(홀수형)

2008학년도 대학수학능력시험 (수리영역-가형)  정답 및 해설

1.

[eqn: ( root{2{root6}} `)^4 = LEFT { ({2{root6}} `)^{ { 1} over {2 }} RIGHT }^4 =({2{root6}} `)^2 =24]

ꂼ ⑤

2.

[eqn: -x = t``]로 놓으면

[eqn: x->-inf`]일 때, [eqn: t`->inf`]이므로

[eqn: lim_x->-inf``x+1 over{ root{ x^2 +x} -x}`]

[eqn: = lim_t->inf``-t+1 over{ root{ t^2 - t} +t`}`]

[eqn: = lim_t->inf`{-1+ 1over t } over{ root{ 1- 1over t} +1}`]

[eqn: = -1+0 over 1+1 = - 1over2`]

ꂼ ②

3. [eqn: BA=B+E]에서

[eqn: A=B ^{-1} (B+E)]

[eqn: =E+B ^{-1}]

[eqn: = {pmatrix{1&`````0#0&`````1}} + {pmatrix{```````1&``-1#-2&`````````3}}]

[eqn: = {pmatrix{```````2&``-1#-2&`````````4}}]

따라서 행렬 [eqn: A]의 모든 성분의 합은 3이다.

ꂼ ⑤

4.

[eqn: lim _{x -> 1} {{g(x)-2x} over {x-1}}]의 극한값이 존재하고 [eqn: x -> 1] 일

때 (분모)[eqn: -> 0]이므로 (분자)[eqn: -> 0]이어야 하고,  [eqn: g(x)]는 다항함수이므로 연속이다.

그러므로

[eqn: lim _{x -> 1} {LEFT { g(x)-2x RIGHT } =g(1)-2=0}]

[eqn: THEREFORE `] [eqn: g(1)`=2]  -------㉠

[eqn: f(x)+x-1=(x-1)g(x)]에서

[eqn: f(x)`=`(x-1) LEFT { g(x)-1 RIGHT }] ---㉡

따라서 ㉠과 ㉡에 의해

[eqn: lim _{x -> 1} {{f(x)g(x)} over {x ^{2} -1}}][eqn: = lim _{x -> 1} {{(x-1) LEFT { g(x)-1 RIGHT } g(x)} over {(x-1)(x+1)}}]

[eqn: = lim _{x -> 1} {{LEFT { g(x)-1 RIGHT } g(x)} over {x+1}}]

[eqn: = {LEFT { g(1)-1 RIGHT } g(1)} over {2}]

[eqn: = {(2-1) CDOT 2} over {2} =1]

ꂼ ①

5.

[eqn: x(x+a)(x-2a)<0]

∴ [eqn: x< -a] 또는 [eqn: 0<x<2a`][eqn: cdots ㉠]

[eqn: x^2 +ax-2a^2 <=0]

[eqn: (x+2a)(x-a)<=0]

∴ [eqn: -2a<=x<=a`] [eqn: cdots㉡]

㉠, ㉡의 공통범위는

[eqn: -2a<=x< -a] 또는 [eqn: 0<x<=a`]

이 범위에 속하는 정수 [eqn: x`]가 [eqn: 4`]개이려면

두 구간의 길이 차가 [eqn: a`]로 같으므로 두 구간에 속하는 정수는 [eqn: 2`]개씩이어야 한다.

따라서 이 구간에 속하는 정수 [eqn: x`]는 [eqn: 1, ``2,`` -4,``-3]이고 이들의 합은 [eqn: -4`]이다.

ꂼ ①

6.

[eqn: P (1<= X<= 2)= 1over 2 times 1 times b = a over 6]

[eqn: therefore] [eqn: b = a over 3]

[eqn: P( 0<= X<= 1)= 1over 2 times 1 times a = a over 2]이므로

[eqn: a over 2 + a over 6 = 1]

[eqn: therefore] [eqn: a = 3over2], [eqn: b = 1over2]

[eqn: therefore][eqn: a-b=1]

ꂼ ①

7.

주어진 함수는 삼차함수이므로

[eqn: a not=0]

[eqn: f``'(x) = (x-1)(ax+1)+x(ax+1)]

[eqn: +ax(x-1)]

이므로 점 P(1, 0)에서의 접선 [eqn: l]의 기울기는

[eqn: f``'(1) = a+1]

또한 접선 [eqn: l]과 수직이면서 점 P(1, 0)을 지나는

직선의 방정식은

[eqn: y= - 1 over a+1 (x-1)] ([eqn: a not=-1])…㉠

따라서 ㉠과 곡선 [eqn: y=f(x)]가 서로 다른 세 점에서

만나야 하므로

[eqn: - 1 over a+1 (x-1) = x(x-1)(ax+1)]

[eqn: (x-1) ( ax^2 + x + 1 over a+1 ) = 0]

이 때 [eqn: ax^2 + x + 1over a+1 =0]은 [eqn: x=1]을 근으로 갖지

않으므로

[eqn: D = 1- 4a cdot 1 over a+1 = -3a+1 over a+1 >0]

[eqn: 3a-1 over a+1 <0], [eqn: (3a-1)(a+1)<0]

[eqn: therefore] [eqn: -1<a<0] 또는 [eqn: 0<a< 1 over 3] ([eqn: ∵][eqn: a not=0])

ꂼ ③

8.

