2008학년도 6월 고1 전국연합학력평가

정답 및 해설

고 1	정답 및 해설	2008학년도 6월 전국연합학력평가

2008학년도 6월 전국연합학력평가	정답 및 해설	고 1

3

수리 영역

정답

1	②	2	④	3	①	4	①	5	①
6	②	7	③	8	③	9	④	10	②
11	③	12	①	13	①	14	⑤	15	②
16	③	17	③	18	⑤	19	⑤	20	⑤
21	④	22	53	23	32	24	29	25	20
26	280	27	12	28	14	29	27	30	13

해설

1. [출제의도] 집합의 연산 이해하기

[eqn: A-B=A] 이므로 [eqn: A]와 [eqn: B]는 서로소이다.

[eqn: THEREFORE `````A SMALLINTER B=`phi]

2. [출제의도] 복소수 계산하기

[eqn: {1} over {z} `+` {1} over {bar{z}} `=` {1} over {1+i} + {1} over {1-i}]

[eqn: =`` {1-i} over {2} + {1+i} over {2}] [eqn: =``1]

3. [출제의도] 이중근호 계산하기

[eqn: sqrt{6+2sqrt5}-sqrt{6-2sqrt5}]

[eqn: =sqrt5 +1 -(sqrt5 -1 )=2]

4. [출제의도] 필요충분조건 이해하기

조건 [eqn: p```:``x ^{2} -4x+4-a=0]

조건 [eqn: q```:``x=5] 또는 [eqn: x=b]

[eqn: p```]는 [eqn: q``]이기 위한 필요충분조건이므로

[eqn: 5+b=4```,`````5b=4-a]

[eqn: a=9```,`````b=`-1]

∴ [eqn: a+b=8]

5. [출제의도] 이항연산 이해하기

연산 [eqn: ◎]에 대한 항등원이 [eqn: 6``]이므로

[eqn: a``◎``6``=`6``◎``a``=`a``]

[eqn: `a+6+2k``=`a]

[eqn: therefore````k=-3]

6. [출제의도] 다항식의 연산을 이용하여 수학내적문제 해결하기

(통나무의 부피)[eqn: =][eqn: pi ``x ^{2} `(`x+3)]

(파낸 원기둥의 부피)[eqn: =] [eqn: pi ``(`x-2) ^{2} `x]

(남은 부피) [eqn: =` pi ` LEFT { `x ^{2} (x+3)-(x-2) ^{2} x` RIGHT }]

[eqn: = pi `x`(x ^{2} +3x-x ^{2} +4x-4)]

[eqn: = pi `x`(7x-4)]

7. [출제의도] 이중근호를 이용하여 수학외적문제 해결하기

[eqn: W= 1over2 mv`^2 - 1over2 mv_0 `^2] 이므로,

[eqn: W=3sqrt3 ,~m=3,~v_0 =2] 를 대입하면,

[eqn: 3 sqrt {3} = {1} over {2} times 3 times v ^{2} - {1} over {2} times 3 times 4]

[eqn: v^2 = 4+2sqrt3]

[eqn: therefore~~v=sqrt{4+2sqrt3}=sqrt3 +1]

8. [출제의도] 약수와 배수 이해하기

ㄱ. [eqn: 123]은 [eqn: 3]의 배수이므로 [eqn: f(123)=0]  ∴ 참

ㄴ. [eqn: k ^{3} -k=(k-1)k(k+1)``]

연속하는 세 자연수의 곱은 [eqn: 3]의 배수이므로

[eqn: k ^{3} -k+3]도 3의 배수이다.   ∴ 참

ㄷ. (반례) [eqn: k=1]일 때, [eqn: f``(k ^{3} )+f`(k)=2]

∴ 거짓

9. [출제의도] 이차방정식의 공통근 활용하기

동시에 만족하는 근을 [eqn: alpha] 라 하면

[eqn: alpha ^{2} -4 alpha +a=0] … ①

[eqn: alpha ^{2} +a alpha -4=0] … ②

[eqn: ①`-`②``]

[eqn: (a+4)( alpha-1)=0]

[eqn: a=-4``]이면 동시에 만족하는 근이

[eqn: `2±`2 sqrt {2} ``]로 두 개다.

