◦ 문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오.

2008학년도 9월 고1 전국연합학력평가 문제지

제 2 교시           수 리 영 역

성명			수험번호						1

수 리 영 역

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수 리 영 역

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◦ 답안지에 수험 번호 및 답을 표기할 때는 반드시 ‘수험생이 지켜야 할 일’에 따라 표기하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 0 이 포함된 경우, 0 을 OMR 답안지에 반드시 표기해야 합니다.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

8

1. [eqn: {1}over{1`+`i}`+`{i}over{1`-`i}`]의 값은? (단, [eqn: i`=`root{-1}`]이다.) [2점]

① [eqn: -i``]	② [eqn: i`]	③ [eqn: 0`]	④ [eqn: -1`]	⑤ [eqn: 1`]

2. 이차방정식 [eqn: x ^{2} `-`2x`+`3``=`0``]의 한 근을 [eqn: alpha``]라 할 때, [eqn: alpha ``+{3} over {alpha } ``]의 값은? [2점]

① [eqn: -3``]	② [eqn: -2`]	③ [eqn: 1`]	④ [eqn: 2`]	⑤ [eqn: 3`]

3. 등식 [eqn: 2x ^{2} `-x`+`9``=`2`(x`-`1) ^{2} `+`a`(x`-`1)`+`b`]가 [eqn: x``]에 대한 항등식이 되도록 하는 상수 [eqn: a`,``b``]에 대하여 [eqn: b`-`a``]의 값은? [2점]

① [eqn: -1``]	② [eqn: 1``]	③ [eqn: 3``]	④ [eqn: 5``]	⑤ [eqn: 7``]

4. 그림은 전체집합 [eqn: U``]의 서로 다른 세 부분집합 [eqn: A``], [eqn: B``], [eqn: C``] 사이의 관계를 벤 다이어그램으로 나타낸 것이다.

다음 중 어두운 부분을 나타내는 집합과 같은 것은? (단, [eqn: A` SMALLINTER `B` SMALLINTER `C` != ` EMPTYSET ``]이다.) [3점]

① [eqn: (`A `CUP B``)`-`C]	② [eqn: A`-`(`B```-C``)]	③ [eqn: (`A` CUP C``)``-`B]

④ [eqn: A`-`(`B`` CUP C``)]	⑤ [eqn: A`-`(`B` SMALLINTER `C``)]

5. [eqn: x``], [eqn: y ``]에 대한 연립방정식 [eqn: cases{`x`-`y`=`3``#`x ^{2} `-`y ^{2} `=`15} ``]의 해를 [eqn: x`=` alpha ``], [eqn: y`=` beta ``]라 할 때, [eqn: alpha`beta``]의 값은? [3점]

① [eqn: 1``]	② [eqn: 2``]	③ [eqn: 3``]	④ [eqn: 4``]	⑤ [eqn: 5``]

6. [eqn: x``]에 대한 부등식 [eqn: LEFT |` 4x`+`2` RIGHT | `-`1` <= `k``]의 해가 [eqn: -2 <= x <= 1]일 때 상수 [eqn: k``]의 값은? [3점]

① [eqn: 3``]	② [eqn: 5``]	③ [eqn: 7``]	④ [eqn: 9``]	⑤ [eqn: 11``]

7. 상수가 아닌 두 다항식 [eqn: f`(x)``], [eqn: g`(x)``]에 대하여 [eqn: f`(x)``]를 [eqn: g`(x)``]로 나눈 몫을 [eqn: Q`(x)``], 나머지를 [eqn: R`(x)``]라 할 때 <보기>에서 항상 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: f`(x)``]의 차수는 [eqn: g`(x)``]의 차수보다 작지 않다.) [3점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: f`(x)``-`R`(x)``]는 [eqn: g`(x)``]로 나누어 떨어진다. ㄴ. [eqn: f`(x)``+``g(x)``]를 [eqn: g`(x)``]로 나눈 나머지는 [eqn: R`(x)``]이다. ㄷ. [eqn: f`(x)``]를 [eqn: Q`(x)``]로 나눈 나머지는 [eqn: R`(x)``]이다.

