(홀수형)

2008학년도 대학수학능력시험 (수리영역-나형)  정답 및 해설

1.

[eqn: 8^{2over3} + log_2`8`]

[eqn: = left(2^3 right)^{2over3} + log_2`2^3`]

[eqn: = 2^2 +3`]

[eqn: =7]

ꂼ ③

2.

[eqn: X= 2B-A`]

[eqn: = pmatrix{4&0#2&-2}`- pmatrix{1&-2#3&0}`]

[eqn: = pmatrix{3&2#-1&-2}`]

ꂼ ①

3.

[eqn: lim _{n -> INF } {} {n} over {sqrt {4n ^{2} +1} + sqrt {n ^{2} +2}}]

[eqn: =lim_n->inf 1over{ { root{4 + 1over n^2 } + root{ 1 + 2 over n^2 }} }]

[eqn: = 1 over 2+1]

[eqn: = 1over 3]

ꂼ ③

4.

[eqn: a = root2]에서 [eqn: a ^{2} =2]

[eqn: b^3 = root3`]에서

[eqn: b^2 = (b^3 )^{2 over 3 }]

[eqn: = ( root3 ) ^{ 2 over 3 }]

[eqn: = left( 3^{ 1over2} right)^{ 2over3}]

[eqn: = 3^{ 1over3}`]

∴ [eqn: (ab) ^{2} =a ^{2} b ^{2}]

[eqn: =2 cdot 3^{1 over 3}]

ꂼ ①

5.

[eqn: A= pmatrix { ``2n``&``-7`` #``-1`` &``~~n`` }]에서

[eqn: A^-1 = 1over{2n^2 -7} pmatrix { ``n``&``7`` #``1`` &``2n`` }]

이 때, [eqn: A^-1`]의 [eqn: (2,1)`]의 성분이 [eqn: 1over {2n^2 -7}]이므로 [eqn: A^-1`]의 모든 성분이 자연수가 되려면

[eqn: 2n^2 - 7 =1`]

[eqn: 2n^2 = 8], [eqn: n^2 = 4`]

∴ [eqn: n=2`] ([eqn: because `] [eqn: n``]은 자연수)

ꂼ ②

6.

[eqn: P(A^c ) = 1- P(A)]

[eqn: = 1over 3`]

이므로

[eqn: P(A) = 2over 3]

두 사건 [eqn: A, B`]가 서로 독립이므로

[eqn: P(A cap B ) = P(A) P(B)]

[eqn: = 2 over 3 times 1over 3]

[eqn: = 2over 9]

ꂼ ④

7.

[eqn: left( 2x + 1over 2x right)^7]의 전개식에서 일반항은

[eqn: `_7 C_r (2x)^{7-r} left( 1over 2x right)^r][eqn: =`_7 C_r ``2^7-2r x^7-2r]

[eqn: 7-2r=1`]에서 [eqn: r=3`]이므로

[eqn: x`]의 계수는

[eqn: `_7 C_3 ``cdot2^1][eqn: = {7 cdot 6 cdot 5 } over{ 3 cdot 2cdot 1} cdot 2]

[eqn: = 70]

ꂼ ⑤

8.

[eqn: 6x^2 -5x+1 =0]에서

[eqn: (2x-1)(3x-1)=0]

∴ [eqn: x= 1over 2 , ``1over 3`]

[eqn: P(X<=1) < P(X<=2)`]이므로

[eqn: P(X<=1) = 1 over 3]

[eqn: P(X<=2) = 1over2]

∴ [eqn: P(1<X<=2) = P(X<=2) - P(X<=1)]

[eqn: = 1over 2 - 1over 3]

[eqn: = 1over 6]

ꂼ ②

9.

[eqn: 1`]부에서 [eqn: 3`]팀이 독창, 중창, 합창 순으로 공연하는 순서를 정하는 방법의 수는

[eqn: `_2 C_1 times `_2 C_1 times `_3 C_1`][eqn: =1 2`] (가지)

[eqn: 2`]부에서 남아있는 [eqn: 4`]팀이 독창, 중창, 합창, 합창 순으로 공연하는 순서를 정하는 방법의 수는

[eqn: `_1 C_1 times `_1 C_1 times `_2 P_2 =2] (가지)

따라서, 구하는 방법의 수는

[eqn: 12 times 2 = 24](가지)

ꂼ ④

10.

