2007학년도 10월 고2 학업성취도평가

정답 및 해설

고 2	정답 및 해설	2007학년도 10월 학업성취도평가

2007학년도 10월 학업성취도평가	정답 및 해설	고 2

5

수리 영역

“가”형 정답

1	③	2	⑤	3	①	4	④	5	③
6	②	7	④	8	①	9	②	10	⑤
11	③	12	①	13	⑤	14	④	15	①
16	②	17	④	18	③	19	②	20	④
21	⑤	22	64	23	17	24	37	25	12
26	48	27	768	28	33	29	13	30	543

해설

1. [출제의도] 로그 계산하기

[eqn: log`` _{4} sqrt {8} =log _{2 ^{2}} 2 ^{{3} over {2}} `= {{3} over {2}} over {2} = {3} over {4} `]

2. [출제의도] 부분집합의 포함관계 이해하기

전체집합 [eqn: U] 에 대하여

[eqn: U]

[eqn: A]

[eqn: B]

[eqn: B` SUBSET `A] 이므로,

① [eqn: A SMALLINTER B``=`B]    [eqn: THEREFORE]거짓

② [eqn: A CUP B``=`A]    [eqn: THEREFORE]거짓

③ [eqn: U-A``=`A ^{C}]   [eqn: THEREFORE]거짓

④ [eqn: A-B != EMPTYSET]    [eqn: THEREFORE]거짓

⑤ [eqn: U`-`(A CUP B)`=U-A=`A ^{C}]   [eqn: THEREFORE]참

3. [출제의도] 행렬 연산하기

[eqn: A= pmatrix{2```&1#0```&4} ,````B= pmatrix{-2```&3#-1```&1}]에 대하여

[eqn: A+2B=][eqn: pmatrix{2```&1#0```&4} + pmatrix{-4```&6#-2```&2}][eqn: = pmatrix{-2````&7`#-2````&6}]

4. [출제의도] 극한값 계산하기

[eqn: lim _{n -> INF } {sqrt {n} ( sqrt {n+4} `- sqrt {n} )`}]

[eqn: =` lim _{n -> INF } {sqrt {n} {( sqrt {n+4} `- sqrt {n} )( sqrt {n+4} `+ sqrt {n} )`} over {( sqrt {n+4} `+ sqrt {n} )`}}]

[eqn: =` lim _{n -> INF } {} {4 sqrt {n}} over {( sqrt {n+4} `+ sqrt {n} )`}]

[eqn: =` lim _{n -> INF } {} {4} over {( sqrt {1+ {4} over {n}} `+1)`}]

[eqn: =2]

5. [출제의도] 지수부등식의 해 구하기

[eqn: 5 ^{x} >16] 이므로,  [eqn: x>log _{`5} 16]

[eqn: 2<2 ^{x} <5] 이므로,  [eqn: 1<x<log _{2} 5],

[eqn: THEREFORE ``log _{5} `16<x<log _{2} `5]

[eqn: alpha beta =log _{`5} 16`․`log _{`2} `5`]

[eqn: =` {4log _{`} `2} over {log`5} ․ {log`5} over {log`2}]

[eqn: =`4]

6. [출제의도] 행렬을 이용한 연립방정식의 풀이 이해하기

근과 계수와의 관계에 의해 [eqn: alpha + beta `=`1-2a]이고, 연립방정식이 [eqn: x=y=0] 이외의 해를 가지므로 [eqn: alpha ^{2} TIMES {1} over {alpha } + beta =0]

[eqn: THEREFORE alpha + beta =1-2a`=0]

따라서, [eqn: a= {1} over {2}]

7. [출제의도] 지수의 성질 이해하기

[eqn: a=log _{2} m,````b=log _{2} `n]이므로,

[eqn: 2 ^{a} -2=2 ^{a-b}] ⇔ [eqn: m-2= {m} over {n}]

⇔ [eqn: mn-2n-m=0]

⇔ [eqn: (m-2)(n-1)=2]

∴ [eqn: m=4``,````n=2] 또는 [eqn: m=3``,````n=3]

따라서, [eqn: m+n=6]

8. [출제의도] 등차중항과 등비중항의 성질 이해하기

[eqn: 1,````a,````b]가 등차수열이므로, [eqn: a= {1+b} over {2} `‥․``①]

[eqn: a,````1,````b]가 등비수열이므로, [eqn: ab=1`‥․‥․‥․‥․``②]

①, ②에 의해서

[eqn: a(2a-1)-1=0]

[eqn: 2a ^{2} `-a-1=0]

[eqn: THEREFORE a=1,````b=1] 또는 [eqn: a=- {1} over {2} ,````b=-2]

[eqn: a,```b]는 서로 다른 두 실수이므로

[eqn: a=- {1} over {2} ,````b=-2]

따라서, [eqn: a+b`=- {5} over {2}]

9. [출제의도] 무한급수의 성질을 이용한 극한값 구하기

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } {a _{n}} over {n}]이 수렴하므로, [eqn: lim _{n-> INF } {{a _{n}} over {n} `=0}]

[eqn: lim _{n -> INF } {{a _{n} `-3n-1} over {2a _{n} `+2n`+1}} ``=` lim _{n-> INF } {{{a _{n}} over {n} -3- {1} over {n}} over {2 {a _{n}} over {n} +2+ {1} over {n}}}]

[eqn: =`- {3} over {2}]

10. [출제의도] 로그함수의 그래프 개형 이해하기

중심이 [eqn: (a``,`b)]이고 반지름이 [eqn: 1]인 원에서

[eqn: 0<a<1<b] 이고,

[eqn: y=log _{a} `(x+b)]는 [eqn: y=log _{a} `x````(0<a<1)]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -b]만큼 평행 이동한 그래프이다.

