2007학년도 11월 고2 전국연합학력평가

정답 및 해설

• 2교시 수리 영역 •

[가 형]

1	①	2	⑤	3	①	4	⑤	5	④
6	①	7	②	8	③	9	③	10	③
11	②	12	④	13	④	14	④	15	①
16	⑤	17	③	18	②	19	②	20	②
21	⑤	22	[eqn: 44]	23	[eqn: 17]	24	[eqn: 120]	25	[eqn: 6]
26	[eqn: 128]	27	[eqn: 655]	28	[eqn: 9]	29	[eqn: 45]	30	[eqn: 41]

1. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 계산하기

[해설] [eqn: log _2` 48- log _{2}` 6=log_2`8 = 3]

2. [출제의도] 행렬 계산하기

[해설] [eqn: (A^2 + A)- ( A^2 - A)]

[eqn: `= pmatrix{` 11~&-6`#````6~&~~5`} -pmatrix{`` 5~&-4`#``4~&~~1`}]

[eqn: 2A=pmatrix{`` 6~&-2`#``2~&~`````4`}], [eqn: A=pmatrix{`` 3~&-1`#``1~&~`````2`}]

[eqn: THEREFORE]모든 성분의 합은 [eqn: 5]

3. [출제의도] 무한수열의 극한 계산하기

[해설] 분모, 분자를 [eqn: 3^n-1]으로 나누면

(준식)[eqn: =lim_{n`->`inf} ~{ 2 ``․``3^2 + 2^3 left( 2 over 3 right)^n-1 } over {1 - 2 left( 2 over 3 right) ^n-1 }= 18]

4. [출제의도] 서로 같은 행렬 이해하기

[해설] [eqn: pmatrix{````````4~&-2`#`-3~&~`````1`} = pmatrix{``p+q~&2p`#``3p~&~4p+q``}]이므로

[eqn: p+q=4],  [eqn: 2p=-2]

[eqn: 3p=-3], [eqn: 4p+q=1]

그러므로 [eqn: p=-1,~q=5] [eqn: THEREFORE ~pq=-5]

5. [출제의도] 상용로그의 가수의 성질 이해하기

[해설] [eqn: log_10`7 = alpha] (단, [eqn: 0<=alpha<1]),

[eqn: log_10`11= 1 + beta] (단, [eqn: 0<=beta<1]),

[eqn: log_10`77^2 = 2(log_10 `7+ log_10 ` 11)],

[eqn: =2 alpha +2 beta +2]

한편, [eqn: 77 ^{2} =5929]이므로 [eqn: log_10`77^2]의 지표는 [eqn: 3]이다.

따라서 [eqn: log_10`77^2]의 가수는

[eqn: (2 alpha +2 beta +2 )-3= 2 alpha + 2 beta -1]이다.

6. [출제의도] 식을 변형하여 지수법칙 적용하기

[해설] [eqn: alpha + beta =7]이므로

(준식)[eqn: =2 ^{alpha + beta -2}]

[eqn: =2 ^{5}=32]

7. [출제의도] 수렴하는 무한급수와 일반항 사이의 관계 이해하기

[해설] [eqn: sum_ n=1 ^ inf ~left( a_n over n -2 right)]이 수렴하므로

[eqn: lim_{n`->`inf} ~left( a_n over n -2 right) =0]이다.

[eqn: lim_{n`->`inf} ~ a_n over n =2]이므로

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{a _{n} -3n+2} over {2a _{n} +n-4}} = lim _{n` -> ` INF } {} {{a _{n}} over {n} -3+ {2} over {n}} over {2`․ `{a _{n}} over {n} +1- {4} over {n}}]

[eqn: = { 2-3} over{ 2`․`2+1} = - 1 over 5]

8. [출제의도] 역행렬이 존재하지 않는 조건 추론하기

[해설] ㄱ. [eqn: a^2 + b^2 =1 !=0]이므로 단 한 쌍의 해를 갖는다.

ㄴ. [eqn: b-2-a=0]과 [eqn: a ^{2} +b ^{2} =1]을 동시에 만족하는 [eqn: a], [eqn: b]가 없으므로 항상 단 한 쌍의 해를 갖는다.