[eqn: f``(x)`]의 그래프와 그 역함수의 그래프의 교점은 [eqn: f``(x)`]의 그래프와 직선[eqn: y=x``]의 교점과 같고, 두 교점의 [eqn: x`]좌표가 1, 3이므로 교점의 좌표는 [eqn: (1,1),``(3,3)`]이다.

[eqn: f``(1) = 1`]에서 [eqn: a^1-m = 1`]이므로

[eqn: 1-m=0`]

∴ [eqn: m=1`]

[eqn: f``(3) = 3`]에서 [eqn: a^3-m = 3`]이므로

[eqn: a^2 = 3`]

[eqn: a>0`]이므로 [eqn: a= root3`]

∴ [eqn: a+m = 1+ root3`]

ꂼ ③

11.

[eqn: (1^2 + 1) cdot 1! + (2^2 +1) cdot 2! + cdots`]

[eqn: + (k^2 +1) cdot k! + left{ (k+1)^2 +1 right} cdot (k+1)!`]

[eqn: =[`k CDOT (k+1)!`]`+ LEFT { (k+1) ^{2} +1 RIGHT } CDOT (k+1)!`]

[eqn: = left{ k + (k+1)^2 + 1 right} cdot (k+1)!`]

[eqn: = LEFT ( [`k ^{2} +3k ^{2} +2`]` RIGHT ) CDOT (k+1)!`]

[eqn: = (k+1)(k+2) (k+1)!`]

[eqn: = (k+1) cdot [`(k+2)!`]]

ꂼ ②

12.

2장의 카드에 적혀있는 두 수의 합이 홀수인 사건을 [eqn: E`]라 하고, 주머니 A, B에서 꺼낸 카드에 적혀있는 수가 짝수인 사건을 각각 [eqn: A, B`]라 하면 구하는 확률은 [eqn: P(A`|`E)`]이다.

∴ [eqn: P`( A`|`E) = { P(A∩E)} over{ P(E)}`]

[eqn: = { P(A∩E)} over{ P(A∩E)+ P(B∩E)}`]

[eqn: = { 2over5 cdot 2over5 } over{ 2over5 cdot 2over5 + 3over5 cdot 3over5 }`]

[eqn: = 4 over 13`]

ꂼ ②

13.

신입사원의 키를 확률변수[eqn: X`]라고 하면

[eqn: X`]는 정규분포[eqn: N(m, 10^2 `)`]을 따른다.

[eqn: P (X>= 177) = P left( Z >= 177-m over 10 right)]

[eqn: = 0.242`]

[eqn: P left( 0<= Z<= 177-m over10 right)` = 0.5-0.242]

[eqn: = 0.258`]

이므로

[eqn: 177-m over 10 = 0.7`]에서

[eqn: m= 170`]

∴ [eqn: P`(X>= 180) = P left( Z >= 180-170 over 10 right)`]

[eqn: = P(Z>= 1)`]

[eqn: = 0.5- P(0<=Z<=1 )`]

[eqn: = 0.5 - 0.3413`]

[eqn: = 0.1587`]

ꂼ ①

14.

(ⅰ) [eqn: n`]이 짝수일 때,

[eqn: B_n-1]

[eqn: B_n]

[eqn: P]

•

•

•

[eqn: B_n`]에 이르는 최단경로는

[eqn: A `->`B_n-1 `->`B_n`]

또는 [eqn: A`->`P`->`B_n`]

∴ [eqn: a_n = a_n-1 ×1 + 1× 3! over{ 2! 1!}`]

[eqn: =a _{n-1} +3`]

(ⅱ) [eqn: n`]이 홀수일 때,

[eqn: B_n-1]

[eqn: B_n]

[eqn: Q]

•

•

•

•

[eqn: R]

[eqn: B_n`]에 이르는 최단경로는

[eqn: A `->`B_n-1 `->`B_n`]

또는 [eqn: A`->`Q`->`R`->`B_n`]

∴ [eqn: a _{n} =a _{n-1} TIMES 1+1 TIMES {3!} over {2!1!} TIMES 1`]

[eqn: =a _{n-1} +3`]

(ⅰ),(ⅱ)에서

[eqn: a_n = a_n-1 +3`]([eqn: n=2,3,4,cdots`])

이므로 수열[eqn: left{a_n`right}`]은 공차가 3인 등차수열이다.