11. [출제의도] 행렬의 성분 구하기

이차정사각행렬 [eqn: A]에서 [eqn: 0 <= x<2 pi `]일 때,

[eqn: a _{11} `][eqn: =2]  ([eqn: sinx= {1} over {2}]의 근의 개수),

[eqn: a _{12} `][eqn: =1]  ([eqn: cosx=1]의 근의 개수),

[eqn: a _{21} `][eqn: =4]  ([eqn: cos2x= {1} over {2}]의 근의 개수),

[eqn: a _{22} `][eqn: =2]  ([eqn: sin2x=1]의 근의 개수),

따라서, [eqn: A`=` LEFT ( matrix{2&``1#4&``2} RIGHT )]이므로, 행렬 [eqn: A]의 모든 성분의 합은 [eqn: 9]

12.  [출제의도] 로그 계산하기

[eqn: a`=` {log _{3} ` {1} over {2} `+log _{{1} over {2}} `4+b} over {3}]

[eqn: THEREFORE ``3a`=`b+log _{3} {1} over {2} ``-2``‥‥‥‥``①],

[eqn: b`=` {a+log _{3} `54+4 ^{log _{2} sqrt {7}} `} over {3}]

[eqn: THEREFORE ``3b`=`a+log _{3} 54`+7```‥‥‥‥``②]

①[eqn: +]②를 하면,

[eqn: 3(a+b)`=`a+b+3+5]

따라서, [eqn: a+b`=4]

13. [출제의도] 수학적 귀납법을 이용한 명제 증명하기

- 증명 -

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때, (좌변)[eqn: =](우변)[eqn: =][eqn: {1} over {2}]이므로 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=k]일 때 성립한다고 가정하면,

[eqn: {1} over {2} + {2} over {2 ^{2}} + {3} over {2 ^{3}} +‥․`+ {k} over {2 ^{k}} =2- {k+2} over {2 ^{k}}]

이 식의 양변에 [eqn: {k+1} over {2 ^{k+1}}]를 더하면

[eqn: {1} over {2 ^{}} + {2} over {2 ^{2}} + {3} over {2 ^{3}} +‥․`+ {k} over {2 ^{k}} + {k+1} over {2 ^{k+1}}]

[eqn: =2- {k+2} over {2 ^{k}} + {k+1} over {2 ^{k+1}}]

[eqn: =2- {k+3} over {2 ^{k+1}}]이다.

따라서, [eqn: n=k+1]일 때도 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 주어진 등식은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 성립한다.

그러므로, (가), (나), (다)에 들어갈 값들의 합은 [eqn: {2 ^{k} +2k+4} over {2 ^{k+1}} =` {2 ^{k-1} +k+2} over {2 ^{k}}] 이다.

14. [출제의도] 점화식의 일반항 구하는 과정 이해하기

주어진 식의 양변에 밑이 [eqn: 2`]인 로그를 취하면,

[eqn: log` _{2} root {3} of {a _{n+1}} =log` _{2} ``4a _{n} `]이고

[eqn: log` _{2} ``a _{n+1} =`][eqn: 6][eqn: ``+3`log` _{2} ``a _{n} `]

[eqn: log` _{2} ``a _{n+1} ``+``][eqn: 3] [eqn: =`3 LEFT ( log` _{2} ``a _{n} +`` RIGHT .][eqn: 3][eqn: LEFT. ` RIGHT )]

그러므로, 수열 [eqn: LEFT { log` _{2} ``a _{n} +3`` RIGHT }]은 첫째 항이 [eqn: log _{2} a _{1} `+3] 이고 공비가 [eqn: 3`]인 등비수열이다.

따라서, [eqn: LEFT . log` _{2} ``a _{n} `= RIGHT .] [eqn: 4`․`3 ^{n-1} -`3]

[eqn: THEREFORE `]

[eqn: a _{n} =2 ^{4․3 ^{n-1} -3}]

15. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수의 성질 이해하기

[eqn: log`2007`=3+ alpha ```(0< alpha <1)]이므로,

지표 [eqn: m=3`] 가수는 [eqn: alpha]이고,

[eqn: log` {1} over {2007} `=-log`2007`=-(3+ alpha )=-4+(1- alpha )]

이므로, 지표 [eqn: n=-4], 가수 [eqn: beta =1- alpha]이다.

따라서, 삼각형[eqn: rm `OAB]의 꼭지점의 좌표는

[eqn: rm `O it (`0`,`0`)], [eqn: {rm `A} it (`3`,` alpha `)`], [eqn: {rm `B} it (`-4`,`1- alpha `)``]이고

무게중심의 좌표는 [eqn: left(`- {1} over {3} ,` {1} over {3}right )]

16. [출제의도] 무한등비급수 계산하기

점 [eqn: {rm P }_{n}]의 [eqn: x]좌표의 극한값 [eqn: alpha]는

[eqn: alpha =2+ {1} over {2} + {1} over {2} + {1} over {8} + {1} over {8} +~ CDOTS]

[eqn: =2+2 LEFT ( {1} over {2} + {1} over {8} + {1} over {32} + CDOTS RIGHT )]

