2008학년도 6월 고2 전국연합학력평가

정답 및 해설

고 2	정답 및 해설	2008학년도 6월 전국연합학력평가

2008학년도 6월 전국연합학력평가	정답 및 해설	고 2

5

수리 영역

‘가형’ 정답

1	④	2	②	3	①	4	②	5	⑤
6	③	7	①	8	④	9	②	10	③
11	③	12	④	13	⑤	14	④	15	①
16	①	17	③	18	②	19	②	20	③
21	⑤	22	17	23	16	24	12	25	15
26	48	27	19	28	513	29	10	30	19

해설

1. [출제의도] 로그 계산하기

[eqn: log _{2} 12+log _{2} 5-log _{2} 15=log _{2} {12`․`5} over {15} =log _{2} 4=2]

2. [출제의도] 집합의 연산 이해하기

① [eqn: A cup C=A]

② [eqn: A cap B=C]

③ [eqn: A cup B^C =U- LEFT { 4, ``12 RIGHT }]

④ [eqn: A-C= LEFT { 9, ``18 RIGHT }]

⑤ [eqn: B-C= LEFT { 4,``12 RIGHT }]

3. [출제의도] 이중근호 계산하기

[eqn: x= sqrt {3- sqrt {8}}]

[eqn: =` sqrt {3-2 sqrt {2}}]

[eqn: =` sqrt {2} `-1]

[eqn: x- {1} over {x} = sqrt {2} -1- {1} over {sqrt {2} -1}]

[eqn: =( sqrt {2} -1`)-( sqrt {2} +1)]

[eqn: =`-2]

4. [출제의도] 지수 계산하기

[eqn: {sqrt {a}} over {root {3} of {a}} TIMES sqrt {root {3} of {a}} `= {sqrt {a}} over {root {3} of {a}} TIMES root {6} of {a} `]

[eqn: =`a ^{{1} over {2} - {1} over {3} + {1} over {6}}]

[eqn: =`a ^{{1} over {3}}]

[eqn: = root {3} of {a}]

5. [출제의도] 이차방정식의 근과 계수의 관계 이해하기

[eqn: cos alpha +cos beta =p,~cos alpha `․`cos beta =q]

[eqn: sec alpha +sec beta =r,~sec alpha `․`sec beta =s]

[eqn: rs & =(sec alpha +sec beta )(sec alpha `․`sec beta )# & = {cos alpha +cos beta } over {cos alpha `․`cos beta } TIMES {1} over {cos alpha `․`cos beta }# & = {p} over {q ^{2}}]

6. [출제의도] 역행렬이 존재하지 않을 조건 이해하기

두 행렬 [eqn: A+E= pmatrix{`a+1&b#c`````&``d+1`}],

[eqn: A-E= pmatrix{`a-1&b#c`````&``d-1`}]의 역행렬이 존재하지 않으므로

[eqn: cases{(a+1)(d+1)-bc=0#(a-1)(d-1)-bc=0}]

두 식을 연립하면 [eqn: ad-bc=-1`,``a+d=0]

ㄱ. [eqn: ad-bc=-1]이므로 [eqn: A^-1]이 존재한다.(참)

ㄴ. [eqn: (A+E)(A-E)=A^2 -E]

[eqn: A ^{2} = pmatrix{a ^{2} +bc```````&b(a+d)#c(a+d)&bc+d ^{2}}]

[eqn: a+d=0]이고,

[eqn: d=-a], [eqn: ad-bc=-1]에 의하여

[eqn: a ^{2} +bc=bc+d ^{2} =1]이므로

[eqn: A ^{2} = pmatrix{a ^{2} +bc```````&b(a+d)#c(a+d)&bc+d ^{2}} `= pmatrix{`1&```0#`0&```1} `=E]

[eqn: THEREFORE (A+E)(A-E)=A ^{2} -E```=O] (참)

ㄷ. ㄴ에 의하여 [eqn: A^2 = E`]이므로

[eqn: A^2 +3A+2E = 3(A+E)`]

[eqn: A+E`]의 역행렬이 존재하지 않으므로

[eqn: A^2 + 3A +2E`]의 역행렬이 존재하지 않는다.     (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

7. [출제의도] 행렬의 연산 이해하기

[eqn: AB+AX=A(B+X)=E]

[eqn: B+X=A ^{-1}]

[eqn: THEREFORE `X=A ^{-1} -B``= pmatrix{``````1&```0#-2&```1} - pmatrix{`3&```2#`1&```1} = pmatrix{-2&``-2#-3&````````0}]

그러므로 행렬 [eqn: X`]의 모든 성분의 합은 [eqn: -7]

8. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수의 성질 이해하기

[eqn: x]의 정수부분이 네 자리이므로,

[eqn: log`x`=`3`+` alpha ```(`0 <= alpha <1)] …①

[eqn: log`x ^{3} `=`9`+3` alpha `]의 지표가 9이므로 [eqn: 3 alpha]는 가수이고, [eqn: 0<=3 alpha <1]