따라서, [eqn: alpha=1]일 때 [eqn: a=3``]이다.

10. [출제의도] 원의 성질을 이용하여 수학내적문제 해결하기

서로의 중심을 지나는 두 원의 중심 사이의 거리는 반지름의 길이와 같으므로 [eqn: TRIANGLE rm AO`O` prime]은 정삼각형이다.

따라서 [eqn: ANGLE `rmAOB=120°``]

도형의 둘레의 길이는 [eqn: 2 pi ` TIMES 15 TIMES {2} over {3} TIMES 2=40 pi]

11. [출제의도] 닫혀 있음을 이해하기

ㄱ. [eqn: left{-1`,```0`,```1`right}] 이므로 곱셈에 대하여 닫혀 있다.

ㄴ. (반례) [eqn: x=2root2`,`y=3root2]라 하면,

[eqn: xy=12]

[eqn: therefore] 곱셈에 대하여 닫혀 있지 않다.

ㄷ. [eqn: x=a^2 -b^2`,`y=c^2 -d^2]이라 하면,

[eqn: xy=(a^2 -b^2 )(c^2 -d^2 )]

[eqn: =(a^2 c^2 +b^2 d^2 )-(a^2 d^2 +b^2 c^2 )]

[eqn: =`(a ^{2} c ^{2} +b ^{2} d ^{2} )-(a ^{2} d ^{2} +b ^{2} c ^{2} )]

[eqn: +2abcd`-`2abcd`]

[eqn: =(ac+bd)^2 -(ad+bc)^2]

[eqn: therefore] 곱셈에 대하여 닫혀 있다.

12. [출제의도] 이차방정식을 활용하여 수학내적문제 해결하기

[eqn: 1over2 (x+x+4)(x-1)= 3over4 x^2]

[eqn: x^2 +4x-8=0]

[eqn: x=-2±2sqrt3]  ( [eqn: x``>``0``])

∴ [eqn: -2+2sqrt3]

13. [출제의도] 도형이 그리는 영역 나타내기

점 [eqn: rm O]를 중심으로 이 원판을 한 바퀴 회전시킬 때 직사각형이 그리는 모양은 다음과 같다.

즉, 직사각형이 그리는 모양은 반지름이 [eqn: rm OA]인 원의 내부에서 반지름이 [eqn: rm OH]인 원을 제외한 영역이다.

14. [출제의도] 최대공약수와 최소공배수 이해하기

[eqn: f(x)`,`````g(x)``]의 최소공배수

[eqn: x ^{3} -2x ^{2} -5x+6=(x-1)(x-3)(x+2)]

최대공약수가 [eqn: x-3] 이므로,

두 다항식은 [eqn: (x-3)(x-1),~(x-3)(x+2)``]이다.

[eqn: therefore~][eqn: vert f(0)-g(0) vert =9]

15. [출제의도] 비례식을 응용하여 수학외적문제 해결하기

원의 반지름을 [eqn: r]이라 하면, 정육각형의 한 변의 길이는 [eqn: r``], 정삼각형의 한 변의 길이는 [eqn: sqrt {3} r``]이다.

갑의 속력을 [eqn: x``]라 하면,

갑이 한 번 도는데 걸린 시간  [eqn: t _{1`} `=` {6r} over {x}]

을이 한 번 도는데 걸린 시간

[eqn: t _{2} = {sqrt {3} r} over {x} + {sqrt {3} r} over {2x} + {sqrt {3} r} over {{1} over {2} x} = {7 sqrt {3} r} over {2x}]

[eqn: therefore]  [eqn: t_1 overt_2 = 12over{7sqrt3}={4sqrt3} over 7]

16. [출제의도] 실수의 성질을 이용하여 수학내적문제 해결하기

ㄱ. 맨 위쪽 줄의 왼쪽에서 열 번째 점과, 맨 아래줄의 왼쪽에서 첫 번째 점을 연결한 선분을 빗변으로 하는 직각이등변삼각형이 존재하고 이 때 빗변의 길이는 [eqn: 9sqrt2]이다.  [eqn: therefore] 참

ㄴ. 임의의 삼각형에 대하여 그림과 같이 그 삼각형에 외접하는 직사각형을 만들 수 있다.

