(홀수형)

2008학년도 대학수학능력시험 (수리영역-가형)  정답 및 해설

1.

[eqn: 8^{2over3} + log_2`8`]

[eqn: = left(2^3 right)^{2over3} + log_2`2^3`]

[eqn: = 2^2 +3`]

[eqn: =7`]

□ ③

2.

[eqn: X= 2B-A`]

[eqn: = pmatrix{4&0#2&-2}`- pmatrix{1&-2#3&0}`]

[eqn: = pmatrix{3&2#-1&-2}`]

□ ①

3.

[eqn: f``(x)`]는 [eqn: x=3`]에서 연속이므로

[eqn: lim_x->3`f``(x) = f``(3)`]이어야 한다.

[eqn: lim_x->3`f``(x) = lim_x->3`{x^2 +x-12} over x-3`]

[eqn: = lim_x->3`{(x-3)(x+4)} over x-3`]

[eqn: = lim_x->3`(x+4)`]

[eqn: =7`]

∴ [eqn: f``(3) = a=7`]

□ ④

4.

[eqn: f``(x) = A(x+3)`],[eqn: g(x ) = B(x+3)`]

([eqn: A,B`]는 서로소인 두 일차식)으로 놓으면

[eqn: L= AB(x+3) = x(x+3)(x-4)`]에서

[eqn: A=x,`B= x-4`]

또는 [eqn: A= x-4 , B= x`]

[eqn: 1over{f``(x)} + 1over{g(x)} <= 0`]

⇔ [eqn: {B+A} over L `<=0`]

⇔ [eqn: {x+x-4} over{ x(x+3)(x-4)}<=0`]

⇔ [eqn: 2(x-2)x(x+3)(x-4)<=0`],

[eqn: x ne -3 ,`x ne 0 ,`x ne 4`]

⇔ [eqn: -3<x<0 ,``2<=x<4`]

따라서, 정수 [eqn: x`]는 [eqn: -2,-1,2,3]의 4개이다.

□ ④

5.

[eqn: y= log_2`(x+a)+b`]의 점근선은

[eqn: x=-a`],

포물선[eqn: y^2 = x`]의 준선은

[eqn: x = - 1over4`]이므로

[eqn: a= 1over4`]

[eqn: y= log_2`(x+a)+b`]가

[eqn: y^2 = x`]의 초점[eqn: left( 1over4 , 0 right)`]을 지나므로

[eqn: 0 = log_2`left( 1over4 + 1over4 right) + b`]

[eqn: = log_2``1over2 + b`]

[eqn: = -1 + b`]

∴ [eqn: b=1`]

∴ [eqn: a+b= 5over4`]

□ ①

6.

ㄱ. [eqn: f``'(x)`=0`]은 최고차항의 계수가 양수인 삼차방정식이고, 서로 다른 세 실근을 가지므로 [eqn: y= f``'(x)`]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

[eqn: x]

[eqn: y=f`'(x)]

[eqn: γ]

[eqn: β]

[eqn: α]

[eqn: x=β`]의 좌우에서 [eqn: f``'(x)`]의 부호가 양에서 음으로 바뀌므로 [eqn: f``(x)`]는 [eqn: x=β`]에서 극대값을 갖는다. (참)

ㄴ. 사차함수[eqn: y=f``(x)`]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

[eqn: y=f``(x)]

[eqn: x=α]

[eqn: x=β]

[eqn: x=γ]

따라서, [eqn: f``(α) `f``(β) `f``(γ)`<0`]인 경우는 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: f``(α)<0 , f``(β)<0`,`f``(γ)<0`]

[eqn: x]

[eqn: α]

[eqn: β]

[eqn: γ]

(ⅱ) [eqn: f``(α)<0 , f``(β)>0`,`f``(γ)>0`]

[eqn: x]

[eqn: α]

[eqn: β]

[eqn: γ]

(ⅲ) [eqn: f``(α)>0 , f``(β)>0`,`f``(γ)<0`]

[eqn: x]

[eqn: α]

[eqn: β]

[eqn: γ]

그러므로 방정식[eqn: f``(x) = 0`]은 서로 다른 두 실근을 갖는다. (참)

ㄷ. ㄴ의 (ⅲ)에서 방정식[eqn: f``(x)=0`]의 두 실근은 모두 [eqn: β`]보다 크다. (거짓)

따라서, 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

□ ③

7.

