◦ 자신이 선택한 유형(‘가’형 / ‘나’형)의 문제지인지 확인하시오.

2007학년도 10월 고2 학업성취도평가 문제지

수리 영역 (가형)

성명			수험번호						2

제 2 교시

◦ 문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 써 넣으시오.

◦ 답안지에 성명과 수험 번호를 써 넣고, 또 수험번호와 답을 정확히 표시하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 ‘0’이 포함되면 그 ‘0’도 답란에 반드시 표시하시오.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

고 2	수리 영역 (가형)

	수리 영역 (가형)	고 2

8

1. [eqn: log `` _{4} sqrt8]의 값은? [[eqn: 2]점]

① [eqn: {1} over {4}]       ② [eqn: {1} over {2}]        ③ [eqn: {3} over {4}]        ④ [eqn: {1}]        ⑤ [eqn: {5} over {4}]

2. 전체집합 [eqn: U`]의 두 부분집합 [eqn: A,`````B`]에 대하여 [eqn: B SUBSET A`]일 때, 항상 옳은 것은? (단, [eqn: phi `]는 공집합, [eqn: X`` ^{C} `]는 [eqn: X`]의 여집합) [[eqn: 2]점]

① [eqn: A SMALLINTER B=A]          ② [eqn: A CUP B=B]          ③ [eqn: U-A=B]

④ [eqn: A-B= phi]          ⑤ [eqn: U- LEFT ( A CUP B RIGHT ) =A ^C]

3. 두 행렬 [eqn: A = pmatrix{2```&1#0```&4},````B = pmatrix{-2```&3#-1```&1}`]에 대하여, [eqn: A+2B`]는? [[eqn: 2]점]

① [eqn: pmatrix{`-2````&`````7`#`-2````&````6`}]           ② [eqn: pmatrix{-2````&-7`#```````2````&`````6}]          ③ [eqn: pmatrix{2````&-7`#2````&-6}]

④ [eqn: pmatrix{-2````&``````7`#```````2````&-6}]           ⑤ [eqn: pmatrix{```````2````&-7`#-2````&``````6}]

4. [eqn: lim _{n `-> ` INF } {sqrt {n} ( sqrt {n+4} - sqrt {n} )}`]의 값은? [[eqn: 3]점]

① [eqn: {1} over {4}]        ② [eqn: {1} over {2}]         ③ [eqn: {1}]         ④ [eqn: 2]         ⑤ [eqn: 4]

5. 연립부등식 [eqn: cases{5 ^{x} > 16#2<2 ^{x} <5} `]의 해를 [eqn: alpha <x< beta `]라 할 때, [eqn: alpha beta `]의 값은? [[eqn: 3]점]

① [eqn: 2]        ② [eqn: 3]         ③ [eqn: 4]         ④ [eqn: 5]         ⑤ [eqn: 6]

6. [eqn: x`]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2`} +(2a-1)x-a=0`]의 두 근을 [eqn: alpha `,```` beta `]라 하자. 연립방정식 [eqn: pmatrix{`` alpha ^{2} `````&- beta ``#1````&{1} over {alpha }} pmatrix{``x`#``y`} `= pmatrix{`0`#`0`}]이 [eqn: x=y=0`]이외의 해를 가질 때, 상수 [eqn: a`]의 값은? [[eqn: 3]점]

① [eqn: 1over 4]        ② [eqn: 1 over 2]        ③ [eqn: 1]         ④ [eqn: 2]       ⑤ [eqn: 4]

7. 두 양의 정수 [eqn: m``,````n]에 대하여 [eqn: a=log` _{2} `m```,````b=log` _{2} ``n]이다. 등식 [eqn: 2 ^{a} -2=2 ^{a-b} `]가 성립할 때, [eqn: m+n`]의 값은? [[eqn: 4]점]

① [eqn: 3]        ② [eqn: 4]        ③ [eqn: 5]        ④ [eqn: 6]         ⑤ [eqn: 7]

8. 서로 다른 두 실수 [eqn: a`,````b`]에 대하여 [eqn: 1`,````a`,````b`]가 순서대로 등차수열을 이루고, [eqn: a`,````1`,````b`]가 순서대로 등비수열을 이룰 때, [eqn: a+b`]의 값은? [[eqn: 3]점]

① [eqn: -{5} over {2}]     ② [eqn: - 2]      ③ [eqn: -{3} over {2}]      ④ [eqn: -1]     ⑤ [eqn: -{1} over {2}]

9. 무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {a _{n}} over {n} `]이 수렴할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {{a _{n} -3n-1} over {2a _{n} +2n+1}} `]의 값은?

