• 2교시 수리 영역 •

2008년도 9월 고2 전국연합학력평가 정답 및 해설

수리‘가’형 정답

1	④	2	①	3	②	4	①	5	⑤	6	④
7	③	8	①	9	①	10	③	11	④	12	⑤
13	②	14	⑤	15	②	16	⑤	17	③	18	⑤
19	③	20	②	21	④	22	16	23	50	24	125
25	80	26	16	27	27	28	64	29	208	30	40

해 설

1. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 식을 간단히 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: log _{2} `( sqrt {5} +1)`+log _{2} ( sqrt {5} -1)]

[eqn: =log _{2} ` LEFT { ( sqrt {5} +1)`( sqrt {5} -1) RIGHT }] [eqn: = log _{2} 4=2]

2. [출제의도] 역행렬을 구하고 행렬의 곱셈을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: A ^{-1} = pmatrix{-2``&-3#`````1&```````1} `]이므로

[eqn: A ^{-1} B= pmatrix{-2``&-3#`````1&```````1} ` pmatrix{0&```1#1&```0}] [eqn: = pmatrix{-3```&-2#`````1&```````1} `]

이다. 따라서 행렬 [eqn: A ^{-1} B`]의 [eqn: (1,~1)]성분은 [eqn: -3`]이다.

3. [출제의도] 수열의 합과 일반항 사이의 관계를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: a_4``=``S_4``-``S_3``]

[eqn: =(``4``^2``+``3 cdot4)``-``(``3``^2``+3 cdot3)``][eqn: =``10`]

4. [출제의도] 등차수열의 합을 구하고 극한값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: a _{n} = sum _{k=1} ^{n} (n+k)] [eqn: = n^2 + n(n+1)over2 = 3 over2 n^2 + 1 over 2 n]

[eqn: lim _{ n->inf} {a_n over n^2 } = lim _{ n->inf} {left( 3 over 2 + 1 over 2n} right) = 3 over 2]

5. [출제의도] 등차수열의 일반항을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

첫째항이 [eqn: 1]이고 공차가 [eqn: 3]이므로 [eqn: a _{n} =3n-2``]이다.

[eqn: 10<a _{n} <50],   [eqn: 10<3n-2<50]

[eqn: 4<n< 52 over 3]

자연수인 [eqn: n]은 [eqn: 5,~6,~cdots,~`17]의 [eqn: 13]개이다.

6. [출제의도] 등비수열의 극한을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: f(x)= cases{ lim _{n -> INF } {} {{a + b over x^n-1 + 1 over x^n } } over { 1+ 1 over x^{ n} } =a ~~(x>1)# {a+b +1} over2 ~~~~~~~~~~~~~~~(x=1)#lim _{n -> INF } {} {ax ^{ n} +bx+1} over {x ^{ n} +1} =bx+1 ~(0<x<1)}]

[eqn: f(root2 +1 ) + f( root2 -1) = a+ b (root2 -1) +1 = 2+root2]

[eqn: a,~b]가 유리수이므로

[eqn: a-b+1 =2 ,~ b=1]이다.

따라서 [eqn: a=2 ,~ b=1]이다.

[eqn: therefore ~a+b=3]

7. [출제의도] 여러 가지 수열에 관한 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. 주어진 수열에서 [eqn: a_ 2n = 2n-1]

[eqn: a_100 =99]	[eqn: THEREFORE``]참

ㄴ. [eqn: S_2n-1 =2 TIMES left{1+3+cdots+(2n-1)right}-(2n-1)]

[eqn: = 2n^2 -2n+1]

따라서 [eqn: S _{99} =2 CDOT 50 ^{2} -2 CDOT 50+1=4901]이다.

[eqn: THEREFORE``]거짓

ㄷ. [eqn: 1]보다 큰 홀수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: k+1, ``~k-1]이 모두 짝수이고 [eqn: S _{2n} =2n ^{2}]이다. 따라서

[eqn: S_k+1 =][eqn: 2 left({k+1}over 2 right)^2]이고 [eqn: S_k-1 =][eqn: 2 left({k-1}over 2 right)^2]이므로

[eqn: S_k+1 -S_k-1 =2 left({k+1}over 2 right)^2 -2 left({k-1}over 2right)^2][eqn: `=2k]이다.

[eqn: THEREFORE``]참

8. [출제의도] 도형과 관련된 무한등비급수의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

그림과 같이 [eqn: n]번째 원 [eqn: rm O_{ it n}]의 지름을 [eqn: 2r_n], [eqn: n+1]번째 원 [eqn: rm O_{ it n+1}]의 지름을 [eqn: 2r_n+1]이라 할 때,

[eqn: alpha]는 지름에 대한 원주각이므로 [eqn: 90 DEG]이고 [eqn: beta]는 정육각형의 외각이므로 [eqn: 60 DEG]이다.

따라서 [eqn: r_n+1 over r_n = 1 over 2], [eqn: r _{1} =4]이다.

