• 2교시 수리 영역 •

2008학년도 5월 고3 학업성취도평가

정답 및 해설

[가 형]

1	⑤	2	①	3	③	4	①	5	④
6	④	7	③	8	④	9	③	10	②
11	②	12	⑤	13	①	14	⑤	15	②
16	②	17	⑤	18	47	19	10	20	110
21	36	22	41	23	72	24	13	25	761

1. [출제의도] 로그의 성질을 이해하기

[해설] [eqn: log _{``2} `12 sqrt {2} -log _{``2} `3]

[eqn: =log _{``2} `4 sqrt {2} = {5} over {2}]

2. [출제의도] 역행렬을 구하여 행렬 연산하기

[해설] [eqn: LEFT ( E```+`A RIGHT ) A ^{`-1} `=A ^{-1} +E]이므로

[eqn: = pmatrix{````````3`&```-1`#`-2`&`````````1`} + LEFT ( matrix{`1&`````0`#`0&`````1`} RIGHT ) = LEFT ( matrix{```````4&```-1#-2&`````````2} RIGHT )]

[eqn: THEREFORE] 모든 성분의 합은 [eqn: 3]

3. [출제의도] 곱의 미분법으로 미분계수 구하기

[해설] [eqn: f` prime (x)=(4x-3)(x ^{2} -x+2)]

[eqn: +(2x ^{2} -3x)][eqn: (2x-1)]이므로

[eqn: f` prime (2)=26]

4. [출제의도] 분수부등식의 해 구하기

[해설] 양수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: f(x)=a(x-1)(x-3)]꼴이므로 [eqn: {f(x-2)} over {f(x+2)} = {(x-3)(x-5)} over {(x+1)(x-1)} <= 0]

양변에 분모 [eqn: (x+1)(x-1)]의 제곱을 곱하여 정리하면[eqn: (x+1)(x-1)(x-3)(x-5)<= 0](단, [eqn: x!= +-1])

부등식의 해는 [eqn: -1<x<1], [eqn: 3<=x<=5]가 되어 정수 [eqn: x]는 [eqn: 0], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5]이므로 모두 [eqn: 4]개다.

5. [출제의도] 지수함수와 로그함수의 값 구하기

[해설] ㄱ. [eqn: sqrt {3} != {3} over {2}]이므로 [eqn: 2 ^{sqrt {3}} != (2 ^{3} ) ^{{1} over {2}} =2 ^{{3} over {2}}]

[eqn: THEREFORE]거짓

ㄴ. [eqn: g(12)=log`` _{3} `12=2log`` _{3} `2+1=2g(2)+1]

[eqn: THEREFORE]참

ㄷ. [eqn: g left ( f left ( {3} over {2} right ) right ) =g (2 ^{{3} over {2}} )=log`` _{3} `2 ^{{3} over {2}}]

[eqn: =log`` _{3} `2 sqrt {2} <log`` _{3} `3=1] [eqn: THEREFORE]참

6. [출제의도] 극한의 성질을 이용하여 극한값 구하기

[해설] [eqn: lim _{x`` -> `` INF } {` {f(x)-x ^{2}} over {x} `=2}]에서

[eqn: f(x)=x ^{2} +2x+k]([eqn: k]는 상수)꼴이고

[eqn: lim _{x`` -> ``2} {` {f(x)} over {`x-2} `=a}]에서 [eqn: f(2)=0]이므로 [eqn: k=`-8]

[eqn: lim _{x`` -> ``2} {` {(x-2)(x+4)} over {x-2} =6}] [eqn: THEREFORE][eqn: a=6]

7. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수의 성질 이해하기

[해설] [eqn: log`` _{10} ``x=n+ alpha `(0 <= alpha <1)]라 하면

ㄱ. [eqn: n <= log`` _{10} ``x <n+1]이므로 [eqn: [log` _{`10} ``x]=n] [eqn: THEREFORE]참

ㄴ. [eqn: log`` _{10} `1000x=3+log`` _{10} ``x=(n+3)+ alpha]이므로 지표는 [eqn: (n+3)]이다. [eqn: THEREFORE]거짓

ㄷ. [eqn: n+ alpha -[n+ alpha ]= alpha = {1} over {2}]

[eqn: log`` _{10} ``x ^{2} =2log`` _{10} ``x=2 left (n+ {1} over {2} right )=2n+1]

[eqn: log`` _{10} `x ^{2}]의 지표는 [eqn: 2n+1]이고,

[eqn: x ^{2}]은 [eqn: 2n+2]자리 정수이다. [eqn: THEREFORE]참

8. [출제의도] 나머지 정리를 활용하여 극한값 구하기

[해설] [eqn: (x+1) ^{n} =(x-1)(x-2)Q(x)+ax+b]라 하면, [eqn: R(x)=ax+b]이다.

