◦ 먼저 수험생이 선택한 과목의 문제지인지 확인하시오.

◦ 문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오.

◦ 답안지에 수험 번호, 선택 과목, 답을 표기할 때에는 반드시 ‘수험생이 지켜야 할 일’에 따라 표기하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 ‘0’이 포함되면 그 ‘0’도 답란에 반드시 표시하시오.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

2008학년도 5월 고3 학업성취도평가 문제지

수리 영역(나형)

제 2 교시

성명			수험번호						3

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수리 영역(나형)

수리 영역(나형)

[eqn: log _{``2} `12 sqrt {2} -log _{``2} `3]의 값은? [2점]

8

①	[eqn: {1} over {2}]
②	[eqn: 1]
③	[eqn: {3} over {2}]
④	[eqn: 2]
⑤	[eqn: {5} over {2}]

행렬 [eqn: A``= pmatrix{`1`&`1`#`2`&`3`} `]에 대하여 [eqn: LEFT ( E```+`A RIGHT ) A ^{`-1} `]의 모든 성분의 합은? (단, [eqn: E`]는 단위행렬, [eqn: A ^{-1}]는 [eqn: A]의 역행렬이다.) [2점]

①  [eqn: 3]

②  [eqn: 4]

③  [eqn: 5]

④  [eqn: 6]

⑤  [eqn: 7]

[eqn: sqrt {9} ÷ sqrt {27} TIMES LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{-2}]의 값은? [2점]

[eqn: 4]

①	[eqn: 3]
②
③
④	[eqn: 9]
⑤

[eqn: 3 ^{{4} over {3}}]

[eqn: 3 ^{{5} over {3}}]

[eqn: 3 ^{{{7} over {3}}}]

[eqn: (A-E`) ^{2} `=O`]을 만족하는 이차정사각행렬 [eqn: A]에 대하여 [eqn: A]의 역행렬을 [eqn: p`A+q`E`]라 할 때, 두 실수 [eqn: p], [eqn: q]의 합 [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: E`]는 단위행렬, [eqn: O ^{{} ^{{} ^{{} }}}]는 영행렬이다.) [3점]

①	[eqn: -2]
②	[eqn: - {1} over {2}]
③	[eqn: 1]
④	[eqn: {5} over {2}]
⑤	[eqn: 4]

두 함수 [eqn: f(x)=2 ^{x}], [eqn: g(x)=log`` _{3} `x]에 대하여 옳은 것을 <보기>에서 모두 고르면? [3점]

		보 기
ㄱ. [eqn: f( sqrt {3} )= LEFT { f(3) RIGHT } ^{{1} over {2}}] ㄴ. [eqn: g(12)=`2`g(2)+1] ㄷ. [eqn: g` LEFT ( f` LEFT ( {3} over {2} RIGHT ) RIGHT ) `<1]

① ㄴ

② ㄷ

③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

이차정사각행렬 [eqn: A]가 [eqn: A ^{2} =A ^{5} = pmatrix{```````1&```````````3`#-1&````-2`}]를 만족할 때, [eqn: A]의 모든 성분의 합은? [3점]

① [eqn: -3]

② [eqn: -1]

③    [eqn: 1]

④    [eqn: 3]

⑤    [eqn: 5]

[eqn: x`>1]인 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: log`` _{10} ``x]의 지표를 [eqn: n`]이라 할 때,
옳은 것을 <보기>에서 모두 고르면? (단, [eqn: [`x]]는 [eqn: x`]를 넘지 않는
최대의 정수이다.) [3점]

		보 기
ㄱ. [eqn: [log` _{`10} ``x]=n] ㄴ. [eqn: log`` _{10} `1000x]의 지표는 [eqn: 3`n`]이다. ㄷ. [eqn: log`` _{10`} x``- LEFT [ log`` _{10`} x RIGHT ] `= {1} over {2}]이면 [eqn: x ^{2}]은 [eqn: 2n+2]자리 정수이다.

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: n >= 2]인 자연수 [eqn: n]에 대하여 다항식 [eqn: (x+1) ^{n}]을 [eqn: x ^{2} -3x+2]로
나눈 나머지를 [eqn: R(x)]라 할 때,  [eqn: lim _{n`` -> `` INF } {{R(0)} over {3 ^{n} +2 ^{n}}}]의 값은? [4점]

①    [eqn: 2]

②    [eqn: 1]

③    [eqn: 0]

④ [eqn: -1]

⑤ [eqn: -2]

수열 [eqn: left { a _{n} right }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합 [eqn: S _{n}]이 [eqn: S _{n} =2 CDOT 3 ^{n} -2`]
일 때, 옳은 것을 <보기>에서 모두 고르면? [3점]

		보 기
ㄱ. [eqn: a _{3} =36] ㄴ. [eqn: LEFT { a _{ n} RIGHT }]은 등비수열이다. ㄷ. [eqn: left { log _{`10} ``a _{n} right }]은 등차수열이다.