[eqn: r _{n} `=`4CDOT LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1}]

그런데 [eqn: l _{n} `=2 pi r _{n} =`8 pi CDOT LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1}]

[eqn: sum _{k=1} ^{INF } l _{k} = sum _{k=1} ^{INF } `8 pi ` LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{k-1}] [eqn: ={8 pi } over {1- {1} over {2}} =16 pi]

9. [출제의도] [eqn: bold {log`2}]가 무리수임을 증명할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: log`2]가 유리수라고 가정하자.

[eqn: log`2= {n} over {m}] ([eqn: m,``n]은 서로소인 자연수)

으로 놓으면

[eqn: 0<log`2<1]이므로 [eqn: m>n]이다.	⇐ (가)

[eqn: log`2= {n} over {m}] [eqn: LRARROW] [eqn: 10 ^{{n} over {m}} =2]

양변을 [eqn: m]제곱하면 [eqn: 2 ^{m} =10 ^{n}]

양변을 [eqn: 2 ^{n}]으로 나누면 [eqn: 2 ^{m-n} =5 ^{n}]	⇐ (나)

이때 [eqn: m-n>0] 이므로

[eqn: 2 ^{m-n}]은 짝수이고	⇐ (다)

[eqn: 5 ^{n}]은 홀수가 되어 모순이다.

따라서 [eqn: log`2]는 무리수이다.

10. [출제의도] 상용로그의 성질을 이용하여 식의 값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: & (`3`◈`30)```+` LEFT ( 5``◈` {1} over {50} RIGHT ) ``# = & LEFT ( 2 ^{3} + LEFT [ log30 RIGHT ] RIGHT ) + LEFT ( 2 ^{5} + LEFT [ log {1} over {50} RIGHT ] RIGHT )# = & LEFT ( 8+1 RIGHT ) + LEFT ( 32-2 RIGHT ) ```````=39]

11. [출제의도] 역행렬의 정의를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: A ^{2} +AB=A(A+B)=E`] … ㉠

[eqn: A^-1 = A+B`]	⇐ (가)

[eqn: (A+B)A=A ^{-1} `A`]

[eqn: A ^{2} +BA=E`] … ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: AB=BA`]	⇐ (나)

또, [eqn: B ^{2} =E`]이므로

[eqn: A ^{2} +AB=B ^{2} `]

[eqn: A ^{2} +AB-2B ^{2} =-B ^{2} =-E`]

[eqn: (A+2B)(A-B)=-E`]

∴ [eqn: (B-A) ^{-1} =A+2B`]	⇐ (다)

12. [출제의도] 행렬의 연산과 역행렬에 관한 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: A+B``=E```]이면

[eqn: A+B``= pmatrix{```````a``&b#-b``&a} + pmatrix{b&``-a#a&````````b} `=` pmatrix{``````a+b``&``b-a#-b+a``&``a+b} `= pmatrix{1&``0#0&``1} `]

이므로 [eqn: a+b=1,`````a-b`=`0]

[eqn: therefore ~][eqn: a=b= {1} over {2}]

[eqn: A`=` pmatrix{```````a`&``b`#-b`&``a`} ` `=` {1} over {2} pmatrix{``````1``&1#-1``&1} `]

[eqn: B`=` pmatrix{b`&``-a`#a`&````````b`} ` = {1} over {2} ` pmatrix{1`&``-1#1`&````````1} `]

이므로

[eqn: AB=` {1} over {4} pmatrix{``````1``&1#-1``&1} ` pmatrix{1`&``-1#1`&````````1} `= {1} over {2} pmatrix{1```&0#0```&1} `]

∴ [eqn: (AB) ^{-1`} = LEFT ( {1} over {2} E `RIGHT ) ^{-1}] [eqn: =2E`= pmatrix{2&``0#0&``2} `]

따라서 [eqn: (AB) ^{-1`}]의 모든 성분의 합은 [eqn: 4]이다.

13. [출제의도] 도형의 성질을 이용하여 역행렬이 존재하는가를 판단하는 문제이다.

원의 성질에 의하여 [eqn: a ^{2} =bc`]이다.

또, [eqn: rm ANGLE PCA =ANGLE PAB`, ~rm ANGLE CAD =ANGLE BAD]이므로

[eqn: rm ANGLE PDA= ANGLE PCA`+ angle CAD]

[eqn: rm= ANGLE PAB+ ANGLE BAD] [eqn: = rm ANGLE PAD]

따라서 [eqn: ` rm TRIANGLE PAD]는 이등변삼각형이므로 [eqn: rm bar{PA} = bar{PD}]이다. 즉, [eqn: a=`d]

따라서 [eqn: a ^{2} =bc`]에서 [eqn: ad=bc`]이므로 [eqn: ad-bc=0`]이다.

