◦ 자신이 선택한 유형(‘가’형 / ‘나’형)의 문제지인지 확인하시오.

◦ 문제지에 성명과 수험번호를 정확히 써 넣으시오.

◦ 답안지에 성명과 수험번호를 써 넣고, 또 수험번호와 답을 정확히 표시하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 ‘0’이 포함되면 그 ‘0’도 답란에 반드시 표시하시오.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

2008학년도 7월 고3 전국연합학력평가 문제지

수리 영역 (나형)

성명			수험번호						3

고 3	수리 영역 (나형)

	수리 영역 (나형)	고 3

8

8

제 2 교시

1. [eqn: (log _{2} 16) TIMES root {3} of {64} `]의 값은? [[eqn: 2`]점]

① [eqn: 10`]      ② [eqn: 12`]      ③ [eqn: 14`]       ④ [eqn: 16`]       ⑤ [eqn: 18`]

2. 두 이차정사각행렬 [eqn: A= pmatrix{`2````&1`#`4````&3`}`], [eqn: B= pmatrix{`4````&5`#`2````&7`}`]에 대하여
[eqn: 3A+2X=B`]가 성립할 때, 행렬 [eqn: X`]의 모든 성분의 합은?

[[eqn: 2`]점]

① [eqn: -7]      ② [eqn: -6]       ③ [eqn: -5]       ④ [eqn: -4]       ⑤ [eqn: -3]

3. [eqn: lim _{n -> INF } {{3n} over {sqrt {4n ^{2} +1} -n}} `]의 값은? [[eqn: 2`]점]

① [eqn: 1]        ② [eqn: {3} over {2}]        ③ [eqn: 2]        ④ [eqn: {5} over {2}]        ⑤ [eqn: 3]

4. 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여 [eqn: a_2 =-1`], [eqn: a _{1} +2a _{3} =0`]일 때, [eqn: a _{10} `]의 값은? [[eqn: 3`]점]

① [eqn: 17]      ② [eqn: 19]       ③ [eqn: 21]       ④ [eqn: 23]       ⑤ [eqn: 25]

5. [eqn: ` _{n-1} {rm P} it _{2}`` +4``=` _{n+1} {rm C} it _{n-1} `]이 성립하는 모든 [eqn: n`]의 값의 합은?

[[eqn: 3`]점]

① [eqn: 7]        ② [eqn: 8]        ③ [eqn: 9]        ④ [eqn: 10]       ⑤ [eqn: 11]

6. [eqn: log` _{2} `x=5.2`]일 때, [eqn: log` {1} over {x} `]의 가수는? (단, [eqn: log`2=0.30`]) [[eqn: 3`]점]

① [eqn: 0.32]                  ② [eqn: 0.36]                  ③ [eqn: 0.40]

④ [eqn: 0.44]                  ⑤ [eqn: 0.48]

7. [eqn: 1`]이 아닌 양의 실수 [eqn: x,````y`]에 대하여 ◎을
[eqn: x◎y=log _{x} `y`+log _{y} `x`]로 정의할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, [eqn: a`,```b`]는 양수) [[eqn: 3`]점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: 4◎16= {5} over {2} `] ㄴ. [eqn: a ^{k} ``◎`b ^{k} ``=a`◎`b`] ㄷ. [eqn: a ^{b} ◎b ^{a} =a◎b ^{{a} over {b}} `]

① ㄱ                  ② ㄴ                 ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ               ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

8. 최근에 상품을 개발한 어느 회사에서 상품에 대한 평가단으로 남자 [eqn: 300`]명, 여자 [eqn: 200`]명을 선정하였다. 이 평가단이 상품에 대한 평가를 한 결과 남자 중에서 [eqn: 60%] , 여자 중에서 [eqn: 50%] 가 긍정적인 평가를 하였다. 상품 평가단 [eqn: 500`]명 중에서 임의로 선택한 사람이 상품에 대해 긍정적인 평가를 하였을 때, 이 사람이 남자일 확률은? [[eqn: 3`]점]

① [eqn: 3 over7]       ② [eqn: 1 over 2]       ③ [eqn: 4 over 7]       ④ [eqn: 9 over 14]      ⑤ [eqn: 5 over 7]

9. 행렬 [eqn: A= pmatrix{`m````&0`#`0````&n`}]에 대응하는 직선을 [eqn: y=mx+n]으로 정의할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [[eqn: 3`]점]

		<보 기>
	ㄱ. 자연수 [eqn: k`]에 대하여 행렬 [eqn: A ^{k}]에 대응하는 직선은 [eqn: y=m ^{k} x+n ^{k}]이다. ㄴ. 역행렬이 존재하는 행렬 [eqn: A`]에 대응하는 직선은 원점을 지나지 않는다. ㄷ. 행렬 [eqn: A`]와 그 역행렬 [eqn: A ^{-1} `]에 대응하는 직선은 서로 수직이다.

