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2008년도 9월 고1 전국연합학력평가 정답 및 해설

정 답

1	③	2	④	3	⑤	4	②	5	④	6	②	7	②	8	③
9	⑤	10	①	11	②	12	①	13	⑤	14	⑤	15	①	16	④
17	①	18	④	19	③	20	③	21	④	22	[eqn: 74]	23	[eqn: 63]	24	[eqn: 34]
25	[eqn: 11]	26	[eqn: 27]	27	[eqn: 48]	28	[eqn: 24]	29	[eqn: 56]	30	[eqn: 676]

해 설

1. [출제의도] 복소수의 사칙연산을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

분모를 통분하여 계산하면

[eqn: {1} over {1`+`i} `+` {i} over {1`-`i} `=` {1`-`i} over {(1`+`i)`(`1`-`i`)`} + {i`(`1`+`i`)`} over {(`1`-`i`)`(`1`+`i`)`} `]

[eqn: = {1`-`i`} over {2} `+` {i`-`1} over {2} ``]

[eqn: =`0``]

2. [출제의도] 이차방정식의 근을 구하여 식의 값을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

이차방정식 [eqn: x ^{2} `-`2`x`+`3`=`0``]의 두 근을 [eqn: alpha``], [eqn: beta ``]라 하면,

이차방정식의 근과 계수의 관계에서

[eqn: alpha `+` beta ``=`2``], [eqn: alpha ` beta ``=`3``]

∴ [eqn: alpha `+` {3} over {alpha } `=` alpha `+` beta `=`2``]

[별해]

이차방정식 [eqn: x ^{2} `-`2`x`+`3`=`0``]에서

[eqn: x`=`1`± sqrt {1 ^{2} `-`3`} `=`1`± sqrt {2} `i``]

[eqn: alpha `=`1`+ sqrt {2} `i``]일 때,

[eqn: {3} over {alpha } `=` {3} over {1`+ sqrt {2} `i`} `=` {3`(`1`- sqrt {2} `i`)} over {(`1`+ sqrt {2} `i`)`(`1`- sqrt {2} `i`)} ``][eqn: =` {3`(`1`- sqrt {2} `i`)} over {3} `=`1`- sqrt {2} `i``]

[eqn: alpha `=`1`- sqrt {2} `i``]일 때, 같은 방법으로 [eqn: {3} over {alpha } `=`1`+ sqrt {2} `i``]

[eqn: THEREFORE `` alpha `+` {3} over {alpha } `=`(`1`+ sqrt {2} `i`)`+`(`1`- sqrt {2} `i`)`=`2``]

3. [출제의도] 항등식의 성질을 이용하여 미정계수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 2`x ^{2} `-`x`+`9``=`2`(`x`-`1`) ^{2} `+`a`(`x`-`1`)`+`b``]

[eqn: =`2`(`x ^{2} `-`2`x`+`1`)`+`a`x`-`a`+`b``]

[eqn: =`2`x ^{2} `+`(`-`4`+`a`)`x`+`2`-`a`+`b``]

이 등식이 [eqn: x``]에 대한 항등식이므로 각 항의 계수를 비교하면

[eqn: -4`+`a`=`-1``], [eqn: 2`-`a`+`b`=`9``]

두 식을 연립하여 풀면

∴ [eqn: a`=`3``], [eqn: b`=`10``]

따라서 [eqn: b`-`a`=`7``]이다.

[별해1]

등식 [eqn: 2`x ^{2} `-`x`+`9`=`2`(`x`-`1`) ^{2} `+`a`(`x`-`1`)`+`b``]에

[eqn: x`=`0``]을 대입하면, [eqn: 9`=`2`-`a`+`b``]

∴ [eqn: b`-`a`=`7``]

[별해2]

조립제법을 이용하면

[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: -1]	[eqn: 9]
		[eqn: 2]	[eqn: 1]
[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 1]	[eqn: 10]	[eqn: =`b``]
		[eqn: 2]
	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: =`a``]

∴ [eqn: a`=`3``], [eqn: b`=`10``]

따라서 [eqn: b`-`a`=`7``]이다.

4. [출제의도] 벤 다이어그램의 표시된 부분을 집합의 연산기호를 이용하여 표현할 수 있는가를 묻는 문제이다.

주어진 벤 다이어그램의 어두운 부분의 임의의 원소 [eqn: x``]는

[eqn: x`∊A``]이고, [eqn: x` NOTIN `(`B``-C``)``]이다.

[eqn: A``]	[eqn: B``-C``]	[eqn: A`-`(`B``-C``)``]

따라서 어두운 부분을 나타내는 집합은 [eqn: A`-`(`B``-C`)``]이다.

5. [출제의도] 미지수가 2개인 연립이차방정식의 해를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: cases{`x`-`y`=`3````````````````…``㉠`#`x ^{2} `-`y ^{2} `=`15```````…``㉡} ``]

[eqn: ㉡]에서 [eqn: (`x`+`y`)`(`x`-`y`)`=`3`(`x`+`y`)`=`15``]

∴ [eqn: x`+`y`=`5``] … [eqn: ㉢]

[eqn: ㉠+㉢]에서 [eqn: 2`x`=`8``] ∴ [eqn: x`=`4``]

[eqn: x`=`4``]를 [eqn: ㉠]에 대입하면 [eqn: y`=`1``]

∴ [eqn: alpha `=`4``], [eqn: beta ``=`1``]

따라서 [eqn: alpha ` beta ``=`4``]이다.

