◦  먼저 수험생이 선택한 응시 유형의 문제지인지 확인하시오.

수 리 영 역

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수 리 영 역

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2007학년도 10월 고3 전국연합학력평가 문제지

제 2 교시           수 리 영 역

성명			수험번호						3

‘나’형

◦  문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오.

◦  답안지에 수험 번호, 응시 유형 및 답을 표기할 때는 반드시 ‘수험생이 지켜야 할 일’에 따라 표기하시오.

◦  단답형 답의 숫자에 0 이 포함된 경우, 0 을 OMR 답안지에 반드시 표기해야 합니다.

◦  문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦  계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

16

1. [eqn: (`log _{`3} sqrt {8} `) TIMES (`log _{`2} ``9`)``]의 값은? [2점]

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {3} over {2}]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

2. 두 행렬 [eqn: A= pmatrix{`1``&`2`#1&`0`}], [eqn: B= pmatrix{`1&```1`#`2&```3`}``]에 대하여 행렬 [eqn: AB ^{-1} +B``]의
모든 성분의 합은? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

3. 두 사건 [eqn: A,``B``]가 서로 독립이고 [eqn: rm P it (A CUP B)= {2} over {3} ,`` rm ``P it (A)= {1} over {3}``]을 만족시킬 때, [eqn: rm P it (B)`]의 값은? [2점]

8

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: {5} over {12}]	④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: {7} over {12}]

4. 첫째항이 [eqn: a`], 공비가 [eqn: 2``]인 등비수열의 첫째항부터 제[eqn: 6]항까지의 합이 [eqn: 21]일 때, [eqn: a`]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {1} over {3}]	④ [eqn: {1} over {4}]	⑤ [eqn: {1} over {5}]

5. [eqn: x,```y``]에 대한 연립방정식

[eqn: LEFT ( matrix{a-1&````-2#8&~~```b} RIGHT )LEFT ( matrix{x#y} RIGHT )` = pmatrix{-1&```0#``````0&```2b} LEFT ( matrix{x#y} RIGHT ) ``]

가 [eqn: x=0, ``y=0] 이외의 해를 갖도록 두 양수 [eqn: a,``b``]의 값을 정할 때, [eqn: a+b``]의 최소값은? [3점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

6. 그림은 두 함수 [eqn: y= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x},```y=log`_2 `x``]의 그래프와 직선 [eqn: y=x``]를 나타낸 것이다.

옳은 것을 <보기>에서 모두 고른 것은? (단, 점선은 모두 좌표축에 평행하다.) [4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{d} =c] ㄴ. [eqn: a+d=0] ㄷ. [eqn: ce=1]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄴ, ㄷ	④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

7. 그림은 합동인 정사각형 [eqn: 15]개를 연결하여 만든 도형을 나타낸 것이다. 이 도형의 선들로 이루어질 수 있는 직사각형의 개수는? [4점]

① [eqn: 64]	② [eqn: 68]	③ [eqn: 72]	④ [eqn: 76]	⑤ [eqn: 80]

‘나’형

8. 승용차를 타던 사람 중에서 [eqn: 2007]년에 새 승용차로 바꾸어 구입한 사람을 대상으로 승용차를 소형차와 중대형차로 나누어 구매실태를 조사하였다. 조사 결과에 따르면 대상자의 [eqn: 60]%가 소형차를 타던 사람이었다. 그리고 소형차를 타던 사람의 [eqn: 60]%는 [eqn: 2007]년에도 소형차를 구입하였고, 중대형차를 타던 사람의 [eqn: 80]%는 [eqn: 2007]년에도 중대형차를 구입하였다.
대상자 중에서 임의로 한 사람을 택하였더니 [eqn: 2007]년에 중대형차를 구입한 사람이었다. 이 사람이 소형차를 타던 사람이었을 확률은? [4점]

① [eqn: {3} over {7}]	② [eqn: {5} over {14}]	③ [eqn: {2} over {7}]	④ [eqn: {3} over {14}]	⑤ [eqn: {1} over {7}]

