• 2교시 수리 영역 •

2008학년도 4월 고3 전국연합학력평가

정답 및 해설

[가 형]

1	③	2	①	3	④	4	②	5	①
6	③	7	⑤	8	⑤	9	④	10	①
11	④	12	②	13	②	14	③	15	③
16	③	17	⑤	18	8	19	415	20	15
21	48	22	37	23	36	24	18	25	512

1. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 값 구하기

[해설] [eqn: 2 ^{{5} over {3}} TIMES 2 ^{{1} over {2}} ÷2 ^{{2} over {3}} =2 ^{{3} over {2}} =2 sqrt {2}]

2. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 계산하기

[해설] [eqn: log _{`2} ` LEFT ( {2} over {9} TIMES 12 ^{2} RIGHT ) =log _{2} 2 ^{5} =5]

3. [출제의도] 무한수열의 극한값 구하기

[해설] [eqn: 2 ^{n-1}] 으로 분모와 분자를 나누어 정리하면

[eqn: lim _{n -> INF } {{4+ LEFT ( {1} over {6} RIGHT ) ^{n-1}} over {1+ {1} over {3} LEFT ( {1} over {6} RIGHT ) ^{n-1}} =4}]

4. [출제의도] 지수함수 이해하기

[해설] ㄱ. [eqn: x<0]일때, [eqn: g(x)<f(x)] (거짓)

ㄴ. [eqn: 12f(x)g(x)=12 CDOT 2 ^{x} CDOT 3 ^{x}=2 ^{x+2}cdot3 ^{x+1}]

[eqn: =f(x+2)g(x+1)] (참)

ㄷ. [eqn: y=f(-2x)g(x)=2 ^{-2x} cdot 3 ^{x} = LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{x}]는 감소  (거짓)

5. [출제의도] 연립방정식의 해와 역행렬의 관계 이해하기

[해설] 주어진 연립방정식을 정리하면

[eqn: pmatrix{LEFT | a RIGHT | -3```````&LEFT | b RIGHT |#-3 `````&2} pmatrix{x#y} = pmatrix{0#0}]이고

[eqn: pmatrix{LEFT | a RIGHT | -3```````&LEFT | b RIGHT |#-3`````&2} }]의 역행렬이 존재하지 않으므로

[eqn: 2 LEFT | a RIGHT | +3 LEFT | b RIGHT | =6]이다. 점 [eqn: {rmP}(a,``b)]를 좌표평면위에 나타내면

[eqn: a]

[eqn: -2]

[eqn: 3]

[eqn: 2]

[eqn: -3]

[eqn: b]

[eqn: rm O]

[eqn: THEREFORE]도형의 둘레의 길이는 [eqn: 4 sqrt {13}]

6. [출제의도] 로그방정식의 해 구하기

[해설] 주어진 로그방정식을 정리하면

[eqn: log _{10} LEFT ( y+5 RIGHT ) =log _{10} x LEFT ( y+1 RIGHT )]이므로

[eqn: y+5=xy+x]이다.

[eqn: xy+x-y-5=0], [eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( y+1 RIGHT ) =4]이므로

[eqn: x>0], [eqn: y>-1]인 정수 [eqn: x], [eqn: y]의 순서쌍은

[eqn: LEFT ( 2,``3 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 3,``1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 5,``0 RIGHT )]이다.

7. [출제의도] 로그의 대소관계 이해하기

[해설] Ⅰ에서 [eqn: log _{10} A>log _{10} B``]이므로 [eqn: A>B]

Ⅱ에서 [eqn: log _{10} A-log _{10} B=log _{10} B-log _{10} C``]이고

Ⅰ에 의해 [eqn: log _{10} B-log _{10} C>0]이므로 [eqn: B>C]

[eqn: THEREFORE ``C<B<A]

8. [출제의도] 합성함수의 연속성 이해하기

[해설] ㄱ. [eqn: g(f(0))=g(0)=0] (참)

ㄴ. [eqn: lim _{x``-> ``0} {g(f(x))=0}], [eqn: g(f(0))=0]이므로 [eqn: x=0]에서 연속 (참)

ㄷ. [eqn: y=g(x)]가 [eqn: x=1]에서 불연속이므로 주어진 구간에서 [eqn: y=g(f(x))]는 [eqn: f(x)=1]인 [eqn: x= {1} over {2}]에서 불연속,

[eqn: lim _{x`` -> ``2+0} {g(f(x))=`-1}], [eqn: lim _{x`` -> ``2-0} {g(f(x))=`-2}]

이므로 [eqn: x=2]에서 불연속,

구간내의 이외의 점에서는 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=g(x)]가 모두 연속이므로 [eqn: y=g(f(x))]는 연속 (참)

9. [출제의도] 조건부확률 구하기

[해설] 노란 공을 꺼내는 사건을 [eqn: rmA], 노트북컴퓨터가 있는 문을 택하는 사건을  [eqn: rmB]라 하면,

[eqn: rm P(A|B)= {P(A SMALLINTER B)} over {P(B)} = {{4} over {5} TIMES {1} over {3}} over {{4} over {5} TIMES {1} over {3} + {1} over {5} TIMES {1} over {2}} = {8} over {11}]

10. [출제의도] 행렬의 거듭제곱의 성질 이해하기

[해설] ㄱ. [eqn: A ^{-1} =`-A]이고 [eqn: A ^{2} =`-E``]이므로

[eqn: A ^{3} =`-A], [eqn: LEFT ( A ^{-1} RIGHT ) ^{3} =(-A) ^{3} =A]이다.

