◦ 먼저 수험생이 선택한 과목의 문제지인지 확인하시오.

◦ 문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오.

◦ 답안지에 수험 번호, 선택 과목, 답을 표기할 때에는 반드시 ‘수험생이 지켜야 할 일’에 따라 표기하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 ‘0’이 포함되면 그 ‘0’도 답란에 반드시 표시하시오.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

2008학년도 4월 고3 전국연합학력평가 문제지

수리 영역(나형)

제 2 교시

성명			수험번호						3

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수리 영역(나형)

수리 영역(나형)

의 값은? [2점]

[eqn: sqrt {32} ` TIMES sqrt {2} `÷ sqrt {4}]

[eqn: 3]

[eqn: 3]

8

① [eqn: sqrt {2}]

②  [eqn: 2]

③  [eqn: 2 sqrt {2}]

④  [eqn: 4]

⑤  [eqn: 4 sqrt {2}]

[eqn: log _{``2} ` {2} over {9} +4log _{``2} sqrt {12}]의 값은? [2점]

①  [eqn: 5]

②  [eqn: 6]

③  [eqn: 7]

④  [eqn: 8]

⑤  [eqn: 9]

행렬 [eqn: A`= pmatrix{`3`&`1`#`2`&`1`} `], [eqn: B`= pmatrix{`2`&`5`#`1`&`3`} `]에 대하여 [eqn: LEFT ( A```-`B ^{-1} RIGHT ) A ^{-1} `]의 모든 성분의 합은? (단, [eqn: A ^{-1}]는 [eqn: A]의 역행렬이다.) [2점]

①  [eqn: 4]

②  [eqn: 5]

③  [eqn: 6]

④  [eqn: 7]

⑤  [eqn: 8]

[eqn: lim _{n`-> ` INF } {LEFT ( sqrt {n ^{2} +an+3} - sqrt {n ^{2} +bn+2} RIGHT ) =5}]를 만족하는 두 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a-b]의 값은? [3점]

①  [eqn: 2]

②  [eqn: 5]

③  [eqn: 8]

④ [eqn: 10]

⑤ [eqn: 12]

[eqn: x], [eqn: y]에 대한 연립방정식 [eqn: LEFT ( matrix{□`a`□&````□`b`□#-3&````4} ` RIGHT ) LEFT ( matrix{x#y} RIGHT ) `= LEFT ( matrix{3x#2y} RIGHT )]가 [eqn: x=0], [eqn: y=0] 이외의 해를 가질 때, 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 점 [eqn: rm P it (a,````b)]가 나타내는 도형의 둘레의 길이는? [3점]

① [eqn: 4 sqrt {13}]

② [eqn: 4 sqrt {15}]

③ [eqn: 8 sqrt {13}]

④ [eqn: 8 sqrt {15}]

⑤ [eqn: 8 sqrt {17}]

[eqn: x= sqrt {2} - {1} over {sqrt {2}}]

[eqn: 8]

[eqn: 8]

일 때, [eqn: sqrt {x ^{2} +4}]의 값은? [3점]

①	[eqn: sqrt {2} - {1} over {sqrt {2}}]
②	[eqn: sqrt {2} + {1} over {sqrt {2}}]
③	[eqn: sqrt {2} - {1} over {sqrt {2}}] [eqn: 4] [eqn: 4]
④	[eqn: sqrt {2} + {1} over {sqrt {2}}] [eqn: 4] [eqn: 4]
⑤	[eqn: sqrt {2} + {1} over {sqrt {2}}] [eqn: 8] [eqn: 8]

[eqn: log`` _{10} `A]의 지표를 [eqn: n], 가수를 [eqn: alpha] 라 할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [3점]

		보 기
ㄱ. [eqn: n= alpha]이기 위한 필요충분조건은 [eqn: A=1]이다. ㄴ. [eqn: log`` _{10} `10A]의 가수와 [eqn: log`` _{10} ` {10} over {A}]의 가수는 같다. ㄷ. [eqn: log``_10 `100A]의 지표와 [eqn: log`` _{10} ` {A} over {100}]의 지표의 합은 [eqn: 2n]이다.