9. 주사위 [eqn: 1]개와 동전 [eqn: 6]개를 동시에 던질 때, 나온 주사위의 눈의 수와 앞면이 나온 동전의 개수가 서로 같을 확률은? [4점]

① [eqn: {21} over {128}]	② [eqn: {1} over {6}]	③ [eqn: {11} over {64}]	④ [eqn: {25} over {128}]	⑤ [eqn: {15} over {64}]

‘나’형

10. 과목별 석차 등급은 석차백분율에 따라 [eqn: 1]등급부터 [eqn: 9]등급까지 부여되고 등급별 석차백분율은 다음과 같다.

등급	석차백분율
[eqn: 1]등급	[eqn: 4]%이하
[eqn: 2]등급	[eqn: 4]%초과 - [eqn: 11]%이하
[eqn: 3]등급	[eqn: 11]%초과 - [eqn: 23]%이하
[eqn: 4]등급	[eqn: 23]%초과 - [eqn: 40]%이하
[eqn: 5]등급	[eqn: 40]%초과 - [eqn: 60]%이하
[eqn: 6]등급	[eqn: 60]%초과 - [eqn: 77]%이하
[eqn: 7]등급	[eqn: 77]%초과 - [eqn: 89]%이하
[eqn: 8]등급	[eqn: 89]%초과 - [eqn: 96]%이하
[eqn: 9]등급	[eqn: 96]%초과

[eqn: z]	[eqn: rm P it (0 <= Z <= z)]
[eqn: 0.28]	[eqn: 0.11]
[eqn: 0.61]	[eqn: 0.23]
[eqn: 0.74]	[eqn: 0.27]
[eqn: 1.23]	[eqn: 0.39]

어느 고등학교 [eqn: 3]학년 학생들의 수학 성적이 정규분포 [eqn: rm N(60.2,``20 ^{2} )``]을 따를 때, 이 학교 학생이 수학 과목에서 [eqn: 3]등급을 받기 위한 최소 점수를 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? (단, 동점자는 없다.) [3점]

① [eqn: 73]점	② [eqn: 75]점	③ [eqn: 79]점	④ [eqn: 82]점	⑤ [eqn: 85]점

11.  첫째항이 [eqn: 3]이고 공차가 [eqn: d``]인 등차수열 [eqn: LEFT { `a ` _{n} RIGHT }`]에 대하여
[eqn: a` _{n} =3`d``]를 만족시키는 [eqn: n``]이 존재하도록 하는 모든 자연수 [eqn: d``]의 값의 합은? [3점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

12. 양수 [eqn: x``]에 대하여 [eqn: log`x``]의 지표를 [eqn: f(x)], 가수를 [eqn: g(x)`]라 하자.
양수 [eqn: a,``b``]에 대하여 옳은 것을 <보기>에서 모두 고른 것은? [3점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: f(a ^{2} )=2f(a)] ㄴ. [eqn: f(a ^{2} )+g(a ^{2} )=`2f(a)+2g(a)] ㄷ. [eqn: g(a)+g(b)=1``]이면 [eqn: ab``]는 정수이다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ	④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

13. 다음은 등식 [eqn: ` _{n} rm {C }it rm _{r} +` _{n} rm C it rm _{r+1} =` _{n+1} rm C it rm _{r+1}``]을 이용하여
[eqn: 1 ^{2} +2 ^{2} +3 ^{2} + CDOTS +n ^{2} = {n(n+1)(2n+1)} over {6}] ([eqn: n=1,``2,``3, ``CDOTS])
을 증명한 것이다.