따라서, [eqn: A ^{3} + LEFT ( A ^{-1} RIGHT ) ^{3} =O] (참)

ㄴ. (반례) [eqn: n=2]일 때, [eqn: A ^{4} + LEFT ( A ^{-1} RIGHT ) ^{4} =2E] (거짓)

ㄷ. (반례) [eqn: n=2]일 때, [eqn: A ^{10} + LEFT ( A ^{-1} RIGHT ) ^{10} =-2E] (거짓)

11. [출제의도] 순열을 이용하여 확률 계산하기

[해설] 바둑돌이 [eqn: 5]회 이동으로 [eqn: rmA]지점으로 이동하는 것은

ⅰ) 왼쪽 3회, 오른쪽 1회, 아래쪽1회로 이동하는 경우

[eqn: {5!} over {3!} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{4} LEFT ( {1} over {6} RIGHT ) = {10} over {3 ^{5}}]

ⅱ) 왼쪽 2회, 아래쪽 2회, 위쪽1회로 이동하는 경우

[eqn: {5!} over {2! CDOT 2!} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{2} LEFT ( {1} over {6} RIGHT ) ^{3} = {5} over {2 ^{2} CDOT `3 ^{4}}]

ⅰ),ⅱ)에 의하여 [eqn: {10} over {3 ^{5}} + {5} over {2 ^{2} CDOT `3 ^{4}} = {55} over {972}]

12. [출제의도] 무한수열의 극한값 구하기

[해설] 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =4 ^{n} +1]위의 점 [eqn: {rm P it } _{n} (2 ^{n} ,````1)]에서의 접선의 방정식은 [eqn: y=-2^n x+4^n +1]이므로 점 [eqn: {rm Q} _{n}}]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 2 ^{n} `+2 ^{-n} `,`0 RIGHT )]이다. 삼각형[eqn: rm{OP}_{itn} rm{Q}_{itn}]의 넓이 [eqn: S _{n} =`2 ^{n-1} +2 ^{-n-1} `]이므로

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {` {S _{n+1}} over {S _{n}}][eqn: =` lim _{n` -> ` INF } {` {2 ^{n} +2 ^{-n-2}} over {2 ^{n-1} +2 ^{-n-1}} `}=2]

13. [출제의도] 정규분포의 확률밀도함수 이해하기

[해설] [eqn: f(100-x)=f(100+x)]이므로 [eqn: f(x)]는

[eqn: x=100]에 대하여 대칭이다. [eqn: THEREFORE ``m=100]

[eqn: rm P it (100 <= X <= 108)= rm P it (0 <= Z <= 2)=0.4772] [eqn: {108-100} over {sigma } =2]  [eqn: THEREFORE `` sigma =4]

[eqn: rm P it (94 <= X <= 110)= rm P it LEFT ( -1.5 <= Z <= 2.5 RIGHT ) =0.9270]

14. [출제의도] 같은 것을 포함하는 순열의 수 구하기

[해설] 차가 [eqn: 4]의 배수인 두 자연수는 이진법의 수로 표현 했을 때, [eqn: 2 ^{1}]의 자리의 수와 [eqn: 2 ^{0}]의 자리의 수가 같아야 한다.

ⅰ) [eqn: 2 ^{1}], [eqn: 2 ^{0}]의 자리의 수가 [eqn: 0], [eqn: 0]인 수(‘[eqn: 1]’을 [eqn: 4]개 배열하는 방법)를 순서쌍으로 정하는 경우 : [eqn: 1 TIMES 1=1]가지

ⅱ) [eqn: 2 ^{1}], [eqn: 2 ^{0}]의 자리의 수가 [eqn: 0], [eqn: 1] 또는 [eqn: 1], [eqn: 0]인 수(‘[eqn: 1]’을 [eqn: 3]개, ‘[eqn: 0]’을 [eqn: 1]개 배열하는 방법)를 순서쌍으로 정하는 경우  [eqn: LEFT ( {4!} over {3!} TIMES {4!} over {3!} RIGHT ) + LEFT ( {4!} over {3!} TIMES {4!} over {3!} RIGHT ) =32] 가지

ⅲ) [eqn: 2 ^{1}], [eqn: 2 ^{0}]의 자리의 수가 [eqn: 1], [eqn: 1]인 수(‘[eqn: 1]’을 [eqn: 2]개, ‘[eqn: 0]’을 [eqn: 2]개 배열하는 방법)를 순서쌍으로 정하는 경우