① ㄱ                   ② ㄷ                  ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ                ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

10. 서로 독립인 두 사건 [eqn: A,~B] 에 대하여
[eqn: {rm P} (B`) = 1 over 3 `] , [eqn: {rm P} (A capB``^C `)= 1over 2`]일 때, [eqn: {rm P}(A cap B`)`] 의 값은? [[eqn: 3]점]

① [eqn: 1 over 18]       ② [eqn: 1 over 15]      ③ [eqn: 1 over 12]      ④ [eqn: 1 over 6]      ⑤ [eqn: 1 over4]

11. 연립방정식 [eqn: cases{log `_{2} ``x+log `_{3}`` y=2#(log `_{3} ``x)(log `_{4}`` y)=`- {3} over {2}} `]의 해가 [eqn: x=a`,```y=b`]일 때, [eqn: 3ab`]의 값은? (단, [eqn: a>1`]) [[eqn: 3`]점]

① [eqn: 6]        ② [eqn: 8]        ③ [eqn: 10]        ④ [eqn: 12]        ⑤ [eqn: 14]

12. 두 집합 [eqn: X= LEFT { (x`,```y)` LEFT | ` pmatrix{a ^{2} +1```&``2a ^{2} -3#2&``a} pmatrix{`x`#`y`} = pmatrix{`0`#`0`} ` RIGHT } ` RIGHT .],
[eqn: Y= LEFT { (x`,```y)`left|``y= - 1 over x RIGHT } `]에 대하여 [eqn: X `SMALLINTER Y != phi `]일 때, 모든 상수
[eqn: a`]의 값의 합은? [[eqn: 3`]점]

① [eqn: 5]        ② [eqn: 6]        ③ [eqn: 7]        ④ [eqn: 8]        ⑤ [eqn: 9]

13. [eqn: 1`]이 아닌 양수 [eqn: a`], [eqn: b``]([eqn: a>b`])에 대하여 두 함수 [eqn: f(x)=a ^{x} `], [eqn: g(x)=b ^{x} `]라 하자. 양수 [eqn: n`]에 대하여 <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? [[eqn: 4`]점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: f(n)>g(n)`] ㄴ. [eqn: f(n)<g(-n)`]이면 [eqn: a>1`]이다. ㄷ. [eqn: f(n)=g(-n)`]이면 [eqn: f left( 1over n right) = g left( - 1over n right)`]이다.

① ㄱ                  ② ㄴ                ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ               ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

14. 다음은 [eqn: n >= 2`]인 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: left(1+ 1 over {1^3 }right ) left(1+ 1 over {2^3 } right) left(1+ 1 over {3^3 } right)` CDOTS `left(1+ 1 over {n^3 } right)<`3- {1} over {n}] [eqn: CDOTS `]㉠

이 성립함을 수학적귀납법으로 증명하는 과정이다.

	<증명> (i) [eqn: n=2]일 때 (좌변)[eqn: =left(1+ 1 over {1^3 }right )left(1+ 1 over {2^3 }right )`= {9} over {4}] , (우변)[eqn: =`3- {1} over {2} `=` {5} over {2}] 이므로 ㉠이 성립한다. (ii) [eqn: n=k`(k>=2)`]일 때 ㉠이 성립한다고 가정하면 [eqn: left(1+ 1 over {1^3 }right ) left(1+ 1 over {2^3 } right) left(1+ 1 over {3^3 } right)` CDOTS `left(1+ 1 over {k^3 } right)<`3- {1} over {k}] [eqn: CDOTS `]㉡ ㉡의 양변에 를 곱하면 (가) [eqn: left(1+ 1 over {1^3 }right ) left(1+ 1 over {2^3 } right) left(1+ 1 over {3^3 } right)` CDOTS `left(1+ 1 over {k^3 } right)`][eqn: (][eqn: )] (가) [eqn: <`left(3- {1} over {k} right)(`] [eqn: )][eqn: CDOTS `]㉢ (가) ㉢의 우변을 정리하면 (우변) [eqn: =`3````-``` { } over {``````k(k+1) ^{3} ``````}] (나) [eqn: {} over {``````k(k+1) ^{3} ``````}] (나) (다) [eqn: {1} over {k+1}] [eqn: -`] [eqn: 0] 이 때, 따라서 [eqn: n=k+1`]일 때도 ㉠이 성립한다. 그러므로 (i), (ii)에 의하여 [eqn: n >= 2]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 주어진 부등식은 성립한다.