(구하고자 하는 삼각형의 넓이)

[eqn: =] (사각형의 넓이)[eqn: -(①+②+③)]

사각형과 직각삼각형 ①, ②, ③의 넓이는        유리수이므로 모든 삼각형의 넓이는 유리수이다.      [eqn: therefore] 참

ㄷ. 모든 다각형의 넓이는 몇 개의 삼각형의 넓이의 합으로 표현가능하다. 삼각형의 넓이는 모두 유리수이므로, 모든 다각형의 넓이는 유리수이다.    [eqn: therefore] 거짓

17. [출제의도] 이차방정식의 근의 성질 이해하기

[eqn: 2kx ^{2} +(k-3)x+1=0``]의 한 허근을 [eqn: alpha ``]라 하면,

[eqn: 2k` alpha ^{2} +(k-3) alpha +1=0] 이다.

[eqn: alpha^2]이 실수이므로, [eqn: k=3] 이다.

[eqn: therefore] 이차방정식 [eqn: 6x^2 +1=0] 의 두 근의 곱은 [eqn: 1over6]

18. [출제의도] 평면도형의 성질을 이용하여 증명하기

[eqn: rm ANGLE `FED`=`] (동위각)

[eqn: rm`angle`BCD]

[eqn: rm` ANGLE BAD``=`]   (원주각) 이므로,

[eqn: angle`rm`BCD]

[eqn: rm `` ANGLE `FED`=` ANGLE `BAD] … ①

[eqn: rm ` ANGLE `EFD] 는 공통 … ②

①， ② 로부터

[eqn: rm ` TRIANGLE `FED`]□

[eqn: rm `triangle`FAE]

[eqn: THEREFORE] [eqn: rm ` bar{`EF} ` ^{2} =]

[eqn: rm bar{AF} ``․ ``bar{DF}]

또, 접선과 할선의 성질로부터

[eqn: rm bar{FG} ` ^{2} =]

[eqn: rm bar{AF}``․`` bar{DF}]

따라서 [eqn: rm ` bar{EF} `=` bar{FG}] 이다.

19. [출제의도] 이차방정식의 근과 계수의 관계 이해하기

[eqn: alpha `,`` beta ``]는 이차방정식 [eqn: x ^{2} `+x-1=0``]의 두 근

[eqn: alpha + beta `=-1``,```` alpha beta `=-1``]

ㄱ. [eqn: alpha + beta `=-1`]  [eqn: therefore] 참

ㄴ. [eqn: {beta } over {alpha }+ alpha over beta`= {alpha ^{2} `+ beta ^{2}} over {alpha beta } `= {( alpha + beta ) ^{2} -2 alpha beta } over {alpha beta } =-3`]

[eqn: therefore] 참

ㄷ. [eqn: alpha ^{5} `+ beta ` ^{5} + alpha ^{4} + beta ` ^{4} - alpha ^{3} - beta ` ^{3}]

[eqn: =` alpha ^{3} ( alpha ^{`2} + alpha -1)`+` beta ^{`3} ( beta ^{`2} + beta -1)]

[eqn: alpha `,`` beta ``]는 이차방정식 [eqn: x ^{2} `+x-1=0``]의 두 근      이므로 [eqn: alpha ^{2} + alpha -1=0```,``` beta ^{2} + beta -1=0] 이다.