[eqn: =2+2 TIMES {{1} over {2}} over {1- {1} over {4}} = {10} over {3}]

17. [출제의도] 무한등비급수 계산하기

[eqn: rm 60°]

[eqn: rm Q]

[eqn: rm P~]

[eqn: rm bar{PQ} it ``=` sqrt {`l _{1} ^{2} +l _{1} ^{2} -2l _{1} ․`l _{1} cos120°} = sqrt {3} l _{1}]

[eqn: THEREFORE l _{2} = {sqrt {3}} over {3} l _{1}]

따라서, [eqn: l _{1} =6] 이므로  [eqn: l _{2} = {sqrt {3}} over {3} TIMES 6=2 sqrt {3}],

[eqn: l _{3} = {sqrt {3}} over {3} TIMES 2 sqrt {3} =2`,`` CDOTS]으로 수열 [eqn: LEFT { l _{n} RIGHT }]은 공비가[eqn: {sqrt {3}} over {3}]인 무한등비수열이므로,

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } `l _{n} =` {6} over {1- {sqrt {3}} over {3}}]  [eqn: =` {18} over {3- sqrt {3}}]

[eqn: =`9+3 sqrt {3}]

18. [출제의도] 행렬의 연산법칙 이해하기

ㄱ. [eqn: AB`=`AA ^{2} `=A ^{2} `A`=BA]  [eqn: THEREFORE]참

ㄴ. [eqn: (AB) ^{n} `=AB]

- 증명 -

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때, [eqn: (AB) ^{1} `=AB`]

(ⅱ) [eqn: n=k]일 때 등식이 성립한다고 가정

하면 [eqn: (AB) ^{k} `=AB]이다.

[eqn: (AB) ^{k+1} `=`(AB) ^{k} (AB)`]

[eqn: `=`(AB)(AB)]

[eqn: `=`A(BB)A]

[eqn: `=`A ^{3}]

[eqn: `=`AB]

따라서 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: (AB) ^{n} `=AB]   [eqn: THEREFORE]참

ㄷ. [eqn: A ^{2} `+`B ^{2} `=`A+B]를 만족하지만,

[eqn: A ^{3} `+`B ^{3} `=`AB`+BA` != A+B]  [eqn: THEREFORE]거짓

19. [출제의도] 역행렬의 존재 조건 이해하기

ㄱ. [eqn: m+n=2``‥․‥․] ①, [eqn: 3m+n=4``‥․‥․] ②,

①, ②를 연립하면 [eqn: m=1,````n=1]   [eqn: THEREFORE]참

ㄴ. [eqn: m=2,````n=0]이면 직선은 [eqn: y=2x]이므로,

[eqn: A= LEFT ( matrix{a&```2a#c&```2c} RIGHT )]로 나타낼 수 있고 [eqn: A ^{-1}]이 존재하지 않는다.  [eqn: THEREFORE]참

ㄷ. (반례) [eqn: m=0,````n=1]일 때, 직선은 [eqn: y=1]이므로, [eqn: A= LEFT ( matrix{a&```1#c&```1} RIGHT )]이고, [eqn: a-c != 0]이므로 [eqn: A ^{-1}]이 존재한다.  [eqn: THEREFORE]거짓

20. [출제의도] 수열의 귀납적 정의 이해하기

[eqn: a _{1} =1`]이고 [eqn: a _{n+1} =a _{n} +2 ^{n} `]인 수열에서

일반항 [eqn: a _{n} =1+ sum _{k=1} ^{n-1} 2 ^{k} ``=2 ^{n} `-1]이고,

[eqn: S _{n} `=` sum _{k=1} ^{n} (2 ^{k} -1)`=2 ^{n+1} `-n-2`]

[eqn: THEREFORE `S _{10} =2 ^{11} -10-2`=`2036]

따라서, 점 [eqn: rm `P`]의 위치는 [eqn: 6]

21. [출제의도] 로그함수의 관계를 이해하고 최소값 구하기

[eqn: l_k]의 직선의 방정식은 [eqn: log _{2} x+log _{2} y`=`2k]이므로, [eqn: log _{2} a+log _{2} b`=`2k]이고, [eqn: a``b`=2 ^{2k}]이다.

[eqn: a>0,```b`>0]이므로,

[eqn: a+``b >= 2 sqrt {a``b} `=2 ^{k+1} =A _{k}]

따라서, [eqn: sum _{k=1} ^{100} 2 ^{k+1} = {4(2 ^{100} -1)} over {2-1} =2 ^{102} -4]

22. [출제의도] 지수법칙을 이용한 지수 계산하기

[eqn: LEFT ( 4 ^{{5} over {6}} `ㆍ root {3} of {16} RIGHT ) ^{2} = LEFT ( 4 ^{{5} over {6}} ㆍ4 ^{{2} over {3}} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: = LEFT ( 4 ^{{5} over {6} + {2} over {3}} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: =4 ^{3}]

[eqn: =64]

23. [출제의도] 행렬의 곱셈 및 역행렬 구하기

[eqn: A ^{-1} XB=E] 에서 [eqn: X=AEB ^{-1} =AB ^{-1}]이므로 [eqn: X= pmatrix{1&``2#3&``1} pmatrix{2&-1#-1&1} ` ^{-1}]

[eqn: ``= pmatrix{1``&2#3``&1} pmatrix{1``&1#1``&2} = pmatrix{3&``5#4&``5}]

[eqn: therefore]모든 성분의 합은 [eqn: 17]

24. [출제의도] 수열의 합과 일반항 사이의 관계 이해하기

[eqn: THEREFORE `a _{10} `=S _{10} `-S _{9} `=190`-`153`=`37]

25. [출제의도] 이차함수의 그래프 이해하기

이차함수 [eqn: y=x ^{2} -ax]가 [eqn: x]축과 만나는 두 점 [eqn: rm A`,```B]의 좌표는 [eqn: rm `A`(0``,`0),````B it `(a`,``0)]이고, 꼭지점 [eqn: rm C`]의 좌표는 [eqn: rm C`` it LEFT ( {a} over {2} ``,```- {a ^{2}} over {4} RIGHT )]이다.