점[eqn: P`]의 좌표를 [eqn: (3,t,1)`]([eqn: t`]는 실수)로 놓으면

[eqn: bar OP = root{ 3^2 + t`^2 + 1^2 }]

[eqn: = root{ t`^2 + 10}`]

이므로

[eqn: t`=0`]일 때, [eqn: bar OP`]의 최소값은 [eqn: root10`]이다.

□ ②

8.

ㄱ. [eqn: lim_x->-0`f``(x) = -1`],[eqn: lim_x->+0 `f``(x) = 1`]이므로

[eqn: lim_x->0`f``(x)`]는 존재하지 않는다. (거짓)

ㄴ. [eqn: y=f``(-x)`]의 그래프는 [eqn: y=f``(x)`]의 그래프를 [eqn: y`]축에 대하여 대칭이동한 것이므로 다음과 같다.

[eqn: x`]

[eqn: y`]

[eqn: O`]

[eqn: 1]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 2]

[eqn: -1]

[eqn: -1]

[eqn: -2]

[eqn: -2]

◦

•

[eqn: y=f`(-x)]

•

•

◦

◦

◦

◦

따라서, [eqn: g`(x) = f``(x) + f``(-x)`]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: x`]

[eqn: y`]

[eqn: O`]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: -1]

[eqn: -2]

◦

•

[eqn: y=g(x)]

◦

◦

[eqn: -1]

[eqn: lim_x->-0 `g(x) = lim_x->+0`g(x ) = 0`]이므로

[eqn: lim_x->0`g(x) = 0`] (참)

ㄷ. ㄴ에서 [eqn: g(x)`]는 [eqn: x=1`]에서 연속이다.

(참)

따라서, 보기 중 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

□ ⑤

9.

구[eqn: (x-1)^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2 = 9`]의 반지름의 길이가 3이므로

[eqn: |`vec CP``| = |`vec CQ``|` = 3`]

[eqn: θ]

[eqn: Q]

[eqn: P]

[eqn: C]

[eqn: 3]

[eqn: 3]

[eqn: 2root6`]

두 벡터[eqn: vec CP ,``vec CQ`]가 이루는 각의 크기를 [eqn: θ`]라 하면

[eqn: vec CP `• vec CQ` = |`vec CP``|`|`vec CQ``|` cosθ`]

[eqn: = 9 cosθ`]

이므로 [eqn: cosθ`]의 값이 최소일 때, [eqn: vec CP`• vec CQ`]의 값도 최소값을 갖는다.

또한, [eqn: 0<=θ < pi`]일 때 [eqn: θ`]의 값이 클수록 [eqn: cosθ`]의 값이 작아지므로 구와 평면의 교선인 원[eqn: S`] 위의 점[eqn: P,Q`]가 지름의 양끝점일 때 [eqn: cosθ`]는 최소값을 갖는다.

구의 중심[eqn: C(1,1,1)`]에서 평면[eqn: x+y+z=6`]에 이르는 거리는

[eqn: {|`1+1+1-6`|} over{ root{ 1^2 + 1^2 + 1^2 }} = root3`]

이고, 구의 반지름의 길이가 3이므로

원 [eqn: S`]의 반지름의 길이를 [eqn: r`]라 하면

[eqn: r = root{ 3^2 - (root3 )^2 } = root 6`]

삼각형[eqn: CPQ`]에서

제이코사인법칙에 의하여

[eqn: cosθ` = {3^2 + 3^2 + (2root6 )^2 } over { 2 cdot 3 cdot 3 }]

[eqn: = - 1over3`]

이므로 구하는 [eqn: vec CP`• vec CQ`]의 최소값은

[eqn: 9 cosθ = 9 cdot left( - 1over3 right)]

[eqn: = - 3`]

□ ①

10.

[eqn: f``(x)`]의 그래프와 그 역함수의 그래프의 교점은 [eqn: f``(x)`]의 그래프와 직선[eqn: y=x``]의 교점과 같고, 두 교점의 [eqn: x`]좌표가 1, 3이므로 교점의 좌표는 [eqn: (1,1),``(3,3)`]이다.