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

이차정사각행렬 [eqn: A]의 역행렬이 [eqn: A-E``]일 때, [eqn: A ^{3}]을 [eqn: pA+qE] 꼴로 바르게 나타낸 것은? (단, [eqn: p], [eqn: q]는 정수, [eqn: E] 는 단위행렬이다.) [3점]

① [eqn: A-E]

② [eqn: A+E]

③ [eqn: A+2E]

④ [eqn: 2A-E]

⑤ [eqn: 2A+E]

무한급수 [eqn: {1} over {1 CDOT 3} + {2} over {3 CDOT 7} + {3} over {7 CDOT 13} + {4} over {13 CDOT 21} +` CDOTS]의 합은? [3점]

①	[eqn: {1} over {2}]
②	[eqn: 3over4]
③	[eqn: 1]
④	[eqn: {5} over {4}]
⑤	[eqn: {3} over {2}]

역행렬이 존재하는 이차정사각행렬 [eqn: A]에 대하여 [eqn: A+A ^{-1} ``=O] 가 성립할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, [eqn: A ^{-1}]는 [eqn: A]의 역행렬, [eqn: O]는 영행렬, [eqn: n]은 자연수이다.) [4점]

		보 기
ㄱ. [eqn: A ^{3} +left ( A ^{-1} right )^3} =O] ㄴ. [eqn: A ^{2n} + LEFT ( A ^{-1} RIGHT ) ^{2n} =O] ㄷ. [eqn: A ^{5n} + LEFT ( A ^{-1} RIGHT ) ^{5n} =O]

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

다음 조건을 모두 만족하는 실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 좌표평면 위의 점 [eqn: rm P it (x,````y)]와 원점 [eqn: rm O]를 연결한 선분 [eqn: rm OP]가 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 [eqn: alpha]라 할 때, 모든 [eqn: alpha]의 합은? (단, [eqn: 0 <= alpha <2 pi]) [4점]

Ⅰ. [eqn: x ^{2} +y ^{2} =4]

Ⅱ. 행렬 [eqn: pmatrix{x-1&```y#0&```x+2}]가 역행렬을 갖지 않는다.

①	[eqn: {5} over {3} pi]
②	[eqn: 2 pi]
③	[eqn: {7} over {3} pi]
④	[eqn: {8} over {3} pi]
⑤	[eqn: 3 pi]

원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =4 ^{n} +1]([eqn: n=][eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: CDOTS]) 위의 점 [eqn: rm P it rm _{n} (2 ^{n} ,````1) _{{} _{{} _{pile{#}}}}]에서의 접선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: {rmQ}_n]이라 하자. 삼각형 [eqn: { rmOP}_n{rmQ}_n]의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n`` -> `` INF } {{S _{n+1}} over {S _{n}}}]의 값은? (단, [eqn: rm O]는 원점이다.) [4점]

①	[eqn: {3} over {2}]
②	[eqn: 2]
③	[eqn: {5} over {2}]
④	[eqn: 3]
⑤	[eqn: {7} over {2}]

무한수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

[4점]

		보 기
ㄱ. [eqn: lim _{n`` -> `` INF } {a _{2n}}]이 수렴하면 [eqn: lim _{n`` -> `` INF } {a _{n}}]도 수렴한다. ㄴ. [eqn: lim _{n`` -> `` INF } {a _{n}}]이 수렴하면 [eqn: lim _{n`` -> `` INF } {a _{2n}} = lim _{n`` -> `` INF } {a _{2n-1}}]이다. ㄷ. 무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n}]이 수렴하면 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{2n}] 도 수렴한다.

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: 1]월 초에 [eqn: 1000]만원을 월이율 [eqn: 0.5%], [eqn: 1]개월 마다 복리로 계산하는 예금 상품에 가입하고, [eqn: 1]월부터 그 해 [eqn: 12]월까지 매월 말에 [eqn: 50]만원씩 찾았다. 그 해 [eqn: 12]월 말에 통장에 남아있는 금액은? (단, [eqn: 1.005 ^{12} =1.0617]으로 계산한다.) [4점]

① [eqn: 426]만 [eqn: 7000]원

② [eqn: 432]만 [eqn: 7000]원

③ [eqn: 438]만 [eqn: 7000]원

④ [eqn: 444]만 [eqn: 7000]원

⑤ [eqn: 450]만 [eqn: 7000]원

그림과 같이 좌표평면의 제[eqn: 1]사분면을 한 변의 길이가 [eqn: 1 _{{} _{{} _{}}}]인 정사각형들로 나누어 자연수를 배열하였다. [eqn: y=x _{{} _{{} _{}}} ^{2 _{}}]([eqn: 0 <= `x <= 10 _{{} _{{} _{{} _{pile{#} _{}}}}}])의 그래프가 지나는 한 변의 길이가 [eqn: 1 _{{} _{{} _{}}}]인 정사각형에 배열된 수들의 합은? (단, 그래프가 정사각형의 내부를 지나지 않는 경우는 제외한다.) [4점]