ㄱ. [eqn: T]의 역행렬은 존재하지 않는다.	[eqn: THEREFORE``]거짓

ㄴ. [eqn: T+E= pmatrix{`a+1`&`b`#`c`&`d+1`}]에서

[eqn: (a+1)(d+1)-bc=ad-bc+(a+d)+1`]

[eqn: =(a+d)+1 != 0]

이므로 항상 역행렬이 존재한다.    [eqn: THEREFORE``]참

ㄷ. [eqn: T-E= pmatrix{`a-1`&`b`#`c`&`d-1`}]에서

[eqn: (a-1)(d-1)-bc=ad-bc-(a+d)+1]

[eqn: =-(a+d)+1]

이므로 [eqn: a+d`=1]일 때 역행렬이 존재하지 않는다.

[eqn: THEREFORE``]거짓

14. [출제의도] 등비중항을 이용하여 실생활과 관련된 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

수영장의 바닥으로부터 높이 [eqn: 1``rm m``]까지의 부피는

[eqn: 20``rm m ^{3``}]이므로 [eqn: a``=`` {20``} over {20} ``=``1``]이다.

세 수 [eqn: `a,`b``,`c``]가 이 순서대로 등비수열을 이루므로

[eqn: b`` ^{2} ``=``1 CDOT c`] … ㉠

문제조건에서 수영장을 가득 채우는데 걸린 시간이 [eqn: 21``]시간이므로

[eqn: 1``+``b``+``c``=``21``]

[eqn: c``=``20``-``b``] … ㉡

㉡을 ㉠에 대입하여 정리하면

[eqn: b`` ^{2} ``+``b``-``20``=``0]

[eqn: (`b``+``5``)``(`b``-``4``)``=``0``]

[eqn: THEREFORE ``b``=``4``(`` BECAUSE ``b``>``0``)``], [eqn: `c``=``16``]

[eqn: 20x = 16 times {20]

[eqn: THEREFORE`` x``=``16``(rm m)]

15. [출제의도] 무한급수의 수렴과 발산을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: lim _{n ->inf } {} a _{n} = lim _{n ->inf } { 1 over{root n+1 + root n} } = 0]	[eqn: THEREFORE``]참

ㄴ. [eqn: sum _{n =1 } ^99 {} a _{n} = sum _{n =1 } ^99 { ({root n+1 - root n} } )]

[eqn: =( sqrt {2} - {1} )+( sqrt {3} - sqrt {2} )+ CDOTS +( sqrt {100} - sqrt {99} )]

[eqn: = root100 - 1 = 9]	[eqn: THEREFORE``]참

ㄷ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n} = lim _{n -> INF } {} sum _{k=1} ^{n} {1} over {sqrt {k+1} + sqrt {k}}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} sum _{k=1} ^{n} ( sqrt {k+1} - sqrt {k} )]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} ( sqrt {n+1} - sqrt {1} )= INF]	[eqn: THEREFORE``]거짓

16. [출제의도] 상용로그를 이용하여 실생활과 관련된 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: rm LEFT [ OH ^{-} RIGHT ] =10 ^{-14} TIMES {1} over {LEFT [ H ^{+} RIGHT ]}]에서 [eqn: rm LEFT [ H ^{+} RIGHT ] =10 ^{-14} TIMES {1} over {LEFT [ OH ^{-} RIGHT ] }]

[eqn: rm {LEFT [ OH ^{-} RIGHT ] } = 10^-4]이므로

[eqn: rm LEFT [ H ^{+} RIGHT ] =10 ^{-14} TIMES {1} over {10^ -4} = 10 ^ -10]

[eqn: therefore ~rm pH=-log LEFT [ rm H ^{+} RIGHT ] =-log10 ^{-10} =10]

17. [출제의도] 상용로그의 지표의 성질을 이해하는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: 2 ^{10} =1024]로 네 자리 수이므로 지표는 [eqn: 3]이다.

∴ [eqn: f(10)=3`]	[eqn: THEREFORE``]참

ㄴ. [eqn: log`2 ^{n} =n`log2=f(n)+ alpha `] ([eqn: 0`<` alpha `<`1`])

[eqn: log`5 ^{n} =n`log5=g(n)+ beta`] ([eqn: 0`<` beta `<`1`])에서

[eqn: log2 ^{n} +log5 ^{n} =f(n)+g(n)+ alpha + beta `]

∴ [eqn: n=f(n)+g(n)+ alpha + beta `]

여기서 [eqn: n,````f(n),```g(n)`]이 모두 정수이므로 [eqn: alpha + beta `]도 정수이다. 즉, [eqn: alpha + beta `=1`]이다.

∴ [eqn: f(n)+g(n)=n-1`]	[eqn: THEREFORE``]거짓

ㄷ. ㄴ에서 [eqn: f(n)+g(n)=n-1`]이므로

[eqn: f(n)+1+g(n)+1=n-1+2=n+1`]이다.