① ㄴ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄴ, ㄷ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ，ㄷ

8. 전체집합 [eqn: U``]가 유한집합일 때 [eqn: U``]의 두 부분집합 [eqn: A`], [eqn: B``]에 대하여 <보기>에서 [eqn: p``]가 [eqn: q``]이기 위한 충분조건인 것을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: A`], [eqn: B``]는 공집합이 아니고, [eqn: n`(X)`]는 집합 [eqn: X``]의 원소의 개수이다.) [3점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: p``:``][eqn: n`(A)`` <= n`(B)`] [eqn: q``:``][eqn: A`` SUBSET B``] ㄴ. [eqn: p``:``][eqn: n`(A`-`B`)`=`0``] [eqn: q``:``][eqn: n`(A)`=`n`(B)`] ㄷ. [eqn: p``:``][eqn: A``=B ^{C} ``] [eqn: q``:``][eqn: A` CUP `B```=`U``]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ，ㄷ	⑤ ㄴ，ㄷ

9. 이차항의 계수가 [eqn: 1``]인 세 이차식 [eqn: P`(`x`)``], [eqn: Q`(`x`)``], [eqn: R`(`x`)``]가 다음 조건을 만족한다.

(가) [eqn: P`(`x`)``], [eqn: Q`(`x`)``]의 최대공약수는 [eqn: x`-`1``]이다.

(나) [eqn: Q`(`x`)``], [eqn: R`(`x`)``]의 최소공배수는 [eqn: (x`-`1)(x`+`2)(x`+`3)``]이다.

(다) [eqn: P`(`x`)`R`(`x`)`=`x`(x`-`1)(x`+`2)(x`+`3)`]

[eqn: R`(`x`)``]를 [eqn: x`-`1``]로 나눈 나머지는? [4점]

①　[eqn: 0``]	②　[eqn: 3``]　	③　[eqn: 4``]	④　[eqn: 6``]	⑤　[eqn: 12``]

10. 그림과 같이 [eqn: bar{rm AB it} =a``], [eqn: bar{rm BC it} =b``]인 직사각형 [eqn: rm A`B`C`D``]가 있다. 세 사각형 [eqn: rm A`B`F`E``], [eqn: rm G`F`C`H``], [eqn: rm `I`J`H`D```]가 모두 정사각형일 때, 사각형 [eqn: rm E`G`J`I``]의 넓이를 [eqn: a``], [eqn: b``]에 대한 식으로 나타낸 것은? (단, [eqn: {3} over {2} `a``<`b``<`2`a``]이다.) [3점]

① [eqn: -6a ^{`2}` +`7ab`-`2b ^{2}]	② [eqn: 3a ^{2} `-`8ab`+`4b ^{2} `]

③ [eqn: -2a ^{2}` +`3ab`-`b ^{2}]	④ [eqn: 9a ^{2} `-`6ab`+`b ^{2}]

⑤ [eqn: a ^{2} `-`4ab`+`4b ^{2}]

11. 이차부등식 [eqn: ax ^{2} `+`bx`+`c``<`0``]의 해가 [eqn: {1} over {8} `<`x`<` {1} over {2}``]일 때, 이차부등식 [eqn: cx ^{2} `+`bx`+`a` <= `0``]의 해 중에서 정수의 개수는? [3점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 9]	④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 13]

12. 학생수가 [eqn: 30``]명씩인 세 학급 [eqn: rm A``], [eqn: rm B``], [eqn: rm C``]가 있다. 세 학급 학생들의 여름 방학 동안 현장 체험 일수를 조사한 결과를 그림과 같이 그래프로 나타내었다. 세 학급 학생들의 현장 체험 일수에 대한 분산을 각각 [eqn: rm V(A)``], [eqn: rm V(B)``], [eqn: rm V(C)``]라 할 때, 다음 중 옳은 것은? [3점]

① [eqn: rm{V( rm A )`<`rm{V( rm B )}`<`V( rm C )`}]

② [eqn: rm{V( A )`<`V( C )`<`V( B )`}]

③ [eqn: rm V( rm B)`<`V( rm A)`<`V( rm C)`]

④ [eqn: rm V( rm C )`<`V( rm A )`<`V( rm B ) `]

⑤ [eqn: rm V( rm C )`<`V( rm B )`<`V( rm A )`]

13. 그림은 한 변의 길이가 [eqn: 4``]인 정사각형 [eqn: rmA`B`C`D``]의 내부에 한 변의 길이가 [eqn: 2``]인 정사각형 [eqn: rm E`F`G`H``]를 [eqn: rm bar{AB}``]와 [eqn: rm bar{EF}``]가 평행하도록 그린 것이다. 네 사다리꼴 [eqn: rm A`B`F`E``], [eqn: rm B`C`G`F``], [eqn: rm C`D`H`G``], [eqn: rm D`A`E`H``]의 넓이를 각각 [eqn: rmS_1``], [eqn: rmS_2``], [eqn: rmS_3``], [eqn: rmS_4``]라 하자.