모든 실수 [eqn: x]에 대하여

조건 (가)에 의하여

[eqn: f(x)>0], [eqn: g(x)>0] 또는 [eqn: f(x)<0], [eqn: g(x)<0]…㉠

조건 (나)에서 [eqn: g(x) over f(x)h(x) >=0] 이므로

[eqn: f(x)g(x)h(x) >=0] ([eqn: f(x) not=0], [eqn: h(x) not=0])

[eqn: therefore] [eqn: h(x)>0] ([eqn: f(x)g(x)>0], [eqn: h(x) not=0])…㉡

ㄱ. 조건 (가)에 의하여 [eqn: f(x)=0]은 실근을 갖지 않는다. (참)

ㄴ. ㉠에서 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: g(x)>0] 또는 [eqn: g(x)<0]

이다. 따라서, 부등식 [eqn: g(x)>0]의 해집합은 공집합이거나

실수 전체의 집합이다. (참)

ㄷ. 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: g(x) not=0] 이므로

[eqn: |g(x)|>0]

또한, ㉡에서 [eqn: h(x)>0] 이므로

[eqn: |g(x)|+h(x)>0]

따라서, 방정식 [eqn: |g(x)|+h(x)=0]은 실근이 존재하지 않는다. (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ 이다.

ꂼ ③

9.

철수가 걸린 시간은

[eqn: 10 over 3 + 10 over 6 = 5](시간)

[eqn: bar AD = root{(10-x)^2 +(2x)^2 } = root{5x^2 -20x +100}]이므로

영희가 걸린 시간은

[eqn: {root{5x^2 -20x +100}+x+(10-2x)} over 6]

[eqn: ={root{5x^2 -20x +100}+10-x} over 6 =3]

[eqn: therefore] [eqn: root{5x^2 -20x +100} = x+8]

양변을 제곱하면

[eqn: 5x^2 -20x +100 = x^2 +16x+64]

[eqn: 4x^2 -36x +36=0]

[eqn: x^2 -9x+9=0]

[eqn: therefore] [eqn: x={9-root45} over 2 = {9-3root5} over 2] ([eqn: because] [eqn: x<5])

ꂼ ④

10.

[eqn: y= cases{ f(x) &(x<a) # g(x) & (x>=a)}]가 모든 실수 [eqn: x`]에서 연속이 되도록 하는 상수 [eqn: a`]의 개수는 두 함수 [eqn: f(x), g(x)`]의 그래프의 교점의 개수와 같다. [eqn: cdots㉠]

ㄱ. 두 다항함수 [eqn: f(x) = x^2], [eqn: g(x) = x+1`]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: O]

[eqn: g(x) = x+1`]

[eqn: f(x) = x^2]

∴ [eqn: N (f,``g) = 2`]

ㄴ.  ㉠에 의해 [eqn: N (f,``g) = N ( g , ``f)] (참)

ㄷ. [eqn: left{f(x) right } ^3 = left{ g(x) right}^3]에서

[eqn: LEFT { f(x)-g(x) RIGHT } LEFT[ LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} +f(x)g(x)+ LEFT { g(x) RIGHT } ^{2} RIGHT ] =0]

이고

[eqn: LEFT [ LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} +f(x)g(x)+ LEFT { g(x) RIGHT } ^{2} RIGHT ]][eqn: = LEFT [ LEFT { f(x)+ {1} over {2} g(x) RIGHT } ^{2} + {3} over {4} LEFT { g(x) RIGHT } ^{2} RIGHT } >= 0]

이므로 [eqn: left{f(x) right } ^3 = left{ g(x) right}^3]를 만족하는 [eqn: x`]의 값의 개수는 [eqn: f(x) = g(x)`]를 만족하는 [eqn: x`]의 값의 개수와 같다.

즉, 두 함수 [eqn: h circ f]와 [eqn: h circ g`]의 그래프의 교점의 개수는 두 함수 [eqn: f`]와 [eqn: g`]의 그래프의 교점의 개수와 같다.

∴ [eqn: N( f, ``g)= N (h circf , ``h circ g )] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

ꂼ ⑤

11.

[eqn: LEFT ( f CIRC g RIGHT ) (x)]가 [eqn: x=1]에서 연속이므로

[eqn: lim _{x -> 1+0} {(f CIRC g)(x)} = lim _{x -> 1-0} {(f CIRC g)(x)=(f CIRC g)(1)}]

(ⅰ) [eqn: x -> 1+0]일 때, [eqn: x != 1]이고 [eqn: f(x)=f(x+2)]이므로

[eqn: lim _{x -> 1+0} {(f CIRC g)(x)} = lim _{x -> 1+0} {f(g(x))}]

[eqn: = lim _{x -> 1+0} {f(x)}]

[eqn: = lim _{x -> -1+0} {f(x)}]

[eqn: =0]

(ⅱ) [eqn: x -> 1-0]일 때, [eqn: x != 1]이고 [eqn: f(x)=f(x+2)]이므로

[eqn: lim _{x -> 1-0} {(f CIRC g)(x)} = lim _{x -> 1-0} {f(g(x))}]

[eqn: = lim _{x -> 1-0} {f(x)}]

[eqn: =0]

(ⅲ) [eqn: x=1]일 때,

[eqn: (f CIRC g)(1)=f(g(1))]

[eqn: =f(a)]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서

[eqn: f(a)=0]

그런데 [eqn: a>1]이고 [eqn: f(x)=f(x+2)]이므로 [eqn: a]의 최소값은 [eqn: a= {5} over {2}]

ꂼ ②

12.