위의 증명 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [[eqn: 4`]점]

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: 1+ 1 over (k+1) ^{3}]	[eqn: k ^{3} +3k ^{2} +2]	[eqn: <]
②	[eqn: 1+ 1 over (k+1) ^{3}]	[eqn: k ^{3} +3k ^{2} +2]	[eqn: >]
③	[eqn: 1+ 1 over (k+1) ^{3}]	[eqn: k ^{3} -3k ^{2} +2]	[eqn: <]
④	[eqn: 1 over (k+1) ^{3}]	[eqn: k ^{3} -3k ^{2} +2]	[eqn: >]
⑤	[eqn: 1 over (k+1) ^{3}]	[eqn: k ^{3} -3k ^{2} +2]	[eqn: <]

15. 함수 [eqn: y=f(x)`]위의 임의의 점 [eqn: {rmP}`(a`,```b)`]와 [eqn: y=f(x)`]의 역함수 [eqn: y=f`^-1 (x)`]위의 임의의 점 [eqn: {rmQ}`(c`,```d)`]로 행렬 [eqn: A = pmatrix { `a```& b`# `c```& d`}`]를 만든다. 다음 함수로 행렬 [eqn: A`]를 만들 때, 역행렬 [eqn: A ^{-1} `]이 항상 존재하는 것은? [[eqn: 4`]점]

① [eqn: y=x+1`]           ② [eqn: y=log `x`]          ③ [eqn: y= 2^x `]

④ [eqn: y=sqrt x-1`]        ⑤ [eqn: y= 1 over x`]

16. [eqn: A`]학생의 주머니에는 빨간 구슬 [eqn: 2`]개와 노란 구슬 [eqn: 3`]개, [eqn: B`]학생의 주머니에는 노란 구슬 [eqn: 1`]개와 파란 구슬 [eqn: 4`]개가 들어 있다. 두 명의 학생이 각자의 주머니에서 한 개의 구슬을 꺼내어 색깔에 따라 승부를 가리는데, 빨간 구슬이 노란 구슬에 이기고, 노란 구슬은 파란 구슬에 이기고, 파란 구슬은 빨간 구슬에 이긴다고 한다. 이 때, [eqn: A`]학생이 이길 확률은? (단, 같은 색의 구슬이 나왔을 때는 구슬을 한 개씩 더 꺼내어 승부를 가리고, 꺼낸 구슬은 다시 넣지 않는다.) [[eqn: 4`]점]

① [eqn: {29} over {50}]      ② [eqn: {31} over {50}]      ③ [eqn: {33} over {50}]       ④ [eqn: {7} over {10}]       ⑤ [eqn: {37} over {50}]

17. 그림과 같이 사분원 [eqn: rm AOB`]에 대하여 [eqn: rm ANGLE AOB]를 삼등분하는 직선이 사분원과 만나는 교점을 각각 [eqn: {rm A} _{1}`], [eqn: rm B _{1}]이라 하고, [eqn: rm ANGLE A _{1} OB _{1}]을 삼등분하는 직선이 사분원과 만나는 교점을 각각 [eqn: rm A _{2}] , [eqn: rm B _{2}]라고 하자. 이와 같은 방법으로 계속할 때, [eqn: rm ANGLE A _{10} OB`]의 크기는? [[eqn: 4`]점]

① [eqn: ` {pi } over {4} LEFT ( 1- {1} over {3 ^{9}} RIGHT )]        ② [eqn: ` {pi } over {4} left(1+ {1} over {3 ^{9}} right)]       ③ [eqn: ` {pi } over {4} left(1- {1} over {3 ^{10}} right)]