ㄷ. [eqn: a(a-2)+ b^2 =0]과 [eqn: a ^{2} +b ^{2} =1]을 동시에 만족하는 두 쌍의 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 해를 갖지 않는다.

9. [출제의도] 등비수열의 성질 추론하기

[해설] 수열[eqn: left{a_n right}], [eqn: left{b_n right}]의 첫째항을 각각 [eqn: a_1 ,~b_1]라 하면

[eqn: a_n = a_1 ``․``3^n-1],  [eqn: b_n = b_1 ``․``left( 1 over 2 right)^n-1]이다.

ㄱ. [eqn: a_n over b_n ={ a_1 ``․``3^n-1} over {b_1 ``․`` left( 1 over 2 right)^n-1 } ={ a_1} over{ b_1} ``․``6^n-1] (참)

ㄴ. (반례) [eqn: a_n = 3^n-1], [eqn: b_n = left(1over2 right)^n-1]이라 하면,

수열 [eqn: left{a_n + 6b_n right}]의 첫째항은 [eqn: 7], 제[eqn: 2]항은 [eqn: 6],

제[eqn: 3]항은 [eqn: 21over2], [eqn: cdots]은 등비수열이 아니다. (거짓)

ㄷ. [eqn: a _{n+1} -2a _{n}= a_1 ``․`` 3 ^{n} -2a_1 ``․` `3 ^{n-1}]

[eqn: `= a _1``․``3^n-1 ( 3-2)]

[eqn: `= a_1 ``․``3^n-1] (참)

10. [출제의도] 거듭제곱근의 성질 추론하기

[해설] ㄱ. [eqn: root {n} of a root {n} of b = root {n} of ab] (참)

ㄴ. [eqn: root {n} of {a}>0], [eqn: root {n} of {b}>0]이므로 [eqn: root {n} of {a} < root {n} of {b}]의 양변을 [eqn: n]제곱하여도 부등호 방향이 변하지 않는다.

[eqn: therefore ~a<b] (참)

ㄷ. (반례) [eqn: m=2,~n=3], [eqn: a= 1 over 4 ,~ b= 1 over 8]이면

[eqn: root 2 of {1 over 4} = root 3 of { 1 over 8]이지만 [eqn: 1 over 4 > 1 over 8]이다. (거짓)

11. [출제의도] 로그함수의 성질 이해하기

[해설] [eqn: rm P _{itn}( itn,~log_3 `n),~rm P _{itn+1}( itn+1,~log_3 `(n+1))]

[eqn: g(n) = {log_3 `(n+1) - log_3 ` n } over{ n+1 -n} = log_3 `{n+1 over n]

[eqn: THEREFORE ` sum _{k=1} ^{80} g(k)= log _{3} ` {2} over {1} + log _{3} ` {3} over {2} +CDOTS + log _{3} ` {81} over {80}]

[eqn: = log_3 `left({2 over 1 TIMES{3 over 2 TIMEScdots TIMES{81 over 80 right)]

[eqn: = log_3 ` 81 = 4]

12. [출제의도] 행렬의 성질의 참, 거짓 추론하기

[해설] ㄱ. (반례) [eqn: A= E], [eqn: B= 1 over 2 E]이면

[eqn: AB=A-B]이지만 [eqn: A-E=O]이므로 역행렬이 존재하지 않는다. (거짓)

ㄴ. [eqn: AB-A+B-E=-E]

[eqn: LEFT. (B-E)(-A-E) } =E]이므로

[eqn: B-E]의 역행렬은 [eqn: -A-E]이다. (참)

ㄷ. [eqn: B-E]와 [eqn: -(A+E)]가 역행렬이므로

[eqn: -(B-E)(A+E) =E]

[eqn: -(A+E)(B-E) =E]에서

[eqn: -BA-B+A+E=-AB+A-B+E]

이므로 [eqn: AB= BA]이다.

[eqn: THEREFORE ~(A+B)^2 = A^2 + 2 AB + B^2] (참)

13. [출제의도] 지수함수의 성질을 이용하여 함수값 나타내기

[해설] [eqn: f(x) = a^x = 12], [eqn: a^p = 2], [eqn: a^q = 3]이고

[eqn: 12= 2^2 ``․``3 = a^2p ``․`` a^q = a^ 2p+q]

[eqn: THEREFORE ~g(12)=2p+q]

14. [출제의도] 로그함수의 그래프의 성질 이해하기

[해설] [eqn: nx = n over x]에서 [eqn: x= +-1]이므로

두 그래프의 교점 [eqn: rm A_{itn}`( 1,~itn)], [eqn: rm B_{itn}`(- 1,~-itn)]이고

[eqn: rm C_{itn}`( 1,~0)]이다.