[eqn: THEREFORE 0 <= alpha < {1} over {3}] …②

[eqn: log`x ^{4} `=12+4` alpha `=13+(4 alpha `-1)]의 지표가 [eqn: 13]이므로 [eqn: 4`alpha`-1]은 가수이고, [eqn: 0<=4 alpha -1<1]

[eqn: THEREFORE {1} over {4} <= alpha < {1} over {2}] …③

②, ③에서 [eqn: alpha]의 범위는 [eqn: {1} over {4} ` <= alpha < {1} over {3}]

[eqn: THEREFORE `log` `x]의 가수의 최솟값은 [eqn: 1 over 4`]

9. [출제의도] 나머지정리 이해하기

[eqn: f(x)=(x-1)Q(x)+3] …①

[eqn: g(x)=(x-1)Q` prime (x)+4] …②

①에서 [eqn: f(1)=3]이고,

②에서 [eqn: g(1)=4]이므로

[eqn: THEREFORE `3f(1)+2g(1)=17]

10. [출제의도] 행렬을 이용한 수학 내적문제 추론하기

ㄱ. [eqn: a=1,` `b=3]이므로

[eqn: rm A(1,``1),``A'(2,``1),``B(3,``0),``B'(4,``0)`]이다.

[eqn: THEREFORE S(M)=1] (참)

ㄴ. [eqn: kM= pmatrix{`ka&```2ka#`kb&```k(a+b)} `]이므로

[eqn: S(kM)=(ka) ^{2} =k ^{2} a ^{2}`]

[eqn: kS(M)=ka ^{2}]

[eqn: THEREFORE `S(kM) != kS(M)] (거짓)

ㄷ. 역행렬이 존재하지 않으므로

[eqn: a(a+b)-2ab=0]

[eqn: a(a-b)=0], [eqn: a]는 양수이므로 [eqn: a=b]이고,

이때의 사각형은 정사각형이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

11. [출제의도] 함수의 성질 이해하기

ㄱ. [eqn: f(12) & =f(10 TIMES 1+2)=f(1)+2]

[eqn: =f(10 TIMES 0+1)+2=f(0)+1+2]

[eqn: =1+2=3] (참)

ㄴ. [eqn: f(8 times 123)=f(984)=21],

[eqn: 8f(123)=8(1+2+3)=48] (거짓)

ㄷ. [eqn: f(100a+10b+c)][eqn: =f(10a+b)+c]

[eqn: =a+b+c]

[eqn: f(100c+10b+a)][eqn: =f(10c+b)+a]

[eqn: =c+b+a] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

12. [출제의도] 부정방정식의 해 구하기

소수인 두 근을 [eqn: p, ``q]라 할 때, [eqn: p+q= {10} over {m}]은 자연수이므로 [eqn: m=1,``2,``5,``10]이다.

(ⅰ) [eqn: m=1]이면, [eqn: p+q=10]이므로, [eqn: p=3,```q=7]이고, [eqn: pq=n=21]

(ⅱ) [eqn: m=2]이면, [eqn: p+q=5]이므로, [eqn: p=2,```q=3]이고, [eqn: pq= {n} over {2} =6]    [eqn: THEREFORE `n=12]

(ⅲ) [eqn: m=5,``10]이면, [eqn: {10} over {m}]은 두 소수의 합 [eqn: p+q]로 나타낼 수 없다.

따라서 모든 [eqn: n]의 값의 합은 [eqn: 33]이다.

13. [출제의도] 연산 및 유리함수 이해하기

연산 [eqn: ODOT]에 대한 항등원을 [eqn: e]라 하면, 모든 실수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: a ODOT e=e ODOT a=a]를 만족하는 항등원은 [eqn: e=-1]이다.

따라서 [eqn: x ODOT f(x)=f(x) ODOT x=`-1]

[eqn: xf(x)+2x+2f(x)+2=-1]

[eqn: (x+2)f(x)=-2x-3]

[eqn: x != -2]일 때, [eqn: f(x)= 1over{x+2}-2]

따라서 [eqn: y=f(x)]는 [eqn: x=-2,```y=-2]를 점근선으로 하는 유리함수이다.