[eqn: x=1]을 대입하면 [eqn: 2 ^{n} =a+b]

[eqn: x=2]을 대입하면 [eqn: 3 ^{n} =2a+b]

[eqn: THEREFORE][eqn: a=3 ^{n} -2 ^{n}], [eqn: b=`-3 ^{n} +2 ^{n+1}]

[eqn: R(0)=`-3 ^{n} +2 ^{n+1}]이므로

[eqn: lim _{n`` -> `` INF } {{-3 ^{n} +2 ^{n+1}} over {3 ^{n} +2 ^{n}}} =`-1]

9. [출제의도] 그래프를 이용한 무리방정식 이해하기

[해설] 두 그래프 [eqn: y= sqrt {1-x ^{2}}]과 [eqn: y=2x+a]의 교점이 존재해야 하므로 [eqn: -2 <= a <= sqrt {5}]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: y= sqrt { 1-x ^{ 2} }]

[eqn: y=2x+a]

[eqn: y=2x+ sqrt {5}]

[eqn: y=2x-2]

10. [출제의도] 극한의 성질 이해하기

[해설] ㄱ. (반례) [eqn: f(x)=x], [eqn: g(x)=[`x]]에 대하여

[eqn: lim _{x``-> ``0} {`f(x)=0}], [eqn: lim _{x`` -> ``0} {`f(x)g(x)=0}]이지만

[eqn: lim _{x`` -> ``0} {`g(x)}]는 존재하지 않는다. [eqn: THEREFORE]거짓

ㄴ. [eqn: lim _{x`` -> ``a} {` {f(x)} over {g(x)}} = beta], [eqn: lim _{x`` -> ``a} {`g(x)} = alpha]라 하면

[eqn: lim _{x`` -> ``a} {`f(x)} = lim _{x`` -> ``a} {g(x)` {f(x)} over {g(x)}}]

[eqn: = lim _{x`` -> ``a} {`g(x)`} lim _{x`` -> ``a} {` {f(x)} over {g(x)}} = alpha beta] [eqn: THEREFORE]참

ㄷ. (반례) [eqn: f(x)=[`x]], [eqn: g(x)=x]라 하면

[eqn: lim _{x``-> ``0} {`f(g(x))= lim _{x``-> ``0} {`f(x)= lim _{x``-> ``0} {`[`x]}}}]가 되어 극한값이 존재하지 않는다. [eqn: THEREFORE]거짓

11. [출제의도] 로그부등식의 해 구하기

[해설] 로그의 밑이 [eqn: f(x)]이므로

[eqn: (ⅰ)][eqn: 0<f(x)<1]일 때, [eqn: f(x)>g(x)]의 해는

[eqn: a<x<b]이다.

[eqn: (ⅱ)][eqn: f(x)>1]일 때, [eqn: f(x)<g(x)]의 해는

[eqn: 0<x<e]에서 없다.

[eqn: THEREFORE][eqn: (ⅰ)], [eqn: (ⅱ)]에 의하여 해는 [eqn: a<x<b]

12. [출제의도] 도함수의 성질 이해하기

[해설] ㄱ. [eqn: x<0]에서 [eqn: f` prime (x)>g` prime (x)]

[eqn: y` prime =f` prime (x)-g` prime (x)>0]이므로 [eqn: y`=f(x)-g(x)]는 증가한다. [eqn: THEREFORE]참

ㄴ. [eqn: f` prime (x)=g` prime (x)]의 세 근을 [eqn: 0,````a,````b][eqn: (0<a<b)]라 하고 [eqn: y`=f(x)-g(x)]의 증감표를 완성하면

[eqn: x]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 0]	[eqn: CDOTS]	[eqn: a]	[eqn: CDOTS]	[eqn: b]	[eqn: CDOTS]
[eqn: f` prime (x)-g` prime (x)]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: f(x)-g(x)]	[eqn: NEARROW]	극대	[eqn: SEARROW]	극소	[eqn: NEARROW]	극대	[eqn: SEARROW]

따라서 [eqn: y`=f(x)-g(x)]는 극솟값이 1개이다. [eqn: THEREFORE]참

ㄷ. ㄴ의 증감표를 이용하여 [eqn: y=h(x)]의 개형을 그려보면

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: a]

[eqn: b]

[eqn: x]

이고 [eqn: y=h` prime (x)]의 개형은

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: a]

[eqn: b]

[eqn: x]

이므로 [eqn: h` prime (x)=0]은 서로 다른 2개의 양의 실근을 갖는다. [eqn: THEREFORE]참

13. [출제의도] 조합을 이용한 확률 구하기

[해설] 일대일 대응의 총 개수는 [eqn: 5 ! = 120]개 이다.

자기 자신으로 대응되는 원소 3개를 고르는 방법의 수는 [eqn: {} _{5} ` rm C` _{3}]이고, 나머지 [eqn: 2]개의 원소는 서로 교차하여 대응하므로 대응하는 방법의 수는 1개이다.

[eqn: THEREFORE][eqn: {{} _{5} ` rm C` _{3} TIMES 1 it} over {120} = {10} over {120} = {1} over {12}]

14. [출제의도] 지수함수를 활용한 함수의 최댓값 구하기

[해설] 분모, 분자를 [eqn: 2 ^{x}]으로 나눈 [eqn: y= {8} over {2 ^{x} +2 ^{-x} -1}]의 최댓값은 분모인 [eqn: 2 ^{x} +2 ^{-x} -1]이 최소일 때이다.