<증명>

[eqn: 2] 이상인 자연수 [eqn: k``]에 대하여

[eqn: k ^{2} =``]  [eqn: +2``․`` _{k} rm C it ` _{2}``]로 나타낼 수 있으므로

(가)

[eqn: 1 ^{2} +2 ^{2} +3 ^{2} + CDOTS +n ^{2}]

[eqn: =` _{1} rm C _{1} +(` _{2} rm C _{1} +2``․`` _{2} rm C _{2} )+(` _{3} rm C _{1} +2``․`` _{3} rm C _{2} )+ CDOTS +(` _{it n rm} C _{1} +2cdot] [eqn: )]

(나)

[eqn: =(` _{1} rm C _{1} + _{2} rm C _{1} + _{3} rm C _{1} + CDOTS +][eqn: ` _{n} rm C it ` _{1} )][eqn: +2(` _{2} rm C _{2} + _{3} rm C _{2} + CDOTS +``] [eqn: )]

(나)

[eqn: = _{n+1} rm C it ` _{2} +2cdot]

(다)

[eqn: = {n(n+1)(2n+1)} over {6}]

위 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점]

(가)        (나)         (다)

①	[eqn: ` _{k} rm C it _{1}]	[eqn: ` _{n} rm C it ` _{2}]	[eqn: ` _{n} rm C it ` _{3}]

②	[eqn: ` _{k} rm C it _{1}]	[eqn: ` _{n} rm C it ` _{2}]	[eqn: ` _{n+1} rm C it ` _{3}]

③	[eqn: ` _{k} rm C it _{1}]	[eqn: ` _{n+1} rm C it ` _{2}]	[eqn: ` _{n} rm C it ` _{3}]

④	[eqn: ` _{k+1} rm C it rm _{1}]	[eqn: ` _{n} rm C it ` _{2}]	[eqn: ` _{n} rm C it ` _{3}]

⑤	[eqn: ` _{k+1} rm C it rm _{1}]	[eqn: ` _{n+1} rm C it ` _{2}]	[eqn: ` _{n+1} rm C it ` _{3}]

14. 두 곡선 [eqn: y=log _{{1} over {4}} (-x)``], [eqn: y=log _{{1} over {4}} x``]가 직선 [eqn: y= {1} over {2}]과 만나는
두 점을 꼭지점으로 하고, 한 변이 [eqn: x``]축 위에 있는 직사각형의

넓이를 [eqn: S _{1}`]이라 하자.

두 곡선이 직선 [eqn: y=1``]과 만나는 두 점을 꼭지점으로 하고, 한 변이 직선 [eqn: y= {1} over {2}] 위에 있는 직사각형의 넓이를 [eqn: S _{2}`]라 하자.
두 곡선이 직선 [eqn: y= {3} over {2}``]과 만나는 두 점을 꼭지점으로 하고, 한 변이 직선 [eqn: y=1] 위에 있는 직사각형의 넓이를 [eqn: S _{3}`]이라 하자.

위와 같은 과정을 계속하여 얻은 [eqn: n``]번째 직사각형의 넓이를 [eqn: S _{n}`]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n}``]의 값은? [3점]

① [eqn: {5} over {8}]	② [eqn: {3} over {4}]	③ [eqn: {7} over {8}]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 9over8]

‘나’형

15. 두 이차정사각행렬 [eqn: A,``B``]에 대하여 [eqn: AB``=BA``]가 성립하기 위한 충분조건인 것을 <보기>에서 모두 고른 것은? (단, [eqn: E``]는 단위행렬이다.) [4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: A+B=2E] ㄴ. [eqn: A ^{2} B=BA ^{2}] ㄷ. [eqn: A ^{2} B=A+E]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ	④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

‘나’형

16. 그림은 왼쪽의 입력 신호 [eqn: a,``b``]를 오른쪽으로 전달하여 신호를 출력하는 장치를 나타낸 것이다. 이 장치가 [그림[eqn: 1]]과 같이 출력할 확률은 [eqn: {1} over {3}`]이고, [그림[eqn: 2]]와 같이 출력할 확률은 [eqn: {2} over {3}`]이다.

[그림[eqn: 1]]              [그림[eqn: 2]]

이 장치 [eqn: 4]개를 아래 그림과 같이 연결하고, 입력신호를 [eqn: 1,``2,``3,``4``]로 하였을 때의 출력신호를 [eqn: x,``y,``z,``w``]라 하자.