[eqn: r-p=k,``````0 LEQr` LEQn+1] 이므로

[eqn: 0 LEQ `p LEQn+1-k]

따라서 변 [eqn: rmAB]는 [eqn: p]에 의하여 결정되므로

변 [eqn: rmAB]를 택하는 경우의 수는

정수 [eqn: p]의 개수와 같다.

이 때 정수 [eqn: p]의 개수는

[eqn: (n+1-k) -0+1 = n-k+2]

[eqn: THEREFORE](가) [eqn: n-k+2]

같은 방법으로 변 [eqn: rmAD]를 택하는 경우의 수는

정수 [eqn: q]의 개수와 같으므로

[eqn: (n-k) -0+1 = n-k+1]

[eqn: THEREFORE](나) [eqn: n-k+1]

[eqn: sum _{ k=1} ^{n } a_k = sum _{ k=1} ^{n } LEFT { (n+1)(n+2)-(2n+3)k +k^2 RIGHT }]

[eqn: =n(n+1)(n+2) -(2n+3) TIMES { n(n+1)} over {2 }]

[eqn: + { n(n+1)(2n+1)} over {6 }]

[eqn: = { n(n+1)(n+2)} over {3 }]

[eqn: THEREFORE](다) [eqn: { n(n+1)(n+2)} over {3 }]

ꂼ ④

13.

[eqn: c(0)=0.83,`````c(1)=0.43] 이므로

[eqn: Q=kV log { 0.83-0.03} over {0.43-0.03 } =kV log 2]

이때 [eqn: Q]는 일정하므로

이산화탄소 농도가 [eqn: 0.08%]일 때

[eqn: Q=k TIMES { V} over {t } log { 0.83-0.03} over {0.08-0.03 } =kV log 2]

[eqn: k TIMES { V} over {t } log 16 =kV log 2]

[eqn: { 4} over {t } =1 ,```` THEREFORE ``t=4]

ꂼ ②

14.

[eqn: 8 over 3]

[eqn: 8]

[eqn: rmQ_1]

[eqn: rmP_1]

[eqn: rmB_1]

[eqn: rmA_1]

[eqn: rmB]

[eqn: rmA]

세 선분[eqn: rm A_1 B_1 ,`A_1 P_1 , B_1 P_1`]의 길이는 모두 원의 반지름의 길이인 [eqn: 8 over 3`]이므로 [eqn: rm △A_1 B_1 P_1`]은 정삼각형이다.

∴ [eqn: rm ∠P_1 A_1 B_1 = pi over 3`]

따라서, 호[eqn: rm P_1 A_1 Q_1`]의 길이는

[eqn: 8 over 3 × 2over3 pi = 16 over 9 pi`]

이므로 두 호[eqn: rm P_1 A_1 Q_1`, `P_1 B_1 Q_1`]의 길이의 합은

[eqn: l_1 = 2 × 16 over 9 pi = 32 over 9 pi`]

한편,  모양의 도형을 크기 순으로 나열하면 이들은 모두 닮은꼴이고,

[eqn: rm bar AB ``:`` bar {A_1 B_1 }` = 8``:``8 over 3 = 3``:``1`]

이므로 닮음비는 [eqn: 3``:``1`]이다.

∴ [eqn: sum_n=1^inf``l_n` = l_1 + 1over3 l_1 + left( 1over3 right)^2 `l_1 + cdots`]

[eqn: = l_1 over{ 1- 1over3}`]

[eqn: = { 32over9 pi } over{ 2over3}`]

[eqn: = 16 over 3 pi`]

ꂼ ④

15.

[eqn: n <= 10]일 때,

[eqn: a _{1} =1],

[eqn: a _{2} =2]

[eqn: a _{3} =1+3=4]

[eqn: a _{4} =2+4=6]

[eqn: a _{5} =1+3+5=9]

[eqn: a _{6} =2+4+6=12]

[eqn: a _{7} =1+3+5+7=16]

[eqn: a _{8} =2+4+6+8=20]

[eqn: a _{9} =1+3+5+7+9=25]

[eqn: a _{10} =2+4+6+8+10=30]

[eqn: n">"10]일 때,

[eqn: a _{11} =a _{13} = CDOTS =1+3+5+7+9=25]

[eqn: a _{12} =a _{14} = CDOTS =2+4+6+8+10=30]

따라서

[eqn: sum _{n=1} ^{14} a _{n} =235]

ꂼ ⑤

16.

[eqn: S_n T_n = n^2 (n^2 -1)]에서

ㄱ. [eqn: a_n = n]이면 [eqn: S_n = {n(n+1)} over 2]이므로

[eqn: S_n T_n = n^2 (n^2 -1)]에서

[eqn: {n(n+1)} over 2 T_n = n^2 (n^2 -1)]

∴ [eqn: T _{n} =2n(n-1)]

(i)[eqn: n>=2`]일 때,

[eqn: b _{n} =T _{n} -T _{n-1}]

[eqn: =2n(n-1)-2(n-1)(n-2)]

[eqn: = 4n-4]

(ii)[eqn: n=1`]일 때, [eqn: T_1 = 0= b_1]

∴ [eqn: b_n = 4n-4`] (참)

ㄴ. [eqn: S_n = { n left{ 2a_1 + (n-1) d _1 right}} over 2]

[eqn: T_n = { n left{ 2b_1 + (n-1) d _2 right}} over 2]

에서 [eqn: S_1 T_1 = 0`]이므로 [eqn: a_1 b_1 =0]

(i) [eqn: a_1 !=0 , ~``b_1 =0]인 경우

[eqn: S_n T_n ={ n left{ 2a_1 + (n-1) d _1 right}} over 2 cdot{ n (n-1) d _2 } over 2]