직선 [eqn: rm B _{itn} C _{itn}]의 방정식은  [eqn: y= n over 2 ( x-1)]이므로

[eqn: rm D_{itn}`left( 0,~ - itn over 2right)]이다.

따라서 [eqn: S_n = 1 over 2 ``․`` 1 ``․``left( n over 2 + n right) = 3 over 4 n]

[eqn: T_n = 1 over 2 ``․``1 ``․`` n over 2 = n over 4]

[eqn: therefore~](준식)[eqn: = lim_{ n`->` inf} { n over 4 + n } over { 3 over 4 n + n +1} = 5 over 7]

15. [출제의도] 지수부등식, 로그부등식의 영역 구하기

[해설] [eqn: left(1 over 2 right)^x <= left( 1 over 2 right)^y], 밑이 [eqn: 1]보다 작으므로 [eqn: y<=x]

[eqn: log _{2} (y+1) >= log _{2} (-x+3)],

진수조건에 의해 [eqn: y>-1,~x<3],

밑이 [eqn: 1]보다 크므로 [eqn: y+1>= -x+3],

[eqn: y>= - x+2]

[eqn: y=x]와 [eqn: y=-x+2]의 교점은 [eqn: (1,~1)],

[eqn: x=3]과 [eqn: y=x]의 교점은 [eqn: (3,~3)],

[eqn: x=3]과 [eqn: y=-x+2]의 교점은 [eqn: (3,~-1)]이므로

(구하는 영역의 넓이) [eqn: = 1 over 2 ``․`` 4 ``․`` 2 = 4]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: 2]

[eqn: 1]

[eqn: 3]

[eqn: 2]

[eqn: y=x]

[eqn: y=-x+2]

[eqn: x=3]

[eqn: y=-1]

[eqn: 1]

[eqn: x]

16. [출제의도] 수학적귀납법으로 명제 증명하기

[해설] (가)

[eqn: p+q]

(나)

[eqn: a_1 +a_2 + cdots +a_k+1]

(다)

[eqn: 6(p+q)]

17. [출제의도] 도형의 규칙성을 파악하여 무한등비급수 의 값 구하기

[해설] 부채꼴의 반지름을 [eqn: R_n], 원뿔의 밑면의 반지름을 [eqn: r_n]이라 하면 [eqn: 3 over 4 ``․``2 pi R_n = 2pi r_n], [eqn: r_n = 3 over 4 R_n]

원뿔의 모선이 [eqn: R_n]이므로

(높이)[eqn: = sqrt{ 1 - 9 over 16 } R_n = sqrt 7 over 4 R_n]

[eqn: therefore~V_n = 1 over 3 pi left( 3 over 4 R_n right)^2 ``․`` sqrt 7 over 4 R_n]

[eqn: = {3 sqrt7} over 64 R_n ^3 ``pi]

한편, [eqn: left{R _{n}right}]은 첫째항이 [eqn: 4], 공비가 [eqn: 1 over2]인 등비수열

[eqn: left{V_n right}]은 첫째항이 [eqn: 3sqrt7 pi], 공비가 [eqn: 1 over 8]인 등비수열

[eqn: therefore`sum_n=1 ^ inf V_n = {3sqrt7 pi} over {1 - 1 over 8} = {24 sqrt7 }over 7 pi]

18. [출제의도] 지수의 크기를 비교하는 과정 추론하기

[해설] (가)

[eqn: 21]

(나)

[eqn: <]

(다)

[eqn: A<C<B]

19. [출제의도] 상용로그를 이용하여 실생활의 문제 해결하기

[해설] 현재 전체생산량을 [eqn: P]라 하면

[eqn: rmA]제품의 생산량은 [eqn: 0.8P]이다.