[[eqn: 3]점]

① [eqn: -{5} over {2}]     ② [eqn: -{3} over {2}]      ③ [eqn: -1]      ④ [eqn: -{2} over {3}]     ⑤ [eqn: - 1 over 2]

10. 원 [eqn: (x-a)^2 + (y-b)^2 = 1`]의 그래프가 그림과 같을 때, 함수 [eqn: y=log _{a} (x+b)`]의 그래프의 개형은? [[eqn: 3]점]

①                            ②

③                            ④

⑤

11. 이차정사각행렬 [eqn: A`]의 [eqn: (`i`,````j`)`]성분 [eqn: a _{ij} `]를
[eqn: a _{ij} `=` cases{sin`i`x= {j} over {2} `의````근의````개수``&(i=j`일```때)#cos`ix= {j} over {2} `의````근의````개수&(i` != j`일```때)} `]으로 정의할 때, 행렬 [eqn: A`]의 모든 성분의 합은? (단, [eqn: 0 <= x < 2 pi `]) [[eqn: 4]점]

① [eqn: 7]         ② [eqn: 8]        ③ [eqn: 9]        ④ [eqn: 10]        ⑤ [eqn: 11]

12. 그림에서 상수 [eqn: a,````b`]는 선분으로 연결된 이웃한 세 개의 수의 평균이다. [eqn: a+b`]의 값은? [[eqn: 3]점]

[eqn: log` _{3} ` {1} over {2}]								[eqn: 4 ^{log` _{2} ` sqrt {7}}]
		[eqn: a]			[eqn: b]
[eqn: log` _{{1} over {2}} `4]								[eqn: log` _{3} ``54]

① [eqn: 4]        ② [eqn: 5]         ③ [eqn: 6]         ④ [eqn: 7]        ⑤ [eqn: 8]

13. 다음은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: {1} over {2} + {2} over {2 ^{2}} + {3} over {2 ^{3}} +‥․`+ {n} over {2 ^{n}} =2- {n+2} over {2 ^{n}}]

가 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

		<증 명>
	(ⅰ) [eqn: n=1]일 때, (좌변)[eqn: `=`](우변)[eqn: `=`] 이므로 성립한다. (가) (ⅱ) [eqn: n=k]일 때 성립한다고 가정하면 [eqn: {1} over {2} + {2} over {2 ^{2}} + {3} over {2 ^{3}} +‥․`+ {k} over {2 ^{k}} =2- {k+2} over {2 ^{k}}] 이 식의 양변에 를 더하면 (나) [eqn: {1} over {2} + {2} over {2 ^{2}} + {3} over {2 ^{3}} +‥․`+ {k} over {2 ^{k}} +`][eqn: ``=`2- {k+2} over {2 ^{k}} +`] (나) (나) [eqn: =2-`]이다. (다) 따라서, [eqn: n=k+1`]일 때도 성립한다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 주어진 등식은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 성립한다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 들어갈 값들의 합은? [[eqn: 4]점]

① [eqn: {2 ^{k-1} +k+1} over {2 ^{k+1}}]                ② [eqn: {2 ^{k-1} +k+2} over {2 ^{k+1}}]

③ [eqn: {2 ^{k-1} +k+3} over {2 ^{k+1}}]                ④ [eqn: {2 ^{k-1} +k+1} over {2 ^{k}}]

⑤ [eqn: {2 ^{k-1} +k+2} over {2 ^{k}}]

14. 다음은 [eqn: a _{1} =2`]이고 [eqn: root {3} of {a _{n+1}} =4a _{n} `]으로 정의된 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의 일반항을 구하는 과정이다.