[eqn: =n^2 (n^2 -1)]

[eqn: 2a_1 d_2 + (n-1) d_1 d_2 = d_1 d_2 n + 2a_1 d_2 - d_1 d_2]

[eqn: = 4 n+4`]

이 등식은 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 성립하므로  [eqn: d_1 d_2 = 4`]

(ii) [eqn: a_1 =0 , ~``b_1 !=0] 인 경우

(i)과 같은 방법으로

[eqn: d_1 d_2 n + 2b_1 d_2 - d_1 d_2][eqn: = 4 n+4`]

이 등식은 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 성립하므로  [eqn: d_1 d_2 = 4`]

(iii)[eqn: a_1 = 0, ``b_1 =0]인 경우

[eqn: S_n T_n ={ n (n-1) d _1 } over 2 cdot{ n (n-1) d _2 } over 2][eqn: =n^2 (n^2 -1)]

[eqn: d_1 d_2 n - d_1 d_2 = 4n -4]

이 등식은 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 성립하므로  [eqn: d_1 d_2 = 4`]

따라서 (i), (ii), (iii)에 의해 [eqn: d_1 d_2 = 4`]

(참)

ㄷ. [eqn: S_1 T_1 = 0`]이므로 [eqn: a_1 !=0]이면 [eqn: b_1 =0]

[eqn: S_n T_n = S_n cdot {n (n-1) d_2 } over 2][eqn: =n^2 (n^2 -1)]

∴ [eqn: S_n = 2n(n+1) d_2]

[eqn: a_n = S_n - S_n-1]

[eqn: =2n(n+1)d_2 -2(n-1)n d_2]

[eqn: =4d_2 n] (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

ꂼ ③

17.

[eqn: log_2 5x = log_2 (x+m)]에서 [eqn: 5x=x+m]이므로

[eqn: x= m over 4]

[eqn: log_2 (-5x) = log_2 (x+m)]에서 [eqn: -5x=x+m]이므로

[eqn: x = - m over 6]

[eqn: therefore] [eqn: A left( - 1over 3 ,~ log_2 5 over 3 right) ,~ B left( 1over2 ,~ log_2 5 over 2 right)]

[eqn: C left( - m over 6 ,~ log_2 5 over 6 m right) ,~D left( m over 4 ,~log_2 5 over 4 m right)]

[eqn: ㄱ]. [eqn: m>2]이면

[eqn: p = - m over 6 < - 1over 3 ,~ r = m over 4 > 1over 2] (참)

[eqn: ㄴ]. [eqn: bar CD]의 기울기는

[eqn: {log_2 5 over 4 m - log_2 5 over 6 m } over {m over 4 - m over 6} = {log_2 left( 5 over 4 m times 6 over 5m right)} over {m over 12}]

따라서 [eqn: m]의 값에 따라 기울기가 달라진다. (거짓)

[eqn: ㄷ]. [eqn: log_2 5 over 2 = log_2 5over6 m]에서 [eqn: m=3]

이 때

[eqn: triangle CAB = 1over2 times bar BC times left(log_2 5over 2 - log_2 5over 3 right)]

[eqn: = 1over2 times bar BC times log_2 3over2]

[eqn: triangle CBD = 1over2 times bar BC times left(log_2 15over 4 - log_2 5over 2 right)]

[eqn: = 1over2 times bar BC times log_2 3over2]

이므로 두 삼각형의 넓이는 같다. (참)

ꂼ ④

18.

시각[eqn: t``]일 때의 두 점[eqn: rm P,Q`]의 속도는 각각

[eqn: v_P = P`'(t``) = t^2 +4`]

[eqn: v_Q = Q`'(t`) = 4t`]

[eqn: v_P = v_Q`]에서

[eqn: t`^2 + 4 = 4t``], [eqn: t`^2 - 4t`+4=0`]

[eqn: (t`-2)^2 =0`], [eqn: t``=2`]

[eqn: t``=2`]일 때 두 점[eqn: rm P,Q`]의 위치는 각각

[eqn: P(2) = 8 over 3 + 8 - 2over3 = 10`]

[eqn: Q(2) = 8-10 = -2`]

이므로 두 점[eqn: rm P,Q`] 사이의 거리는

[eqn: 10-(-2) = 12`]

ꂼ [eqn: 12]

19.

[eqn: 0<x<1`]일 때, [eqn: f``(x) = 2x-1`]

[eqn: x=1`]일 때, [eqn: f``(x) = a+1 over 2`]

[eqn: x>1`]일 때, [eqn: f``(x) = lim_n->inf`{ax^b + 2over x^n-1 - 1over x^n } over{ 1+ 1over x^n }`]

[eqn: = ax^b`]

[eqn: f``(x)`]는 [eqn: x=1`]에서 연속이므로

[eqn: 1= a+1 over 2 = a`]  ∴ [eqn: a=1`]

[eqn: 0<x<1`]일 때, [eqn: f``'(x) = 2`],

[eqn: x>1`]일 때, [eqn: f``'(x) = abx^b-1`]

이고, [eqn: f``(x)`]는 [eqn: x=1`]에서 미분가능하므로

[eqn: lim_x->1-0 {f``(x)- f``(1)} over x-1 = lim_x->1+0 { f``(x) - f``(1)} over x-1`]

에서 [eqn: 2 = ab`]

[eqn: a=1`]이므로 [eqn: b=2`]

∴ [eqn: a+10b = 1+ 10×2 = 21`]

ꂼ [eqn: 21`]

20.