선분 [eqn: rm AB]의 중점을 [eqn: rm M]이라 할 때, [eqn: rm TRIANGLE AMC`]에서

[eqn: tan`60 ^{CIRC } `=` {rm bar{MC} it} over {rm bar{AM} it} = {{a ^{2}} over {4}} over {{a} over {2}} = {a} over {2} = sqrt {3}]이므로

[eqn: THEREFORE a=2 sqrt {3}]

따라서, [eqn: a ^{2} `=12]

26. [출제의도] 지수방정식 이해하기

방정식 [eqn: 16 ^{x} `-2‧4 ^{x} `-k=0]에서 [eqn: 4 ^{x} `=t``]라 하면, [eqn: t ^{2} `-2t`=k]이다. 근을 반올림한 값이 [eqn: 1]이므로, 그 근이 존재하는 범위는 [eqn: {1} over {2} <= x< {3} over {2}]이고,

[eqn: 2 <= t<8]이다.

[eqn: t ^{2} `-2t`=k]를 만족하는 [eqn: t]에 대하여

[eqn: f(t)`=`t ^{2} `-2t]라 하고, [eqn: g(t)=k]라 하면

[eqn: 2 <= t<8]이므로 [eqn: 0 <= f(t)<`48]이다.

[eqn: f(t)`=`g(t)]를 만족하는 [eqn: k]의 범위는 [eqn: 0 <= k<48]

따라서, 정수 [eqn: k]는 48개이다.

27. [출제의도] 지표와 가수의 성질 이해하기

[eqn: log _{10} a= LEFT [ log _{10} a RIGHT ] +log _{10} 2`=`2+log _{10} 2`=log _{10} 200]

이므로, [eqn: a=200]이다.

[eqn: log _{2} b= LEFT [ log _{2} b RIGHT ] =n`````(n`]은 정수)이므로, [eqn: b=2 ^{n}]인  세 자리 정수이다.

[eqn: b=128,````256,````512]  중에서 [eqn: b >= a]를 만족하는 [eqn: b]의 값은 [eqn: 256,````512]이다.

따라서, [eqn: b]의 값의 합은 [eqn: 768]

28. [출제의도] 등차수열과 [eqn: sum _{} ^{}]의 성질 이해하기

등차수열의 첫째 항을 [eqn: a _{1} ,] 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: sum _{k=1} ^{50} a _{2k} `-` sum _{k=1} ^{50} a _{2k-1} `= sum _{k=1} ^{50} LEFT ( a _{2k} -a _{2k-1} RIGHT ) `]                            [eqn: `= sum _{k=1} ^{50} d=50d=150]

[eqn: therefore][eqn: d=3]이고 [eqn: a _{3} =a _{1} +2d=2a _{1}]에서 [eqn: a _{1} =6]

따라서, [eqn: a _{10} =a _{1} +9d=33]

29. [출제의도] 삼각방정식의 근을 이용한 무한등비급수 계산하기

[eqn: alpha _{2} `= {1} over {3} alpha _{1} `,```` alpha _{3} `=left( {1} over {3}right ) ^{2} alpha _{1} `,‥․] 이고,

[eqn: beta _{2} `= {1} over {3} beta _{1} `,```` beta _{3} `=left( {1} over {3} right) ^{2} beta _{1} `,‥․] 이다.

[eqn: sin` alpha _{1} `=`-` {1} over {3}]의 근 [eqn: alpha _{1} `=` pi + theta `````left(0< theta < {pi } over {2} right)]라 하면, [eqn: sin`( pi + theta )`=`-`sin theta `=`-` {1} over {3}],

[eqn: sin theta `= {1} over {3}]이므로,

[eqn: cos` beta _{1} `= {1} over {3}]의 근 [eqn: beta _{1} `=` {pi } over {2} - theta ``]이다.

따라서, [eqn: alpha _{1} `+ beta _{1} `= {3} over {2} pi]이고,

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } ( alpha _{n} `+ beta _{n} )`=` sum _{n=1} ^{INF } alpha _{n} `+` sum _{n=1} ^{INF } beta _{n}]

[eqn: =` {alpha _{1}} over {1`- {1} over {3}} `+ {beta _{1}} over {1`- {1} over {3}} `]

[eqn: =` {3} over {2} `( alpha _{1} `+ beta _{1} )]

[eqn: = {3} over {2} TIMES {3} over {2} pi]

[eqn: =` {9} over {4} pi]

따라서, [eqn: p+q=13]

30. [출제의도] 지수와 로그를 이용한 실생활의 문제 해결하기

[eqn: 1850]년 초 알프스 빙하의 양을 [eqn: A`]라고 하면, [eqn: 1970]년 말 알프스 빙하의 양은 [eqn: {65} over {100} A]이고, [eqn: 5]년마다 [eqn: 3`%`]의 빙하가 녹으므로 [eqn: 2070]년 말 알프스 빙하의 양은 [eqn: {65} over {100} A left(1- {3} over {100} right) ^{20}]이다.