[eqn: f``(1) = 1`]에서 [eqn: a^1-m = 1`]이므로 [eqn: 1-m=0`]

∴ [eqn: m=1`]

[eqn: f``(3) = 3`]에서 [eqn: a^3-m = 3`]이므로 [eqn: a^2 = 3`]

[eqn: a>0`]이므로 [eqn: a= root3`]

∴ [eqn: a+m = 1+ root3`]

□ ③

11.

[eqn: (1^2 + 1) cdot 1! + (2^2 +1) cdot 2! + cdots`]

[eqn: + (k^2 +1) cdot k! + left{ (k+1)^2 +1 right} cdot (k+1)!`]

[eqn: = [`k cdot (k+1)!`] + left{ (k+1)^2 + 1 right} cdot (k+1)!`]

[eqn: = left{ k + (k+1)^2 + 1 right} cdot (k+1)!`]

[eqn: = left( [ `k^2 + 3k^2 +2` ]right) cdot (k+1)!`]

[eqn: = (k+1)(k+2) (k+1)!`]

[eqn: = (k+1) cdot [`(k+2)!`]]

□ ②

12.

2장의 카드에 적혀있는 두 수의 합이 홀수인 사건을 [eqn: E`]라 하고, 주머니 A, B에서 꺼낸 카드에 적혀있는 수가 짝수인 사건을 각각 [eqn: A, B`]라 하면 구하는 확률은 [eqn: P(A`|`E)`]이다.

∴ [eqn: P`( A`|`E) = { P(A∩E)} over{ P(E)}`]

[eqn: = { P(A∩E)} over{ P(A∩E)+ P(B∩E)}`]

[eqn: = { 2over5 cdot 2over5 } over{ 2over5 cdot 2over5 + 3over5 cdot 3over5 }`]

[eqn: = 4 over 13`]

□ ②

13.

신입사원의 키를 확률변수[eqn: X`]라고 하면

[eqn: X`]는 정규분포[eqn: N(m, 10^2 `)`]을 따른다.

[eqn: P (X>= 177) = P left( Z >= 177-m over 10 right)]

[eqn: = 0.242`]

[eqn: P left( 0<= Z<= 177-m over10 right)` = 0.5-0.242]

[eqn: = 0.258`]

이므로

[eqn: 177-m over 10 = 0.7`]에서

[eqn: m= 170`]

∴ [eqn: P`(X>= 180) = P left( Z >= 180-170 over 10 right)`]

[eqn: = P(Z>= 1)`]

[eqn: = 0.5- P(0<=Z<=1 )`]

[eqn: = 0.5 - 0.3413`]

[eqn: = 0.1587`]

□ ①

14.

(ⅰ) [eqn: n`]이 짝수일 때,

[eqn: B_n-1]

[eqn: B_n]

[eqn: P]

•

•

•

[eqn: B_n`]에 이르는 최단경로는

[eqn: A `->`B_n-1 `->`B_n`]

또는 [eqn: A`->`P`->`B_n`]

∴ [eqn: a_n = a_n-1 ×1 +1× 3! over{ 2! 1!}`]

[eqn: =a _{n-1} +3`]

(ⅱ) [eqn: n`]이 홀수일 때,

[eqn: B_n-1]

[eqn: B_n]

[eqn: Q]

•

•

•

•

[eqn: R]

[eqn: B_n`]에 이르는 최단경로는

[eqn: A `->`B_n-1 `->`B_n`]

또는 [eqn: A`->`Q`->`R`->`B_n`]

∴ [eqn: a _{n} =a _{n-1} TIMES 1+1 TIMES {3!} over {2!1!} TIMES 1`]

[eqn: =a _{n-1} +3`]

(ⅰ),(ⅱ)에서

[eqn: a_n = a_n-1 +3`]([eqn: n=2,3,4,cdots`])

이므로 수열[eqn: left{a_n`right}`]은 공차가 3인 등차수열이다.

[eqn: a_1 = 4! over{ 3!`1!} = 4`]이므로

[eqn: a_3 = 4 + 2 ×3 = 10`],

[eqn: a_7 = 4+ 6×3 = 22`]

∴ [eqn: a_3 + a_7 = 32`]

□ ④

15.