[eqn: f'(x)=x ^{2} -2x-3]

[eqn: =(x+1)(x-3)]

[eqn: x=3]에서 극소값 [eqn: f(3)=-9]를 가지므로

[eqn: a=3], [eqn: b=-9]

점 [eqn: (2,``f(2))]에서의 접선 [eqn: l]의 방정식은

[eqn: y=f'(2)(x-2)+f(2)]

[eqn: =-3(x-2)+ {8} over {3} -10]

[eqn: =-3x- {4} over {3}]

따라서 점 [eqn: (3,``-9)]와 직선 [eqn: 9x+3y+4=0]사이의 거리 [eqn: d]는

[eqn: d= {LEFT | 9 CDOT 3+3 CDOT (-9)+4 RIGHT |} over {sqrt {9 ^{2} +3 ^{2}}} = {4} over {sqrt {90}}]

이므로

[eqn: 90d ^{2} =16]

ꂼ

21.

(i)[eqn: a over x-2a >1`]에서

[eqn: a over x-2a -1>0], [eqn: 3a-x over x-2a >0]

양변에 [eqn: (x-2a)^2`]을 곱하여 정리하면

[eqn: (x-2a)(x-3a)<0]

∴ [eqn: 2a<x<3a`]

(ii)[eqn: 10 over x-2b >1`]에서

[eqn: 10 over x-2b -1>0], [eqn: 10-x+2b over x-2b >0]

양변에 [eqn: (x-2b)^2`]을 곱하여 정리하면

[eqn: (x-2b)(x-10-2b)<0]

∴ [eqn: 2b<x<2b+10]

(i), (ii)에서

[eqn: 2b<= 2a] 즉, [eqn: b<=a] 이고 [eqn: 3a<= 2b+10`]이므로 [eqn: a>0`]에서 위 두 부등식을 동시에 만족하는 점 [eqn: (a, b)`]를 좌표평면 위에 나타내면 다음과 같다.

[eqn: a]

[eqn: b]

[eqn: O]

[eqn: 10]

[eqn: 10]

[eqn: -5]

[eqn: b=a]

[eqn: b= 3 over 2 a -5]

따라서 구하는 영역의 넓이는

[eqn: 1over 2 times 5 times 10 = 25`]

ꂼ [eqn: 25]

22.

[eqn: log` _{9} `n`=`m`+` alpha `] [eqn: (][eqn: m] 은 정수, [eqn: 0 <= alpha <1])으로

놓으면

[eqn: log` _{9} `n`- LEFT [ `log` _{9} `n RIGHT ]][eqn: = alpha]

또, [eqn: n`=`9 ^{m} CDOT 9 ^{alpha }]([eqn: n]은 정수, [eqn: 1 <= 9 ^{alpha } <9])이므로 [eqn: alpha]가 최대 즉, [eqn: 9 ^{alpha }]가 최대가 되는 [eqn: n]의 값을 구하면 된다.

[eqn: n]이 두 자리자연수 이므로 [eqn: n`=`9 ^{m} CDOT 9 ^{alpha }]([eqn: n]은 정수, [eqn: 1 <= 9 ^{alpha } <9])로 나타내면

[eqn: n=10=9 TIMES {10} over {9}]

[eqn: n=11=9 TIMES {11} over {9}]

[eqn: CDOTS]

[eqn: n=80=9 TIMES {80} over {9}]

[eqn: n=81=9 ^{2}][eqn: TIMES 1]

[eqn: n=82=9 ^{2} TIMES {82} over {81}]

[eqn: CDOTS]

[eqn: n=99=9 ^{2} TIMES {99} over {81}]

따라서 [eqn: n=80]일 때, [eqn: 9 ^{alpha }]의 최대값은 [eqn: {80} over {9}]을 갖는다.

ꂼ [eqn: 80]

23.

(가)에서

[eqn: f(x) =ax^3 +bx] ([eqn: a,b]는 정수, [eqn: a!=0])로 놓을 수 있다.

(나)에서

[eqn: f(1)=a+b=5]

[eqn: f`'(x)=3ax^2 +b]이므로 (다)에서

[eqn: 1<f`'(1)=3a+b<7]

[eqn: b=5-a]를 [eqn: 1<f`'(1)=3a+b<7]에 대입하여 정리하면

[eqn: -2<a<1]

[eqn: therefore] [eqn: a=-1] ([eqn: because] [eqn: a!=0])

이 때, [eqn: b=6]이므로 [eqn: f(x)=-x^3 +6x]

[eqn: f`'(x)=-3x^2 +6 =0]에서

[eqn: x=+-root2]

따라서 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=root2]일 때 극대이다.

[eqn: therefore] [eqn: m=f(root 2 ) = -2root2 +6root2 =4root2]

[eqn: therefore] [eqn: m^2 = 32]

ꂼ [eqn: 32]

24. (가)를 만족하는 함수 [eqn: f]의 개수는

[eqn: `_4 P_3 = 4 TIMES 3 TIMES 2 = 24]…㉠

(나)를 만족하는 함수 [eqn: g]의 개수는

[eqn: 2^4 - 2 = 14]

또한, 합성함수 [eqn: g circ f]의 개수는

[eqn: 24 times 14 = 336]

이 때, 합성함수 중에서 치역이 [eqn: Z] 가 아닌 경우는

㉠중의 하나를 선택할 때 다음과 같이 두 가지 경우가 있다.