6. [출제의도] 절댓값을 포함한 부등식의 해가 주어져 있을 때 미지수의 값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: LEFT | `4`x`+`2` RIGHT | `-`1` <= `k``]  ⇔  [eqn: LEFT | `4`x`+`2` RIGHT | ` <= `k`+`1``]

⇔ [eqn: -`k`-`1` <= `4`x`+`2` <= `k`+`1``]

⇔ [eqn: -`k`-`3` <= `4`x` <= `k`-`1``]

⇔ [eqn: {-`k`-`3`} over {4} ` <= `x` <= ` {`k`-`1`} over {4} ``]

이 부등식의 해가 [eqn: -2` <= `x` <= `1``]이므로

[eqn: {-`k`-`3} over {4} `=`-2``], [eqn: {k`-`1} over {4} `=`1``] ∴ [eqn: k`=`5``]

7. [출제의도] 다항식의 나눗셈을 이해하고 이를 식으로 나타낼 수 있는가를 묻는 문제이다.

다항식 [eqn: f`(`x`)``]를 [eqn: g`(`x`)``]로 나눌 때의 몫은 [eqn: Q`(`x`)``], 나머지가 [eqn: R`(`x`)``]에서 [eqn: f`(`x`)`=`g`(`x`)`Q`(`x`)`+`R`(`x`)``]이다. 여기서 [eqn: R`(`x`)``]의 차수는 [eqn: g`(`x`)``]의 차수보다 작다.

ㄱ. [eqn: f`(`x`)`-`R`(`x`)`=`g`(`x`)`Q`(`x`)``]이므로

[eqn: f`(`x`)`-`R`(`x`)``]는 [eqn: g`(`x`)``]로 나누어 떨어진다.  ∴참

ㄴ. [eqn: f`(`x`)`+`g`(`x`)`=`g`(`x`)` LEFT { `Q`(`x`)`+`1` RIGHT } `+`R`(`x`)``]

[eqn: f`(`x`)`+`g`(`x`)``]를 [eqn: g`(`x`)``]로 나눈 나머지는 [eqn: R`(`x`)``]이다.  ∴참

ㄷ. (반례) [eqn: f`(`x`)`=`x ^{3} `+`1``], [eqn: g`(`x`)`=`x ^{2} `-`1``]이면 [eqn: Q`(`x`)`=`x``], [eqn: R`(`x`)`=`x`+`1``]

∴거짓

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

8. [출제의도] 집합과 관련된 명제에서 충분조건을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ.　명제 [eqn: p`` -> ``q``]가 거짓이다.

(반례) [eqn: A``= LEFT { `1`,``2` RIGHT } ``], [eqn: B``= LEFT { `3`,``4`,``5` RIGHT } ``]

∴ 충분조건이 아니다.

ㄴ. 명제 [eqn: p``->``q``]가 거짓이다.

(반례)　[eqn: A``=` LEFT { `1` RIGHT } ``], [eqn: B`=` LEFT { `1`,``2` RIGHT } ``]

∴ 충분조건이 아니다.

ㄷ. 명제 [eqn: p``->``q``]는 참이다.

(증명) [eqn: A``=`B ^{C} ``]이면, [eqn: A` CUP `B`=`B ^{C} ` CUP `B``=U``]

∴ 충분조건이다.

따라서 [eqn: p``]가 [eqn: q``]이기 위한 충분조건인 것은 ㄷ이다.

9. [출제의도] 최대공약수와 최소공배수를 이해하여 조건을 만족시키는 다항식을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

(가)에서 [eqn: P`(`x`)``]는 [eqn: x`-`1``]을 인수로 갖는다.

(다)에서 [eqn: P`(`x`)`R`(`x`)``]는 사차식이고 완전제곱식이 없으므로 두 다항식 [eqn: P`(`x`)``], [eqn: R`(`x`)``]는 서로소이다.

그러므로 [eqn: R`(`x`)``]는 [eqn: x`-`1``]을 인수로 갖지 않는다.

(나)에서 [eqn: R`(`x`)``]는 [eqn: (`x`-`1`)`(`x`+`2`)`(`x`+`3`)``]의 약수이다.

∴ [eqn: R`(`x`)`=`(`x`+`2`)`(`x`+`3`)``]

[eqn: R`(`x`)``]를 [eqn: x`-`1``]로 나눈 나머지는 [eqn: R`(`1`)`=`(`1`+`2`)`(`1`+`3`)`=`12``]

따라서 구하는 나머지는 [eqn: 12``]이다.

10. [출제의도] 도형의 성질을 이해하고 주어진 부분의 넓이를 다항식으로 표현할 수 있는가를 묻는 문제이다.