[eqn: {4!} over {2! CDOT 2!} TIMES {4!} over {2! CDOT 2!} =36] 가지

ⅰ), ⅱ), ⅲ)에 의하여 [eqn: 1+32+36=69]

15. [출제의도] 여러 가지 수열의 합 구하기

[해설] 그래프가 지나는 정사각형 내부에 있는 수들의 합을 [eqn: S]라 하면

[eqn: S= LEFT ( 1+2+3+ CDOTS +109 RIGHT )][eqn: -(2+6+12+ CDOTS +90)]

[eqn: = sum _{k=1} ^{109} k- sum _{k=1} ^{9} LEFT ( k+k ^{2} RIGHT )][eqn: =5665]

16. [출제의도] 수학적귀납법으로 증명하기

[해설] (가) [eqn: {1} over {k+1}], (나) [eqn: >], (다) [eqn: 2k-1]

17. [출제의도] 무한등비급수의 합 구하기

[해설] [eqn: k]번째 만들어진 정육각형 [eqn: rm{H} _{itk}]와 [eqn: k+1]번째 만들어진 정육각형 [eqn: rm H _{it k+1 rm}]의 한 변의 길이를 각각 [eqn: a _{k}], [eqn: a _{k+1}]이라 하면

[eqn: a _{k}]

[eqn: 30°]

[eqn: a _{k+1}]

[eqn: a _{k+1} `cos30 DEG = {1} over {2} a _{k} `]   ∴ [eqn: a _{k+1} = {1} over {sqrt {3}} a _{k}]

길이의 비가 [eqn: {1} over {sqrt {3}}] 이므로 넓이의 비는 [eqn: {1} over {3}]이고 첫 번째 과정에서 생기는 [eqn: 6]개의 정삼각형의 넓이의 합은 [eqn: 6 TIMES {sqrt {3}} over {4} LEFT ( sqrt {3} RIGHT ) ^{2} = {9} over {2} sqrt {3}] 이다.  모든 정삼각형의 넓이의 합은 첫째항이 [eqn: {9} over {2} sqrt {3}]이고, 공비가 [eqn: {1} over {3}]인 무한 등비급수의 합이므로  ∴ [eqn: {{9} over {2} sqrt {3}} over {1- {1} over {3}} = {27} over {4} sqrt {3}]

18. [출제의도] 행렬의 연산을 이용하여 성분 구하기

[해설] [eqn: A= pmatrix{`2-k``&``6#-7&``7}], [eqn: B=` pmatrix{k-1&````-6#7&````-6}]

[eqn: AB= pmatrix{40+3k-k ^{2}&`````6k-48#56-7k&````0} =O]이므로

[eqn: THEREFORE ``k=8]

19. [출제의도] 이항분포에서 평균과 분산 이해하기

[해설] 확률변수 [eqn: X]는 이항분포 [eqn: rm B LEFT ( 80,` {1} over {4} RIGHT )]을 따르므로

[eqn: rm E( it X)=80 TIMES {1} over {4} =20], [eqn: rm V( it X)=80 TIMES {1} over {4} TIMES {3} over {4} =15]

[eqn: rm E( it X ^{2} )=][eqn: rm V( it X)+ LEFT {rm{E}(it X) RIGHT }^2 = 15+400=415]

20. [출제의도] 분수방정식의 해 구하기

[해설] [eqn: {g(x) LEFT { g(x)-f(x) RIGHT }} over {f(x)} =0]

⇔ [eqn: g(x)=0], [eqn: g(x)-f(x)=0], [eqn: f(x)!=0]

∴ [eqn: 1+3+5+6=15]

21. [출제의도] 무리함수의 극한값 구하기

[해설] [eqn: lim _{x-> 3} {(x-3)=0}]이므로

[eqn: lim _{x-> 3} {(a sqrt {x+6} -b)=0}]이고 [eqn: b=3a]이다.

[eqn: lim _{x -> 3} {{a sqrt {x+6} -3a} over {x-3}} = {a} over {6} =2]

[eqn: THEREFOREa=12], [eqn: b=36]

22. [출제의도] 분수부등식의 해 구하기

[해설] (준식)[eqn: LRARROW ``x !=5], [eqn: (x-2)(x-10)<0]

[eqn: LRARROW ``x !=5], [eqn: 2<x<10]

부등식을 만족하는 정수는 [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 6], [eqn: 7], [eqn: 8], [eqn: 9]이다.

23. [출제의도] 중간값의 정리 이해하기

[해설] [eqn: h(x)=f(x)-g(x)]라고 하면

[eqn: h(x)=x ^{5} +2x ^{2} +k-3]

[eqn: x>0]에서 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]는 연속이고 증가하므로

[eqn: h LEFT ( 1 RIGHT ) h LEFT ( 2 RIGHT ) =k(k+37)<0]이면 구간[eqn: (1,````2)]에서 실근을 갖는다.