14. [출제의도] 제2코사인법칙의 증명 과정 이해하기

[eqn: rm {bar{AD}} over {bar{AE}} ``=`cos`( pi -A)=`-cos`A]

또 [eqn: rm ANGLE C]가 공통이고,

[eqn: ( pi - rm ANGLE ADF)= ANGLE AGF=( pi - ANGLE AGC)]이므로,

[eqn: rm TRIANGLE ACG`]□[eqn: rm TRIANGLE FCD]

[eqn: (a-c)`:b=][eqn: (b-2c``cos`A):(a+c)][eqn: THEREFORE `cos`A= {b ^{2} +c ^{2} -a ^{2}} over {2bc} `]

15. [출제의도] 유리함수와 직선 사이의 최단거리 구하기

직선 [eqn: rm QR]의 방정식은 [eqn: 4x+y+4=0`]이고,

점 [eqn: {rmP} left(a`,``` 1over a right)`]에서 직선 [eqn: rm QR`]까지의 거리 [eqn: h`]는

[eqn: h={ left|``4a + 1over a + 4`` right| } over sqrt17`]

[eqn: a`]는 양수이므로 [eqn: 4a + 1over a >=2sqrt{4a 1 over a} = 4]

따라서 [eqn: h={ left|``4a + 1over a + 4`` right| } over sqrt17`>= 8 over sqrt 17]이다.

[eqn: rmTHEREFORE `TRIANGLE PQR]의 넓이의 최솟값은

[eqn: {1} over {2} TIMES sqrt {17} TIMES {8} over {sqrt {17}} =4]

16. [출제의도] 역행렬이 존재하지 않는 조건 이해하기

양수 [eqn: a,````b`]에 대하여 직선 [eqn: {x} over {a} + {y} over {b} =1`]과 원점사이의 거리 [eqn: h= {□-ab□} over {sqrt {a ^{2} +b ^{2}}}]이고,

[eqn: pmatrix{a&``h#1&``b} `]가 역행렬이 존재하지 않으려면 [eqn: h=ab]이다.

따라서, [eqn: {□-ab□} over {sqrt {a ^{2} +b ^{2}}} =ab]

[eqn: a,````b`]가 양수이므로 [eqn: a ^{2} +b ^{2} =1`]이다.

17. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 계산하기

[eqn: rm `P _{3} it (2,``3)]에 대하여

[eqn: 2< log`_2 ` 6 `<3`]이므로 [eqn: rm `P _{4} it (2,``4)]

[eqn: log _{2} 8=3]이므로 [eqn: rm `P _{5} it (3,``4)]

[eqn: 3< log`_2 ` 12 `<4`]이므로 [eqn: rm `P _{6} it (4,``4)]

18. [출제의도] 삼각비를 활용하여 도형의 길이 구하기

[eqn: a-1]

[eqn: a]

[eqn: rm ANGLE FCG= {pi } over {3}]이므로, [eqn: rm bar{CG} `=1]이다.

그림과 같이 원 [eqn: rm P]의 중심이 움직인 거리는

[eqn: 2a+4(a-1)+4 LEFT ( sqrt {3} TIMES {2} over {3} pi RIGHT ) =23+ {8 sqrt {3}} over {3} pi]

[eqn: THEREFORE a= {9} over {2}]

19. [출제의도] 지수와 상용로그의 관계 이해하기

동물 [eqn: B]의 표준대사량을 [eqn: E _{B} =kW ^{{3} over {4}}]이라 하면,

동물 [eqn: A]의 표준대사량 [eqn: E_A]는

[eqn: E _{A} =k(100W) ^{{3} over {4}} =100 ^{{3} over {4}} ` E _{B}]이므로, [eqn: alpha = 100 ^{{3} over {4}}]

[eqn: log`alpha= {3} over {4} `log100][eqn: =1.5=1+0.5]

[eqn: =log10+log`3.162=log`31.62]

[eqn: THEREFORE `alpha=31.62]

20. [출제의도] 로그의 성질을 이해하고 계산하기

[eqn: log _{3} `tan theta +log _{3} `tan3 theta +log _{3} `tan5 theta]

[eqn: =log _{3} `tan15 DEG +log _{3`} tan45 DEG +log _{3} `tan75 DEG]

[eqn: =log _{3} `(tan15 DEG TIMES `tan45 DEG TIMES tan75 DEG )]

[eqn: =log _{3} `(tan15 DEG TIMES `tan45 DEG TIMES cot15 DEG )]

[eqn: =log _{3} `1]

[eqn: =0]

21. [출제의도] 상용로그를 이용하여 실생활 문제 해결하기

[eqn: B`]축의 속력의 최솟값은 [eqn: A_1`]과 [eqn: B_1]을 연결할 때이고, 그 값을 [eqn: x`]라 하자. 또, [eqn: B`]축의 속력의 최댓값은 [eqn: A_3`]과 [eqn: B_7]을 연결할 때이다.

주어진 조건에 의하여 [eqn: B]축의 속력의 최댓값은 [eqn: (1.15) ^{2} (1.2) ^{6} x`]이다.

[eqn: log`(1.15) ^{2} (1.2) ^{6} =2`log1.15+6`log`1.2]

[eqn: =0.60=log`2 ^{2}`]이므로,

[eqn: `(1.15) ^{2} (1.2) ^{6} =2 ^{2}]

따라서 [eqn: B]축의 속력의 최댓값은 최솟값의 [eqn: 4]배이다.