	주어진 식의 양변에 밑이 [eqn: 2`]인 로그를 취하면 [eqn: log` _2 root {3} of {a _{n+1}} = log` _2 ``4a _{n} `]이고 [eqn: log` _2 ``a _{n+1}} =`][eqn: ``+3`log` _{2} ``a _{n}`] (가) [eqn: log` _2 ``a _{n+1}} ``+``] [eqn: =`3 LEFT ( log` _{2} ``a _{n} +`` RIGHT .][eqn: LEFT. ` RIGHT )] (나) (나) 그러므로 수열 [eqn: LEFT { `log` _{2} ``a _{n} +`` RIGHT .][eqn: LEFT. ` RIGHT } `]는 공비가 [eqn: 3`]인 등비수열이다. (나) 따라서, [eqn: LEFT. log` _{2} ``a _{n} `=] (다) [eqn: THEREFORE `] [eqn: a _{n} =2] (다)

위의 내용 중에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [[eqn: 4]점]

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: 3]	[eqn: 6]	[eqn: 4`․`3 ^{n-1} -`6]
②	[eqn: 3]	[eqn: 6]	[eqn: 2`․`3 ^{n-1} -`6]
③	[eqn: 6]	[eqn: 6]	[eqn: 4`․`3 ^{n-1} -`3]
④	[eqn: 6]	[eqn: 3]	[eqn: 4`․`3 ^{n-1} -`3]
⑤	[eqn: 6]	[eqn: 3]	[eqn: 2`․`3 ^{n-1} -`3]

15. [eqn: log`2007`]의 지표와 가수를 각각 [eqn: m`,```` alpha `]라 하고, [eqn: log` {1} over {2007} `]의 지표와 가수를 각각 [eqn: n`,````beta `]라 하자. 이 때, 좌표평면 위의 점 [eqn: {rm A}(m`, ````alpha )`]와 점 [eqn: { rmB}`(n`, ````beta )`]에 대하여, [eqn: rm` TRIANGLE OAB`]의 무게중심의 좌표는? (단, [eqn: rm`O`]는 원점) [[eqn: 3]점]

① [eqn: left(`- {1} over {3}` ,``` {1} over {3} right)]         ② [eqn: left(`- {1} over {3}` ,` ``{2} over {3} right)]         ③ [eqn: left(` {1} over {3}` ,``` -{1} over {3} right)]

④ [eqn: left(` {1} over {3}` ,``` -{2} over {3} right)]         ⑤ [eqn: left(`- {2} over {3}` ,``` -{2} over {3} right)]

16. 가로와 세로의 길이가 각각 [eqn: 2,~1]인 직사각형 [eqn: rm A it _{1}`]의 가로와 세로의 길이를 맞바꾸고 그 길이를 각각 [eqn: {1} over {2} `]배로 줄인 직사각형을 [eqn: rm A it rm _{2} `]라 하고, 직사각형 [eqn: rm A it rm _{2} `]의 가로와 세로의 길이를 맞바꾸고 그 길이를 각각 [eqn: {1} over {2} `]배로 줄인 직사각형을 [eqn: rm A it _{3}`]라 하자. 이와 같은 방법을 계속하여 만든 직사각형 [eqn: {rm A}it _{n}`]을 좌표평면 위에 그림과 같이 붙여서 만나는 점을 각각 [eqn: {rm P} it _{1} `,```{rm P} it _{2} `,```{rm P}_3`,``` CDOTS ``,`` {rm P} _n `,` ``CDOTS`]이라 할 때, 점 [eqn: {rm P} it _{n}`]의 [eqn: x`]좌표의 극한값은? [[eqn: 4]점]

① [eqn: 3`]        ② [eqn: 10 over 3`]       ③ [eqn: 11 over 3`]       ④ [eqn: 4`]       ⑤ [eqn: 13 over 3`]

17. 그림과 같이 한변의 길이가 [eqn: l _{1}`]인 정육각형의 꼭지점을 연결하여 만든 정육각형의 한 변의 길이를 [eqn: l _{2}`], 한변의 길이가 [eqn: l _{2}`]인 정육각형의 꼭지점을 연결하여 만든 정육각형의 한 변의 길이를 [eqn: l _{3}`,``` CDOTS```]이와 같이 무한히 반복한다. [eqn: l _{1} =6`]일 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } `l _{n}`]의 값은? [[eqn: 4]점]