[eqn: THEREFORE ` {65} over {100} A left(1- {3} over {100}right ) ^{20} `=` {p} over {q} A```‥‥‥①]

한편, [eqn: k=` left( {97} over {100}right ) ^{20}]의 양변에 상용로그를 취하면,

[eqn: log`k``=20`log`0.97]

[eqn: =`20`(-1+log`9.7)]

[eqn: =`-0.26]

[eqn: =`-1`+0.74]

[eqn: =`log` {1} over {10} `+log`5.5]

[eqn: =`log`0.55]이므로,

[eqn: THEREFORE `k=0.55]

①에서 [eqn: {p} over {q} `=` {65} over {100} TIMES {55} over {100} = {143} over {400} `]

따라서, [eqn: p+q`=`543]

“나”형 정답

1	③	2	⑤	3	①	4	④	5	②
6	②	7	⑤	8	①	9	③	10	④
11	③	12	①	13	⑤	14	④	15	①
16	④	17	②	18	③	19	②	20	④
21	⑤	22	64	23	17	24	37	25	12
26	16	27	768	28	33	29	27	30	543

해설

1. [출제의도] 로그 계산하기

[eqn: log`` _{4} sqrt {8} =log _{2 ^{2}} 2 ^{{3} over {2}} `= {{3} over {2}} over {2} = {3} over {4} `]

2. [출제의도] 부분집합의 포함관계 이해하기

전체집합 [eqn: U] 에 대하여

[eqn: U]

[eqn: A]

[eqn: B]

[eqn: B` SUBSET `A] 이므로,

① [eqn: A SMALLINTER B``=`B]    [eqn: THEREFORE]거짓

② [eqn: A CUP B``=`A]    [eqn: THEREFORE]거짓

③ [eqn: U-A``=`A ^{C}]   [eqn: THEREFORE]거짓

④ [eqn: A-B != EMPTYSET]    [eqn: THEREFORE]거짓

⑤ [eqn: U`-`(A CUP B)`=U-A=`A ^{C}]   [eqn: THEREFORE]참

3. [출제의도] 행렬 연산하기

[eqn: A= pmatrix{2```&1#0```&4} ,````B= pmatrix{-2```&3#-1```&1}]에 대하여

[eqn: A+2B=][eqn: pmatrix{2```&1#0```&4} + pmatrix{-4```&6#-2```&2}][eqn: = pmatrix{-2````&7`#-2````&6}]

4. [출제의도] 나머지정리 이해하기

[eqn: f(x) = x^3 +ax^2 -bx +4]라 하면,

[eqn: f(2)=8+`4a`-2b`+4`=0],

[eqn: f(-1)=-1+`a`+b`+4`=6]이므로,

[eqn: a=-1,````b=4]

[eqn: THEREFORE `ab=-4]

5. [출제의도] 함수의 합성 이해하기

[eqn: f(x)= sqrt {x-2} `,```g(x)= {1} over {x-1} ```]일 때,

[eqn: (g ^{-1} CIRC f)(3)``][eqn: =g ^{-1} (f(3))`]

[eqn: =g ^{-1} (1)`]

[eqn: g ^{-1} (1)=k``]라 하면, [eqn: g(k)=1``]이므로

[eqn: g(k)= {1} over {k-1} =1] 이고, [eqn: THEREFORE ``k=2```]

따라서, [eqn: (g ^{-1} CIRC f)(3)``=2]

6. [출제의도] 행렬을 이용한 연립방정식의 풀이 이해하기

근과 계수와의 관계에 의해 [eqn: alpha + beta `=`1-2a]이고, 연립방정식이 [eqn: x=y=0] 이외의 해를 가지므로 [eqn: alpha ^{2} TIMES {1} over {alpha } + beta =0]

[eqn: THEREFORE alpha + beta =1-2a`=0]

따라서, [eqn: a= {1} over {2}]

7. [출제의도] 로그의 밑 변환 식 이해하기

[eqn: log`2=a]라 하면,

[eqn: log _{2} 10 sqrt {5} = {log10 sqrt {5}} over {log2}]

[eqn: = {log10+log sqrt {5}} over {log2}]

[eqn: = {1+ {1} over {2} LEFT ( 1-log2 RIGHT )} over {log2}]

[eqn: = {3-a} over {2a}]

8. [출제의도] 등차중항과 등비중항의 성질 이해하기

[eqn: 1,````a,````b]가 등차수열이므로, [eqn: a= {1+b} over {2} `‥․``①]

[eqn: a,````1,````b]가 등비수열이므로, [eqn: ab=1`‥․‥․‥․‥․``②]

①, ②에 의해서

[eqn: a(2a-1)-1=0]

[eqn: 2a ^{2} `-a-1=0]

[eqn: THEREFORE a=1,````b=1] 또는 [eqn: a=- {1} over {2} ,````b=-2]

[eqn: a,```b]는 서로 다른 두 실수이므로

[eqn: a=- {1} over {2} ,````b=-2]

따라서, [eqn: a+b`=- {5} over {2}]

9. [출제의도] 등비수열의 일반항 구하기

첫째 항이 [eqn: a` _{1}], 공비가 [eqn: r`]인 등비수열 [eqn: a _{n}]이

[eqn: a _{1} `a _{3} =4`]이므로 [eqn: a _{1} ^{2} r ^{2} =4]이고 [eqn: a _{1} r=±2`][eqn: ․‥`①]

[eqn: a _{2} +a _{4} =20`]에서 [eqn: a _{1} r(1+r ^{2} )=20][eqn: ․‥․‥․‥․‥`②]

①, ②에 의해 [eqn: a _{1} r=2,````r ^{2} `=9]이다.