ㄱ. [eqn: a=b`]이면

[eqn: AB = pmatrix{a&0#0&a}`]

[eqn: = aE`] ([eqn: E`]는 단위행렬)

이므로

[eqn: A cdot left( 1over a B right) = E`]

∴ [eqn: A^-1 = 1over a B`] (참)

ㄴ. ㄱ에서 [eqn: A^-1 = 1over a B`]이므로

[eqn: A cdot 1over a B = 1over a B cdot A]

[eqn: = E`]

∴ [eqn: AB = BA`] (참)

ㄷ. [eqn: AB = pmatrix{1&0#1&1}`B = pmatrix{a&0#0&b}`]이므로

[eqn: B = {pmatrix{1&0#1&1}}^-1`pmatrix{a&0#0&b}]

[eqn: `= pmatrix{1&0#-1&1}`pmatrix{a&0#0&b}`]

[eqn: = pmatrix{a&0#-a&b}`]

[eqn: BA = pmatrix{a&0#-a&b}`pmatrix{1&0#1&1}`]

[eqn: = pmatrix{a&0#-a+b&b}`]

[eqn: a ne b`]이므로

[eqn: -a+b ne 0`]

∴ [eqn: AB ne BA`] (거짓)

따라서, 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

□ ③

16.

[eqn: x`]

[eqn: y`]

[eqn: O`]

[eqn: (x_2 , y_2 )`]

[eqn: 4]

[eqn: 3]

[eqn: 2]

[eqn: 2]

[eqn: 1]

[eqn: 1]

•

•

[eqn: (x_1 ,y_1 )]

[eqn: y= log_2`x]

[eqn: y= log_3`x]

[eqn: y=2-x]

ㄱ. [eqn: x_1 `>1`,``y_2 `<1`]이므로

[eqn: x_1`>`y_2`] (참)

ㄴ. [eqn: (x_1 , y_1 ) , (x_2 , y_2 )`]는 직선[eqn: y=2-x`] 위의 점이므로

[eqn: {y_2 - y_1 } over{ x_2 - x_1 } = -1`]

∴ [eqn: x_2 - x_1`= - (y_2 - y_1 )]

[eqn: = y_1 - y_2`] (참)

ㄷ. [eqn: x_1 y_1 - x_2 y_2 = x_1 (2- x_1 ) - x_2 ( 2- x_2 )`]

[eqn: = (x_2`^2 - x_1 `^2 ) - 2(x_2 - x_1 )`]

[eqn: = (x_2 - x_1 ) (x_2 + x_1 - 2 )`]

[eqn: x_2 - x_1 `>`0`]이고,

[eqn: x_ 1`>1 ,`x_2 `> 1`]에서 [eqn: x_1 + x_2 >`2`]이므로

[eqn: x_1 y_1 - x_2 y_2 `>`0`]

∴ [eqn: x_1 y_1 `>` x_2 y_2`] (참)

따라서, 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

□ ⑤

17.

[eqn: O]

[eqn: Q]

[eqn: P]

[eqn: D]

[eqn: C]

[eqn: B]

[eqn: A]

[eqn: 8]

[eqn: 6]

[eqn: bar AC = 10,``bar PQ = 2`]이므로

[eqn: bar AP = 1over2 (10-2)` = 4`]

따라서,  모양의 닮은 도형들을 크기순으로 나열할 때, 인접하는 두 도형의 닮음비는

[eqn: 10``:``4 `= 5``:``2`]

이고, 넓이의 비는 [eqn: 25``:``4`]이다.

[eqn: R_1`]에 있는 원의 넓이는 [eqn: pi`]이고, 닮은꼴의 원의 개수는 크기순으로

[eqn: 1 , 4 , 4^2 , 4^3 , cdots`]

이므로

[eqn: lim_n->inf`S_n` = pi + 4 × 4over25 pi + 4^2 × left( 4 over25 right)^2 pi `]

[eqn: + 4^3 × left( 4over25 right)^3 pi + cdots`]

[eqn: = pi over{ 1- 16 over 25}`]

[eqn: = 25 over 9 pi`]

□ ⑤

18.

[eqn: f``'(x) = 3x^2 - 12]

[eqn: = 3 (x+2)(x-2)=0`]에서

[eqn: x= -2 ,`2`]

따라서, [eqn: f``(x)`]는 [eqn: x=-2`]일 때 극대값을 갖고, 극대값은

[eqn: f``(-2) = -8+24 = 16`]

∴ [eqn: a=-2,``b=16`]

∴ [eqn: a+b = 14`]

□ [eqn: 14`]

19.

