◦  먼저 수험생이 선택한 응시 유형의 문제지인지 확인하시오.

수 리 영 역

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수 리 영 역

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2008학년도 3월 고3 전국연합학력평가 문제지

제 2 교시           수 리 영 역

성명			수험번호						3

‘가’형

◦  문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오.

◦  답안지에 수험 번호, 응시 유형 및 답을 표기할 때는 반드시 ‘수험생이 지켜야 할 일’에 따라 표기하시오.

◦  단답형 답의 숫자에 0 이 포함된 경우, 0 을 OMR 답안지에 반드시 표기해야 합니다.

◦  문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦  계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

◦  이 문제지에는 아래의 예와 같이 국립국어연구원의 ‘한글 맞춤법’에 의한 사이시옷 표기법을 사용하였습니다.
(예) 최솟값(종전 표기: 최소값)

8

1. [eqn: root {3} of {(8 TIMES27)^2 }]의 값은? [2점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 36]	④ [eqn: 54]	⑤ [eqn: 108]

2. 두 행렬 [eqn: A= pmatrix{`2&~~`3`#`1&`-2`}], [eqn: B= pmatrix{`3&~~`2`#`1&~`-2`}`]에 대하여 [eqn: A ^{-1} X`=B`]를 만족시키는 행렬 [eqn: X`]의 모든 성분의 합은? [2점]

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]	④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

3. 이항분포 [eqn: {rm B`} left(`n`, ``~{1} over {3} right)`]을 따르는 확률변수 [eqn: X`]의 분산이 [eqn: 20`]일 때, 자연수 [eqn: n``]의 값은? [2점]

① [eqn: 30]	② [eqn: 60`]	③ [eqn: 90]	④ [eqn: 120]	⑤ [eqn: 150]

4. 서로 독립인 두 사건 [eqn: A,``B``]에 대하여
[eqn: rm P it (A``|`B)`=` rm P it (B``|`A)][eqn: `= `{3} over {4}`]
이 성립할 때, [eqn: rm P it (A` CUP `B`)`]의 값은? [3점]

① [eqn: {15} over {16}]	② [eqn: {13} over {16}]	③ [eqn: {11} over {16}]	④ [eqn: {9} over {16}]	⑤ [eqn: {7} over {16}]

5. 연립방정식 [eqn: LEFT ( matrix{`2&`````3`#`2&`````1`} RIGHT ) pmatrix{`x`#`y`} =k` pmatrix{`x`#`y`}`]가 [eqn: x=0`,````y=0``]이외의 해를 갖도록 하는 모든 실수 [eqn: k``]의 값의 합은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

6. 자연수 [eqn: n``]에 대하여 [eqn: sqrt {n ^{2} +1}]의 정수부분을 [eqn: a _{n} `]이라 할 때,
[eqn: lim _{n -> INF }`a_n ( sqrt { n^2 +1} ```- a_n `)]의 값은? [3점]

① [eqn: 0]	② [eqn: 1 over2]	③ [eqn: sqrt { 2} over2]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: sqrt { 2}]

7. [eqn: 1]부터 [eqn: 9`]까지 [eqn: 9`]개의 자연수 중에서 서로 다른 세 수를 일렬로 나열하여 세 자리의 자연수를 만들 때, 그 중 각 자리의 수의 곱이 [eqn: 10`]의 배수인 자연수의 개수는? [3점]

① [eqn: 60]	② [eqn: 88]	③ [eqn: 100]	④ [eqn: 132]	⑤ [eqn: 144]

‘가’형

8. [eqn: 0<a<1<b``]이고 [eqn: a`b<1``]인 두 실수 [eqn: a,``b``]에 대하여

라 할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [3점]

[eqn: sqrt {b}]

[eqn: A=log` _{a} sqrt {b} `,```B=log` _{`````````} ``a]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: A<0] ㄴ. [eqn: A>B`] ㄷ. [eqn: log _{`ab} ``|`A``|`+`log _{`ab} ``|`B``|=0`]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