①  [eqn: 6+2 sqrt {3}]         ②  [eqn: 6+3sqrt3]         ③  [eqn: 8+2sqrt3]

④  [eqn: 9+3sqrt3]         ⑤  [eqn: 8+4sqrt3]

18. 서로 다른 두 이차정사각행렬 [eqn: A`,````B`]에 대하여
[eqn: A ^{2} =B`,````B ^{2} =A`]를 만족할 때, <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, [eqn: n`]은 자연수) [[eqn: 4]점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: AB=BA`] ㄴ. [eqn: LEFT ( AB `RIGHT ) ^{n} =AB`] ㄷ. [eqn: A ^{n} +B ^{n} =A+B`]

① ㄱ                    ② ㄷ                 ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ                 ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

19. 직선 [eqn: y=mx+n`]위의 서로 다른 두 점 [eqn: {rmP}`(a`,```b)`,```{rmQ}``(c``,```d)``]에 대하여 행렬 [eqn: A=LEFT ( matrix{`a&`````b#`c&`````d} ` RIGHT ) `]라 할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [[eqn: 3]점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: A=LEFT ( matrix{`1&`````2#`3&`````4} ` RIGHT ) `]일 때, [eqn: m=1`,````n=1`]이다. ㄴ. [eqn: m=2`,````n=0`]일 때, [eqn: A ^{-1} `]이 존재하지 않는다. ㄷ. [eqn: A ^{-1} `]이 존재하기 위한 필요충분조건은 [eqn: mn != 0`]이다.

① ㄱ                   ② ㄱ, ㄴ                  ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ                ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

20. 그림과 같이 한 변의 길이가 1인 정십각형의 각 꼭지점에 [eqn: 0`]부터 [eqn: 9`]까지 숫자가 적혀 있다. 점 [eqn: rm P`]는 다음과 같은 규칙에 따라 정십각형 위를 시계 방향으로 움직인다.

	(가) 점 [eqn: rm P`]는 [eqn: 0`]에서 출발 한다. (나) 점 [eqn: rm P`]의 이동 거리는 다음과 같이 정의된 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }`]에 따른다. [eqn: a _{1} =1`,````a_n+1 = a_n + 2^n`] (다) 점 [eqn: rm P`]가 [eqn: 0`]에서 [eqn: a _{1}`]만큼 움직인 점의 위치를 [eqn: rm P _{1}`], 점 [eqn: rm P`]가 [eqn: rm P _{1}`]에서 [eqn: a _{2}`]만큼 움직인 점의 위치를 [eqn: rm P _{2}`], … 점 [eqn: rm P`]가 [eqn: {rm P} _{n-1} `]에서 [eqn: a _{n} `]만큼 움직인 점의 위치를 [eqn: {rm P} _{n} `] 이라 한다.

이 때, [eqn: rm P _{10}`]의 위치에 적힌 수는? [[eqn: 4]점]

① [eqn: 0]        ② [eqn: 2]         ③ [eqn: 4]         ④ [eqn: 6]        ⑤ [eqn: 8]

21. 그림에서 직선 [eqn: l _{k} `]는 [eqn: log` _{2} `x`]와 [eqn: log` _{2} `y`]사이의 관계를 나타낸 그래프이다.

직선 [eqn: l _{k}`]위의 임의의 점 [eqn: LEFT ( log` _{2} ``a ``,```log` _{2} ``b RIGHT )`]에 대하여 [eqn: a+b`]의 최소값을 [eqn: A _{k} `]라 할 때, [eqn: sum _{k=1} ^{100} A _{k} `]의 값은? [[eqn: 4]점]

① [eqn: 2 ^{98} -4]              ② [eqn: 2 ^{99} -2]              ③ [eqn: 2 ^{100} -4]

④ [eqn: 2 ^{101} -2]              ⑤ [eqn: 2 ^{102} -4]

단답형(22 ~ 30)

22. [eqn: LEFT ( 4 ^{{5} over {6}} `ㆍ root {3} of {16} RIGHT ) ^{2}`]의 값을 구하시오. [[eqn: 3]점]