따라서 [eqn: 2 ^{n`}]의 자릿수와 [eqn: 5 ^{n`}]의 자릿수의 합은

[eqn: 10 ^{n`}]의 자릿수인 [eqn: n+1`]과 같다.    [eqn: THEREFORE``]참

18. [출제의도] 좌표를 이용하여 계차수열의 일반항을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

점 [eqn: {rm A _{ it n} } ```(``a _{n} ``,``0``)``]이라 하면,

[eqn: {rm A _{ it n+1} }``(``a _{n+1} ``,``0``)``]이고 [eqn: rm bar{A _{ it n} `A _{ it n+1}} ``=``bar{A _{ it n+1}`B _{ it n+1}}``]이므로

[eqn: {rm B _{ it n+1} `}`(``a _{ it n+1} ``,``a_n+1``-``a_n ``)``]이다.

[eqn: {rm A _{10}} ``(``a _{10} ``,``0``)``],[eqn: {rm A _{11} }``(``a _{11} ``,``0 ``)``],[eqn: {rm B _{11} }``(``a _{11} ``,``a _{11}`-`a_10 ``)``]이고 삼각형 [eqn: rm A_10`A_11`B_11`]의 무게중심 [eqn: {rm G `}`(``a``,``b``)``]의 좌표는 각각 다음과 같다.

[eqn: a``=`` {a _{10} ``+``a _{11} ``+``a _{11}} over {3} ``], [eqn: b ``=`` {a _{11} `-``a_10`} over {3} ``]이므로

[eqn: ` a``+``b``=``a_11``]이다.

한편, [eqn: rm bar{A _{1} `A _{2}} ``= {1} over {sqrt {2}} ` bar{A _{1} `B _{2}} = {1} over {2} ` bar{A _{1} `B _{1}} ``= {1} over {2}]이고

[eqn: rm bar{A _{ it n } `A _{ it n+1}} ``=`` {1} over {2} ` bar{A _{ it n-1 } `A _{ it n }} ~(단, ~A_0 = O)]이므로

[eqn: a _{n+1} ``-``a _{n} ``=``left(`` {1} over {2} ` right )`` ^{n}]

[eqn: a_n = a_1 + sum _{ k=1} ^{n-1 } ```left(``1over2``right)``^k]

[eqn: a`+b`=``a_11``=``1``+`` sum _{ k=1} ^{10 } ``left({1} over {2} right)``^k]  [eqn: =``{2``^11``-``1}over{2``^10}``]

19. [출제의도] 상용로그를 이용하여 실생활과 관련된 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 500` rm GB]로 표시된 하드디스크를 컴퓨터가 인식하는 용량을 [eqn: x`][eqn: rm `GB`]라 하면

[eqn: log`x`=`log`500 TIMES {1000 ^{3}} over {1024 ^{3}}]

[eqn: =log {10 ^{12}} over {2 ^{31}}][eqn: =12-31cdot log2]

[eqn: =12-9.331][eqn: =2.699]

[eqn: =2+log4.67=log467]

∴ [eqn: x=467`]

20. [출제의도] 순서도를 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: a]의 값이 홀수이면 1을 빼고 짝수이면 [eqn: 2]로 나누므로 [eqn: a]와 [eqn: n]의 값을 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: a]	[eqn: 23]	[eqn: 22]	[eqn: 11]	[eqn: 10]	[eqn: 5]	[eqn: 4]	[eqn: 2]	[eqn: 1]
[eqn: n]	[eqn: 0]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	[eqn: 6]

따라서 인쇄되는 [eqn: n]의 값은 [eqn: 6]이다.

21. [출제의도] 등차수열의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: `left[` {a} over {n} ``right]``=``1``]에서 [eqn: A _{n``}]의 원소는

[eqn: {n} over {n} ``,`` {n``+``1} over {n} ``,`` CDOTS ``,`` {2``n``-``1} over {n} ``]이다.

[eqn: P`` _{n} ``= 1 over n left{ n +(n+1) + cdots + (2n-1) right}`]

[eqn: =` {1} over {n} CDOT ` {n``(``n``+``2``n``-``1)} over {2}][eqn: =``{3``n``-``1}over{2``]

[eqn: sum _{k`=``1} ^{20} `P`` _{k} `][eqn: =``sum _{k`=``1} ^{20} `{3``k``-``1}over2``=``1over2``left(``3`` sum _{ k``=``1} ^{20 }``k``-``20``right)```]

[eqn: =``1over{2}``LEFT(``3` CDOT `{20 CDOT 21}over2``-``20``RIGHT)``=``305``]

22. [출제의도] 수열의 극한에 대한 성질을 이용하여 극한값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: lim _{n ->inf } {} {4^n+1 - 3^n}over{4^n-1 + 2^n} = lim _{n ->inf } {} {4 - left(3 over 4 right) ^n}over{1 over 4 + left( 1over 2 right) ^n} =16]

23. [출제의도] 무한급수의 정의를 이용하여 무한급수의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: { } sum _{n=1} ^{inf } {100} over {4n^2 - 1} = lim _{ n->inf}`` { } sum _{k=1} ^{n } {100} over {(2k-1)(2k+1)}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} `` sum _{k=1} ^{n} 50 LEFT ( {1} over {2k-1} - {1} over {2k+1} RIGHT )]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} ``50 LEFT ( 1 - {1} over {2n+1} RIGHT )][eqn: =50]

24. [출제의도] 도형과 관련된 무한등비급수의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

그림에서 직각삼각형 [eqn: rm A _{1} ET_1]과 직각삼각형 [eqn: rm D_1 C_2 T_1]이 합동이므로 직각삼각형 [eqn: rm A _{1} D _{2} D _{1}]의 넓이와 정사각형 [eqn: rm{A_1 D_2 C_2 E}]의 넓이는 같다.