[eqn: a_1 = 4! over{ 3!`1!} = 4`]이므로

[eqn: a_3 = 4 + 2 ×3 = 10`],

[eqn: a_7 = 4+ 6×3 = 22`]

∴ [eqn: a_3 + a_7 = 32`]

ꂼ ④

15.

ㄱ. [eqn: a=b`]이면

[eqn: AB = pmatrix{a&0#0&a}`]

[eqn: = aE`] ([eqn: E`]는 단위행렬)

이므로

[eqn: A cdot left( 1over a B right) = E`]

∴ [eqn: A^-1 = 1over a B`] (참)

ㄴ. ㄱ에서 [eqn: A^-1 = 1over a B`]이므로

[eqn: A cdot 1over a B = 1over a B cdot A]

[eqn: = E`]

∴ [eqn: AB = BA`] (참)

ㄷ. [eqn: AB = pmatrix{1&0#1&1}`B = pmatrix{a&0#0&b}`]이므로

[eqn: B = {pmatrix{1&0#1&1}}^-1`pmatrix{a&0#0&b}]

[eqn: `= pmatrix{1&0#-1&1}`pmatrix{a&0#0&b}`]

[eqn: = pmatrix{a&0#-a&b}`]

[eqn: BA = pmatrix{a&0#-a&b}`pmatrix{1&0#1&1}`]

[eqn: = pmatrix{a&0#-a+b&b}`]

[eqn: a ne b`]이므로

[eqn: -a+b ne 0`]

∴ [eqn: AB ne BA`] (거짓)

따라서, 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

ꂼ ③

16.

[eqn: x`]

[eqn: y`]

[eqn: O`]

[eqn: (x_2 , y_2 )`]

[eqn: 4]

[eqn: 3]

[eqn: 2]

[eqn: 2]

[eqn: 1]

[eqn: 1]

•

•

[eqn: (x_1 ,y_1 )]

[eqn: y= log_2`x]

[eqn: y= log_3`x]

[eqn: y=2-x]

ㄱ. [eqn: x_1 `>1`,``y_2 `<1`]이므로

[eqn: x_1`>`y_2`] (참)

ㄴ. [eqn: (x_1 , y_1 ) , (x_2 , y_2 )`]는 직선[eqn: y=2-x`] 위의 점이므로

[eqn: {y_2 - y_1 } over{ x_2 - x_1 } = -1`]

∴ [eqn: x_2 - x_1`= - (y_2 - y_1 )]

[eqn: = y_1 - y_2`] (참)

ㄷ. [eqn: x_1 y_1 - x_2 y_2 = x_1 (2- x_1 ) - x_2 ( 2- x_2 )`]

[eqn: = (x_2`^2 - x_1 `^2 ) - 2(x_2 - x_1 )`]

[eqn: = (x_2 - x_1 ) (x_2 + x_1 - 2 )`]

[eqn: x_2 - x_1 `>`0`]이고,

[eqn: x_ 1`>1 ,`x_2 `> 1`]에서 [eqn: x_1 + x_2 >`2`]이므로

[eqn: x_1 y_1 - x_2 y_2 `>`0`]

∴ [eqn: x_1 y_1 `>` x_2 y_2`] (참)

따라서, 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

ꂼ ⑤

17.