9.  등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에서 첫째항부터 제 [eqn: 5]항까지의 합이 [eqn: { 31} over {2 }]이고
곱이 [eqn: 32]일 때, [eqn: {1} over {a _{1}} + {1} over {a _{2}} + {1} over {a _{3}} + {1} over {a _{4}} + {1} over {a _{5}} `]의 값은? [3점]

① [eqn: {31} over {4}]	② [eqn: {31} over {8}]	③ [eqn: {31} over {12}]	④ [eqn: {8} over {31}]	⑤ [eqn: {4} over {31}]

‘가’형

10. 두 집합 [eqn: A = left { (x`,~ y`) left vert y = 3^{`x}` right }`], [eqn: B = left { (x`,~ y`) left vert y =log_{`3` }`x ` right }`]에 대하여 [eqn: ( a`,~ b`) `in` A`], [eqn: (c`,~ d`) `in` B``]일 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [3점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: (`a^3`,~ 3b` )` IN `A] ㄴ. [eqn: (b`,~a)`in`B] ㄷ. [eqn: (a+d`,~ b`c` )` IN `A]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

11. 수열 [eqn: LEFT {a _{n} RIGHT } `]을 다음과 같이 정의한다.
[eqn: a _{1} `=`1`],  [eqn: a _{2n} `=`a _{n} +1`],  [eqn: a_2n+1 `=` a_n -1`] [eqn: (n=1,```2,```3,`` CDOTS `)]

<보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: a _{`6} =1``] ㄴ. [eqn: n=2 ^{`k} ``]([eqn: k``]는 자연수)이면 [eqn: a _{n`} =k+1]이다. ㄷ. [eqn: n=2 ^{`k} +1``]([eqn: k``]는 자연수)이면 [eqn: a _{n`} =k-1]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

12. 자연수 [eqn: n`]을 [eqn: n`]개 이어 붙여 만든 자연수를 [eqn: N _{n} `]이라 하자.
예를 들어 [eqn: N _{3} `=`333`], [eqn: N _{12} `=`121212 CDOTS 12`]([eqn: 24]자리의 수)이다.

[eqn: log`N _{n} `]의 지표와 가수를 각각 [eqn: p`(n)`,````q`(n)`]이라 할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: p(15)=30] ㄴ. [eqn: q`(n)`=0``]인 자연수 [eqn: n``]은 [eqn: 1``]뿐이다. ㄷ. [eqn: n`=`10 ^{`k} ``(`k`]는 자연수)이면 [eqn: p`(n)-p`(n-1)`=`n+k`]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄴ, ㄷ

13. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: a_n`=1+{ 1} over {2 }+{ 1} over { 3}+`⋯`+{ 1} over { n}``]로 정의한다.
다음은 [eqn: 2`] 이상인 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 등식
[eqn: a_1 +a_2 +a_3 +`⋯`+a_n-1 =n( a_n -1)``]
이 성립함을 증명한 것이다.

<증명>

(1) [eqn: n=2``]일 때, [eqn: (좌변)=(우변)=`] 이므로 주어진 등식은 성립한다.

(가)

(2) [eqn: n=k``]일 때, 주어진 등식이 성립한다고 가정하면

[eqn: a_1 +a_2 +a_3 +`⋯`+a_k-1 =k(a_k -1)``]

양변에 [eqn: a _{k```}]를 더하면

[eqn: a_1 +a_2 +a_3 +`⋯`+a_k =`]

(나)

그런데 [eqn: a_k =a_k+1 -`] 이므로

(다)

[eqn: a_1 +a_2 +a_3 +`⋯`+a_k =`(k+1)( a_k+1 -1)]

그러므로 [eqn: n=k+1`]일 때도 성립한다.

따라서 [eqn: 2`] 이상인 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 주어진 등식은 성립한다.