[eqn: 2 ^{x} +2 ^{-x} ` >= 2 sqrt {2 ^{x} `2 ^{-x}} =2]이므로 [eqn: y]의 최댓값은 [eqn: 8]

15. [출제의도] 수학적귀납법으로 행렬의 거듭제곱 증명하기

[해설] (가) [eqn: xy]

(나) [eqn: x+y-1]

(다) [eqn: xA(0)]

16. [출제의도] 로그를 활용한 실생활 문제 해결하기

[해설] 매장된 석유량[eqn: = {a LEFT { (1.02) ^{40} -1 RIGHT }} over {1.02-1}], [eqn: 2008]년부터 [eqn: n]년 동안의 소비량[eqn: = {a LEFT { 1-(0.99) ^{n} RIGHT }} over {1-0.99}]이므로

[eqn: {a LEFT { (1.02) ^{40} -1 RIGHT }} over {1.02-1} `=][eqn: {a LEFT { 1-(0.99) ^{n} RIGHT }} over {1-0.99}]

[eqn: {2.208-1} over {0.02} `= {1-(0.99) ^{n}} over {0.01}]

[eqn: 0.604`=1-(0.99) ^{n}]

[eqn: n`log`` _{10} ``0.99`=log`` _{10} ``0.396]

[eqn: n`(log`` _{10} ``9.9-1)`=log`` _{10} ``3.96-1]

[eqn: n(0.9956-1)`=(0.5977-1)]

[eqn: n= {0.4023} over {0.0044} image 91.4]이므로 [eqn: 2099]년에는 고갈될 것으로 예측할 수 있다.

17. [출제의도] 무한등비급수의 합을 적용한 문제 해결하기

[해설] [eqn: n]번째 그린 정사각형을 [eqn: rmA _{itn}], [eqn: rmA _{itn}]의 외접원을 [eqn: rmO _{itn}], 원 [eqn: rmO _{itn}]의 반지름의 길이를 [eqn: R _{it n rm}], [eqn: rm O _{it n}]의 내부와 [eqn: rmA _{itn}]의 외부에서 접하는 최대원의 넓이를 [eqn: T _{itn}], 반지름의 길이를 [eqn: r _{itn}]이라 하면

[eqn: R _{it1}=1], [eqn: R _{it n+1 rm} = {1} over {sqrt {2}} R _{itn}], [eqn: THEREFORE `R _{it n} = LEFT ( {1} over {sqrt {2}} RIGHT ) ^{it n-1}]

[eqn: r _{it n} = { R _{it n rm} - {1} over {sqrt {2}} R _{it n rm} it} over {2} = {sqrt {2} -1} over {2 sqrt {2}} R _{it n rm}# ``````````= {sqrt {2} -1} over {2 sqrt {2}} LEFT ( {1} over {sqrt {2}} RIGHT ) ^{it n-1 rm}]

[eqn: T _{it n rm} =][eqn: pi LEFT { {sqrt {2} -1} over {2 sqrt {2}} LEFT ( {1} over {sqrt {2}} RIGHT ) ^{it n-1 rm } RIGHT } ^{2} = pi {( sqrt {2} -1) ^{2}} over {8} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1}]

[eqn: THEREFORE lim _{n -> INF } {S _{n}} = sum _{n=1} ^{INF } 4 T _{it n rm} =4 pi {( sqrt {2} -1) ^{2}} over {8} sum _{it n=1 rm} ^{INF } LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{itn-1}]

[eqn: =4 pi {( sqrt {2} -1) ^{2}} over {8} TIMES {1} over {1- {1} over {2}} =(3-2 sqrt {2} ) pi]

18. [출제의도] 등차중항을 이용하여 항의 값 구하기

[해설] [eqn: a _{1} +a _{3} =2a _{2}], [eqn: a _{4} +a _{6} =2a _{5}]이므로, 준식은

[eqn: a _{2} +a _{5} =17]이다. [eqn: 2a _{1} +5d=17]에서 공차 [eqn: d=3]

[eqn: THEREFORE][eqn: a _{8} +a _{9} =2a _{1} +15d=2+15 times 3=47]

19. [출제의도] 이항정리를 이용하여 다항식 계수 구하기

[해설] [eqn: LEFT ( x ^{2} + {1} over {x} RIGHT ) ^{5} = sum _{k=0} ^{5} ` _{5} {rm C it} _{k} (x ^{2} ) ^{k} ( {1} over {x} ) ^{5-k}]

[eqn: = sum _{k=0} ^{5} ` _{5} rm C it rm _{k} x ^{3k-5}]이므로

[eqn: k=2]일 때, [eqn: x]의 계수는 [eqn: {} _{5} rm C it rm _{2} =10]

20. [출제의도] 정규분포를 이용하여 모평균 추정하기

[해설] [eqn: 95%]신뢰도로 모평균을 추정하면 신뢰구간은

[eqn: bar{X``} -1.96 {2} over {sqrt {n}} <= m <= bar{X``} +1.96 {2} over {sqrt {n}}]이므로

신뢰구간의 길이는

[eqn: 2 TIMES 1.96 {2} over {sqrt {n}} =10.392-9.608=0.784]

[eqn: THEREFORE][eqn: n=100]

[eqn: bar{X``} -1.96 {2} over {sqrt {n}} + bar{X``} +1.96 {2} over {sqrt {n}} =20]