[eqn: -37<k<0]인 정수 [eqn: k]는 [eqn: 36]개

24. [출제의도] 분수부등식을 이용하여 문제 해결하기

[해설] 전체 거리를 [eqn: 3l], 달리기 구간의 속력을 시속 [eqn: a]km라고 하면

[eqn: {l} over {30} + {l} over {9} + {l} over {a} <= {3l} over {15}], [eqn: {1} over {a} <= {1} over {18}] [eqn: THEREFORE ``a >= 18]

25. [출제의도] 등비수열의 항의 값 구하기

[해설] 원 [eqn: rm C _{ itk}]의 반지름을 [eqn: r_{ k}], 넓이를 [eqn: S_{ k}], 원 [eqn: rm C _{ itk+1}]의 반지름을 [eqn: r_{ k+1}], 넓이를 [eqn: S_{ k+1}]이라 하면,

[eqn: r _{k+1}]

[eqn: r _{k+1} -r _{k}]

[eqn: {rm C}_{ k}]

[eqn: {rm C } _{k+1}]

[eqn: {r _{k+1} -r _{k}} over {r _{k+1}} =p](상수), [eqn: r _{k+1} = {1} over {1-p} r _{k}]

수열 [eqn: LEFT { r _{k} RIGHT }]가 등비수열이므로 수열 [eqn: LEFT {S _{k} RIGHT }]도 등비수열이고, [eqn: LEFT {S _{k} RIGHT }]의 공비를 [eqn: a]라 하면

[eqn: S _{1} =1], [eqn: S _{5} =a ^{4} =4]이므로 [eqn: a^2 =2]

[eqn: THEREFORE S _{19} =a ^{18} =2 ^{9} =512]

[미분과 적분]

26	①	27	②	28	④	29	⑤	30	11

26. [출제의도] 삼각함수의 합성을 이용한 최대값 구하기

[해설] [eqn: ANGLE rmDBC= theta], 사각형[eqn: rm ABCD]의 넓이를 [eqn: S]라 하면

[eqn: S= {1} over {2} TIMES 5 TIMES 6 TIMES sin theta + {1} over {2} TIMES 4 TIMES 6 TIMES sin LEFT ( {pi } over {2} - theta RIGHT )]

[eqn: =15sin theta+12cos theta][eqn: =3 sqrt {41} `sin( theta + alpha )]

(단, [eqn: cos` alpha = {5} over {sqrt {41}}], [eqn: sin` alpha = {4} over {sqrt {41}}])

따라서, 최대값은 [eqn: 3 sqrt {41}]이다.

27. [출제의도] 합의 공식 이용하여 식 정리하기

[해설] [eqn: sin alpha +cos beta=-sin gamma]과

[eqn: cosalpha +sin beta =-cos gamma]의 양변을 제곱하여 더하면

[eqn: 2+2sin( alpha + beta )=1]  [eqn: THEREFORE `sin( alpha + beta )=- {1} over {2}]

28. [출제의도] 삼각방정식의 해 구하기

[해설]

[eqn: (sinx-cosx)(4sin ^{2} x+4sinx`cosx+4cos ^{2} x-3)=0]

[eqn: sqrt {2} `sin LEFT ( x- {pi } over {4} RIGHT ) (2sin2x+1)=0]

[eqn: sin LEFT ( x- {pi } over {4} RIGHT ) =0] 또는 [eqn: sin2x=- {1} over {2}]

[eqn: x=n pi + {pi } over {4}] 또는 [eqn: x= {n pi } over {2} +(-1) ^{n} {7} over {12} pi]

따라서 [eqn: 0≦x≦ pi] 이므로, 해는 [eqn: {pi } over {4}], [eqn: {7} over {12} pi], [eqn: {11} over {12} pi]

29. [출제의도] 삼각함수의 합을 곱으로 고쳐 계산하기

[해설] [eqn: tan {theta } over {2} = {1} over {2}] [eqn: (0< theta < {pi } over {2} )]이므로

[eqn: sin {theta } over {2} = {sqrt {5}} over {5}], [eqn: cos {theta } over {2} = {2 sqrt {5}} over {5}]이다.

[eqn: sin {theta } over {2} +sin {3 theta } over {2}][eqn: =2sin theta cos {theta } over {2}][eqn: =4sin {theta } over {2} `cos ^{2} {theta } over {2}]

[eqn: =4 TIMES {sqrt {5}} over {5} TIMES {4} over {5} = {16 sqrt {5}} over {25}]

30. [출제의도] 반각의 공식 이용하여 값 구하기

[해설] 삼각형[eqn: rm EAB]가 이등변삼각형이므로 [eqn: beta = {alpha } over {2}], [eqn: sin alpha = {3} over {5}] [eqn: LEFT ( 0< alpha < {pi } over {2} RIGHT )]이므로 [eqn: cos alpha = {4} over {5}]

[eqn: sin ^{2} beta =sin ^{2} {alpha } over {2}][eqn: = {1-cos alpha } over {2}][eqn: = {1} over {10}] [eqn: THEREFORE a+b=11]

[확률과 통계]

26	④	27	②	28	③	29	④	30	31

26. [출제의도] 누적상대도수 이해하기

[해설] 사용시간이 [eqn: 50]시간 미만인 학생수가 [eqn: 15]명이므로

[eqn: A= {15} over {25} =0.60]