23. 두 행렬 [eqn: A= pmatrix{`1````&2`#`3````&1`} `,``][eqn: B= pmatrix{``````2&```-1#-1&``````````1}`]에 대하여 [eqn: A ^{-1} XB=E`]를 만족하는 행렬 [eqn: X`]의 모든 성분의 합을 구하시오. [[eqn: 3]점]

24. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }`]의 첫째 항부터 제 [eqn: n`]항까지의 합 [eqn: S _{n} =2n^2 - n`]일 때, [eqn: a _{10}`]의 값을 구하시오. [[eqn: 3]점]

25. 양수 [eqn: a`]에 대하여 이차함수 [eqn: y=x ^{2} -ax`]의 그래프가 [eqn: x`]축과 서로 다른 두 점 [eqn: rm A`,```B`]에서 만나고, 꼭지점은 [eqn: rmC`]이다. [eqn: rm TRIANGLE ABC`]가 정삼각형을 이룰 때, [eqn: a ^2`]의 값을 구하시오. [[eqn: 4]점]

26. [eqn: x`]에 대한 방정식 [eqn: 16 ^{x} `-2`․`4 ^{x} -k=0`]의 한 근을 반올림한 값이 [eqn: 1`]일 때, 정수 [eqn: k`]값의 개수를 구하시오. [[eqn: 4]점]

27. 세 자리 자연수 [eqn: a`,~b]에 대하여 [eqn: log _{10} `a- LEFT [ log _{10} `a RIGHT ] =log _{10} `2`], [eqn: log ` _{2} `b= LEFT [ log `_{2} `b RIGHT ]`]를 만족할 때, [eqn: b >= a`]인 모든 [eqn: b`]값의 합을 구하시오. (단, [eqn: LEFT [ x RIGHT ]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대의 정수) [[eqn: 3]점]

28. 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }`]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{50} a _{2k} `-` sum _{k=1} ^{50} a _{2k-1} `=150`]이고, [eqn: a _{3} =2a _{1}`]일 때, [eqn: a _{10}`]의 값을 구하시오. [[eqn: 3]점]

29. [eqn: sinx=- {1} over {3`} `,```sin3x=- {1} over {3} `,``` CDOTS `,```sin3 ^{n-1} `x=- {1} over {3} `,``` CDOTS `]을 만족하는 양의 해 중 최소값을 각각 [eqn: alpha _{1} ,```` alpha _{2} `,```` alpha _{3} `,`` CDOTS` , ````alpha _{n} `,`` CDOTS`]이라 하고, [eqn: cosx= {1} over {3`} `,```cos3x= {1} over {3} `,`` CDOTS ``,```cos3 ^{n-1} `x= {1} over {3}`,`` CDOTS`]을 만족하는 양의 해 중 최소값을 각각 [eqn: beta _{1} `,```` beta _{2} `,```` beta _{3} `,`` CDOTS`` ,```` beta_n `,`` CDOTS`]이라 하자. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } ( alpha _{n} + beta _{n} )`= {p} over {q} pi `] ([eqn: p`,```q`]는 서로소인 자연수)일 때, [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. [[eqn: 4]점]

30. 이탈리아의 어느 연구진에 의하면 지구 온난화로 인하여 빙하가 녹기 시작한 [eqn: 1850`]년 초 마지막 소빙하기 때부터 알프스 빙하는 [eqn: 1970`]년 말까지 [eqn: 35%`]가 녹았고, [eqn: 1971`]년 초부터 [eqn: 5`]년 동안 [eqn: 1970`]년 말까지 남아 있던 알프스 빙하의 [eqn: 3`%`]가 녹았다고 한다. 이와 같이 [eqn: 5`]년 동안 빙하의 [eqn: 3`%`]가 녹는 현상이 계속된다고 할 때, [eqn: 2070`]년 말에 남을 알프스 빙하의 양은 [eqn: 1850`]년 초 알프스 빙하의 양의 [eqn: {p} over {q} `]([eqn: p`,```q`]는 서로소인 자연수)이다. 이 때, [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: log`5.5=0.740`], [eqn: log`9.7=0.987`]) [[eqn: 4]점]

* 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.