④ [eqn: ` {pi } over {4} left(1+ {1} over {3 ^{10}} right)]       ⑤ [eqn: ` {pi } over {4} left(1+ {1} over {3 ^{11}} right)]

단답형(18 ~ 25)

18. 행렬 [eqn: A= pmatrix{`-2```&```````3`#````````1```&-2`} `]에 대하여 [eqn: left(A ^-1 right)^2`]의 모든 성분의 합을 구하시오. (단, [eqn: A ^-1]는 [eqn: A `]의 역행렬이다.) [[eqn: 3`]점]

19. 방정식 [eqn: 16 ^{x} -4 ^{x+3} +100=0`]의 두 근을 [eqn: alpha `,` ``beta `]라 할 때, [eqn: 2 ^{alpha + beta } `]의 값을 구하시오. [[eqn: 3`]점]

20. 그림과 같이 넓이가 [eqn: 1`]인 정삼각형 모양의 타일을 다음과 같은 규칙으로 붙인다.

[[eqn: 1`]단계] : 정삼각형 모양의 타일을 한 개 붙인다.

[[eqn: n]단계] : [eqn: n-1]단계에서 붙여진 타일의 바깥쪽 테두리의 각  변에 정삼각형 모양의 타일을 붙인다.

이와 같이 [eqn: 10`]단계를 시행했을 때, 타일로 덮인 부분의 전체의 넓이를 구하시오. [[eqn: 3`]점]

[eqn: 1`]단계             [eqn: 2`]단계                  [eqn: 3`]단계

21. 주머니 [eqn: A`]에 들어 있는 크기가 같은 흰 공 [eqn: 7`]개를 주머니 [eqn: B`]로 모두 옮겨 담으려고 한다. 한 번에 한 개 또는 두 개씩 꺼내어 옮겨 담는 경우의 수를 구하시오. [[eqn: 4`]점]

22. 놀이공원의 대관람차는 한 차량당 최대 탑승 인원이 5명이고, 안전을 위하여 어린이들은 반드시 어른을 한 명 이상 동반하여 탑승해야 한다. 어른 3명과 어린이 5명이 비어있는 서로 다른 [eqn: 8`]대의 차량 중 두 대의 차량을 선택하여 탑승하는 방법의 수를 [eqn: n`]이라고 할 때, [eqn: {n} over {10} `]의 값을 구하시오. [[eqn: 4`]점]

23. 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형 [eqn: rm ABCD]에서 선분 [eqn: rm AB]와 선분 [eqn: rm AD]를 각각 [eqn: m:n]으로 내분하는 점을 지나는 두 직선을 그어 만들어지는 [eqn: 4]개의 사각형 중 아랫부분 정사각형의 넓이를 [eqn: S _{1}], 윗부분의 정사각형을 [eqn: rm A _{1} B _{1} CD _{1}]이라 하자.

다시 정사각형 [eqn: rm A _{1} B _{1} CD _{1}]에서 선분 [eqn: rm A _{1} B _{1}]과 선분 [eqn: rm A _{1} D _{1}]을 각각 [eqn: m:n]으로 내분하는 점을 지나는 두 직선을 그어 만들어지는 [eqn: 4]개의 사각형 중 아랫부분 정사각형의 넓이를 [eqn: S _{2}], 윗부분의 정사각형을 [eqn: rm A _{2} B _{2} CD _{2}]라 하자.

이와 같은 시행을 무한히 반복할 때, [eqn: sum _{k=1} ^{INF } S _{k} = {1} over {7}]이다.