[eqn: THEREFORE][eqn: bar{X``} =10]  [eqn: THEREFORE][eqn: n+ bar{X``} =110]

21. [출제의도] 미분계수의 정의를 이용하여 미분계수 구하기

[해설] [eqn: {1} over {n} =h]라 하면

준식[eqn: = lim _{h``-> ``0} {` {f(1+3h)-f(1-h)} over {h}}]

[eqn: = lim _{h`` -> ``0} {` LEFT { 3 times {f(1+3h)-f(1)} over {3h} + {f(1-h)-f(1)} over {-h} RIGHT }}]

[eqn: =3f` prime (1)+f` prime (1)=4f` prime (1)=36]

22. [출제의도] 순열을 이용한 확률값 구하기

[해설] [eqn: a _{1}], [eqn: a _{2}], [eqn: a _{3}], [eqn: a _{4}], [eqn: a _{5}]를 일렬로 나열할 때 이웃한 두 수가 같지 않은 경우의 수는 [eqn: 6 TIMES 5 TIMES 5 TIMES 5 TIMES 5]이고 이 중에서 [eqn: a _{1} != a _{3}]이고 [eqn: a _{3} != a _{5}]인 경우를 [eqn: a _{1}]부터 [eqn: a _{5}]까지 차례로 정하는 방법으로 경우의 수를 조사하면

[eqn: a _{1}]는 [eqn: 6]가지, [eqn: a _{2}]는 [eqn: a _{1}]과 다르므로 [eqn: 5]가지, [eqn: a _{3}]는 [eqn: a _{1}], [eqn: a _{2}]와 다르므로 [eqn: 4]가지, [eqn: a _{4}]는 [eqn: a _{3}]와 다르므로 [eqn: 5]가지, [eqn: a _{5}]는 [eqn: a _{3}], [eqn: a _{4}]와 다르므로 [eqn: 4]가지이다. 따라서 [eqn: 6 TIMES 5 TIMES 4 TIMES 5 TIMES 4]

[eqn: THEREFORE][eqn: {6 TIMES 5 TIMES 5 TIMES 4 TIMES 4} over {6 TIMES 5 TIMES 5 TIMES 5 TIMES 5} = {16} over {25}]  [eqn: THEREFORE][eqn: 16+25=41]

23. [출제의도] 같은 것이 있는 순열의 경우의 수 구하기

[해설] [eqn: 1,````1,````1,````2,````3,```4]중 [eqn: 4]개를 사용하여 [eqn: 4]자리 정수의 개수를 구하는 경우의 수와 같으므로

[eqn: (ⅰ)] [eqn: 1]을 한 개 사용하는 경우 → [eqn: 4!`=`24]

[eqn: (ⅱ)] [eqn: 1]을 두 개 사용하는 경우 → [eqn: {} _{3} rm C _{2} TIMES {4!} over {2!} =36]

[eqn: (ⅲ)] [eqn: 1]을 세 개 사용하는 경우 → [eqn: {} _{3} rm C _{1} TIMES {4!} over {3!} =12]

[eqn: (ⅰ)], [eqn: (ⅱ)], [eqn: (ⅲ)]에 의하여 모두 [eqn: 72]개

24. [출제의도] 연속의 정의를 이용하여 함숫값 구하기

[해설] [eqn: f(x)=a _{n} x ^{n} +a _{n-1} x ^{n-1} +` CDOTS `+a _{1} x+a _{0}]라 하면 [eqn: f(3x)=3 ^{n} a _{n} x ^{n} +` CDOTS `+3a _{1} x+a _{0}]

[eqn: 9f(x)=9a _{n} x ^{n} +` CDOTS `+9a _{1} x+9a _{0}]

[eqn: f(3x)-9f(x)]

[eqn: =(3 ^{n} -9)a _{n} x ^{n} +` CDOTS `+(3 ^{0} -9)a _{0} =0]이 항등식이므로 [eqn: a_{ 2}]를 제외한 모든 [eqn: a_{ i}(0<=i<=n)]은 [eqn: 0]이다. 따라서 [eqn: f(x)=a _{2} x ^{2} (a _{2}]는 상수)꼴이다.

[eqn: x=1]에서 [eqn: g(x)]는 연속이므로 [eqn: lim _{x`` -> ``1} {` {a _{2} x ^{2} -1} over {x-1} =2a _{2}}]

[eqn: THEREFORE][eqn: a _{2} =1]  [eqn: THEREFORE][eqn: g(x)=x+1]이므로 [eqn: g(12)=13]

25. [출제의도] 여러 가지 수열을 이용하여 도형문제 해결하기

[해설] 한 개씩 빠짐없이 썼을 때, 가장 큰 수는 탑모형의 위, 앞, 뒤, 오른쪽, 왼쪽에서 보이는 정사각형 모양의 면의 수와 같다.

위에서 보이는 면의 수

[eqn: =1 ^{2} +(3 ^{2} -1 ^{2} )+` CDOTS `+(19 ^{2} -17 ^{2} )=361]

앞, 뒤, 오른쪽, 왼쪽에서 보이는 면의 수

[eqn: =4 TIMES (1+3+5+` CDOTS `+19)=400]

이므로 보이는 면의 수는 모두 [eqn: 761]이다.