[eqn: x`]

[eqn: y`]

[eqn: O`]

[eqn: y= 1over4 x^2`]

[eqn: 4]

[eqn: y= 1over4 x^2`]에서 [eqn: x^2 = 4y`]이므로

구하는 회전체의 부피는

[eqn: V= int_0^4``pi x^2 `dy`]

[eqn: = int_0^4 ``4`pi y``dy`]

[eqn: = left[ `2`pi y^2 `right]_0^4`]

[eqn: = 32 pi`]

∴ [eqn: k = 32`]

□ [eqn: 32`]

20.

[eqn: lim_n->inf`1over n sum_k=1^n `f``left( 1+ 2k over n right)`]

[eqn: = lim_n->inf` sum_k=1^n `f``left( 1+ 2k over n right)`cdot 2over n cdot 1over2`]

[eqn: = 1over2 `int_1^3 `f``(x)``dx`]

[eqn: = 1over2 int_1^3 `(x^3 + x ) `dx`]

[eqn: = 1over2 left[ 1over4 x^4 + 1over2 x^2 right]_1^3`]

[eqn: = 1over2 left( 81 over 4 + 9 over 2 - 1over4 - 1over2 right)`]

[eqn: = 1over2 (20+4 )`]

[eqn: = 12`]

□ [eqn: 12`]

21.

쌍곡선[eqn: x^2 over 16 - y^2 over 9 = 1`]의 주축의 길이는

[eqn: 2 ×4 = 8`]

이므로 쌍곡선의 정의에 의하여

[eqn: bar{PF`'} - bar PF` = bar QF` - bar {QF`' } = 8`]

∴ [eqn: bar {PF`'} = bar PF` + 8`] [eqn: cdots ㉠`]

[eqn: bar {QF`'}` = bar QF` - 8`] [eqn: cdots ㉡`]

㉠-㉡에서

[eqn: bar{ PF`'} - bar {QF`'}` = bar PF - bar QF + 16`]

[eqn: bar { PF`' } - bar { QF`'} = 3`]이므로

[eqn: bar QF - bar PF = 16-3 = 13`]

□ [eqn: 13`]

22.

[eqn: M= 4`]일 때, [eqn: N= 64`]이므로

[eqn: log64 = a`-` 0.9 × 4`]

∴ [eqn: a = 3.6 + log 64`= 3.6 + 6 log2 `]

[eqn: = 3.6 + 6 × 0.3` = 5.4`]

[eqn: M= x`]일 때, [eqn: N= 1`]이므로

[eqn: log 1 = a - 0.9 x`]에서 [eqn: 0.9x = a = 5.4`]

∴ [eqn: 9x = 54`]

□ [eqn: 54`]

23.

[eqn: x`]

[eqn: y`]

[eqn: z`]

[eqn: O`]

[eqn: D(0,0,2)`]

[eqn: C]

[eqn: B(0,1,0)`]

[eqn: A]

[eqn: -3]

[eqn: 2]

[eqn: P]

•

직선[eqn: BD`]의 방정식은

[eqn: y over 1 = z-2 over -2 ,``x=0`]

이고, 직선 위의 임의의 점[eqn: P`]의 좌표를

[eqn: (0, t`, -2t`+2 )`]

로 놓으면

[eqn: bar PA`^2 + bar PC`^2][eqn: = 2^2 + (-t)^2 + (2t-2)^2 `]

[eqn: + (-3)^2 + (-t)^2 + (2t-2)^2`]

[eqn: = 10t`^2 - 16t` + 21`]

[eqn: = 10 left( t`- 4over5 right)^2 + 73 over 5`]

[eqn: t`= 4over5`]일 때, [eqn: bar PA`^2 + bar PC`^2`]의 값은 최소이고, 점[eqn: P`]의 좌표는 [eqn: left( 0 , 4over5 , 2over5 right)`]이므로 점[eqn: P`]는 선분[eqn: BD`] 위에 있다.

∴ [eqn: a+b+c = 0+ 4over5 + 2over5 = 6 over 5`]

∴ [eqn: p+q = 5+6 = 11`]

□ [eqn: 11`]

24.