[eqn: O]

[eqn: Q]

[eqn: P]

[eqn: D]

[eqn: C]

[eqn: B]

[eqn: A]

[eqn: 8]

[eqn: 6]

[eqn: bar AC = 10,``bar PQ = 2`]이므로

[eqn: bar AP = 1over2 (10-2)` = 4`]

따라서,  모양의 닮은 도형들을 크기순으로 나열할 때, 인접하는 두 도형의 닮음비는

[eqn: 10``:``4 `= 5``:``2`]

이고, 넓이의 비는 [eqn: 25``:``4`]이다.

[eqn: R_1`]에 있는 원의 넓이는 [eqn: pi`]이고, 닮은꼴의 원의 개수는 크기순으로

[eqn: 1 , 4 , 4^2 , 4^3 , cdots`]

이므로

[eqn: lim_n->inf`S_n` = pi + 4 × 4over25 pi + 4^2 × left( 4 over25 right)^2 pi `]

[eqn: + 4^3 × left( 4over25 right)^3 pi + cdots`]

[eqn: = pi over{ 1- 16 over 25}`]

[eqn: = 25 over 9 pi`]

ꂼ ⑤

18.

등차수열[eqn: left{ a_n right}]의 첫째항을 [eqn: a`], 공차를 [eqn: d`]라 하면

[eqn: a _{2} =a+d=3] [eqn: cdots㉠]

[eqn: a_5 = a+ 4d = 24] [eqn: cdots㉡]

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

[eqn: a=-4], [eqn: d=7]

∴ [eqn: a_7 = a+ 6 d]

[eqn: = -4 + 6 CDOT 7`]

[eqn: = 38]

ꂼ [eqn: 38`]

19.

[eqn: (log_3 x ) (log_3 3x) <=20`]에서

[eqn: (log_3 x ) (log_3 3+ log_3 x) <=20][eqn: (log_3 x ) (1+ log_3 x) <=20]

[eqn: log_3 x= t`]로 놓으면

[eqn: t`(1+t`) <= 20`]

[eqn: t` ^{2} +t`-20 <= 0]

[eqn: (t+5)(t-4) <= 0]

∴ [eqn: -5 <= t <= 4`]

[eqn: -5 <= log _{3} x <= 4`]

[eqn: 3 ^{-5} <= x <= 3 ^{4}]

∴ [eqn: {1} over {243} <= x <= 81`]

따라서, 자연수[eqn: x`]의 최대값은 [eqn: 81`]이다.

ꂼ [eqn: 81`]

20.

[eqn: A= pmatrix { ``1``&``0`` #``3`` &``1`` }]에서

[eqn: A^2 = pmatrix { ``1``&``0`` #``3`` &``1`` } pmatrix { ``1``&``0`` #``3`` &``1`` }`]

[eqn: = pmatrix { ``1``&``0`` #``6`` &``1`` }]

[eqn: A^3 = A^2 A]

[eqn: = pmatrix { ``1``&``0`` #``6`` &``1`` } pmatrix { ``1``&``0`` #``3`` &``1`` }]

[eqn: = pmatrix { ``1``&``0`` #``9`` &``1`` }]

[eqn: cdots]

따라서, [eqn: A ^{n} = pmatrix{``1``&``0``#``3n``&``1``}] ([eqn: n >= 2`]의 자연수)을 추론할 수 있다.

∴ [eqn: A ^{8} = pmatrix{``1``&``0``#``24``&``1``}]

∴ [eqn: a=24`]

ꂼ [eqn: 24`]

21.

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } {a _{n}} over {4 ^{n}} =2`]이므로 [eqn: lim _{n -> INF } {} {a _{n}} over {4 ^{n}} =0]

∴ [eqn: lim _{n -> INF } {} {a _{n} +4 ^{n+1} -3 ^{n-1}} over {4 ^{n-1} +3 ^{n+1}}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} {{a _{n}} over {4 ^{n}} +4- {1} over {4} LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{n-1}} over {{1} over {4} +3 LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{n}}]

[eqn: = {0+4-0} over {{1} over {4} +0}]

[eqn: =16]

ꂼ [eqn: 16`]

22.