22. [출제의도] 역행렬 계산하기

[eqn: A+B= LEFT ( matrix{``-7&```````3`#`````5&````-2`} RIGHT ) `]이므로

[eqn: (A+B) ^{-1} = LEFT ( matrix{``-7&```````3`#`````5&````-2`} RIGHT ) ^{-1} = LEFT ( matrix{``2&```3`#``5&```7`} RIGHT )] 이다.

그러므로 모든 성분의 합은 [eqn: 17]이다.

23. [출제의도] 자료의 분산 구하기

[eqn: {84+78+a+86+87} over {5} =85]이므로 [eqn: a=90]이고,

분산은 [eqn: {(-1) ^{2} +(-7) ^{2} +5 ^{2} +1 ^{2} +2 ^{2}} over {5} =16]

24. [출제의도] 행렬을 이용하여 연립방정식의 근이 존재하지 않을 조건 이해하기

연립방정식이 해를 갖지 않으므로

[eqn: a(a-2)-10(a+1)=0]

[eqn: a ^{2} -12a-10=0]

따라서 모든 [eqn: a]값의 합은 [eqn: 12]

25. [출제의도] 로그의 성질 이해하기

[eqn: a=log _{30} 3``,````b=log _{30} 5] 이고,

[eqn: {a+b} over {1-a} = {log _{30} 15} over {log _{30} 10} =log _{10} 15] 이므로

[eqn: 10 ^{log _{10} 15} =15 ^{log _{10} 10} =15]

26. [출제의도] 상용로그의 지표를 이해하고 계산하기

[eqn: N]은 두 자리 자연수이므로, [eqn: 1 <= logN<2]이고, [eqn: logN]의 값을 소수점 첫째자리에서 반올림하면 1또는 2이다.

따라서, [eqn: log _{2} {N} over {8} =1] 또는 [eqn: 2]

[eqn: {N} over {8} =2] 또는 [eqn: 4]

[eqn: N=16] 또는 [eqn: 32]

∴ 모든 [eqn: N]의 값의 합은 48

27. [출제의도] 행렬을 이용한 식의 값 계산하기

주어진 행렬의 곱셈 결과 얻어지는 연립방정식

[eqn: cases{x+2y+3z=5&```` CDOTS ①#2xy+6yz+3zx=3&```` CDOTS ②} `] 에서

식 ①의 양변을 제곱하면,

[eqn: x ^{2} +4y ^{2} +9z ^{2} +4xy+12yz+6zx=25]이고,

식 ②에 의하여 [eqn: 4xy+12yz+6zx=6]이므로

∴[eqn: x ^{2} +4y ^{2} +9z ^{2} =19]

28. [출제의도] 로그를 이용한 식의 값 계산하기

[eqn: 36 pi TIMES 5= {4} over {3} pi r ^{3}]이므로, [eqn: r` ^{3} =5 TIMES 3 ^{3}]이다.

[eqn: 3log`r`=1-log`2+3`log`3][eqn: =2.1303]

[eqn: log`r=0.7101]이고, [eqn: r=5.13]

따라서 [eqn: 100r=513]

29. [출제의도] 삼각함수의 그래프 이해하기

주기가 [eqn: 6`]이므로 [eqn: {2`pi} over b = 6`]에서 [eqn: b = pi over 3`]

[eqn: f(x)=a`cos {pi } over {3} x]에서 [eqn: f(1)= {a} over {2}]

(사각형의 넓이)[eqn: = {a} over {2} `․`4=20]

[eqn: THEREFORE ``a=10]

30. [출제의도] 원의 성질을 이해하고 도형의 넓이 구하기

원의 중심을 [eqn: rm`O]라 하자.

[eqn: rm TRIANGLE ABC]의 넓이가 11이므로,

[eqn: rm ` {1} over {2} bar{AC} ``․`` bar{BC} `=11`,```` bar{AC} ``․`` bar{BC} `=22]   …①

[eqn: rm TRIANGLE ABC]가 직각삼각형이므로,

[eqn: rm ` {barAC} ^{ 2}+`` {bar{BC}} ^2 `={bar{AB}} ^2]   …②

①, ②에서 [eqn: rm ` bar{AC} + bar{BC} =12]   …③

한편 [eqn: rm bar{AC} BOT bar{OP} `], [eqn: rm bar{BC} BOT bar{OQ} `]일 때, [eqn: TRIANGLE ` rm ACP`]와 [eqn: TRIANGLE ` rm BCQ`]의 넓이가 각각 최대이다.