사각형 [eqn: rm A`B`F`E``]의 넓이 : [eqn: a ^{2}``]

사각형 [eqn: rm G`F`C`H``]의 넓이 : [eqn: (`b`-`a`) ^{2} ``]

사각형 [eqn: rm I`J`H`D``]의 넓이 : [eqn: LEFT { `a`-`(`b`-`a`)` RIGHT } ^{2} `=`(`2`a`-`b`) ^{2} ``] 이므로

사각형 [eqn: rm E`G`J`I``]의 넓이는

[eqn: a`b`- LEFT { `a ^{2} `+`(`b`-`a`) ^{2} `+`(`2`a`-`b`) ^{2} RIGHT } ``]

[eqn: =`a`b`-` LEFT { `a ^{2} `+`b ^{2} `-`2`a`b`+`a ^{2} `+`4`a ^{2} `-`4`a`b`+`b ^{2} ` RIGHT } ``]

[eqn: =`a`b`-`(`6`a ^{2} `+`2`b ^{2} `-`6`a`b`)``]

[eqn: =`-`6`a ^{2} `+`7`a`b`-`2`b ^{2} ``]

[별해]

그림에서

[eqn: rm bar{FC} `=` bar{CH} it `=`b`-`a``]

[eqn: rm bar{IJ} `=` bar{JH} `=` bar{DH} it `=`a`-`(b`-`a)`=`2a`-`b``]

[eqn: rm bar{GJ} it `=`(b`-`a)`-`(2a`-`b)`=`-3a`+`2b``]

구하는 사각형 [eqn: rm E`G`J`I``]의 넓이는

[eqn: rm bar{GJ} ` TIMES ` bar{IJ} ` it =`(2a`-`b)(-3a`+`2b)``]

[eqn: =`-6a ^{2} `+`7ab`-`2b ^{2} ``]

11. [출제의도] 이차부등식의 해를 구하여 주어진 조건을 만족하는 미지수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

이차부등식 [eqn: ax ^{2} `+`bx`+`c`<`0``]의 해가 [eqn: {1} over {8} `<`x`<` {1} over {2} ``]이므로

[eqn: ax ^{2} `+`bx`+`c`=`a LEFT ( x`-` {1} over {8} RIGHT ) LEFT ( x`-` {1} over {2} RIGHT ) `=`a LEFT ( x ^{2} `-` {5} over {8} x`+` {1} over {16} RIGHT ) ``](단, [eqn: a`>`0``])

[eqn: =`ax ^{2} `-` {5} over {8} ax`+` {1} over {16} a``]

∴ [eqn: b`=`- {5} over {8} a``], [eqn: c`=` {1} over {16} a``]

[eqn: cx ^{2} `+`bx`+`a` <= `0``] ⇔ [eqn: {1} over {16} ax ^{2} `-` {5} over {8} ax`+`a` <= `0``]

⇔ [eqn: a(x`-`2)(x`-`8)` <= `0``]

⇔ [eqn: 2` <= `x` <= `8``]

따라서 정수 [eqn: x``]의 개수는 [eqn: 2,``3,``4,``5,``6,``7,``8``]의 [eqn: 7``]개다.

12. [출제의도] 그래프로 나타내어진 자료로부터 주어진 자료들의 분산의 대소 관계를 추측할 수 있는가를 묻는 문제이다.

세 학급의 현장 체험 일수의 평균은

[eqn: rm A``]학급의 평균 : [eqn: {1 TIMES 4`+`2 TIMES 6`+`3 TIMES 10`+`4 TIMES 6`+`5 TIMES 4} over {30} `=`3``]

[eqn: rm B``]학급의 평균 : [eqn: {1 TIMES 6`+`2 TIMES 6`+`3 TIMES 6`+`4 TIMES 6`+`5 TIMES 6} over {30} `=`3``]

[eqn: rm C``]학급의 평균 : [eqn: {1 TIMES 10`+`2 TIMES 4`+`3 TIMES 2`+`4 TIMES 4`+`5 TIMES 10} over {30} `=`3``]

즉, 세 학급의 평균은 모두 [eqn: 3``]이다.

세 학급 [eqn: rm A``], [eqn: rm B``], [eqn: rm C``]의 현장 체험 일수의 분산 [eqn: rm V`(A)``], [eqn: rm V`(B)``], [eqn: rm V`(C)``]는

[eqn: rm V` rm (A)`=` {(-2) ^{2} TIMES 4`+`(-1) ^{2} TIMES 6`+`0 ^{2} TIMES 10`+`1 ^{2} TIMES 6`+`2 ^{2} TIMES 4} over {30} `=` {22} over {15} ``]

[eqn: rm V` rm (B)`=` {(-2) ^{2} TIMES 6`+`(-1) ^{2} TIMES 6`+`0 ^{2} TIMES 6`+`1 ^{2} TIMES 6`+`2 ^{2} TIMES 6} over {30} `=`2``]

[eqn: rm V` rm (C)`=` {(-2) ^{2} ` TIMES `10`+`(-1) ^{2} ` TIMES `4`+`0 ^{2} ` TIMES `2`+`1 ^{2} ` TIMES `4`+`2 ^{2} ` TIMES `10} over {30} `=` {44} over {15}]

∴ [eqn: rm V`(A)`<`V`( rm B)`<`V`( rm C)``]

[별해]

그래프에서 세 자료의 평균은 모두 [eqn: 3``]으로 같고, 변량의 분포가 평균의 주위에 밀집되어 있을수록 분산이 작으므로 세 학급의 분산은 [eqn: rm C``]학급이 가장 크고, [eqn: rm A``]학급이 가장 작음을 알 수 있다.