이때, [eqn: y=3] 또는 [eqn: z=1``]일 확률은? (단, 각 장치들은 독립적으로 작동한다.) [4점]

① [eqn: {22} over {81}]	② [eqn: {23} over {81}]	③ [eqn: {25} over {81}]	④ [eqn: {26} over {81}]	⑤ [eqn: {29} over {81}]

17. 다음과 같이 좌표평면 위에 단계별로 [eqn: x``]좌표와 [eqn: y``]좌표가 음이 아닌 정수인 점을 표시한다.
[[eqn: 1]단계]에서는 원점과 [eqn: x``]좌표와 [eqn: y``]좌표의 합이 [eqn: 1]인 점들을 표시하고, [[eqn: 2]단계]에서는 [[eqn: 1]단계]의 점에 [eqn: x``]좌표와 [eqn: y``]좌표의 합이 [eqn: 2]인 점들을 추가로 표시한다.

이와 같은 방법으로 [[eqn: n]단계]에서는 [[eqn: n-1]단계]의 점에 [eqn: x``]좌표와 [eqn: y``]좌표의 합이 [eqn: n][eqn: ``(n=2,``3,``4,` CDOTS )]인 점들을 추가로 표시한다.

[[eqn: 1]단계]		[[eqn: 2]단계]
[[eqn: 3]단계]		[[eqn: 4]단계]
	ㆍ ㆍ ㆍ

이때, [[eqn: n]단계]에 있는 모든 점의 개수를 [eqn: a _{n}], [[eqn: n]단계]에 있는 점들을 꼭지점으로 하는 정사각형 중에서 원점을 한 꼭지점으로 하고 넓이가 최대인 정사각형의 내부 및 둘레에 있는 모든 점의  개수를 [eqn: b _{n}`]이라 하자. 예를 들어 [eqn: a` _{4} =`15,``b` _{4} =`9``]이다.

[eqn: lim _{n -> INF } {{a _{2n}} over {b _{2n}}} ``]의 값은? [4점]

① [eqn: {5} over {2}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: {3} over {2}]	④ [eqn: 4over3]	⑤ [eqn: 1]

단답형(18~25)

18. 확률변수 [eqn: X``]는 이항분포 [eqn: rm B` it LEFT (` n,`` {1} over {2} RIGHT )``]을 따른다.
[eqn: rm P it (X=2)= 10`rm P it (X=1)``]이 성립할 때, [eqn: n``]의 값을 구하시오. [3점]

19. 등차수열 [eqn: LEFT { a ` _{n} RIGHT }``]에 대하여 [eqn: a `_{3} +a` _{5} =36``]이고 [eqn: a ` _{2`} a` _{4} =180``]일 때, [eqn: a` _{n} ＜100``]을 만족시키는 [eqn: n``]의 최대값을 구하시오. [3점]

20. 행렬 [eqn: A= pmatrix{1&-2#0&``````1}``]에 대하여 행렬 [eqn: B _{n}``]을 다음과 같이 정의한다.
[eqn: B _{n} =A ^{n} +(A ^{-1} ) ^{n}]  ([eqn: n=1,``2,``3, `CDOTS])
이때, 행렬 [eqn: B _{1} +B _{2} +B _{3} + CDOTS +B _{100}`]의 모든 성분의 합을 구하시오.
[4점]

21. 이차방정식 [eqn: 9x ^{2} -6x-1=0`]의 두 근을 [eqn: alpha ,~ beta ``]라 할 때,

[eqn: {1} over {beta - alpha } sum _{n=1} ^{INF } (` beta `` ^{n} - alpha ` ^{n} )= {q} over {p}``]

이다. 이때, [eqn: p+q``]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p``]와 [eqn: q``]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

‘나’형

22. [eqn: 1]이 적힌 구슬이 [eqn: 1]개, [eqn: 2]가 적힌 구슬이 [eqn: 2]개, [eqn: 3]이 적힌 구슬이 [eqn: 3]개, [eqn: CDOTS] , [eqn: 10]이 적힌 구슬이 [eqn: 10]개 들어 있는 주머니가 있다.
이 주머니에서 임의로 한 개의 구슬을 꺼낼 때, 그 구슬에 적힌 숫자를 [eqn: X``]라 하자. 이때, 확률변수 [eqn: 5X+2``]의 평균을 구하시오.