[eqn: TRIANGLE ` rm ACP`와``` TRIANGLE BCQ]의 넓이의 합의 최댓값은

[eqn: rm □AOCP+□BQCO- TRIANGLE ABC]

[eqn: rm = {1} over {2} TIMES 5 TIMES bar{AC} `+` {1} over {2} TIMES 5 TIMES bar{BC} ``-11]

[eqn: rm = {1} over {2} TIMES 5 TIMES LEFT ( bar{AC} + bar{BC} RIGHT ) ```-11]

[eqn: rm = {1} over {2} TIMES 5 TIMES 12```-11] ([eqn: BECAUSE `③]에 의하여)

[eqn: =19]

‘나형’ 정답

1	④	2	②	3	①	4	②	5	⑤
6	③	7	②	8	④	9	②	10	③
11	③	12	④	13	⑤	14	④	15	①
16	④	17	③	18	②	19	②	20	③
21	⑤	22	12	23	16	24	23	25	15
26	48	27	22	28	513	29	10	30	19

해설

1. [출제의도] 로그 계산하기

[eqn: log _{2} 12+log _{2} 5-log _{2} 15=log _{2} {12`․`5} over {15} =log _{2} 4=2]

2. [출제의도] 집합의 연산 이해하기

① [eqn: A cup C=A]

② [eqn: A cap B=C]

③ [eqn: A cup B^C =U- LEFT { 4, ``12 RIGHT }]

④ [eqn: A-C= LEFT { 9, ``18 RIGHT }]

⑤ [eqn: B-C= LEFT { 4,``12 RIGHT }]

3. [출제의도] 이중근호 계산하기

[eqn: x= sqrt {3- sqrt {8}}]

[eqn: =` sqrt {3-2 sqrt {2}}]

[eqn: =` sqrt {2} `-1]

[eqn: x- {1} over {x} = sqrt {2} -1- {1} over {sqrt {2} -1}]

[eqn: =( sqrt {2} -1`)-( sqrt {2} +1)]

[eqn: =`-2]

4. [출제의도] 지수 계산하기

[eqn: {sqrt {a}} over {root {3} of {a}} TIMES sqrt {root {3} of {a}} `= {sqrt {a}} over {root {3} of {a}} TIMES root {6} of {a} `]

[eqn: =`a ^{{1} over {2} - {1} over {3} + {1} over {6}}]

[eqn: =`a ^{{1} over {3}}]

[eqn: = root {3} of {a}]

5. [출제의도] 이차방정식의 근과 계수의 관계 이해하기

[eqn: cos alpha +cos beta =p,~cos alpha `․`cos beta =q]

[eqn: sec alpha +sec beta =r,~sec alpha `․`sec beta =s]

[eqn: rs & =(sec alpha +sec beta )(sec alpha `․`sec beta )# & = {cos alpha +cos beta } over {cos alpha `․`cos beta } TIMES {1} over {cos alpha `․`cos beta }# & = {p} over {q ^{2}}]

6. [출제의도] 역함수의 함숫값 계산하기

[eqn: f ^{-1} (4)=1`]이므로 [eqn: f(1)=4]

[eqn: f(1)=a+2=4]     [eqn: THEREFORE ``a=2]

따라서 [eqn: f(x)=2x`+2]

[eqn: f^-1 (8) = b`]이므로 [eqn: f(b)=8`],

[eqn: f(b)=2b+2=8]    [eqn: THEREFORE ``b=3`]

7. [출제의도] 로그의 연산 이해하기

[eqn: 3 ^{alpha beta } =3 ^{4}],  [eqn: THEREFORE alpha beta =4]

[eqn: log _{4} alpha ^{2} +log _{16} beta ^{4} =log _{2 ^{2}} alpha ^{2} +log _{2 ^{4}} beta ^{4}]

[eqn: =log _{2} □ alpha □+log _{2} □ beta □]

[eqn: =log _{2`} alpha beta]

[eqn: =log _{2`} 4]

[eqn: =2]

8. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수의 성질 이해하기

[eqn: x]의 정수부분이 네 자리이므로,

[eqn: log`x`=`3`+` alpha ```(`0 <= alpha <1)] …①

[eqn: log`x ^{3} `=`9`+3` alpha `]의 지표가 9이므로 [eqn: 3 alpha]는 가수이고, [eqn: 0<=3 alpha <1]

[eqn: THEREFORE 0 <= alpha < {1} over {3}] …②

[eqn: log`x ^{4} `=12+4` alpha `=13+(4 alpha `-1)]의 지표가 [eqn: 13]이므로 [eqn: 4`alpha`-1]은 가수이고, [eqn: 0<=4 alpha -1<1]

[eqn: THEREFORE {1} over {4} <= alpha < {1} over {2}] …③

②, ③에서 [eqn: alpha]의 범위는 [eqn: {1} over {4} ` <= alpha < {1} over {3}]

[eqn: THEREFORE `log` `x]의 가수의 최솟값은 [eqn: 1 over 4`]

9. [출제의도] 나머지정리 이해하기

[eqn: f(x)=(x-1)Q(x)+3] …①

[eqn: g(x)=(x-1)Q` prime (x)+4] …②

①에서 [eqn: f(1)=3]이고,

②에서 [eqn: g(1)=4]이므로

[eqn: THEREFORE `3f(1)+2g(1)=17]