[eqn: 7]년 후 [eqn: rmA]제품의 생산량은 [eqn: 0.8P(1-0.08) ^{7}]

[eqn: log _{10} `0.92 ^{7} =7log _{10} 0.92]

[eqn: =7(log _{10} `9.2-1)]

[eqn: = 6.7466-7]

[eqn: = -1+ 0.7466 = log_10 ` 0.558]

[eqn: THEREFORE ~0.8P TIMES 0.558=0.4464P]

[eqn: THEREFORE ~a=44.64]

20. [출제의도] 합의 법칙과 곱의 법칙을 이용하여 경우의 수 구하기

[해설] (ⅰ) [eqn: rmA8,~A9,~A10] 세 좌석과 나머지 이웃한 두 좌석을 예약하는 방법의 수는 [eqn: 9]가지이다.

(ⅱ) [eqn: rmC1,~C2,~C3] 세 좌석과 나머지 이웃한 두 좌석을 예약하는 방법의 수는 [eqn: 9]가지이다.

(ⅲ) [eqn: rmF7,~F8,~F9,~F10] 중에서 이웃한 세 좌석을 예약하는 경우는 [eqn: 2]가지이고, 각각의 경우에 나머지 이웃한 두 좌석을 예약하는 방법의 수는 [eqn: 8]가지이므로 모두 [eqn: 16]가지이다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 [eqn: therefore ~9+9+16= 34](가지)

21. [출제의도] 로그함수의 그래프 추론하기

[해설]  [eqn: 2^x = t]라 하면

[eqn: x= log_ 2 `t](진수조건에서 [eqn: x>0]이므로 [eqn: t>1]이다.)

[eqn: f(t) =`-log_3 ( log_2 `t)][eqn: = log_{1 over 3} ` ( log_2` t)]

[eqn: log_{1 over 3} ` ( log_2` t) = 0]이 되는 값은 [eqn: t=2]이므로

[eqn: x]축과의 교점이 [eqn: (2,~0)]이고 [eqn: log _{2} `t]가 증가하므로

[eqn: 0<](밑)[eqn: <1]인 로그함수 그래프이다.

22. [출제의도] 무한등비수열의 수렴 조건 이해하기

[해설] 주어진 등비수열의 공비는 [eqn: {x-5} over {4}]이다.

무한등비수열이 수렴하려면

[eqn: -1 < x-5 over 4 <= 1]

[eqn: therefore`1<x<=9]

[eqn: THEREFORE]모든 정수 [eqn: x]값의 합은 [eqn: 44]이다.

23. [출제의도] 수열의 합과 일반항 사이의 관계 이해하기

[해설] [eqn: a_10 = S_10 - S_9]

[eqn: =(100+1)-(81+1) = 19]

[eqn: a _{1} =S _{1} =2] [eqn: therefore~a_10 - a_1 = 17]

24. [출제의도] 조합을 이용하여 경우의 수 구하기

[해설] 지원자 [eqn: 9]명 중 [eqn: 4]명을 선발하는 경우의 수는 [eqn: {}_9 RM C_4],

모두 남학생, 또는 모두 여학생만 선발하는 경우의 수는 [eqn: {}_5rmC_4 +{}_4rmC_4]

따라서 남학생과 여학생이 적어도 한 명씩은 포함되도록 하는 경우의 수는 [eqn: {}_9 RM C_4 - ({}_5rmC_4 +{}_4rmC_4 ) = 120]

25. [출제의도] 점과 직선사이의 거리로 정의된 행렬의 성분 구하기

[해설] [eqn: a _{21} =](원점에서 직선 [eqn: y=2x+1]까지의 거리)

[eqn: = {1} over {sqrt {5}}]

[eqn: THEREFORE `a _{21} ` ^{2} = {1} over {5}]

[eqn: THEREFORE `p+q=6]

26. [출제의도] 지수방정식의 해 구하기

[해설] [eqn: 2^ x = X], [eqn: 2^y = Y]라 하면

[eqn: X(X+Y) = 192cdots①]

[eqn: Y(X+Y) = 384cdots②]

[eqn: ① divide②]를 하면 [eqn: X over Y = 1 over 2],

[eqn: Y=2X]를 [eqn: ①]에 대입하면 [eqn: 3X^2 = 192]

[eqn: X= 8,~Y= 16]

[eqn: THEREFORE ~2 ^{x+y} =2 ^{x} `․``2 ^{y} =8 TIMES 16=128]

27. [출제의도] 도형으로 정의된 수열의 규칙성을 파악하여 항의 수 추론하기

[해설] 수열 [eqn: left{a_n right}]은 제[eqn: 2]행부터 시작되므로 제[eqn: k]행에 있는 항의 개수는 [eqn: (k-1)]개이다.