<보기>에서 항상 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: rm bar{AE} ` ^{2} `+` bar{CG} ` ^{2} `=` bar{BF} ` ^{2} `+` bar{DH} ` ^{2} ``] ㄴ. [eqn: rm bar{AE}` = `bar{BF} ``]이면 [eqn: rm {bar{CG}} `=`{bar{DH}}``]이다. ㄷ. [eqn: rmS_1 `+` S_3 `=`S_2` +`S_4``]

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ，ㄷ

14. 음이 아닌 두 실수 [eqn: a``], [eqn: b``]에 대하여 <보기>에서 항상 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: sqrt {a} `- sqrt {b} ` <= sqrt {a`+`b} ``] ㄴ. [eqn: sqrt {a`+`b`} `<= sqrt {a} `+ sqrt {b} ``] ㄷ. [eqn: sqrt {a} `+ sqrt {b} ` <= sqrt {2``(a`+`b)} `]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

15. 다음은 등식

[eqn: n`k ^{2} `-`n ^{2} `k`+`(n ^{3} `-`2n`-`2)`=`0``]

을 만족시키는 두 자연수  [eqn: n``], [eqn: k``]의 순서쌍 [eqn: (`n`,``k`)``]는 오직 한 개임을 증명하는 과정이다.

<증명>

등식 [eqn: n`k ^{2} `-`n ^{2} `k`+`(n ^{3} `-`2n`-`2)`=`0``]	… ㉠

㉠을 변형하면 　[eqn: n`(``]

(가)

[eqn: ``)`=`2``]

[eqn: n``]과 [eqn: k``]는 자연수이므로 [eqn: n``]은 [eqn: 2``]의 약수이다.

따라서, [eqn: n`=`1`] 또는 [eqn: n`=`2``]이다.

(1) [eqn: n`=`1``]인 경우 ㉠은 [eqn: k^{2}`-`k`-`3`=`0``]이 되어 이 등식을 만족시키는 [eqn: k``]는

(나)

이므로 자연수가 아니다.

(2) [eqn: n`=`2``]인 경우 ㉠은

(다)

[eqn: =`0``]이 되어 이 등식을 만족시키는 자연수 [eqn: k``]의 값은 한 개 존재한다.

따라서, 주어진 등식을 만족시키는 순서쌍 [eqn: (`n`,``k`)``]는 오직 한 개이다.

위 증명에서 (가), (나), (다)에 들어갈 내용이 바르게 배열된 것은? [4점]

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: k ^{2} `-`nk``+`n ^{2} `-`2]	무리수	[eqn: k^{2}`-`2`k`+`1`]
②	[eqn: k ^{2} `-`nk``+`n ^{2} `-`2]	무리수	[eqn: k ^{2} `-`4`k`+`4`]
③	[eqn: k ^{2} `-`nk``+`n ^{2} `-`2]	허수	[eqn: k^{2}`-`2`k`+`1`]
④	[eqn: k ^{2} `+`n`k`-`n ^{2} `-`2]	허수	[eqn: k ^{2} `-`4`k`+`4`]
⑤	[eqn: k ^{2} `+`n`k`-`n ^{2} `-`2]	허수	[eqn: k ^{2} `-`2`k`+`1`]

16. 사차식 [eqn: x ^{4} `+`ax ^{2} `+`b``]가 이차식 [eqn: (x`-`1`)(x`- sqrt {2} )``]로 나누어 떨어질 때, 사차방정식 [eqn: x ^{4} `+`ax^2`+`b`=`0`]의 네 근의 곱은? (단, [eqn: a``], [eqn: b``]는 상수이다.) [3점]

① [eqn: -2` sqrt {2} ``]	② [eqn: -`2`]	③ [eqn: ` sqrt {2} ``]	④ [eqn: 2``]	⑤ [eqn: 4``]

17. 두 집합 [eqn: A= LEFT { `x``|``x ^{2} `-`8x`+`12` <= `0 RIGHT } ``], [eqn: B```= LEFT { `x``|``x ^{2} `+`ax`+`b``<`0` RIGHT } ``]에 대하여 [eqn: A` SMALLINTER `B```=` EMPTYSET ``]이고 [eqn: A CUP B```= LEFT { x``|``-1`<`x` <= `6 RIGHT } ``]일 때, 두 실수 [eqn: a``], [eqn: b``]의 합 [eqn: a``+`b``]의 값은? [4점]

① [eqn: -3``]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3``]