1

2

3

1

2

3

4

0

1

X

Y

Z

1

2

3

1

2

3

4

0

1

X

Y

Z

[eqn: THEREFORE][eqn: 24 TIMES 2 = 48]

따라서, 구하고자 하는 확률은

[eqn: 1 - 48 OVER 336 = 288 OVER 336 = 6 OVER 7]

[eqn: THEREFORE] [eqn: p+q = 13]

ꂼ [eqn: 13`]

25.

서로 다른 3가지 색을 [eqn: A, ``B ,``C] 라고

하면  맨 위와 맨 아래의 사다리꼴에 서로

다른 색을 칠하는 방법의 수는

[eqn: `_ 3 C_1 TIMES `_ 2 C_1 =6]

이다.

이 때 맨 위와 맨 아래의 사다리꼴에 [eqn: A, ``B]

두 색을 칠한 경우 중간의 사다리꼴에

색을 칠하는 경우의 수는

[eqn: A - B - A-C-B]

[eqn: A - B - C-A-B]

[eqn: A - C - A-C-B]

[eqn: A - C - B-A-B]

[eqn: A - C - B-C-B]

로 5가지 이므로  구하는 경우의 수는

[eqn: 6TIMES 5 =30]

ꂼ [eqn: 30]

미분과 적분

26.

[eqn: sin left( 2x - pi over 2 right) = - sin left( pi over 2 - 2x right) = - cos 2x`]

이므로 [eqn: -cos2x = 2 cos^2 x`]에서

[eqn: - (2 cos^2 `x -1 ) = 2 cos^2`x`]

[eqn: 4`cos^2 `x = 1`], [eqn: cosx = +- 1over2`]

(ⅰ) [eqn: cos x = 1over2`]에서

[eqn: x = pi over 3 `] 또는 [eqn: x = 5over3 pi`]

(ⅱ) [eqn: cos x = - 1over2`]에서

[eqn: x = 2over3 pi `] 또는 [eqn: x = 4 over 3 pi`]

따라서, 구하는 모든 해의 합은

[eqn: pi over 3 + 5 over 3 pi + 2over3 pi + 4over3 pi = 4pi`]

ꂼ ③

27.

ㄱ. [eqn: x-1=t]로 놓으면 [eqn: x -> INF]일 때, [eqn: t -> INF]이므로

[eqn: lim _{x -> INF } {f(x)=}][eqn: lim _{x -> INF } {LEFT ( {x} over {x-1} RIGHT ) ^{x}}]

[eqn: = lim _{t -> INF } {LEFT ( {t+1} over {t} RIGHT ) ^{t+1}}]

[eqn: = lim _{t -> INF } {LEFT { LEFT ( 1+ {1} over {t} RIGHT ) ^{t} LEFT ( 1+ {1} over {t} RIGHT ) RIGHT }}]

[eqn: =e]  <참>

ㄴ. ㄱ에서 [eqn: lim _{x -> INF } {f(x)} =e]

또, [eqn: lim _{x -> INF } {f(x+1)} = lim _{x -> INF } {LEFT ( {x+1} over {x} RIGHT ) ^{x+1}}]

[eqn: = lim _{x -> INF } {LEFT { LEFT ( 1+ {1} over {x} RIGHT ) ^{x} LEFT ( 1+ {1} over {x} RIGHT ) RIGHT }}]

[eqn: =e]

[eqn: THEREFORE] [eqn: lim _{x -> INF } {f(x)f(x+1)} = lim _{x -> INF } {f(x) CDOT } lim _{x -> INF } {f(x+1)}]

[eqn: =e ^{2}] <참>

ㄷ. [eqn: kx-1=t]로 놓으면  [eqn: x -> INF]일 때, [eqn: t -> INF]이므로

[eqn: lim _{x -> INF } {f(kx)=}][eqn: lim _{x -> INF } {LEFT ( {kx} over {kx-1} RIGHT ) ^{kx}}]

[eqn: = lim _{t -> INF } {LEFT ( {t+1} over {t} RIGHT ) ^{t+1}}]

[eqn: = lim _{t -> INF } {LEFT { LEFT ( 1+ {1} over {t} RIGHT ) ^{t} LEFT ( 1+ {1} over {t} RIGHT ) RIGHT }}]

[eqn: =e]  <거짓>

ꂼ ③

28.

[eqn: lim_x->0 f(x) over x^p = lim_x->0 left{f(x) over{1- cos(x^2 )} times {1- cos(x^2 )} over x^p right}]

[eqn: = lim _{x -> 0} {} LEFT { {f(x)} over {1-cos(x ^{2} )} ․ {1-cos ^{2} (x ^{2} )} over {x ^{p}} ․{1} over {1+cos(x ^{2} )} RIGHT }]

[eqn: = lim_x->0 left{ f(x) over{1- cos(x^2 )}․{sin^2 (x^2 )} over x^p ․ 1over{ 1+cos(x^2 )}right}]

[eqn: = 2 times lim_x->0 {sin^2 (x^2 )} over x^p times 1over2]

[eqn: = lim_x->0 {sin^2 (x^2 )} over x^p][eqn: =q`]

등식이 성립하려면

[eqn: p= 4, ``q=1`]

∴ [eqn: p+q=5]

ꂼ ②

29.