[eqn: O`]

[eqn: A`]

[eqn: B`]

[eqn: C`]

[eqn: θ]

[eqn: H]

[eqn: M]

두 평면[eqn: OAB ,`ABC`]가 이루는 각을 [eqn: θ`]라 하면

[eqn: cosθ = {bar MH} over{ bar AM}`]

[eqn: = {bar MH} over{ bar CM}`= 1over3`]

[eqn: O`]

[eqn: A`]

[eqn: B`]

[eqn: C`]

위의 그림과 같이 [eqn: △OAB`]에서 어두운 부분을 평면[eqn: ABC`] 위로 정사영시키고, [eqn: △OBC `],[eqn: △OCA`]에서도 같은 방법으로 정사영시키면 이들은 서로 겹치지 않고 [eqn: S_1 , S_2 , S_3`]로 둘러싸인 부분과 일치한다.

[eqn: △OAB`]에서 내접원의 반지름의 길이를 [eqn: r`]라고 하면

[eqn: 1over2 r `(6+6+6) = root3 over 4 × 6^2`]

∴ [eqn: r = root3`]

따라서, 어두운 부분의 넓이는

[eqn: 1over3 left( root3 over 4 × 6^2 - 3pi`right)` = 3root3 - pi`]

이므로 구하는 넓이[eqn: S`]는

[eqn: S = (3 root3 - pi )× cos θ ``×`3`]

[eqn: = (3 root3 - pi ) × 1over3 × 3`]

[eqn: = 3root3 - pi`]

∴ [eqn: (S+pi )^2 = (3root3 )^2 = 27`]

□ [eqn: 27`]

25.

체험 프로그램을 1, 2, 3, 4, 5라 하자.

A, B가 함께 1을 선택하는 경우

2, 3, 4, 5 중 각각 1개씩을 선택하는 경우의 수는

[eqn: `_4 P_2 = 12`](가지)

A, B가 함께 2, 3, 4, 5를 선택하는 경우도 마찬가지이므로 구하는 경우의 수는

[eqn: 5× `_4 P_2 = 60`](가지)

□  [eqn: 60`]

미분과 적분

26.

[eqn: cos2 alpha`=`1`-2sin^2` alpha`=`1- 2× ( 3 over 4 )^2]

[eqn: `=1`-` 9 over 8`=` - 1over 8]

□ ③

27.

ㄱ. [eqn: f(x)`=`x+sinx]에서

[eqn: f` prime`(x)`=`1`+`cosx`], [eqn: f` prime` prime (x)`=`-`sinx`]

[eqn: 0``＜x``＜pi]에서   [eqn: 0``＜ `sinx``＜1]

[eqn: THEREFORE]    [eqn: -1`＜```f` prime` prime (x)`＜```0`]

따라서, [eqn: f(x)]는 [eqn: 0``＜x``＜pi]에서 위로 볼록하다.  (참)

ㄴ. [eqn: g`prime (x)`=`f` prime`(`f(x)`)`f` prime`(x)]

[eqn: `=``(`1+`cosf(x)`)`(`1+`cosx)]

[eqn: 0``＜x``＜pi]에서 [eqn: -1`＜ cosx`＜1], [eqn: cosf(x)``＞``0`]       이므로 [eqn: 1+`cosf(x)`＞0`,``````1+`cosx ``＞`0`]

[eqn: THEREFORE]  [eqn: g`` prime(x)``＞``0]

따라서, [eqn: g(x)]는[eqn: 0``＜x``＜pi]에서 증가한다. (참)

ㄷ.  [eqn: g(0)`=`f(f(0))=f(0)`=`0]

[eqn: g(pi)`=f(f(pi))=f(pi)=pi]

[eqn: g(x)]가 [eqn: [0`,`pi]]에서 연속이고, [eqn: (0, pi)]에서

미분가능하므로

[eqn: f` prime`(`x`)`=`{g(pi)-g(0)} over {pi-0}`=`1]인[eqn: x][eqn: (`0``＜``x``＜``pi`)]        가 적어도 하나 존재한다. (평균값 정리)                                             (참)

따라서, 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ 이다.

□ ⑤

28.