따라서, 제[eqn: k]행까지의 항의 개수는

[eqn: 1+2+3+ CDOTS +(k-1)= {(k-1)k} over {2}]이고,

[eqn: {(k-1)k} over {2} <100]인 최대의 [eqn: k]는 [eqn: 14]이므로 제[eqn: 14]행까지의 항의 개수는 [eqn: 91]개이다.

그러므로 [eqn: a_100]은 [eqn: 15]행 [eqn: 9]번째 항이다.

[eqn: therefore~a_100 =]([eqn: 14]행의 [eqn: 9]번째 수)[eqn: +]([eqn: 15]행의 [eqn: 9]번째 수)[eqn: +]([eqn: 15]행의 [eqn: 10]번째 수)이다.

각 행의 첫 번째 수를 수열 [eqn: left{b_n right}]이라 하면 [eqn: left{b_n right}]의 계차수열은 첫째항이 [eqn: 2]이고 공차가 [eqn: 2]인 등차수열이다.

[eqn: therefore~b_n = 1 + sum_k=1 ^ n-1 ~2k = n^2 -n+1]

([eqn: 14]행의 [eqn: 9]번째 수)[eqn: = 14^2 - 14+1 + 8``․`` 2]

[eqn: = 199]

([eqn: 15]행의 [eqn: 9]번째 수)[eqn: = 15^2 - 15+1 + 8 ``․`` 2]

[eqn: = 227]

([eqn: 15]행의 [eqn: 10]번째 수)[eqn: =227+2=229]

[eqn: therefore~a_100 = 199+ 227 + 229] [eqn: =655]

28. [출제의도] 행렬의 곱의 성분이 소수가 되는 조건 구하기

[해설] [eqn: pmatrix{``n-1~&``9-3n``} pmatrix{``n ^{2} -4n+4``#{} ^{{} ^{}} ``n-1``}]

[eqn: = (n-1)(n-2)^2 -3(n-1)(n-3)]

[eqn: = (n-1)(n^2 -7n+13)]

[eqn: (n-1)(n^2 -7n+13)]이 소수가 되려면

[eqn: n-1 =1]이고 [eqn: n^2 - 7n+13]은 소수이거나

[eqn: n^2 - 7n+13=1]이고 [eqn: n-1]은 소수이어야 한다.

따라서 [eqn: n=2,~3,~4]이고,

이때의 성분은 각각 [eqn: 3,~2,~3]이다.

[eqn: THEREFORE `]모든 [eqn: n]의 합은 [eqn: 9]이다.

29. [출제의도] 부등식의 영역을 만족시키는 자연수 해의 개수를 [eqn: sum]를 이용하여 구하기

[해설]  [eqn: y=2x]와 [eqn: y= x +n]의 교점의 좌표는 [eqn: (n,~2n)]

[eqn: x=k](단, [eqn: k=1,~2,~cdots, ~n])일 때 자연수의 [eqn: y]의 개수는 [eqn: (k+n)-2k = n-k]

[eqn: THEREFORE ~a _{10} = sum _{k=1} ^{10} `(10-k)=45]

30. [출제의도] 조건을 만족하는 순열의 수 구하기

[해설] 세 자리 자연수가 [eqn: 3]의 배수가 되려면 각 자리수의 합이 [eqn: 3]의 배수가 되어야 한다.

(ⅰ) 같은 수가 [eqn: 3]개 있는 경우 :

[eqn: (1,~1,~1)], [eqn: (2,~2,~2)], [eqn: cdots], [eqn: (5,````5,~5)]

: [eqn: 1 times 5=5](가지)

(ⅱ) 같은 수가 [eqn: 2]개 있는 경우 :

[eqn: (1,~1,~4)],[eqn: (1,~4,~4)], [eqn: (2,~2,~5)], [eqn: (2,~5,``~5)]

: [eqn: 4 times 3! over 2! =12](가지)

(ⅲ) 같은 수가 없는 경우 :