27. [출제의도] 도수분포표작성 방법 이해하기

[해설] [eqn: n=100]이고 [eqn: 1+3.3`log`` _{10} `100=7.6]이므로    [eqn: a=8]

최대값 [eqn: 223], 최소값 [eqn: 67], [eqn: {223-67} over {8} =19.5]

[eqn: b=20] [eqn: THEREFORE a+b=28]

28. [출제의도] 히스토그램 이해하기

[해설] ㄱ. 범위는 [eqn: 50]초과 [eqn: 70]이하의 값을 갖는다. (참)

ㄴ. [eqn: 70]점 이상인 학생수는 [eqn: 26]명이므로 전체의 [eqn: 26%]이다. (거짓)

ㄷ. 중앙값이 속하는 계급은 [eqn: 40]이상 [eqn: 50]미만이므로 상대도수는 [eqn: 0.30]이다. (참)

29. [출제의도] 전체집단의 분산 구하기

[해설] 여학생의 수를 [eqn: N], 남학생의 평균을 [eqn: m], 남학생들의 점수를 [eqn: x _{i}], 여학생들의 점수를 [eqn: y _{i}]라 하면

전체학생의 분산은

[eqn: {1} over {3N} LEFT ( sum _{i=1} ^{2N} x _{i} ^{2} + sum _{i=1} ^{N} y _{i} ^{2} RIGHT ) - left { {1} over {3N} LEFT ( sum _{i=1} ^{2N} x _{i} + sum _{i=1} ^{N} y _{i} RIGHT ) right } ^{2}]

[eqn: LEFT . = {2N(m ^{2} +15)+N LEFT { (m+3) ^{2} +12 RIGHT }} over {3N}][eqn: - LEFT ( {2mN+(m+3)N} over {3N} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: = {3m ^{2} +6m+51} over {3} - {3m ^{2} +6m+3} over {3}][eqn: =16]

30. [출제의도] 줄기와 잎 그림 이해하기

[해설] 중앙값이 [eqn: 33]이므로 [eqn: a=3],

최빈값이 [eqn: 35]이므로 [eqn: b=c=5]

평균 [eqn: m=][eqn: {자료의````총합} over {자료의````수}][eqn: =31]

[이산수학]

26	①	27	⑤	28	②	29	④	30	432

26. [출제의도] 조합을 이용하여 경우의 수 구하기

[해설] 조건Ⅱ에 의하여 순서가 정해지므로

[eqn: 1],[eqn: 2],[eqn: 3],[eqn: 4]에서 [eqn: 3]개를 선택하는 방법의 수는 [eqn: rm {} _{4} C _{3} =4]

[eqn: 6],[eqn: 7]에서 [eqn: 1]개를 선택하는 방법의 수는 [eqn: rm {} _{2} C _{1} =2]

[eqn: THEREFORE][eqn: rm {} _{4} C _{3} TIMES _{2} C _{1} =8]

27. [출제의도] 순열을 이용하여 경우의 수 구하기

[해설] 한 사람씩 순서대로 상담하므로 [eqn: 6]명을 일렬로 배열하는 방법의 수와 같다.(앞에 배열된 [eqn: 4]명은 첫째 날, 나머지는 둘째 날 상담한다)  [eqn: THEREFORE `6`!`=720]

28. [출제의도] 순열을 이용하여 경우의 수 구하기

[해설] (ⅰ)원 내부영역에 칠할 [eqn: 4]가지 색을 선택하고 칠하는 방법의 수는 [eqn: rm {} _{8} C _{4} TIMES (4-1)!]

(ⅱ)나머지 [eqn: 4]가지 색을 원 외부 [eqn: 4]영역에 칠하는 방법의 수는 [eqn: 4!]

(ⅰ),(ⅱ)에 의하여 [eqn: rm {} _{8} C _{4} TIMES (4-1)!][eqn: TIMES 4 ! = {8!} over {4}]

29. [출제의도] 순열과 조합을 이용하여 경우의 수 구하기

[해설] [eqn: n(A-B)=2]를 만족하는 경우에서

[eqn: 1∊A SMALLINTER B]인 경우를 제외한다.

[eqn: n(A-B)=2]를 만족하는 경우는 [eqn: rm {} _{6} C _{2} TIMES 3 ^{4}]

[eqn: 1∊A SMALLINTER B], [eqn: n(A-B)=2]인 경우는 [eqn: rm {} _{5} C _{2} TIMES 3 ^{3}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: rm {} _{6} C _{2} TIMES 3 ^{4}][eqn: -][eqn: rm {} _{5} C _{2} TIMES 3 ^{3}][eqn: =945]

30. [출제의도] 순열을 이용하여 경우의 수 구하기

[해설]

ⓐ	ⓑ	ⓒ
ⓓ	[eqn: 2]	ⓔ
ⓕ	ⓖ	[eqn: 7]