[eqn: alpha ^{5} `+ beta ` ^{5} + alpha ^{4} + beta ` ^{4} - alpha ^{3} - beta ` ^{3} `=0]

[eqn: alpha ^{5} `+ beta ` ^{5} + alpha ^{4} + beta ` ^{4} = alpha ^{3} + beta ` ^{3}]  [eqn: therefore] 참

20. [출제의도] 집합의 원소의 개수 구하기

[eqn: A :] 월드컵 대표,

[eqn: B:] 올림픽 대표,

[eqn: C```:] 청소년 대표라 하면,

[eqn: n(A CUP B CUP C`)=48],

[eqn: n(A)=23``,````n(B)=23``,````n(C``)=23],

[eqn: n(A capB)=16], [eqn: n(B SMALLINTER C``)=5], [eqn: n(C` SMALLINTER A`)=2]

[eqn: n(B` CUP C`)=n(B)+n(C`)-n(B` SMALLINTER `C`)]

[eqn: =23+23-5=41]

[eqn: therefore``] (월드컵대표에만 소속되어 있는 선수)

[eqn: =48-41=7]

(별해)

[eqn: n(A`cup`B`cup`C)=n(A)+n(B)+n(C)]

[eqn: -n(A` SMALLINTER `B)-n(B` SMALLINTER C)-n(C` SMALLINTER `A)]

[eqn: +n(A` SMALLINTER `B`` SMALLINTER `C``)]

[eqn: n(A capB` capC``)=x]라 하면,

[eqn: 48=23+23+23-16-5-2+x] 이므로

[eqn: n(A` SMALLINTER `B` SMALLINTER `C``)=2]

벤다이어그램으로 나타내면 월드컵대표에만 소속되어 있는 선수는 [eqn: 23-16=7]명

21. [출제의도] 이차방정식을 이용하여 수학내적문제 해결하기

변 [eqn: rm`BG``]의 길이를 [eqn: x`]라 하자.

직사각형 [eqn: RM`ABCD`]와 [eqn: RM`AEFH]가 닮음이므로

[eqn: (`2x+1`)``:``(`x+1`)`=`x``:`1]

[eqn: x ^{2} -x-1=0`]  (∴ [eqn: x ^{2} `=x+1])

∴ [eqn: x`=` {1+ sqrt {5}} over {2}]  ( [eqn: x`>`0])

따라서 두 정사각형 [eqn: RMEBGF``,```HGCD]의 넓이의   합은 [eqn: x ^{2} `+`(x+1) ^{2} =`2x ^{2} `+2x+1]

[eqn: =2(x+1)+2x+1=4x+3]

[eqn: =`4`times` {1+ sqrt {5}} over {2} +3=`5+2 sqrt {5}]

∴ [eqn: 5+2 sqrt {5}]

22. [출제의도] 자료의 평균 계산하기

[eqn: {a+b+c}over3`=`10] ,  [eqn: a+b+c=30]

[eqn: 5a+3`,```5b+3`,```5c+3]의 평균

[eqn: ={5a+3+5b+3+5c+3}over3]

[eqn: = {5(a+b+c)+9} over { 3}]

[eqn: =53]

23. [출제의도] 유리식의 값 계산하기

[eqn: {a-b}overb`=`{b-a}overa] 을 정리하면

[eqn: a^2 =b^2] 이므로 [eqn: a=+-b] 이고

[eqn: b overa + a over b = +-2]

[eqn: alpha =2,~ beta=-2] 또는 [eqn: alpha =`-2`,``` beta ``=2]

∴ [eqn: 4( alpha ^{2} + beta ` ^{2} )=32]

24. [출제의도] 항등식의 성질 이해하기

[eqn: x=1]일 때,

[eqn: 49=a _{0} +a _{1} +a _{2} +a _{3} +a _{4} +a _{5} +a _{6}]   … ①

[eqn: x=-1]일 때,

[eqn: 9=a _{0} -a _{1} +a _{2} -a _{3} +a _{4} -a _{5} +a _{6}]   … ②

①+②이면

[eqn: 58=2(a _{0} +a _{2} +a _{4} +a _{6} )]이므로

∴ [eqn: a _{0} +a _{2} +a _{4} +a _{6} =29]