[eqn: rm O]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: 4]

[eqn: 5]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y=x ^{2}]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: 4]

[eqn: 5]

①  [eqn: 5625]

②  [eqn: 5640]

③  [eqn: 5665]

④  [eqn: 5680]

⑤  [eqn: 5695]

다음은 [eqn: 4]이상의 자연수 [eqn: n`]에 대하여

부등식 [eqn: {1!`+2!+3!+` CDOTS +n!} over {n!} `][eqn: `<`1`+ {2n`-3} over {n(n`-1)} `]이 성립함을 증명하는 과정이다. (단, [eqn: n ! = n TIMES (n-1) TIMES (n-2) TIMES ` CDOTS ` TIMES 2 TIMES 1])

(가)

(나)

(다)

(가)

(가)

(다)

<증명>

[eqn: a _{n} `= {1!`+2!+3!+ CDOTS +n!} over {n!} `]이라 하자.

(ⅰ) [eqn: n`=4`]일 때,

(좌변) = [eqn: {1!+2!+3!+4!} over {4!} `= {33} over {24} `],

(우변) = [eqn: 1`+ {5} over {12} `= {17} over {12} `]이므로 주어진 부등식이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n`=k`]([eqn: k>=4])일 때, 성립한다고 가정하면

[eqn: a _{k`} `<`1`+ {2k`-3} over {k(k`-1)}`]이다.

[eqn: n`=k`+1`]일 때,

[eqn: a _{k`+1} `= {1!`+2!+3!+ CDOTS +(k`+1)!} over {(k`+1)!} `=1`+``````~``````````````````````a _{k}]

한편,    [eqn: (k-1) ^{2} `````````````````````````````````2k`-3`] 이므로

[eqn: {2k`-3} over {k(k`-1)} `< {k`-1} over {k} `] 이다.

그런데,  [eqn: 1`+ {2k`-3} over {k(k`-1)} `< {`````````````````````````````````````} over {k} `]이므로

[eqn: a _{k`+1}`][eqn: `<`1`+`````````````````````````````````` LEFT { 1`+ {2k`-3} over {k(k`-1)} ` RIGHT } `]

[eqn: `<`1`+````````````````````````````````` {```````````````````````````````````} over {k} `]

[eqn: `=`1`+ `{2(k`+1)`-3} over {(k`+1) left {(k`+1)`-1right }}]이다.

그러므로 [eqn: n`=k`+1]일 때도 성립한다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 [eqn: 4]이상의 자연수 [eqn: n`]에 대하여 주어진 부등식은 성립한다.

이 과정에서 (가)~(다)에 알맞은 것을 바르게 짝지은 것은? [4점]

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: 1 over k `]	>	[eqn: 2k`-1]
②	[eqn: 1 over k `]	<	[eqn: 2k`+1]
③	[eqn: 1 over {k`+1} `]	>	[eqn: 2k`-1]
④	[eqn: 1 over {k`+1} `]	>	[eqn: 2k`+1]
⑤	[eqn: 1 over {k`+1} `]	<	[eqn: 2k`+1]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 3]인 정육각형의 각 꼭지점에서 짧은 대각선을 그려서 만들어진 정육각형을 [eqn: rm H _{1} `]이라 하고, [eqn: rm H _{1} `]의 외부에 새로 만들어진 정삼각형을 어둡게 칠한다.

[eqn: rm H _{1} ^{{} ^{{} ^{{} }}}}]의 각 꼭지점에서 짧은 대각선을 그려서 만들어진 정육각형을 [eqn: rm H _{2} `]라 하고, [eqn: rm H _{2} `]의 외부에 새로 만들어진 정삼각형을 어둡게 칠한다.