[eqn: (1,~2,~3)], [eqn: (1,~3,~5)], [eqn: (2,~3,~4)], [eqn: (3,~4,~5)]

: [eqn: 4 times 3! =24](가지)

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서

[eqn: therefore~ 5+12+24= 41](가지)

[나 형]

1	①	2	⑤	3	①	4	⑤	5	①
6	⑤	7	②	8	③	9	③	10	③
11	④	12	④	13	④	14	③	15	②
16	⑤	17	④	18	②	19	②	20	④
21	②	22	[eqn: 512]	23	[eqn: 17]	24	[eqn: 24]	25	[eqn: 6]
26	[eqn: 11]	27	[eqn: 225]	28	[eqn: 20]	29	[eqn: 45]	30	[eqn: 324]

1. [출제의도] 수리‘가’형 1번과 같음

2. [출제의도] 수리‘가’형 2번과 같음

3. [출제의도] 로그의 성질 이해하기

[해설] [eqn: log_10`2 = a]이고

[eqn: log _{125} `4= {log _{10} `4} over {log _{10} `125} = {2log _{10} `2} over {3log _{10} `5}]

[eqn: `= {2log _{10} `2} over {3(1-log _{10} `2)}]

[eqn: `= {2a} over{3( 1-a)]

4. [출제의도] 수리‘가’형 4번과 같음

5. [출제의도] 등식을 만족시키는 행렬 구하기

[해설] [eqn: A^2 =][eqn: pmatrix{`a+1~&````````1`#`-2~&``-a`} pmatrix{``a+1~&``````1`#``-2~&-a``}]

[eqn: = pmatrix{``a^2 + 2a-1````&`1`#``-2~&a^2 -2``]

[eqn: THEREFORE ~ pmatrix{``a^2 + 2a-1````&`1`#``-2~&a^2 -2`}=`pmatrix{`a+1~&````````1`#`-2~&``-a`}]

[eqn: therefore ~a^2 +a-2 =0]

[eqn: a= -2,~a=1]에서 [eqn: a>0]이므로 [eqn: a=1]

6. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 식 변형하기

[해설]  [eqn: 2 ^{x+2y} =a], [eqn: 2^x-y =b]

[eqn: 2^3x = 2^{x+2y} ``․``( 2^x-y )^2 = ab^2]

[eqn: 2^3y = { 2^x+2y} over 2^ x-y = a over b]

[eqn: 2^x+y = ( 2^3x ``․`` 2^3y ) ^ {1 over 3}]

[eqn: = left(ab^2 ``․``a over b right)^ {1 over 3} = root 3 of{ a^2 b}]

7. [출제의도] 역행렬의 정의를 이용하여 역행렬 구하기

[해설] [eqn: (A+E)(A-E) = E]이므로

[eqn: A^2 - E= E], [eqn: A ^{2} =2E]

[eqn: 1 over 2 A^2 = A left(1 over 2 A right) =E]

[eqn: therefore ~A^-1 = 1 over 2 A]

8. [출제의도] 수리‘가’형 8번과 같음

9. [출제의도] 수리‘가’형 9번과 같음

10. [출제의도] 수리‘가’형 10번과 같음

11. [출제의도] 행렬의 거듭제곱 계산하기

[해설] [eqn: A^2 =][eqn: pmatrix{````````3~&```````5``#`-2~&-3``} pmatrix{````````3~&```````5``#`-2~&-3``}]

[eqn: =pmatrix{`-1~&`````````0`#```````0~&``-1`}][eqn: =-E]

(준식)[eqn: =A-E-A+E+A]

[eqn: =A= pmatrix{````` ``3~&~``````5``#`-2~&-3``}]

12. [출제의도] 수리‘가’형 12번과 같음

13. [출제의도] 연립일차방정식의 근과 역행렬의 관계 이해하기

[해설] [eqn: pmatrix{ ``a+2 ~~& a # ``2 ~~& a-1`} pmatrix{`` x``#``y``} = pmatrix{`` 1``#``2``}]에서

[eqn: (a+2)(a-1)-2a=0]이어야 하므로

[eqn: a=-1] 또는 [eqn: a=2]

[eqn: a=-1]일 때 무수히 많은 해를 가지고

[eqn: a=2]일 때 해를 갖지 않는다.