[미분과 적분]

26	②	27	①	28	④	29	③	30	[eqn: 12]

26. [출제의도] 삼각함수 덧셈정리를 이용하여 함숫값 구하기

[해설] [eqn: sin alpha = {2} over {sqrt {5}}], [eqn: `cos alpha = {1} over {sqrt {5}}],

[eqn: sin beta = {2} over {sqrt {5}}], [eqn: cos beta =- {1} over {sqrt {5}}]이므로

[eqn: cos( alpha - beta )=cos alpha ``cos beta +sin alpha ``sin beta][eqn: = {1} over {sqrt {5}} LEFT ( - {1} over {sqrt {5}} RIGHT ) + {2} over {sqrt {5}} {2} over {sqrt {5}} = {3} over {5}]

27. [출제의도] 삼각함수의 합성 및 평행이동 적용하기

[해설] [eqn: y= sqrt {3} `sin`x-cos`x]

[eqn: =2 LEFT { cos x` cdot LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) +sin x cdot {sqrt {3}} over {2} RIGHT }]

[eqn: =2`cos`(x- {2} over {3} pi )]를 [eqn: x]축 방향으로 [eqn: - {2} over {3} pi]만큼 평행이동 하면 [eqn: y=2`cosx]와 일치한다.

28. [출제의도] 삼각방정식의 해 구하기

[해설]

[eqn: sin ^{2} x+2sin`x``cos`x+3cos ^{2} x=3(sin ^{2} x+cos ^{2} x)]

[eqn: 2sin ^{2} x-2sinx`cosx=0],

[eqn: 2sinx(sinx-cosx)=0]

[eqn: sinx=0] 또는 [eqn: sinx=cosx] 에서

[eqn: x=0,```` pi ,````2 pi ,```` {pi } over {4} ,```` {5} over {4} pi]  [eqn: THEREFORE]모든 해의 합은 [eqn: {9} over {2} pi]

29. [출제의도] 삼각함수의 극한값 구하기

[해설] [eqn: l=2 TIMES 1 TIMES theta =2 theta],

[eqn: 1]

[eqn: theta]

[eqn: ``m=2 TIMES 1 TIMES sin {theta } over {2}]

[eqn: THEREFORE lim _{theta `` -> ``0} {{2 theta } over {2sin {theta } over {2}} = lim _{theta -> 0} {{{theta } over {2}} over {sin {theta } over {2}} TIMES 2=2}}]

30. [출제의도] 삼각함수의 극한값 구하기

[해설]

[eqn: lim _{x`` -> ``0} {{3`x`sin(sin2x)(1+cosx)} over {(1-cos ^{2} x)}}]

[eqn: = lim _{x`` -> ``0} {{3`x`sin(sin2x)(1+cosx)} over {sin ^{2} x}}]

[eqn: =12]

[확률과 통계]

26	①	27	⑤	28	④	29	③	30	[eqn: 178]

26. [출제의도] 줄기와 잎 그림을 히스토그램으로 나타내기

[해설] [eqn: 55]이상 [eqn: 65]미만 [eqn: 7]개, [eqn: 65]이상 [eqn: 75]미만 [eqn: 10]개

[eqn: 75]이상 [eqn: 85]미만 [eqn: 8]개, [eqn: 85]이상 [eqn: 95]미만 [eqn: 5]개

27. [출제의도] 가중평균 구하기

[해설] [eqn: {0.2 TIMES 54+0.3 TIMES 46+0.2 TIMES 62+0.3 TIMES 76} over {0.2+0.3+0.2+0.3}]

[eqn: =59.8]

28. [출제의도] 여사건의 확률 구하기

[해설] [eqn: (a+b)][eqn: (c+d)]가 짝수가 될 확률

[eqn: =1]-{[eqn: (a+b)][eqn: (c+d)]가 홀수가 될 확률}

[eqn: (a+b)]가 홀수인 경우는 (홀수+짝수) 또는 (짝수+홀수) 이므로 [eqn: 2 TIMES 3 TIMES 2=12]

[eqn: (c+d)]가 홀수인 경우도 마찬가지로 [eqn: 12]

[eqn: THEREFORE `1- {12 TIMES 12} over {5 ^{4}} = {481} over {625}]

29. [출제의도] 자료의 분산 구하기

[해설] [eqn: {1} over {7} sum _{i=1} ^{7} x _{i} =11]이므로 [eqn: sum _{i=1} ^{7} x _{i} =77]

[eqn: {1} over {7} sum _{i=1} ^{7} x _{i} ^{2} -11 ^{2} =16] 이므로 [eqn: sum _{i=1} ^{7} x _{i} ^{2} =959]

[eqn: THEREFORE {1} over {10} left {sum _{i=1} ^{7} x _{i`} +`(1+3+19)} right } =10]

[eqn: THEREFORE {1} over {10} left { {sum _{i=1} ^{7} x _{i} ^{2} +(1 ^{2} +3 ^{2} +19 ^{2} )} right } -10 ^{2} =33]

30. [출제의도] 순열을 이용한 확률 값 구하기

[해설] [eqn: A SMALLINTER B]는 두 수의 차가 [eqn: 6]의 배수인 사건이므로 두 수의 차가, [eqn: 6]인 경우는 [eqn: 14]가지, [eqn: 12]인 경우는 [eqn: 8]가지, [eqn: 18]인 경우는 2가지이므로 모두 [eqn: 14+8+2=24]이다.