[eqn: M= 4`]일 때, [eqn: N= 64`]이므로

[eqn: log64 = a`-` 0.9 × 4`]

∴ [eqn: a=3.6+log64`]

[eqn: =3.6+6log2`]

[eqn: = 3.6 + 6 × 0.3`]

[eqn: = 5.4`]

[eqn: M= x`]일 때, [eqn: N= 1`]이므로

[eqn: log 1 = a - 0.9 x`]에서

[eqn: 0.9x = a = 5.4`]

∴ [eqn: 9x = 54`]

ꂼ [eqn: 54`]

23.

한 개의 주사위를 한 번 던질 때 [eqn: 1`]의 눈이 나올 확률은 [eqn: 1over 6`]이므로 확률변수[eqn: X`]는 이항분포[eqn: B` `left( 20 ,`` 1over 6 right)`]을 따른다.

∴ [eqn: V(X) = 20 times 1over 6 times 5over 6]

[eqn: = {25} over {9}]

한 개의 동전을 던질 때 앞면이 나올 확률은 [eqn: 1over 2`]이므로 확률변수[eqn: Y`]는 이항분포[eqn: B`` left(n ,`` 1over 2 right)]을 따른다.

∴ [eqn: V(Y) = n times 1over2 times 1 over2]

[eqn: = n over 4]

[eqn: V(Y)`>`V(X)`]이므로

[eqn: n over4 `>`25 over 9 `]에서

[eqn: n > 100 over 9][eqn: = 11. 1times times times]

따라서, 자연수[eqn: n`]의 최소값은 [eqn: 12`]이다.

ꂼ [eqn: 12`]

24.

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: C]

[eqn: C _{n}]

[eqn: \O]

[eqn: P]

[eqn: 2 over n]

[eqn: Q`]

[eqn: M]

삼각형[eqn: POM`]은 직각삼각형이고

[eqn: bar OP ~= 1], [eqn: bar OM = 1 over n]

이므로 [eqn: bar PM = root{ 1- 1over n^2 }]

∴ [eqn: l_n = 2 bar PM]

[eqn: =2 root{ 1- 1over n^2 }]

[eqn: (n l_n )^2 = n^2 l_n^2]

[eqn: =n^2 cdot 4 cdot { n^ 2 -1} over n^2]

[eqn: = 4(n^2 -1 )]

∴ [eqn: SUM_n=2 ^inf 1 over { (n l_n )^2 }]

[eqn: = SUM_n=2 ^inf 1 over{ 4 (n^2 -1)}]

[eqn: = lim_n->inf SUM_k=2 ^n 1 over{ 4 (k^2 -1)}]

[eqn: = lim_n->inf 1over4 SUM_k=2 ^n 1over 2 left(1over k-1 - 1over k+1 right)]

[eqn: = lim_n->inf 1over8 left{ left(1- 1over 3 right)+ left( 1over 2 - 1over 4 right) + left( 1over 3 - 1over 5 right) + cdots]

[eqn: + left( 1over n-1 right - 1over n+1 right) right}`]

[eqn: = lim_n->inf 1over8 left(1 + 1over 2 - 1over n - 1 over n+1 right) `]

[eqn: = 3 over 16]

∴ [eqn: p+q = 16+3 = 19`]

ꂼ [eqn: 19`]

25.

체험 프로그램을 1, 2, 3, 4, 5라 하자.

A, B가 함께 1을 선택하는 경우

2, 3, 4, 5 중 각각 1개씩을 선택하는 경우의 수는

[eqn: `_4 P_2 = 12`](가지)

A, B가 함께 2, 3, 4, 5를 선택하는 경우도 마찬가지이므로 구하는 경우의 수는

[eqn: 5× `_4 P_2 = 60`](가지)

ꂼ [eqn: 60`]

26.