위의 그림에서

[eqn: tan p = 1over 7 ,~tan q = x over 7]이므로

[eqn: tan (p+q)= {1over 7 + x over 7} over {1- 1 over 7 cdot x over 7} = 7(x+1) over 49-x]

또, [eqn: tan r = 1over 2 ,~tan s = x over 2]이므로

[eqn: tan (r+s)= {1over 2 + x over 2} over {1- 1 over 2 cdot x over 2} = 2(x+1) over 4-x]

이 때 [eqn: a+b = alpha +beta+ pi over 4]이므로

[eqn: tan "{"(p+q)-(r+s)"}" = tan pi over 4]

[eqn: ={ 2(x+1) over 4-x - 7(x+1) over 49-x } over {1+ 2(x+1) over 4-x cdot 7(x+1) over 49-x } = {5x^2 +75x +70} over { 15x^2 -25x +210} =1]

[eqn: therefore] [eqn: x^2 -10x+14=0]

위 방정식의 두 근을 [eqn: alpha+beta]라 하면

[eqn: alpha +beta = 10]

이 때 [eqn: a=alpha+1,~b=beta +1]이므로

[eqn: a+b = (alpha+1)+(beta+1)=10+2=12]

ꂼ ①

30.

[eqn: BARBK = a]라 하면 삼각형 EFK에서

[eqn: costheta = 1 OVER a+1]   [eqn: therefore] [eqn: a= {1-costheta} over costheta]

또한, 삼각형 BKL과 삼각형 EFK는 닮은 삼각형이므로

[eqn: ∠BLK = theta] 이므로

[eqn: barBL = a over tantheta = {a costheta} over {sintheta} = {1-costheta} over sintheta]

[eqn: therefore] [eqn: lim from { theta ->0 } S(theta) over theta^3 = lim from { theta ->0 } {1over2 times barBK TIMES BARBL} OVER {theta^3}]

[eqn: = lim from { theta ->0 } {1over2 times {{1-costheta} over costheta} TIMES {1-costheta} over sintheta} OVER {theta^3}]

[eqn: = lim from { theta ->0 }left( 1 over 2 times {sin^2 theta} over {1+costheta} times {sin^2 theta} over {1+ costheta} times 2 over sin2theta times 1 over theta^3 right)]

[eqn: = lim from { theta ->0 }left{ 1 over 2 times {( sintheta over theta )^2} times {( sintheta over theta )^2 } times 2theta over sin2theta times 1 over {(1+costheta)^2} right}]

[eqn: = 1 over 2 times 1 times 1 times 1 times 1 over 4 = 1 over 8]

[eqn: therefore] [eqn: p^2 + q^2 = 65]

ꂼ

확률과 통계

26.

자연수로 이루어진 8개의 자료

4, 8, 9, 5, 6, 8, 5, [eqn: n]의 평균은

[eqn: 45+n over 8]…㉠

또한, 7개의 자료 4, 8, 9, 5, 6, 8, 5를 작은 값부터

크기 순으로 나열하면

4, 5, 5, 6, 8, 8, 9

이므로 [eqn: n]이 작은 순서로 세 번째 이하에 놓일 때의 중앙값은

[eqn: 5+6 over 2 = 11 over 2]…㉡

㉠,㉡에서 [eqn: 45+n over 8 = 11 over 2] 이므로 [eqn: n = -1] (모순)

[eqn: n]이 작은 순서로 네 번째, 다섯 번째에 놓을 때의 중앙값은

[eqn: n+6 over2]…㉢

㉠,㉢에서 [eqn: 45+n over 8 = n+6 over 2] 이므로 [eqn: n = 7]

따라서 다섯 번째에 놓이면 주어진 조건을 만족한다.

[eqn: n]이 작은 순서로 여섯 번째 이상에 놓일 때의 중앙값은

[eqn: 6+8 over 2 = 7]…㉣

㉢,㉣에서 [eqn: 45+n over 8 = 7] 이므로 [eqn: n = 11]

따라서 여덟 번째에 놓이면 주어진 조건을 만족한다.

그러므로 모든 [eqn: n]의 값의 합은

[eqn: 7+11 = 18]

ꂼ ①

27.

임의로 뽑은 한 명이 기혼일 사건을 [eqn: A],

여학생일 사건을 [eqn: B]라 하면 구하는 확률은

[eqn: P(B|A)]이다.

[eqn: P(A)= 6 over 10 times 5 over 10 + 4over 10 times 4 over 10 = 46 over 100]

[eqn: P(A cap B)= 4over 10 times 4 over 10 = 16 over 100]

[eqn: therefore] [eqn: P(B|A)= {P(A cap B)} over P(A) = 16 over 46 = 8 over 23]

ꂼ ②

28.

ㄱ. 주어진 그래프에서 누적상대도수가 [eqn: 50%`]인 계급의 상한값이 [eqn: 24`]와 [eqn: 26`] 사이에 있으므로 중앙값은 [eqn: 26`]미만이다. (참)

ㄴ. 주어진 그래프에서 하위 [eqn: 50%`] 미만의 계급값이 [eqn: 20`]에서 [eqn: 24`]사이이고 상위 [eqn: 50%`] 이상의 계급값은 [eqn: 24`]에서 [eqn: 42`]사이에서 고르게 분포하고 있으므로 평균은 [eqn: 24`]이상이다. (참)

ㄷ. [eqn: 22`]보다 작은 자료의 비율은 [eqn: 25%`]에서 [eqn: 30%`]사이이지만 [eqn: 30`]보다 큰 자료의 비율은 [eqn: 20%`]이므로 [eqn: 22`]보다 작은 자료의 비율이 [eqn: 30`]보다 큰 자료의 비율보다 크다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

ꂼ ⑤

29.

A가 3이 나왔으므로 B, C가 주사위를 던져 나올 수 있는 경우의 수는 [eqn: 6 TIMES 6=36](가지)이다.