사각형[eqn: RMAODE]에서

[eqn: {ANGLE rmD AE}`=`pi-2 theta], [eqn: rm ANGLEA DO= ANGLEA EO`=`90 DEG]

이므로 [eqn: rm ANGLEDOE`=`2 theta]

한편, [eqn: rmO]에서 선분[eqn: rmBC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하고, 내접원의 반지름의 길이를 [eqn: r]라 하면

[eqn: tan thetaover 2`=`{rmbarOH over barCH} =`r over 1`=`r]

[eqn: THEREFORE]  [eqn: S( theta)`=` {rmTRIANGLE OED}`=`1 over 2`r^2`sin2 theta]

[eqn: `=`1 over 2`tan^2` thetaover 2``sin2 theta`=`sin theta```cos theta``tan^2` theta over 2]

[eqn: THEREFORE]  [eqn: lim _{ theta ->+0} {S( theta)} over theta^3`=` lim _{ theta ->+0} { sin theta`cos theta`tan^2` theta over 2 } over theta^3]

[eqn: `=`lim _{ theta ->+0} {cos theta }`` {sin theta }over theta `{`tan^2` theta over 2} over { 4( theta over 2 )}^2]

[eqn: `= 1over 4]

□ ②

29.

어두운 부분의 넓이를 [eqn: S(t)]라 하면

(ⅰ) [eqn: 0``≦t``≦1`]일 때

(호[eqn: rmAP]의 길이)[eqn: = pi over 2 t], [eqn: {rm ANGLEAOP`}=`pi over 2`t], [eqn: {rmbarOQ}`=`1-t]

이므로

[eqn: S(t)`=`piover 4 t`- 1over 2`(1-t)`sin pi over 2 t]

[eqn: lim _{ h->-0} {S(1+h)-S(1) } over h`=`lim _{ h->-0} {pi over 4 (1+h)+ 1OVER 2` h``cos pi over 2 h- pi over 4 } over h]

[eqn: `=`lim _{ h->-0} { ( pi over 4 + 1OVER 2` cos pi over 2 ) }]

[eqn: `=` pi over 4`+`1 over 2]

(ⅱ) [eqn: 1`＜`t``≦2`]일 때

(호[eqn: rmAP]의길이)[eqn: = pi over 2 t],[eqn: {rm ANGLEAOP`}=`pi over 2`t], [eqn: {rmbarOQ}`=`t-1]

이므로 [eqn: S(t)`=` {pi } over {4} t`+ {1} over {2} `(t-1)`sin {pi } over {2} t]

[eqn: lim _{h -> +0} {} {S(1+h)-S(1)} over {h}]

[eqn: `=` lim _{h -> +0} {} {{pi } over {4} (1+h)+ {1} over {2} `h``cos {pi } over {2} h- {pi } over {4}} over {h}]

[eqn: `=`lim _{ h->-0} { ( pi over 4 + 1OVER 2` cos pi over 2 ) }]

[eqn: `=` pi over 4`+`1 over 2]

(ⅰ),(ⅱ)에서  [eqn: S` prime (`1`)`=` pi over 4`+``1 over 2]

□ ④

30.

[eqn: f(x)`=`1 over 3`(`x^2`+`2 )^{3 over 2 }]라 하면 구하는 길이는

[eqn: int _{ 0} ^{6 } {root{ 1+` LEFT { f` prime(x)} RIGHT }^2` }`dx`]

[eqn: =`int _{ 0} ^{6 } {root{ 1+` LEFT { 1over 2`(`x^2`+2`)^ {1over 2} 2x}` RIGHT }^2` }dx]                        [eqn: =`int _{ 0} ^{6 } {root{ 1+` LEFT { x^2``(`x^2`+2`) } RIGHT }` }`dx]

[eqn: =`int _{ 0} ^{6 } {root{ (x^2`+`1)`^2`} }`dx]

[eqn: =`int _{ 0} ^{6 } (x^2`+`1) }`dx`=`[`` 1over 3`x^3`+`x]_0^6]

[eqn: `=`72`+6`=`78]

□ 78

확률과 통계

26.