10. [출제의도] 판별식을 이용하여 이차방정식의 문제 해결하기

두 근을 [eqn: alpha `,`` beta `( alpha >0`,`` beta >0)]라 하면,

(ⅰ) 판별식 [eqn: D=a ^{2} -4(a+3)`>=0],

[eqn: (a+2)(a-6)>=0]

[eqn: THEREFORE `a <= -2`,``a >= `6] …①

근과 계수의 관계에서

(ⅱ) [eqn: alpha + beta =a>0] …②

(ⅲ) [eqn: alpha beta =a+3>0], [eqn: a>-3] …③

①, ②, ③에 의하여 [eqn: a>=6]

11. [출제의도] 함수의 성질 이해하기

ㄱ. [eqn: f(12) & =f(10 TIMES 1+2)=f(1)+2]

[eqn: =f(10 TIMES 0+1)+2=f(0)+1+2]

[eqn: =1+2=3] (참)

ㄴ. [eqn: f(8 times 123)=f(984)=21],

[eqn: 8f(123)=8(1+2+3)=48] (거짓)

ㄷ. [eqn: f(100a+10b+c)][eqn: =f(10a+b)+c]

[eqn: =a+b+c]

[eqn: f(100c+10b+a)][eqn: =f(10c+b)+a]

[eqn: =c+b+a] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

12. [출제의도] 부정방정식의 해 구하기

소수인 두 근을 [eqn: p, ``q]라 할 때, [eqn: p+q= {10} over {m}]은 자연수이므로 [eqn: m=1,``2,``5,``10]이다.

(ⅰ) [eqn: m=1]이면, [eqn: p+q=10]이므로, [eqn: p=3,```q=7]이고, [eqn: pq=n=21]

(ⅱ) [eqn: m=2]이면, [eqn: p+q=5]이므로, [eqn: p=2,```q=3]이고, [eqn: pq= {n} over {2} =6]    [eqn: THEREFORE `n=12]

(ⅲ) [eqn: m=5,``10]이면, [eqn: {10} over {m}]은 두 소수의 합 [eqn: p+q]로 나타낼 수 없다.

따라서 모든 [eqn: n]의 값의 합은 [eqn: 33]이다.

13. [출제의도] 연산 및 유리함수 이해하기

연산 [eqn: ODOT]에 대한 항등원을 [eqn: e]라 하면, 모든 실수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: a ODOT e=e ODOT a=a]를 만족하는 항등원은 [eqn: e=-1]이다.

따라서 [eqn: x ODOT f(x)=f(x) ODOT x=`-1]

[eqn: xf(x)+2x+2f(x)+2=-1]

[eqn: (x+2)f(x)=-2x-3]

[eqn: x != -2]일 때, [eqn: f(x)= 1over{x+2}-2]

따라서 [eqn: y=f(x)]는 [eqn: x=-2,```y=-2]를 점근선으로 하는 유리함수이다.

14. [출제의도] 제2코사인법칙의 증명 과정 이해하기

[eqn: rm {bar{AD}} over {bar{AE}} ``=`cos`( pi -A)=`-cos`A]

또 [eqn: rm ANGLE C]가 공통이고,

[eqn: ( pi - rm ANGLE ADF)= ANGLE AGF=( pi - ANGLE AGC)]이므로,

[eqn: rm TRIANGLE ACG`]□[eqn: rm TRIANGLE FCD]

[eqn: (a-c)`:b=][eqn: (b-2c``cos`A):(a+c)]

[eqn: THEREFORE `cos`A= {b ^{2} +c ^{2} -a ^{2}} over {2bc} `]

15. [출제의도] 유리함수와 직선 사이의 최단거리 구하기

직선 [eqn: rm QR]의 방정식은 [eqn: 4x+y+4=0`]이고,

점 [eqn: {rmP} left(a`,``` 1over a right)`]에서 직선 [eqn: rm QR`]까지의 거리 [eqn: h`]는

[eqn: h={ left|``4a + 1over a + 4`` right| } over sqrt17`]

[eqn: a`]는 양수이므로 [eqn: 4a + 1over a >=2sqrt{4a 1 over a} = 4]

따라서 [eqn: h={ left|``4a + 1over a + 4`` right| } over sqrt17`>= 8 over sqrt 17]이다.

[eqn: rmTHEREFORE `TRIANGLE PQR]의 넓이의 최솟값은

[eqn: {1} over {2} TIMES sqrt {17} TIMES {8} over {sqrt {17}} =4]

16. [출제의도] 직선의 방정식의 그래프 이해하기

그림에서 점 [eqn: rm D`,``B]를 지나는 직선의 [eqn: x]절편은 [eqn: -9]이고, 점 [eqn: rm `A`,``C]를 지나는 직선의 [eqn: x]절편은 [eqn: 3]이다.