이 때, C가 한 번만 주사위를 던져 이기는

경우는 아래 표와 같으므로 경우의 수는 12(가지)이다.

B	C
1	4, 5, 6
2	4, 5, 6
3	4, 5, 6
4	5, 6
5	6

따라서 구하는 확률은

[eqn: {12} over {36} = {1} over {3}]

ꂼ ③

30.

A가 이기는 경우를 ○, 지는 경우를 ×로 나타내기로 하자.

A가 이긴 횟수가 B가 이긴 횟수보다 항상 많거나 같아야 하므로 첫 경기에는 A가 이겨야 한다. 즉,

1회	2회	3회	4회	5회	6회	7회
○

2회, 3회의 경기 결과에서

A가 두 번 모두 지지 않아야 하므로

다음 세 가지 경우가 있다.

	1회	2회	3회	4회	5회	6회	7회
(ⅰ)	○	○	○
(ⅱ)	○	○	×
(ⅲ)	○	×	○

(ⅰ)의 경우,

4,5,6,7회의 경기 중 한 경기를 A가 이겨야 하므로 경우의 수는

[eqn: `_4 C_1 = 4`](가지)

(ⅱ),(ⅲ)의 경우,

4회에 A가 이기면 5,6,7회 중 A가 한 경기를 이겨야 하고, 4회에 A가 지면 5회에 A

가 반드시 이기고, 6,7회 중 A가 한 경기를 이겨야 하므로 경우의 수는

[eqn: 2`(`_3 C_1 + `_2 C_1 `) = 2×5`=10`](가지)

따라서, 구하는 경우의 수는

[eqn: 4+10 = 14`](가지)

ꂼ [eqn: 14`]

이산수학

26.

[eqn: LEFT [ log _2 x RIGHT ] ,```LEFT [ log _2 y RIGHT ] ,```LEFT [ log _2 z RIGHT ]]의 값은 모두

정수이므로

[eqn: LEFT [ log _2 x RIGHT ] +`LEFT [ log _2 y RIGHT ]+LEFT [ log _2 z RIGHT ] =4] 인 경우는

(1, 1, 2), (1, 2, 1), (2, 1, 1)

이다.

[eqn: LEFT [ log _2 x RIGHT ] =1,`````LEFT [ log _2 y RIGHT ] =1,`````LEFT [ log _2 z RIGHT ] =2]

인 경우

[eqn: 1 LEQ log _2 x<2 ,``````` 2 LEQ x<4]   [eqn: THEREFORE``` x=2, ``3]

[eqn: 1 LEQ log _2 y<2 ,``````` 2 LEQ y<4]   [eqn: THEREFORE``` y=2, ``3]

[eqn: 2 LEQ log _2 z<3 ,``````` 4 LEQ z<8]                        [eqn: THEREFORE``` z=4, ``5,``6,``7]

따라서 순서쌍 [eqn: (x,``y,``z)]의 개수는

[eqn: 2TIMES2 TIMES4 =16]

다른 두 경우도 같은 방법으로 구하면

각각 16가지씩이므로 구하는 경우의 수는      [eqn: 16TIMES3 =48]

ꂼ ①

27.

주어진 인접행렬로 가질 수 있는 그래프   는 6개의 꼭지점들의 차수가 모두 3이므로

보기에서 주어진 그래프는 모두 조건을

만족한다.

ꂼ ⑤

28.

[eqn: b]는 둘째자리, 넷째자리에만 올 수 있으    므로 먼저 [eqn: b]의 위치를 정하고 나머지 조건    을 만족하도록 문자를 배열한다.

(i) [eqn: b] 가 둘째자리에 올 경우

[eqn: a]를 첫째자리에 놓고 나머지 [eqn: c, d, e] 를

조건에 맞게 배열하는 방법은 4가지

[eqn: c]를 첫째자리에 놓고 나머지 [eqn: a, d, e] 를

조건에 맞게 배열하는 방법은 4가지

[eqn: d] 또는 [eqn: e]를 첫째자리에 놓고 나머지들을

조건에 맞게 배열하는 방법은 각각

3가지씩이므로 모두 14가지이다.

(ii) [eqn: b] 가 넷째자리에 올 경우

위의 (i)과 같은 방법으로 배열하면

모두 14가지

(i), (ii)에서 구하는 경우의 수는

28가지이다.

ꂼ ②

29.

A

C

B

D

E

F

조건을 만족하는

그래프 [eqn: G]는 오른쪽

그림과 같다.

ㄱ. 해밀턴회로

ABCDEFA가 존재한다.  (참)

ㄴ. 모든 점의 차수가 짝수이므로

오일러회로가 존재한다. (참)

ㄷ.그래프 [eqn: G]는 3가지 색을 사용하여 적절       하게 색칠할 수 있다.  (거짓)

따라서 옳은 것은  ㄱ, ㄴ

ꂼ ③

30.

주어진 그래프에서 꼭짓점 [eqn: a,``b,``c,``d,``e,``f]에 최소 3개의 변을 추가하여 오일러회로를 갖는 그래프를 만들 수 있다.

꼭짓점 [eqn: a,``b,``c,``d,``e,``f] 중 두 꼭짓점에  1개의 변을 추가하면 나머지 4개의 꼭짓점에 2개의 변을 추가하여 모두 짝수점이 되게 해야 한다.

두 꼭짓점에 1개의 변을 추가하는 방법의 수는 5가지이고 그 각각에 대하여 나머지 2개의 변을 추가하는 방법의 수는 3가지이므로 구하는 방법의 수는

[eqn: 5TIMES3 = 15]

ꂼ 15