따라서, [eqn: a _{6} =a _{1} r ^{5} `=a _{1} r․r ^{4} =162]

10. [출제의도] 행렬의 상등 이해하기

[eqn: pmatrix{``````x```&y#-3````&4} pmatrix{`x````&3#y``&-1} `= pmatrix{`````````x ^{2} +y ^{2} ```&````3x-y#-3x+4y&````-13}]

[eqn: = pmatrix{10&``````0#p&```-13}] 이므로,

연립방정식 [eqn: cases{x ^{2} +y ^{2} =10#3x`-`y`=`0}] 을 계산하면

[eqn: x=±1,~y=±3] 이고, [eqn: p=-3x+4y]에서

[eqn: p]가 양수이므로 [eqn: x=1,~y=3]일 때, [eqn: p=9]

11. [출제의도] 행렬의 성분 구하기

이차정사각행렬 [eqn: A]에서 [eqn: 0 <= x<2 pi `]일 때,

[eqn: a _{11} `][eqn: =2]  ([eqn: sinx= {1} over {2}]의 근의 개수),

[eqn: a _{12} `][eqn: =1]  ([eqn: cosx=1]의 근의 개수),

[eqn: a _{21} `][eqn: =4]  ([eqn: cos2x= {1} over {2}]의 근의 개수),

[eqn: a _{22} `][eqn: =2]  ([eqn: sin2x=1]의 근의 개수),

따라서, [eqn: A`=` LEFT ( matrix{2&``1#4&``2} RIGHT )]이므로, 행렬 [eqn: A]의 모든 성분의 합은 [eqn: 9]

12.  [출제의도] 로그 계산하기

[eqn: a`=` {log _{3} ` {1} over {2} `+log _{{1} over {2}} `4+b} over {3}]

[eqn: THEREFORE ``3a`=`b+log _{3} {1} over {2} ``-2``‥‥‥‥``①],

[eqn: b`=` {a+log _{3} `54+4 ^{log _{2} sqrt {7}} `} over {3}]

[eqn: THEREFORE ``3b`=`a+log _{3} 54`+7```‥‥‥‥``②]

①[eqn: +]②를 하면,

[eqn: 3(a+b)`=`a+b+3+5]

따라서, [eqn: a+b`=4]

13. [출제의도] 수학적 귀납법을 이용한 명제 증명하기

- 증명 -

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때, (좌변)[eqn: =](우변)[eqn: =][eqn: {1} over {2}]이므로 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=k]일 때 성립한다고 가정하면,

[eqn: {1} over {2} + {2} over {2 ^{2}} + {3} over {2 ^{3}} +‥․`+ {k} over {2 ^{k}} =2- {k+2} over {2 ^{k}}]

이 식의 양변에 [eqn: {k+1} over {2 ^{k+1}}]를 더하면

[eqn: {1} over {2 ^{}} + {2} over {2 ^{2}} + {3} over {2 ^{3}} +‥․`+ {k} over {2 ^{k}} + {k+1} over {2 ^{k+1}}]

[eqn: =2- {k+2} over {2 ^{k}} + {k+1} over {2 ^{k+1}}]

[eqn: =2- {k+3} over {2 ^{k+1}}]이다.

따라서, [eqn: n=k+1]일 때도 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 주어진 등식은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 성립한다.

그러므로, (가), (나), (다)에 들어갈 값들의 합은 [eqn: {2 ^{k} +2k+4} over {2 ^{k+1}} =` {2 ^{k-1} +k+2} over {2 ^{k}}] 이다.

14. [출제의도] 점화식의 일반항 구하는 과정 이해하기

주어진 식의 양변에 밑이 [eqn: 2`]인 로그를 취하면,

[eqn: log` _{2} root {3} of {a _{n+1}} =log` _{2} ``4a _{n} `]이고

[eqn: log` _{2} ``a _{n+1} =`][eqn: 6][eqn: ``+3`log` _{2} ``a _{n} `]

[eqn: log` _{2} ``a _{n+1} ``+``][eqn: 3] [eqn: =`3 LEFT ( log` _{2} ``a _{n} +`` RIGHT .][eqn: 3][eqn: LEFT. ` RIGHT )]

그러므로, 수열 [eqn: LEFT { log` _{2} ``a _{n} +3`` RIGHT }]은 첫째 항이 [eqn: log _{2} a _{1} `+3] 이고 공비가 [eqn: 3`]인 등비수열이다.

따라서, [eqn: LEFT . log` _{2} ``a _{n} `= RIGHT .] [eqn: 4`․`3 ^{n-1} -`3]

[eqn: THEREFORE `]

[eqn: a _{n} =2 ^{4․3 ^{n-1} -3}]

15. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수의 성질 이해하기

[eqn: log`2007`=3+ alpha ```(0< alpha <1)]이므로,

지표 [eqn: m=3`], 가수는 [eqn: alpha]이고,

[eqn: log` {1} over {2007} `=-log`2007`=-(3+ alpha )=-4+(1- alpha )]

이므로, 지표 [eqn: n=-4], 가수 [eqn: beta =1- alpha]이다.