(별해)

[eqn: (2+6x-x ^{3} ) ^{2} =4+24x+36x ^{2} -4x ^{3} -12x ^{4} +x ^{6}]

[eqn: therefore```````a _{0} +a _{2} +a _{4} +a _{6} =4+36-12+1=29]

25. [출제의도] 무리식의 분모 유리화하기

[eqn: {1} over {sqrt {x+1} + sqrt x} + 1 over {sqrt {x+1} - sqrt {x}}]

[eqn: ={{sqrt x+1}-sqrtx +sqrtx+1 + sqrtx }overx+1-x]

[eqn: =2sqrtx+1]

[eqn: therefore~~][eqn: x=99]를 대입하면 [eqn: 20]

26. [출제의도] 닮음을 이용하여 수학외적문제 해결하기

영희의 그림자의 길이를 [eqn: x], 가로등의 높이를 [eqn: h]   라고 하자.

[eqn: triangle `rm`ABC`] □ [eqn: triangle rm ADE] 이므로,

[eqn: x``:``(`x+1`)`=`120```:`160]

[eqn: therefore~~x=3]

[eqn: triangle rm ABC] □ [eqn: triangle rm AFG] 이므로,

[eqn: 3``:`7`=`120``:`h]

[eqn: THEREFORE ~~h=280]

27. [출제의도] 복소수의 상등 이해하기

[eqn: 2x+5y=39] , [eqn: 3x-y=16]을 연립하면

[eqn: x=7], [eqn: y=5]

∴  [eqn: x+y=12]

28. [출제의도] 다항식의 성질을 이용하여 미정계수 구하기

[eqn: f(x)=(x ^{3} -x ^{2} -6x)Q(x)+x ^{2} +ax+4]

[eqn: =x(x ^{2} -x-6)Q(x)+x ^{2} +ax+4]

[eqn: =x(x ^{2} -x-6)Q(x)+x ^{2} -x-6]

[eqn: +(a+1)x+10]

[eqn: =(x ^{2} -x-6)left{xQ(x)+1`right}+(a+1)x+10]

따라서 [eqn: 5x+`b=(a+1)x+10]

[eqn: a=4,```b=10]

∴  [eqn: a+b=14]

29. [출제의도] 삼각형의 성질을 이용하여 수학내적문제 해결하기

([eqn: rm TRIANGLE ACP]의 넓이)[eqn: = 1over2 times 81over2 = 81over4]

점 [eqn: rm M]은 [eqn: rm TRIANGLE ABC`]의 무게중심이므로

([eqn: rm TRIANGLE AMC]의 넓이)[eqn: = 81over4 times 2over3 = 27over2]

[eqn: therefore] ([eqn: rm □AMCN]의 넓이[eqn: )=2 TIMES {27} over {2} =27]

30. [출제의도] 경우의 수 구하기

[eqn: A```]종류의 개미는 경로Ⅰ에 [eqn: 5]번, [eqn: B```]종류의 개미는 [eqn: 2]번, [eqn: C```]종류의 개미는 [eqn: 1]번 분비물을 방사한다.

따라서 경로Ⅰ에 분비물이 [eqn: 20]번 방사되었다는 것은 경로Ⅰ을 지나간 [eqn: A```]종류의 개미들의 마리수 [eqn: x]를 기준으로 다음과 같이 나눌 수 있다.

(ⅰ) [eqn: x=3`]인 경우 : [eqn: 2]가지

[eqn: (3`,``2,``1)`,`````(3,``1,``3)]

(ⅱ) [eqn: x=2``]인 경우 : [eqn: 4``]가지

[eqn: (2,`4,`2),``(2,`3,`4),``(2,`2,`6),``(2,``1,``8)]

(ⅲ) [eqn: x=1``]인 경우 : [eqn: 7``]가지

[eqn: (1,`7,`1),```(1,`6,`3),``(1,`5,`5)`,`…`,`(1,`1,`13)`]

∴ [eqn: 2`+`4`+`7`=`13`] (가지)