∴ [eqn: rmV`( A )`<`V`( rm B )`<`V`( rm C )``]

13. [출제의도] 두 점 사이의 거리 공식을 이용하여 참, 거짓을 판단할 수 있는가를 묻는 문제이다.

사각형 [eqn: rm ABCD]를 점 [eqn: rm B]를 원점으로 하는 좌표평면 위에 놓으면,

[eqn: rm A`(` it 0`,``4`)``], [eqn: rm C`(` it 4`,``0`)``], [eqn: rm D`(` it 4`,``4`)``]이고

점 [eqn: rm F``]의 좌표를 [eqn: (`a`,``b`)`]라 하면, (단, [eqn: 0`<`a`<`2 ``], [eqn: 0`<`b`<`2``])

[eqn: rm E`(` it a`,``b+2`)], [eqn: rm G`(` it a+2`,```b`)], [eqn: rm H`(` it a+2`,```b+2`)``]이다.

ㄱ. [eqn: rm bar{AE} ` ^{2} +` bar{CG} ` ^{2} `=` it LEFT { a ^{2} `+`(b-2) ^{2} RIGHT } + LEFT { (a`-`2) ^{2} `+`b ^{2} RIGHT }]

[eqn: rm bar{BF} ` ^{2} `+` bar{DH} ` ^{2} `=` LEFT ( it a ^{2} `+`b ^{2} RIGHT ) `+` LEFT { (a`-`2) ^{2} `+`(b`-`2) ^{2} RIGHT }]

∴ [eqn: rm bar{AE} ` ^{2} +` bar{CG} ` ^{2} `=` bar{BF} ` ^{2} `+` bar{DH} ` ^{2}]        ∴참

ㄴ. [eqn: rm bar{AE} `=` bar{BF}``]에서 [eqn: rm{ bar{AE} } ^{2} `=` {bar{BF}} ^{2}``]

[eqn: a ^{2} `+`(b-2) ^{2} `=`a ^{2} `+`b ^{2} ``]

[eqn: 4b`=`4``]  ∴ [eqn: b`=`1``]

[eqn: rm bar{CG} ` ^{2} it `=`(a`-`2) ^{2} +b ^{2} =(a`-`2) ^{2} `+`1``]

[eqn: rm bar{DH} `^{2}` it `=`(a`-`2) ^{2}` +`(b`-`2) ^{2`} =`(a-2) ^{2}` +`1]

∴ [eqn: rm bar{CG} `=` bar{DH}]                    ∴참

ㄷ. [eqn: rm S _{1} `+`S _{3} `=` {1} over {2} `(4`+`2) TIMES it LEFT { `a`+`(2`-`a) RIGHT } `=`6``]

[eqn: rm S _{2}` +`S _{4}` = `{1} over {2} `(4`+`2) TIMES it LEFT { b`+`(2`-`b) RIGHT }` =`6``]

∴ [eqn: rm S _{1}` +`S _{3}` =`S _{2}` +`S _{4}``]             ∴참

14. [출제의도] 부등식의 성질을 이용하여 주어진 부등식이 절대부등식인지의 여부를 판단할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: sqrt {a} ` <= sqrt {a`+`b} `` <= sqrt {a`+`b} `+ sqrt {b} `]이므로

[eqn: sqrt {a} `- sqrt {b} ` <= sqrt {a`+`b} ``](단, 등호는 [eqn: b=0`]일 때 성립한다.)  ∴참

ㄴ. [eqn: sqrt {a+b} >= 0``], [eqn: sqrt {a} + sqrt {b} >= 0``]이므로

[eqn: ( sqrt {a} + sqrt {b} ) ^{2} `-`( sqrt {a`+`b`} ) ^{2}]

[eqn: =(`a`+`2 sqrt {ab} `+`b)`-`(`a`+`b`)]

[eqn: =`2 sqrt {ab}` >=` 0]

∴[eqn: sqrt {a} + sqrt {b} ` >= sqrt {a`+`b`}``](단, 등호는 [eqn: a=0`] 또는 [eqn: b=0`]일 때 성립한다.)

∴참

ㄷ. [eqn: sqrt {a} `+ sqrt {b} ` >= `0``], [eqn: sqrt {2``(a`+`b)} ` >=` 0``]이므로

[eqn: `( sqrt {2``(a`+`b)} `) ^{2} `-`( sqrt {a} `+` sqrt {b} `) ^{2}]

[eqn: =`2`(`a`+`b`)`-`(`a`+`b`+`2 sqrt {a`b} )]

[eqn: =`a`-`2 sqrt {ab} `+`b`=( sqrt {a} - sqrt {b}` ) ^{2} `>= `0]

∴ [eqn: sqrt {2``(a`+`b)} ` >= sqrt {`a} `+ sqrt {`b} ``](단, 등호는 [eqn: a`=`b``]일 때 성립한다.) ∴참

15. [출제의도] 자연수의 성질과 식의 성질을 이용하여 방정식에 관련된 명제의 증명과정을 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: n`k ^{2} `-`n ^{2} `k`+`(n ^{3} `-`2n`-`2)`=`0``]에서

[eqn: n`(k ^{2} `-``nk`+`n ^{2} `-`2)`=`2``]이므로 [eqn: n``]은 [eqn: 2``]의 약수이다.