그림에서 [eqn: 3]의 배수가 배열되어야 하는 위치는 (ⓐ, ⓖ, ⓔ),(ⓓ, ⓖ, ⓒ),(ⓕ, ⓑ, ⓔ)인 [eqn: 3]가지 경우이고 이 위치에 [eqn: 3]의 배수를 배열하고 나머지 빈칸에 [eqn: 3]의 배수가 아닌 네 수를 배열하면 완성되므로   [eqn: 3 TIMES 3! TIMES 4!`=432]

[나 형]

1	③	2	①	3	②	4	④	5	①
6	⑤	7	③	8	⑤	9	①	10	①
11	⑤	12	②	13	②	14	④	15	③
16	③	17	⑤	18	8	19	100	20	13
21	27	22	17	23	24	24	160	25	512
26	③	27	②	28	④	29	④	30	192

1. [출제의도] 수리‘가’형 1번과 같음

2. [출제의도] 수리‘가’형 2번과 같음

3. [출제의도] 역행렬 계산 및 행렬의 연산하기

[해설] [eqn: (A ^{} -B ^{-1} )A ^{-1} =E-(AB) ^{-1}]

[eqn: = pmatrix{1&0#0&1} -{ pmatrix{7&`18#5&13} } ^{-1} = pmatrix{-12`&``````18#```````5&``-6`}]

[eqn: THEREFORE]모든 성분의 합은 [eqn: 5]

4. [출제의도] 수열의 극한값 구하기

[해설] 준식[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {{(a-b)n+1} over {sqrt {n ^{2} +an+3} + sqrt {n ^{2} +bn+2}}}]

[eqn: = {a-b} over {2} =5] [eqn: THEREFORE ``][eqn: a-b=10]

5. [출제의도] 수리‘가’형 5번과 같음

6. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 식의 값 구하기

[해설] [eqn: LEFT . x ^{2} +4=2 ^{{1} over {4}} +2+2 ^{- {1} over {4}} RIGHT . =][eqn: left(2 ^{{1} over {8}} +2 ^{- {1} over {8}} right) ^{2}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: sqrt {x ^{2} +4} =2 ^{{1} over {8}} +2 ^{- {1} over {8}} = root {8} of {2} + {1} over {root {8} of {2}}]

7.  [출제의도] 지표와 가수의 성질 이해하기

[해설] ㄱ. [eqn: n= alpha =0][eqn: LRARROW] [eqn: log _{10} A=0] [eqn: LRARROW][eqn: A=1] (참)

ㄴ. [eqn: alpha !=0]일 때,

[eqn: log _{10} 10A=1+n+ alpha]의 가수는 [eqn: alpha]

[eqn: log _{10} {10} over {A} =`-n+(1- alpha )]의 가수는 [eqn: 1- alpha] (거짓)

ㄷ. [eqn: log _{10} 100A]의 지표는 [eqn: 2+n],

[eqn: log _{10} {A} over {100} =n+ alpha -2]의 지표는 [eqn: n-2]

[eqn: THEREFORE]지표의 합은 [eqn: 2n] (참)

8. [출제의도] 역행렬을 이용하여 거듭제곱 계산하기

[해설] [eqn: A]의 역행렬이 [eqn: A-E]이므로 [eqn: A(A-E)=E]이다. [eqn: A ^{2} =A+E]에서

[eqn: A ^{3} =A ^{2} +A=A+E+A=2A+E]

9. [출제의도] 부분분수로 표현되는 무한급수의 합 구하기

[해설] 수열의 일반항을 [eqn: a_n], [eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 하면

[eqn: a_n = {n over{(n^2 -n+1)(n^2 +n +1) }]

[eqn: S _{n} = sum _{k=1} ^{n} {1} over {2} LEFT ( {1} over {k ^{2} -k+1} - {1} over {k ^{2} +k+1} RIGHT )]

[eqn: = {1} over {2} LEFT { LEFT ( 1- {1} over {3} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {3} - {1} over {7} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {7} - {1} over {13} RIGHT ) +]

[eqn: LEFT. CDOTS + LEFT ( {1} over {n ^{2} -n+1} - {1} over {n ^{2} +n+1} RIGHT ) RIGHT }]

= [eqn: {1} over {2} left(1- {1} over {n ^{2} +n+1}right )]  [eqn: THEREFORE][eqn: lim _{n -> INF } {S _{n} = {1} over {2}}]

10. [출제의도] 수리‘가’형 10번과 같음

11. [출제의도] 역행렬 갖지 않을 조건 구하기

[해설] 행렬 [eqn: pmatrix { x-1&y # 0& x+2}]가 역행렬을 갖지 않으므로

[eqn: (x-1)(x+2) = 0] [eqn: THEREFORE x =1,~x=-2]

[eqn: {rmP}(x,~y)]가 [eqn: x^2 + y^2 = 4]위의 점이므로

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: y]

[eqn: (1, ````sqrt {3} `)]

[eqn: (1,````- sqrt {3} `)]

[eqn: (-2,~0)]