점[eqn: A( 1, `f``(1))`]을 [eqn: x`]축 방향으로 [eqn: m`]만큼, [eqn: y`]축 방향으로 [eqn: n`]만큼 평행이동한 점[eqn: A`]의 좌표는 [eqn: (1+m , ``f``(1) + n`)`]이므로

[eqn: 1+m = 3`]에서 [eqn: m=2`]

따라서, [eqn: f``(x) = 2^x`]의 그래프를 [eqn: x`]축 방향으로 [eqn: 2`]만큼, [eqn: y`]축 방향으로 [eqn: n`]만큼 평행이동한 함수[eqn: g(x)`]는

[eqn: g(x) = 2^x-2 +n`]

이고, [eqn: y= g`(x)`]의 그래프가 점[eqn: (0,1)`]을 지나므로

[eqn: g(0) = 2^-2 + n = 1`]에서

[eqn: n= 3over4`]

∴ [eqn: m+n = 2+ 3over4 = 11 over 4`]

ꂼ ①

27.

6명을 2명, 2명, 2명으로 조를 편성하는 방법의 수는

[eqn: `_6 C_2 × `_4 C_2 `×`_2 C_2 × 1over 3! = 15×6 × 1 × 1over6]

[eqn: = 15`](가지)

A, B가 같은 조에 편성되고 C, D가 서로 다른 조에 편성하려면 E, F를 각각 C, D와 짝을 이루도록 해야하므로 그 방법의 수는

[eqn: 2! = 2`](가지)

따라서, 구하는 확률은

[eqn: 2over15`]

ꂼ ③

28.

[eqn: y`]좌표가 같은 점끼리 군으로 묶으면

[eqn: (`(0,0) `) ,`(`(0,3),(1,3),`(2,3)`),`]

[eqn: (`(0,5),(1,5),(2,5),(3,5),(4,5)`)`, cdots`]

제[eqn: n`]군까지의 항수는

[eqn: 1+ 3+ 5+ cdots + (2n-1) = n^2`]

이므로 100번째 항은 제10군의 마지막 항이다. 제10군은

[eqn: (0,19),`(1,19),(2,19),cdots ,(18,19)`]

이므로 100번째 항은 [eqn: (18,19)`]이다.

∴ [eqn: p+q = 18+19 = 37`]

ꂼ ④

29.

ㄱ. [eqn: P(|`Z| <=c `) = 1-0.06 = 0.94`]이므로

[eqn: P`(0<= Z<= c ) = 1over2 `P`( |`Z`|`<= c )`]

[eqn: = 0.47`]

[eqn: P`(Z>a`)`= 0.05`]이면

[eqn: P(0<=Z<=a ) = 0.45`]

따라서, [eqn: P(0<=Z<=a) `<`P(0<=Z<=c )`]이므로

[eqn: a<c`] (참)

ㄴ. 모평균[eqn: m= 75`], 모표준편차[eqn: σ =5`],

표본의 크기[eqn: n= 25`]이므로

[eqn: E( bar X`) = m = 75`]

[eqn: V( bar X`) = σ^2 over n]

[eqn: = 25 over 25 = 1`]

따라서, 확률변수[eqn: bar X`]는 정규분포[eqn: N( 75,1)`]을 따르므로

[eqn: P ( bar X`<= c+75 `) = P(Z<= c)`]

[eqn: = 0.5 + P(0<= Z<= c )`]

[eqn: = 0.5 + 0.47 = 0.97`] (참)

ㄷ. [eqn: P `( bar X` >b`) = P(Z`>`b-75 ) = 0.01`]이므로

[eqn: P(0<=Z<= b-75 ) = 0.49`]

[eqn: P(0<=Z<= c) `< `P(0<=Z<= b-75`)`]이므로

[eqn: c`<`b-75`] (참)

따라서, 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

ꂼ ⑤

30.

[eqn: log N`]의 지표가 1이므로

[eqn: log N = 1+ α`]

[eqn: 1over2 + log N = α + log_4 `N over 8`]

[eqn: = α + log_4`N - log_4 `8`]

[eqn: = α + {log N} over {log 4} - 3over2`]

[eqn: 1over2 + 1+ α = α + 1+α over log4 - 3over2`]

[eqn: 3`log4 = 1+ α`]

∴ [eqn: log N = 1+ α = 3log4 = log 64`]

∴ [eqn: N = 64`]

ꂼ [eqn: 64`]