따라서 [eqn: n=1`] 또는 [eqn: n=2``]이다.

(1) [eqn: n`=`1``]일 때 [eqn: k ^{2} `-`k`-`3`=`0``]에서 [eqn: k`=` {1`± sqrt {13}} over {2} ``]이다.

그런데 주어진 등식을 만족시키는 [eqn: k``]는 무리수이므로 자연수가 아니다.

(2) [eqn: n`=`2``]일 때 [eqn: k ^{2} `-`2`k`+`1`=`0``]에서 [eqn: k`=`1``]이다.

주어진 등식을 만족시키는 자연수 [eqn: k``]는 한 개이고 순서쌍 [eqn: (n`,``k`)``]

는 오직 한 개이다.

∴ (가) : [eqn: k ^{2} `-`nk``+`n ^{2} `-`2``], (나) : 무리수, (다) : [eqn: k ^{2} `-`2`k`+`1``]

16. [출제의도] 인수정리를 이용하여 주어진 조건을 만족시키는 사차방정식의 근을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

사차식 [eqn: x ^{4} `+`ax ^{2} `+`b``]가 이차식 [eqn: `(x`-`1)(x`-` sqrt {2} `)`]로 나누어 떨어지므로,  [eqn: x`=`1``], [eqn: x`=`sqrt {2} ``]는 사차방정식 [eqn: x ^{4} `+`ax ^{2} `+`b`=`0``]의 근이다.

[eqn: x`=`1``], [eqn: x`=`sqrt {2} ``]를 각각 [eqn: x ^{4} `+`ax ^{2} `+`b`=`0``]에 대입하면

[eqn: a`+`b`=`-1``], [eqn: 2a`+`b`=`-`4``]

두 식을 연립하여 풀면 [eqn: a`=`-3``], [eqn: b`=`2``]

[eqn: x ^{4} `+`ax ^{2} `+`b=`x ^{4} `-`3x ^{2} `+`2``]

[eqn: ``=`(x ^{2} `-`1)(x ^{2} `-`2)``=0``]

[eqn: x^{2}`-`1`=`0``] 또는 [eqn: x ^{2} `-`2`=`0``]

∴ [eqn: x`=`±`1``], [eqn: x`=`±`sqrt {2} `]

따라서 구하는 네 근의 곱은 [eqn: 2``]이다.

17. [출제의도] 집합의 연산과 이차부등식의 해에 관한 조건을 이해하여 조건을 만족시키는 미지수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

집합 [eqn: A`]의 원소 [eqn: x]의 범위는

[eqn: x ^{2} -8x+12` <= `0] [eqn: LRARROW] [eqn: (x-2)(x-6)` <= `0]

[eqn: LRARROW] [eqn: 2` <= `x` <= `6]

한편, 주어진 조건 [eqn: A SMALLINTER B``= EMPTYSET ``], [eqn: A CUP B= LEFT { `x vert -1`<`x` <= `6` RIGHT }]을 만족하도록 집합 [eqn: B``]의 범위를 수직선에 표시하면 그림과 같다.

∴ [eqn: B``= LEFT { ``x vert -1`<`x`<`2` RIGHT } ``]

[eqn: x ^{2} `+`ax`+`b`<`0``]  [eqn: LRARROW] [eqn: -1`<`x`<`2``]

[eqn: LRARROW] [eqn: (x`+`1)`(x`-`2)`<`0``]

[eqn: LRARROW] [eqn: x ^{2}` -`x`-`2`<`0``]

∴ [eqn: a`=`-1``], [eqn: b`=`-2``]

따라서[eqn: ````a`+`b`=`-3``]이다.

18. [출제의도] 유리식의 성질과 내분점의 개념을 이해하여 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

두 그릇 [eqn: rm A``], [eqn: rm B``]의 소금물을 섞을 때의 농도 [eqn: x``]%는

[eqn: x`=` {3a`+`2b} over {300`+`200} TIMES 100`=` {300a`+`200b`} over {300`+`200} `=` {3a`+`2b} over {5}``]

세 점 [eqn: rm P``], [eqn: rmQ``], [eqn: rm R``]의 좌표가 각각 [eqn: a``], [eqn: b``], [eqn: x``]이고

[eqn: {3a`+`2b} over {5} `=` {2b`+`3a} over {2`+`3}``]이므로

점 [eqn: rm R``]는 선분 [eqn: rm PQ``]를 [eqn: 2``:`3`]으로 내분하는 점이다.

∴ [eqn: m``:`n`=`2``:`3``]

따라서 [eqn: {m} over {n} `=` {2} over {3}]이다.