이와 같은 과정을 한없이 계속할 때, 어둡게 칠해진 모든 정삼각형의 넓이의 합은? [4점]

[eqn: 3]

[eqn: rm H _{1}]

[eqn: rm H_{ 2}]

① [eqn: {19} over {4} sqrt {3}]

② [eqn: {21} over {4} sqrt {3}]

③ [eqn: {23} over {4} sqrt {3}]

④ [eqn: {25} over {4} sqrt {3}]

⑤ [eqn: {27} over {4} sqrt {3}]

단 답 형

두 이차정사각행렬 [eqn: A], [eqn: B] 와 영행렬 [eqn: O] 에 대하여,

[eqn: A+B```= pmatrix{1&```0#0&```1}], [eqn: A+2B```= pmatrix{k&```-6#7&```-5}], [eqn: AB```=O] 를 만족하는 상수  [eqn: k]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: X]선 필름의 사진농도 [eqn: D], 입사하는 빛의 세기 [eqn: I_{0}], 투과하는 빛의 세기 [eqn: I] 사이에 [eqn: D=log _{``10} `I _{0} -log _{``10} `I] 가 성립한다. [eqn: X]선 필름의 사진농도가 [eqn: 2]일 때, 입사하는 빛의 세기는 투과하는 빛의 세기의 [eqn: a`]배이다. 이때, 상수 [eqn: a`]의 값을 구하시오. [3점]

이차정사각행렬 [eqn: A]가 [eqn: A ^{2} -A-E``=O], [eqn: A pmatrix{`2`#`3`} `= pmatrix{```````1`#-4`}]를 만족한다. 연립방정식 [eqn: (A+E) pmatrix{`x`#`y`} ``= pmatrix{`2`#`3`}]의 해를 [eqn: x= alpha], [eqn: y= beta]라 할 때, [eqn: alpha + beta]의 값을 구하시오. (단, [eqn: E]는 단위행렬, [eqn: O]는 영행렬이다.) [3점]

무한등비급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } (x+1) LEFT ( 1- {x} over {4} RIGHT ) ^{n-1}]의 합이 존재하도록 하는 모든 정수 [eqn: x]의 합을 구하시오. [3점]

[eqn: [`log`` _{2} `k`]`=6], [eqn: [`log _{``3} `k`]`=3`]을 모두 만족하는 자연수 [eqn: k]의 개수를 구하시오. (단, [eqn: [`x`]`]는 [eqn: x`]를 넘지 않는 최대의 정수이다.) [3점]

두 무한수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]에 대하여

[eqn: lim _{n`` -> `` INF } {(2n-1)a _{n} =`3}], [eqn: lim _{n`` -> `` INF } {(n ^{2} +3n+2)b _{n} =`2}]일 때,

[eqn: lim _{n`` -> `` INF } {(2n+1) ^{3} a _{n} b _{n}}]의 값을 구하시오. [4점]

다음 순서도에서 인쇄되는 [eqn: S`]의 값을 구하시오. [4점]

그림과 같이 두 직선 [eqn: l], [eqn: m]에 동시에 접하는 원 [eqn: rm C _{1}]이 있다.

원 [eqn: RMC _{1}]의 중심을 지나고 직선 [eqn: l], [eqn: m]에 동시에 접하면서 [eqn: rm C _{1}]보다 큰 원을 [eqn: rm C _{2}]라 하자.

원 [eqn: rm C _{2}]의 중심을 지나고 직선 [eqn: l], [eqn: m]에 동시에 접하면서 [eqn: rm C _{2}]보다 큰 원을 [eqn: rm C _{3}]라 하자.

이와 같은 방법으로 원 [eqn: {rm C} _{k}]의 중심을 지나고 직선 [eqn: l], [eqn: m]에 동시에 접하면서 [eqn: {rm C } _{k}]보다 큰 원을 [eqn: rm C _{it k+1 rm}]이라 하자.([eqn: k=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: CDOTS])

원 [eqn: RMC _{1}]의 넓이가 [eqn: 1], 원 [eqn: rm C _{5}]의 넓이가 [eqn: 4]일 때, 원 [eqn: rm C _{19}]의 넓이를 구하시오. [4점]

[eqn: l]

[eqn: m]

[eqn: rm C _{1}]

[eqn: rm C _{2}]

[eqn: rm C _{3}]

[eqn: rm C _{4}]

[eqn: rm C _{5}]

5 지 선 다 형

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n`` -> `` INF } {{S _{n}} over {a _{n}}}]의 값이 존재하는 것을 <보기>에서 모두 고른 것은? [3점]

		보 기
ㄱ. [eqn: a _{n} =`2 ^{n}] ㄴ. [eqn: a _{n} =` LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n}] ㄷ. [eqn: S _{n} =`3 ^{n} -1]

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

수학자 드 므와브르에 대하여 다음과 같은 일화가 전해지고 있다.