14. [출제의도] 등비수열의 합 구하기

[해설] 등비수열 [eqn: left{a_n right}]의 공비를 [eqn: r]이라 하면

[eqn: {a _{3} +a _{4}} over {``a _{2} +a _{3} ``} `=][eqn: {r ^{2} +r ^{3}} over {r+r ^{2}} =r=2]이다.

[eqn: THEREFORE ` sum _{k=1} ^{10} `a _{k} = {2 ^{10} -1} over {2-1} =1023]

15. [출제의도] 로그가 정의되기 위한 조건 이해하기

[해설] (ⅰ) (밑)[eqn: >0], (밑)[eqn: !=1]이므로

[eqn: x>0]이고 [eqn: x !=1]

(ⅱ) (진수) [eqn: >0]이므로

[eqn: -x^2 +2x+8>0]

[eqn: (x-4)(x+2)<0]

[eqn: therefore~-2<x<4]

(ⅰ)과 (ⅱ)의 공통범위는 [eqn: 0<x<1,~1<x<4]

따라서 구하는 정수 [eqn: x]는 [eqn: 2,~3]이다.

16. [출제의도] 수리‘가’형 16번과 같음

17. [출제의도] 등차중항을 이용하여 관계식 찾기

[해설] [eqn: rm TRIANGLE ABP], [eqn: rm TRIANGLE PQD], [eqn: rm TRIANGLE QBC]의 넓이를 각각

[eqn: S _{1}], [eqn: S _{2}], [eqn: S _{3}]이라 하면

[eqn: S_1 = x], [eqn: S_2 = 1 over 2 y(2-x)], [eqn: S_3 = 2-y]

[eqn: S_1 ,~S_2 ,~ S_3]이 이 순서로 등차수열을 이루므로

[eqn: 2S_2 = S_1 + S_3]

[eqn: y(2-x)=x+(2-y)]

[eqn: y= {-x-2} over {x-3} = {-5} over {x-3} `-1]

(단, [eqn: 0<x<2], [eqn: 0<y<2])

18. [출제의도] 수리‘가’형 18번과 같음

19. [출제의도] 수리‘가’형 19번과 같음

20. [출제의도] 여러 가지 수열의 규칙성 파악하기

[해설] 주어진 수열을 다음과 같이 묶어 군의 규칙성을 찾아보면

제[eqn: 1]군  제2군      제3군          제4군        [eqn: cdots]

[eqn: (``1``)],[eqn: left(``3,~ 1 over 3`` right)],[eqn: left(``5,~ 1, ~1 over 5 ``right)],[eqn: left(``7,~ 5 over 3 ,`~3 over 5 , ~ 1 over 7``right)], [eqn: cdots]

[eqn: 1]은 제[eqn: (2n-1)]군의 [eqn: n]번째에 나타난다.

따라서 [eqn: 1]이 [eqn: 7]번째 나타나는 항은 제[eqn: 13]군의 [eqn: 7]번째이다.

[eqn: therefore~ sum_k=1 ^ 12 ~k + 7 = { 12``․``13 } over 2 + 7 = 85]

21. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 실생활의 문제 해결하기

[해설] [eqn: rmA]의 광도를 [eqn: L_{rmA}], [eqn: rmB]의 광도를 [eqn: L_{rmB}], [eqn: rmA]의 표면 절대 온도를 [eqn: T]라고 하면

[eqn: {L_{rmA} } over L_{rmB} = {4pik a^2 T^4} over { 4pik b^2 (5T)^4} = 40]이므로

[eqn: a^2 over b^2 = 40 times5^4]

[eqn: therefore~ a over b = 50 sqrt10]

22. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 계산하기

[해설] (준식)[eqn: = {(2^4 )^ -4 times (2^3 ) ^ 2 times (2^2 ) ^ -3 } over {(2^3 )^-9 times 2^2 }]

[eqn: = { 2^-16 times 2^6 times 2^-6} over{ 2^-27 times 2^2}]

[eqn: = 2^9 = 512]

23. [출제의도] 수리‘가’형 23번과 같음

24. [출제의도] 등비수열의 일반항 구하기

[해설] 첫째항을 [eqn: a], 공비를 [eqn: r]이라 하면

[eqn: a_4 = ar^3 = 6 cdots①]

[eqn: a_7 = ar^6 = 12cdots②]

[eqn: ②divide①]을 하면 [eqn: { ar^6 } over ar^3 = 12 over 6], [eqn: r^3 = 2]

[eqn: a _{10} =ar ^{9} =ar ^{3} (r ^{3} ) ^{2} =a _{4} ``․`` 2 ^{2}]

[eqn: =6 times 4=24]

25. [출제의도] 수리‘가’형 25번과 같음

26. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수의 성질 이해하기

[해설] [eqn: log_10 ` 50 = 1 + log_10 ` 5]이므로

[eqn: n=1], [eqn: alpha = log_10` 5]이다.