[eqn: A SMALLINTER B SMALLINTER C= EMPTYSET]을 만족시키는 사건 [eqn: C] 중에서 근원사건의 최대 개수는 [eqn: {} _{20} rm C _{2} -24=166]이다.

[eqn: THEREFORE P(C `) <= {{} _{20} rm C _{2} -24} over {{} _{20} rm C_{2} } = {83} over {95}]  [eqn: THEREFORE 95+83=178]

[이산수학]

26	⑤	27	①	28	①	29	③	30	[eqn: 60]

26. [출제의도] 같은 것을 포함한 순열의 수 구하기

[해설] N, E, T를 하나로 묶으면 모두 [eqn: 6]개이고 그 중에 O가 세 개 이므로 [eqn: {6!} over {3!} TIMES 3 ! = 720]

27. [출제의도] 순열을 이용하여 경우의 수 구하기

[해설] [eqn: 5000]이하 중 [eqn: 3]의 배수이므로 천의 자릿수는 [eqn: 4] 이고 각 자리 수의 합이 [eqn: 3]의 배수이어야 한다.

[eqn: 4```(`4,````4,````6)`]인 경우는 [eqn: {3!} over {2!} =3],

[eqn: 4````(4,````5,````5)`]인 경우는 [eqn: {3!} over {2!} =3],

[eqn: 4````(5,````6,````6)`]인 경우는 [eqn: {3!} over {2!} =3]  [eqn: THEREFORE 3+3+3=9]

28. [출제의도] 조합을 이용하여 경우의 수 구하기

[해설] [eqn: 6]개의 순서에서 세 자리를 택하여 남학생을 고학년 순으로 배열하고 나머지 세 자리에 여학생을 저학년 순으로 배열하면 되므로 [eqn: {} _{6} rm C _{3} =20]

29. [출제의도] 집합의 분할 개수 구하기

[해설] [eqn: U]의 부분집합 중에서 [eqn: A != EMPTYSET]이고 [eqn: A != U]을 만족하는 [eqn: A]의 개수는 [eqn: 2 ^{6} -2=62], [eqn: B=U-A]이므로 [eqn: B]는 [eqn: A]에 따라 유일하게 결정된다. [eqn: THEREFORE ````62]개

30. [출제의도] 조합을 이용하여 함수의 개수 구하기

[해설] [eqn: f(1)], [eqn: f(2)], [eqn: f(3)], [eqn: f(4)]중에서

[eqn: (ⅰ)] 홀수가 한 개인 경우 → [eqn: {} _{4} rm C _{3} TIMES _{5} C _{1} =20]

[eqn: (ⅱ)] 홀수가 세 개인 경우 → [eqn: {} _{4} rm C _{1} TIMES _{5} rm C _{3} =40]

[eqn: (ⅰ)], [eqn: (ⅱ)]에 의하여 [eqn: 60]개

[나 형]

1	⑤	2	①	3	①	4	③	5	④
6	①	7	③	8	④	9	⑤	10	②
11	②	12	①	13	⑤	14	⑤	15	②
16	②	17	⑤	18	47	19	32	20	42
21	21	22	81	23	12	24	27	25	761
26	③	27	④	28	④	29	③	30	7

1. [출제의도] 수리‘가’형 1번과 같음

2. [출제의도] 수리‘가’형 2번과 같음

3. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 계산하기

[해설] (준식)[eqn: `=3 ^{{} _{{1} over {2}}} ÷3 ^{{} _{{3} over {2}}} TIMES 3 ^{2} =3]

4. [출제의도] 역행렬의 정의를 이용하여 역행렬 구하기

[해설] [eqn: A ^{2} -2A+E=O], [eqn: A(-A+2E)=E]이므로 [eqn: A ^{-1} =`-A+2E]이다. [eqn: p=-1], [eqn: q=2]이므로 [eqn: p+q=1]이다.

5. [출제의도] 수리‘가’형 5번과 같음

6. [출제의도] 행렬의 거듭제곱 이용하여 성분구하기

[해설] [eqn: A ^{2} =A ^{5}], [eqn: A ^{-1}]가 존재하므로 [eqn: A ^{3} =E], [eqn: E=A ^{2} A]이므로 [eqn: A= pmatrix{-2&-3#``````1&```````1}]이다. 성분의 합은 [eqn: -3]이다.

7. [출제의도] 수리‘가’형 7번과 같음

8. [출제의도] 수리‘가’형 8번과 같음

9. [출제의도] 부분합으로 표시된 수열의 일반항 구하기

[해설] [eqn: a _{n} =S _{n} -S _{n-1}]([eqn: n >= 2]), [eqn: a_{ 1}=S _{ 1}=4]이므로

[eqn: a _{n} =(2 CDOT 3 ^{n} -2)-(2 CDOT 3 ^{n-1} -2)=4 CDOT 3 ^{n-1}]

ㄱ. [eqn: a _{3} =36]

ㄴ. [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: 4], 공비 [eqn: 3]인 등비수열이다.