①  ㄱ

②  ㄴ

③  ㄱ, ㄴ

④  ㄴ, ㄷ

⑤  ㄱ, ㄴ, ㄷ

다음은 어느 인터넷 사이트의 지도 상단에 있는 버튼의 기능을 설명한 것이다.

Ⅰ.   버튼을 한 번 클릭할 때마다 지도가 [eqn: a]배로 확대되고, [eqn: 3]번 클릭하면  클릭 전의 [eqn: 2]배로 확대된다.

Ⅱ.   버튼을 한 번 클릭할 때마다 지도가 [eqn: b]배로 축소되고, [eqn: 3]번 클릭하면 클릭 전의 [eqn: {1} over {2}]배로 축소된다.

버튼을 [eqn: 4]번,  버튼을 [eqn: 2]번 클릭하면 클릭 전 지도의 [eqn: k]배가 된다. 이때 [eqn: k]의 값은? [3점]

①	[eqn: 2 ^{{1} over {3}}]
②	[eqn: 2 ^{{2} over {3}}]
③	[eqn: 2]
④	[eqn: 2 ^{{4} over {3}}]
⑤	[eqn: 2 ^{{5} over {3}}]

그림은 두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: `y=g(x)`]의 그래프이다. [eqn: `0<x<`e`]에서 로그부등식  [eqn: log`` _{f(x)} `g(x)``>1]를 만족하는 [eqn: x]값의 범위는? [4점]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: y=g(x)]

[eqn: rmboldO]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: a]

[eqn: b]

[eqn: c]

[eqn: e]

[eqn: d]

[eqn: 1]

① [eqn: 0<x<a]

② [eqn: a<x<b]

③ [eqn: b<x<c]

④ [eqn: c<x<d]

⑤ [eqn: d<x<e]

[eqn: 3 ^{10}]은 [eqn: m]자리 정수이고, [eqn: LEFT ( {3} over {10} RIGHT ) ^{10}]은 소수점 아래 [eqn: n]번째 자리에서
처음으로 [eqn: 0]이 아닌 숫자가 나타난다. 이때, [eqn: m+n]의 값은?
(단, [eqn: log`` _{10} `3=0.4771]) [3점]

① [eqn: 11]

② [eqn: 12]

③ [eqn: 13]

④ [eqn: 14]

⑤ [eqn: 15]

[eqn: 5 ^{a} =2], [eqn: 5 ^{b} =3]이라 할 때, [eqn: log`` _{6} `72]를 [eqn: a]와 [eqn: b]의 식으로 바르게
나타낸 것은? [3점]

① [eqn: {a+b} over {b-a}]

② [eqn: {2a+b} over {b-a}]

③ [eqn: {2a-b} over {a+b}]

④ [eqn: {2a+b} over {a+b}]

⑤ [eqn: {3a+2b} over {a+b}]

실수에서 정의된 함수 [eqn: y= {2 ^{x+3}} over {2 ^{2x} -2 ^{x} +1}]의 최댓값은? [4점]

①  [eqn: 4]

②  [eqn: 5]

③  [eqn: 6]

④  [eqn: 7]

⑤  [eqn: 8]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 행렬 [eqn: A(x)]를 [eqn: A(x)= pmatrix{x-1&````1#-1``&```````x+1}]이라 하자. 다음은 [eqn: n >= 2]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: LEFT { A(x) RIGHT } ^{n} =A(x ^{n} )+(nx ^{n-1} -1)A(0)]이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

[증명]

임의의 실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여

(가)

(나)

[eqn: A(x)A(y)=A(``````````````````````````````)+(``````````````````````````````)A(0)]  [eqn: CDOTS CDOTS][eqn: ㉠]

[eqn: (ⅰ)] [eqn: n=2]일 때,

[eqn: ㉠]에 의하여

[eqn: LEFT { A(x) RIGHT } ^{2} =A(x ^{2} )+(2x-1)A(0)]이 성립한다.

[eqn: (ⅱ)] [eqn: n=k]일 때 성립한다고 가정하면

[eqn: LEFT { A(x) RIGHT } ^{k} =A(x ^{k} )+(kx ^{k-1} -1)A(0)]이다.

(다)

[eqn: n=k+1]일 때 성립함을 보이자.