(직선 [eqn: rm DE]의 기울기)=(직선 [eqn: rm BE]의 기울기) …①

(직선 [eqn: rm AF]의 기울기)=(직선 [eqn: rm CF]의 기울기) …②

①에서 [eqn: ` {5-0} over {1-(-9)} `=` {a-0} over {-1-(-9)} ````````` THEREFORE `a=4``]

②에서 [eqn: {b-0} over {-1-3} `=` {3-0} over {1-3} ```````` THEREFORE `b=6]

따라서 [eqn: a+b=10]

17. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 계산하기

[eqn: rm `P _{3} it (2,``3)]에 대하여

[eqn: 2< log`_2 ` 6 `<3`]이므로 [eqn: rm `P _{4} it (2,``4)]

[eqn: log _{2} 8=3]이므로 [eqn: rm `P _{5} it (3,``4)]

[eqn: 3< log`_2 ` 12 `<4`]이므로 [eqn: rm `P _{6} it (4,``4)]

18. [출제의도] 삼각비를 활용하여 도형의 길이 구하기

[eqn: a-1]

[eqn: a]

[eqn: rm ANGLE FCG= {pi } over {3}]이므로, [eqn: rm bar{CG} `=1]이다.

그림과 같이 원 [eqn: rm P]의 중심이 움직인 거리는

[eqn: 2a+4(a-1)+4 LEFT ( sqrt {3} TIMES {2} over {3} pi RIGHT ) =23+ {8 sqrt {3}} over {3} pi]

[eqn: THEREFORE a= {9} over {2}]

19. [출제의도] 지수와 상용로그의 관계 이해하기

동물 [eqn: B]의 표준대사량을 [eqn: E _{B} =kW ^{{3} over {4}}]이라 하면,

동물 [eqn: A]의 표준대사량 [eqn: E_A]는

[eqn: E _{A} =k(100W) ^{{3} over {4}} =100 ^{{3} over {4}} ` E _{B}]이므로, [eqn: alpha = 100 ^{{3} over {4}}]

[eqn: log`alpha= {3} over {4} `log100][eqn: =1.5=1+0.5]

[eqn: =log10+log`3.162=log`31.62]

[eqn: THEREFORE `alpha=31.62]

20. [출제의도] 로그의 성질을 이해하고 계산하기

[eqn: log _{3} `tan theta +log _{3} `tan3 theta +log _{3} `tan5 theta]

[eqn: =log _{3} `tan15 DEG +log _{3`} tan45 DEG +log _{3} `tan75 DEG]

[eqn: =log _{3} `(tan15 DEG TIMES `tan45 DEG TIMES tan75 DEG )]

[eqn: =log _{3} `(tan15 DEG TIMES `tan45 DEG TIMES cot15 DEG )]

[eqn: =log _{3} `1]

[eqn: =0]

21. [출제의도] 상용로그를 이용하여 실생활 문제 해결하기

[eqn: B`]축의 속력의 최솟값은 [eqn: A_1`]과 [eqn: B_1]을 연결할 때이고, 그 값을 [eqn: x`]라 하자. 또, [eqn: B`]축의 속력의 최댓값은 [eqn: A_3`]과 [eqn: B_7]을 연결할 때이다.

주어진 조건에 의하여 [eqn: B]축의 속력의 최댓값은 [eqn: (1.15) ^{2} (1.2) ^{6} x`]이다.

[eqn: log`(1.15) ^{2} (1.2) ^{6} =2`log1.15+6`log`1.2]

[eqn: =0.60=log`2 ^{2}`]이므로,

[eqn: `(1.15) ^{2} (1.2) ^{6} =2 ^{2}]

따라서 [eqn: B]축의 속력의 최댓값은 최솟값의 [eqn: 4]배이다.

22. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 로그의 값 계산하기

[eqn: log` _{3} `16```․``log` _{2} `27`= {log`16} over {log`3} ``․` {log`27} over {log`2}]

[eqn: = {4`log`2} over {log`3} `․` {3`log`3} over {log`2}]

[eqn: =12]

23. [출제의도] 자료의 분산 구하기

[eqn: {84+78+a+86+87} over {5} =85]이므로 [eqn: a=90]이고,

분산은 [eqn: {(-1) ^{2} +(-7) ^{2} +5 ^{2} +1 ^{2} +2 ^{2}} over {5} =16]

24. [출제의도] 이차함수와 원의 그래프 이해하기

이차함수 [eqn: f(x)=ax ^{2} +b`]의 그래프와 원 [eqn: x^2 + y^2 = 4`]의 그래프가 세 점 [eqn: rm A(0`,```-2)`], [eqn: rm B(c `,```d )`], [eqn: rm C(-c `,```d )`] [eqn: (c>0)]에서 만날 때, 세 점 [eqn: rm`A`,``B`,``C]가 원의 둘레를 삼등분한다.