마찬가지로 정사각형 [eqn: rm{A_1 B_1 C_1 D_1]의 넓이는 합동인 [eqn: 5]개의 정사각형의 넓이의 합과 같음을 알 수 있다.

따라서 정사각형 [eqn: rm{A_2 B_2 C_2 D_2]의 넓이는 정사각형

[eqn: rm{A_1 B_1 C_1 D_1]의 넓이의 [eqn: 1 over 5]이므로 정사각형 [eqn: rmA_{ it n} B_{ it n} C_{ it n} D_{ it n}]의 넓이 [eqn: S _{n}]은 첫째항이 [eqn: 100]이고 공비가 [eqn: {1} over {5}]인 등비수열을 이룬다.

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n} = sum _{n=1} ^{INF } 100` LEFT ( {1} over {5} RIGHT ) ^{n-1} = {100}over{1- 1 over 5} = 125]

25. [출제의도] 행렬의 연산법칙을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: A pmatrix{`1#`0`} = pmatrix{`1`#`2`} `]이므로

[eqn: A cdot A pmatrix{`1#`0`} =A pmatrix{`1`#`2`}]

그런데 [eqn: A ^{2} =-A+2E] 이므로

[eqn: (-A+2E) pmatrix{`1#`0`} =A pmatrix{`1`#`2`}]

[eqn: THEREFORE ``A pmatrix{`1`#`2`} =-A pmatrix{`1`#`0`} +2 pmatrix{`1`#`0`}]

[eqn: =- pmatrix{`1`#``2`} + pmatrix{`2`#`0`} = pmatrix{```````1`#`-2`}]

따라서 [eqn: a=1,~b=-2]이므로 [eqn: 100a+10b=80]이다.

26. [출제의도] 역행렬의 성질을 이용하여 행렬을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: A=3A ^{-1}]의 양변에 [eqn: A]를 곱하여 [eqn: A ^{2} =3E]

[eqn: A^2 = pmatrix{``a&```2``#``b&```-5``} pmatrix{``a&```2``#``b&``-5``}]

[eqn: = pmatrix{``a^2 +2b &```2a-10``#``ab-5b&```2b+25``} = pmatrix{``3&```0``#``0&``3``}]

따라서 [eqn: 2a-10=0,~2b+25=3]이므로

[eqn: a=`5`,~`b`=`-11]이다.

[eqn: THEREFORE `][eqn: a-`b`=`16]

27. [출제의도] 행렬의 거듭제곱의 규칙성을 찾을 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: X=X(X+Y)=`X ^{2} +XY=X ^{2} ``]이므로

[eqn: X ^{3} =X ^{2} `X=X`], [eqn: X ^{4} =X ^{3} `X=X^2 =X], [eqn: cdots`]

즉, [eqn: X ^{n} `=X`] ([eqn: n`]은 자연수) … ㉠

마찬가지 방법으로 정리하면

[eqn: Y ^{n} `=Y`] ([eqn: n`]은 자연수)    … ㉡

또한 [eqn: X=X(X+Y)=(X+Y)X`]

∴ [eqn: XY=YX=O`]  … ㉢

㉠, ㉡, ㉢으로부터

[eqn: A ^{3} =(3X+ Y) ^{3}]

[eqn: =3 ^{3} X ^{3} +3 CDOT 3X CDOT Y(3X+ Y)+ Y ^{3}]

[eqn: =3 ^{3} X+Y`]

따라서 [eqn: a=27]이다.

28. [출제의도] 거듭제곱근의 뜻과 로그의 연산법칙을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: x ^{`4} `=`k``(k>0)]에서 [eqn: k``]의 네 제곱근 중 실수인 것은 [eqn: - root {4} of {k} `], [eqn: root {4} of {k} `] 이므로 [eqn: a= root {4} of {k} ,```b=- root {4} of {k}]이다.

[eqn: x ^{`3} `=`k``(k>0)]에서 [eqn: k``]의 세 제곱근 중 실수인 것은 [eqn: root {3} of {k} `] 이므로 [eqn: c`=` root {3} of {k}]이다.

[eqn: x ^{`3} `=-`k``(k>0)]에서 [eqn: -k``]의 세 제곱근 중 실수인 것은 [eqn: root {3} of {-k} `=`- root {3} of {k} `]이므로 [eqn: d`=`- root {3} of {k}]이다.