[eqn: THEREFORE alpha = piover3 ,~ pi,~ 5pi over3]이므로 [eqn: alpha]의 합은 [eqn: 3pi]

12. [출제의도] 수리‘가’형 12번과 같음

13. [출제의도] 무한수열의 성질 이해하기

[해설] ㄱ. (반례) 수열 [eqn: 1,~0,~1,~0,~1,~0,~ CDOTS]에서

[eqn: lim _{ n->inf} {a_2n = 0 }]으로 수렴하지만 [eqn: lim _{ n->inf} {a_n]은 발산한다. (거짓)

ㄴ.[eqn: lim _{n -> INF } {a _{n}}]이 수렴하면 [eqn: lim _{n -> INF } {a _{n}} = lim _{n -> INF } {a _{n-1}}]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {a _{2n}} = lim _{n -> INF } {a _{2n-1}}] (참)

ㄷ. (반례) 수열 [eqn: -1,~1,~- {1} over {2} ,~ {1} over {2} ,~- {1} over {3} ,~ {1} over {3} ,~ CDOTS]에서 [eqn: sum _{ n=1} ^{inf } a_n = 0]으로 수렴하지만 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{2n} =` INF]이므로 발산한다. (거짓)

14. [출제의도] 등비수열의 합을 이용하여 원리합계 구하기

[해설] [eqn: n]월 말에 통장에 남아있는 잔액을 [eqn: a _{n}]이라 하면

[eqn: a _{1} =1000 TIMES 1.005-50]

[eqn: a _{2} =a _{1} TIMES 1.005-50]

[eqn: =1000 TIMES 1.005 ^{2} -50(1.005+1)]

[eqn: a _{3} =a _{2} TIMES 1.005-50]

[eqn: =1000 TIMES 1.005 ^{3} -50(1.005 ^{2} +1.005+1)]

[eqn: VDOTS]

[eqn: a _{12} =a _{11} TIMES 1.005-50][eqn: =1000 TIMES 1.005 ^{12} -50(1.005 ^{11} +` CDOTS +1.005`+1)]

[eqn: =444.7]

15. [출제의도] 수리‘가’형 15번과 같음

16. [출제의도] 수리‘가’형 16번과 같음

17. [출제의도] 수리‘가’형 17번과 같음

18. [출제의도] 수리‘가’형 18번과 같음

19. [출제의도] 상용로그를 이용하여 실생활문제 해결하기

[해설] [eqn: D =2]이므로 [eqn: 2 = log_10 {I_0 }overI], [eqn: I_0 over I = 100]

[eqn: THEREFORE I_0 = 100I]  [eqn: ∴ 100]배

20. [출제의도] 행렬을 이용하여 연립방정식 풀기

[해설] [eqn: A^2 -A- E = O]

[eqn: (A+ E)(A-2E)=-E]

[eqn: ∴ (A+E)^-1 = (-A+2E)]

[eqn: pmatrix { `x`# `y `}=][eqn: (A+E)^-1 pmatrix { `2`# `3 `}=][eqn: (-A+2E) pmatrix { `2`# `3 `}=][eqn: pmatrix { `3`# `10 `}]

[eqn: THEREFORE alpha=3], [eqn: beta=10], [eqn: alpha + beta = 13]

21. [출제의도] 무한등비급수의 수렴조건 구하기

[해설] 주어진 무한등비급수가 수렴하기 위한 조건은

(ⅰ) [eqn: -1 < 1- x over 4 <1]일 때, [eqn: 0<x<8]

(ⅱ) 첫째항이 [eqn: 0]일 때, [eqn: x=`-1]

[eqn: ∴ x = -1,~ 1,~ 2,~ 3,~ 4,~ 5,~ 6,~ 7]  합은 [eqn: 27]

22. [출제의도] 조건에 맞는 진수 구하기

[해설] [eqn: [ log _2 k] = 6]이므로 [eqn: 2^6 <= k<2^7]

[eqn: [ log _3 k] = 3]이므로 [eqn: 3^3 <= k<3^4]

[eqn: THEREFORE 64 <= k <81] , 정수 [eqn: k]의 개수는 [eqn: 17]개이다.

23. [출제의도] 무한수열의 극한값 구하기

[해설] [eqn: (2n-1)a_n = c_n]이라 하면  [eqn: a_n = c_n over 2n-1],

[eqn: (n ^{2} +3n+2)b _{n} =d _{n}]라 하면 [eqn: b _{n} = {d _{n}} over {n ^{2} +3n+2}],[eqn: lim _{ n->inf} {c_n = 3 }], [eqn: lim _{n -> INF } {d _{n} =2}]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {(2n+1) ^{3} a _{n} b _{n}}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {{(2n+1) ^{3`}} over {(2n-1)(n ^{2} +3n+2)} `` lim _{n -> INF } {c _{n```}}} lim _{n -> INF } {d _{n}}]

[eqn: =4 TIMES 3 TIMES 2=24]

24. [출제의도] 순서도를 이용하여 수열의 합 구하기

[해설] 순서도에 따라 계산되는 값은 표와 같다.