ㄷ. [eqn: LEFT { log _{10} `a _{n} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: LEFT { log _{10} 4 RIGHT }], 공차가[eqn: LEFT { log _{10} 3 RIGHT }]인 등차수열이다.

10. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 실생활문제 해결하기

[해설] 클릭 전 지도의 크기를 [eqn: A]라 하면 [eqn: a ^{3} A=2A]이므로 [eqn: a=2 ^{{} _{{1} over {3}}}]이며, [eqn: b ^{3} A= {1} over {2} A]이므로 [eqn: b=2 ^{{} _{- {1} over {3}}}]이다. 확대버튼 [eqn: 4]번, 축소버튼 [eqn: 2]번을 클릭하면

[eqn: a ^{4} b ^{2} A][eqn: =(2 ^{{} _{{1} over {3}}} ) ^{4} (2 ^{{} _{- {1} over {3}}} ) ^{2} A][eqn: =2 ^{{} _{{2} over {3}}} A] 이므로 [eqn: k=2 ^{{} _{{2} over {3}}}]

11. [출제의도] 수리‘가’형 11번과 같음

12. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수의 성질 이해하기

[해설] [eqn: log`` _{10} `3 ^{10} =10`log`` _{10} `3=4.771]이므로 [eqn: 3 ^{10}]은  [eqn: 5]자리 정수이고,

[eqn: log`` _{10} ` LEFT ( {3} over {10} RIGHT ) ^{10} =10`log`` _{10} `3-10=`-6+0.771]이므로 [eqn: LEFT ( {3} over {10} RIGHT ) ^{10}]은 소수점 아래 [eqn: 6]번째 자리에서 처음으로 [eqn: 0]이 아닌 수가 나타난다.  [eqn: THEREFORE] [eqn: 5+6=11]

13. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 표현하기

[해설] [eqn: a=log`` _{5} `2], [eqn: b=log`` _{5} `3]

[eqn: log`` _{6} `72= {3`log`` _{5} `2+2`log`` _{5} `3} over {log`` _{5} `2+log`` _{5} `3} = {3a+2b} over {a+b}]

14. [출제의도] 수리‘가’형 14번과 같음

15. [출제의도] 수리‘가’형 15번과 같음

16. [출제의도] 수리‘가’형 16번과 같음

17. [출제의도] 수리‘가’형 17번과 같음

18. [출제의도] 수리‘가’형 18번과 같음

19. [출제의도] 등비수열의 공비 구하기

[해설] [eqn: c _{n} =(3p ^{n-1} ) CDOT (-3q ^{n-1} )][eqn: =`-9(pq) ^{n-1}]이므로 [eqn: LEFT { c _{n} RIGHT }]은 첫째항[eqn: -9], 공비[eqn: pq]인 등비수열이다.

[eqn: c _{5} =4 sqrt {2} c _{3}]이므로 [eqn: -9(pq) ^{4} =4 sqrt {2} (-9)(pq) ^{2}]이다. [eqn: (pq) ^{2} =4 sqrt {2}]  [eqn: THEREFORE] [eqn: k=(pq) ^{4}][eqn: =(4 sqrt {2} ) ^{2} =32]

20. [출제의도] 무한등비급수의 수렴범위 구하기

[해설] 공비가 [eqn: {x-5} over {5}]이므로 [eqn: -1< {x-5} over {5} <1]

[eqn: 0<x<10]이며, [eqn: x=`-3]일 때도 수렴하므로 수렴하는 모든 정수 [eqn: x]의 합은 [eqn: 42]

21. [출제의도] 무한등비수열의 극한값 구하기

[해설][eqn: f LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) = lim _{n`` -> `` INF } {{LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) ^{n+2} -6 LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) +2} over {LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) ^{n} +1}} =5]

[eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) = lim _{n`` -> `` INF } {{4 ^{n+2} -6 CDOT 4+2} over {4 ^{n} +1}} =16]

[eqn: THEREFORE] [eqn: f LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) +f(4)=5+16=21]

22. [출제의도] 극한의 성질을 이용하여 극한값 구하기

[해설] (분자)[eqn: =(3n+1) ^{3} =27n ^{3} +27n ^{2} +9n+1]

(분모)[eqn: = sum _{k=1} ^{n} k(k+1)= sum _{k=1} ^{n} k ^{2} + sum _{k=1} ^{n} k]

[eqn: = {n(n+1)(2n+1)} over {6} + {n(n+1)} over {2}]이므로

(준식)[eqn: = lim _{n`` -> `` INF } {} {27n ^{3} +27n ^{2} +9n+1} over {{n(n+1)(2n+1)} over {6} + {n(n+1)} over {2}} =81]

23. [출제의도] 역행렬을 이용하여 행렬의 성분구하기

[해설][eqn: A LEFT ( pile{1#2} RIGHT ) = LEFT ( pile{2#3} RIGHT )], [eqn: A LEFT ( pile{3#4} RIGHT ) = LEFT ( pile{4#5} RIGHT )]이므로 [eqn: A pmatrix{1&3#2&4} = pmatrix{2&4#3&5}],

[eqn: A=`- {1} over {2} pmatrix{2&````4#3&````5} ` pmatrix{```4&-3#-2&```````1} `= pmatrix{``````0&````1#-1&````2}],

[eqn: A ^{2} = pmatrix{-1 & ````2 # -2 &````3}]