[eqn: log` _{2} ` {c} over {a} `=`log` _{2} ` {b} over {d} `+`1]에서

[eqn: log` _{2} ` {c} over {a} `-`log` _{2} ` {b} over {d} `=`1`]

[eqn: log _{`2} {cd} over {ab} =1], [eqn: {cd} over {ab} =`2]

[eqn: {cd} over {ab} `=` {root {3} of {k} (- root {3} of {k} )} over {root {4} of {k} (- root {4} of {k} )} = {root {3} of {k ^{2}}} over {root {4} of {k ^{2}}} `]

[eqn: =` {k ^{{2} over {3}}} over {k ^{{1} over {2}}} `=`k ^{{2} over {3} - {1} over {2}} `=`k ^{` {1} over {6}} ``]

따라서 [eqn: k ^{{1} over {6}} `=`2]이므로 [eqn: k=2^6 = 64]이다.

29. [출제의도] 약수와 배수를 이용하여 여러 가지 수열의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

주어진 수열의 일반항([eqn: n``]번째)을 [eqn: a _{n} ``]이라 하면

[eqn: a _{n} ``=`` {100``-``n} over {n} ``](단, [eqn: 1`` <= ``n`` <= ``99``])이다.

[eqn: a _{n} ``=`` {100``-``n} over {n} ``][eqn: =`` {100} over {n} ``-``1``]이므로

[eqn: n``]이 [eqn: 100``=``2`` ^{2} `5`` ^{2} ``]의 약수일 때 [eqn: {100} over {n} ``]은 자연수가 된다. 따라서 자연수 [eqn: a _{n} ``]의 총합은 다음과 같다.

[eqn: `(``1``+``2``+2`` ^{2} ``)``(``1``+``5``+``5`` ^{2} ``)``-``9``][eqn: =``208``]

30. [출제의도] 연립방정식을 행렬로 나타낼 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 3r _{1} -r _{2} =13`], [eqn: 5r _{1} +r _{2} =27`]이므로 행렬로 나타내면

[eqn: pmatrix{3```&-1#5```&```````1} pmatrix{r _{1}#r _{2}}=pmatrix{13#27} `]

이므로

[eqn: pmatrix{r _{1}#r _{2}} = {1} over {8} pmatrix{``````1&```1#-5&```3} pmatrix{13#27} `]이다.

[eqn: a=1 ,~ b=3]이므로 [eqn: 10(a+b)=40]이다.

수리‘나’형 정답

1	④	2	①	3	④	4	②	5	①	6	③
7	⑤	8	①	9	①	10	③	11	④	12	⑤
13	②	14	②	15	④	16	⑤	17	③	18	⑤
19	③	20	③	21	②	22	90	23	10	24	78
25	80	26	16	27	27	28	64	29	12	30	40

해 설

1. ‘가’형과 동일

2. ‘가’형과 동일

3. [출제의도] 로그의 정의를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

밑의 조건 : [eqn: a`>`0`], [eqn: a != 1`]이고 [eqn: b`>`0`], [eqn: b != 1`]

[eqn: log _{a} `3= {1} over {2} `]에서 [eqn: a ^{{1} over {2}} =3`]  ∴ [eqn: a=9`]

[eqn: log _{b} `9=2`]에서 [eqn: b ^{2} =9`]  ∴ [eqn: b=3`]

∴ [eqn: a+b=12`]

4. [출제의도] 지수법칙을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 3 ^{a} =5`]이므로 [eqn: 5 ^{b} =(3 ^{a} ) ^{b} =3 ^{ab} =9`]이다.  ∴ [eqn: ab=2`]

5. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 상용로그의 가수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: log {x ^{2}} over {y} =2logx-logy`][eqn: =2(k+2)-left(2k+ {3} over {4} right)=3+ {1} over {4} `]

따라서 구하는 가수는 [eqn: {1} over {4}`]이다.

6. [출제의도] 행렬의 정의를 알고 행렬의 연산을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: a _{11} =log _{2} `1 +log _{2} `1 =0`], [eqn: a _{12} =2 ^{1-2} = {1} over {2} `]

[eqn: a _{21} =2 ^{2-1} =2`], [eqn: a _{22} =log _{2} ``2 +log _{2} ``2=2`]

[eqn: A= pmatrix{0&``` {1} over {2}#2&```2} `]  ∴ [eqn: A ^{2} = pmatrix{1&``` {1} #4&``5} `]

모든 성분의 합은 [eqn: 11]이다.

7. [출제의도] 거듭제곱근의 대소를 비교할 수 있는가를 묻는 문제이다.

세 수 [eqn: A,```B,```C``]를 각각 [eqn: 6]제곱하면

[eqn: A ^{6`} =( sqrt {5} ) ^{6} =5 ^{3} =125`]

[eqn: B ^{6`} =( root {3} of {11} ) ^{6} =11 ^{2} =121`]

[eqn: C ^{`6`} =( sqrt {2 root {3} of {15}} ) ^{6} =( sqrt {2} CDOT root {6} of {15} ) ^{6} =2 ^{3} CDOT 15=120`]

이므로 [eqn: C`<`B`<`A`]이다.

