots]	[eqn: cdots]
[eqn: 9.3]	[eqn: .969]	[eqn: .969]	[eqn: .969]	[eqn: .970]	[eqn: .970]	[eqn: .971]	[eqn: .971]	[eqn: .972]	[eqn: .972]	[eqn: .973]

① 약 [eqn: 447][eqn: rm GB]	② 약 [eqn: 457][eqn: rm GB]	③ 약 [eqn: 467][eqn: rm GB]

④ 약 [eqn: 477][eqn: rm GB]	⑤ 약 [eqn: 487][eqn: rm GB]

20. 각 면에 [eqn: 1`,```2`,```3`,```4``]가 하나씩 적혀 있는 정사면체 주사위를 두 번 던져서 바닥에 닿는 면에 적혀 있는 수를 차례로 [eqn: a,~b`]라 하자. 임의의 실수 [eqn: t`]에 대하여 행렬 [eqn: pmatrix{`a-3``&``a+1`#`b-2``&``t} ``]의 역행렬이 존재하도록 하는 순서쌍 [eqn: (a,~b)`]의 개수는? [4점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

21. 세 자리 자연수 [eqn: x``]에 대하여 [eqn: log` sqrt {x} `]와 [eqn: log` root {3} of {x ^{2}} ```]의 가수의 합이 [eqn: 1]이다. [eqn: log`x ^{`2} ``]의 지표를 [eqn: n`], 가수를 [eqn: alpha ``]라 할 때, [eqn: n` alpha ``]의 값은?

[4점]

① [eqn: {4} over {7}]	② [eqn: {5} over {7}]	③ [eqn: {8} over {7}]	④ [eqn: {9} over {7}]	⑤ [eqn: {10} over {7}]

단답형(22 ~ 30)

‘나’형

22. [eqn: 5 ^{x} `=`9`]일 때, [eqn: 25 ^{x over2 } `+`625 ^{x over2} `]의 값을 구하시오. [3점]

23. 행렬 [eqn: A`=` LEFT ( matrix{10``&1#0``&10} RIGHT ) `]에 대하여 [eqn: A ^{10} ``]의 모든 성분의 합을 [eqn: N``]이라 할 때, [eqn: log {N} over {3}]의 값을 구하시오. [3점]

24. 집합 [eqn: A= LEFT { x`` LEFT | ``x= LEFT ( {1} over {64} RIGHT ) ^{{1} over {k}} ,~k는~0이~아닌~정수` RIGHT } RIGHT . ``]의 원소 중
자연수인 것들의 합을 구하시오. [3점]

‘나’형

25. 이차정사각행렬 [eqn: A]가 [eqn: A ^{2} +A-2E=O``,~A pmatrix{`1#`0`} `= pmatrix{`1`#`2`} ``]를 만족한다. [eqn: A pmatrix{`1`#`2`} ``= pmatrix{`a`#`b`} ``]가 되는 상수 [eqn: a,~b``]에 대하여 [eqn: 100`a`+10`b``]의 값을 구하시오. (단, [eqn: E``]는 단위행렬이고 [eqn: O``]는 영행렬이다.) [3점]

26. 역행렬을 갖는 행렬 [eqn: A= pmatrix{`a&````````2#`b&``-5`} `]가 [eqn: A-3A ^{-1} =O``]를 만족한다. 이때, 상수 [eqn: a,~b``]에 대하여 [eqn: a-b``]의 값을 구하시오. (단, [eqn: O``]는 영행렬이다.) [3점]

27. 영행렬이 아닌 두 이차정사각행렬 [eqn: X,~Y```]에 대하여
[eqn: X+Y=E``], [eqn: X`Y=O``]일 때, 행렬 [eqn: A`]를 [eqn: A=3X+Y``]라 하면
[eqn: A ^{3} =aX+Y``]이다. [eqn: a``]의 값을 구하시오. (단, [eqn: E``]는 단위행렬이고 [eqn: O``]는 영행렬이다.) [4점]

28. 양의 실수 [eqn: k``]에 대하여 [eqn: k``]의 네제곱근 중 실수인 것을

[eqn: a,~b] ([eqn: a>b])라 하고, [eqn: k``]의 세제곱근 중 실수인 것을 [eqn: c], [eqn: -k``]의 세제곱근 중 실수인 것을 [eqn: d`]라 한다. 이때, [eqn: log` _{2} ` {c} over {a} `=`log` _{2} ` {b} over {d} `+`1]을 만족하는 [eqn: k``]의 값을 구하시오. [4점]

‘나’형

29. 양의 실수 [eqn: a,~b,~c``]에 대하여 행렬 [eqn: A= pmatrix{``a&```b``#``b&```c``}]가 다음 조건을 만족한다.

(가) [eqn: A ^{2} -2aA=O``]

(나) 함수 [eqn: f(x)=`ax ^{2} +bx+c``]의 최솟값이 [eqn: 3``]이다.

[eqn: a+b+c``]의 값을 구하시오. (단, [eqn: O``]는 영행렬이다.) [4점]

30. 그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: r _{1}]인 세 원 [eqn: rm C _{1} ,~C _{2} ,~C _{3}]의 중심과 반지름의 길이가 [eqn: r _{2}]인 두 원 [eqn: rm O _{1}], [eqn: rm`O _{2}]의 중심이 모두 한 직선 위에 있다.
두 원 [eqn: rm C _{1} ,~C _{2}]는 외접하고, 두 원 [eqn: rm C _{2} ,~C _{3}]이 외접한다. 두 원 [eqn: rm C _{1} ,~C _{3}]은 만나지 않는다.
원 [eqn: rm O _{1}]은 원 [eqn: rm C _{2}]에 내접하고 원 [eqn: rmC _{3}]에 외접한다. 원 [eqn: rm`O _{2}]는 원 [eqn: rmC _{3}]에 외접하고 원 [eqn: rm C _{2}]와 만나지 않는다.
원 [eqn: rmC _{1}]과 원 [eqn: rmO _{1}]의 중심거리가 [eqn: 13]이고 원 [eqn: rmC _{1}]과 원 [eqn: rmO _{2}]의 중심거리가 [eqn: 27]일 때, [eqn: r _{1}], [eqn: r _{2}]에 대한 연립일차방정식을 행렬을 이용하여

[eqn: LEFT ( matrix{r _{1}#r _{2}} RIGHT ) ``= {1} over {8} LEFT ( matrix{``````a&```1#-5&```b} RIGHT ) LEFT ( matrix{13#27} RIGHT )]

과 같이 나타낼 수 있다.

[eqn: 10(a+b)]의 값을 구하시오. (단, [eqn: r _{1}][eqn: >r _{2}]) [4점]

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.