[eqn: m ^{2} +n ^{2}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: m`, ```n] 은 서로소인 자연수) [[eqn: 4`]점]

[eqn: S _{1}]

[eqn: S _{2}]

[eqn: S _{3}]

24. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: f(n)`]을 [eqn: log _{2} `n`]과 [eqn: log` _{2} `(2n+1)`]사이의 정수로 정의할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{20} f(n)``]의 값을 구하시오. [[eqn: 3`]점]

25. 모래시계 [eqn: A`], [eqn: B`], [eqn: C`]에 들어 있는 모래의 양은 각각 [eqn: 3 ^{a} `], [eqn: 9 ^{b} `], [eqn: 27 ^{c} `]이고 매 초당 모래가 위에서 아래로 일정하게 떨어지는 양은 각각 [eqn: a`,```b`,```c`]이다. [eqn: a`,```b`,```c]는 이 순서대로 등비수열을 이루고, [eqn: 3 ^{a} ,````9 ^{b} ,````27 ^{c} `]도 이 순서대로 등비수열을 이루며, 두 수열의 공비는 같다. 모래시계 [eqn: A`], [eqn: B`], [eqn: C`]로 잴 수 있는 시간(초)을 각각 [eqn: t _{A} `,```t _{B}` ,```t _{C} `]라 할 때, [eqn: t _{A} +t _{B} +t _{C} `]의 값을 구하시오. (단, 모래가 다 떨어진 후 뒤집지 않는다.) [[eqn: 4`]점]

5지선다형(26 ~ 29)

26. 함수 [eqn: f(x)=log _{2} x``]의 그래프 위의 두 점
[eqn: rm `A it (a`,```f(a))`], [eqn: rm `B it (b`,```f(b))`]를 이은 선분 [eqn: rm AB`]를 [eqn: 1`:`2`]로 내분하는 점이 [eqn: x`]축 위에 있을 때, [eqn: a^2 b `]의 값은? [[eqn: 3`]점]

① [eqn: 1]      ② [eqn: sqrt {2}]       ③ [eqn: 2]        ④ [eqn: 2 sqrt {2}]      ⑤ [eqn: 3]

27. 자연수 [eqn: n]에 대하여 도형 [eqn: (n+1)|`x`|+`n`|`y`|`=1`]의 넓이를 [eqn: {S } _{n}`]이라고 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF }{ S} _{n}`]의 값은? [[eqn: 4`]점]

① [eqn: 1]       ② [eqn: 3 over 2]       ③ [eqn: 2]       ④  [eqn: 5 over {2}]       ⑤ [eqn: 3]

28. 무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } (x-1)(log _{2} `x) ^{n}`]이 수렴할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [[eqn: 4`]점]

		<보 기>
	ㄱ. 수렴하기 위한 [eqn: x]값의 범위는 [eqn: {1} over {2} < x < 2]이다. ㄴ. 무한급수의 합이 [eqn: 1]이 되도록 하는 [eqn: x]의 값은 한 개 존재한다. ㄷ. 무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } left( {log _{2} ``x``-1} over {2} right) ^{n}`]은 수렴한다.

① ㄱ                   ② ㄴ                  ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ                ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

29. 그림과 같이 곡선 [eqn: y=2 ^{x}`]과 두 직선 [eqn: y=k`], [eqn: y=k``+1`]의 교점을 각각 [eqn: {rmA} _{k} `,```{rmA} _{k+1} `]이라 하자.

점 [eqn: {rmA} _{k} `]를 지나고 [eqn: y`]축에 평행한 직선과 직선 [eqn: y=k+1`]이 만나는 점을 [eqn: {rm P} it rm _{k} `]라 하고, 세 점 [eqn: {rm A} it _{k} `], [eqn: {rm A} it _{k+1} `], [eqn: {rm P} it _{k} `]를 연결한 삼각형의 넓이를 [eqn: S _{k} `]라 할 때, [eqn: sum _{k=1} ^{7} S _{k`}`]의 값은? [[eqn: 4`]점]

[eqn: y=2 ^{x}]

[eqn: y=k+1]

[eqn: y=k]

[eqn: S_k]

[eqn: {\ P}_k]

[eqn: {\ A}_k]

[eqn: {\ A}_k+1]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

① [eqn: 1]        ② [eqn: {3} over {2}]        ③ [eqn: 2]        ④ [eqn: 5 over 2]        ⑤ [eqn: 3]

단답형(30)

30. 집합 [eqn: LEFT { 1`,```2`,```3`,``` CDOTS `,```16 RIGHT }]에서 선택한 임의의 두 수 [eqn: m`,```n]에 대하여 [eqn: 3 ^{m} +8 ^{n} `]의 일의 자리의 숫자가 3일 확률이 [eqn: {b} over {a} `]일 때, [eqn: a+b`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a`,```b`]는 서로소인 자연수) [[eqn: 4`]점]

* 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.