드 므와브르는 자신의 수면 시간이 매일 [eqn: 15]분씩 길어진다는 것을 깨닫고, 수면 시간이 [eqn: 24]시간이 되는 날을 계산하여 그날에 자신이 죽을 것이라고 예측하였다. 그런데, 놀랍게도 그날에 수면하는 상태에서 생을 마쳤다.

드 므와브르가 매일 밤 [eqn: 12]시에 잠든다고 가정할 때, 처음 이 사실을 알게 된 날의 수면 시간이 [eqn: 14]시간이었다면 그날부터 생을 마칠 때까지 깨어있는 시간의 합은? [3점]

① [eqn: 197]

② [eqn: 205]

③ [eqn: 214]

④ [eqn: 224]

⑤ [eqn: 235]

[eqn: 2]이상 [eqn: 140] 이하의 자연수 [eqn: n]에 대하여, [eqn: 1]부터 [eqn: n]까지의 자연수를 모두 곱한 값과 [eqn: sqrt {2 pi } CDOT n ^{n+ {1} over {2}} CDOT e ^{-n} ` _{pile{#}}]의 값은 정수 부분의 자리수가 일치한다. [eqn: 1]부터 [eqn: 100]까지의 자연수를 모두 곱한 값의 자리수는?

(단, [eqn: pi]와 [eqn: e]는 무리수이고, [eqn: log`` _{10} `2=0.3010], [eqn: log`` _{10} ` pi =0.4971],  [eqn: log`` _{10} `e=0.4343]으로 계산한다.) [4점]

① [eqn: 152]

② [eqn: 154]

③ [eqn: 156]

④ [eqn: 158]

⑤ [eqn: 160]

어느 제과회사에서는 표와 같이 구성된 ‘고소한 세트’와 ‘달콤한 세트’를 판매하고 있다. 각 세트에 들어가는 과자와 사탕의 한 봉 당 가격은 각각 [eqn: 500]원, [eqn: 800]원이다. 이 회사에서 판매하는 ‘고소한 세트’ [eqn: 10]개와 ‘달콤한 세트’ [eqn: 15]개를 구입하려고 할 때, 필요한 금액을 나타내는 행렬은? (단, 가격할인이나 포장비용은 고려하지 않는다.) [3점]

	과자(봉)	사탕(봉)
고소한 세트	[eqn: 5]	[eqn: 1]
달콤한 세트	[eqn: 2]	[eqn: 4]

① [eqn: pmatrix{500&````800} ` pmatrix{`5&````1`#`2&````4`} ` pmatrix{`10`#`15`}]

② [eqn: pmatrix{500&````800} ` pmatrix{`5&````1`#`2&````4`} ` pmatrix{`15`#`10`}]

③ [eqn: pmatrix{800&````500} ` pmatrix{`5&````1`#`2&````4`} ` pmatrix{`10`#`15`}]

④ [eqn: pmatrix{10&````15} ` pmatrix{`5&````1`#`2&````4`} ` pmatrix{`500`#`800`}]

⑤ [eqn: pmatrix{10&````15} ` pmatrix{`5&````1`#`2&````4`} ` pmatrix{`800`#`500`}]

단 답 형

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정사각형들을 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형이 만들어지도록 겹치게 그리고, 교점과 꼭지점에 자연수를 규칙적으로 적었다. 이때, 한 변의 길이가 [eqn: 2]인 각 정사각형의 네 꼭지점에 적힌 자연수를 성분으로 하는 이차정사각행렬을 성분의 합이 작은 것부터 차례로 [eqn: A _{1}`], [eqn: A _{2}`], [eqn: A _{3}`], [eqn: CDOTS], [eqn: A _{n}`], [eqn: CDOTS] 이라 하자.

예를 들면 [eqn: A _{1} `= pmatrix{`1&````2`#`4&````8`} `], [eqn: A _{2} `= pmatrix{3&````````7#9&````13} `]이다. 행렬 [eqn: A _{10}`]의 모든 성분의 합을 구하시오. [4점]

※ 확인사항

○ 문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.