19. [출제의도] 주어진 조건을 이해하여 조건을 만족시키는 방정식의 해를 구하는 문제해결력을 묻는 문제이다.

[eqn: t`>`-1``]	[eqn: t`<`-1``]

그림과 같이 점 [eqn: \P``]의 [eqn: x``]좌표를 [eqn: t``]라 하면 [eqn: y``]좌표는 [eqn: 2`t`+`2``]이므로

삼각형[eqn: `` rm P`A`H``]의 넓이는

[eqn: t`>`-1``]일 때 [eqn: {1} over {2} `(t`+`1)(2`t`+`2)`=`(t`+`1) ^{2} ``]

[eqn: t`<`-1``]일 때 [eqn: {1} over {2} `(-1`-`t)(-`2`t`-`2)`=`(t`+`1) ^{2} ``]이다.

즉, 삼각형[eqn: `` rm P`A`H``]의 넓이는 [eqn: t`!=`-1``]일 때 [eqn: (t`+`1)^{2}``]이다.

삼각형[eqn: `` rm P`A`H``]의 넓이는 [eqn: 5``]이므로

[eqn: (t`+`1)^{2}`=`5``], [eqn: t^{2}`+`2`t`-`4`=`0``]

이차방정식의 근과 계수와의 관계로부터

구하는 점 [eqn: rm P``]의 [eqn: x``]좌표 [eqn: alpha ,``` beta ``]의 곱 [eqn: alpha ` beta ``]는 [eqn: -4``]이다.

20. [출제의도] 주어진 조건을 만족시키는 방정식과 부등식을 세워 방정식의 자연수 해를 구하는 문제해결력을 묻는 문제이다.

조건 (가)에서 [eqn: l`=`m`-`2``], [eqn: n`=`m`+`2``]이고 조건 (나), (다)에 대입하면

[eqn: l`+`m`+`n`=`3m`<`200``]이고 [eqn: sqrt {`3`m} ``]은 자연수이다.

[eqn: 3m``]은 [eqn: 200``]보다 작은 [eqn: 3``]의 배수이고, 제곱수이므로

[eqn: 3m`=`3 ^{2} ``], [eqn: 6 ^{2} ``], [eqn: 9 ^{2} ``], [eqn: 12 ^{2}``]이다.

∴[eqn: m`=`3``], [eqn: 12``], [eqn: 27``], [eqn: 48``]

따라서 구하는 순서쌍은 [eqn: (`1,```3,```5`)``], [eqn: (`10`,`12`,`14)``], [eqn: (`25`,`27`,`29)``], [eqn: `(`46,```48,```50)``]의 [eqn: 4]개다.

21. [출제의도] 실생활 문제에서 문제의 조건에 맞는 식을 세워 이차부등식의 해를 구하는 문제해결력을 묻는 문제이다.

세 지점 [eqn: rm A`], [eqn: rmB``], [eqn: rm C``]를 [eqn: rm A``]를 원점으로 하는 수직선 위에 놓으면

[eqn: rm A(0)``], [eqn: rm B(-10)``], [eqn: rm C(20)``]이다.

보관창고의 좌표를 [eqn: t``]라 하면 보관창고는 [eqn: rm A``]와 [eqn: rm C``]사이에 있으므로

[eqn: 0`<`t`<`20``]    …㉠

총 운송비는 [eqn: 100`t ^{2} `+`200`(`t`+`10`) ^{2} `+`300`(`t`-`20`) ^{2} ``]이고

하루에 운송비가 [eqn: 155,000``]원 이하이므로

[eqn: 100`t ^{2} `+`200`(`t`+`10`) ^{2} `+`300`(`t`-`20`) ^{2} ` <= `155000``]

[eqn: t ^{2} `+`2`(`t`+`10) ^{2} `+`3`(`t`-`20`) ^{2} ` <= `1550``]

[eqn: 6`t ^{2}` -`80`t`-`150 `<=` 0``]

[eqn: 3`t ^{2}` -`40`t`-`75 `<= `0]

[eqn: (`3`t`+`5`)`(`t`-`15`) `<=` 0``]

∴ [eqn: - {5} over {3} `<=` t `<= `15``]   …㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: 0`<`t` <=` 15``]

즉, 보관창고는 [eqn: rm A``]지점에서 최대 [eqn: 15 `rm km``] 떨어진 지점까지 지을 수 있다.

22. [출제의도] 이중근호를 변형하여 주어진 식의 값을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: sqrt {12`-`2 sqrt {35}} `=sqrt {(7`+`5)`-`2 sqrt {7 CDOT 5}}``]

[eqn: = sqrt {( sqrt {7} `- sqrt {5} ) ^{2}} `= sqrt {7} `- sqrt {5}``]

∴ [eqn: a`=`7``], [eqn: b`=`5``]

따라서 [eqn: a ^{2} `+`b ^{2}` =`49`+`25`=`74``]이다.