준식 [eqn: (A+A ^{2} ) LEFT ( pile{1#2} RIGHT ) = LEFT ( pile{5#7} RIGHT )]  [eqn: THEREFORE ````a+b=12]

24. [출제의도] 로그방정식의 해 구하기

[해설] 양변에 밑을 [eqn: 3]으로 하는 로그를 취하면

[eqn: log _{3} x ^{log _{3} x} =log _{3} 27x ^{3}]이며 [eqn: log _{3} x ^{log _{3} x}=(log_3 x)^2]

이므로 [eqn: (log_3 x)^2 -3log_3 x-3=0]

[eqn: t=log_3 x]라 하면 [eqn: t^2 -3t-3=0]은 서로 다른 두 실근을 가진다. 이를 [eqn: log _{3} alpha], [eqn: log _{3} beta]라 하면 두 근의 합은

[eqn: 3=log _{3} alpha +log _{3} beta =log _{3} alpha beta] 이므로 [eqn: alpha beta =27]이다.

25. [출제의도] 수리‘가’형 25번과 같음

26. [출제의도] 수열의 극한의 성질 이해하기

[해설] [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } :-1,````1,````-1,````1,` CDOTS]

[eqn: LEFT { b _{n} RIGHT } :1,````-1,````1,````-1,`` CDOTS]이므로

ㄱ. [eqn: lim _{n -> INF } {{a _{n}} over {b _{n}}} =-1]

ㄴ. [eqn: lim _{n -> INF } {(a _{n} +b _{n} )} =0]

ㄷ. [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]모두 발산하므로 성립하지 않는다.

27. [출제의도] 부분분수로 표현된 수열의 합 구하기

[해설] [eqn: a _{n} =3n-1]이므로

[eqn: {1} over {a _{k} a _{k+1}} = {1} over {3k-1} TIMES {1} over {3k+2}]이다.

[eqn: sum _{k=1} ^{10} {1} over {a _{k} `a _{k+1}} = sum _{k=1} ^{10} {1} over {3} LEFT ( {1} over {3k-1} - {1} over {3k+2} RIGHT )]

[eqn: = {1} over {3} LEFT ( {1} over {2} - {1} over {32} RIGHT ) = {5} over {32}]

28. [출제의도] 지수함수의 평행과 대칭이동 이해하기

[해설] ㄱ. [eqn: y-2=16 ^{-x- {3} over {2}} = LEFT ( {1} over {16} RIGHT ) ^{x+ {3} over {2}}]밑이 [eqn: {1} over {16}]이므로 평행, 대칭이동으로 일치하지 않는다.

ㄴ. 준식 → [eqn: y=x]에 대칭 → [eqn: y]축 방향으로 [eqn: -1]만큼 평행이동하면 ㄴ이 된다.

ㄷ. 준식 → [eqn: y=x]에 대칭 → [eqn: x]축 방향으로 [eqn: {3} over {2}], [eqn: y]축방향으로 [eqn: {1} over {2}]만큼 평행이동하면 ㄷ이 된다.

29. [출제의도] 행렬의 거듭제곱의 성질 이해하기

[해설] ㄱ. [eqn: (A ^{n} ) ^{2} =(A ^{2} ) ^{n} =A ^{n}]

[eqn: THEREFORE `A ^{n} IN X]

ㄴ. [eqn: left { (E-A) ^{n} right } ^{2} =left { (E-A) ^{2} right } ^{n}]

[eqn: =(E-2A+A ^{2} ) ^{n}]

[eqn: =(E-A)^n]

[eqn: THEREFORE `(E-A) ^{n} IN X]

ㄷ. (반례) [eqn: A= pmatrix{```````3&```````6#-1&-2}], [eqn: B= pmatrix{```````3&```````1#-6&-2}]일 때,

[eqn: AB= LEFT ( matrix{-27&```-9#```````9&`````````3} RIGHT ) != (AB) ^{2}]  [eqn: THEREFORE `AB NOTIN X]

30. [출제의도] 연립일차방정식과 행렬의 관계 이해하기

[해설] [eqn: pmatrix{a+2&`````-b-1#b+1&~~```a} LEFT ( pile{x#y} RIGHT ) = LEFT ( pile{0#0} RIGHT )]에서

[eqn: pmatrix{a+2&```-(b+1)#b+1&~~a}]의 역행렬이 존재하지 않아야 하므로

[eqn: a(a+2)+(b+1) ^{2} =0]이며, [eqn: (a,````b)]는 원의 방정식

[eqn: (a+1)^2 +(b+1)^2 =1]을 만족한다.

그림에서 [eqn: sqrt {(a-1) ^{2} `+(b-1) ^{2} `}]은 점 [eqn: (1,````1)]에서 원위의 점 [eqn: (a,````b)]까지의 거리이므로 최댓값은 [eqn: 2 sqrt {2} +1], 최솟값은 [eqn: 2 sqrt {2} -1]이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: (2 sqrt {2} +1)(2 sqrt {2} -1)=7]

[eqn: (1,````1)]

[eqn: 2 sqrt {2} -1]

[eqn: 2 sqrt {2} +1]

[eqn: (-1,``-1)]

[eqn: b]

[eqn: a]