[eqn: LEFT { A(x) RIGHT } ^{k+1}]

[eqn: =A(x) LEFT { A(x) RIGHT } ^{k}]

[eqn: =A(x)A(x ^{k} )+(kx ^{k-1} -1)A(x)A(0)]

[eqn: =A(x ^{k+1} )+(x ^{k} +x-1)A(0)][eqn: +(kx ^{k-1} -1)`(``````````````````````````````)]

[eqn: =A(x ^{k+1} )+ LEFT { (k+1)x ^{k} -1 RIGHT } A(0)]

그러므로 [eqn: n=k+1] 일 때도 성립한다.

따라서 [eqn: n >= 2]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 주어진 등식은 성립한다.

(다)

이 증명에서 (가) ~ (다)에 알맞은 것을 바르게 짝지은 것은? [4점]

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: xy]	[eqn: x+y-1]	[eqn: A(0)]
②	[eqn: xy]	[eqn: x+y-1]	[eqn: x`A(0)]
③	[eqn: xy]	[eqn: x-y+1]	[eqn: A(0)]
④	[eqn: x+y]	[eqn: x+y-1]	[eqn: x`A(0)]
⑤	[eqn: x+y]	[eqn: x-y+1]	[eqn: `A(0)]

○○보고서에 의하면 [eqn: 2008]년 예상되는 세계 석유 소비량은 [eqn: a]이고, 전년도에 비해 매년 [eqn: 2%]씩 증가한다고 가정할 때, 매장된 석유는 [eqn: 2008]년부터 [eqn: 40]년 간 사용할 수 있는 양이라고 한다.

대체에너지 개발을 통해 [eqn: 2009]년부터 세계 석유 소비량을 전년도에 비해 매년 [eqn: 1%]씩 감소시킨다고 할 때, 석유가 완전히 고갈되는 해는? (단, [eqn: 1.02 ^{40} =2.208], [eqn: log`` _{10} `9.9=`0.9956], [eqn: log`` _{10} `3.96=`0.5977])

[4점]

① [eqn: 2095]

② [eqn: 2099]

③ [eqn: 2104]

④ [eqn: 2109]

⑤ [eqn: 2114]

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원에 내접하는 정사각형을 그린다. 원의 내부와 정사각형의 외부에 모두 접하는 가장 큰 원 [eqn: 4]개를 그려 어둡게 칠한다.

여기에 아래의 과정을 반복한다.

[과정]

Ⅰ. 안에 있는 정사각형에 내접하는 원을 그리고 그 원에 내접하는 정사각형을 그린다.

Ⅱ. 새로 그려진 원의 내부와 정사각형 외부에 모두 접하는 가장 큰 원 [eqn: 4]개를 그려 어둡게 칠한다.

정사각형이 [eqn: n]개 일 때, 어두운 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 하자. 이때, [eqn: lim _{n`` -> `` INF } {`S _{n}}]의 값은? [4점]

[[eqn: n=2]일 때]

[[eqn: n=3]일 때]

① [eqn: LEFT ( sqrt {13} ``-2 sqrt {3} RIGHT ) pi `]

② [eqn: LEFT ( 2 sqrt {3} ``- sqrt {11} RIGHT ) pi `]

③ [eqn: LEFT ( sqrt {11} - sqrt {10} RIGHT ) pi `]

④ [eqn: LEFT ( sqrt {10} -3 RIGHT ) pi `]

⑤ [eqn: LEFT ( 3-2 sqrt {2} RIGHT ) pi `]

단 답 형

등차수열 [eqn: left {a _{n} right }]에 대하여

[eqn: a _{1}= `1], [eqn: a _{1} -`a _{2} +`a _{3} +`a _{4} -`a _{5} +`a _{6} =17]일 때,  [eqn: a _{8} + a _{9}]의 값을 구하시오. [3점]

일반항이 [eqn: a _{n} =3`p ^{`n-1}],  [eqn: b _{n} =`-3`q ^{`n-1}]인 두 수열 [eqn: LEFT { a _{n`} RIGHT }], [eqn: ` LEFT { b _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: c _{n} =a _{n} CDOT b _{n}]인 수열 [eqn: LEFT { c _{n} RIGHT }]이 있다. [eqn: c _{5} =4 sqrt {2} `c _{3}]이고 [eqn: c _{9} =k`c _{5}] 일 때, 상수 [eqn: k]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`q != 0]) [3점]

무한급수

[eqn: {x+3} over {5} + {(x+3)(x-5)} over {5 ^{2}} + {(x+3)(x-5) ^{2}} over {5 ^{3}} +`` CDOTS `]이 수렴하도록