[eqn: N]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]
[eqn: S]	[eqn: 2 ^{1}]	[eqn: 2 TIMES 2 ^{2}]	[eqn: 3 TIMES 2 ^{3}]	[eqn: 4 TIMES 2 ^{4}]	[eqn: 5 TIMES 2 ^{5}]

25. 수리‘가’형 25번과 같음

26. [출제의도] 무한수열의 극한값 구하기

[해설] ㄱ. [eqn: a_n = 2^n]이므로 [eqn: S_n = 2^n+1 - 2]이다.

[eqn: lim _{ n->inf} { S_n over a_n}= lim _{ n->inf} { {2^n+1 -2 }over 2^n}=lim _{ n->inf} left ( {2 - 1over 2^n-1}right) = 2]

ㄴ. [eqn: a_n = (-1)^n]이면

이 짝수이면

이 홀수이면

[eqn: S_n = left{ matrix {n~~~~~~~~~~~~0 #n~~~~~~~~~~-1 }] 이므로

수열 [eqn: LEFT { {S _{n}} over {a _{n}} RIGHT }]은 [eqn: 1]또는 [eqn: 0]으로 진동한다.

ㄷ. [eqn: S_n = 3^n -1]이므로 [eqn: a _{n} =2 CDOT 3 ^{n-1}]

[eqn: lim _{ n->inf} { S_n over a_n}= lim _{ n->inf} { {3^n -1 }over {2cdot 3^n-1}= lim _{ n->inf} { 1over2 left( 3 - 1over 3^n-1 right)} = 3over 2]

∴ㄱ, ㄷ의 경우에 [eqn: lim _{ n->inf} { S_n over a_n}]가 존재한다.

27. [출제의도] 등차수열의 합 구하기

[해설] 이 사실을 알게 된 날을 첫째 날로 하여 드 므와브르가 깨어 있는 시간을 수열 [eqn: "{"a _{n} "}"]이라고 하면 [eqn: a _{n}]은

[eqn: a _{1} =10](시간)이고 공차가 [eqn: - {1} over {4}](시간)인 등차수열이다.

[eqn: 24]시간 계속 수면하게 되는 날은 깨어 있는 시간이 [eqn: 0]시간이므로 [eqn: a _{n} =10- {1} over {4} (n-1)=0] [eqn: THEREFORE n=41]

∴ 깨어있는 시간의 합은 [eqn: {41(10+0)} over {2} =205](시간)이다.

28. [출제의도] 상용로그의 지표를 이용하여 자리수 구하기

[해설] 구하고자 하는 수는 [eqn: sqrt {2 pi } CDOT 100 ^{100+ {1} over {2}} CDOT e ^{-100}]의 정수부분의 자리수가 같으므로

[eqn: log _{10} LEFT ( sqrt {2 pi } CDOT 100 ^{100+ {1} over {2}} CDOT e ^{-100} RIGHT )]

[eqn: =log _{10} ` sqrt {2` pi } +log _{10} 100 ^{100+ {1} over {2}} +log _{10} e ^{-100}]

[eqn: = {1} over {2} (log` _{10} 2+log _{`10} pi )+201-100log _{10} e]

[eqn: = 157.96905]

[eqn: THEREFORE] [eqn: 158]자리수

29. [출제의도] 행렬의 곱셈을 이용하여 실생활 문제 해결하기

[해설] 표에서 각 세트에 구성된 과자와 사탕의 봉의 개수를 행렬로 나타내면 [eqn: pmatrix{`5&```1`#`2&```4`}]이고 각 세트의 개수가 [eqn: 10], [eqn: 15]이므로 전체 과자와 사탕의 봉의 개수는

[eqn: (10 ~```15)pmatrix { ``5``&`1 `# 2& 4}= pmatrix { 10times5+15times2 ``````10times1 + 15times4 }]이다.

한 봉 당 과자가 [eqn: 500]원, 사탕이 [eqn: 800]원이므로

전체 구입금액은 [eqn: (10````15) pmatrix{``5``&`1`#2&4} pmatrix{500#800} = pmatrix{80` TIMES `500#70 TIMES 800}]

[eqn: THEREFORE (10````15) pmatrix{``5``&`1`#2&4} pmatrix{500#800}] 또는 [eqn: (500````800) pmatrix{``5``&`2`#1&4} pmatrix{10#15}]

30. [출제의도] 등차수열을 이용한 행렬의 성분 구하기

[해설] 행렬 [eqn: A_n]의 [eqn: (1,~ 1)]성분을 [eqn: a_n]이라고 하면

[eqn: a_1 = 1,~ a_2 = 3,~a_3 =8,~ a_4 =13,~a_5 = 18,~ cdots]

[eqn: a_n = 5n - 7``` (n>=2)]

[eqn: A _{n} = pmatrix{5n-7&````5n-3#5n-1&````5n+3}][eqn: (n>=2)]이므로

[eqn: A _{10} = pmatrix{43&````47#49&````53}]

[eqn: THEREFORE `] 각 성분의 합은 [eqn: 192]