[3점]

23. [eqn: {1} over {2} <x<1], [eqn: y>1``]일 때, 부등식 [eqn: log ` _{x} (log ` _{y}` 2x)<0``]이 나타내는 영역의 넓이를 [eqn: S``]라 하자. 이때, [eqn: 100S``]의 값을 구하시오. [3점]

24. 그림과 같이 다섯 개의 영역으로 나누어진 도형이 있다.
각 영역에 빨간색, 노란색, 파란색 중 한 가지 색을 칠하는데, 인접한 영역은 서로 다른 색을 칠하여 구별하려고 한다.
칠할 수 있는 방법의 수를 구하시오. [4점]

‘나’형

25. 다음 두 조건을 동시에 만족시키는 자연수 [eqn: x``]의 개수를 구하시오. (단, [eqn: LEFT [` x` RIGHT ]`]는 [eqn: x``]보다 크지 않은 최대의 정수이다.) [4점]

(가) [eqn: 200 <= x <= 300]

(나) [eqn: [`log` _{2} ``x`]=[`log ` _{3} ``x`]+[`log ` _{4}`` x`]]

5지 선다형

26. 세 양수 [eqn: a,``b,``c``]에 대하여 행렬 [eqn: A= LEFT ( matrix{a``&```````b#b``&-c} RIGHT )``]가
[eqn: A ^{4} -3A ^{2} =O``] 를 만족시킬 때, [eqn: a ^{2} +2b ^{2} +c ^{2}``]의 값은?
(단, [eqn: O``]는 영행렬이다.) [3점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]	④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

27. 두 집합

[eqn: A= LEFT { ``x``|``2 ^{`x(x-3a)} <2 ^{`a(x-3a)} RIGHT } ,```B= LEFT { `x``|``log ` _{3} (x ^{2} -2x+6)<2 RIGHT }]
에 대하여 [eqn: A SMALLINTER B=A`]가 성립하도록 하는 실수 [eqn: a`]의 값의 범위는?

[3점]

① [eqn: -1 <= a <= 0]	② [eqn: -1 <= a <= {1} over {3}]	③ [eqn: - {1} over {3} <= a <= 1]

④ [eqn: {1} over {3} <= a <= 3]	⑤ [eqn: 1 <= a <= 3]

28. 어느 고등학교에서는 방학 중 방과후학교 강좌를 다음과 같이 개설하였다. 어떤 학생이 국어, 수학, 영어 세 과목을 각각 한 번씩 수강하려고 할 때, 그 방법의 수는? [4점]

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 14]	④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 17]

29. 자연수 [eqn: n``]에 대하여 두 함수 [eqn: y`=`log` _{4}`` x,```y`=`log ` _{2}`` x``]의 그래프와 직선 [eqn: y=n``]의 교점을 각각 [eqn: rm A _{it n rm} ,``B _{itn}`]이라 하자. 삼각형 [eqn: rm OA it _{it n} rm B it _{it n}``]의 넓이를 [eqn: S _{n}`]이라 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {} ` {S _{n+1}} over {S _{n}}``]의 값은? [4점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 8]

‘나’형

단답형

30. 수열 [eqn: LEFT { a ` _{n} RIGHT }`]에 대하여
[eqn: a` _{1} =3], [eqn: a` _{n} =3+ sum _{k=1} ^{n-1} a` _{k}] [eqn: (n = 2,``3,``4,`` CDOTS )``]
가 성립할 때, [eqn: a ` _{6} ``]의 값을 구하시오. [3점]

※ 확인 사항

문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.