따라서, 삼각형[eqn: rm `OAB]의 꼭지점의 좌표는

[eqn: rm `O it (`0`,`0`)], [eqn: {rm `A} it (`3`,` alpha `)`], [eqn: {rm `B} it (`-4`,`1- alpha `)``]이고

무게중심의 좌표는 [eqn: left(`- {1} over {3} ,` {1} over {3}right )]

16. [출제의도]  원의 위치 관계 이해하기

두 원 [eqn: rm O,`````O prime `]에 외접하는 원 [eqn: rm P]가 움직인 거리

[eqn: l=2(2 pi TIMES sqrt {2} TIMES {3} over {4} )=3 sqrt {2} pi] 이다.

17. [출제의도] 복소수 계산하기

[eqn: z=a+bi,```` bar{z} =a-bi]라 하면,

[eqn: z+` bar{z} `=1,`````z` bar{z} ``=1]이므로,

[eqn: z,``` bar{z} `]는 [eqn: x ^{2} -x+1=0]의 두 근이다.

따라서, [eqn: z ^{3} `=(a+bi) ^{3} `=`-1]

18. [출제의도] 행렬의 연산법칙 이해하기

ㄱ. [eqn: AB`=`AA ^{2} `=A ^{2} `A`=BA]  [eqn: THEREFORE]참

ㄴ. [eqn: (AB) ^{n} `=AB]

- 증명 -

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때, [eqn: (AB) ^{1} `=AB`]

(ⅱ) [eqn: n=k]일 때 등식이 성립한다고 가정

하면 [eqn: (AB) ^{k} `=AB]이다.

[eqn: (AB) ^{k+1} `=`(AB) ^{k} (AB)`]

[eqn: `=`(AB)(AB)]

[eqn: `=`A(BB)A]

[eqn: `=`A ^{3}]

[eqn: `=`AB]

따라서 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: (AB) ^{n} `=AB]   [eqn: THEREFORE]참

ㄷ. [eqn: A ^{2} `+`B ^{2} `=`A+B]를 만족하지만,

[eqn: A ^{3} `+`B ^{3} `=`AB`+BA` != A+B]  [eqn: THEREFORE]거짓

19. [출제의도] 역행렬의 존재 조건 이해하기

ㄱ. [eqn: m+n=2``‥․‥․] ①, [eqn: 3m+n=4``‥․‥․] ②,

①, ②를 연립하면 [eqn: m=1,````n=1]   [eqn: THEREFORE]참

ㄴ. [eqn: m=2,````n=0]이면 직선은 [eqn: y=2x]이므로,

[eqn: A= LEFT ( matrix{a&```2a#c&```2c} RIGHT )]로 나타낼 수 있고 [eqn: A ^{-1}]이 존재하지 않는다.  [eqn: THEREFORE]참

ㄷ. (반례) [eqn: m=0,````n=1]일 때, 직선은 [eqn: y=1]이므로, [eqn: A= LEFT ( matrix{a&```1#c&```1} RIGHT )]이고, [eqn: a-c != 0]이므로 [eqn: A ^{-1}]이 존재한다.  [eqn: THEREFORE]거짓

20. [출제의도] 수열의 귀납적 정의 이해하기

[eqn: a _{1} =1`]이고 [eqn: a _{n+1} =a _{n} +2 ^{n} `]인 수열에서

일반항 [eqn: a _{n} =1+ sum _{k=1} ^{n-1} 2 ^{k} ``=2 ^{n} `-1]이고,

[eqn: S _{n} `=` sum _{k=1} ^{n} (2 ^{k} -1)`=2 ^{n+1} `-n-2`]

[eqn: THEREFORE `S _{10} =2 ^{11} -10-2`=`2036]

따라서, 점 [eqn: rm `P`]의 위치는 [eqn: 6]

21. [출제의도] 등비수열의 일반항 유추하기

[eqn: TRIANGLE][eqn: {rm `AP it rm _{n} rm P it rm _{n+1`} `=] [eqn: TRIANGLE][eqn: rm `AO rm P it rm _{n+1`} `-][eqn: TRIANGLE][eqn: rm `AO rm P it rm _{n`} `]

[eqn: =` {1} over {2} TIMES 1 TIMES 2 ^{n} `- {1} over {2} TIMES 1 TIMES 2 ^{n-1}]

[eqn: =2` ^{n-2}]

따라서, [eqn: `a _{10} =2 ^{8} =256]

22. [출제의도] 지수법칙을 이용한 지수 계산하기

[eqn: LEFT ( 4 ^{{5} over {6}} `ㆍ root {3} of {16} RIGHT ) ^{2} = LEFT ( 4 ^{{5} over {6}} ㆍ4 ^{{2} over {3}} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: = LEFT ( 4 ^{{5} over {6} + {2} over {3}} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: =4 ^{3}]

[eqn: =64]

23. [출제의도] 행렬의 곱셈 및 역행렬 구하기

[eqn: A ^{-1} XB=E] 에서 [eqn: X=AEB ^{-1} =AB ^{-1}]이므로 [eqn: X= pmatrix{1&``2#3&``1} pmatrix{2&-1#-1&1} ` ^{-1}]

[eqn: ``= pmatrix{1``&2#3``&1} pmatrix{1``&1#1``&2} = pmatrix{3&``5#4&``5}]

[eqn: therefore]모든 성분의 합은 [eqn: 17]

24. [출제의도] 수열의 합과 일반항 사이의 관계 이해하기

[eqn: THEREFORE `a _{10} `=S _{10} `-S _{9} `=190`-`153`=`37]

25. [출제의도] 이차함수의 그래프 이해하기

이차함수 [eqn: y=x ^{2} -ax]가 [eqn: x]축과 만나는 두 점 [eqn: rm A`,```B]의 좌표는 [eqn: rm `A`(0``,`0),````B it `(a`,``0)]이고, 꼭지점 [eqn: rm C`]의 좌표는 [eqn: rm C`` it LEFT ( {a} over {2} ``,```- {a ^{2}} over {4} RIGHT )]이다.