원점 [eqn: rm O]에 대하여 [eqn: ANGLE rmAOB`= 120 DEG]이므로,

[eqn: c= sqrt {3} d] …①

또 [eqn: rm B(c `,```d )`]는 원 위의 점이므로 [eqn: c ^{2} +d ^{2} =4] …②

①, ②에 의하여 [eqn: c= sqrt {3} `,```d=1`]

한편 [eqn: f(x)=ax ^{2} +b`]는 점 [eqn: rm A(0`,```-2)`]를 지나므로, [eqn: b=-2]이고, 점 [eqn: rm B( sqrt {3} `,```1)`]은 포물선 위의 점이므로 [eqn: 1=3a-2`,```a=1]이다.

[eqn: THEREFORE `f(x)=x ^{2} -2]이므로 [eqn: f(5)=23]

25. [출제의도] 로그의 성질 이해하기

[eqn: a=log _{30} 3``,````b=log _{30} 5] 이고,

[eqn: {a+b} over {1-a} = {log _{30} 15} over {log _{30} 10} =log _{10} 15] 이므로

[eqn: 10 ^{log _{10} 15} =15 ^{log _{10} 10} =15]

26. [출제의도] 상용로그의 지표를 이해하고 계산하기

[eqn: N]은 두 자리 자연수이므로, [eqn: 1 <= logN<2]이고, [eqn: logN]의 값을 소수점 첫째자리에서 반올림하면 1또는 2이다.

따라서, [eqn: log _{2} {N} over {8} =1] 또는 [eqn: 2]

[eqn: {N} over {8} =2] 또는 [eqn: 4]

[eqn: N=16] 또는 [eqn: 32]

∴ 모든 [eqn: N]의 값의 합은 48

27. [출제의도] 이차함수의 그래프를 이용한 부등식의 해 구하기

[eqn: f(1)=f(11)=k]이므로,

[eqn: f(x)=(x-1)(x-11)+k=x ^{2} -12x+11+k]

따라서, 부등식 [eqn: f(x)<f(2)-2]는

[eqn: x ^{2} -12x+11+k < -11+k]

[eqn: x ^{2} -12x+22<0]이고,

이 부등식을 만족하는 [eqn: x]의 범위 [eqn: alpha<x<beta]에 대하여, [eqn: alpha beta =22]이다.

28. [출제의도] 로그를 이용한 식의 값 계산하기

[eqn: 36 pi TIMES 5= {4} over {3} pi r ^{3}]이므로, [eqn: r` ^{3} =5 TIMES 3 ^{3}]이다.

[eqn: 3log`r`=1-log`2+3`log`3][eqn: =2.1303]

[eqn: log`r=0.7101]이고, [eqn: r=5.13]

따라서 [eqn: 100r=513]

29. [출제의도] 삼각함수의 그래프 이해하기

주기가 [eqn: 6`]이므로 [eqn: {2`pi} over b = 6`]에서 [eqn: b = pi over 3`]

[eqn: f(x)=a`cos {pi } over {3} x]에서 [eqn: f(1)= {a} over {2}]

(사각형의 넓이)[eqn: = {a} over {2} `․`4=20]

[eqn: THEREFORE ``a=10]

30. [출제의도] 원의 성질을 이해하고 도형의 넓이 구하기

원의 중심을 [eqn: rm`O]라 하자.

[eqn: rm TRIANGLE ABC]의 넓이가 11이므로,

[eqn: rm ` {1} over {2} bar{AC} ``․`` bar{BC} `=11`,```` bar{AC} ``․`` bar{BC} `=22]   …①

[eqn: rm TRIANGLE ABC]가 직각삼각형이므로,

[eqn: rm ` {barAC} ^{ 2}+`` {bar{BC}} ^2 `={bar{AB}} ^2]   …②

①, ②에서 [eqn: rm ` bar{AC} + bar{BC} =12]   …③

한편 [eqn: rm bar{AC} BOT bar{OP} `], [eqn: rm bar{BC} BOT bar{OQ} `]일 때, [eqn: TRIANGLE ` rm ACP`]와 [eqn: TRIANGLE ` rm BCQ`]의 넓이가 각각 최대이다.

[eqn: TRIANGLE ` rm ACP`와``` TRIANGLE BCQ]의 넓이의 합의 최댓값은

[eqn: rm □AOCP+□BQCO- TRIANGLE ABC]

[eqn: rm = {1} over {2} TIMES 5 TIMES bar{AC} `+` {1} over {2} TIMES 5 TIMES bar{BC} ``-11]

[eqn: rm = {1} over {2} TIMES 5 TIMES LEFT ( bar{AC} + bar{BC} RIGHT ) ```-11]

[eqn: rm = {1} over {2} TIMES 5 TIMES 12```-11] ([eqn: BECAUSE `③]에 의하여)

[eqn: =19]