23. [출제의도] 유리수와 무리수가 들어있는 식을 간단히 하여 식의 값을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: x`=` {1} over {1`-` {1} over {1`+ `{1} over {3 sqrt {7} -1}}} `= `{1} over {1- {1} over {{(3 sqrt {7} `-`1)`+`1} over {3 sqrt {7} `-`1}}}``]

[eqn: =` {1} over {1`- `{3 sqrt {7}` -`1} over {3 sqrt {7}}}` = `{1} over {{3 sqrt {7}`-`(3 sqrt {7}`-`1)} over {3 sqrt {7}}} `=`3 sqrt {7}``]

∴ [eqn: x ^{2} `=`(3 sqrt {7} ) ^{2}` =`63``]

[별해]

[eqn: 3 sqrt {7} -1`=`t``]로 치환하면

[eqn: x=`` {1} over {1`-` {1} over {1`+ `{1} over {t}}}``][eqn: = {1} over {1- {1} over {{t+1} over {t}}}]

[eqn: = `{1} over {1`- `{t} over {t`+`1}}``][eqn: = `{1} over {{t`+`1`-`t} over {t`+`1}} `=`t`+`1``]

∴ [eqn: x`=`t`+`1`=`3 sqrt {7}]

따라서 [eqn: x ^{2} `=`(`3 sqrt {7} ) ^{2} `=`63``]이다.

24. [출제의도] 주어진 도형을 조건에 맞게 좌표평면에 나타내고, 두 점 사이의 거리를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

그림에서 점 [eqn: rm C``]에서 [eqn: x`]축 위에 내린 수선의 발을 [eqn: rm E``]라 하면

삼각형의 합동조건에 의해 [eqn: rm TRIANGLE `AOB` == ` TRIANGLE `BEC``]이다.

그러므로 점 [eqn: rm C``]의 좌표는 [eqn: rm (5,~3)``]

따라서 [eqn: rm bar{OC} ` ^{2} ``=`5 ^{2} ``+`3 ^{2} ``=`34``]이다.

25. [출제의도] 유리식이 포함되어 있는 등식에서 항등식의 성질을 이해하여 미정계수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: {x`-`3} over {x` ^{2} `(`x`+`1`)}][eqn: = {a`x`(`x`+`1`)`-`b`(`x`+`1`)`-`c`x ^{2}} over {x ^{2} `(`x`+`1`)}]

[eqn: = {(`a`-`c`)`x ^{2} `+`(`a`-`b`)x`-`b} over {x ^{2} `(`x`+`1`)}]

위 등식이 항등식이므로

[eqn: a`-`c`=`0], [eqn: `a`-`b`=`1`], [eqn: -`b`=`-3`]

세 식을 연립하여 풀면

[eqn: a`=`4`], [eqn: b`=`3`], [eqn: `c`=`4```]

따라서 [eqn: `a`+`b`+`c`=`11] 이다.

26. [출제의도] 복소수의 성질을 이해하고, 주어진 식의 최댓값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: alpha `=` {sqrt {3} `+`i} over {2}]에서 [eqn: alpha ^{2} `=` LEFT ( {sqrt {3} `+`i} over {2} ` RIGHT ) ^{2} = {1`+` sqrt {3} `i} over {2} `=` beta]  [eqn: CDOTS `㉠]

[eqn: alpha ^{3} `=` LEFT ( {sqrt {3} `+`i} over {2} ` RIGHT ) ^{3} `=`i] [eqn: CDOTS `㉡]

[eqn: alpha ^{12} `=`(` alpha ^{3} `) ^{4} `=`i ^{4} `=`1``] [eqn: CDOTS `㉢]

[eqn: ㉠]에서 [eqn: alpha ^{m} ` beta ^{`n} `=` alpha ^{m} `( alpha ^{2} `) ^{n} `=` alpha ^{m+2n} `]

[eqn: `㉡]에서 [eqn: alpha ^{m} ` beta ^{`n} `=` alpha ^{`m+2n} ``=`i``]을 만족하는 [eqn: m`+`2n``]의 값 중 최소인 자연수는 [eqn: 3``]이고 [eqn: ㉢]에 의해 [eqn: m`+`2n``]이 가질 수 있는 값은 [eqn: 3`,`15`,`27`,`39`,` CDOTS]이다.

그런데 [eqn: m], [eqn: n]은 각각 [eqn: 10``]이하의 자연수이므로 [eqn: m+2n <= 30]이다.

∴ [eqn: m`+`2n`=`3`,``15,``27``]

따라서 구하는 최댓값은 [eqn: 27``]이다.

27. [출제의도] 주어진 다항식을 전개하여 각 항의 계수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

주어진 조건에서 [eqn: A`=`x ^{3} `+`B```]이므로,

[eqn: A ^{3} `-`B ^{3} `=(`x ^{3} `+`B`) ^{3} `-`B ^{3}]

[eqn: =`x ^{9} `+`3`x ^{6} `B`+`3`x ^{3} `B ^{2} `+`B ^{3} `-`B ^{3}]

[eqn: =`x ^{9} `+`3`x ^{6} `B`+`3`x ^{3} `B ^{2}]

여기서, [eqn: x ^{3`}]의 항은 [eqn: 3`x ^{3} `B ^{2}]에만 존재한다.