18. 두 그릇 [eqn: rm A``], [eqn: rm B``]가 있다. [eqn: rm A``]그릇에는 농도가 [eqn: a``] %인 소금물 [eqn: 300`` rm g``]이 들어 있고, [eqn: rm B``]그릇에는 농도가 [eqn: b``] %인 소금물 [eqn: 200`` rm g``]이 들어 있다. 두 그릇 [eqn: rm A``], [eqn: rm B``]의 소금물을 모두 섞을 때의 농도를 [eqn: x``] %라 하자. 이때 [eqn: a``], [eqn: b``], [eqn: x``]를 좌표로 하는 수직선 위의 점을 각각 [eqn: rm P`], [eqn: rm Q``], [eqn: rm R``]라 하면 점 [eqn: \R``]는 선분 [eqn: \PQ`]를 [eqn: m``:`n``]으로 내분하는 점이다. 두 자연수 [eqn: m``], [eqn: n``]에 대하여 [eqn: {m} over {n} ``]의 값은? (단, [eqn: 0`<`a`<`b``]이다.) [4점]

①　[eqn: {2}over{5}`]	②　[eqn: {1}over{2}`]	③　[eqn: {3}over{5}`]	④　[eqn: {2}over{3}`]　	⑤　[eqn: {3}over{2}`]

19. 좌표평면 위에서 직선 [eqn: y`=`2x`+`2``]가 [eqn: x``]축과 만나는 점을 [eqn: {\A}``]라 하고 이 직선 위의 임의의 점 [eqn: {\P}`]에서 [eqn: x``]축에 내린 수선의 발을 [eqn: \H``]라 하자. 이때 삼각형 [eqn: ` rm PAH it `]의 넓이가 [eqn: 5``]가 되도록 하는 점 [eqn: {\P}``]는 두 개가 있다. 이 두 점의 [eqn: x``]좌표를 각각 [eqn: alpha ``], [eqn: beta ``]라 할 때, [eqn: alpha ` beta ``]의 값은? [4점]

①　[eqn: -`6`]	②　[eqn: -5``]	③　[eqn: -4``]	④　[eqn: -3``]	⑤　[eqn: -2``]

20. 다음 조건을 만족시키는 세 자연수 [eqn: l``], [eqn: m``], [eqn: n``]의 순서쌍 [eqn: LEFT ( `l,```m,```n `RIGHT )``]의 개수는? [4점]

(가) [eqn: m`-`l`=`n`-`m`=2``]

(나) [eqn: l `+` m`+`n`<`200``]

(다) [eqn: sqrt {`l`+`m`+`n`}` `]은 자연수이다.

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]	④ [eqn: 5`]	⑤ [eqn: 6``]

21. 그림과 같이 일직선 위의 세 지점 [eqn: rm A``], [eqn: rmB``], [eqn: rm C``]에 같은 제품을 생산하는 공장이 있다. [eqn: rm A``]와 [eqn: rmB``]사이의 거리는 [eqn: 10 ``rmkm``], [eqn: rmB``]와 [eqn: rm C``]사이의 거리는 [eqn: 30`` rmkm``], [eqn: rm A``]와 [eqn: rm C``]사이의 거리는 [eqn: 20``rmkm``]이다. 이 일직선 위의 [eqn: rm A``]와 [eqn: rm C``]사이에 보관창고를 지으려고 한다. 공장과 보관창고와의 거리가 [eqn: x` `rm km`]일 때, 제품 한 개당 운송비는 [eqn: x ^{2} ``]원이 든다고 하자. 세 지점 [eqn: rm A``], [eqn: rmB``], [eqn: rm C``]의 공장에서 하루에 생산되는 제품이 각각 [eqn: 100]개, [eqn: 200]개, [eqn: 300]개일 때, 하루에 드는 총 운송비가 [eqn: 155,000]원 이하가 되도록 하는 보관창고는 [eqn: rm A]지점에서 최대 몇 [eqn: rmkm] 떨어진 지점까지 지을 수 있는가? (단, 공장과 보관창고의 크기는 무시한다.) [4점]

① [eqn: 9``]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 13]	④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 17]

단답형(22～30)

22. [eqn: sqrt {12`-`2` sqrt {35}} `=` sqrt {a} `-` sqrt {b} `]를 만족시키는 두 유리수 [eqn: a`,``b``]에 대하여 [eqn: a ^{2} `+`b ^{2} `]의 값을 구하시오. [3점]

23. [eqn: x`=` {1} over {1`-` {1} over {1`+` {1} over {3` sqrt {7} `-`1}}} `]일 때, [eqn: x ^{2} ``]의 값을 구하시오. [3점]