8. [출제의도] 연립일차방정식을 행렬로 나타낼 수 있는가를 묻는 문제이다.

직선 [eqn: rm {AC}]의 방정식은 [eqn: y=-x+5], 직선 [eqn: rm BD]의 방정식은 [eqn: y=x+1]이다.

두 대각선 [eqn: rm AC], [eqn: rm BD]의 교점이 [eqn: {rm P}(x,``y)]이므로 [eqn: x,~y]는 연립방정식

[eqn: cases{x+y=5#x-y=-1}]

의 해이다. 따라서 행렬로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: pmatrix{1&```-1#`1&`````````1} pmatrix{x#y} = pmatrix{-1#5}]

이므로 [eqn: a= 1`], [eqn: b=5]이다.  ∴ [eqn: a+b=6]

9. ‘가’형과 동일

10. ‘가’형과 동일

11. ‘가’형과 동일

12. ‘가’형과 동일

13. ‘가’형과 동일

14. [출제의도] 행렬로 표현된 연립방정식이 무수히 많은 해를 가질 조건을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: pmatrix{``a-3``&``-b``#``1+a``&``b+2``} `` pmatrix{`x`#`y`} = pmatrix{`0`#`0`}]이 무수히 많은 해를 갖기 위한 조건은 [eqn: (a-3)(b+2)+b(1+a)=0]이다.

[eqn: ab+a-b-3=0], [eqn: (a-1)(b+1)=2]

그런데 [eqn: a,`b`]가 자연수이므로

[eqn: a-1=1`]이고 [eqn: b+1`=2`]이다.  ∴ [eqn: a=2``], [eqn: b=1`]

따라서 [eqn: a+b=3`]이다.

15. [출제의도] 이차방정식의 근의 판별과 상용로그의 지표의 성질을 이용하여 영역의 넓이를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

(가)에서 이차방정식 [eqn: bx ^{2} `-`2ax`+`4-b`=`0]이 서로 다른 두 허근을 갖기 위한 조건은

[eqn: {D} over {4} =(-a) ^{2} -b(4-b)<0]       [eqn: therefore ~a ^{2} +(b-2) ^{2} `<`4] … ㉠

(나)에서 [eqn: log5`b``]의 지표가 [eqn: 1`]이므로

[eqn: 1 ≦ log``5b`<2,``````10≦ 5b`<`100`]이다. ∴ [eqn: 2` ≦ `b`<20`] … ㉡

㉠, ㉡를 동시에 만족하는 영역이 반원이므로 넓이는 [eqn: 2 pi `]이다.

16. ‘가’형과 동일

17. ‘가’형과 동일

18. [출제의도] 역행렬의 연산에 관한 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: AB`+A`+B=O``]에서 [eqn: A(B+E)+B+E=E]

[eqn: (A+E)(B+E)=E] [eqn: THEREFORE `(A+E) ^{-1} =B+E]

따라서 [eqn: A+E`]의 역행렬은 존재한다.  [eqn: THEREFORE``]참

ㄴ. ㄱ에서 [eqn: (A+E) ^{-1} =B+E]이고

[eqn: A ^{3} =O``]에서 [eqn: A ^{3} +E=E]

[eqn: (A+E)(A ^{2} -A+E)=E]

[eqn: (A+E) ^{-1} =A ^{2} -A+E]

[eqn: B+E=A ^{2} -A+E]    [eqn: THEREFORE `B=A ^{2} -A]    [eqn: THEREFORE``]참

ㄷ. 행렬 [eqn: A]를 [eqn: A``= pmatrix{`a&``b`#`c&`d`} `]라 하면,

[eqn: A ^{-1``}]이 존재하면 모순이다.

[eqn: THEREFORE `A ^{-1} ``]이 존재하지 않으므로 [eqn: ad-bc=0``]이다.

[eqn: A ^{2} ``= pmatrix{`a ^{2} +bc&````ab+bd`#`ac+cd&```bc+d ^{2} `} `= pmatrix{`a ^{2} +ad&````ab+bd`#`ac+cd&```ad+d ^{2} `} `]

[eqn: =(a+d) pmatrix{`a&```b`#`c&```d`} `]

[eqn: =(a+d)A]	[eqn: CDOTS]㉠

가 성립한다. 따라서

[eqn: A ^{3} =(a+d)A ^{2} =(a+d) ^{2} A]

[eqn: A ^{3} =O]이므로 [eqn: a+d~=0]이거나 [eqn: A=O]이다.

[eqn: a+d~=0]일 때 ㉠에서 [eqn: A ^{2} =O]이고

[eqn: A=O]일 때 [eqn: A ^{2} =O]이다.

따라서 [eqn: A ^{3} =O]이면 [eqn: A ^{2} =O]이다.        [eqn: THEREFORE``]참

19. ‘가’형과 동일

20. [출제의도] 역행렬이 존재하는 조건을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

행렬 [eqn: pmatrix{a-3```&a+1`#b-2```&t`} `]의 역행렬이 존재하려면

[eqn: (a-3)t-(a+1)(b-2) != 0`] … ㉠

이다. 이 때, ㉠이 임의의 실수 [eqn: t`]에 대하여 항상 성립하기위한 조건은

[eqn: a-3=0`]이고 [eqn: (a+1)(b-2) != 0`]이다.