[eqn: 3`x ^{3} `B ^{2} ``=`3`x ^{3} ``(`x`+`4`) ^{2} `=`3`x ^{3} `(`x ^{2} ``+``8x`+`16)``]이므로

[eqn: 3`x ^{3} `B ^{2}]의 [eqn: x ^{3`}]의 계수는 [eqn: 3` TIMES `16``=``48``]이다.

따라서 구하는 [eqn: x ^{3} ``]의 계수는 [eqn: 48``]이다.

28. [출제의도] 평균과 표준편차의 정의와 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

평균이 [eqn: 5``]이므로

[eqn: {2`+`5`+`8`+`a`+`b} over {5} `=` {a`+`b`+`15} over {5} `=`5]      ∴ [eqn: a`+`b`=`10]

표준편차가 [eqn: 2``]이면 분산은 [eqn: 4``]이므로

[eqn: {(`2`-`5`) ^{2} `+`(`5`-`5`) ^{2} `+`(`8`-`5`) ^{2} `+`(`a`-`5`) ^{2} `+`(`b`-`5`) ^{2}} over {5}]

[eqn: = {18`+`(`a`-`5`) ^{2} `+`(`b`-`5`) ^{2}} over {5} `=`4]

[eqn: a ^{2} `+`b ^{2} `-`10`(`a`+`b`)`+`68`=`20``]이다. [eqn: a`+`b`=`10``]이므로   ∴ [eqn: a ^{2} `+`b ^{2} `=`52``]

[eqn: a ^{2} `+`b` ^{2} `=`(`a`+`b`) ^{2} `-`2ab``]에서 [eqn: 52`=`10 ^{2} `-`2ab``]

따라서 곱 [eqn: ab``]의 값은 [eqn: 24``]이다.

29. [출제의도] 주어진 외적 관련 조건을 만족시키는 이차방정식을 구하여 그 해를 구하는 문제해결력을 묻는 문제이다.

시속 [eqn: `x``][eqn: rm km]로 달리는 자동차의 정지거리는

[eqn: {3} over {10} `x`+` LEFT ( ` {1} over {100} `x ^{2} `-` {1} over {5} `x`+`3` RIGHT ) `=``][eqn: ` {1} over {100} x ^{2} `+` {1} over {10} x`+`3``]([eqn: rmm])이다.

주어진 조건에서

[eqn: {1} over {100} a ^{2} `+` {1} over {10} a`+`3``=`40``], [eqn: a ^{2} `+`10a`-`3700`=`0``]

∴ [eqn: a`=`-5`±` sqrt {`25`+`3700} `=`-5`± sqrt {3725}]

그런데 [eqn: a`>`0``]이므로 [eqn: a`=`-5+ sqrt {3725} ``]

주어진 제곱표에서 [eqn: 61 ^{2} `=`3721``], [eqn: 62 ^{2} `=`3844``]이므로

[eqn: sqrt {3725} ``]에 가까운 정수는 [eqn: 61``]이다.

따라서 [eqn: a``]에 가장 가까운 정수는 [eqn: -5`+61`=`56``]이다.

[별해]

[eqn: a ^{2} `+`10a`-`3700`=`0``]에서

[eqn: (a`+`5) ^{2} `=`3725], [eqn: a`>`0``]이고 [eqn: a`+`5`= sqrt {3725`} ``]이므로

[eqn: a`+`5``]에 가까운 정수는 [eqn: 61``]이다.

따라서 [eqn: a``]에 가장 가까운 정수는 [eqn: -5`+`61`=`56``]이다.

30. [출제의도] 산술평균과 기하평균 사이의 관계를 이용하여 최댓값을 구하는 문제해결력을 묻는 문제이다.

[eqn: A` CUP `B``=` LEFT { 1,```2,```3,```4,```5,```6,```7,```8,```9 RIGHT } `,```A` SMALLINTER `B``=` LEFT { 3,~4 RIGHT }]에서

[eqn: S`(A)`+`S`(B)`=`S`(`A` CUP `B`)`+`S`(`A` SMALLINTER `B`)]

[eqn: =(1+2+` CDOTS `+9)+(3+4)]

=[eqn: 52``]

(산술평균)[eqn: bold{>= }](기하평균)에서

[eqn: {S(A)`+`S(B)} over {2} ` >= ` sqrt {S(A)S(B)} ``] (단, 등호는 [eqn: S`(A)`=`S`(B)``]일 때 성립한다.)

[eqn: {52} over {2} ` >= ` sqrt {S`(A)S`(B)} ``]

∴[eqn: S`(A)`S`(B)` <= `26 ^{2} `=`676``]

등호는 [eqn: S`(A)`=`S`(B)`=`26``]일 때 성립한다.

따라서 구하는 최댓값은 [eqn: 676``]이다.

참고로 [eqn: A`=` LEFT { 2`,`3`,`4`,`8`,`9 RIGHT }], [eqn: B``=` LEFT { 1`,`3`,`4`,`5`,`6`,`7 RIGHT } ``]일 때, [eqn: S`(A)`=`S`(B)`=`26]이 되어 등호가 성립하는 경우가 존재한다.