위 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점]

(가)	(나)	(다)

①	[eqn: 1`]	[eqn: ka_k+1 -k]	[eqn: { 1} over { k}]

②	[eqn: 1`]	[eqn: (k+1)a_k -k]	[eqn: { 1} over { k+1}]

③	[eqn: 1`]	[eqn: (k+1)a_k -k]	[eqn: { 1} over { k}]

④	[eqn: 3 over 2`]	[eqn: ka_k+1 -k]	[eqn: { 1} over { k+1}]

⑤	[eqn: 3 over 2`]	[eqn: (k+1)a_k -k]	[eqn: { 1} over { k+1}]

14. 한 개의 주사위를 [eqn: 10`]번 던질 때, 홀수의 눈이 나오는 횟수를 확률변수 [eqn: X``]라 하자. 확률변수 [eqn: Y``]를 [eqn: Y=10-X``]라 할 때,
<보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: rm P` it (`5 <= Y <= `7)= rm P` it (`3 <= X <= `5)] ㄴ. [eqn: Y``]의 평균은 [eqn: X``]의 평균과 같다. ㄷ. [eqn: Y``]의 분산은 [eqn: X``]의 분산보다 크다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

‘가’형

15. 좌표평면 위의 점 [eqn: {rm P(}a`,```b)``]에 대하여 행렬 [eqn: M _{rm `P}``]를
[eqn: M _{rm `P} = LEFT ( matrix{``````a`&```b`#-b`&```a`} RIGHT )``]로 정의하자.

임의의 두 점 [eqn: rm P,```Q``]에 대하여 <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, [eqn: E``]는 단위행렬이다.) [4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: M _{rm` P} M _{rm`Q} =M _{rm`R}]인 점 [eqn: rm R``]가 존재한다. ㄴ. [eqn: M _{rm `P} M _{rm `Q} =M _{rm `Q} M _{rm `P}] ㄷ. 점 [eqn: rm P``]가 원점이 아니면 [eqn: M _{rm `P} M _{rm `S} =E``]인 점 [eqn: rmS``]가 존재한다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

16. 어느 연구소의 보고서에 따르면 앞으로 LPG 경차 사용이 늘어나 자동차 휘발유 소비량이 감소할 것이라고 한다. [eqn: 2007`]년 [eqn: \A]지역의 연간 자동차 휘발유 소비량은 [eqn: a``]톤이고, 매년 이 지역의 연간 자동차 휘발유 소비량은 전년도에 비하여 일정한 비율로 감소하여 [eqn: 2015`]년에는 [eqn: 1 over 3 a``]톤이 된다고 한다. [eqn: 2015`]년 이후에도 이와 같은 비율로 계속 감소한다고 할 때, [eqn: \A]지역에서 [eqn: 2007`]년부터 [eqn: 2022`]년까지 [eqn: 16]년 동안 사용되는 자동차 휘발유 소비량의 총합은? (단, [eqn: root {8} of {3}=1.15``]로 계산한다.) [4점]

① [eqn: { 145} over {27 }a``]톤	② [eqn: { 154} over {27 }a``]톤	③ [eqn: { 164} over {27 }a``]톤

④ [eqn: { 175} over {27 }a``]톤	⑤ [eqn: { 184} over {27 }a``]톤

17. 그림과 같이 원점 [eqn: rm O`]와 점 [eqn: (2`,~0)`]을 지름의 양 끝으로 하는 원을 [eqn: rm C _{1} `]이라 하자. 또, 원 [eqn: rm C _{1} `]과 직선 [eqn: y`=`x`]가 만나는 두 점을 지름의 양 끝으로 하는 원을 [eqn: rmC_2 `], 원 [eqn: rm C_2 `]와 [eqn: y`]축이 만나는 두 점을 지름의 양 끝으로 하는 원을 [eqn: rm C _{3} `]이라 하자. 또, 원 [eqn: rm C _{3} `]과 직선 [eqn: y`=`-x`]가 만나는 두 점을 지름의 양 끝으로 하는 원을 [eqn: rm C _{4} `], 원 [eqn: rm C _{4} `]와 [eqn: x]축이 만나는 두 점을 지름의 양 끝으로 하는 원을 [eqn: rmC _{5} `]라 하자.