순서쌍 [eqn: (a,~b)`]는 [eqn: (3,~1)`], [eqn: (3,~3)], [eqn: (3,~4)]이다.

따라서 구하는 순서쌍의 개수는 [eqn: 3]이다.

21. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: x``]가 세 자리의 자연수이므로

[eqn: log``x`=`2`+` beta ``````(0` <= ` beta ``<`1)]라고 하자.

[eqn: log` sqrt {x} =` {1} over {2} `log``x`=` `1+` { beta } over {2} ```]에서

[eqn: 0`` <= ` { beta } over {2} ``<`1 over2```]이므로 [eqn: log` sqrt {x} `]의 가수는 [eqn: ` { beta } over {2} ``]이다.

[eqn: log` root {3} of {x ^{2}} ` `=` {2} over {3} `log``x`][eqn: =` {4} over {3} +` {2 beta } over {3}][eqn: ``=`1+ {1} over {3} + {2 beta } over {3} ``]

에서 [eqn: {1} over {3} ` <= ` {1+2 beta } over {3} `<1``]이므로

[eqn: log` root {3} of {x ^{2}} `]의 가수는 [eqn: ` {1+2 beta } over {3} ``]이다.

[eqn: log` sqrt {x} `]와 [eqn: log` root {3} of {x ^{2}} ```]의 가수의 합이 [eqn: 1]이면

[eqn: ` { beta } over {2} `+` {1+2 beta } over {3} `=1`] [eqn: THEREFORE `` beta `=` {4} over {7} ``]

[eqn: log`x ^{2} `=`2`log`x` `=`4`+` {8} over {7}][eqn: `=`5+ {1} over {7} `]이므로

[eqn: log``x ^{`2} `]의 지표는 [eqn: 5`]이고, 가수는 [eqn: {1} over {7} `]이다.

따라서, [eqn: n`=`5`,````` alpha `=` {1} over {7} ``]이므로 [eqn: n` alpha `=` {5} over {7} ``]이다.

22. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 식의 값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 25 ^{{x} over {2}} `+`625 ^{{x} over {2}} ` =5^x +5^2x =5^x +(5^x )^2][eqn: =`9 `+`9` ^{2} =90]

23. [출제의도] 행렬의 거듭제곱의 규칙성을 찾을 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: A`=` LEFT ( matrix{10``&1#0``&10} RIGHT ) `=`10 LEFT ( matrix{1``&{1} over {10}#`0``&1} RIGHT ) `]에서

[eqn: A^2`=` `10^2 LEFT ( matrix{1``&{2} over {10}#`0``&1} RIGHT ) `], [eqn: A^3`=` `10^3 LEFT ( matrix{1``&{3} over {10}#`0``&1} RIGHT ) `], [eqn: CDOTS],[eqn: `A ^{`10} `=`10 ^{10`} pmatrix{`1&1`#`0&`1`}]

[eqn: `N=3 CDOT 10 ^{10}]  [eqn: THEREFORE ``log` {N} over {3} `=log10 ^{10} =10]

24. [출제의도] 거듭제곱근이 자연수가 되기 위한 조건을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: LEFT ( {1} over {64} RIGHT ) ^{{1} over {n}} = 2^ {- {6 } over {n }}]이 자연수이려면

[eqn: `n=-1,~-2,`-3,~-6]이 되어 집합 [eqn: A]의 자연수인 원소는 [eqn: 2^ {6 } ,~2^3 ,~2^2 ,~2^1]이다.

[eqn: therefore ~64+8+4+ 2=78]

25. ‘가’형과 동일

26. ‘가’형과 동일

27. ‘가’형과 동일

28. ‘가’형과 동일

29. [출제의도] 행렬의 연산과 이차함수의 최솟값을 이용하여 행렬을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: A ^{2} = 2aA]

[eqn: pmatrix{``a&```b``#``b&```c``} pmatrix{``a&```b``#``b&```c``} =2a pmatrix{``a&```b``#``b&```c``}]

[eqn: pmatrix{``a^2 +b^2&```ab+bc``#``ab+bc&```b^2 +c^2``} = pmatrix{``2a^2&```2ab``#``2ab&```2ac``}]

[eqn: a ^{2} +b ^{2} =2a ^{2} ,~ab+bc=2ab]

[eqn: a ^{2} = b ^{2} ,~ bc= ab]

[eqn: a,~b,~c]가 양수이므로 [eqn: a=b=c]이다.

[eqn: f(x)=ax ^{2} +ax+a][eqn: =a LEFT ( x +{1} over {2} RIGHT ) ^{2} + {3} over {4} a]

최솟값이 [eqn: 3]이므로 [eqn: a=4]이다.

[eqn: THEREFORE `a+b+c=12]

30. ‘가’형과 동일