24. 그림과 같이 좌표평면 위의 두 점 [eqn: rm A(`0`,``2)``], [eqn: rm B`(`3`,``0)``]을 잇는 선분 [eqn: rm AB``]를 한 변으로 하는 정사각형 [eqn: rm A`B`C`D``]에 대하여 선분 [eqn: rm OC``]의 길이의 제곱 [eqn: bar{rm OC} it ^{`2}} ``]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rm O``]는 원점이고 점 [eqn: rm C``]는 제[eqn: `1``]사분면 위의 점이다.) [3점]

25. 분모가 [eqn: 0``]이 되지 않도록 하는 모든 [eqn: x``]에 대하여 등식

[eqn: {x`-`3} over {x ^{2} `(x`+`1`)``} `=` {a} over {x} `-` {b} over {x ^{2}} `-` {c} over {x+1} ``]

이 성립하도록 하는 상수 [eqn: a``], [eqn: b``], [eqn: c``]의 합 [eqn: a``+`b``+`c``]의 값을 구하시오. [3점]

26. 두 복소수 [eqn: alpha`], [eqn: beta ``] 를 [eqn: alpha `=` {sqrt {3} `+`i} over {2} ``], [eqn: beta ``=` {1`+` sqrt {3} `i} over {2} ``]라 할 때

[eqn: alpha ^{`m} `․`` beta ^{``n} `=`i``]

를 만족시키는 [eqn: 10``]이하의 자연수 [eqn: m`], [eqn: n``]에 대하여 [eqn: m``+`2`n``]의 최댓값을 구하시오. (단, [eqn: i`=` sqrt {-1} ``]이다.) [4점]

27. 두 다항식 [eqn: A``=`x ^{3} `+`x`+`4``], [eqn: B```=`x`+`4``]에 대하여 [eqn: A ^{3``} -`B ^{``3``} ``]의 전개식에서 [eqn: x ^{3} ``]의 계수를 구하시오. [4점]

28. 다음 다섯 개의 수의 평균이 [eqn: 5``]이고 표준편차가 [eqn: 2``]일 때 두 수 [eqn: a``], [eqn: b``]의 곱 [eqn: a`b``]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: 2``]	[eqn: 5`]	[eqn: 8``]	[eqn: a`]	[eqn: b``]

29. 운전자가 장애물을 발견하고 브레이크를 밟기까지 자동차가 달린 거리를 공주거리, 브레이크를 밟을 때부터 자동차가 완전히 정지할 때까지 달린 거리를 제동거리라 하고, 공주거리와 제동거리를 합한 거리를 정지거리라 한다. 어느 자동차 실험에서 시속 [eqn: x``][eqn: rm km``]로 달리던 자동차의 공주거리는 [eqn: {3} over {10} `x```][eqn: rm m``]이고 제동거리는 [eqn: {1} over {100} `x ^{2} `-` {1} over {5} `x`+`3```][eqn: rm m``]의 결과가 나왔다고 한다. 이 실험에서 시속 [eqn: a`][eqn: rm km``]로 달리는 자동차의 정지거리가 [eqn: 40``][eqn: rm m``]이었을 때, 상수 [eqn: a``]에 가장 가까운 정수를 다음 제곱표를 이용하여 구하시오. (단, [eqn: x`>`0`]이다.) [4점]

[eqn: n`]	[eqn: 55``]	[eqn: 56``]	[eqn: 57`]	[eqn: 58``]	[eqn: 59``]	[eqn: 60``]	[eqn: 61``]	[eqn: 62``]
[eqn: n^{2}``]	[eqn: 3025``]	[eqn: 3136``]	[eqn: 3249``]	[eqn: 3364``]	[eqn: 3481``]	[eqn: 3600`]	[eqn: 3721``]	[eqn: 3844``]

30. 전체집합 [eqn: U= LEFT { x``|``x``]는 [eqn: 9``]이하의 자연수[eqn: \}``]의 두 부분집합 [eqn: A`,``B``]에 대하여 집합 [eqn: A``]의 원소들의 합을 [eqn: S`(A)`], 집합 [eqn: B``]의 원소들의 합을 [eqn: S`(B)`]라 하자. [eqn: A` CUP `B``=`U``], [eqn: A` SMALLINTER `B``=` LEFT { 3`,``4` RIGHT } ``]일 때 [eqn: S`(A)`], [eqn: S`(B)``]의 곱 [eqn: S`(A)`S`(B)``]의 최댓값을 구하시오. [4점]

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.