[eqn: 5 ^ { 1 over alpha } = 5 ^ { 1 over { log_10 ` 5 } } = 5^{ log_5 `10} = 10]

[eqn: therefore~ n + 5 ^{ 1 over alpha} = 1 +10 = 11]

27. [출제의도] 도형으로 정의된 수열의 규칙성을 파악하여 항의 수 추론하기

[해설] 제[eqn: n]행의 좌변은 첫째항이 [eqn: a_n], 공차가 [eqn: n]인 등차수열의 [eqn: (n+1)]개 항의 합이고, 우변은 첫째항이 [eqn: a_n + n(n+1)]이고 공차가 [eqn: n]인 등차수열의 [eqn: n]개 항의 합이므로

[eqn: & a _{n} `+`(a _{n} +n)`+`(a _{n} +2n)+`` CDOTS ``+(a _{n} +n ^{2} `)]

[eqn: = & LEFT { a _{n} +`n(n+1) RIGHT } + LEFT { a _{n} +`n(n+2) RIGHT } +`` CDOTS ``]

[eqn: +(a _{n} +`2n ^{2} )]

[eqn: {(n+1) LEFT ( 2a _{n} +n ^{2} RIGHT )} over {2} = {n(2 a _{n} +3n^2 +n) } over {2}]

[eqn: THEREFORE~][eqn: a_n = n^3]

[eqn: THEREFORE ` sum _{k=1} ^{5} `a _{k} = sum _{k=1} ^{5} `k ^{3} = LEFT ( {5``․``6} over {2} RIGHT ) ^{2} =225]

(참고)

제[eqn: 1]행               [eqn: 1+2=3]

제[eqn: 2]행        [eqn: 8+10+12=14+16]

제[eqn: 3]행  [eqn: 27+30+33+36=39+42+45]

[eqn: vdots]

28. [출제의도] 행렬의 역행렬과 곱셈 계산하기

[해설] [eqn: P^-1 =pmatrix{` -1~ &0`` # ```````0~ &1``}]이므로

[eqn: B= P^-1 AP]

[eqn: =pmatrix{` -1~ &0`` # ```````0~ &1``}pmatrix{~~```` sin theta~~ &~cos theta`` # - costheta~ &~sin theta``}pmatrix{` -1~ &0`` # ```````0~ &1``}]

[eqn: = pmatrix{~sin theta ~&`-cos theta ``#~cos theta ~&~~sin theta ``}]

모든 성분의 합은 [eqn: 2 sin theta =1]이므로

[eqn: sin theta = 1 over 2]이고  [eqn: 0 < theta < pi over 2]이므로

[eqn: theta = pi over 6]이다.　 [eqn: therefore~ 120 over pi theta= 20]

29. [출제의도] 수리‘가’형 29번과 같음

30. [출제의도] 등비중항과 근과 계수와의 관계를 이용하여 상수의 값 구하기

[해설] [eqn: alpha,~beta]가 [eqn: x^2 - 3x +k = 0]의 두 실근이므로

[eqn: alpha + beta = 3], [eqn: alpha beta = k]이다.

[eqn: alpha over beta ,~ alpha + beta ,~ alphabeta]가 등비수열을 이루므로

[eqn: (alpha + beta )^2 = alpha over beta ``․`` alpha beta = alpha ^2 =9]

따라서 [eqn: cases {~ alpha = 3{}_{}_{} #~beta = 0] 또는 [eqn: cases {~ alpha = -3{}_{}_{} #~beta = 6]

[eqn: alpha beta != 0]이므로 [eqn: alpha = -3,~ beta=6]

[eqn: k= alpha beta = -18]

[eqn: therefore~ k^2 = 324]