이와 같은 방법으로 중심이 차례로 직선 [eqn: y=x], [eqn: y]축, 직선 [eqn: y=`-x], [eqn: x]축, [eqn: cdots] 위에 있는 원 [eqn: rm C _{6} `], [eqn: rm C _{7} `], [eqn: rmC _{8} `], [eqn: rm C _{9} `], [eqn: cdots] 를 한없이 만들어 갈 때, 원 [eqn: rm C _{it n } `]의 내부와 원 [eqn: rm C _{it n+1 } `]의 외부의 공통부분(어두운 부분)의 넓이를 [eqn: S _{n} `]([eqn: n`=`1`,``2`,``3`,`` CDOTS ``])이라 하자.

이때 [eqn: sum _{n`=`1} ^{INF } S _{`n} `]의 값은? [4점]

① [eqn: pi +1``]	② [eqn: 3 over 2 pi ``]	③ [eqn: 5 over4 (`pi +1`)]

④ [eqn: {3} over {2} (` pi +1`)]	⑤ [eqn: 2 pi ``]

‘가’형

단답형(18~25)

18. 방정식 [eqn: (log ` _{2}` x`-`6`)` ^{2} `+`log ` _{2} `x ` ^{2}` -`11`=`0``]의 해를 구하시오. [3점]

19. [eqn: left(2x- 1over x right)^7 `]의 전개식에서 [eqn: x^3 `]의 계수를 구하시오. [3점]

20. 두 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} ` RIGHT } ,`` LEFT { b _{n} ` RIGHT }]에 대하여
[eqn: a _{1} +b _{1} =45],  [eqn: sum _{k=1} ^{10} ``a _{k} + sum _{k=1} ^{10} ``b _{k}][eqn: =500]
일 때, [eqn: a _{10} +b _{10} ``]의 값을 구하시오. [3점]

21. 두 정수 [eqn: a,```b`]가 [eqn: 2a+b=12`]를 만족할 때, [eqn: 4 ^{`a} +2 ^{`b} `]의 최솟값을 구하시오. [3점]

‘가’형

22. [eqn: 1]부터 [eqn: n``]까지 자연수의 합을 [eqn: S _{n```}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{20} LEFT [ log` _{10} ``S _{n} RIGHT ]]의 값을 구하시오. (단, [eqn: LEFT [ x RIGHT ]]는 [eqn: x`]보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

[4점]

23. [eqn: A`]는 세 자리의 자연수이고, [eqn: B``]는 [eqn: 900]보다 큰 세 자리의 자연수이다. [eqn: log`B``]의 가수가 [eqn: log `A``]의 가수의 [eqn: 2`]배일 때, 자연수 [eqn: A``]의 값을 구하시오. [4점]

(단위 : kg)
	[eqn: rm A]	[eqn: rm B]
가죽	[eqn: 0.6]	[eqn: 0.3]
고무	[eqn: 0.5]	[eqn: 0.4]

24. 표는 두 등산화 [eqn: rm A,`` B``]를 각각 한 켤레씩 만드는 데 필요한 가죽과 고무의 양을 나타낸 것이다.

가죽 [eqn: 45``]kg, 고무 [eqn: 42``]kg을 모두 사용하여 등산화 [eqn: rm A``]를 [eqn: x``]켤레, 등산화 [eqn: \B]를 [eqn: y``]켤레 만든다고 할 때, 다음은 [eqn: x]와 [eqn: y]의 값을 구하는 식을 행렬로 나타낸 것이다.
[eqn: pmatrix { `x`# `y `} = { 1} over { 9} pmatrix {` a&`` -3``# `b&````````6`` }pmatrix {` 450`#` 420` }]

이때 두 상수 [eqn: a,``b``]에 대하여 [eqn: (a-b)^2 ``]의 값을 구하시오. [4점]

25. 네 명이 동전을 한 개씩 동시에 던져서 다음과 같은 방법으로 두 명씩 두 개 조로 나누려고 한다.