하는  모든 정수 [eqn: x`]의 합을 구하시오. [3점]

함수 [eqn: f(x)= lim _{n`` -> `` INF } {{x ^{n+2} `-6x+2} over {x ^{n} `+1}}]에 대하여 [eqn: f LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) +f(4)]의

값을 구하시오. [3점]

[eqn: lim _{n`` -> `` INF } {{(3n+1) ^{3}} over {1 CDOT 2+2 CDOT 3+` CDOTS `+n(n+1)}}]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: A pmatrix{1#2} = pmatrix{2#3}], [eqn: A ^{-1`} pmatrix{4#5} = pmatrix{3#4}]를 만족하는 이차정사각행렬 [eqn: A]에 대하여 [eqn: (A+A ^{2} `) pmatrix{1#2} = LEFT ( matrix{a#b} RIGHT )]라 할 때, [eqn: a+b`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: A ^{-1}]는 [eqn: A]의 역행렬이다.) [[eqn: 4]점]

방정식 [eqn: x ^{log` _{3} `x} =27`x ^{3}]의 모든 근의 곱을 구하시오. [[eqn: 4]점]

그림과 같이 크기가 같은 정육면체 모양의 블록을 쌓아 [eqn: 10]층의
탑모형을 만들었다. 탑모형의 위, 앞, 뒤, 오른쪽, 왼쪽에서 보이는
모든 정사각형 모양의 면에 자연수를 [eqn: 1]부터 차례대로 한 개씩
빠짐없이 썼을 때, 가장 큰 수를 구하시오. [4점]

5지선다형

두 무한수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ,`` LEFT { b _{n} RIGHT }]의 일반항이

[eqn: a _{n} =`cos`n pi],  [eqn: b _{n} =`sin {2n-1} over {2} pi]일 때, 옳은 것을 <보기>에서

모두 고르면? [4점]

		보 기
ㄱ. 수열 [eqn: left {{a _{n}} over {b _{n}} right }]은 수렴한다. ㄴ. 수열 [eqn: left {a _{n} +b _{n} right }]은 수렴한다. ㄷ. [eqn: lim _{n`` -> `` INF } {(a _{n} +b _{n} )} `= lim _{n`` -> `` INF } {a _{n} + lim _{n`` -> `` INF } {b _{n}}}]

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에서 [eqn: a _{1} =`2]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a _{n+1} =a _{n} +3]일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} {1} over {a _{k} `a _{k+1}}]의 값은? [3점]

①	[eqn: {7} over {64}]
②	[eqn: {1} over {8}]
③	[eqn: {9} over {64}]
④	[eqn: {5} over {32}]
⑤	[eqn: 11over64]

지수함수 [eqn: y=4 ^{x-2} -3]의 그래프를 평행이동 또는 대칭이동 하였을 때, 얻을 수 있는 함수를 <보기>에서 모두 고르면? (단, 이동 횟수와 순서는 제한하지 않는다.) [4점]

		보 기
ㄱ. [eqn: y= LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{2x+3} `+2] ㄴ. [eqn: y=` {1} over {2} `log`` _{2} (x+3)`+1] ㄷ. [eqn: y=`log`` _{4} (2x+3)`+2]

① ㄱ

② ㄷ

③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

이차정사각행렬 전체의 집합 [eqn: U`]에 대하여

집합 [eqn: X= LEFT { A`□`A ^{2} =A,```A IN U` RIGHT } `]일 때, 옳은 것을 <보기>에서

모두 고르면? (단, [eqn: E] 는 단위행렬이고, [eqn: n`]은 자연수이다.) [[eqn: 4]점]

		보 기
ㄱ. [eqn: A IN X] 이면 [eqn: A ^{n} IN X] 이다. ㄴ. [eqn: A IN X] 이면 [eqn: (E-A) ^{n} IN X] 이다. ㄷ. [eqn: A IN X], [eqn: B` IN X] 이면 [eqn: A`B` IN X`]이다.

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

단 답 형

[eqn: x], [eqn: y]에 대한 연립방정식

[eqn: cases{LEFT ( a+2 RIGHT ) x-by=y`#{} ^{{} ^{{} ^{{} ^{{} ^{{} ^{{} ^{{} ^{{} ^{}}}}}}}}}#(b+3)x+ay=2x`}]

가 [eqn: x=0], [eqn: y=0`] 이외의 해를 가질 때, [eqn: sqrt {(a-1) ^{2} `+(b-1) ^{2} `}]의 최댓값과 최솟값의 곱을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 실수이다.) [[eqn: 4]점]

※ 확인사항

○ 문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.