계급	0이상~10미만	10~20	20~30	30~40	40~50
도수	0	1	2	4	4

50~60	60~70	70~80	80~90	90~100	계
5	4	5	3	0	28

ㄱ. 위 도수분포표에서 학생의 수는 28명이다. <참>

ㄴ. 중앙값은 [eqn: { 28 } over { 2 } +1=15]번째의 수이므로 50점이상 60점 미만이다. <참>

ㄷ. 30점 이상 40점 미만의 두수는 4이므로 상대도수는

[eqn: { 4 } over { 28 } = { 1 } over { 7 }]

이다. <거짓>

따라서, 옳은 것은 ㄱ, ㄴ 이다.

□ ③

27.

[eqn: rm P ( it X=0)+ rm P( it X=2)=1]이므로

확률변수 [eqn: X]의 확률분포표는 다음과 같다.

[eqn: X]	[eqn: 0]	[eqn: 2]	계
[eqn: rm P ( it X )]	[eqn: a]	[eqn: b]	1

[eqn: E(X)=2b] 이고 [eqn: E(X^2 ) = 2^2 b = 4b] 이므로

[eqn: V(X)= E(X^2 ) - LEFT{ E(X) RIGHT}^2]

[eqn: = 4b-4b^2]

따라서 [eqn: LEFT{ E(X) RIGHT}^2 = 2 V(X)] 에서

[eqn: 4b^2 = 2 times(4b - 4b^2 )], [eqn: b= 2-2b]

[eqn: therefore] [eqn: P(X=2)= b = 2 over 3]

□ ④

28.

구하고자 하는 확률은

[eqn: 1- {`_4 P_2 TIMES 4!} over {6!} = 1- {4TIMES3 TIMES 4!} OVER {6!}]

[eqn: = 1- 4TIMES3 OVER 6TIMES5]

[eqn: = 1- 2 OVER 5 = 3 OVER 5]

□ ②

29.

[eqn: P( 1 OVER 4 < Y<= 3 OVER 4 ) = P( Y> 1 OVER 4 ) - P( Y> 3 OVER 4 )]

[eqn: = 0.8-0.2=0.6]

[eqn: P(X>k) = G(k) = -k+1 = 0.6]

[eqn: therefore] [eqn: k= 0.4 = 2 over 5]

□ ⑤

30.

모비율 에 대한 신뢰구간

이 때, 주어진 신뢰구간이 이므로 신뢰구간의 양끝 값을 더하면

300명의 학생 중에서 오전 시 이전에 등교한 학생수를 라 하면 이므로

□ 225

이산수학

26.

9 = 7+1+1=5+3+1

= 3+3+3

= 5+1+1+1+1

= 3+3+1+1+1

= 3+1+1+1+1+1+1

=1+1+1+1+1+1+1+1+1

□ ②

27.

ㄱ. 해밀턴회로  ADBECFA가 존재한다.         (참)

ㄴ.  점A와 점C를 잇고 점D와 점E를

이으면 오일러회로가 존재하는 그래         프로 만들 수 있다. (참)

ㄷ. 오른쪽과 같이           꼭지점에서만          만나게 평면           위에 다시

A

B

D

E

C

F

그릴 수 있으          므로 평면그래프이다.    (참)

따라서 옳은 것은  ㄱ, ㄴ, ㄷ

□ ⑤

28.

5개의 지역을 다음과 같이 연결하면 최소    비용은

3 + 2 + 1 + 3 = 9 (억원)

이다.

A

B

D

E

C

3

2

3

1

□ ③

29.

[eqn: n=1]일 때[eqn: a_1 =3]

[eqn: n=2]일 때

AC, BA, BC, CA, CB

이므로  [eqn: a_2 =5]

그런데 수열 [eqn: LEFT { `a_n `RIGHT }]은 점화식

[eqn: a_n+2 =a_n+1 +a_n]을 만족하므로

[eqn: a_3 =a_2 +a_1 = 5+3=8]

[eqn: a_4 =a_3 +a_2 = 8+5=13]

[eqn: a_5 =a_4 +a_3 = 13+8=21]

[eqn: a_6 =a_5 +a_4 = 21+13=34]

□ ④

30.

모든 점이 변으로 연결되기 위해서는 6개    의 변을 추가해야 한다.  [eqn: ∴``a=6]

한 편 생성수형도를 만들기 위해서는 다음    과 같이 모두 4개의 변을 지우면 된다.

[eqn: ∴``b=4]

[eqn: ∴``ab= 6×4 =24]

□ 24