(가) 앞면과 뒷면이 각각 두 개씩 나오면 같은 면이 나온 사람끼리 같은 조가 된다.

(나) 앞면과 뒷면의 개수가 다르면 앞면과 뒷면의 개수가 같게 나올 때까지 네 명 모두 동전을 다시 던진다.

이와 같은 방법으로 네 명을 두 개 조로 나눌 때, 동전을 두 번씩 던지게 될 확률은 [eqn: {q} over {p}``]([eqn: p`,```q``]는 서로소인 자연수)이다.

이때 [eqn: p+q``]의 값을 구하시오. [4점]

5지 선다형

‘가’형

26. 수열 [eqn: "{" a_n "}"]의 첫째항부터 제 [eqn: n``]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 하자.
[eqn: a_1 = 5over4], [eqn: S _{n} =`a _{n} + {n+3} over {n+2}] ([eqn: n=2`,``3`,``4`,`` CDOTS ``])
일 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n} ``]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: {5} over {4}]	③ [eqn: 3 over 2]	④ [eqn: {7} over {4}]	⑤ [eqn: 2]

27.  진서와 윤서는 각각 주사위를 한 개씩 한 번만 던져서 더 큰 수의 눈이 나온 사람이 이기고, 같은 수의 눈이 나오면 비기는 것으로 하였다. 진서가 던진 주사위가 홀수인 눈이 나왔을 때, 진서가 이길 확률은? [3점]

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {2} over {5}]	③ [eqn: 5over12]	④ [eqn: 1over2]	⑤ [eqn: {7} over {12}]

28. 함수 [eqn: y`=`3^{`x} `]의 그래프를 [eqn: x``]축의 방향으로 평행이동시켜 점 [eqn: (k`,~2)`] ([eqn: k``]는 자연수)를 지나도록 하는 곡선의 [eqn: y``]절편을 [eqn: a_k `]라 하자. 이때 [eqn: SUM from { { k`}=`1} to inf`a_k `]의 값은? [4점]

① [eqn: 2 over 3]	② [eqn: 1]

③ [eqn: 4 over 3]	④ [eqn: 3over 2]	⑤ [eqn: 2]

[eqn: z]	[eqn: {rmP}(0`≦Z``≦z`)]
[eqn: 0.5] [eqn: 1.0] [eqn: 1.5] [eqn: 2.0]	[eqn: 0.1915] [eqn: 0.3413] [eqn: 0.4332] [eqn: 0.4772]

29. 어느 공장에서 만드는 제품 [eqn: rmA`]의 무게는 평균 [eqn: 120`]g, 표준편차 [eqn: 10`]g인 정규분포를 따른다고 한다. 이 공장에서 만드는 제품 [eqn: rmA`] 중에서 임의추출한 [eqn: 1]개의 무게가 [eqn: 130``]g 이상일 확률을 [eqn: p_1], 임의추출한 [eqn: 4]개의 무게의 평균이 [eqn: 130``]g 이상일 확률을 [eqn: p_2]라 할 때, [eqn: p_1 -`p_2]의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [4점]

① [eqn: -0.1498]	② [eqn: -0.1359]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 0.1359]	⑤ [eqn: 0.1498]

단답형

30. [eqn: \ A,~B,~C,~D,~E] [eqn: 5]명이 [eqn: 3]인용 소파에 [eqn: 3]명, [eqn: 2]인용 소파에 [eqn: 2]명으로 나누어 앉으려고 한다. 이때 [eqn: \A]와 [eqn: \B]가 같은 소파에 이웃하여 앉는 방법의 수를 구하시오. [4점]

‘가’형

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.