선분 [eqn: rm AB]의 중점을 [eqn: rm M]이라 할 때, [eqn: rm TRIANGLE AMC`]에서

[eqn: tan`60 ^{CIRC } `=` {rm bar{MC} it} over {rm bar{AM} it} = {{a ^{2}} over {4}} over {{a} over {2}} = {a} over {2} = sqrt {3}]이므로

[eqn: THEREFORE a=2 sqrt {3}]

따라서, [eqn: a ^{2} `=12]

26. [출제의도] 역행렬 성분의 합의 최소값 구하기

양수 [eqn: k`]에 대하여 [eqn: LEFT ( {1} over {k} A RIGHT ) ^{-1} = pmatrix{```````````8`&``-5k#-3k&`````````2k ^{2}} `]이므로, [eqn: {1} over {k} A= {1} over {k ^{2}} pmatrix{`````2k ^{2} `&``5k#3k&```````8``} `]

[eqn: THEREFORE `A=` LEFT ( matrix{2k````&5#3&` {8} over {k}} RIGHT )]

따라서 행렬 [eqn: rmA]의 모든 성분의 합은

[eqn: 2k+5+3+ {8} over {k} >= 8+2 sqrt {2k․ {8} over {k}} =16]이다.

27. [출제의도] 지표와 가수의 성질 이해하기

[eqn: log _{10} a= LEFT [ log _{10} a RIGHT ] +log _{10} 2`=`2+log _{10} 2`=log _{10} 200]

이므로, [eqn: a=200]이다.

[eqn: log _{2} b= LEFT [ log _{2} b RIGHT ] =n`````(n`]은 정수)이므로, [eqn: b=2 ^{n}]인 세 자리 정수이다.

[eqn: b=128,````256,````512]  중에서 [eqn: b >= a]를 만족하는 [eqn: b]의 값은 [eqn: 256,````512]이다.

따라서, [eqn: b]의 값의 합은 [eqn: 768]

28. [출제의도] 등차수열과 [eqn: sum _{} ^{}]의 성질 이해하기

등차수열의 첫째 항을 [eqn: a _{1} ,] 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: sum _{k=1} ^{50} a _{2k} `-` sum _{k=1} ^{50} a _{2k-1} `= sum _{k=1} ^{50} LEFT ( a _{2k} -a _{2k-1} RIGHT ) `]                            [eqn: `= sum _{k=1} ^{50} d=50d=150]

[eqn: therefore][eqn: d=3]이고 [eqn: a _{3} =a _{1} +2d=2a _{1}]에서 [eqn: a _{1} =6]

따라서, [eqn: a _{10} =a _{1} +9d=33]

29. [출제의도] 부분분수를 이용한 수열의 합 계산하기

[eqn: sum _{n=1} ^{10} {1} over {LEFT ( bar{rm A it rm _{n} rm P it rm _{n} it} RIGHT ) ^{2}} `=` sum _{n=1} ^{10} {1} over {4n(n+1)}]

[eqn: =` {1} over {4} ` sum _{n=1} ^{10}left ( {1} over {n} - {1} over {n+1}right )]

[eqn: = {1} over {4} LEFT { `left(1- {1} over {2}right )+left( {1} over {2} - {1} over {3} right)+‥․+left( {1} over {10} - {1} over {11} right) RIGHT }]

[eqn: = {1} over {4} TIMES left(1- {1} over {11}right )]

[eqn: =` {5} over {22}]

따라서, [eqn: p+q`=27]

30. [출제의도] 지수와 로그를 이용한 실생활의  문제 해결하기

[eqn: 1850]년 초 알프스 빙하의 양을 [eqn: A`]라고 하면, [eqn: 1970]년 말 알프스 빙하의 양은 [eqn: {65} over {100} A]이고, [eqn: 5]년마다 [eqn: 3`%`]의 빙하가 녹으므로 [eqn: 2070]년 말 알프스 빙하의 양은 [eqn: {65} over {100} A left(1- {3} over {100} right) ^{20}]이다.

[eqn: THEREFORE ` {65} over {100} A left(1- {3} over {100}right ) ^{20} `=` {p} over {q} A```‥‥‥①]

한편, [eqn: k=` left( {97} over {100}right ) ^{20}]의 양변에 상용로그를 취하면,

[eqn: log`k``=20`log`0.97]

[eqn: =`20`(-1+log`9.7)]

[eqn: =`-0.26]

[eqn: =`-1`+0.74]

[eqn: =`log` {1} over {10} `+log`5.5]

[eqn: =`log`0.55]이므로,

[eqn: THEREFORE `k=0.55]

①에서 [eqn: {p} over {q} `=` {65} over {100} TIMES {55} over {100} = {143} over {400} `]

따라서, [eqn: p+q`=`543]